作为反应扩散方程的主要研究方向, 行波解常用来模拟传染病学、生态学、神经网络等领域发生的传播现象^[1-4], 例如, 疾病的传播、生物的增长等. 而当受天气、环境和季节等具有时间周期性因素的影响时, 疾病的传播和生物的增长也会出现周期性变化, 例如, 流感病毒的活动冬季达到高峰、夏季较少; 蚊子在夏季繁殖量高、而冬季较少. 因此, 对时间周期的反应扩散方程行波解 (可简称周期行波解) 的研究引起了学者们的关注^[5-8]. 2020 年, Zhang 和 Wang 等^[7] 利用上下解方法和不动点定理研究了具有双线性发生率的 SIR 系统

周期行波解的存在性和不存在性, 其中$S(x,t), I(x,t)$ 和$R(x,t)$ 分别表示易感者、感染者和恢复者的密度, $\beta(t)$ 和$\gamma(t)$ 分别为感染率和恢复率. 此后, Wu 和 Teng 等^[9]将 Zhang 和 Wang 等^[7]的工作推广到了具有非线性发生率的 SIR 系统

然而, 系统 (1.1)-(1.2) 并未考虑在特定人群中与媒体报道有关的病毒接触率对传染病传播的影响. 基于此, Cui 和 Tao 等^[9]提出了一类具有病毒接触率的 SIS 常微分系统

其中正常数$\beta_{1}$ 和$\beta_{2}$ 分别表示不考虑感染个体存在的接触率和因为感染个体存在避免与其接触而减少的接触率, $A$, $d$ 和$\nu$ 分别是易感者的常数输入率、人口的自然死亡率和由疾病引起的个体的死亡率. 基于 Cui 和 Tao 等^[9]提出的模型$ (3)$, 王雅琪^[10]借助上、下解和 Schauder 不动点定理研究了具有病毒接触率的 Laplace 扩散 SIR 系统

周期行波解的存在性和不存在性.

注意到, 上述系统 $ (1.1)$, $ (1.2)$ 和$ (1.4)$ 式中的 Laplace 扩散是一种仅与当前位置有关的局部扩散, 常用来描述短距离、稠密条件下个体的扩散. 而对长距离、稀疏条件下的个体扩散, 不仅与当前位置有关、还与周围其他位置甚至整个区域有关, 这就是非局部扩散, 可以用如下积分项

来表示, 其中核函数$H(\cdot)$ 满足$H*1=\int_{\mathbb{R}}H(y){\rm d}y=1$, $H(x-y)$ 表示个体从空间位置$y$ 到$x$ 的概率密度. 此外, 时间滞后 (简称时滞) 现象普遍存在于现实世界. 例如, 人或动物摄取食物后需要一段时间才能消化吸收, 病人服药后到药物起效会有一段滞后. 因此, 对时滞非局部扩散传染病系统行波解和周期行波解的研究引起了学者们的关注, 并建立了一些有意义的研究成果^[4,11]. 例如, Zhang 和 Yang 等^[4] 借助上下解方法、Schauder 不动点定理和双边 Laplace 变换建立了时滞非局部扩散 SIR 系统

行波解的存在性和不存在性. 但是, 系统$ (1.5)$ 并未考虑病毒接触率和时间周期性因素的影响. 基于此, 本文研究具有病毒接触率的时滞非局部扩散 SIR 系统

满足初始条件$S(x,0)=S^{0}(x), I(x,0)=I^{0}(x), R(x,0)=R^{0}(x)$ (其中$x\in \mathbb{R}$) 的周期行波解的存在性和不存在性.

注意到, 建立系统$ (1.6)$ 周期行波解的存在性时, 时滞的出现使上下解的构造变得困难; 另外, 由于考虑了病毒接触率, 对具有周期性的闭凸集上线性系统初值问题解的有界性估计带来了困难. 最后, 非局部扩散的出现导致解算子紧性的缺失和无法建立解的抛物估计, 使得 Schauder 不动点定理失效. 为此, 本文借助非紧性 Kuratowski 测度理论和渐近不动点定理建立系统$ (1.6)$ 周期行波解的存在性. 此外, 还利用反证法和分析技术研究系统$ (1.6)$ 周期行波解的不存在性. 因此, 本文不仅将时滞非局部扩散 SIR 系统行波解的研究拓展到了周期情形, 还将无时滞 Laplace 扩散 SIR 系统周期行波解的研究结果推广到了时滞非局部扩散 SIR 系统, 从而完善了关于 SIR 系统行波解和周期行波解的相关研究^[4,7,8,10].

