设 $ H $ 为 Hilbert 空间, 其内积与范数分别用 $ \langle\cdot, \cdot\rangle $ 与 $ \|\cdot\| $ 表示. 本文讨论 $ H $ 中二阶弱阻尼发展方程

周期解的存在性与唯一性, 其中 $ A: D(A)\subset H\to H $ 为线性正定自伴算子, 有紧预解式, $ f:\mathbb{R}\times H\to H $ 为非线性连续映射, $ f(t, x) $ 关于 $ t $ 以 $ \omega $ 为周期, $ c>0 $ 为阻尼系数.

方程 (1.1) 是具有弱阻尼的耗散波方程的抽象形式, 包含了 $ \mathbb{R}^n $ 中有界区域 $ \Omega $ 上的弱阻尼半线性波动方程, $ \mathbb{R}^1 $ 上的电报方程, $ [0,1] $ 上的弱阻尼梁振动方程等,

是一类重要的数学物理方程, 在物理学、工程力学、电磁通信等领域中有广泛的应用^[1,2].

周期解的存在性是发展方程的研究中人们关注的问题. 对抽象的半线性一阶发展方程

其周期解的存在性已被广泛深入的研究, 见文献[3-14]. 这些文献的作者应用线性算子半群理论与不动点定理获得了方程 (1.2) 周期解的存在性结果. 但对抽象的二阶发展方程 (1.1), 难于应用文献 [3-14] 的方法获得其周期解的存在性, 这是因为把方程 (1.1) 化为一阶发展方程组时, 相应的线性算子半群 不具有这些文献要求的正则性与紧性. 因此, 对方程 (1,1) 目前尚无系统的周期解的存在性结果, 仅对其一些特殊情形, 如电报方程情形, 有一些零散的研究,[15-20].

本文的目的是讨论方程 (1.1) 周期解的存在性与唯一性. 我们应用线性算子半群理论与不动点定理获得了方程 (1.1) $ \omega $ 周期解的存在结果和存在唯一性结果. 我们通过建立线性方程

$ \omega $-周期解的存在唯一性结果, 分析对应的周期解算子 $ P: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 的性质, 应用不动点定理研究非线性方程 (1.1). 对线性方程 (1.3), 我们通过引入适当的线性变换, 把其化为一阶线性方程组, 应用线性算子半群理论获得了 $ \omega $-周期解的存在唯一性结果. 尽管其一阶线性方程组对应的算子半群不是紧的半群, 我们还是通过 $ A $ 的预解式的紧性, 证明了方称 (1.3) 的周期解算子 $ P: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 是紧的, 并给出了其范数 $ \|P\| $ 的精确估计, 见下节引理 2.3. 这样, 我们就能用 全连续算子的不动点定理获得方程 (1.1) $ \omega $-周期解的存在性.

设 $ A^{\frac{1}{2}} $ 为 $ A $ 的平方根算子, 则 $ A^{\frac{1}{2}} $ 亦为 $ H $ 中的正定自伴算子. 记 $ V $ 为 $ D(A^{\frac{1}{2}}) $ 按内积 $ (A^{\frac{1}{2}}x, A^{\frac{1}{2}}x) $ 构成的 Hilbert 空间, $ H_1 $ 为 $ D(A) $ 按内积 $ (Ax, Ax) $ 构成的 Hilbert 空间. 按 $ A $ 的紧预解式的紧性, 嵌入 $ H_1\hookrightarrow V\hookrightarrow H $ 是紧的, 且 $ A $ 有最小正实特征值 $ \lambda_1 $. 对任何给定的 Banach 空间 $ X $, 我们用 $ C_\omega(\mathbb{R}, X) $ 表示为定义于 $ \mathbb{R} $ 取值于 $ X $ 的以 $ \omega $ 为周期的抽象连续函数之集按范数 $ \|u\|_C=\max_{0\le t\le\omega}\|u(t)\| $ 构成的 Banach 空间. 对给定的 $ n\in\mathbb{N} $, $ C_\omega^{ n}(\mathbb{R}, X) $ 表示为定义于 $ \mathbb{R} $ 取值于 $ X $ 的以 $ \omega $ 为周期的 $ n $ 阶连续可微函数之集按范数 $ \|u\|_{C^n}=\max\{\|u\|_C, \|u'\|_C, \cdots, \|u^{(n)}\|_C\} $ 构成的 Banach 空间.

