作者研究 Burkholder-Šverák 函数的拟凸性, 并证明了一个关于径向对称函数的不等式.

该文考虑以下带线性扰动项的四阶 Kirchhoff 型临界椭圆方程解的存在性

其中 $\displaystyle2^\#=\frac{2N}{N-4}$ 是 Sobolev 临界指标. 利用集中紧原理, Ekeland 变分原理和山路引理, 证明 (P.S.)$_c$ 条件局部成立, 并证明该方程在 $a,\lambda,\sigma$ 满足一定条件时至少存在两个非平凡弱解.

关于 Allen-Cahn 方程收敛性问题的研究, 目前主要集中于 Neumann 边值问题, 然而对相关的其他边值问题却鲜有研究. 该文主要探讨当参数趋于 0 时, 由抛物 Allen-Cahn 方程 Dirichlet 边值问题诱导的极限 varifold 是 Brakke 意义下的平均曲率流.

该文采用约束变分方法研究了带有部分束缚势和排斥扰动项的 Schrödinger 方程正规化解的存在性及其量化性质. 特别地, 涵盖了在物理上具有重要意义的三维立方-五次非线性情形, 即带有散焦五次非线性项的玻色-爱因斯坦凝聚体 (BEC) 雪茄形模型的极限情况. 进一步, 还讨论了与相关时间依赖问题对应的驻波解的稳定性.

该文研究如下偶数阶几何型椭圆偏微分方程组

其中, 假设所有系数 $ \{V_l, w_l\}_{l} $ 具有最小正则性, 并且 $ f $ 属于临界函数空间 $ L\log L(B_1) $. 该文获得上述方程弱解的最优高阶正则性结果. 作为应用, 本文进一步证明相关的紧性结果.

该文首先定义带权的 Pucci 算子, 然后研究下面的完全非线性椭圆方程

的刘维尔型定理.

该文得到了带边流形上的一类源于共形几何的、退化的完全非线性方程的解的先验估计. 并进一步使用连续性方法得到了这类方程解的存在性.关键词：共形几何; 退化方程; 先验估计.

该文中, 作者考虑如下具一般对数非线性项的分数阶薛定谔方程

其中 $0<s<1$, $N>2s$, $\alpha\ge 1$ 为常数. 通过观察幂次型薛定谔方程 $(-\Delta)^s u = u(|u|^{\sigma}-1)^{\alpha}$ 在 $\sigma\to 0^+$ 时的收敛现象, 证明该问题在 $(-1)^\alpha = -1$ 时存在一个径向正基态解.

对于 $\frac{3}{2}<p\le \infty$, 当初值的范数 $\|\mathcal{F}_xf_0\|_{L^1\cap L^p\cap\mathcal{X}^{-p}(\mathbb{R}^3_{\xi};L^2(\mathbb{R}^3_v))}$ 足够小时, 构造了全空间 $\mathbb{R}^3$ 中非截断玻尔兹曼方程在平衡态附近柯西问题的全局解, 其中 $\mathcal{F}_xf_0(\xi,v)$ 表示 $f_0(x,v)$ 关于空间变量 $x$ 的傅里叶变换, $\mathcal{X}^{-p}$ 是带 Hardy 位势的 $L^p$ 空间. 相较于文献 [15] 中的 $L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi}$ 空间, 作者在全空间的框架下考虑 Sobolev 低正则空间 $L^1_{\xi}\cap L^p_{\xi}\cap\mathcal{X}^{-p}_{\xi}$, 在能量方法的框架下先验估计封闭, 从而得到全局解. 同时, 还得到了在此空间中的衰减估计, 对于任意小的 $\delta>0,$

该文研究如下带有Navier边界条件的双调和方程

$\begin{equation}\label{1} \left\{ \begin{array}{ll} \Delta^2u=|u|^{p-1}u+f, &x\in\Omega,\\ \Delta u=u=0, &x\in \partial\Omega,\tag{$0.1_f$} \end{array} \right. \end{equation}$

其中$1<p<\frac{N+4}{N-4}$ (当$N=1,\,2,\,3,\,4$时, $1<p<\infty$), $\Omega$是$\mathbb{R}^N$中的有界光滑区域, $\partial\Omega$为$\Omega$的边界. 作者证明了存在一个稠密开子集$\theta\subset L^2(\Omega)$使得对任意的$f\in\theta$, (0.1f)存在无穷多个解. 该结果为文献 [Bahri A. J Funct Anal, 1981, 41(3): 397-427]中泛函拓扑理论的一个应用.

