近年来, 对非光滑区域边值问题的研究一直是热点.记$\Omega\in {\Bbb R}^n$ ($n\geq3)$表示一个边界连通的有界利普希兹区域或者在利普希兹图形的上方区域.很多学者, 如Dahlberg^[9-10], Jerison-Kenig^[8], Verchota^[3]和Dahlberg-Kenig^[4]等, 研究了$\Omega$上的边界值落在$L^p(\partial\Omega)$的Laplace方程Dirichlet问题和Neumann问题.薛定谔算子的$L^p$-Neumann问题是Shen Z^[13]于1994年首次提出的, 他研究了在$\Omega$上薛定谔方程$-\Delta u+Vu=0$的$L^p$-Neumann问题, 其中$V\in{\Bbb B}_{\infty}$且$\Omega\subset{\Bbb R}^n(n\geq3)$是利普希兹图形上方的区域, 文章证明了Neumann问题存在唯一解$u$, 使得非正切极大函数$\nabla u$在$L^p(1<p\leq2)$内. Tao X和Wang H^[17]扩展了$\Omega$上Schrödinger方程$-\Delta u+Vu=0$, 这里$V(X)$是属于反Hölder类${\Bbb B}_{n}$的奇异非负空间.

$\Omega$是${{\Bbb R}^n}$ ($n \ge 3)$上有界的利普希兹区域.令${\omega _\alpha } = {\omega _\alpha }(Q) = {\left| {Q - {Q_0}} \right|^\alpha }$, $\alpha>1 - n$且${Q_0}$是$\partial \Omega$上的一个不动点.我们研究边值定义在${H^p}(\partial \Omega, {\omega _\alpha }{\rm d}\sigma )$或${L^p}(\partial \Omega, {\omega _\alpha }{\rm d}\sigma )$上的Neumann问题边值问题的可解性, 这里${\rm d}\sigma$表示在$\partial \Omega $上的面积.我们给出在$\alpha$满足特定条件下, 方程解的存在性问题, 并且利用非正切极大函数的一致估计给出了解的唯一性.另外, 我们考查定义在$\Omega$上的薛定谔方程$-\Delta u + Vu = 0$, 其中非负奇异位势$V(X)$满足反Hölder类${\Bbb B}_{n}$.众所周知, 我们说非负局部${L^q}({{\Bbb R}^n})$可积函数$V(X)$属于${\Bbb B}_{q}$ $(1<q \le \infty )$, 如果存在一个正常数${C_q}$, 使得反Hölder不等式

$ \begin{eqnarray}\label{eq1.1} \Big(\frac{1}{|B|}\int_B V(X)^q{\rm d}X\Big)^{\frac{1}{q}}\leq \frac{C_q}{|B|}\int_BV(X){\rm d}X \end{eqnarray} $

(1.1)

在${\Bbb R}^n$上对每个球$B$都成立^{[13-14, 16-17]}, 关于${\Bbb B}_q(q>1)$类函数的一个显著特征是, 如果对某个$q>1$, $V(X)\in{\Bbb B}_q$, 那么存在任意的$\epsilon>0$和常数$C_q$, 使得$V(X)\in{\Bbb B}_{q+\epsilon}$.

现在给出本文的主要结论.

我们首先考虑$L^p$-Neumann问题($1<p\leq2$)

$ \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u+Vu=0, & \hbox {在Ω中, }\\[2mm] \frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=g\in L^p(\partial\Omega, \omega_\alpha), & \hbox{在∂Ω上, } \\[2mm] \|(\nabla u)^{*}\|_{L^p(\partial\Omega, \omega_\alpha)}<\infty, \end{array} \right. $

其中边值函数$g$是非切向收敛的, 即$\lim\limits_{X\rightarrow Q, X\in\Gamma(Q)}\nabla u(X)\cdot\vec{v}(Q)=g(Q)$, a.e. $Q\in\partial\Omega$, $\vec{v}$表示$\partial\Omega$的单位外法向量, $(\nabla u)^{*}$表示$\nabla u$的非切向极大函数, 其表达式为

$ \begin{eqnarray}\label{eq1.2} (\nabla u)^{*}(Q)=\sup\{|\nabla u(X)|: X\in\Omega, |X-Q|<2\delta(X)\}, \end{eqnarray} $

(1.2)

其中, $Q\in\partial\Omega$.

定理1.1 设$\Omega$是${\Bbb R}^n, n\geq3$上一个有连通边界的有界的利普希兹区域.对任给的$g \in L^p(\partial\Omega, \omega_\alpha)$, $\max(-1, -(n-1)(p-p')/p)<\alpha<\min( (n-1)(p-p')/p', \delta)$, Neumann问题

$ \begin{eqnarray}\label{eq1.3} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u+Vu=0, & \hbox {在Ω中, }\\[2mm] \frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=g, & \hbox{在∂Ω上, }\\[2mm] \|(\nabla u)^{*}\|_{L^p(\partial\Omega, \omega_\alpha)}<\infty \end{array} \right. \end{eqnarray} $

(1.3)

有唯一解.此外, 解$u$满足不等式

$ \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^p\omega_\alpha {\rm d}\sigma+\int_\Omega|u|^pV^\frac{p+1}{2}|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X \leq C\int_{\partial\Omega}|g|^p\omega_\alpha {\rm d}\sigma, $

其中$1\leq p'<p<n-1$, $C$仅与$n$, $\alpha$和$M$有关, $M$是$\Omega$的利普希兹特征数.

为了证明定理1.1, 我们需要解决$L^2$-Neumann问题, 我们先给出以下定理的证明.

定理1.2 设$\Omega$是${\Bbb R}^n, n\geq3$上一个有连通的有界利普希兹区域.对任给的$g \in L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)$, $-1/2<\alpha<1$, Neumann问题

$ \begin{eqnarray}\label{eq1.4} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u+Vu=0, & \hbox {在Ω中, }\\[2mm] \frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=g, & \hbox{在∂Ω 上, }\\[2mm] \|(\nabla u)^{*}\|_{L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)}<\infty \end{array} \right. \end{eqnarray} $

(1.4)

有唯一解.且解$u$满足不等式

$ \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma+\int_\Omega|u|^2V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X \leq C\int_{\partial\Omega}|g|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma, $

其中$1\leq p'<p<n-1$, $C$仅与$n$, $\alpha$和$M$有关, $M$是$\Omega$的利普希兹特征数.

最后, 我们证明以下定理.

定理1.3 设$\Omega$是${\Bbb R}^n, n\geq3$上一个连通的有界利普希兹区域, $1-\epsilon<p\leq1$, 其中$0<\epsilon<(1-\alpha)/n$与利普希兹特征数有关.对任给的$g \in H^p(\partial\Omega, \omega_\alpha)$, $-(n-1)(2-p)/2<\alpha<\delta$, Neumann问题

$ \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u+Vu=0, & \hbox {在Ω中, }\\[2mm] \frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=g, & \hbox{在∂Ω上, } \\[2mm] \|(\nabla u)^{*}\|_{L^p(\partial\Omega, \omega_\alpha)}<\infty \end{array} \right. $

有唯一解, 同时解$u$满足

$ \|(\nabla u)^{*}\|_{L^p(\partial\Omega, \omega_\alpha)}\leq C\|g\|_{H^p(\partial\Omega, \omega_\alpha)}, $

其中, ${\partial u}/{\partial \vec{v}}=g$是在$H^p$意义下的^[19].

本文我们用$C$和$c$分别来表示不同的正常数, 并且每一处不一定在数值上都相等, 且与$n$, $\alpha$和利普希兹特征数$M$有关. $\|.\|_p$表示$L^p(\partial\Omega)$范数.对于$P\in\partial\Omega$和$r>0$, 我们定义$B(P, r)\cap\partial\Omega$是$\partial\Omega$上的一个坐标补片(coordinate patch), 如果存在一个利普希兹函数$\varphi:{\Bbb R}^{n-1}\rightarrow{\Bbb R}$使得经坐标系旋转后, 有

$ \Omega\cap B(P, r)=\{(X', x_n)\in{\Bbb R}^n:x_n>\varphi(X' )\}\cap B(P, r) $

在这个新的坐标系中, 令

$ \triangle(P, r)=\{(X', \varphi(X' ))\in{\Bbb R}^n:|X' -P{'}|<r\}, $

$ D(P, r)=\{(X', x_n)\in{\Bbb R}^n:|X' -P{'}|<r~~\mbox{和}~~ \varphi(X' )<x_n<\varphi(X' +r)\}. $

我们知道$\Omega$是一个利普希兹区域, 如果存在$r_0=r_0(\Omega)>0$, 使得$B(P, r_0)\cap\partial\Omega$, $P\in\partial\Omega$是一个坐标补片.显然, 若$0<r<cr_0$, 则$\triangle(P, r)\subset\partial\Omega$且$D(P, r)\subset\Omega$.上述定理的证明的主要思想是:

(1) 参考文献[16-17]中提及的非加权$L^2$估计;

(2) 参考文献[4]中使用的特定的局部方法;

(3) 借助格林函数和Neumann函数表达式.

本文结构如下.第二部分的2.1小节中, 我们介绍辅助函数$m(V, X)$并研究了它的性质; 2.2小节中, 我们建立${\Bbb R}^n$上的薛定谔方程$-\Delta u+Vu=0$在${\Bbb R}^n$上的基本解的估计.第三部分和第四部分中, 分别研究了定理1.1中$p=2$和$1<p<2$的情况.证明过程我们分为两个步骤：第一步, 我们利用带有加权原子$L^2$解的估计来证明存在性和正则性, 并借助调和分析技术建立解的一致性估计; 第二步, 证明解的唯一性, 我们可以用$\|(\nabla u)^{*}\|_{L^p(\partial\Omega, \omega_\alpha)}$来控制$\|u^{*}\|_{L^{q'/2}(\partial\Omega, \omega_\alpha)}$ (对某个$q'>2$), 其中$u$是薛定谔方程的解.最后, 我们证明$H^p$边界定理.

