对于平面上周长固定的域, 经典等周问题是问什么域所围成的面积达到最大. 以下的等周不等式给出了经典等周问题的解:

(1.1) $ \begin{eqnarray} L^2-4\pi A \ge 0, \end{eqnarray} $

其中$ A $是平面域$ K $的面积, $ L $是$ K $的周长, 且等号成立当且仅当$ K $为圆盘.

经典等周不等式(1.1) 的证明可追溯到19世纪.关于更多等周不等式的推广及对其它数学分支的应用可参见文献[1-9, 11, 15-17, 20-32, 38-55].

设$ K $为欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的凸体(含非空内点的紧凸集), $ {\cal K}^n $表示$ {{\Bbb R}} ^n $中所有凸体构成的集合. 若凸体$ K $的边界$ \partial K $具有正高斯曲率, 则称$ K $为卵形域.设$ B_n = \{x\in {{\Bbb R}} ^n: \|x\| \le 1\} $表示欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的单位球, 其边界为$ {S}^{n-1} = \{x\in {{\Bbb R}} ^n: \|x\| = 1\} $. 单位球$ B_n $的体积与表面积分别为

(1.2) $ \begin{eqnarray} V(B_n) = \omega_n = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(1+\frac{n}{2}\right)}\quad\mbox{和}\quadS(B_n) = n\omega_n = \frac{2\pi^{\frac{n}{2}}} {\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}, \end{eqnarray} $

其中$ \Gamma(\cdot) $为Gamma函数.

于1939年, Schmidt^[44] 证明了以下高维情形的等周不等式:设$ K $是欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中体积为$ V(K) $, 表面积为$ S(K) $的域. 则

(1.3) $ \begin{eqnarray} S(K)^n-n^n\omega_nV(K)^{n-1}\geq 0, \end{eqnarray} $

等号成立当且仅当$ K $为球.

几何量

(1.4) $ \begin{equation} \Delta_n(K) = S(K)^n-n^n\omega_nV(K)^{n-1} \end{equation} $

被称为关于$ K $的等周亏格, 该几何量刻画了域$ K $与半径为$ \big(\frac{S(K)}{n\omega_n}\big)^{\frac{1}{n-1}} $的球的差别程度.

考虑等周不等式的如下加强形式

(1.5) $ \begin{equation} S(K)^n-n^n\omega_nV(K)^{n-1}\ge B_K, \end{equation} $

其中$ B_K $为非负几何不变量, $ B_K $为零当且仅当$ K $为球, 该不等式被称为Bonnesen -型不等式.于1920年, Bonnesen^[4] 证明了一系列如下形式的不等式

(1.6) $ \begin{equation} % L^2-4\pi A \ge B_K, \end{equation} $

其中$ K $为欧氏平面$ {{\Bbb R}} ^2 $上的域.

在欧氏平面$ {{\Bbb R}} ^2 $上, 近来有大量的平面几何不变量$ B_K $被发现, 但是对于高维情形$ (n\ge3) $的Bonnesen -型不等式(1.5) 仅有少部分被发现. 数学家们仍致力于寻找更多的未知的几何不变量$ B_K $, 参见文献[1-8, 10-14, 19-20, 32-34, 39-44, 55-56].

设$ {\cal F}^n $是$ {{\Bbb R}} ^n $中具有正连续高斯曲率边界的凸体所构成的集合, 即$ {{\Bbb R}} ^n $中卵形域所构成的集合.设$ K\in{\cal F}^n $, 则关于$ K $的微分仿射表面积^[25] 定义为

(1.7) $ \begin{eqnarray} \Omega(K) = \int_{S^{n-1}}g_K(u)^{\frac{-n}{n+1}}{\rm d}u, \end{eqnarray} $

其中$ g_K(u) $是边界$ \partial K $上外法向量为$ u $的点处的高斯曲率.

微分仿射表面积$ \Omega(K) $是保体积仿射变换下的几何不变量, 它是仿射微分几何中十分重要的概念.在仿射微分几何中, 以下的微分仿射等周不等式^[37]是一个十分经典的结果:设$ K\in{\cal F}^n $, 则

(1.8) $ \begin{equation} \Omega(K)^{n+1}\le n^{n+1}\omega_n^2V(K)^{n-1}, \end{equation} $

等号成立当且仅当$ K $为椭球.

微分仿射等周不等式(1.8) 描述了在所有固定体积的凸体$ K\in{\cal F}^n $中, 椭球具有最大的微分仿射表面积. 在恰当的可微性的假设下, 关于$ 2, 3 $维微分仿射等周不等式的证明首先由Blaschke^[3]得到, 随后, Santaló ^[40]推广其到$ n $维欧氏空间. 仿射等周不等式(1.8) 式的完整证明, 包含等号成立条件是由Petty^[37]给出. 关于混合仿射表面积, $ L_p $仿射表面积等更多关于微分仿射表面积的研究与推广可参见文献[3, 12, 18, 21-30, 35-37, 46-47, 49, 57].