在该文中,作者研究下述二次非线性薛定谔方程组

其中$2\leq N<6$, $\epsilon>0$为小参数,$\alpha>0$和$\alpha >\beta,$ 位势$V_i$是正的,$V_i$, $|\nabla V_i| \in L^\infty(\mathbb{R}^N)$.当$\epsilon$趋于0时, 应用有限维约化方法我们构造了该方程组集中在由位势函数$V_{i}(x)(i=1,2)$构成的一个新函数的非退化临界点的同步解. 此外,应用反证法结合局部的Pohozaev恒等式和爆破分析技巧,还证明了单峰解的唯一性.该文的结果将[Gross M. Ann Inst H Poincar'e C Anal Non Lin'eaire, 2002]中关于单个非线性薛定谔方程的单峰解的结果推广到了该模型.

该文研究了带一般 $L^2$-次临界非线性项的拟线性 Schrödinger 方程规范化解的存在性. 利用集中紧致原理、Schwartz 对称化技巧和形变伸缩方法, 该文证明了拟线性 Schrödinger 方程全局极小能量规范化解的存在性与不存在性、局部极小规范化解的存在性. 该文的主要结果可以看作是带齐次非线性项的拟线性 Schrödinger 方程规范化解存在性结果的一个推广.

该文研究了具有正二阶色散系数的四阶薛定谔方程的归一化解的存在性和渐近性. 在质量超临界情形, 通过引入两类局部极小化问题并且证明其等价, 回避了局部化限制半径对质量的依赖性, 证明了相应极小化序列的紧性, 得到了方程基态解的存在性. 进一步, 借助细致的能量估计和分析, 也给出了基态解和拉格朗日乘子在参数趋近于零时的渐近性质. 该文去掉了文献 [7] (Sci China Math, 2023, 66: 1237-1262) 中的径向对称性条件, 给出了比文献 [8] (J Differential Equations, 2022, 330: 1-65) 更简洁的证明方法.

Jeanjean-Lu 在文献 [Calc Var Partial Differential Equations, 2022] 中得到了带混合排异非线性项的薛定谔方程基态的存在性. 该文在此基础上通过分析能量、频率与质量的定量关系, 证明了在恰当的伸缩变换下, 文献 [Calc Var Partial Differential Equations, 2022] 中得到的基态收敛到带单个非线性项的薛定谔方程的基态 (质量衰退时) 或收敛到相应的托马斯-费米方程的基态 (质量爆破时). 特别地, 该文的结论对物理相关的三次-五次薛定谔方程成立.

该文研究一类非局部一阶 Hamilton-Jacobi 方程解的渐近对称性与单调性问题. 通过将文献 [Adv Math, 2021, 377: Art 107463] 中关于非线性项 $H(t,u)$ 的经典结果推广至更一般的 $H(t,x,u,\nabla u)$ 情形, 我们突破了原有理论框架的限制. 研究采用文献 [Adv Math, 2021, 377: Art 107463] 提出的的渐近移动平面法作为核心工具, 但针对哈密顿量中梯度项 $\nabla u$ 带来的新挑战, 作者对构造下解方法进行了关键性改进. 这拓展了方法的适用范围, 使其能够处理更广泛的非线性项类型.

该文推导了叶状黎曼流形上黎曼距离函数的 sub-Laplacian 估计, 并将该结果应用于建立从完备非紧叶状黎曼流形到 Cartan-Hadamard 流形叶状次椭圆调和映射的梯度估计和 Liouville 型定理.