本部分大多数结论已在文献[14]和^[17]中被证明.众所周知, 如果$V\in{\Bbb B}_q$ ($q>1$), 那么$V(x){\rm d}x$是一个双倍测度, 即

$ \int_{B(x, 2r)}V(y){\rm d}y\leq C_0\int_{B(x, r)}V(y){\rm d}y . $

事实上, 若$V\in{\Bbb B}_q$ ($q>1$), 则$V$是一个Muckenhoupt $A_\infty$加权.

引理2.1^[14] 存在$C>0$, 使得当$0<r<R<\infty$, 有

$ \frac{1}{r^{n-2}}\int_{B(x, r)}V(y){\rm d}y\leq C\left(\frac{R}{r}\right)^{\frac{n}{q}-2}\frac{1}{R^{n-2}}\int_{B(x, R)}V(y){\rm d}y. $

证 由Hölder不等式可以很容易地证明, 且$V$是属于反Hölder类${\Bbb B}_{q}$.

定义2.1^[17] 设$X\in{\Bbb R}^n$, 定义辅助函数$m(V, X)$如下

$ \frac{1}{m(V, X)}=\sup_{r>0}{\{r:\Psi(V, X, r)\leq1}\}, $

这里$\Psi(V, X, r)=\frac{1}{r^{n-2}}\int_{B(x, r)}V(y){\rm d}y$.

显然, $0<m(V, X)<\infty$对每个$X\in{\Bbb R}^n$都成立, 如果$r=\frac{1}{m(V, X)}$, 那么

$ \frac{1}{r^{n-2}}\int_{B(x, r)}V(y){\rm d}y=1. $

此外由引理2.1, 如果

$ \frac{1}{r^{n-2}}\int_{B(x, r)}V(y){\rm d}y\sim1, $

那么

$ r\sim\frac{1}{m(V, X)}. $

本文以后部分, 我们将用到以下关于$m(V, X)$的性质.

引理2.2^[14] 存在两个常数$C>0$和$k_0>0$, 使得

(1) 如果$|X-Y| \leq C \frac{1}{m(V, Y)}$, 那么$ m(V, X) \sim m(V, Y)$;

(2)  $ m(V, Y)\leq C {\{1+|X-Y|m(V, X)}\} ^{k_0}m(V, X)$;

(3)  $m(V, Y)\geq C^{-1}{\{1+|X-Y|m(V, X)}\}^{\frac{k_0}{k_0+1}}m(V, X)$, 对任意的$X$, $Y\in{\Bbb R}^n$均成立.

引理2.3^[17] 设$q>s\geq 0, q\geq $max${\{1, sn/\alpha}\}, \alpha>0$, $k$足够大, 那么存在正常数$k_0$, $C$和$C_k$, 使得

$ \int_ {|X-Y|< r}\frac{V(X)^s}{|X-Y|^{n-\alpha}}{\rm d}Y\leq Cr^{\alpha-2s}{\{1+rm(V, X)}\}^{sk_0} $

和

$ \int_{{\Bbb R}^n}\frac{V(X)^s}{{\{1+|X-Y|m(V, X)}\}^k|X-Y|^{n-\alpha}}{\rm d}Y\leq C_km(V, X)^{2s-\alpha} $

对任意的$r>0$, $X \in{\Bbb R}^n$和$V\in {\Bbb B}_q$均成立.

本部分主要研究${\Bbb R}^n$上薛定谔算子$-\Delta +V$基本解的估计.首先假设$V\in{\Bbb B}_q$ (对某个特定的$q>n/2$), 且在$B(x_0, 2R)$内, $-\Delta u+Vu=0$成立(对某个特定的$x_0\in{\Bbb R}^n$, $R>0$).现设$\Gamma(X, Y)$表示薛定谔算子$-\Delta +V$的基本解.显然,

$ \Gamma(X, Y)=\Gamma(Y, X). $

众所周知, 因为$V\geq0$且$V\in L_{loc}^\frac{n}{2}$, 所以有

$ 0\leq\Gamma(X, Y)\leq\Gamma_0(X, Y)=\frac{1}{\omega_n(n-2)|X-Y|^{n-2}} . $

此外, 以下内部估计成立：若$X, Y\in {\Bbb R}^n$, 则存在$k>0$, 使得以下成立

$ \begin{equation} |\Gamma(X, Y)|\leq\frac{C_k}{\{1+m(V, X)|X-Y|\}^k}\frac{1}{|X-Y|^{n-2}}, \end{equation} $

(2.1)

$ \begin{equation} |\nabla\Gamma(X, Y)|\leq\frac{C_k}{\{1+m(V, X)|X-Y|\}^k}\frac{1}{|X-Y|^{n-1}}, \end{equation} $

(2.2)

常数$C_k>0$, 且$X$与$Y$无关.

引理2.4^[17] 设$V\in{\Bbb B}_n$且$|X-Y|\leq\frac{2}{m(V, X)}$, 则

$ |\nabla_X\Gamma(X, Y)-\nabla_X\Gamma_0(X, Y)|\leq\frac{Cm(V, X)}{|X-Y|^{n-2}}, $

常数$C$与$X$与$Y$无关.

给定$f\in L^p(\partial\Omega)$, $1<p<\infty$, 如下定义奇异位势

$ {\cal S}(f)(X)=\int_{\partial\Omega}\Gamma(X, Q)f(Q){\rm d}\sigma, ~~\mbox{对}\ X\in{\Bbb R}^n. $

由估计(2.1), (2.2)和引理2.4, 结合Coifman, McIntosh和Meyer^[2]理论, 可得到下述引理.

引理2.5^[13] 设$f\in L^p(\partial\Omega)$, $1<p<\infty$, 且$u={\cal S}(f)$, 那么$\|(\nabla u)^{*}\|_{L^p(\partial\Omega)}\leq C\|f\|_{L^p(\partial\Omega)}$, 并且对$P\in\partial\Omega$, 有

$ \frac{\partial u}{\partial X_i}(P)=\frac{1}{2}f(P)\vec{v_i}(P)+p.v.\int_{\partial\Omega}\nabla_p\Gamma(P, Q)f(Q){\rm d}\sigma. $

作为本部分的结束, 我们建立$\Omega$上的Neumann函数的估计.

设

$ {\cal S}(f)(X)=\int_{\partial\Omega}\Gamma(X, Q)f(Q){\rm d}\sigma, $

$ {\mathcal S}_0(f)(X)=\int_{\partial\Omega}\Gamma_0(X, Q)f(Q){\rm d}\sigma, $

则

$ \frac{\partial}{\partial \vec{v}} {\cal S}(f)=\Big(\frac{1}{2}I+K\Big)f, $

$ \frac{\partial}{\partial \vec{v}} {\cal S}_0(f)=\Big(\frac{1}{2}I+K_0\Big)f. $

我们知道

$ \frac{1}{2}I+K_0: L^2(\partial\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega) $

是一个指标为零^[3]的Fredholm算子.由引理2.4, $K-K_0$是$L^2(\partial\Omega)$上的紧算子.因此有

$ \frac{1}{2}I+K: L^2(\partial\Omega)\rightarrow L^2(\partial\Omega) $

也是一个指标为零^[3]的Fredholm算子.容易知道Fredholm算子在$L^2(\partial\Omega)$上是一一映射, 因此$\frac{1}{2}I+K$在$L^2(\partial\Omega)$上是可逆的.所以, Neumann问题

$ \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u+Vu=0, & \hbox {在Ω中, }\\[2mm] \frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=g, & \hbox{在∂Ω上, }\\[2mm] \|(\nabla u)^{*}\|_{L^2(\partial\Omega)}<\infty \end{array} \right. $

具有唯一解.对$Y\in\Omega$, 设$v^Y(X)$是Neumann问题具有边值$\frac{\partial}{\partial \vec{v}}\Gamma(Q, Y)$的解, 且

$ N(X, Y)=\Gamma(X, Y)-v^Y(X). $

那么

$ \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta_X+V(X)N(X, Y)=\delta_Y(X), \ & \hbox {在Ω中, } \\[2mm] \frac{\partial}{\partial \vec{v}}N(Q, Y)=0, \ & \hbox{在∂Ω上.} \end{array} \right. $

下面的引理对本文其他的证明很重要, 我们仅将结果罗列如下, 具体证明可以参看相关文献.

引理2.6^[17] 设$\Omega$是一个有界的利普希兹区域.假设$k>0$是一个大于0的任意整数, 那么

$ |N(X, Y)|\leq \frac{C_k}{\{1+m(V, X)|X-Y|\}^k|X-Y|^{n-2}}, $

常数$C_k$与$X$, $Y$和区域$\Omega$的直径无关.

引理2.7^{[14, 17]} 设$V\in{\Bbb B}_n$, 且任意整数$k>0$.那么存在$0<\delta<1$和一个正常数$C_k$, 使得对$X, Y, Z\in\overline{\Omega}$, $|Z-X|\leq\frac{1}{10}|X-Y|$, 有

$ |N(X, Y)-N(Z, Y)|\leq\frac{C_k}{\{1+m(V, X)\}^k}\frac{|Z-X|^\delta}{|X-Y|^{n-2+\delta}}. $

本节研究$L^2$边界理论, 我们将证明定理1.2.为了得到定理1.2, 我们需要以下定理.