设$ K\in{\cal F}^n $. 由高斯曲率$ g_K(\cdot) $的正$ n+1 $阶齐次性, 即

(1.9) $ \begin{equation} g_K(\lambda u) = \lambda^{n+1}g_K(u), \quad \lambda > 0. \end{equation} $

我们可定义如下星体$ K^{\star} $:

(1.10) $ \begin{equation} \rho_{K^{\star}}(u) = g_K(u)^{\frac{-1}{n+1}}. \end{equation} $

从而

$ nV(K^{\star}) = \Omega(K). $

由于仿射等周不等式(1.8) 可被改写为

(1.11) $ \begin{equation} V(K^{\star})\le V(E^\star), \end{equation} $

其中$ E $是体积为$ V(E) = V(K) $的椭球.

因此, 仿射等周不等式(1.11) 说明了在所有给定体积的凸体$ K\in{\cal F}^n $中, 椭球的星体$ E^\star $具有最大的体积. 受此观点的启发, 自然有以下等周问题:设$ K\in{\cal F}^n $, $ B $是表面积为$ S(B) = S(K) $的球. 是否存在一类与$ K $高斯曲率有关的体$ \widetilde{K} $使得

(1.12) $ \begin{eqnarray} V(\widetilde{K})\ge V(\widetilde{B})\quad \mbox{或} \quad V(\widetilde{K})\le V(\widetilde{B}), \end{eqnarray} $

等号成立当且仅当$ K $为球?

在本文中, 我们将介绍一类与原凸体$ K $高斯曲率相关的星体$ {\cal G}K $ (参见定义 ), 并得到关于$ {\cal G}K $的等周不等式

(1.13) $ \begin{eqnarray} V({\cal G}K)\ge V({\cal G}B), \end{eqnarray} $

其中$ B $是体积为$ S(B) = S(K) $的球.基于所得的等周不等式, 在第5节中, 我们将建立关于凸体$ K $的逆Bonnesen -型不等式.

本章节将介绍欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中凸体理论方面的概念与性质. 更多凸体方面的相关知识可参见文献[10, 45].

若对于任意两点$ x, \ y\in K $, 两点的连线$ [x, y] $仍然包含在$ K $中, 即

$ \lambda x+(1-\lambda)y\in K, \quad 0\le \lambda \le 1, $

则称$ K $是凸的.含非空内点的凸集称为凸体. $ {\cal K}^n $表示$ {{\Bbb R}} ^n $中所有凸体所构成的集合, $ {\cal K}_0^n $表示$ {{\Bbb R}} ^n $中包含原点的凸体所构成的集合.关于凸体$ K\in {\cal K}^n $的支持函数$ h_K: {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} $定义为

$ h_K(x) = \max\{x\cdot y: y\in K\}. $

支持函数是具有$ 1 $阶齐次性的凸函数. 特别地, 若$ K\in {\cal K}_0^n $, $ x $取为单位向量$ u\in S^{n-1} $, 支持函数$ h_K(u) $即是支撑超平面到原点的距离.

设$ K, L\in {\cal K}^n $, $ t\in{{\Bbb R}} $, 则两凸体$ K $与$ L $的Minkowski加法定义为

$ K+L = \{x+y: x\in K, y\in L\}, $

$ K $的数乘定义为

$ t K = \{t x: x\in K\}. $

若存在$ t>0 $与$ x\in {{\Bbb R}} ^n $使得$ K = x+tL $, 则称$ K $与$ L $位似.

$ K $的体积为

(2.1) $ \begin{eqnarray} V(K) = \frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}h_K(u){\rm d}S(K, u), \end{eqnarray} $

其中$ S(K, u) $为$ K $的表面积测度. 关于$ K_1, \cdots, K_n $的混合体积为

(2.2) $ \begin{eqnarray} V(K_1, \cdots, K_n) = \frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}h_{K_n}(u){\rm d}S(K_1, \cdots, K_{n-1};u), \end{eqnarray} $

其中$ S(K_1, \cdots, K_{n-1};u) $是一个正Borel测度, 称为是$ K_1, \cdots, K_{n-1} $的混合表面积测度.

对于凸体$ K $与$ L $,

$ V_i(K, L) = V(\underbrace{K, \cdots, K}_{n-i}, \underbrace{L, \cdots, L}_i) $

表示$ K $与$ L $的混合体积, 其中$ K $出现$ n-i $次, $ L $出现$ i $次. 从而有以下Minkowski不等式

(2.3) $ \begin{equation} V_1(K, L)^n\ge V(K)^{n-1}V(L), \end{equation} $

等号成立当且仅当$ K $和$ L $位似.

