本文主要考虑如下一类 Riemann-Liouville 分数阶微分系统的逼近能控性

其中 $^{L}D^{\alpha}_{t}$ 表示$\alpha$ 次 Riemann-Liouville 分数阶导数. $A:D(A)\subseteq X\rightarrow X$ 是 $C_{0}$-半群 $T(t)$$(t\geq 0)$ 在 Hilbert 空间 $X$ 上的无穷小生成元. $f:J\times X\rightarrow X$ 是一个非线性函数. 控制函数 $u(t)$ 取值在空间 $V=L^{p}([b];U), p>\dfrac{1}{\alpha}$ 中的, 并且 $U$ 是一个 Banach 空间, $B$ 是从 $V$ 到 $L^{p}([b];X)$ 上的有界线性算子.

在过去的几十年, 控制问题引起了许多物理学家、数学家和工程师们的广泛关注, 并且在理论和应用方面都做出了很多成果. 自从 Kalman^[1] 在 1963 年首次提出能控性的定义以来, 在有限维和无限维的确定性和随机控制动力系统的能控性得到了很好的成果^[2-4]. 一些学者^[5-7]通过运用不动点理论探讨了非线性发展系统的精确能控性. 在这些文章中, 为了证明半线性系统的能控性, 学者们通常要求半群和系统的线性部分是紧的. 但是, 如果与系统相关联的半群是紧的, 则控制算子也必须是紧的, 因此这导致了控制算子的逆在无穷维空间中不存在. 由于精确能控的概念太强, 从而越来越多的人开始关注条件更加弱的概念――逼近能控^[8-10], 它更加贴近动力系统的控制性态.

近些年来, 分数阶微分方程理论得到了专家学者们的广泛关注^[11-15], 许多学者^[8,9,16,17] 对 Caputo 型分数阶微分发展控制系统的逼近能控性进行了研究. 但是对于 Riemann-Liouville 型分数阶微分发展控制系统的逼近能控性的研究几乎还是一片空白. Riemann-Liouville 分数阶导数或积分的初始值对于解决一些现实生活中的问题是一项强有力的工具. Heymans 和 Podlubny^[18] 已经验证了初始值表示为 Riemann-Liouville 导数或积分项的情形在一些物理现象中的作用, 并且这种形式的初始值更加贴近实际. 因此, 研究 Riemann-Liouville 型分数阶微分控制系统的逼近能控性是一项非常有意义的工作. 本文主要是研究 Riemann-Liouville 型分数阶微分控制系统的逼近能控性和系统解的存在唯一性.

本文结构安排如下: 第 2 章主要研究温和解的存在性; 第 3 章证明 Riemann-Liouville 分数阶发展型微分控制系统是逼近能控的; 最后给出一个应用实例来验证本文主要结果.

这一章节主要考虑一类 Riemann-Liouville 分数阶微分控制系统解的存在性和唯一性.

设 $J=[b]$ 是 Lebesgue 测度 $\mu$ 关于 $\sigma$-代数 $\Sigma$ 的子集. $C(J,X)$ 记为 Banach 空间中所有 $X$- 值从 $J$ 映射到 $X$ 连续函数集并且其赋予的范数为 $\|x\|_{C(J,X)}=\sup\limits_{t\in J}\|x(t)\|$. 为了考虑系统 (1.1) 的温和解, 我们同时考虑如下空间 $C_{1-\alpha}(J,H)=\{x :t^{1-\alpha}x(t)\in C(J,H)\}$ 其赋予范数为 $\|x\|_{C_{1-\alpha}}=\sup\{t^{1-\alpha}\|x(t)\|_{H}:t\in J\}.$ 显然, $C_{1-\alpha}(J,X)$ 空间为一 Banach 空间. 设 $L^{\gamma}(J,X)$ 记为 Banach 空间中从 $J$ 映射到 $X$ 中 Bochner 可积函数集其赋予的范数为 $\|m\|_{L^{\gamma}(J,X)}:= (\int_J\|m(t)\|^{\gamma}{\rm d}t)^{\frac{1}{\gamma}}<\infty, 1\leq \gamma<\infty$. 对于 Banach 空间 $X$, 符号 $\omega$-$X$ (或, $s-X$) 通常用来记作空间 $X$ 的弱 (或, 强) (范数) 拓扑. 对于 $X$ 的子集也用同样符号标记.

