该文给出了 $n$ 维 Hardy 型算子的交换子 $H_b$ 和 $H^*_b$ 从中心 Morrey 空间 $\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 到弱中心 Morrey 空间 $W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 有界的一些刻画, 推广了 Lebesgue 空间上的相应结果.

设$Q=\begin{pmatrix} b & 0\\ 0 & b \end{pmatrix}$是一整扩张矩阵且设$\mathcal{D}=\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\,\,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\,\,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\,\,\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$ 是一四元数字集,作者考虑由上述整扩张矩阵$Q$和四元数字集$\mathcal{D}$所生成的自相似测度$\mu_{Q,\mathcal{D}}$ 的谱结构.测度$\mu_{Q,\mathcal{D}}$是谱测度当且仅当$b=2q$,$q\in \mathbb{N} $,并且此测度的谱是如下集

其中$\mathcal{C}_{q}=q\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\,\,\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\,\,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix},\,\,\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$. 该文通过极大树映射研究了测度$\mu_{Q,\mathcal{D}}$的极大正交集的结构并且在此基础上探讨了其谱特征矩阵的相关问题.

该文主要考虑一类在$ \mathbb{R}^3 $上带有 Kirchhoff 型非局部项的非线性椭圆方程

其中$ a,b>0 $是常数,$ p\in(1,5) $,$ V(x) $和$ Q(x) $均为$ L^\infty(\mathbb{R}^3) $函数. 由于非局部项的出现, 若按经典的思路来应用山路引理得到这类方程的解 (即山路解), 必须要求$ 3\le p<5 $. 当$ p\in(1,3) $时, 应用山路引理的困难在于无法验证 (PS) 序列的有界性. 为克服该困难, 文献[Acta Math Sci, 2025, 45B(2): 385-400] 通过引入新的技巧证明了方程(0.1) 在$ Q(x)\equiv 1 $时对$ p\in(1,5) $有山路解, 并讨论了山路解与基态解的关系. 该文拟在克服$ V(x) $和$ Q(x) $的相互影响下, 将文献 [Acta Math Sci, 2025, 45B(2): 385-400] 中的结果推广到$ Q(x)\not\equiv 1 $的一般情形.

无粘性 Boussinesq 方程的全局正则性问题是数学领域的一个公开问题. 为了探究此问题, 该文研究了带阻尼的 Boussinesq 方程, 并分析了阻尼效应对解的正则性的影响. 特别地, 考虑了带阻尼 Boussinesq 方程在一类任意大 $L^\infty$ 范数的初值条件下的全局存在性. 通过带阻尼的 Boussinesq 方程的结构特性和其线性化方程解的指数衰减性质, 得到了全局光滑解的存在唯一性.

该文考虑上半空间分数阶 $p$-Laplace 算子相关的非线性抛物方程

首先, 证明有界域和无界域上反对称函数狭窄区域原理和极大值原理; 然后建立反对称函数 Hopf 引理; 最后, 利用移动平面法证明上半空间分数阶 $p$-Laplace 算子相关的抛物方程解的单调性.

该文主要围绕带 Logistic 源的抛物-抛物 Keller-Segel 方程的 Cauchy 问题展开研究.

其中常数 $c \in \mathbb{R}$, $ \tau>0$, $ d \geq 2$, 初值 $u_{0} \in \mathcal{P M}^{d-2}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$, $\varphi_{0} \in \mathcal{S}^{\prime}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$. 当 $c=0$ 时, Biler-Boritchev-Brandolese 证明了在扩散参数 $\tau \gg 1$ 的情况下, 对任意大小的初值方程都存在全局解. 运用不动点引理和尺度不变性方法, 在初值 $u_{0}$ 和 $\varphi_{0}$ 满足一定限制条件 (该条件依赖于松弛参数 $\tau$), 得到带平方 Logistic 源的抛物-抛物 Keller-Segel 方程的温和解的全局存在性和唯一性.