若函数 $ u\in C_{\omega}^2(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, V)\cap C_\omega(\mathbb{R}, H_1) $ 在 $ \mathbb{R} $ 上处处满足方程 (1.3), 则称其为 $ \omega $- 周期古典解. 若函数 $ u\in C_{\omega}^1(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega(\mathbb{R}, V) $ 满足

则称其为方程 (1.3) 的 $ \omega $-周期弱解. 显然, $ \omega $-周期古典解是 $ \omega $-周期弱解.

在下节我们将证明, 当 $ h\in C_{\omega}^1(\mathbb{R}, H) $ 时, 方程 (1.3) 存在唯一的 $ \omega $-周期古典解. 当 $ h\in C_{\omega}(\mathbb{R}, H) $ 时, 方程 (1.3) 未必有 $ \omega $-周期古典解, 但存在唯一的 $ \omega $-周期弱解 $ u:=Ph\in C_\omega^1(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega(\mathbb{R}, V) $, 且周期解算子 $ P: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 是线性全连续算子. 对非线性方程 (1.1), 称 $ u\in C_\omega^1(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega(\mathbb{R}, V) $ 是其 $ \omega $-周期弱解, 是指是指 $ u $ 满足 (1.4) 式中以 $ f(t, u(t))+c^2u(t) $ 代替右端 $ h(t) $ 后的方程.

本文的主要结果如下

定理 1.1 设 $ A: D(A)\subset H\to H $ 为线性正定自伴算子, 有紧预解式, $ c>0 $, $ f:\mathbb{R}\times H\to H $ 满足下列条件

(${\bf F1}$) $ f:\mathbb{R}\times H\to H $ 连续, $ f(t, x) $ 关于 $ t $ 以 $ \omega $ 为周期;

(${\bf F2}$) 存在常数 $ 0<L<c\sqrt{\lambda_1} $ 及 $ L_0>0 $, 使得

则方程 (1.1) 有 $ \omega $-周期弱解, 且当 $ f:\mathbb{R}\times H\to H $ 为 $ C^1 $- 映射时, 方程 (1.1) 的 $ \omega $-周期弱解为古典解.

在定理 1.1 中, 加强条件 (F2), 有如下存在唯一性结果

定理 1.2 设 $ A: D(A)\subset H\to H $ 为线性正定自伴算子, 有紧预解式, $ c>0 $, $ f:\mathbb{R}\times H\to H $ 满足条件 (F1) 及下列 Lipschitz 条件

(${\bf F3}$) 存在常数 $ 0<L<c\sqrt{\lambda_1} $, 使得

则方程 (1.1) 有唯一的 $ \omega $-周期弱解, 且当 $ f:\mathbb{R}\times H\to H $ 为

$ C^1 $-映射时, 该 $ \omega $-周期弱解为古典解.

设 $ A: D(A)\subset H\to H $ 为 Hilbert 空间 $ H $ 中的线性正定自伴算子, 有紧预解式. 按线性自伴算子的谱理论, $ A $ 的谱全由正特征值组成, 可按从小到大的次序排为一列

( $ n $ 重根标记 $ n $ 个), 且可选相应的特征向量

构成 $ H $ 的就范完备正交系. 这样, 对 $ \forall\;x\in H $, 可按该正交系展为 Fourier 级数

且 Parseval 等式成立: $ \displaystyle\|x\|^2=\sum_{k=1}^{\infty}|\langle x, e_k\rangle|^2 $. 按 Fourier 展式, 易证

对 $ \forall\;\alpha>0 $, $ A $ 的分数幂 $ A^\alpha $ 的定义如下

$ A^\alpha $ 也是 $ H $ 中的线性正定自伴算子. 记 $ H_\alpha $ 为 $ D(A^\alpha) $ 按内积 $ \langle A^{\alpha}x, A^{\alpha}x\rangle $ 构成的 Hilbert 空间. 特别地, $ V:=H_{1/2} $ 为 Hilbert 空间. 对 $ \forall\;x\in H_\alpha $, 由展式 (2.1) 及 Parseval 等式, 有

特别地, 有

易见, $ A^\alpha $ 有有界逆算子

按上式易证, $ A^{-\alpha} $ 为如下有限秩算子

一致收敛的极限. 因此, $ A^{-\alpha}: H\to H $ 是紧线性算子. 故当$ 0<\alpha<\beta $ 时, 嵌入 $ H_\beta\hookrightarrow H_\alpha $ 是紧的. 特别, 嵌入 $ H_1\hookrightarrow V\hookrightarrow H $ 是紧的.