对于欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的集合$ K $, 若所有通过$ x\in K $的直线与$ K $相交成一个线段, 则称$ K $是关于点$ x\in K $的星集. 设$ K $是关于原点的紧星集, 其径向函数定义为

$ \rho_K(x) = \max\{\lambda\geq0: \lambda\cdot x\in K\}. $

径向函数具有$ -1 $阶齐次性, 即

(2.4) $ \begin{eqnarray} \rho_K(tx) = t^{-1}\rho_K(x), \quad t>0. \end{eqnarray} $

设$ GL(n) $为$ {{\Bbb R}} ^n $中所有可逆线性变换所构成的集合, 对于$ \phi\in GL(n) $,

(2.5) $ \begin{eqnarray} \rho_{\phi K}(x) = \rho_K(\phi^{-1}x), \end{eqnarray} $

其中$ \phi^{-1} $表示$ \phi $的逆. 取$ u\in S^{n-1} $, 径向函数$ \rho_K(u) $是边界点$ \rho_K(u)u $到原点的距离.若径向函数关于$ u $是连续的, 则称$ K $为星体.本文采用$ {\cal S}_0^n $表示欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中关于原点的星体所构成的集合.若$ K, \ L \in {\cal S}_0^n $, 则有

(2.6) $ \begin{equation} \rho_K\le \rho_L \ \mbox{当且仅当} \ K \subset L. \end{equation} $

$ K\in {\cal S}_0^n $的体积是

(2.7) $ \begin{equation} V(K) = \frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_K(u)^n{\rm d}u. \end{equation} $

设$ K $为欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的子集. 其极体$ K^\ast $定义为

(2.8) $ \begin{equation} K^\ast = \{x\in{{\Bbb R}} ^n: x\cdot y\le 1, \; y\in K\}. \end{equation} $

根据极体的定义, 对于$ t>0 $, 有

(2.9) $ \begin{equation} (tK)^\ast = \frac{1}{t}K^\ast. \end{equation} $

若$ K $是包含原点在内点的凸体, 则

(2.10) $ \begin{equation} \rho_{K^\ast}(u) = \frac{1}{h_K(u)}. \end{equation} $

设$ SL(n) = \{\phi: \phi\in GL(n)\ \mbox{且}\ \det \phi = \pm 1\} $, 若$ \phi\in SL(n) $, 有

(2.11) $ \begin{equation} (\phi K)^\ast = \phi^{-t}K^\ast. \end{equation} $

若$ K\in {\cal F}^n $, 其中$ {\cal F}^n $表示具有正连续高斯曲率边界的凸体所构成的集合.设$ \nu:\partial K\rightarrow S^{n-1} $为高斯映射, 记$ u = \nu(x) $.则边界$ \partial K $上点$ x $处的面积微元与边界$ S^{n-1} $上$ \nu(x) $的面积微元有以下关系

(2.12) $ \begin{equation} g_K(u){\rm d}S(x) = {\rm d}u, \end{equation} $

其中$ g_K(u) $是$ \partial K $上点$ x $的高斯曲率.

设$ \phi\in SL(n) $, 高斯曲率$ g_K(u) $有如下结果^[26]:

(2.13) $ \begin{equation} g_{\phi K}(u) = g_{K}(\phi^t u), \end{equation} $

其中$ \phi^t $表示$ \phi $的转置.

设$ K $是欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中具有$ C^2 $边界$ \partial K $的凸体. 对于$ x\in \partial K $, 设$ T_x\partial K $是点$ x $处的切空间.取$ x $处的正交标架$ \{e_1, \cdots, e_n\} $使得$ \{e_1, \cdots, e_{n-1}\} $是切空间$ T_x\partial K $的基, $ e_n $正交于$ T_x\partial K $. 从而关于超曲面的基本方程^[52] 是

(2.14) $ \begin{eqnarray} {\rm d}x& = &\sum\limits_{i = 1}^{n-1}\omega_ie_i, \end{eqnarray} $

(2.15) $ \begin{eqnarray} {\rm d}e_i& = &\sum\limits_{j = 1}^{n-1}\omega_{ij}e_j+\omega_{in}e_n, \quad \omega_{ij}+\omega_{ji} = 0, \end{eqnarray} $

(2.16) $ \begin{eqnarray} {\rm d}e_n& = &-\sum\limits_{i = 1}^{n-1}\omega_{in}e_i, \end{eqnarray} $

其中

$ \omega_{in} = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}b_{ij}\omega_j, \quad b_{ij} = b_{ji}. $

矩阵$ (b_{ij}) $的特征值即是超曲面$ \partial K $的主曲率$ \kappa_1, \cdots, \kappa_{n-1} $.