首先, 我们给出分数阶积分和导数的定义, 详见文献 [19,20].

定义 2.1 积分

$$I^{\alpha}_{0^+}f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int^{t}_{0}(t-s)^{\alpha-1}f(s){\rm d}s, t>0, 0<\alpha<1,$$

称为 $\alpha$ 阶 Riemann-Liouville 分数阶积分, 其中 $\Gamma$ 是 Gamma 函数.

定义 2.2 函数 $f$ 的 $\alpha$ 阶 Riemann-Liouville 分数阶导数定义为

$$^LD^{\alpha}_{t}f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{d^{n}}{dt^{n}}\int_{0}^{t}(t-s)^{n-\alpha-1}f(s){\rm d}s, n=[\alpha]+1, t>0,$$

其中 $[\alpha]$ 表示 $\alpha$ 的整数部分.

由文献 [21,22] 的工作, 我们给出如下定义

定义 2.3 对任意给定的 $u\in L^p(J,X)(p>\frac{1}{\alpha}),$ 函数 $x\in C_{1-\alpha}(J,X)$ 叫做 (1.1) 的温和解, 如果 $x(t)$ 满足

其中

$$\hspace{-.5cm} T_{\alpha}(t)=\alpha\int_{0}^{\infty}\theta\xi_{\alpha}(\theta)T(t^{\alpha}\theta){\rm d}\theta, \xi_{\alpha}(\theta)=\frac{1}{\alpha}\theta^{-1-\frac{1}{\alpha}}\varpi_{\alpha}(\theta^{-\frac{1}{\alpha}}),$$

$$\varpi_{\alpha}(\theta)=\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\theta^{-n\alpha-1}\frac{\Gamma(n\alpha+1)}{n!}\sin(n\pi \alpha), \theta\in(0,\infty),$$

$\xi_{\alpha}$ 是定义在$(0,\infty)$上的概率密度函数, 并且

$$\xi_{\alpha}(\theta)\geq 0, \theta\in(0,\infty), \int_{0}^{\infty}\xi_{\alpha}(\theta){\rm d}\theta=1.$$

容易得到

由文献 [23], 有如下引理

引理 2.1 算子 $T_{\alpha}(t)$ 有如下性质

1) 对于固定的 $t\geq 0, T_{\alpha}(t)$ 是有界线性算子, 即对任意的 $x\in X,$

$$\|T_{\alpha}(t)x\|\leq \frac{M}{\Gamma(\alpha)}\|x\|.$$

2) $ T_{\alpha}(t)(t\geq 0)$ 是强连续的.

为了证明的需要, 我们做出如下假设

$\boldsymbol{H(1)}$$T(t)$ 是 $C_{0}$-半群, $T(t)$ 在 $t>0$ 上是一致有界拓扑连续的.

$\boldsymbol{H(2)}$ 存在一个函数 $\phi(\cdot)\in L^{p}(J,R^{+}), p>\frac{1}{\alpha}$ 和常数 $c>0$, 使得

$$\|f(t,x)\|\leq\phi(t)+ct^{1-\alpha}\|x\|_{X}, \textrm{ a.e.} t\in J, \forall x\in X.$$

$\boldsymbol{H(3)}$ 存在一个常数 $L>0$ 使得

$$\|f(t,x)-f(t,y)\|\leq L\|x-y\|_{X}, \forall x, y\in X.$$

下面开始讨论这章节的主要工作.

定理 2.1 假设 $H(1)$-$H(3)$ 成立, 则对于每一个控制函数 $u(\cdot)\in V$, 初值问题 (1.1) 在 $C_{1-\alpha}(J,X)$ 上存在唯一的温和解.

证 定义一个算子 $\digamma$ 为

首先, 在定理的假设条件下, 不难验证映射 $\digamma $ 是从 $C_{1-\alpha}(J,X)$ 映到它本身的.

其次, 证明 $\digamma^{n} $ 在 $C_{1-\alpha}(J,X)$ 上是一个压缩映射.