设 $ h\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $, 考虑线性发展方程 (1.3). 令 $ v(t)=u'(t)+c u(t) $, 则其化为一阶发展方程组

取乘积空间 $ \mathcal{H}=V\times H $. $ \mathcal{H} $ 为 Hilbert 空间, 其内积为

作 $ \mathcal{H} $ 中的算子 $ \mathbf{B}_0,\;\mathbf{B} $

其中, $ \mathbf{I} $ 为 $ \mathcal{H} $ 中的单位算子. 在方程 (2.3) 中, 令 $ \mathbf{u}(t)=(u(t), v(t)) $, $ \mathbf{h}(t)=(0, h(t)) $, 则其化为 $ \mathcal{H} $ 中的一阶线性发展方程

我们通过讨论方程 (2.6) 获来得方程 (1.3) 周期解的存在唯一性.

引理 2.1 (2.5) 式定义的 $ \mathbf{B} $ 生成 $ \mathcal{H} $ 中指数稳定的 $ C_0 $- 半群 $ \mathbf{T}(t)(t\ge 0) $, 且有

证 先证 $ \mathbf{B}_0 $ 为 $ \mathcal{H} $ 中的 $ m $-耗散算子. 对 $ \forall\;(x, y) \in D(\mathbf{B}_0)=H_1\times V $, 按 $ A^{\frac{1}{2}} $ 的自伴性, 有

因此, $ \mathbf{B}_0 $ 为 $ \mathcal{H} $ 中的耗散算子.

另一方面, 易见 $ \mathbf{B}_0 $ 有有界逆算子 $ \mathbf{B}_0^{-1} $: $ \mathbf{B}_0^{-1}(x, y)=(-A^{-1}y, x) $, $ \;\forall (x, y)\in \mathcal{H} $. 因此, 则 $ 0 $ 为 $ \mathbf{B}_0 $ 的正则值, 即 $ 0\in\rho(\mathbf{B}_0) $. 因为正则值集 $ 0\in\rho(\mathbf{B}_0) $ 是开集, 故当 $ \lambda>0 $ 充分小时, $ \lambda\in\rho(\mathbf{B}_0) $. 因此, $ \lambda \mathbf{I}-\mathbf{B}_0 $ 有有界逆算子, 从而为满射. 于是, $ \mathbf{B}_0 $ 为 $ m $-耗散算子.

按 $ C_0 $-半群无穷小生成元的 Lumer-phillips 定理^{[第1章,定理 4.3]}, $ \mathbf{B}_0 $ 生成 $ \mathcal{H} $ 中的非扩张 $ C_0 $- 半群 $ \mathbf{T}_0(t) $$ (t\ge 0) $: $ \|\mathbf{T}_0(t)\|\le 1 $, $ t\ge 0 $. 因此, $ \mathbf{B}=\mathbf{B}_0-c\mathbf{I} $ 生成 $ \mathcal{H} $ 中的 $ C_0 $-半群 $ \mathbf{T}(t)={\rm e}^{-c t}$$\mathbf{T}_0(t)(t\ge 0) $. 显然, $ \mathbf{T}(t) $ 满足 (2.7) 式.

注 2.1 按上述论证, 同样可证 $-\mathbf{B}_0 $ 是 $ m $-耗散算子. 故其也生成 $ \mathcal{H} $ 中的 $ C_0 $-半群. 因此, $ \mathbf{T}_0(t) $ 可延拓为 $ \mathbb{R} $ 上的 $ C_0 $-群, 其对应的左半群 $ \mathbf{T}_0(-t) (t\ge0) $ 的无穷小生成元恰为 $-\mathbf{B}_0 $, 见文献 [21, 第 1 章,定理 6.3]. 按算子群的性质, $ \mathbf{T}_0(t)\mathbf{T}_0(-t)=\mathbf{I} $, $ t\in\mathbb{R} $. 因此, 当 $ H $ 为无限维 Hilbert 空间时, $ \mathbf{T}_0(t) $ 不是紧算子. 因此, 引理 2.1 中的 $ C_0 $-半群 $ \mathbf{T}(t)={\rm e}^{-ct}\mathbf{T}_0(t) (t\ge 0) $ 不是紧半群. 故文献 [7-9] 中的紧算子半群方法对二阶方程 (1.1) 不适用.

