本文研究如下的双调和偏微分方程

$$ \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta^2 u +u^p +f(x)=0,\ \ \ u> 0,\ \ \ \ x\in R,\\ \lim_{|x|\rightarrow \infty }u(x)= \lim_{|x|\rightarrow \infty }\Delta u(x)=0, \end{array} \right. $$

(E)

其中$\Delta^2$是双调和算子,$p>1$,$n\geq 5$,$f\geq 0$且$f\not\equiv 0$.

很多作者研究过齐次双调和方程,得到很多与齐次调和方程类 似或较好的结果,参见文献^{[1, 11, 14]}等. 特别地, Gazzola和 Grunau^[11] 得到了超临界半线性齐次双调和方程正径向解的存在性和唯一 性以及这些光滑解在无穷远处收敛于已知奇异解的收敛性. 对于非齐次情形,Dai在文献^[6]中得到正解关于非齐次项$f$ 的衰减率和指数$p$的精确的存在性和非存在性. 随后,作者在文献^[16]中得到非齐次项$f$关于正解存在性的最 优衰减系数和两种不同衰减正解的存在性. 具体结果可以表述为

定理 1.1^[16] 假设$p>n/(n-4)$,$f\in C^{0,\gamma}(R)$且$f\leq C_0/(1+|x|^2)^{2p/(p-1)}$,其中 $0<\gamma\leq 1$, $$C_0=\frac{1}{(p-1)^{(p+1)/(p-1)}}\left[\frac{8(p+1)}{p}\left(n-\frac{2p+2}{p-1}\right) \left(n-\frac{4p}{p-1}\right)\right]^{p/(p-1)}.$$ 则方程$(E)$有解满足下面的估计 $0< u(x)\leq \frac{\theta_3}{(1+|x|^2)^{(q-4)/2}},\ \ \ \ \ \ \ x\in$ $R,$ 其中 $$\theta_1=\left[\frac{8(p+1)}{p(p-1)^2}\left(n-\frac{2p+2}{p-1}\right) \left(n-\frac{4p}{p-1}\right)\right]^{1/(p-1)}.$$

定理 1.2^[16] 假设$p>n/(n-4)$,$f\geq 0$. 如果$f$的球面平均$\bar{f}$满足

$$\liminf\limits_{|x|\rightarrow \infty }|x|^{4p/(p-1)}\bar{f}>C_0,$$

(1.1)

则方程$(E)$ 没有正解.

定理 1.3^[6] 假设$n\leq 4$或$n\geq 5$且$1<p\leq n/(n-4)$,则方程$(E)$没有解.

注 1.1 由定理1.1和定理1.2,我们知道,对于方程$(E)$正解的存在性和非存在性, $-4p/(p-1)$是$f$的最大衰减指数,$C_0$是$f$的最优衰减系数.

定理 1.4^[16] 假设$p\geq (n+2)/(n-4)$,$f\in C^{0,\gamma}(R)$且$f\leq C_1/(1+|x|^2)^{(n+2)/2}$,其中 $0<\gamma\leq 1$, $$C_1=(p-1)\left[\frac{2n(n-2)(n-4)}{p}\right]^{p/(p-1)}.$$ 则方程$(E)$有解且满足下面的估计 $$0< u(x)\leq \frac{\theta_2}{(1+|x|^2)^{(n-4)/2}},\ \ \ \ \ \ x\in R,$$ 其中$\theta_2=\left[\frac{2n(n-2)(n-4)}{p}\right]^{1/(p-1)}$. 而且,在无穷远处$\bar{u}\sim r^{4-n}$.

注 1.2 定理1.1和1.4保证了方程 $(E)$在无穷远处衰减为$|x|^{-4/(p-1)}$和$|x|^{4-n}$的解的存在性.

对于二阶非齐次椭圆方程,还有更多不同的结果,参看文献^{[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 17]}等. 特别地,Bae和 Ni^[3]以及 Bernard^[4] 研究了下面的方程

$$ \left\{ \begin{array} [c]{ll} \Delta u +u^p +f(x)=0,\ \ \ \ \ \ x\in R,\\ u>0. \end{array} \right. $$

(HE)

Bernard 得到了关于非齐次项$f$正解存在的充分和必要条件. 在此基础上,他还得到了在无穷远处两种不同衰减正解的存在性. 此后,Bae和 Ni 研究了方程$(HE)$,得到了在无穷远处衰减为$r^{-\frac{2}{p-1}}$ 的无穷多正解的存在性. 事实上, 假设在无穷远处 $f(x)=O(|x|^{-q})$,则方程$(HE)$在无穷远处有 四种不同衰减: $u(r)\sim r^{-\frac{2}{p-1}}$; $u(r)\sim r^{2-n}$, $q>n$; $u(r)\sim r^{2-q}$,$2+\frac{2}{p-1}<q<n$; $u(r)\sim r^{2-n}\log r$,$q=n$. 具体结果可以参见文献^[2].