首先, 给出本文用到的假设条件

$\boldsymbol{(A_{1})} H(\cdot)\in C^{1}(\mathbb{R})$ 具有紧支集, $H(z)=H(-z)\geq 0, \int_{\mathbb{R}}H(z){\rm d}z=1$;

$\boldsymbol{(A_{2})} f(0)=0, f'(I)\geq0, f''(I)\leq 0, \lim\limits_{I\to\infty}f(I)=1$ 且$f'(0)$ 有界;

$\boldsymbol{(A_{3})} $当$S>0, I\geq0$ 时, $g(S,I)$ 是二阶连续可微的, 并且$g(0, I)=g(S, 0)=0 (S, I>0)$; 当$S>0,I\geq0$ 时, $\partial_{2} g(S, I)=\frac{\partial g(S,I)}{\partial I}>0, \partial_{22} g(S, I)=\frac{\partial^{2} g(S,I)}{\partial I^{2}} \leq 0$; 当$I>0$ 时, $\partial_{1} g(S, I)=\frac{\partial g(S,I)}{\partial S}>0$ 且对所有$S\geq0$ 有界.

由于系统$ (1.6)$ 中关于$R(x,t)$ 的方程可以解耦, 所以仅需考虑系统

系统$ (2.1)$ 的周期行波解是指形如

且对任意的$(\xi,t)\in\mathbb{R}^2$, 满足

的解, 这里$(\overline{\phi}(t),\overline{\psi}(t))$ 和 $(\underline{\phi}(t),\underline{\psi}(t))$ 是系统$ (2.1)$ 相应常微分系统

的周期解. 将$ (2.2)$ 式代入系统$ (2.1)$, 可得系统$ (2.1)$ 的行波系统为

且满足渐近边界条件

关于$t\in\mathbb{R}$ 一致成立, 其中$S_0$ 和$S^\infty$ 分别表示初始时刻无疾病时易感者的密度和疾病爆发后易感者的密度.

本节建立系统$ (2.1)$ 周期行波解的存在性. 下面给出本节需要的函数空间和主要工具.

定义 3.1 对任意的$\rho>0$, 定义函数空间

$$ X_\rho:=\Big\{\varphi=(\varphi_1,\varphi_2)\in C(\mathbb{R},\mathbb{R}^2):\sup\limits_{z\in\mathbb{R}}|\varphi_i(z)|{\rm e}^{-\rho|z|}<+\infty,i=1,2\Big\} $$

和

$$ \Gamma_{\rho}^{\rm per}:=\left\{u=(u_1,u_2)\in C(\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^2):\begin{array}{c}u_i(z,t)=u_i(z,t+T),\forall (z,t)\in\mathbb{R}^2,i=1,2\\ \sup\limits_{(z,t)\in \mathbb{R}\times{[T]}}|u_i(z,t)|{\rm e}^{-\rho|z|}<+\infty\end{array}\right\}, $$

分别具有范数

$$ \|\varphi\|_\rho:=\max\{\|\varphi_1\|_\rho,\|\varphi_2\|_\rho\}=\max\Big\{\operatorname*{sup}_{z\in\mathbb{R}}|\varphi_1(z)|{\rm e}^{-\rho|z|},\sup\limits_{z\in\mathbb{R}}|\varphi_2(z)|{\rm e}^{-\rho|z|}\Big\} $$

和

$$ \|u\|_\rho^{\rm per}\!:=\!\max\{\|u_1\|_\rho^{\rm per},\|u_2\|_\rho^{\rm per}\}\!=\!\max\Big\{\sup\limits_{(z,t)\in \mathbb{R}\times{[T]}}|u_1(z,t)|{\rm e}^{-\rho|z|},\sup\limits_{(z,t)\in \mathbb{R}\times{[T]}}|u_2(z,t)|{\rm e}^{-\rho|z|}\Big\}. $$

命题 3.1^[12] 设$E$ 是 Banach 空间.

$(\text{i})$ 对任意有界集$B$, 非紧性 Kuratowski 测度$\alpha$ 定义为

$\alpha(B)=\inf\{r:B$ 能被有限个直径小于$r$ 的集合覆盖

显然, $\alpha(B)=0$ 当且仅当$\overline{B}$ 是紧的. 对任意两个有界集$\tilde{B_1}$ 和$\tilde{B_2}$, 有$\alpha(\tilde{B_1}+\tilde{B_2})\leq \alpha(\tilde{B_1})+$$\alpha(\tilde{B_2});$

$(\text{ii})$ 对任意有界闭集$B\subset E$ 以及$\alpha(B)>0$, 有$\alpha(f(B))< \alpha (B)$, 则称连续映射 $f:E\rightarrow E$ 是$\alpha-$ 压缩的; 如果$E$ 中存在有界集$B_0$, 使$B_0$ 吸引$E$ 中的每个紧集, 则称$f$ 是紧耗散的. 显然, 紧集是$\alpha-$压缩的.