记 $ \mathcal{H}_1 $ 为 $ D(\mathbf{B})=H_1\times V $ 按范数 $ \|\mathbf{B}(x, y)\| $ 构成的 Banach 空间. 对一阶线性发展方程 (2.6), $ \mathbf{B} $ 生成的 $ C_0 $-半群 $ \mathbf{T}(t)(t\ge 0) $ 的指数稳定条件 (2.7) 可保证其周期解的存在唯一性. 按 (2.7) 式及文献 [9,引理 2.1], 我们有

引理 2.2 对 $ \forall\;\mathbf{h}\in C_\omega(\mathbb{R}, \mathcal{H}) $, 线性发展方程 (2.6) 存在唯一的 $ \omega $-周期 mild 解

且周期解算子 $ \mathbf{S}: C_\omega(\mathbb{R}, \mathcal{H})\to C_\omega(\mathbb{R}, \mathcal{H}) $ 为线性有解算子, 其范数满足: $ \|\mathbf{S}\|\le \frac{1}{ c } $. 且当 $ \mathbf{h}\in C_\omega^1(\mathbb{R}, \mathcal{H}) $ 或者 $ \mathbf{h}\in C_\omega(\mathbb{R}, \mathcal{H}_1) $ 时, $ \mathbf{u}=\mathbf{S}\mathbf{h}\in C_\omega^1(\mathbb{R}, \mathcal{H})\cap C_\omega(\mathbb{R}, \mathcal{H}_1) $ 为方程 (2.6) 的 $ \omega $-周期古典解.

引理 2.3 对 $ \forall\;h\in C_\omega^1(\mathbb{R}, H) $ 或者 $ h\in C_\omega(\mathbb{R}, V) $, 线性发展方程 (1.3) 存在唯一的 $ \omega $-周期古典解 $ u\in C_\omega^2(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, V)\cap C_\omega(\mathbb{R}, H_1) $.

证 对 $ \forall\;h\in C_\omega^1(\mathbb{R}, H) $ 或 $ h\in C_\omega(\mathbb{R}, V) $, 令 $ \mathbf{h}=(0, h) $, 则 $ \mathbf{h}\in C_\omega^1(\mathbb{R}, \mathcal{H}) $ 或 $ \mathbf{h}\in C_\omega(\mathbb{R}, \mathcal{H}_1) $. 由引理 2.2, $ \mathbf{h} $ 对应的线性发展方程 (2.6) 有唯一的 $ \omega- $ 周期古典解 $ \mathbf{u}\in C_\omega^1(\mathbb{R}, \mathcal{H})\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, \mathcal{H}_1) $. 按方程 (2.6) 的分量形式 (2.3), $ \mathbf{u}:=(u, v) $ 的第一分量 $ u\in C_{\omega}^2(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, V)\cap C_\omega(\mathbb{R}, H_1) $ 满足方程 (1.3), 是方程 (1.3) 的 $ \omega $-周期古典解.

反之, 若 $ u\in C_{\omega}^2(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, V)\cap C_\omega(\mathbb{R}, H_1) $ 是方程 (1.3) 的 $ \omega $-周期古典解, 令 $ v=u'+c u $, 则 $ \mathbf{u}=(u, v) $ 为 $ \mathbf{h}=(0, h) $ 对应的线性方程 (2.6) 的 $ \omega$-周期古典解. 方程 (2.6) 的古典解必为 mild 解. 由引理 2.2, $ \mathbf{u}=\mathbf{S}\mathbf{h} $ 唯一确定. 因此, 方程 (1.3) 的 $ \omega $-周期古典解是唯一的.

引理 2.4 对 $ \forall\;h\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $, 线性发展方程 (1.3) 存在唯一的 $ \omega $-周期弱解 $ u:=Ph\in C_\omega^1(\mathbb{R}, H) \cap C_\omega(\mathbb{R}, V) $, 且 $ P: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 是线性全连续算子, 其范数满足: $ \|P\|\le \frac{1}{ c\sqrt{\lambda_1} } $.

证 1) 存在性 对 $ \forall\;h\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $, 令 $ \mathbf{h}=(0, h) $, 则 $ \mathbf{h}\in C(\mathbb{R}, \mathcal{H}) $. 由引理 2.2, $ \mathbf{h} $ 对应的线性发展方程 (2.6) 有唯一的 $ \omega $-周期 mild 解 $ \mathbf{u}=\mathbf{S}\mathbf{h}\in C(\mathbb{R}, \mathcal{H}) $. 设 $ \mathbf{u}=(u, v) $.