超曲面$ \partial K $的支持函数定义为

$ h_{\partial K}(x) = h_K(\nu(x)) = x\cdot \nu(x), \quad x\in \partial K. $

微分$ {\rm d}h $为

$ {\rm d}h_{\partial K} = \sum\limits_{i = 1}^{n-1}h_i\omega_{in}, $

其中$ h_i = x\cdot e_i $. 则

$ {\rm d}h_i = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}h_j\omega_{ij}+\omega_i-h\omega_{in}. $

设$ (c_{ij}) $为$ (b_{ij}) $的逆. 则

$ \omega_i = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}c_{ij}\omega_{jn}, $

因此

$ (c_{ij}) = (h_{ij}+h\delta_{ij}), $

其中$ (h_{ij}) $表示关于第三基本形式的Hessian矩阵, 其定义为

$ {\rm d}h_i = \sum\limits_{j = 1}^{n-1}h_j\omega_{ij}+\sum\limits_{j = 1}^{n-1}h_{ij}\omega_{jn}. $

由此, 高斯曲率满足

(2.17) $ \begin{equation} \frac{1}{g_K} = \det(h_{ij}+h\delta_{ij}). \end{equation} $

主曲率倒数的和满足

(2.18) $ \begin{equation} \frac{1}{\kappa_1}+\cdots+\frac{1}{\kappa_{n-1}} = \Delta h+(n-1)h, \end{equation} $

上式被称为是Minkowski恒等式, 其中$ \Delta $是关于第三基本形式的Laplacian算子.

设$ K\in{\cal F}^n $, $ g_K(u) $是边界上$ \partial K $外法向量为$ u $的点$ p\in \partial K $的高斯曲率.定义函数$ f: \ \partial K \rightarrow {{\Bbb R}} ^n $

$ f(p) = \left(\frac{1}{g_K(u)}\right)^\frac{1}{n-1} u, $

其中$ u $是$ \partial K $在$ p $处的外法向量.

设$ K\in{\cal F}^n $, 高斯曲率星体$ {\cal G} K $定义如下:

定义3.1  设$ K\in {\cal F}^n $.关于$ K $的高斯曲率星体是

(3.1) $ \begin{equation} {\cal G} K = \{\lambda x\in {{\Bbb R}} ^n: \, 0\le \lambda\le 1, \ x\in f(\partial K)\}, \end{equation} $

其中$ f(\partial K) $表示$ \partial K $在映射$ f $下的像.

高斯曲率星体$ {\cal G} K $与星体$ K^\star $具有以下性质:

引理3.1  设$ K\in {\cal F}^n $, $ {\cal G} K $为关于$ K $的高斯曲率星体及$ K^{\star} $表示由(1.10)式所定义的星体. 则

(1) $ {\cal G} K $的径向函数为

$ \rho_{{\cal G} K}(x) = g_K(x)^{\frac{-1}{n-1}}\rho_{B_n}(x)^{\frac{-2}{n-1}}, $

其中$ B_n $表示$ {{\Bbb R}} ^n $中的单位球. 特别地, 对于$ u\in S^{n-1} $,

$ \rho_{{\cal G} K}(u) = \left(\frac{1}{g_K(u)}\right)^\frac{1}{n-1}; $

(2) $ K $为球当且仅当$ {\cal G} K $为球$ ; $

(3) 设$ t>0 $, $ x\in {{\Bbb R}} ^n $, 则$ (x+tK)^\star = t^{\frac{n-1}{n+1}}K^{\star} $及$ {\cal G} (x+tK) = t{\cal G} K. $

证   (1) 根据$ {\cal G} K $的定义, 有

$ \rho_{{\cal G} K}(u) = \left(\frac{1}{g_K(u)}\right)^\frac{1}{n-1}. $

设$ x\in{{\Bbb R}} ^n\backslash\{0\} $, 存在$ \lambda>0 $与$ u\in S^{n-1} $使得$ x = \lambda u $.由径向函数的$ -1 $阶齐次性及(1.9) 式, 有

$ \begin{eqnarray*} \rho_{{\cal G} K}(x)& = &\rho_{{\cal G} K}(\lambda u) = \lambda^{-1}g_K(u)^{\frac{-1}{n-1}} = \lambda^{-1}g_K(u)^{\frac{-1}{n-1}}\rho_{B_n}(u)^{\frac{-2}{n-1}}\\& = &g_K(\lambda u)^{\frac{-1}{n-1}}\rho_{B_n}(\lambda u)^{\frac{-2}{n-1}} = g_K(x)^{\frac{-1}{n-1}}\rho_{B_n}(x)^{\frac{-2}{n-1}}. \end{eqnarray*} $

(2) 设$ K = tB_n $且$ t>0 $, 则$ tB_n $的高斯曲率为$ g_{tB_n}(u) = \frac{1}{t^{n-1}} $, 因此$ \rho_{{\cal G} tB_n}(u) = t $, 从而$ {\cal G} K = tB_n $. 反过来, 若$ {\cal G} K = tB_n $, 则$ \rho_{{\cal G}K}(u) = t = g_K^{\frac{-1}{n-1}}, $故$ K = tB_n $.