定理3.1 设$\Omega$是${\Bbb R}^n\ (n\geq3)$上的有连通边界的有界利普希兹区域, 那么$\varepsilon=\varepsilon(\Omega)>0$, 使得对给定的$g$ $\in L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)$, 其中$-\min(2+\varepsilon, n-1)<\alpha<n-1$, Neumann问题(1.4)有唯一解.另外, 解$u$满足

$ \begin{equation}\label{e:2.2} \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma\leq C\int_{\partial\Omega}|g|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma. \end{equation} $

(3.1)

定理3.2 设$\Omega$是${\Bbb R}^n\ (n\geq3)$上的有连通边界的有界的利普希兹区域.对给定的$g\in L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)$, $-1/2<\alpha<1$, Neumann问题(1.4)有唯一解, 且$\|(\nabla u)^{*}\|_{L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)}\leq C\|g\|_{L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)}$, $\nabla u$在$\partial\Omega$上几乎处处有非正切极限.此外, 解满足一致性估计

$ \int_\Omega | u{|^2}{V^{\frac{3}{2}}}|X - {Q_0}{|^\alpha }{\text{d}}X \leqslant C\int_{\partial \Omega } | g{|^2}{\omega _\alpha }{\text{d}}\sigma . $

(3.2)

为了证明定理3.1, 我们先证明存在$\lambda$, 使得对$\Omega$上的薛定谔方程$-\Delta u+Vu=0$的解, 当$r>0$足够小时, 下列局部估计成立

$ \begin{gathered} \int_{Q \in \partial \Omega ,|Q - {Q_0}| < r} | {(\nabla u)^*}{|^2}{\text{d}}\sigma \leqslant C\int_{Q \in \partial \Omega ,|Q - {Q_0}| < r} | g{|^2}{\text{d}}\sigma \hfill \\ + C{r^\lambda }\int_{Q \in \partial \Omega ,|Q - {Q_0}| \geqslant r} {\frac{{|g{|^2}}}{{|Q - {Q_0}{|^\lambda }}}} {\text{d}}\sigma , \hfill \\ \int_{Q \in \partial \Omega ,|Q - {Q_0}| \geqslant r} | {(\nabla u)^*}{|^2}{\text{d}}\sigma \leqslant C\int_{Q \in \partial \Omega ,|Q - {Q_0}| \geqslant r} | g{|^2}{\text{d}}\sigma \hfill \\ + \frac{C}{{{r^\lambda }}}\int_{Q \in \partial \Omega ,|Q - {Q_0}| < r} | g{|^2}|Q - {Q_0}{|^\lambda }{\text{d}}\sigma . \hfill \\ \end{gathered} $

为此, 我们将先证明下面的结论.

引理3.1 设$u$是$\Omega$上的薛定谔方程$-\Delta u+Vu=0$的一个解, 且在$\partial\Omega$上有$(\nabla u)^* \in L^2(\partial\Omega)$和$ \frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=f\in L^2(\partial\Omega)$.那么对$Q_0 \in \partial\Omega$且$r>0$, 有

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.3} \int_{Q\in\partial\Omega, |Q-Q_0|\geq {r}}|(\nabla u)^{*}|^2 {\rm d}\sigma&\leq& C\int_{Q\in\partial\Omega, |Q-Q_0|\geq {r}}|f|^2{\rm d}\sigma\\ &&+\frac{C}{r^\lambda}\int_{Q\in\partial\Omega, |Q-Q_0|< {r}}|f|^2|Q-Q_0|^\lambda {\rm d}\sigma, \end{eqnarray} $

(3.3)

这里$0 \leq\lambda<n-1$.

证 固定$Q_0 \in \partial\Omega$, 存在一个仅由$\Omega$上利普希兹特征数决定的$r_0>0$, 使得坐标旋转后有

$ \begin{equation} \Omega \cap B(Q_0, r_0)=\{(X', x_n)\in {\Bbb R}^n:x_n>\psi(X' )\} \cap B(Q_0, r_0), \end{equation} $

(3.4)

这里$\psi : {\Bbb R}^{n-1}\rightarrow{\Bbb R}$是利普希兹连续的.假定$\psi(0)=0$, $Q_0=(0, 0)$.令$\triangle_r=\{(X', \psi(X' ): $ $|X' |\leq r\}$.记$f=g+h$, $g=f\chi_{\triangle_{8r}}, h=f\chi_{\triangle_{8r}}^c$.设

$ \begin{equation}\label{eq3.5} u_1(X)=\int_{\partial\Omega}N(X, Q)g(Q){\rm d}\sigma, %\tag{3.5} \end{equation} $

(3.5)

$ \begin{equation}\label{eq3.6} u_2(X)=\int_{\partial\Omega}N(X, Q)h(Q){\rm d}\sigma, %\tag{3.6} \end{equation} $

(3.6)

这里$u_1$和$u_2$分别是$L^2$-Neumann问题带边值$g$和$h$的解, 那么解可以写成$u=u_1+u_2$.由$L^2$估计^[17]有

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.7} \int_{{\partial\Omega}\setminus{\triangle_{8r}}} |(\nabla u_2)^{*}|^2{\rm d}\sigma\leq C\int_{\partial\Omega}|h|^2{\rm d}\sigma\leq C\int_{{\partial\Omega}\setminus{\triangle_{8r}}}|f|^2{\rm d}\sigma.%\tag{3.7} \end{eqnarray} $

(3.7)

下一步我们证明, 对某个$\lambda$有

$ \begin{equation}\label{eq3.8} \int_{Q\in\partial\Omega, |Q|\geq {8r}}|(\nabla u_1)^{*}|^2 {\rm d}\sigma \leq\frac{C}{r^\lambda}\int_{Q\in\partial\Omega, |Q|< {8r}}|f|^2|Q|^\lambda {\rm d}\sigma.%\tag{3.8} \end{equation} $

(3.8)

显然, (3.3)式中的估计由(3.7)和(3.8)式可得.

为了在$\partial\Omega\setminus\triangle_{8r}$上估计$(\nabla u_1)^{*}$, 首先我们记在$\partial\Omega\setminus\triangle_{8r}$上, $\frac{\partial u_1}{\partial \vec{v}}=0$.对$X\in\Omega$和dist$(X, \triangle_{r})\geq cr$, 由(3.5)式和引理2.6有

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.9} |u_1(X)|&\leq&\int_{\partial\Omega}|N(Q, X)||g(Q)|{\rm d}σ\\ &\leq&\int_{\partial\Omega}\frac{C_k}{\{1+m(V, X)|X-Q|\}^k|X-Q|^{n-2}}|g(Q)|{\rm d}σ\\ &\leq&\int_{\triangle_r}\frac{C_k}{|X-Q|^{n-2}}|f|{\rm d}\sigma\\ &\leq&\frac{C}{|X|^{n-2}}\int_{\triangle_{r}}|f|{\rm d}\sigma, %\tag{3.9} \end{eqnarray} $

(3.9)

这里$C=\frac{c-1}{c}$, 最后一个不等书成立是因为$|X|>cr>c|Q|$, 且$|X-Q|>|X|-|Q|>\frac{c-1}{c}|X|$.

设$E_j={{\triangle_{2^jr}}\setminus{\triangle_{2^{j-1}r}}}$, 此处$4\leq j\leq J$且$ 2^Jr \sim r_0$.对$Q\in E_j$, 设

$ M_1(F)(Q)=\sup{\{|F(X)|:X\in \gamma(Q) ~~\mbox{且}~~ |X-Q|\leq\theta2^jr}\}, $

$ M_2(F)(Q)=\sup{\{|F(X)|:X\in \gamma(Q) ~~\mbox{且}~~ |X-Q|\geq\theta2^jr}\}, $

这里$\gamma(Q)={\{X\in\Omega:|X-Q|<2{\rm dist} (X, \partial\Omega)}\}$且$\theta$选择那些使得对$Q\in E_j$, $M_1(F)(Q)$比关于区域$D_{2^{j+1}r}\setminus D_{2^{j-2}r}$的非正切极大函数$F$要小.显然$(\nabla u_1)^{*}\leq M_1(\nabla u_1)+M_2(\nabla u_1)$.

如果$X\in\gamma(Q)$且$|X-Q|\geq\theta2^jr$, 由内估计和(3.9)式得

$ \begin{eqnarray*} |\nabla u_{1}(X)| &\leq&\int_{\partial\Omega}|\nabla N(X, Q)||g(Q)|{\rm d}\sigma\\ &\leq&\int_{\partial\Omega}\frac{C_k}{\{1+m(V, x)|X-Q|\}^k}\frac{1}{|X-Q|^{n-1}}|g(Q)|{\rm d}\sigma\\ &\leq& C\int_{\partial\Omega}\frac{C_k}{{|X-Q|}^{n-1}}|g(Q)|{\rm d}\sigma\\ &\leq&\frac{C}{(2^jr)^{n-1}}\int_{\triangle_{8r}}|f|{\rm d}\sigma\\ &\leq&\frac{C}{(2^jr)^{n-1}}\int_{\triangle_{8r}}|f||Q|^\frac{\lambda}{2}\frac{1}{|Q|^\frac{\lambda}{2}}{\rm d}\sigma\\ &\leq&\frac{C}{(2^jr)^{n-1}}\left\{\int_{\triangle_{8r}}|f|^2|Q|^{\lambda}{\rm d}\sigma\right\}^\frac{1}{2}\left\{\int_{\triangle_{8r}}\frac{1}{|Q|^\lambda }{\rm d}\sigma\right\}^\frac{1}{2}\\ &\leq&\frac{C}{(2^jr)^{n-1}}\left\{\int_{\triangle_{8r}}|f|^2|Q|^{\lambda}{\rm d}\sigma\right\}^\frac{1}{2}\left\{\int_0^{8r}t^{n-2-\lambda }{\rm d}t\right\}^\frac{1}{2}\\ &\leq&\frac{Cr^\frac{n-\lambda-1}{2}}{(2^jr)^{n-1}}\left\{\int_{\triangle_{8r}}|f|^2|Q|^{\lambda}{\rm d}\sigma\right\}^\frac{1}{2}, \end{eqnarray*} $