取一列 $ \{h_n\}\subset C_\omega^1(\mathbb{R}, H) $, 使得

由引理 2.3, 每个 $ h_n $ 对应的线性发展方程 (1.3) 存在唯一的 $ \omega $- 周期古典解 $ u_n\in C_{\omega}^2(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, V)\cap C_\omega(\mathbb{R}, H_1) $, 即 $ u_n $ 满足方程

令 $ v_n={u_n}'+cu_n $, 则 $ \mathbf{u}_n:=(u_n, v_n) $ 是 $ \mathbf{h}_n:=(0, h_n) $ 对应的线性发展方程 (2.6) 的 $ \omega $-周期古典解. 故按引理 2.2 有, $ \mathbf{u}_n=\mathbf{S}\mathbf{h}_n $. 由 (2.9) 式, $ \mathbf{h}_n\to \mathbf{h} $ in $ C_\omega(\mathbb{R}, \mathcal{H}) $. 按 $ \mathbf{S} $ 的连续性, $ \mathbf{u}_n=\mathbf{S}\mathbf{h}_n\to \mathbf{S}\mathbf{h}= \mathbf{u} $ 于 $ C_\omega(\mathbb{R}, \mathcal{H}) $. 因此, 按空间 $ C(\mathbb{R}, \mathcal{H}) $ 的定义, 有

因此, $ u\in C_\omega^1(\mathbb{R}, H) \cap C_\omega(\mathbb{R}, V) $, $ v=u'+cu $, 且

任取 $ w\in C_{\omega}^2(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, V)\cap C_\omega(\mathbb{R}, H_1) $, 方程 (2.10) 两端与 $ w(t) $ 作 $ H $ 中的内积, 并在 $ I $ 上积分, 应用分部积分公式, 得

在上式中, 让 $ n\to\infty $, 由 (2.11) 式及内积的连续性, 得

因此, $ u $ 为方程 (1.3) 的 $ \omega $-周期弱解.

2) 唯一性 设 $ u^*\in C_\omega^1(\mathbb{R}, H) \cap C_\omega(\mathbb{R}, V) $ 也是方程 (1.3) 的 $ \omega $-周期弱解, 则按 (1.4) 式, 有

任取 $ h\in C_{\omega}(\mathbb{R}, V) $, 令 $ h^*(t)=h(\omega-t) $, $ t\in \mathbb{R} $. 则 $ h^*\in C_{\omega}(\mathbb{R}, V) $. 由引理 2.3, $ h^* $ 对应的线性发展方程 (1.3) 存在唯一的 $ \omega $-周期古典解 $ w^*\in C_{\omega}^2(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, V)\cap C_\omega(\mathbb{R}, H_1) $. 取 $ w(t)=w^*(t-\omega) $, 则 $ w\in C_{\omega}^2(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, V)\cap C_\omega(\mathbb{R}, H_1) $ 满足方程

因此, 由 (2.12) 式, 有

在上式中, 取 $ h= u^*-u $, 得: $ \int_0^\omega\|u^*(t)-u(t)\|^2=0 $. 于是, $ u^*=u $.

因此, 对 $ \forall\;h\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $, 方程 (1.3) 存在唯一的 $ \omega $-周期弱解 $ u:=Ph\in C_\omega^1(\mathbb{R}, H) \cap C_\omega(\mathbb{R}, V) $, 且 $ u=Ph $ 是 $ \mathbf{h}:=(0, h) $ 对应的 线性发展方程 (2.6) 的唯一 $ \omega $-周期 mild 解 $ \mathbf{u}=\mathbf{S}\mathbf{h}\in C(\mathbb{R}, \mathcal{H}) $ 的第一分量.