在文献^[16]中,作者得到方程$(E)$有在无穷远处衰减为 $|x|^{4/(p-1)}$和$|x|^{4-n}$的两类解. 在本文中, 作者证明在无穷远处衰减为$|x|^{4-q}$正解的存在性. 主要结论为

定理 1.5 假设$p\geq (n+2)/(n-4)$,$f\in C^{0,\gamma}(R)$,$f\leq C_2/(1+|x|^2)^{q/2}$且$4+\frac{4}{p-1}<q<n$, 其中$0<\gamma\leq 1$, $$C_2=(p-1)\left[\frac{(q-4)(q-2)(n-q+2)(n-q)}{p}\right]^{p/(p-1)}.$$ 则方程$(E)$有正解满足下面的估计 $$0< u(x)\leq \frac{\theta_3}{(1+|x|^2)^{(q-4)/2}},\ \ \ \ \ \ \ x\in R$$ , 其中$\theta_3=\left[\frac{(q-4)(q-2)(n-q+2)(n-q)}{p}\right]^{1/(p-1)}$. 注 1.3 假设$p$和$f$条件同定理1.5, 而且对充分小的$C>0$,在无穷远处$f(x)\geq C/|x|^{q}$, 则方程$(E)$有在无穷远处衰减为$|x|^{4-q}$的解 (参见推论3.1).

一般双调和方程处理起来比较复杂. 在本文中,我们化方程$(E)$ 为二阶椭圆方程组,运用上下解方法和极值原理得到解的存在性和估计.

本文结构如下:在第二部分,作者给出一些预备知识和方程$(E)$的一些估计. 在第三部分,作者证明定理1.5.

在这一部分,我们介绍方程组的上下解方法,给出方程$(E)$解的一些估计.

考虑下面的二阶椭圆方程组

$$ \left\{ \begin{array} {ll}-\Delta u=v,& x\in R,\\ -\Delta v =u^p+f,& x\in R,\\ \lim_{|x|\rightarrow\infty}u(x)=\lim_{|x|\rightarrow\infty}v(x)=0, \end{array} \right. $$

(2.1)

它等价于如下的双调和方程 $$ \left\{ \begin{array} {ll} -\Delta^2 u +u^p +f(x)=0,\ \ \ \ \ \ x\in R,\\ \lim_{|x|\rightarrow \infty }u(x)= \lim_{|x|\rightarrow \infty }\Delta u(x)=0. \end{array} \right. $$ 如果 $$\left\{ \begin{array} {ll}-\Delta w\geq \upsilon,&x\in R,\\ -\Delta \upsilon \geq w^p+f,& x\in R,\\ \lim_{|x|\rightarrow \infty}w\geq 0\ \mbox{且}\ \lim_{|x|\rightarrow \infty} \upsilon \geq 0, \end{array} \right. $$ 则称$(w,\ \upsilon)$ 是方程组(2.1)的上解. 类似地,将上面的不等式符号反向即可定义下解.

定理1.5的证明要用到下面的引理,它是文献^[15]中定理1.1的特殊情况.

引理 2.1 假设$(\tilde{w},\ \tilde{\upsilon})$和$(\underline{w},\ \underline{\upsilon})$是方程组(2.1)的上解和下解, 分别满足$\tilde{w}\geq \underline{w}$和 $\tilde{\upsilon}\geq\underline{\upsilon}$. 则, 方程组存在解$(w,\ \upsilon)$满足 $\underline{w}\leq w\leq\tilde{w}\ \mbox{和}\ \underline{\upsilon}\leq \upsilon\leq\tilde{\upsilon}.$

下面的强极大值原理是方程组的强极大值原理的直接推论.

引理 2.2 (强极大值原理)\quad 假设$(u,v)$是方程组(2.1)的一对非负解,则$u>0$且$v>0$.

引理 2.3 如果$u$是方程$(E)$的解,则 $$u(x)\geq\frac{1}{(n-2)^2(n-4)\omega_n}\int_{R}\frac{f(y)}{|x-y|^{n-4}}{\rm d}y,$$ 其中 $\omega_n$是$R$上单位求的表面积.

引理2.3是文献^[16]中注3.1的直接结果.

记 $$ N(x)= \frac{1}{(n-2)^2(n-4)\omega_n}\int_{R}\frac{f(y)}{|x-y|^{n-4}}{\rm d}y,$$ 则下面的估计成立.

引理 2.4 假设在无穷远处$f(x)\geq C|x|^{-q}$,其中$C>0$,$q>4$. 则对充分大的$|x|$,

$$N(x) \geq \left\{ \begin{array} {ll}C|x|^{4-n},& q>n,\\ C|x|^{4-n}\log{|x|},\ \ & q=n,\\ C|x|^{4-q},&4<q<n. \end{array} \right. $$

(2.2)

证明类似于文献^[13]中引理2.6的证明,我们省略其证明.

在这一部分,作者证明定理1.5,从而得到在无穷远处衰减至少是 $|x|^{4-q}$的解的存在性. 在本定理中,对非齐次项给出明确的 条件限制它的衰减,从而保证解的存在性. 由于用上下解方法得到的解,故方程的解不大于上解. 最后, 作者给出一个推论得到解在无穷远处的确切衰减.