(3) 由曲率的平移不变性可知$ {\cal G} K $与$ K^{\star} $具有平移不变性, 即

$ {\cal G} (x+K) = {\cal G} K, \quad (x+K)^\star = K^{\star}. $

由于

(3.2) $ \begin{equation} g_{t K}(u)^{-1} = \frac{{\rm d}S(t K, u)}{{\rm d}u} = t^{n-1}g_K(u)^{-1}, \end{equation} $

从而$ (tK)^\star = t^{\frac{n-1}{n+1}}K^{\star} $及$ {\cal G} (tK) = t{\cal G} K $.

设$ GL(n) $表示一般线性变换群. 则有以下结果:

引理3.2  设$ K\in {\cal F}^n $, $ \phi\in GL(n) $, 则

(3.3) $ \begin{eqnarray} (\phi K)^\star = |\det\phi|^{\frac{2}{n+1}}\phi^{-t} (K^{\star}). \end{eqnarray} $

证   设$ \phi\in GL(n) $, 则存在$ \psi\in SL(n) $与$ t\in{{\Bbb R}} $使得$ \phi = t\psi $. 则

$ t = |\det\phi|^{\frac{1}{n}}. $

由(3.2), (2.13) 与(2.5) 式, 得

$ \begin{eqnarray*} \rho_{(\phi K)^\star}(u)& = &\rho_{(t\psi K)^\star}(u) = t^{\frac{n-1}{n+1}}g_{\psi K}(u)^{\frac{-1}{n+1}} = t^{\frac{n-1}{n+1}}g_{K}(\psi^t u)^{\frac{-1}{n+1}}\\& = &t^{\frac{n-1}{n+1}}\rho_{K^{\star}}(\psi^t u) = t^{\frac{n-1}{n+1}}\rho_{\psi^{-t} K^{\star}}(u) = t^{\frac{2n}{n+1}}\rho_{\phi^{-t} K^{\star}}(u)\\& = &|\det\phi|^{\frac{2}{n+1}}\rho_{\phi^{-t} K^{\star}}(u). \end{eqnarray*} $

因此, (3.3) 式成立.

若$ E $是$ {{\Bbb R}} ^n $中的椭球, 则$ E^\star $仍是$ {{\Bbb R}} ^n $中的椭球.

引理3.3  设$ E $为欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中中心在原点的椭球, 则

(3.4) $ \begin{equation} E^\star = \bigg(\frac{V(E)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{2}{n+1}}E^\ast. \end{equation} $

特别地, 若$ V(E) = \omega_n $, 则

(3.5) $ \begin{equation} E^\star = E^\ast. \end{equation} $

证   设$ E $为中心在原点的椭球, 则存在$ \phi\in GL(n) $使得$ E = \phi B_n $. 故

$ V(E) = |\det\phi|\omega_n. $

由(3.3) 与(2.11)式, 有

$ \begin{eqnarray*} E^\star& = &(\phi B_n)^\star = |\det\phi|^{\frac{2}{n+1}}\phi^{-t} (B_n)^\star = |\det\phi|^{\frac{2}{n+1}}\phi^{-t} (B_n)\\& = &|\det\phi|^{\frac{2}{n+1}} (\phi B_n)^\ast = \bigg(\frac{V(E)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{2}{n+1}}E^\ast. \end{eqnarray*} $

引理3.3得证.

设$ B_K $表示体积为$ V(B_K) = V(K) $的球, 则仿射等周不等式(1.8) 可改写为

(3.6) $ \begin{eqnarray} V(K^\star)\le V(B_K^\star). \end{eqnarray} $

设$ E $表示体积为$ V(E) = V(B_K) $的椭球, 则$ V(E^\ast) = V(B_K^\ast) $, 再根据引理3.3, 有

$ \begin{eqnarray*} V(B_K^\star) = \left(\frac{V(B_K)}{\omega_n}\right)^{\frac{2n}{n+1}}V(B_K^\ast) = \left(\frac{V(E)}{\omega_n}\right)^{\frac{2n}{n+1}}V(E^\ast) = V(E^\star). \end{eqnarray*} $

因此仿射等周不等式(1.8) 可被改写为:设$ K\in{\cal F}^n $, $ K^{\star} $表示径向函数为$ \rho_{K^{\star}}(u) = g_K(u)^{\frac{-1}{n+1}} $的星体, 则

(3.7) $ \begin{equation} V(K^\star)\le V(E^\star), \end{equation} $

等号成立当且仅当$ K $为椭球.