这里$0\leq\lambda<n-1$.由$M_2(\nabla u)$的定义有

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.10} \int_{E_j}|M_2(\nabla u_{1})|^2{\rm d}\sigma &\leq&\frac{Cr^{n-\lambda-1}}{(2^jr)^{2(n-1)}}|E_j|{\int_{\triangle_{8r}}|f|^2|Q|^{\lambda}{\rm d}\sigma} \\ &\leq&\frac{C}{(2^j)^{n-1}r^\lambda}\int_{\triangle_{8r}}|f|^2|Q|^\lambda {\rm d}\sigma.%\tag{3.10} \end{eqnarray} $

(3.10)

对于在$E_j$上的$M_1(\nabla u_1)$, 由利普希兹区域$D_\tau\setminus D_{\frac{\tau}{4}}$、$D_\tau\setminus D_{\frac{\tau}{4}}$上的$L^2$估计^[17]得

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.11} \int_{E_j}|M_1(\nabla u_1)|^2{\rm d}\sigma \leq\int_{E_j} \bigg|\frac{\partial u_1}{\partial\vec{v}}\bigg|^2{\rm d}\sigma \leq\int_{\Omega\cap{\partial{D_\tau\setminus D_{\frac{\tau}{4}}}}}|\nabla u_1|^2{\rm d}\sigma.%\tag{3.11} \end{eqnarray} $

(3.11)

在区域$\tau\in(2^jr, 2^{j+1}r)$上对(3.11)式两边求积分得

$ \begin{eqnarray*}\int_{E_j}|M_1(\nabla u_1)|^2{\rm d}\sigma &\leq & \frac{C}{2^jr}\int_{D_{2^{j+1}r}\setminus D_{2^{j-2}r}}|\nabla u_1|^2{\rm d}X\\ &\leq&\frac{C}{(2^jr)^3}\int_{D_{2^{j+2}r}\setminus D_{2^{j-3}r}}|u_1|^2{\rm d}X. \end{eqnarray*} $

第二个不等式由Cacciopoli不等式可得.由此并结合(3.9)式得

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.12} \int_{E_j}|M_1(\nabla u_1)|^2{\rm d}\sigma\leq \ \frac{C}{(2^j)^{n-1}r^\lambda}\int_{\triangle_{8r}}|f(Q)|^2|Q|^\lambda {\rm d}\sigma.%\tag{3.12} \end{eqnarray} $

(3.12)

由估计(3.10)和(3.12)式得

$ \begin{eqnarray*} \int_{E_j}|(\nabla u_1)^{*}|^2{\rm d}\sigma&\leq& 2\int_{E_j}{\{|M_1(\nabla u_1)|^2+|M_2(\nabla u_1)|^2}\}{\rm d}\sigma\\ &\leq&\frac{C}{(2^j)^{n-1}r^\lambda}\int_{\triangle_{8r}}|f(Q)|^2|Q|^\lambda {\rm d}\sigma. \end{eqnarray*} $

对上述不等式关于$j$求和得

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.13} \int_{{\triangle_{c_0r_0}}\setminus{\triangle_{8r}}}|(\nabla u_1)^{*}|^2{\rm d}\sigma\leq\frac{C}{r^\lambda}\int_{\triangle_{8r}}|f(Q)|^2|Q|^\lambda {\rm d}\sigma.%\tag{3.13} \end{eqnarray} $

(3.13)

由覆盖技术得

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.14} \int_{{\partial\Omega}\setminus{\triangle_{c_0r_0}}}|(\nabla u_1)^{*}|^2{\rm d}\sigma\leq\frac{C}{r^\lambda}\int_{\triangle_{8r}}|f(Q)|^2|Q|^\lambda {\rm d}\sigma. \end{eqnarray} $

(3.14)

由(3.13)和(3.14)式得

$ \int_{{\partial\Omega}\setminus{\triangle_{8r}}}|(\nabla u_1)^{*}|^2{\rm d}\sigma\leq\frac{C}{r^\lambda}\int_{\triangle_{8r}}|f(Q)|^2|Q|^\lambda {\rm d}\sigma. $

因此有

$ \begin{eqnarray*} \int_{{\partial\Omega}\setminus{\triangle_8r}}|(\nabla u)^{*}|^2{\rm d}\sigma &\leq&2\int_{{\partial\Omega}\setminus{\triangle_8r}}|(\nabla u_1)^{*}|^2{\rm d}\sigma+2\int_{{\partial\Omega}\setminus{\triangle_8r}}|(\nabla u_2)^{*}|^2{\rm d}\sigma\\ &\leq&\int_{{\partial\Omega}\setminus{\triangle_{8r}}}|f|^2{\rm d}\sigma+\frac{C}{r^\lambda}\int_{\triangle_{8r}}|f(Q)|^2|Q|^\lambda {\rm d}\sigma. \end{eqnarray*} $

由以上易得估计(3.3)式.

注3.1 由(3.3)式, 若$0\leq\lambda<n-1$, 则

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.15} \int_{Q \in \partial\Omega, |Q-Q_0|>r}|(\nabla u)^*|^2{\rm d}\sigma\leq C_{\lambda} \int_{\partial\Omega}\left\{\frac{|Q-Q_0|}{|Q-Q_0|+r}\right\}^\lambda|f|^2{\rm d}\sigma.%\tag{3.15} \end{eqnarray} $

(3.15)

下面给出定理3.1对于$0<\alpha<n-1$的情形的证明.

证 根据$L^p$-Neumann ($1<p<2$)问题^[17]的可解性一样, 由(3.15)式以及Hölder不等式, 有

$ \int_{\partial\Omega}|f|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma \leq \left(\int_{\partial\Omega}|f|^p{\rm d}\sigma\right)^{\frac{p}{2}}\left(\int_{\partial\Omega}{\omega_\alpha}^{\frac{p}{2-p}}{\rm d}\sigma\right)^{1-\frac{p}{2}}\\ \leq C\|f\|_p^{\frac{p^2}{2}}. $

最后一个不等式成立是因为$p=p(\alpha)\in(1, 2)$时$\int_{\partial\Omega}{\omega_\alpha}^{\frac{p}{2-p}}{\rm d}\sigma<\infty$, 所以$L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha {\rm d}\sigma)\subset L^p(\partial\Omega)$ (对某个$p=p(\alpha)\in(1, 2)$).唯一性可以直接由$L^p$的唯一性得到.为了证明存在性, 固定$g\in L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha {\rm d}\sigma)$, 其中$\omega_\alpha(Q)=|Q-Q_0|^\alpha$.令$u$是$\Omega$上的薛定谔方程的解, 使得$(\nabla u)^{*}\subset L^p(\partial\Omega)$和$\frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=g$.为了证明定理, 我们需要证明

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.16} \|(\nabla u)^{*}\|_{L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha {\rm d}\sigma)}\leq C\|g\|_{L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha {\rm d}\sigma)}. \end{eqnarray} $

(3.16)

为此设

$ \begin{eqnarray*} g_j(Q)= \left\{ \begin{array}{ll} g(Q), & \hbox{对 }~ Q\in{\partial\Omega\setminus B\Big(Q_0, \frac{1}{j}\Big)}, \\[3mm] g_{\partial\Omega\cap B(Q_0, \frac{1}{j})}, & \hbox{对 }~ Q\in{\partial\Omega\cap B\Big(Q_0, \frac{1}{j}\Big)}. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

容易证明在$L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha {\rm d}\sigma)$上, 当$j\rightarrow\infty$, 有$g_j\in L^2(\partial\Omega)$.

设$u_j$是$\Omega$上的薛定谔方程的解, 使得在$\partial\Omega$上, 有$(\nabla u_j)^{*}\in L^2(\partial\Omega)$和$\frac{\partial u_j}{\partial \vec{v}}=g_j$.选择$\lambda\in(\alpha, n-1)$, 将(3.15)式的两边乘$r^{\alpha-1}$并对不等式在$r\in(0, \infty)$上求积分, 可得

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.17} &&\int_{\partial\Omega}|(\nabla u_j)^{*}|^2|Q-Q_0|^\alpha {\rm d}\sigma\\ &\leq& C\int_0^\infty r^{\alpha-1}\left\{\int_{\partial\Omega\setminus B_{(Q_0, r)}}|(\nabla u_j)^{*}|^2{\rm d}\sigma\right\}{\rm d}r\\ &\leq& C\int_0^\infty r^{\alpha-1}\left\{\int_{\partial\Omega}{\left(\frac{|Q-Q_0|}{|Q-Q_0|+r}\right)}^\lambda|g_j(Q)|^2{\rm d}\sigma\right\}{\rm d}r\\ &\leq& C\int_{\partial\Omega}|g_j(Q)|^2\left\{\int_0^\infty{r^{\alpha-1}\left(\frac{|Q-Q_0|}{|Q-Q_0|+r}\right)}^\lambda {\rm d}r\right\}{\rm d}\sigma\\ &\leq &C\int_{\partial\Omega}|g_j(Q)|^2|Q-Q_0|^\alpha {\rm d}\sigma.%\tag{3.17} \end{eqnarray} $

(3.17)

可以证明, 对于某个$p>1$, 在$L^p({\partial\Omega})$上, $g_j\rightarrow g$, 则$(\nabla u_j)^{*}\rightarrow(\nabla u)^{*}$在$L^p({\partial\Omega})$中, 所以存在一个子列$\{{u_j}_k\}$使得在$\partial\Omega$上, $(\nabla u_{j_k})^{*}\rightarrow(\nabla u)^{*}$ (a.e.).同时由(3.17)式和Fatou引理可得(3.16)式.