3) 紧性 分别定义算子 $ \mathbf{Q}: C_\omega(\mathbb{R}, \mathcal{H})\to C_\omega(\mathbb{R}, V) $ 与$ \mathbf{H}: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, \mathcal{H}) $ 如下

显然, $ \mathbf{Q} $ 与 $ \mathbf{H} $ 是线性有界算子, 其范数$ \;\|\mathbf{Q}\|\le 1 $, $ \|\mathbf{H}\|\le 1 $. 按 $ P $ 与$ \mathbf{S} $ 的关系, $ P=\mathbf{Q}\mathbf{S}\mathbf{H} $ (复合). 因此, $ P: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, V) $ 为线性有界算子, 其范数

由嵌入 $ C_\omega(\mathbb{R}, V)\hookrightarrow C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 的有界性, $ P: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 为线性有界算子. 对 $ \forall\;h\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $, 由 (2.2) 式, 有

因此, $ P: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 的范数 $ \|P\|\le \frac{1}{c\sqrt{\lambda_1} } $.

对 $ \forall\;h\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $, 令 $ u=Ph $, 则 $ u\in C_\omega^1(\mathbb{R}, H) \cap C_\omega(\mathbb{R}, V) $, $ v=u'+cu\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $, 且 $ (u, v)=\mathbf{S}(0, h) $. 因此,

于是由 (2.15) 式, 有

设 $ D\subset C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 有界, 则由 (2.15) 及 (2.16) 式, $ P(D) $ 在 $ C_\omega^1(\mathbb{R}, H) $ 中有界, 从而等度连续. 由 (2.15) 式, $ P(D) $ 在 $ C_\omega(\mathbb{R}, V) $ 中有界. 由嵌入 $ V\hookrightarrow H $ 的紧性知, 对 $ \forall\;t\in\mathbb{R} $, $ P(D)(t)=\{ Ph(t)\;|\;h\in D\} $ 在 $ H $ 中相对紧. 于是, 由 Arzela-Ascoli 定理, $ P(D) $ 为 $ C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 中的相对紧集. 因此, $ P: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 是线性全连续算子.

定理 1.1 的证明 定义 $ C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 上的映射 $ F $

按条件(F1), $ F: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 连续. 由条件 (F2), 对 $ \forall\;u\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $, $ t\in\mathbb{R} $, 有

因此有

因此, $ F $ 把 $ C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 中的有界集映为 $ C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 中的有界集. 按周期解算子 $ P: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to$$ C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 的全连续性, 复合算子

是全连续算子. 按算子 $ P $ 与 $ F $ 的定义, 方程 (1.1) 的 $ \omega $- 周期弱解等价于 $ Q $ 的不动点. 取

则 $ D $ 为 $ C_{\omega}(\mathbb{R}, H) $ 中的有界凸闭集. 对 $ \forall\;u\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $, 由引理 2.4 及 (3.2) 式, 有

即, $ Q(u)\in D $. 因此, $ Q(D)\subset D $. 由 Schauder 不动点定理, $ Q $ 在 $ D $ 中有不动点 $ u_0 $, 该不动点为方程 (1.1) 的 $ \omega $- 周期弱解.

当 $ f:\mathbb{R}\times H\to H $ 为 $ C^1 $-映射时, 对上述周期弱解 $ u_0 $, 因为 $ u_0=Q(u_0)=P(F(u_0)) $, 按 $ P $ 的定义, $ u_0\in C_\omega^1(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega(\mathbb{R}, V) $ 为 $ h=F(u_0) $ 对应的线性方程 (1.3) 的 $ \omega $- 周期弱解. 按 (3.1) 式, $ h=F(u_0)\in C_\omega^1(\mathbb{R}, H) $. 由引理 2.3 及引理 2.4, $ u_0\in C_\omega^2(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, V)\cap C_\omega(\mathbb{R}, H_1) $ 为方程 (1.3) 的 $ \omega $-周期古典解. 因此, $ u_0 $ 是方程 (1.1) 的 $ \omega $-周期古典解.

定理 1.2 的证明 设 $ Q: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 是 (3.3) 式定义的算子, 则方程 (1.1) 的 $ \omega $-周期弱解等价于 $ Q $ 的不动点.

由条件 (F3), 对 $ \forall\;u_1,\;u_2\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $, $ t\in\mathbb{R} $, 有

因此有

对对 $ \forall\;u_1,\;u_2\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $, 由引理 2.4 及 (3.5) 式, 有

因为 $ 0<L<\frac{1}{c\sqrt{\lambda_1} } $, 故由上式, $ Q: C_\omega(\mathbb{R}, H)\to C_\omega(\mathbb{R}, H) $ 是压缩映射. 由压缩映射原理, $ Q $ 有唯一不动点 $ u^*\in C_\omega(\mathbb{R}, H) $. 该不动点为方程 (1.1) 的唯一 $ \omega $-周期弱解.