定理4.1  设$ K\in{\cal F}^n $, $ B $是表面积为$ S(B) = S(K) $的球. 则

(4.1) $ \begin{eqnarray} V({\cal G} K)\ge V({\cal G}B), \end{eqnarray} $

等号成立当且仅当$ K $为球.

证   由星体$ {\cal G} K $径向函数的定义, (2.7) 与(2.12) 式, 有

$ \begin{eqnarray*} V({\cal G} K)\nonumber & = &\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G}K}(u)^n{\rm d}u\\\nonumber& = &\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G}K}(u)\rho_{{\cal G} K}(u)^{n-1}{\rm d}u\\& = &\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G}K}(u){\rm d}S(K, u) \label{V(lambdak)}. \end{eqnarray*} $

由Hölder不等式, 有

$ \begin{eqnarray*} &&(n\omega_n)^\frac{1}{n}\bigg(\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G}K}(u){\rm d}S(K, u) \bigg)^\frac{n-1}{n}\\&& = \bigg(\int_{S^{n-1}}g_K(u){\rm d}S(K, u)\bigg)^\frac{1}{n}\bigg(\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G}K}(u){\rm d}S(K, u)\bigg)^\frac{{n-1}}{n}\\&&\geq \int_{S^{n-1}}g_K(u)^{\frac{1}{n}}\rho_{{\cal G} K}(u)^{\frac{n-1}{n}}{\rm d}S(K, u) \\&& = S(K), \end{eqnarray*} $

因此

(4.2) $ \begin{equation} n^n\omega_nV({\cal G} K)^{n-1} \geqS(K)^n. \end{equation} $

根据Hölder不等式等号成立的条件, 我们有$ \partial K $的高斯曲率为常数, 故等号成立当且仅当$ K $为球.

对于半径为$ r $的球, 其体积为$ V(rB_n) = \omega_nr^n $, 则式(4.2) 可被改写为

(4.3) $ \begin{eqnarray} V({\cal G} K)\geq V(rB_n), \quad r = \left(\frac{S(K)}{n\omega_n}\right)^{\frac{1}{n-1}}. \end{eqnarray} $

由引理3.1中的(2) 与(3), 有

$ V(r B_n) = V(r{\cal G}B_n) = V({\cal G}(rB_n)). $

$ K $与$ rB_n $表面积为

$ S(rB_n) = n\omega_nr^{n-1} = S(K), $

即$ K $与$ rB_n $具有共同的表面积.

等周不等式(4.1) 描述了表面积相等的凸体$ K\in{\cal F}^n $中, $ {\cal G}B $具有最小的体积.再根据经典的等周不等式(1.3), 可直接有以下结果:

推论4.1  设$ K\in{\cal F}^n $, 则

(4.4) $ \begin{equation} V({\cal G} K) \geq V(K), \end{equation} $

等号成立当且仅当$ K $为球.

证   由(4.3) 式与经典的等周不等式(1.3), 有

(4.5) $ \begin{eqnarray} V({\cal G} K) \geq V(rB_n)\geq V(K), \end{eqnarray} $

每个等号成立当且仅当$ K $为球.

推论4.2  设$ K\in{\cal F}^n $, 则

(4.6) $ \begin{equation} S({\cal G} K) \geq S(K), \end{equation} $

等号成立当且仅当$ K $为球.

证   由经典等周不等式(1.3) 与(4.2) 式, 有

$ S({\cal G} K)^n\ge n^n\omega_nV({\cal G} K)^{n-1}\ge S(K)^n, $

每个等号成立当且仅当$ K $为球.

由以上推论, 若$ {\cal G} K = K $, 直接可得:

推论4.3  设$ K\in{\cal F}^n $. 若$ {\cal G} K = K $, 则$ K $为球.

设$ K\in{\cal F}^n $, $ E $为椭球, 且$ K\subset E $, Winternitz^[3]证明了$ \Omega(K)\le\Omega(E) $.由定理4.1, 我们可得高斯曲率星体$ {\cal G} K $的单调性.

定理4.2  设$ K\in{\cal F}^n $. 若$ B\subset K $, 则

(4.7) $ \begin{eqnarray} V({\cal G} B)\le V({\cal G} K), \end{eqnarray} $

等号成立当且仅当$ K = B $.