引理3.2 令$u$是$\Omega$上的薛定谔方程$-\Delta u+Vu=0$的一个解, 使得在$\partial\Omega$上, $(\nabla u)^* \in L^2(\partial\Omega)$和$\frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=f$.则存在$\varepsilon>0$, 使得对任意$Q_0 \in \partial\Omega$和$r>0$, 有

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.18} \int_{Q\in\partial\Omega, |Q-Q_0|<r}|(\nabla u)^{*}|^2 {\rm d}\sigma &\leq& C\int_{Q\in\partial\Omega, |Q-Q_0|<{8r}}|f|^2{\rm d}σ\\ &&+Cr^{2+\varepsilon}\int_{\partial\Omega\setminus{\triangle_{8r}}}\frac{|f|^2}{|Q-Q_0|^{2+\varepsilon}}{\rm d}\sigma. \end{eqnarray} $

(3.18)

证 设$Q_0=(0, 0)$, 且

$ \Omega \cap B(Q_0, r_0)=\{(X', x_n)\in {\Bbb R}^n:x_n>\psi(X' )\} \cap B(Q_0, r_0), $

此处$\psi : {\Bbb R}^{n-1}\rightarrow{\Bbb R}$是利普希兹连续的且$r_0>0$仅与$\Omega$的利普希兹特征数有关.同样的, 我们仅需要考虑$0<r<c_0r_0$的情形, 根据覆盖原理, 我们可以得到$\partial\Omega \setminus r_0$的情况.令$f=g+h$, 此处$g=f\chi_{\triangle_{8r}}$, $h=f\chi_{\triangle_{8r}}^c$.则$u=u_1+u_2$, $u_1$和$u_2$分别是$L^2$-Neumann问题带边值$g$和$h$的解.由$L^2$估计^[17]

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.19} \int_{{\partial\Omega}} |(\nabla u_1)^{*}|^2{\rm d}\sigma\leq C\int_{\partial\Omega}|g|^2{\rm d}\sigma\leq C\int_{\triangle_{8r}}|f|^2{\rm d}\sigma%\tag{3.19} \end{eqnarray} $

(3.19)

为了估计$\triangle_{8r}$上的$(\nabla u_2)^{*}$, 我们先用$(\nabla u_{2})^{*}\leq M_1(\nabla u_{2})+M_2(\nabla u_{2})$.由柯西不等式和文献[12]中提到的方法可知, 如果$X\in\gamma(P)$且$P\in\triangle_{r}$, 那么存在$\delta\in(2, n+1)$使得

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.20} |\nabla u_2(X)|^2&\leq&\bigg(\int_{\partial\Omega\setminus{\triangle_{8r}}}|\nabla N(X, Q)||f|{\rm d}\sigma\bigg)^2number\\ &\leq&\bigg(\int_{\partial\Omega\setminus{\triangle_{8r}}}|\nabla N(X, Q)|^2|Q|^\delta {\rm d}\sigma\bigg)\bigg(\int_{\partial\Omega\setminus{\triangle_{8r}}}|f|^2|Q|^{-\delta}{\rm d}\sigma\bigg)\\ &\leq& C[{\rm dist}(X, \partial\Omega)]^{\delta-n+1}\int_{\partial\Omega\setminus{\triangle_{8r}}}|f|^2|Q|^{-\delta}{\rm d}\sigma. \end{eqnarray} $

(3.20)

令$\varepsilon= $max$(\delta-2, n-3)$, 则对任意$Q\in\triangle_{r}$, 有

$ \begin{eqnarray*} |M_2(\nabla u_2)(P)|^2\leq Cr^{\varepsilon-n+3}\int_{\partial\Omega\setminus{\triangle_{8r}}}\frac{|f|^2}{|Q|^{2+\varepsilon}}{\rm d}\sigma. \end{eqnarray*} $

即

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.21} \int_{\triangle_{r}}|M_2(\nabla u_2)|^2{\rm d}\sigma\leq Cr^{2+\varepsilon}\int_{\partial\Omega\setminus{\triangle_{8r}}}\frac{|f|^2}{|Q|^{2+\varepsilon}}{\rm d}\sigma. \end{eqnarray} $

(3.21)

为了完成证明, 我们对$M_1(\nabla u_2)$进行估计.在利普希兹区域$D_{\tau r}$ ($\tau\in(c, 2c)$)上, 我们应用$L^2$估计.由文献[15]中提到的方法和文献[12]中的引理2.8, 以及估计(3.20), 可得

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.22} \int_{\triangle_r}|M_1(\nabla u_2)|^2{\rm d}\sigma &\leq& \frac{C}{r}\int_{D_{2r}}|\nabla u_2|^2{\rm d}Xnumber\\ &\leq& Cr^{n-1-2n/p}\left\{\int_{D_{3r}}|\nabla u_2|^p{\rm d}X\right\}^{2/p}\\ &\leq& Cr^{2+\varepsilon}\int_{\partial\Omega\setminus{\triangle_{8r}}}\frac{|f|^2}{|Q|^{2+\varepsilon}}{\rm d}\sigma, \end{eqnarray} $

(3.22)

这里选取$p>0$使得$(n-1-\delta)p<2$.因此

$ \begin{eqnarray*} \int_{\triangle_{r}}|(\nabla u)^{*}|^2 {\rm d}\sigma& \leq & 2\int_{\triangle_{r}}|(\nabla u_1)^{*}|^2 {\rm d}\sigma+2\int_{\triangle_{r}}|(\nabla u_2)^{*}|^2 {\rm d}\sigma\\ &\leq & 2\int_{\triangle_{r}}|(\nabla u_1)^{*}|^2 {\rm d}\sigma+4\int_{\triangle_{r}}\left(|M_1(\nabla u_2)|^2+|M_2(\nabla u_2)|^2\right){\rm d}\sigma\\ &\leq & C\int_{\triangle_{8r}}|f|^2{\rm d}\sigma+Cr^{2+\varepsilon}\int_{\partial\Omega\setminus{\triangle_{8r}}}\frac{|f|^2}{|Q|^{2+\varepsilon}}{\rm d}\sigma. \end{eqnarray*} $

最后一个不等式由(3.19), (3.21)和(3.22)式得到.

注3.2 由(3.18)式可得

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.23} \int_{Q \in \partial\Omega, |Q-Q_0|<r}|(\nabla u)^{*}(Q)|^2{\rm d}\sigma\leq C r^{\lambda} \int_{\partial\Omega}\frac{|f|^2}{\{|Q-Q_0|+r\}^{\lambda}}{\rm d}\sigma, \end{eqnarray} $

(3.23)

此处$0\leq\lambda\leq 2+\varepsilon$, $\varepsilon$与引理3.2中的一样且$r>0$.

下面给出定理3.1对于$-\min (2+\varepsilon, n-1)<\alpha<0$的情形的证明.

证 令$g\in L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)$.因为对于$L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)\subset L^2(\partial\Omega)$ ($\alpha<0$), 其唯一性可以由薛定谔方程^[17]的$L^2$-Neumann问题的唯一性得到$\alpha<0$, 因此我们仅需证明存在性.为此我们将(3.23)的两边乘$r^{\alpha-1}$并对$r\in(0, \infty)$求积分, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^2|Q-Q_0|^\alpha {\rm d}σ\\ &\leq &C\int_0^\infty r^{\alpha-1}\left\{\int_{\partial\Omega\cap B{(Q_0, r)}}|(\nabla u)^{*}|^2{\rm d}\sigma\right\}{\rm d}rnumber\\ &\leq& C\int_0^\infty r^{\alpha+\lambda-1}\left\{\int_{\partial\Omega}{\left(\frac{1}{|Q-Q_0|+r}\right)}^\lambda|f|^2{\rm d}\sigma\right\}{\rm d}r\\ &\leq& C\int_{\partial\Omega}|f|^2\left\{\int_0^\infty{r^{\alpha+\lambda-1}\left(\frac{1}{|Q-Q_0|+r}\right)}^\lambda {\rm d}r\right\}{\rm d}σ\\ &\leq& C\int_{\partial\Omega}|f|^2|Q-Q_0|^\alpha {\rm d}\sigma.number \end{eqnarray*} $

证毕.

下一步, 我们将证明定理3.2.

证 我们仅需证明一致性估计.令$g(Q)=\frac{\partial u}{\partial \vec{v}}(Q)$, 由格林公式$u(X)=\int_{\partial\Omega}N(Q, X)g(Q){\rm d}\sigma$, 以及引理2.6有

$ \begin{eqnarray*} I_0 &=&\int_\Omega|u|^2V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X\\ &\leq&\int_\Omega\left(\int_{\partial\Omega}\frac{|N(Q, X)|}{\omega_\alpha}{\rm d}\sigma\right)\\ &&\left(\int_{\partial\Omega}|N(Q, X)||g(Q)|^2\omega_\alpha V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^\alpha {\rm d}\sigma\right){\rm d}X \\ &\leq&\int_\Omega\left(\int_{\partial\Omega}\frac{{\rm d}\sigma}{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{n-2}|Q-Q_0|^\alpha}\right)\\ &&\left(\int_{\partial\Omega}(|N(Q, X)||g(Q)|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma)V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X\right). \end{eqnarray*} $

令

$ I_1=\int_{\partial\Omega}\frac{{\rm d}\sigma}{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{n-2}|Q-Q_0|^\alpha}. $

我们首先处理$I_1$, 设$p, q>1$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, 且选择$p, q$, 使其满足$p<\frac{n-1}{n-2}$.若$\alpha<1$, 则$\alpha q<n-1$.由柯西不等式, 有