实际上, 对任意的 $x,y\in C_{1-\alpha}(J,X)$ 和 $t\in J,$ 有

由 (2.3), (2.4) 式并计算 $n$ 次, 容易得到

$$t^{1-\alpha}\|(\digamma^{n} x)(t)-(\digamma^{n} y)(t)\|\leq \frac{\Gamma(\alpha)(LMt^{\alpha})^{n}}{\Gamma[(n+1)\alpha]}\|x-y\|_{C_{1-\alpha}}.$$

因此

$$\|\digamma^{n} x-\digamma^{n}y\|_{C_{1-\alpha}}\leq \frac{\Gamma(\alpha)(LMb^{\alpha})^{n}}{\Gamma[(n+1)\alpha]}\|x-y\|_{C_{1-\alpha}}.$$

由于 $\dfrac{(LMb^{\alpha})^{n}}{\Gamma[(n+1)\alpha]}$ 是一般的 Mittag-Leffler 级数形式 $E_{\alpha,\alpha}(MLb^{\alpha})$ 并且这级数在 $J$ 上是一致收敛的, 则对充分大的 $n$, 有

$$\frac{\Gamma(\alpha)(LMb^{\alpha})^{n}}{\Gamma[(n+1)\alpha]}<1.$$

因此, $\digamma^{n}$ 在 $C_{1-\alpha}(J,X)$ 上是一个压缩算子. 由定理的结果, 得到 $\digamma$ 在 $C_{1-\alpha}(J,X)$ 有唯一的一个不动点 $x(\cdot)$, 并且这不动点就是系统 (1.1) 的解. 得证.

注 2.1 实际上, 由 Pazy 文献 [24,引理 2.3.2,引理 2.4.2], 我们知道如果 $C_{0}$-半群 $T(t)$ 是紧的或者可微的对于 $t>t_{0}\geq0 $, 则 $T(t)$ 在一致拓扑算子上是连续的关于 $t>t_{0}$. 因此, 如果将条件 $H(1)$ 改为半群 $T(t)$ 是紧的或可微的, 则同样可以由条件 $H(2)$ 和 $H(3)$ 得到系统 (1.1) 在 $C_{1-\alpha}(J,X)$ 上有唯一解.

这一章考虑 Riemann-Liouville 分数阶微分控制系统的逼近能控性.

记系统 (1.1) 在控制函数 $u$ 下的解为 $x(\cdot;u)$, 则系统的状态函数在终点时刻 $b$ 的解为 $x(b;$$u)$. 为此, 记系统 (1.1) 在 $b$ 时刻的可达集为

$$R_b(f)=\{x(b;u):u\in L^p(J,U)\},$$

它在 $L^p(J,U)$ 上的闭包记为 $\overline{R_b(f)}$.

定义 3.1 如果 $\overline{R_b(f)}=L^p(J,U)$, 则系统 (1.1) 在 $J$ 上是逼近能控的.

对于算子 $B$ 和 $T_{\alpha}(t),$ 作出如下假设条件

$\boldsymbol{H(4)}$ 对于每一个 $h\in L^{p}(J,X),$ 存在一个函数 $k\in \overline{R(B)}$ 使得 $\mathcal{G}h=\mathcal{G}k,$ 其中 $R(B)$ 表示算子 $B$ 的值域, 并且 $\overline{R(B)}$ 表示它的闭包, $\mathcal{G}:L^{p}(J,X)\rightarrow X$ 定义如下

设 $N(\mathcal{G})=\{h(\cdot)\in L^{p}(J,X):\mathcal{G}h=0\}$ 是算子 $\mathcal{G}$ 的零空间, 正交投影算子 $h$ 是从 $L^{p}(J,X)$ 映到 $N^{\bot}(\mathcal{G})$ 上的.

在假设 $H(4)$ 前提下, 如果 $h\in N^{\bot}(\mathcal{G}),$ 则存在 $k\in \overline{R(B)}$ 使得 $\mathcal{G}h=\mathcal{G}k,$ 即 $h-k\in N^{\bot}(\mathcal{G}),$ 或

$$k\in[h+N(\mathcal{G})]\bigcap\overline{R(B)}.$$

为此, 定义算子 $Q:N^{\bot}(\mathcal{G})\rightarrow\overline{R(B)},$

$$Qh\in[h+N(\mathcal{G})]\bigcap\overline{R(B)},h\in N^{\bot}(\mathcal{G}),$$

及$$\|Qh\|=\min\{\|h\|:\mathcal{G}h=\mathcal{G}k,k\in\overline{R(B)}\}.$$

容易验证这样定义的算子 $Q$ 是合理的. 实际上, 对每个 $h\in N^{\bot}(\mathcal{G}),$ 有

$$h+N(\mathcal{G})=\{k\in L^p(J,X):k-h\in N(\mathcal{G})\},$$

则 $[h+N(\mathcal{G})]\bigcap\overline{R(B)}$ 是商空间 $\overline{R(B)}/[N(\mathcal{G}) \bigcap \overline{R(B)}]$ 中的元素, 其范数也可以写成 $\|Qh\|.$ 由于商空间中的每一个元素都是闭线性流形, 它有唯一的极小元范数. 因此, $Qh$ 是由 $h$ 唯一确定的.