证明定理 1.5 记 $w(r)=\frac{\xi}{(1+r^2)^{\alpha}},\ r\geq 0,$ 其中$\xi>0$和$\alpha>0$将在后面给出. 由文献^[4]中定理7的证明,

$$\Delta w(r)\leq \frac{-2\alpha \xi n[1-2(\alpha+1)/n]}{(1+r^2)^{\alpha+1}}.$$

(3.1)

再记 $$W(r)=\frac{-2\alpha \xi n[1-2(\alpha+1)/n]}{(1+r^2)^{\alpha+1}},$$ 为了让$W(r)\leq 0$,必需$1-2(\alpha+1)/n\geq 0$. 由(3.1)式,我们得到 $$-\Delta W(r)=\Delta(-W(r))\leq \frac{-2\beta \zeta n[1-2(\beta+1)/n]}{(1+r^2)^{\beta+1}},$$ 其中$\zeta=2\alpha \xi n[1-2(\alpha+1)/n]$,$\beta=\alpha+1$. 令 $Sw=-\Delta^2w+w^p.$

我们想选择$\alpha>0$和$\xi>0$使得对某个常数$C>0$和指数$\theta>0$,有 $$ Sw\leq \frac{-C}{(1+r^2)^\theta}.$$ 因此,必需有$\alpha p\geq \beta +1=\alpha+2$. 即 $$\alpha \geq \frac{2}{p-1}.$$ 在上面$\alpha$的限制下, $$Sw\leq \frac{-2\beta \zeta n[1-2(\beta+1)/n]+\xi^p}{(1+r^2)^{\alpha+2}}.$$ 即

$$ Sw\leq \frac{-4 n^2\alpha(\alpha+1) \xi[1-2(\alpha+1)/n] [1-2(\alpha+2)/n]+\xi^p}{(1+r^2)^{\alpha+2}}.$$

(3.2)

因此,我们需要 $1-2(\alpha+2)/n>0$. 即 $$\alpha<\frac{n-4}{2}.$$ 所以,$\alpha$ 必须满足不等式 $$\frac{2}{p-1}\leq \alpha <\frac{n-4}{2}.$$ 既然 $$p>\frac{n}{n-4}\Leftrightarrow \frac{2}{p-1}<\frac{n-4}{2},$$ 上面的不等式可以成立. 如$\xi$充分小,(3.2)式右端将是负的. 当 $$\xi=\{4\alpha(\alpha+1)[n-2(\alpha+1)] [n-2(\alpha+2)]/p\}^{1/(p-1)}$$时,(3.2)式右端取最小值. 从而 $$Sw\leq\frac{-C}{(1+r^2)^{\alpha+2}},$$ 其中 $$ C=(p-1)\{4\alpha(\alpha+1)[n-2(\alpha+1)][n-2(\alpha+2)]/p\}^{p/(p-1)}.$$ 既然$4+\frac{4}{p-1}<q<n$,选取$\alpha=(q-4)/2$,如果 $$0<f(x)\leq \frac{C}{(1+|x|^2)^{q/2}},$$ 我们可以得到 $$Sw+f\leq 0,$$ 其中 $$ C=(p-1)[(q-4)(q-2)(n-q+2)(n-q)/p]^{p/(p-1)}.$$ 因此,$(w,\ -W)$是方程组(2.1)的上解. 而且$(0,\ 0)$是方程组(2.1)的下解. 既然$0\leq w$且$0\leq -W$,由上下解方法, 存在方程组(2.1)的解$(u,\ v)$使得 $$0\leq u(x)\leq w(|x|)\ \mbox{和} \ 0\leq v(x)\leq -W(|x|),\ \ \ \ \ \ x\in R.$$ 再由强极值原理(引理 2.2),我们得到$u>0$且 $v>0$. 即,$u$ 是方程$(E)$的正解.

注 3.1 假设$p$和$f$条件同定理1.5. 如果$f$是径向对称的,由定理1.5的证明, 方程$(E)$存在在无穷远处衰减为$r^{4-q}$的径向对称解.

因此,我们有下面的推论.

推论3.1 假设$p$和$f$条件同定理1.5. 如果 $N(x)\leq C_2/(1+|x|^2)^{(q-4)/2}$,则定理1.5中得到的解满足

$$N(x)\leq u(x)\leq C_2/(1+|x|^2)^{(q-4)/2}.$$

(3.3)

而且,如果对充分小的$C_3>0$,在无穷远处 $f(x)\geq C_3/|x|^{q}$, 则解在无穷远处衰减为$|x|^{4-q}$.

证 不等式(3.3)由引理2.3和定理1.5可直接得到. 由(2.2)式和$f$的假设,我们推断对某些常数$0<C_4\leq C_2$,在无穷远处 $$N(x)\geq \frac{C_4}{|x|^{4-q}}.$$ 所以,方程$(E)$的解在无穷远处的衰减为$|x|^{4-q}$.