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.24} I_1 &\leq&\left\{\int_{\partial\Omega}\frac{{\rm d}\sigma}{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^{k}|X-Q|^{p(n-2)}}\right\}^\frac{1}{p}number\\ &&\left\{\int_{\partial\Omega}\frac{{\rm d}\sigma}{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^{k}|Q-Q_0|^{q\alpha}}\right\}^\frac{1}{q}number\\ &\leq& C\bigg\{\int_{|X-Q|<\frac{1}{m(V, X)}}\frac{{\rm d}\sigma}{|X-Q|^{p(n-2)}}\\ &&+C\sum_{j=1}^\infty2^{-k(j-1)} \int_{\frac{2^{j-1}}{m(V, X)}<|X-Q|<\frac{2^j}{m(V, X)}} \frac{{\rm d}\sigma}{|X-Q|^{p(n-2)}}\bigg\}^\frac{1}{p}\\ &&\left\{\int_{\partial\Omega}\frac{{\rm d}\sigma}{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^{k}|Q-Q_0|^{q\alpha}}\right\}^\frac{1}{q} \\ &\leq& C\left(\frac{1}{m(V, X)}\right)^{\frac{n-1}{p}-(n-2)}\left\{\int_{\partial\Omega}\frac{{\rm d}\sigma}{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^{k}|Q-Q_0|^{q\alpha}}\right\}^\frac{1}{q}. \end{eqnarray} $

(3.24)

我们现在证明(3.24)式的最后一个不等式的第二项.实际上, 如果$|X-Q|<|Q-Q_0|$, 则以下不等式成立

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.25} &&\bigg\{\int_{\partial\Omega}\frac{{\rm d}\sigma}{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^{k}|Q-Q_0|^{q\alpha}}\bigg\}^\frac{1}{q}number\\ &\leq&C\bigg\{\int_{|X-Q|<|Q-Q_0|<\frac{1}{m(V, X)}}\frac{{\rm d}\sigma}{|Q-Q_0|^{q\alpha}}\\ &&+C\sum_{j=1}^\infty2^{-k(j-1)} \int_{\frac{2^{j-1}}{m(V, X)}<|X-Q|<|Q-Q_0|<\frac{2^j}{m(V, X)}} \frac{{\rm d}\sigma}{|Q-Q_0|^{q\alpha}}\bigg\}^\frac{1}{q}number\\ &\leq&C\left(\frac{1}{m(V, X)}\right)^{\frac{n-1}{q}-\alpha}. \end{eqnarray} $

(3.25)

由(3.24)和(3.25)式, 有

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.26} I_1\leq C\left(\frac{1}{m(V, X)}\right)^{1-\alpha}. \end{eqnarray} $

(3.26)

如果$|X-Q|>|Q-Q_0|$且$\alpha<1$, 同样过程可以用来证明(3.26)式, 所以由引理2.6, 有

$ I_0\leq C\int_{\partial\Omega}\frac{|g(Q)|^2\omega_\alpha}{m(V, X)^{1-\alpha}} \left(\int_\Omega\frac{V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^\alpha}{{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{n-2}}}{\rm d}X\right){\rm d}\sigma. $

下一步, 我们将证明

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.27} I_2=\int_\Omega\frac{V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^\alpha}{{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{n-2}}}m(V, X)^{\alpha-1}{\rm d}X \leq C. \end{eqnarray} $

(3.27)

我们可到

$ I_0 =\int_\Omega|u|^2V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X\leq C\int_{\partial\Omega}|g|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma. $

为了证明(3.27)式, 注意到如果$|X-Q_0|<|X-Q|$且$\alpha\geq0$, 那么

$ \begin{eqnarray*} I_2 &\leq&\int_{\Omega}\frac{V^\frac{3}{2}}{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{n-2-\alpha}}m(V, X)^{\alpha-1}{\rm d}X\\ &\leq &C\bigg(\int_{|X-Q|<\frac{1}{m(V, X)}}\frac{V^\frac{3}{2}}{|X-Q|^{n-2-\alpha}}{\rm d}X\\ &&+C\sum_{j=1}^\infty2^{-k(j-1)}\int_{\frac{2^{j-1}}{m(V, X)}<|X-Q|<\frac{2^j}{m(V, X)}}\frac{V^\frac{3}{2}}{|X-Q|^{n-2-\alpha}}{\rm d}X\bigg)m(V, X)^{\alpha-1}{\rm d}X\\ &\leq &C, \end{eqnarray*} $

在最后一个不等式中我们运用了引理2.3.

如果$|X-Q_0|<|X-Q|$且$\alpha<0$, 那么

$ \begin{eqnarray*} I_2 &\leq& \left\{\int_\Omega\frac{V^\frac{3}{2}}{{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{p(n-2)}}}m(V, X)^{\alpha-1}{\rm d}X\right\}^{\frac{1}{p}}\\ &&\left\{\int_\Omega\frac{V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^{q\alpha}}{{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^k}}m(V, X)^{\alpha-1}{\rm d}X\right\}^{\frac{1}{q}}, \end{eqnarray*} $

此处$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.如果选择$1<p<(n-\frac{3}{2})/(n-2)$, $1<q<(n-\frac{3}{2})/{(-\alpha)}$, 那么$-1/2<\alpha<0$.因此由引理2.3可得

$ I_2=\int_\Omega\frac{V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^\alpha}{{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{n-2}}}m(V, X)^{\alpha-1}{\rm d}X\leq C. $

同样的方法可以用在$|X-Q_0|>|X-Q|$且$-1/2<\alpha<0$的情况.由此可以推断, 当$-1/2<\alpha<1$时, 有

$ I_0=\int_\Omega|u|^2V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X\leq C\int_{\partial\Omega}|g(Q)|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma. $

证毕.

根据以上结论, 我们给出定理1.2的证明.

证 由定理3.1和定理3.2我们得到$u(X)={\cal S}((\frac{1}{2}I+K)^{-1}g)(X)$是Neumann问题(1.4)的唯一解且有一致性估计

$ \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma+\int_\Omega|u|^2V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X \leq C\int_{\partial\Omega}|g|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma. $

证毕.

注3.3 我们注意到, 如果$V\in{\Bbb B}_{\infty}$, 则由条件(1.1)可得

$ V(X)\leq\frac{C}{|B(x, r)|}\int_{B(x, r)}V(Y){\rm d}Y \leq \frac{C}{r^2}\frac{1}{r^{n-2}}\int_{B(x, r)}V(Y){\rm d}Y $

对于$r>0$成立.我们选择$r=1/m(X, V)$, 然后由定义2.1

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.28} V(X)\leq Cm(X, V)^2. \end{eqnarray} $

(3.28)

推论3.4 设$\Omega$是${\Bbb R}^n(n\geq3)$上有连通边界的有界利普希兹区域.假设$V\in{\Bbb B}_{\infty}$, 给定任意的$g \in L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)$ ($-2<\alpha<1$), 那么Neumann问题(1.4)有唯一解, 且$\|(\nabla u)^{*}\|_{L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)}\leq C\|g\|_{L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)}$, 在$\partial\Omega$上, $\nabla u$几乎处处有非正切极限.此外, 解$u$满足一致性估计

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.29} \int_\Omega|u|^2m(X, V)^3|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X \leq C\int_{\partial\Omega}|g|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma, \end{eqnarray} $

(3.29)

此处$C$仅与$n$, $\alpha$和$M$有关, $M$是$\Omega$的利普希兹特征数.

证 我们仅需证明上述一致性估计(3.29)式.像定理1.2的证明一样, 令$g(Q)=\frac{\partial u}{\partial \vec{v}}(Q)$, 由格林表达公式可以记$u(X)=\int_{\partial\Omega}N(Q, X)g(Q){\rm d}\sigma$, 所以

$ \begin{eqnarray*} I_0 &=&\int_\Omega|u|^2m(V, X)^3|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X\\ &\leq&\int_\Omega\left(\int_{\partial\Omega}\frac{|N(Q, X)|}{\omega_\alpha}{\rm d}\sigma\right)\\ &&\left(\int_{\partial\Omega}|N(Q, X)||g(Q)|^2\omega_\alpha m(V, X)^3|X-Q_0|^\alpha {\rm d}\sigma\right){\rm d}X \\&\leq&\int_\Omega\left(\int_{\partial\Omega}\frac{{\rm d}\sigma}{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{n-2}|Q-Q_0|^\alpha}\right) \\&&\left(\int_{\partial\Omega}\big(|N(Q, X)||g(Q)|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma\big) m(V, X)^3|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X\right). \end{eqnarray*} $

令

$ I_1=\int_{\partial\Omega}\frac{{\rm d}\sigma}{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{n-2}|Q-Q_0|^\alpha}. $

假设$\alpha<1$, 使用证明定理3.2的方法可得

$ I_1\leq C\left(\frac{1}{m(V, X)}\right)^{1-\alpha}, $

所以

$ I_0\leq C\int_{\partial\Omega}\frac{|g(Q)|^2\omega_\alpha}{m(V, X)^{1-\alpha}} \left(\int_\Omega\frac{m(V, X)^3|X-Q_0|^\alpha}{{{\{1+m(V, Q)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{n-2}}}{\rm d}X\right){\rm d}\sigma. $

固定$Q\in\partial\Omega$, 令$r_1=1/m(Q, V)$.设$\alpha>-2$, 由定理3.2的证明和引理2.6, 则有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{|X-Q|\sim2^jr_1}\frac{m(V, X)^{2+\alpha}|X-Q_0|^\alpha}{{{\{1+m(V, Q)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{n-2}}}{\rm d}X\\ &\leq& C (1+2^j)^{k_0(2+\alpha)}\frac{1}{(r_1)^{2+\alpha}}\frac{1}{(1+2^j)^k}\frac{1}{r_1^{n-2-\alpha}}(2^jr_1)^{n}\\ &\leq& \frac{C(2^j)^{2+\alpha}}{(1+2^j)^{k-k_0(2+\alpha)}}\\ &\leq& \frac{C}{(1+2^j)^2}. \end{eqnarray*} $

选取$k=2+(k_0+1)(2+\alpha)$.因此

$ \int_{\Omega}\frac{m(V, X)^{2+\alpha}|X-Q_0|^\alpha}{{{\{1+m(V, X)|X-Q|}\}^k|X-Q|^{n-2}}} {\rm d}X \leq C\sum_{j=-\infty}^{j=+\infty}\frac{C}{(1+2^j)^2} \leq C, $

从而

$ I_0=\int_\Omega|u|^2m(V, X)^3|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X\leq C \int_{\partial\Omega}|g(Q)|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma. $

证毕.