由上述定义, 知道算子 $Q$ 的值域 $R(Q)$ 和商空间 $\overline{R(B)}/ [N(\mathcal{G}) \bigcap \overline{R(B)}]$ 是等距同构的. 同样, 关于算子 $Q$ 有如下性质

命题 3.1^[4] 算子 $Q:N^{\bot} (\mathcal{G}) \rightarrow\overline{R(B)}$ 是有界线性算子.

为了讨论系统 (1.1) 的逼近能控性, 我们将条件 $H(3)$ 改为

$\boldsymbol{H(3')}$ 存在常数 $L',$ 使得

$$\|f(t,x)-f(t,y)\|\leq L't^{1-\alpha}\|x-y\|_{X}, \forall x, y\in X, t\in J.$$

为了方便证明, 下面给出如下引理

引理 3.1 假设非线性函数 $f$ 满足 $H(2),H(3')$ 和 $H(4).$ 则系统 (1.1) 的每一个温和解都满足不等式

$$\| x_{1}(\cdot)-x_{2}(\cdot)\|_{C_{1-\alpha}}\leq\frac{M\rho}{\Gamma(\alpha)} E_{\alpha}(ML't)\| Bu_{1}(\cdot)-Bu_{2}(\cdot)\|_{L^{p}}, \forall u_{1}(\cdot), u_{2}(\cdot)\in V,$$

其中

$$\rho=\frac{Mb^{1-\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\bigg(\frac{p-1}{p\alpha-1}\bigg)^{\frac{p-1}{p}}b^{\alpha-\frac{1}{p}}.$$

证 如果 $x$ 是系统 (1.1) 关于控制函数 $u(\cdot)\in V$ 在 $C_{{1-\alpha}}(J,X)$ 上的一个温和解, 则

$$x(t)=t^{\alpha-1}T_{\alpha}(t)x_{0}+\int_{0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(t-s)Bu(s){\rm d}s+\int_{0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(t-s)f(s,x(s)){\rm d}s.$$

对于任意的 $x_1,x_2\in C_{1-\alpha}(J,X),t\in J,$ 有

令$$W(t)=t^{1-\alpha}\|x_2(t)-x_1(t)\|_{X},$$

则由 (3.2) 式, 得

$$W(t)\leq\frac{M\rho}{\Gamma(\alpha)}\|Bu_2(s)-Bu_1(s)\|_{L^p}+\frac{ML'b^{1-\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}W(s){\rm d}s.$$

由文献 [25, 注释 2], 有

$$W(t)\leq \frac{M\rho}{\Gamma(\alpha)} E_{\alpha}(ML'b^{1-\alpha})\|Bu_2(s)-Bu_1(s)\|_{L^p}.$$

因此, 有

引理得证.

由可达集 $R_b(0)$ 的定义, 对于任意的 $x\in R_b(0)$ 存在常数 $u\in L^p(J,X)$ 使得

$$x(t)=t^{\alpha-1}T_{\alpha}(t)x_{0}+\int_{0}^{t}(t-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(t-s)Bu(s){\rm d}s.$$

定义算子 $\mathcal {J}:N^{\bot}\rightarrow N^{\bot}$ 如下

其中, 算子 $\Gamma:L^p(J,X)\rightarrow L^p(J,X)$ 定义为

$$(\Gamma y)(t)=f(t,y(t)).$$

对任意的 $v\in N^{\bot},$ 得 $Qv\in L^p(J,X),\Gamma Qv\in L^p(J,X),$ 及 $G\Gamma Qv\in N^{\bot}(\mathcal {G}).$ 因此, $\mathcal {J}$ 是适定的.

引理 3.2 由 (3.3) 式定义的算子 $\mathcal {J}$ 在 $N^{\bot}(\mathcal {G})$ 上存在唯一的不动点.

这个引理的证明类似于引理 2.1, 因此, 在这里省略.

现在开始讨论系统 (1.1) 的逼近能控性.