证   首先注意到$ S(B)\le S(K) $.设球$ B^\prime $的表面积为$ S(B^\prime) = S(K) $, 若$ S(K)<S(B) $, 由等周不等式(1.3), 有

$ V(K)\le V(B^\prime)<V(B). $

这与包含关系$ B\subset K $矛盾. 因此$ S(B)\le S(K) $.根据定理4.1, 有

$ V(rB_n)\le V({\cal G} K). $

因为$ S(B)\le S(K) = S(rB_n) $, 有

$ V({\cal G} B) = V(B)\le V(rB_n)\le V({\cal G} K). $

第一个不等式等号成立当且仅当$ B = rB_n $.第二个不等式等号成立当且仅当$ K $为球. 因此(4.7) 式成立当且仅当$ K = B $.

定理4.3  设$ K_i\in {\cal F}^n $, 若对于$ u\in S^{n-1} $, 有

(4.8) $ \begin{equation} {\rm d}S(K_1, u)\leq {\rm d}S(K_2, u), \end{equation} $

则

(4.9) $ \begin{equation} V({\cal G} K_1)\le V({\cal G} K_2), \end{equation} $

等号成立当且仅当$ K_1 $与$ K_2 $互为平移.

证   由不等式(4.8) 与(2.12), 有

$ \frac{1}{g_{K_1}}\le\frac{1}{g_{K_2}}, $

由(2.6) 式, 有

$ {\cal G} K_1\subset {\cal G} K_2. $

故有(4.9) 式成立.

若不等式(4.9) 等号成立, 则对于$ u\in S^{n-1} $, 有

(4.10) $ \begin{eqnarray} {\rm d}S(K_1, \cdot) = {\rm d}S(K_2, \cdot). \end{eqnarray} $

若结论不成立, 由高斯曲率的连续性, 对于一些$ u\in S^{n-1} $, 有

$ \frac{1}{g_{K_1}}<\frac{1}{g_{K_2}}. $

因此$ {\cal G} K_1 $与$ {\cal G} K_2 $的必定是严格包含关系, 故$ V({\cal G}K_1)<V({\cal G} K_2) $, 这与$ V({\cal G}K_1) = V({\cal G} K_2) $矛盾. 若$ {\rm d}S(K_1, \cdot) = {\rm d}S(K_2, \cdot) $, 由Minkowski不等式(2.3), (2.2) 与$ {\rm d}S(K_1, \cdot) = {\rm d}S(K_2, \cdot) $, 有

$ \begin{eqnarray*} V(K_1)^{n-1}\le \frac{V_1(K_1, K_2)^n}{V(K_2)} = V(K_2)^{n-1}\le \frac{V_1(K_2, K_1)^n}{V(K_1)} = V(K_1)^{n-1}. \end{eqnarray*} $

根据Minkowski不等式等号成立条件与$ V(K_1) = V(K_2) $, 有$ K_1 $与$ K_2 $互为平移.

等周不等式(1.3) 可被改写为

(5.1) $ \begin{eqnarray} \bigg(\frac{S(K)}{S(tB_n)}\bigg)^n\ge\bigg(\frac{V(K)}{V(tB_n)}\bigg)^{n-1}, \quad t>0. \end{eqnarray} $

从而有如下形式的Bonnesen -型不等式

(5.2) $ \begin{eqnarray} \bigg(\frac{S(K)}{S(tB_n)}\bigg)^n-\bigg(\frac{V(K)}{V(tB_n)}\bigg)^{n-1}\ge B_K^\prime, \end{eqnarray} $

或

(5.3) $ \begin{equation} \bigg(\frac{S(K)}{S(tB_n)}\bigg)^\frac{1}{n-1}-\bigg(\frac{V(K)}{V(tB_n)}\bigg)^\frac{{1}}{n}\ge B_K^{\prime\prime}. \end{equation} $

张高勇^{[50, 53]}得到以下情形的Bonnesen -型不等式.

命题5.1  设$ K $为欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的凸体. 则

$ S(K)^{\frac{n}{n-1}}-(n^n\omega_n)^\frac{1}{n-1}V(K)\ge(n\omega_n)^{\frac{n}{n-1}}\bigg[\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n}}-r\bigg]^n, $

$ M(K)^{\frac{n}{n-1}}-\bigg(\frac{2^nV(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}\ge\bigg(\frac{2V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{n}{n-1}}\bigg[\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{-\frac{1}{n}}-R^{-1}\bigg]^n, $

其中$ r $与$ R $分别表示$ K $的最大内切圆半径与最小外切圆半径, $ M(K) $为$ K $的平均宽度.

本节考虑以下逆Bonnesen -型不等式:

(5.4) $ \begin{equation} \Delta_n(K)\le U_K, \end{equation} $

其中$ U_K $是关于$ K $的几何不变量, 等号成立当且仅当$ K $为球.