由定理3.1和上述推论, 可得下面推论.

推论3.5 设$\Omega$是${\Bbb R}^n\ (n\geq3)$上有连通边界的有界利普希兹区域.假设$V\in{\Bbb B}_{\infty}$, 给定任意的$g \in L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)$($-2<\alpha<1$), 那么Neumann问题(1.4)有唯一解, 且有下面的一致性估计

$ \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma+\int_\Omega|u|^2m(X, V)^3|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X \leq C\int_{\partial\Omega}|g|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma, $

其中$C$与$n$, $\alpha$和$M$有关, $M$是$\Omega$的利普希兹特征数.

我们注意到由(3.28)式, 推论3.5中的一致性估计可以由下述替代

$ \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma+\int_\Omega|u|^2V^\frac{3}{2}|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X \leq C\int_{\partial\Omega}|g|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma. $

上一部分我们已经证明了当$p=2$时, 定理1.1成立.本部分我们估计带有加权原子的解.为此我们将依据下述定义中的原子, 运用加权Hardy空间的Garcia-Cuerva原子分解理论^[19].

定义4.1 令$0<r\leq1\leq q\leq\infty$且$r\neq q$, 使得$\omega\in A_q$, 并带有临界值$q_\omega$.设$[\cdot]$为取整函数.令$s\in{\cal Z}$满足$s\geq [n(q_\omega/r-1)]$, 实值函数$a(x)$称为关于$\omega$的以$x_0$为中心的$(r, q, s)$原子, 如果

(1)  $a\in L_\omega^q({\Bbb R}^n)$且支持以$x_0$为中心的方体$I$;

(2)  $\|a\|_{L_\omega^q}\leq omega(I)^{\frac{1}{q}-\frac{1}{r}}$;

(3)  $\int_{{\Bbb R}^n}a(x)x^\beta {\rm d}x=0$, 对于每个多指标$\beta$ ($|\beta|\leq s$).

定理4.1^[19] 令$\omega\in A_q$, $0<r\leq1\leq q\leq\infty$且$r\neq q$.对每个$f\in H_\omega^p({{\Bbb R}^n})$, 存在一个原子$\omega-(r, q, s)$($s\geq [n(q_\omega/r-1)]$)的序列$\{a_j\}$和一个满足$\Sigma|\lambda_j|^p\leq C\|f\|_{H_\omega^p}^p$实数的序列$\lambda_j$, 使得$f=\Sigma\lambda_ja_j$在分布意义和$H_\omega^p$范数意义下都成立.

为证明以上定理, 我们需要下述引理.

引理4.1 令$u$是$\Omega$上薛定谔方程$-\Delta u+Vu=0$的一个解, 并满足在$\partial\Omega$上, 有$(\nabla u)^* \in L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)$和$ \frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=a$, 其中$a$是一个加权原子.则对于$-1<\alpha<\delta$, 有

$ \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|\omega_\alpha {\rm d}\sigma+\int_\Omega|u|V|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X \leq C, $

其中$C$与$n$, $\alpha$和$M$有关, $M$是$\Omega$的利普希兹特征数.

证 注意到若$\omega_\alpha=|Q-Q_0|^\alpha$, 则当$q>1$时, $\omega_\alpha\in A_q$当且仅当$-(n-1)<\alpha<(n-1)(q-1)$.

假设supp$a\subset\{Q\in \partial\Omega:|Q-P|\leq r_0\} $, $\|a\|_{L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)}\leq \omega(I)^{-\frac{1}{2}}\leq Cr_0^{-{\frac{n-1+\alpha}{2}}}$.因为$\int_{\partial\Omega}a(Q){\rm d}\sigma=0$, 记

$ u(X)=\int_{\partial\Omega}N(X, Q)a(Q){\rm d}\sigma=\int_{\partial\Omega}[N(X, Q)-N(X, P)]a(Q){\rm d}\sigma. $

令$X\in\Omega$, $|X-Q_0|\geq 10r_0$, 由引理2.7可得

$ \begin{eqnarray}\label{eq4.1} u(X)\leq\frac{Cr_0^{\delta+(n-1-\alpha)/2}}{|X-P|^{n-2+\delta}}\|a\|_{L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)}\leq\frac{Cr_0^{\delta-\alpha}}{|X-P|^{n-2+\delta}}. \end{eqnarray} $

(4.1)

为了估计$\nabla u$的加权非正切极大函数, 我们注意到若$\alpha>-(n-1)$, 则由柯西不等式和$L^2$估计^[17], 有

$ \begin{eqnarray*} I&=&\int_{|Q-P|\leq 10r_0}|(\nabla u)^{*}|\omega_\alpha {\rm d}\sigma \\ &\leq &Cr_0^{-{\frac{n-1+\alpha}{2}}}\left(\int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma\right)^\frac{1}{2} \\ &\leq &Cr_0^{-{\frac{n-1+\alpha}{2}}}\left(\int_{\partial\Omega}|a|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma\right)^\frac{1}{2} \\ &\leq &C. \end{eqnarray*} $

下面我们估计

$ I(r)=\int_{r/2<|Q-P|\leq r}|(\nabla u)^{*}|\omega_\alpha {\rm d}\sigma \ \ \ \mbox{对} \ \ r\geq 8r_0. $

对于$t\in[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$, 令$\Omega_{t}=\Omega-B(P, tr)$.对于$\alpha>-(n-1)/2$, 运用柯西不等式和$\Omega_{t}$上的$L^2$估计^[17], 有

$ \begin{eqnarray*} I(r) &\leq & \bigg(\int_{{r/2<|Q-P|\leq r}}\omega_\alpha^2 {\rm d}\sigma \bigg)^\frac{1}{2}\left(\int_{\partial\Omega_{t}}|(\nabla u)^{*}|^2 {\rm d}\sigma\right)^\frac{1}{2} \\ &\leq &Cr^{\frac{n-1}{2}+\alpha}\left(\int_{\Omega_{t}}|\frac{\partial u}{\partial \vec{v}}|^2 {\rm d}\sigma\right)^\frac{1}{2}. \end{eqnarray*} $

对以上不等式在$t\in[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$上两边积分, 由Caccipoli不等式和(4.1)式, 得

$ \begin{eqnarray*} I(r) &\leq &Cr^{\frac{n-2}{2}+\alpha}\bigg(\int_{r/4<|X-P|\leq r/2}|\nabla u|^2 {\rm d}X\bigg)^\frac{1}{2} \\ &\leq&Cr^{\frac{n-4}{2}+\alpha}\bigg(\int_{r/8<|X-P|\leq r}|u|^2 {\rm d}X\bigg)^\frac{1}{2}\\ &\leq&Cr^{\frac{n-4}{2}+\alpha}\frac{r_0^{\delta-\alpha}}{r^{n-2+\delta}}r^{\frac{n}{2}}\\ &\leq&C\left(\frac{r_0}{r}\right)^{\delta-\alpha}. \end{eqnarray*} $

若选取$\alpha<\delta$, 则$\delta-\alpha>0$, 有

$ \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|\omega_\alpha {\rm d}\sigma\leq I+\sum_{j=3}^{+\infty}I(2^jr_1)\leq C. $

为了证明剩余估计, 记

$ u(X)=\int_{\partial\Omega}N(X, Q)a(Q){\rm d}\sigma. $

$ \begin{eqnarray}\label{eq4.2} &&\int_\Omega|u|V|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X {\rm d}X\\ &\leq&\int_\Omega\left(\int_{\partial\Omega}|N(Q, X)||a(Q)|{\rm d}\sigma\right)V(X)|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X\\ &\leq&\int_\Omega\left(\int_{\partial\Omega}|a(Q)|{\rm d}\sigma\right)|N(Q, X)|V(X)|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X.%\tag{4.2} \end{eqnarray} $

(4.2)

由柯西不等式以及$\|a\|_{L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)}\leq Cr_0^{-(n-1+\alpha)/2}$, 用证明定理3.2的方法和引理2.3(这里选取$\alpha>-1$来满足引理中的条件), 可得

$ \int_\Omega|u|V|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X \leq C. $

证毕.

为了证明唯一性, 我们需要下述引理.

引理4.2 假设$1\leq p'<p<n-1$且$\max(-(n-1)/2, -(n-1)(p-p')/p)<\alpha<(n-1)(p-p')/p'$.令$u$是$\Omega$上薛定谔方程$-\Delta u+Vu=0$的一个解, 使得在$\partial\Omega$上, $\frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=0$和$(\nabla u)^* \in L^p(\partial\Omega, \omega_\alpha)$, 则在$\Omega$上, $u\equiv0$.

证 固定$Q\in\partial\Omega$和$X=(X', X^n)\in\Gamma(Q)$.则对于$s>X^n$, $(X', s)\in\Gamma(Q)$且$|P-Q|\leq C(s-X^n)$, 有$(X', s)\in\Gamma(P)$, 这里C是一个仅与利普希兹特征数有关的常数, 因此

$ |\nabla u(X', s)|\leq \frac{C}{|s-X^n|}\int_{B(Q, C(s-X^n))}(\nabla u)^{*}(P){\rm d}P. $

现在我们可以得到

$ |u(X', X^n)|\leq \int_{X^n}^{\infty}\frac{\partial}{\partial s}u(X', s){\rm d}s \leq \int_{\partial\Omega}\frac{(\nabla u)^{*}(P)}{|P-Q|^{n-2}}{\rm d}P . $

假设$\max(-(n-1)/2, -(n-1)(p-p')/p)<\alpha<(n-1)(p-p')/p'$, 由柯西不等式和分部积分原理^[18], 我们可以得到以下不等式

$ \begin{eqnarray*} \|u^{*}\|_{L^{q'/2}(\partial\Omega, \omega_\alpha)}\leq C\|(\nabla u)^{*}\|_{L^{p'}(\partial\Omega)}\leq C\|(\nabla u)^{*}\|_{L^{p}(\partial\Omega, \omega_\alpha)}, \end{eqnarray*} $

此处$q'=(n-1)p'/(n-1-p')$, $2<q'<\infty$且$p'<p$.该引理剩下的证明可以由文献[16]或^[17]中方法得到.