该文研究高维空间中具有对流项和时空周期系数的部分退化反应扩散系统的传播速度. 沿着任意方向 $\mathbf{e}\in S^{N-1}$, 当初值为类波前情形时, 该系统存在有限的传播速度区间并且在某些特定的条件下该系统存在唯一的传播速度. 沿着方向 $\mathbf{\eta}$, 通过引入渐近传播射线速度区间的概念, 当初值具有紧支撑时, 该系统存在渐近传播射线速度和渐近传播集并且可以用 Freidlin-G$\ddot{\rm a}$rtner 公式来刻画退化系统的渐近传播射线速度. 该文的结果也被应用到高维空间中的部分退化模型, 如底栖-浮游种群模型、登革热传播模型和人-环境-人流行模型等.

该文研究无穷格点上时滞反应扩散方程拉回吸引子与不变测度的存在性. 作者首先证明格点时滞反应扩散方程初值问题解的全局适定性, 且解映射在相应相空间中生成一个连续过程, 然后证明该过程存在拉回吸引子, 并应用该拉回吸引子和广义 Banach 极限构造过程的不变 Borel 概率测度.

该文讨论了 Banach 空间 $X$ 上半线性非自治发展方程

的伪轨跟踪性, 其中线性算子 $A(t) : D(A(t)) \subset X \rightarrow X$ 未必有界且 $u'(t)=A(t)u(t)$ 具有指数二分性. 该文首先在 $f$ 满足经典 Lipschitz 条件和更弱的 $BS^p$ 型 Lipschitz 条件下建立了伪轨跟踪性结果, 然后进一步引入了 $L^p$ 伪轨和 $L^p$ 伪轨跟踪性的概念并建立了相应的跟踪性定理, 最后给出了一个抛物型偏微分方程的例子作为抽象结果的应用. 相比已有文献, 该文不但减弱了非线性项的 Lipschitz 条件以及引入和讨论了新的 $L^p$ 伪轨跟踪性, 而且最重要的是允许 $A(t)$ 为无界算子从而抽象结果可以应用到偏微分方程.

该文主要研究了$n$ 维复单位球 $\mathbb{B}_{n}$ 中 Hardy 空间 $H^1(\mathbb{B}_{n})$ 上的 Toeplitz 型算子 $Q_\mu$ 的有界性, 证明了如下结论: 设 $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的正 Borel 测度, $0, 则有以下结论成立

1. 若$\mu$是一个$(1,1)$-型对数Carleson测度, 则$Q_\mu: H^1(\mathbb{B}_{n})\to H^1(\mathbb{B}_{n})$ 是一个有界线性算子;

2. 若$Q_\mu: H^1(\mathbb{B}_{n})\to H^1(\mathbb{B}_{n})$是一个有界线性算子, 则$\mu$是$\mathbb{B}_{n}$上的一个Carleson测度;

3. $Q_\mu: H^p(\mathbb{B}_{n})\to H^q(\mathbb{B}_{n})$是有界线性算子当且仅当$\mu$是一个$(1+\frac1p-\frac1q)$-Carleson测度.

该文讨论了两种群空间非均匀反应扩散方程组的 Neumann 问题. 当种群的反应函数关于该种群密度不单调时, 首先利用上下解方法得到两种群唯一正平衡解的存在性; 然后证明了当扩散系数足够小时, 该解是全局渐近稳定的; 最后, 通过一个具体例子的数值解验证了结论的正确性.

研究了带 Markov 切换的随机比例泛函微分方程全局解的存在唯一性和 $\lambda$ 稳定性, 采用向量形式的 Lyapunov 函数方法,得到了方程全局解的存在唯一性定理、矩的 $ \lambda $ 稳定性定理和几乎必然 $ \lambda $ 稳定性定理. 此外, 把脉冲效应引入系统,针对脉冲的不同特点以及 $ \lambda $ 类函数不同的衰减速率, 证明了在适当条件下类似结论仍然成立, 推广了已有的结果. 最后, 通过举例和给出数值模拟说明了结论的有效性.

该文考虑了一类具有季节性切换和脉冲扰动的鱼类单种群模型, 研究季节切换和脉冲扰动对鱼类种群动力学行为的影响. 利用离散动力系统频闪映射理论得到了鱼类单种群系统持久生存和灭绝的充分条件, 结合有理差分方程和不动点理论证明了该系统存在唯一全局吸引的正周期解. 最后, 通过数值模拟来验证结论.