当 $ f:\mathbb{R}\times H\to H $ 为 $ C^1 $-映射时, 因为 $ h(t)=f(t, u^*(t))+c^2u^*(t) $ 在 $ C_\omega^1(\mathbb{R}, H) $ 中. 按引理 2.3 的结论, $ u^* $ 是该 $ h(t) $ 对应的线性方程 (1.3) 的 $ \omega $-周期古典解. 因此, $ u^* $ 是方程 (1.1) 的 $ \omega $-周期古典解.

$\textbf{例 1 }$$N $ 维半线性弱阻尼波方程的时间周期解.

设 $ \Omega\subset\mathbb{R}^{N} $ 为界光滑区域, $ c>0 $ 为常数, $ g\in C(\overline{\Omega}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}) $, $ g(x, t, \eta) $ 关于 $ t $ 以 $ \omega $ 为周期. 考虑 $ \Omega $ 上带零边界条件的弱阻尼波方程

设 $ \lambda_1 $ 为 Laplace 算子 $-\Delta $ 在边界条件 $ u|_{\partial\Omega}= $ 下的第一特征值. 我们有

定理 4.1 设 $ g\in C^1(\overline{\Omega}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}) $, 且 $ g(x, t, \eta) $ 关于 $ \eta $ 的偏导数 $ g_{\eta}'(x, t, \eta) $ 有界. 若

则弱阻尼波方程 (4.1) 存在唯一的时间周期解 $ u\in C_\omega^2(\mathbb{R}, L^2(\Omega))\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, H_0^1(\Omega))\cap C_\omega(\mathbb{R}, H^2(\Omega)) $.

证 取 $ H=L^2(\Omega) $, 定义 $ H $ 中的算子 $ A $

则 $ A $ 为 $ H $ 中的正定自伴算子, 有紧预解式, 且 $ V=H_0^1(\Omega) $. 定义非线性映射 $ f: \mathbb{R}\times H\to H $

则弱阻尼波方程 (4.1) 化为 $ H $ 中的发展方程 (1.1). 按 $ g $ 的光滑性及条件 (4.2), $ f: \mathbb{R}\times H\to H $ 为 $ C^1 $-映射. 显然, $ f(t, w) $ 关于 $ t $ 以 $ \omega $ 为周期, 即 $ f $ 满足条件 (F1). 取常数 $ L $ 为 (4.2) 式右端的上确界, 则由 微分中值定理及条件 (4.2) 易验证, $ f $ 满足条件 (F3). 因此按定理 1.2, 方程 (1.1) 存在唯一的 $ \omega $-周期古典解 $ u^*\in C_\omega^2(\mathbb{R}, H)\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, V)\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, H_1) $. 按 $ A $ 与 $ f $ 的定义, $ u^*\in C_\omega^2(\mathbb{R}, L^2(\Omega))\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, H_0^1(\Omega))\cap C_\omega^1(\mathbb{R}, H^2(\Omega)) $ 为方程 (4.1) 唯一的时间周期解.

$\textbf{例 2}$半线性电报方程的时空双周期解.

设 $ a, c>0 $, $ g\in C(\mathbb{R}^3) $, $ g(x, t, \eta) $ 关于 $ x $ 和 $ t $ 均以 $ 2\pi $ 为周期. 考虑半线性电报方程

时空双 $ 2\pi $ 周期解的存在性. 有

定理 4.2 设 $ a, c>0 $, $ g\in C^1(\mathbb{R}^3) $, $ g(x, t, \eta) $ 关于 $ x $ 和$ t $ 均以 $ 2\pi $ 为周期, 关于 $ \eta $ 的偏导数 $ g_\eta'(x, t, \eta) $ 有界, 且满足

则电报方程 (4.5) 有唯一的时空双周期解 $ u\in C_{2\pi}^2(\mathbb{R},L_{2\pi}^2(\mathbb{R}))\cap C_{2\pi}^1(\mathbb{R},H_{2\pi}^1(\mathbb{R}))\cap C_{2\pi}(\mathbb{R},H_{2\pi}^2(\mathbb{R})) $.