下面我们给出定理1.1的证明.

证 假设$\max(-1, -(n-1)(p-p')/p)<\alpha<\min((n-1)(p-p')/p', \delta)$.定理1.2解决了$p=2$的情况.对于$1<p<2$, 引理4.2证明了唯一性, 同时通过插值法, 由$L^2$情形和带有原子的解的估计可以得到存在性和一致估计.

最后, 我们给出

推论4.3 假设$V\in{\Bbb B}_{\infty}$, 令$u$是$\Omega$上薛定谔方程$-\Delta u+Vu=0$的一个解, 使得$(\nabla u)^* \in L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)$和$ \frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=a$在$\partial\Omega$上, 这里$a$是一个加权原子.然后设$-2<\alpha<1$, 有

$ \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|\omega_\alpha {\rm d}\sigma+\int_\Omega|u|m(V, X)^2|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X \leq C, $

其中$C$仅与$n$, $\alpha$和$M$有关, $M$是$\Omega$的利普希兹特征数.

通过运用证明推论3.4的方法可以证明本推论.由引理4.2和上述推论, 有

推论4.4 令${\Bbb R}^n(n\geq3)$是$\Omega$上有连通边界的有界的利普希兹区域, 那么存在$\varepsilon=\varepsilon(\Omega)>0$, 使得给定的$g\in L^p(\partial\Omega, \omega_\alpha)$, 其中$\max(-2, -(n-1)/2, -(n-1)(p-p')/p)<\alpha<\min ((n-1)(p-p')/p', 1)$, Neumann问题(1.3)有唯一解.此外, 解$u$满足

$ \begin{eqnarray*} \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^p\omega_\alpha {\rm d}\sigma+\int_\Omega|u|^pm(V, X)^{p+1}|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X\leq C\int_{\partial\Omega}|g|^p\omega_\alpha {\rm d}\sigma, \end{eqnarray*} $

其中$C$与$n$, $\alpha$和$M$有关, $M$是$\Omega$上的利普希兹特征数.由(3.28)式, 推论4.4中的一致性估计可由如下替代

$ \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^p\omega_\alpha {\rm d}\sigma+\int_\Omega|u|^pV^\frac{1+p}{2}|X-Q_0|^\alpha {\rm d}X \leq C\int_{\partial\Omega}|g|^p\omega_\alpha {\rm d}\sigma. $

本部分我们证明定理1.3.为此我们需要回顾一些概念.令$\Lambda(Q, r)=Z(Q, r)\cap\partial\Omega$和$r<{\rm diam}(\partial\Omega)$, 这里

$ \begin{eqnarray*} Z(Q, r)=\{(X', x_n):|X' -Q' |<r, |x_n-Q_n|<(1+2m)r\} \end{eqnarray*} $

是一个坐标柱, 且$m$是一个边界$\partial\Omega$上的利普希兹特征数.

如前所述, $a$是一个加权原子, $H^p(\partial\Omega, \omega_\alpha)$, 其中$\frac{n-1+\alpha}{n}<p\leq 1$, 若对某个$Q_0$和$r>0$, supp$a\subset\Lambda(Q_0, r) $, $\|a\|_{L^2((Q_0, r))}\leq Cr^{-(n-1+\alpha)(1/p-1/2)}$, 且$\int_{\Lambda(Q_0, r)}a(Q){\rm d}\sigma=0$.定理1.3可以看作是下述引理的一个推论.

引理5.1 假设$-(n-1)(2-p)/2<\alpha<\delta$.给定一个$\partial\Omega$上的$H^p$的原子$a$和$1-\epsilon<p\leq1$($\epsilon>0$).令$V\in{\Bbb B}_n$且令$u$是$\Omega$上薛定谔方程$-\Delta u+Vu=0$的一个解, 使得在$\partial\Omega$上, 几乎处处有$(\nabla u)^{*}\in L^2(\partial\Omega, \omega_\alpha)$, 且从非正切收敛意义上来说$\frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=a$.那么在$H^p$上$\frac{\partial u}{\partial \vec{v}}=a$成立.此外,

$ \begin{eqnarray*} \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^p\omega_\alpha d \sigma \leq C. \end{eqnarray*} $

证 注意到对于$\omega_\alpha=|Q-Q_0|^\alpha$, 可知$\omega_\alpha\in A_q$当且仅当$-(n-1)<\alpha<(n-1)(q-1)$, 此处$q>1$.假设对某个$P$和$r_0>0$, supp $a\subset\Lambda(P, r_0)$, $\|a\|_{L^2((P, r), \omega_\alpha)}\leq Cr^{-(n-1+\alpha)(1/p-1/2)}$和$\int_{\Lambda(P, r)}a(Q){\rm d}\sigma=0$, 记

$ \begin{eqnarray*} u(X)=\int_{\partial\Omega}N(X, Q)a(Q){\rm d}\sigma=\int_{\partial\Omega}[N(X, Q)-N(X, P)]a(Q){\rm d}\sigma. \end{eqnarray*} $

令$r_1=10r_0$, 因此, 由引理2.7, 对$X\in\Omega$, $|X-P|\geq r_1$, 有

$ \begin{eqnarray} u(X)\leq\frac{Cr_0^{\delta+(n-1-\alpha)/2}}{|X-P|^{n-2+\delta}}\|a\|_{L^2((P, r), \omega_\alpha)}\leq\frac{Cr_0^{\delta+(n-1)(1-1/p)-\alpha/p}}{|X-P|^{n-2+\delta}}. \end{eqnarray} $

(5.1)

我们现在估计

$ \begin{eqnarray*} I_j=\int_{2^jr_0\leq|Q-Q_0|\leq 2^{j+1}r_0}|(\nabla u)^{*}|^p\omega_\alpha {\rm d}\sigma, \ \ \ \ \mbox{对} \ j\geq3. \end{eqnarray*} $

对于$t\in[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$, 令$\Omega_{j, t}=\Omega-\Lambda(Q_0, t2^jr_0)$.运用柯西不等式和$\Omega_{j, t}$上的$L^2$估计^[17], 对$\alpha>-(n-1)(2-p)/2$, 我们可以得到

$ \begin{eqnarray*} I_j &\leq &\left(\int_{\partial\Omega_{j, t}}\omega_\alpha^\frac{2}{2-p} {\rm d}\sigma\right)^\frac{2-p}{2}\left(\int_{\partial\Omega_{j, t}}|(\nabla u)^{*}|^2 {\rm d}\sigma\right)^\frac{p}{2} \\ &\leq &C(2^jr_0)^{(n-1)(2-p)/2+\alpha}\left(\int_{\partial\Omega_{j, t}}|(\nabla u)^{*}|^2 {\rm d}\sigma\right)^\frac{p}{2} \\ &\leq &C(2^jr_0)^{(n-1)(2-p)/2+\alpha}\left(\int_{\partial\Omega_{j, t}} \bigg|\frac{\partial u}{\partial \vec{v}}\bigg|^2 {\rm d}\sigma\right)^\frac{p}{2}. \end{eqnarray*} $

以上不等式两边对$t$积分, 由Caccipoli不等式, 得

$ \begin{eqnarray*} I_j &\leq &C(2^jr_0)^{n-1-np/2+\alpha}\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}\left(\int_{2^{j-2}r_0\leq|X-P|\leq 2^{j}r_0}|\nabla u|^2 {\rm d}X\right)^\frac{p}{2}{\rm d}t \\ &\leq &C(2^jr_0)^{n-1-np/2-p+\alpha}\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}\left(\int_{2^{j-2}r_0\leq|X-P|\leq 2^{j}r_0}|u|^2 {\rm d}X\right)^\frac{p}{2}{\rm d}t \\ &\leq &C(2^jr_0)^{n-1-np/2-p+\alpha}\frac{r_0^{\delta p+(n-1)(p-1)-\alpha}}{(2^jr_0)^{(n-2+\delta)p}}(2^jr_0)^{np/2}\\ &\leq&C(\frac{1}{2^j})^{\delta p-(n-1)(1-p)-\alpha}. \end{eqnarray*} $

如果$\alpha>-(n-1)$, 由$L^2$估计可得

$ \begin{eqnarray*} I_1&=&\int_{\Lambda(Q, 8r_1)}|(\nabla u)^{*}|^p\omega_\alpha {\rm d}\sigma \\ &\leq &\left(\int_{\Lambda(Q, 8r_1)}\omega_\alpha {\rm d}\sigma \right)^{1-\frac{p}{2}}\left(\int_{\Lambda(Q, 8r_1)}|(\nabla u)^{*}|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma\right)^\frac{p}{2} \\ &\leq &Cr_0^{\frac{(n-1+\alpha)(2-p)}{2}}\left(\int_{\partial\Omega}|a|^2\omega_\alpha {\rm d}\sigma\right)^\frac{p}{2} \\ &\leq &C. \end{eqnarray*} $

当取$p>1-\frac{\delta-\alpha}{\delta+n-1}$时, 我们有$\delta p-(n-1)(1-p)-\alpha>0$.由此得

$ \int_{\partial\Omega}|(\nabla u)^{*}|^p\omega_\alpha {\rm d}\sigma\leq C, $

其中, 常数$C$与原子$a$的选取无关.