定理 3.1 假设条件 $H(1),H(2),H(3'),H(4)$ 成立, $A$ 是 $C_0$-半群 $T(t)$ 在 Banach 空间 $X$ 上的无穷小生成元. 则系统 (1.1) 在 $J$ 上是逼近能控的, 如果

$$\frac{M\rho b}{\Gamma(\alpha)}L'E_{\alpha}(ML'b^{1-\alpha})<1.$$

证 首先证明当 $x(0)=0$ 时, 系统是逼近能控的. 由条件 $H(4),$ 知道系统 (1.1) 所对应的线性系统是逼近能控的, 即: $\overline{K_{b}(0)}=X,$ 则只需要证明对任意的 $\varepsilon>0$ 和 $x_b\in K_b(0),$ 存在一个控制函数 $u_{\varepsilon}\in V,$ 使得 $\|x_b-x(t_b;Bu_{\varepsilon})\|_{C_{1-\alpha}}<\varepsilon,$ 其中 $x(\cdot;Bu_{\varepsilon})$ 是系统 (1.1) 在控制函数 $u_{\varepsilon}$ 和 $Bu_{\varepsilon}\in L^p(J,X)$ 下的一个解.

由于 $x_b\in K_b(0),$ 则存在一个控制函数 $u\in V,$ 使得 $x_b=\mathcal {G}Bu.$ 注意到 $Bu_{\varepsilon}\in L^p(J,X),$ 则可以在 $N^{\bot}(\mathcal {G})\subset L^p(J,X)$ 中选择一个投影 $PBu\in N^{\bot}(\mathcal {G})$. 对于这个控制 $u\in V,$ 可以定义一个非线性映射 $\mathcal {F}:N^{\bot}(\mathcal {G})\rightarrow N^{\bot}(\mathcal {G})$. 如下

其中, 非线性算子 $\mathscr{F}$ 定义为 $\mathscr{F}k=f(\cdot,x(\cdot,k)),$ 并且 $x(\cdot;k)$ 满足方程

由定理的假设条件可以证明算子 $\mathscr{F}$ 是一个压缩映射. 实际上, 对任意的 $h_1(\cdot), h_2(\cdot)\in N^{\bot}(\mathcal {G}),$ 有

由于 $\dfrac{M\rho b}{\Gamma(\alpha)}L'E_{\alpha}(ML'b^{1-\alpha})<1,$ 则 $\mathcal {F}$ 是一个压缩算子. 因此, 由 Banach 不动点定理, $\mathcal {F}$存在一个不动点 $h^*\in N^{\bot}(\mathcal {G}),$ 使得 $\mathcal {F}h^*=h^*,$ 即,

$$h^*+P\mathscr{F}Qh^*=PBu.$$

另一方面, 对于每个 $h\in N^{\bot}(\mathcal {G}),$ 有 $\mathcal {G}Qh=\mathcal {G}h.$ 则由 $\mathcal{G}PBu=\mathcal{G}Bu,$ 得

由定义 2.3, 有 $x_b=x(b;Qh^*),$ 或

$$\int_0^b(b-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(b-s)Bu(s){\rm d}s=\int_0^b(b-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(b-s)[f(s,x(s;Qh^*))+(Qh^*)(s)]{\rm d}s.$$

由于 $Qh^*\in \overline{R(B)},$ 则对任意的 $\varepsilon>0,$ 存在一个控制 $u_{\varepsilon}\in V,$ 使得

$$\|Qh^*-Bu_{\varepsilon}\|\leq\frac{\varepsilon}{\frac{M\rho b^{1-\alpha}}{\Gamma(\alpha)}E_{\alpha}(ML'b^{1-\alpha})}.$$

从而, 有

由文献 [注释 2], 得

$$t^{1-\alpha}\|x(t;Bu_{\varepsilon})-x(t;Qh^*)\|\leq\frac{M b^{1-\frac{1}{p}}}{\Gamma(\alpha)}\bigg(\frac{p-1}{p\alpha-1}\bigg)^{1-\frac{1}{p}}E_{\alpha}(ML'b^{1-\alpha})\| Bu_{\varepsilon}-Qh^*\|_{L^p}<\varepsilon.$$