证 记 $ L_{2\pi}^2(\mathbb{R}) $ 为 $ \mathbb{R} $ 以 $ 2\pi $ 为周期的局部平方可的函数之集按内积 $ \langle u, v\rangle=\int_0^{2\pi}u(x)v(x){\rm d}x $ 构成的 Hilbert 空间. 类似地, 我们用 $ H_{2\pi}^1(\mathbb{R}) $, $ H_{2\pi}^2(\mathbb{R}) $, $ C_{2\pi}(\mathbb{R}) $, $ C_{2\pi}^1(\mathbb{R}),\cdots $ 等表示具有相应的正则性的 $ 2\pi $-周期函数空间. 取 $ H=L_{2\pi}^2(\mathbb{R}) $, 定义 $ H $ 中的算子 $ A $

则 $ A $ 为 $ H $ 中的正定自伴算子, 有紧预解式, 其第一特征值 $ \lambda_1=a $, 且 $ V=H_{2\pi}^1(\mathbb{R}) $. 定义非线性映射 $ f: \mathbb{R}\times H\to H $

则带空间 $ 2\pi $ 周期条件

的电报方程 (4.5) 化为 $ H $ 中的发展方程 (1.1). 易验证 $ f: \mathbb{R}\times H\to H $ 为 $ C^1 $-映射, 满足定理 1.2 的条件. 按定理 1.2, 方程 (1.1) 存在唯一的 $ 2\pi $-周期古典解 $ u\in C_{2\pi}^2(\mathbb{R}, H)\cap C_{2\pi}^1(\mathbb{R}, V)\cap C_{2\pi}^1(\mathbb{R}, H_1) $. 按 $ A $ 与 $ f $ 的定义, $ u\in C_{2\pi}^2(\mathbb{R}, L_{2\pi}^2(\mathbb{R}))\cap C_{2\pi}^1(\mathbb{R}, H_{2\pi}^1(\mathbb{R}))\cap C_{2\pi}(\mathbb{R}, H_{2\pi}^2(\mathbb{R})) $ 为方程 (4.5) 的唯一时空双 $ 2\pi $-周期解.

$\textbf{例 3 }$弱阻尼梁振动方程的时间周期解.

设 $ c>0 $, $ I=[0,1] $, $ g\in C(I\times\mathbb{R}^2) $, $ g(x, t, \eta) $ 关于 $ t $ 均以 $ 2\pi $ 为周期. 考虑 $ I $ 上两端简单支撑的弱阻尼梁振动方程

$ 2\pi $-时间周期解的存在性. 我们有

定理 4.3 设 $ c>0 $, $ g\in C^1(I\times\mathbb{R}^2) $, $ g(x, t, \eta) $ 关于 $ \eta $ 的偏导数 $ g_\eta'(x, t, \eta) $ 有界, 满足

则梁振动方程 (4.9) 有唯一的时间周期解 $ u\in C_{2\pi}^2(\mathbb{R}, L^2(I))\cap C_{2\pi}^1(\mathbb{R}, H^2(I))\cap C_{2\pi}(\mathbb{R}, H^4(I)) $, 且 $ u, u_{xx}\in H^2(I)\cap H_0^1(I) $.

证 取 $ H=L^2(I) $, 定义 $ H $ 中的算子 $ A $

则 $ A $ 为 $ H $ 中的正定自伴算子, 有紧预解式, 其第一特征值$ \lambda_1=\pi^4 $, 且 $ V=H^2(I)\cap H_0^1(\Omega) $, $ A^{\frac{1}{2}}u=-u'' $, $ u\in V $. 定义非线性映射 $ f: \mathbb{R}\times H\to H $

则弱阻尼梁振动方程 (4.9) 化为 $ H $ 中的发展方程 (1.1). 易验证 $ f: \mathbb{R}\times H\to H $ 为 $ C^1 $-映射, 满足定理 1.2 的条件. 按定理 1.2, 方程 (1.1) 存在唯一的 $ 2\pi $-周期古典解 $ u\in C_{2\pi}^2(\mathbb{R}, H)\cap C_{2\pi}^1(\mathbb{R}, V)\cap C_{2\pi}^1(\mathbb{R}, H_1) $. 按 $ A $ 的定义, $ u\in C_{2\pi}^2(\mathbb{R}, L^2(I))\cap C_{2\pi}^1(\mathbb{R}, H^2(I))\cap C_{2\pi}(\mathbb{R}, H^4(I)) $, 满足 $ u, u_{xx}\in H^2(I)\cap H_0^1(I) $, 为方程 (4.9) 的唯一时间 $ 2\pi$-周期解.