借助一类非线性标量函数, 分别构建集值群体博弈 Nash 均衡与合作均衡的有限理性函数, 研究有限理性函数的下半连续性质, 并建立其零水平集与博弈均衡集之间的等价关系. 利用有限理性函数的所得性质, 得到集值群体博弈 Nash 均衡与合作均衡的广义适定性.

该文先研究一般状态空间连续时间 Markov 过程的 Harris 常返, 然后研究了 Harris 分解的一些问题, 最后研究了 Harris 常返的判定方法.

利用 $c$-次微分概念, 引入新的约束规范条件, 等价刻画了目标函数和约束函数均为真均匀凸函数的约束优化问题的最优性条件以及该问题与其 Lagrange 对偶问题之间的全对偶和稳定全对偶.

众所周知, 非均匀网格的研究可以有效地解决分数阶 Caputo 型导数的初值奇异现象. 在非均匀网格的理论分析中, 经常采用分数阶离散 Grönwall 不等式进行误差分析, 缺乏对误差结构的具体研究. 设计了一种非均匀网格上的误差卷积结构, 用于分析时间分数阶扩散-波动方程. 将二次插值近似应用于 Caputo 型导数, 通过使用降阶法和离散互补卷积核对 Caputo 型导数进行离散, 得到了非均匀网格上的 BDF2 型有限元方法. 离散互补卷积核在算法的收敛性分析中至关重要, 因为它简化有限元理论分析的过程, 并基于卷积核和插值估计的性质构建了全局一致性误差估计. 详细估计了非均匀网格上 BDF2 有限元格式的 $L^2$-范数误差和 $H^1$-范数误差, 并通过实验验证了所提出的有限元格式与理论收敛阶之间的一致性.

该文通过将类海森伯格算法与 Chebyshev 加速技术相结合, 提出了一种求解 PageRank 问题的海森伯格切比雪夫加速算法. 并详细讨论了新算法的收敛性分析, 数值实验表明该算法在极为宽泛的阻尼系数范围内具有出色的数值结果, 尤其是在高阻尼系数下表现出了相较于其它算法表现出了显著的优势.

基于 Gauss-Legendre 积分或 Newton-Cotes 积分方法, 提出了求解广义绝对值方程的积分-牛顿型迭代法和改进的积分-牛顿型迭代法. 并从理论方面证明了这两个方法的收敛性条件, 数值实验验证了所提方法是可行且有效的.

该文提出求解广义互补问题的 Levenberg-Marquardt 型方法. 首先, 结合一类互补函数, 将广义互补问题等价重构为非线性方程组, 进而提出一类带有线搜索的自适应修正 Levenberg-Marquardt 算法对其进行求解. 其次, 在适当的条件下分析了算法的收敛性. 最后, 通过数值实验验证了所提出算法的可行性和有效性.

该文研究保险公司和再保险公司在 Heston 随机波动率风险模型中基于 Stackelberg 随机微分博弈框架下的最优投资再保险问题. 假定保险公司的索赔过程由泊松跳模型来描述, 通过期望值保费原则计算保费, 保险公司购买比例再保险将部分风险转移给再保险公司, 再保险公司接受转移的风险并选择合适的再保费策略, 保险公司和再保险公司还可将盈余投资于无风险资产和 Heston 随机波动率风险模型中. 以最大化终端财富值的均值-方差效用为目标, 利用随机控制理论建立相应的扩展 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程, 给出验证定理, 得到均衡策略和值函数的具体形式, 最后通过数值模拟分析了模型参数对均衡策略的影响.

该文在违约风险下研究了基于模型不确定性的连续时间集体混合型养老金计划的最优投资和最优缴款--给付调整策略. 假设养老基金允许投资于由无风险资产和价格服从 4/2 随机波动率模型的股票以及违约债券组成的金融市场. 该文的目标是在 CARA 效用函数基础上最大化盈余和缴款--给付调整额的贴现值或当盈余和缴款--给付调整额为负时将其贴现值最小化. 利用随机最优控制方法, 分别推导出违约前和违约后情况下的鲁棒最优策略和相应值函数. 最后通过数值分析展示了模型参数和金融市场参数对最优策略的影响.