则由 (3.6) 式, 得

$$\|x_b-x(t_f;Bu_{\varepsilon})\|_{C_{1-\alpha}}<\varepsilon.$$

注意到条件 $H(4)$, 同时系统 (1.1) 所对应的线性系统是逼近能控的, 则 $\overline{R_b(0)}=L^p(J,X)$, 为了证明系统 (1.1) 的逼近能控性, 只需证明

$$R_b(0)\subset\overline{R_b(f)}.$$

换句话说, 我们只要证明对任意的 $\varepsilon>0$ 和 $l\in R_b(0),$ 存在 $x_{\varepsilon}\in R_b(f)$ 使得 $\|x_{\varepsilon}-l\|_{C_{1-\alpha}}<\varepsilon.$ 由引理3.1, 算子 $\mathcal {J}$ 在 $N^{\bot}$ 存在一个不动点. 因此, 存在 $v^*\in N^{\bot}(\mathcal {G})$ 使得

$$\mathcal {J}v^*=GBu-G\Gamma Qv^*.$$

我们重述一下 $Qv^*\in(v^*+N(\mathcal {G}))\bigcap\overline{R(B)},$$G$ 是由 $L^{p}(J,X)$ 映射到 $N^{\bot}(\mathcal{G})$ 上的正交投影算子, 则有

$$\int_{0}^{b}(b-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(b-s)(Qv^*)(s){\rm d}s=\int_{0}^{b}(b-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(b-s)v^*(s){\rm d}s,$$

$$\hspace{-.5cm}\int_{0}^{b}(b-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(b-s)Gh(s){\rm d}s=\int_{0}^{b}(b-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(b-s)h(s){\rm d}s,$$

从而

又因为存在一函数序列 $u_n\in L^p(J,U)$ 使得当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有 $Bu_n\rightarrow Qv^*$. 于是, 当 $n\rightarrow\infty$ 时有

$$y(b;Bu_n)\rightarrow y(b;Qv^*)=l.$$

又由于 $y(b;Bu_n)=x(b;u_n)\in R_b(f),$ 我们得到 $l\in \overline{R_b(f)}.$

定理得证.

考虑如下带有 Riemann-Liouville 分数阶抛物方程的初边值逼近能控问题

取 $X=U=L^{2}([\pi])$, 算子 $A:D(A)\subset X\rightarrow X$ 定义为

$$Ax=x'',$$

其中定义域 $D(A)$ 定义如

$$\{x\in X:x, x' \textrm{是绝对连续的}, x''\in X, x(0)=x(\pi)=0\}.$$

则, $A$ 可以写成

$$Ax=-\sum_{n=1}^{\infty}n^{2}(x,x_{n})x_{n}, x\in D(A),$$

其中 $x_{n}(x)=\sqrt{2/\pi}\sin ny (n=1,2,\cdots)$ 是空间 $X$ 的一组正交基. 显然, $A$ 是可微半群 $T(t)(t>0)$ 在 $X$ 上的无穷小生成元, 并且

$$T(t)x=\sum_{n=1}^{\infty}\exp^{-n^{2}t}(x,x_{n})x_{n}, x\in X, \textrm{及} \|T(t)\|\leq e^{-1}<1=M.$$

对于任意的 $u(\cdot)\in V=L^{2}(J,U)$, 有

$$u(t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(t)x_{n}, u_{n}(t)=\langle u(t),x_{n}\rangle,$$

定义算子 $B$ 如下

$$Bu(t)=2u_1x_1+\sum_{n=2}^{\infty}u_{n}(t)x_{n}.$$

系统 (4.1) 可以写成系统 (1.1) 的抽象形式. 由文献 [26], 有界线性算子 $\mathcal{G}:L^{p}(J,X)\rightarrow X$ 定义为

$$\mathcal{G}h=\int_{0}^{b}(b-s)^{\alpha-1}T_{\alpha}(b-s)h(s){\rm d}s, h(\cdot)\in L^{p}(J,X)$$

成立, 并且系统 (4.1) 所对应的线性系统是逼近能控的在上 $[b].$

假设非线性泛函 $f$ 满足条件

$$\|f(t,x_1)-f(t,x_2)\|\leq L't^{\frac{1}{3}}\|x_1-x_2\|_{X}, \forall x_1, x_2\in X, t\in J.$$

容易得到条件 $H(1),H(2)$ 和 $H(3')$ 被满足. 由定理 3.1, 系统 (4.1) 在 $[b]$ 上是逼近能控的, 如果

$$\frac{3}{[\Gamma(\frac{2}{3})]^2}L'E_{\frac{2}{3}}(L')<1.$$