设$ K $是平面上面积为$ A $, 周长为$ L $的卵形域, $ \rho $为$ \partial K $的曲率半径. 设$ \rho_m $与$ \rho_M $分别为$ \rho $的最小值与最大值. Bottema^[6]证明了以下逆Bonnesen -型不等式:

(5.5) $ \begin{eqnarray} L^2-4\pi A\le\pi^2(\rho_M-\rho_m)^2, \end{eqnarray} $

等号成立当且仅当$ K $为圆盘.

对于平面上的卵形域, 周家足、张高勇、潘生亮、Bottema、Pleijel、Howard等数学家建立了平面上的逆Bonnesen -型不等式, 参见文献[6, 11, 16, 34, 38, 48, 55-56].

对于欧氏空间$ {{\Bbb R}} ^n $中的域, 由定理4.1, 我们得到以下逆Bonnesen -型等周不等式.

定理5.1  设$ K\in{\cal F}^n $, 则

(5.6) $ \begin{eqnarray} \bigg(\frac{S(K)}{n\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}-\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n}} \le\frac{n(V({\cal G}K)-V(K))}{S(K)}, \end{eqnarray} $

等号成立当且仅当$ K $为球.

证   经典的等周不等式等价于

(5.7) $ \begin{eqnarray} \bigg(\frac{S(K)}{n\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}\geq\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n}} \geq\frac{nV(K)}{S(K)}. \end{eqnarray} $

根据定理4.1, 有

(5.8) $ \begin{eqnarray} \frac{nV({\cal G}K)}{S(K)}\ge\bigg(\frac{S(K)}{n\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}. \end{eqnarray} $

由不等式(5.7) 与(5.8), 有

$ \begin{eqnarray*} \bigg(\frac{S(K)}{n\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}-\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n}} \le\frac{nV({\cal G}K)}{S(K)}-\frac{nV(K)}{S(K)}. \end{eqnarray*} $

由不等式(5.7) 与(5.8) 等号成立条件, 有(5.6) 式等号成立当且仅当$ K $为球.

以下引理将给出$ \Delta h_K(u) $在$ K $边界上积分的一个下界估计.

引理5.1  设$ K\in{\cal F}^n $, 则

(5.9) $ \begin{eqnarray} \int_{S^{n-1}}\Delta h_K(u){\rm d}S(K, u)\ge n(n-1)(V({\cal G} K)-V(K)), \end{eqnarray} $

等号成立当且仅当$ K $为球.

证   由Minkowski恒等式(2.18), 算术几何平均不等式, (2.12) 与(2.7) 式, 有

$ \begin{eqnarray*} \int_{S^{n-1}} (\Delta h_K(u) +(n-1)h_K(u)) {\rm d}S(K, u)& = &\int_{S^{n-1}}\frac{1}{\kappa_1}+\cdots+\frac{1}{\kappa_{n-1}}{\rm d}S(K, u)\\&\geq& (n-1)\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G} K}(u){\rm d}S(K, u)\\& = &(n-1)\int_{S^{n-1}}\rho_{{\cal G} K}^n(u){\rm d}u \\& = &n(n-1)V({\cal G} K). \end{eqnarray*} $

再由(2.1) 式, 有

(5.10) $ \begin{eqnarray} \int_{S^{n-1}} \Delta h_K(u){\rm d}S(K, u)+n(n-1)V(K)\geq n(n-1)V({\cal G}K), \end{eqnarray} $

等号成立当且仅当算术几何平均不等式等号成立, 即$ \frac{1}{\kappa_1} = \cdots = \frac{1}{\kappa_{n-1}} $. 因此$ K $为球.

由引理5.1, 我们有以下逆Bonnesen -型不等式.

推论5.1  设$ K\in{\cal F}^n $, 则

(5.11) $ \begin{eqnarray} \bigg(\frac{S(K)}{n\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}-\bigg(\frac{V(K)}{\omega_n}\bigg)^{\frac{1}{n}}\le\frac{1}{(n-1)S(K)}\int_{S^{n-1}}\Delta h_K(u){\rm d}S(K, u), \end{eqnarray} $

等号成立当且仅当$ K $为球.

由微分仿射等周不等式, 将给出以下逆Bonnesen -型不等式.

定理5.2  设$ K\in{\cal F}^n $, 则

(5.12) $ \begin{eqnarray} S(K)^n-n^n\omega_nV(K)^{n-1}\len^n\left(\omega_n V({\cal G}K)^{n-1}-\frac{V(K^{\star})^{n+1}}{\omega_n}\right), \end{eqnarray} $

等号成立当且仅当$ K $为球.

证   关于高斯曲率星体的等周不等式(4.1) 可改写为

$ S(K)^n \le n^n\omega_n V({\cal G}K)^{n-1}, $

再由仿射等周不等式

$ \omega_n^2V(K)^{n-1}\ge V(K^{\star})^{n+1}, $

可直接得不等式(5.12).