命题 3.2^[13]$($渐近不动点定理$)$ 设$E$ 是 Banach 空间, 若$f:E\rightarrow E$ 是$\alpha-$ 压缩的且紧耗散, 则$f$ 存在不动点.

记$X=C\left([-\tau,0],\mathbb{R}\right),\:X^+=C\left([-\tau,0],\mathbb{R}^+\right).$

将$ (2.3)$ 式的第二个方程在无病平衡点$(S_0,0)$ 处线性化可得

记$U(t,s), t\geq s$ 是线性周期方程$\frac{{\rm d} I(t)}{{\rm d} t}=-\gamma(t)I(t), t>0$ 的演化算子, 即$\frac{{\rm d} U(t,s)}{{\rm d} t}=-\gamma(t)U(t,s), \forall t\geq s, U(s,s)=E$, 其中$E$ 为单位矩阵. 令$C_T\subset C(\mathbb{R})$ 是全部$T$ 周期连续函数组成的集合, 记$v(\cdot)\in C_T$ 表示感染个体的初始分布, 定义算子$\Lambda(t): C_T\rightarrow C_T$ 为

对任意给定的$s\geq0$, $\Lambda(t-s)v_{t-s}=\beta_{1}(t)\partial_{2}g(S_{0},0)v(t-s-\tau)$ 表示由$[t-s-\tau,t-s]$ 这段时间内被感染个体感染所产生的$t-s$ 时刻的新感染个体的数量. 从而, 对任意的$t\geq s$,$U(t,t\:-\:s)\Lambda(t\:-\:s)v_{t-s}$ 表示$t-s$ 时刻新感染个体持续到$t$ 时刻仍为感染个体的数量, 则$t$ 时刻累积新感染个体的数量为

从而, 可以定义次代算子$\mathcal{L}$ 为 $[\mathcal{L}v](t):=\int_ {0}^{\infty}U(t,t-s)\Lambda(t-s)\:v(t-s){\rm d}s.$ 受文献 [15] 的启发, 定义基本再生数$\Re_{0}:=r(\mathcal{L})$, 其中$r(\mathcal{L})$ 为算子$\mathcal{L}$ 的谱半径. 本文第 3 节总假定$\Re_{0}>1$.

首先, 给出系统$ (2.4)$ 的上下解定义

定义 3.2 假设$(A_{1})$-$(A_{3})$ 成立, 若$(\overline{\phi}(\xi,t),\overline{\psi}(\xi,t))$ 和$(\underline{\phi}(\xi,t),\underline{\psi}(\xi,t))$ 满足

则称$(\overline{\phi}(\xi,t),\overline{\psi}(\xi,t))$ 和$(\underline{\phi}(\xi,t),\underline{\psi}(\xi,t))$ 分别为$ (10)$ 式的上解和下解.

将$ (2.1)$ 式的第二个方程在无病平衡点$(S_0,0)$ 处线性化得

则对任意的$\mu>0$, 将$I(x,t)\text{:}=\:{\rm e}^{\mu x}\theta(t)$ 代入$ (13)$ 式中, 可得

下面定义$ (3.3)$ 式的解半流$I_t^\mu(\varphi)(s)=I(t+s;\varphi;\mu),\forall s\in[-\tau,0),t>0,$ 其中$I(t;\varphi;\mu)$ 是初值$\varphi\in X^{+}$ 时$ (3.3)$ 式的解. 进一步, 定义$X^{+}\rightarrow X^{+}$ 的 Poincaré 映射$P_ {\mu}=I^{\mu}_{T}(\varphi)$, 记$\rho(\mu)$ 为$P_{\mu}$ 的谱半径, $\rho_{0}=\rho(0)$ 为方程$ (3.1)$ Poincaré 映射的谱半径. 根据文献[14,定理 2.1]可知,$\Re_{0}-1$ 与$\rho_{0}-1$ 符号相同. 由于$\Re_{0}>1$, 从而$\rho(\mu)>\rho_{0}>1$. 记$\lambda(\mu):=\frac{\ln\rho(\mu)}{T}$. 根据文献 [15,命题 2.1] 可知, 存在$T$ 周期函数 $G_\mu(t)$ 使得$\theta_\mu(t)={\rm e}^{\lambda(\mu)t}G_\mu(t)$ 是$ (3.3)$ 式的解.

定义函数$\Phi(\mu)=\frac{\lambda(\mu)}{\mu},\mu\in(0,\infty)$, 由文献 [16,命题 2.7] 可知, 存在$\mu^ {\ast},c^{\ast}\in(0,\infty)$, 使得 $c^*=\Phi(\mu^*)=\operatorname*{inf}\limits_{\mu>0}\Phi({\mu})$. 从而, 根据文献 [17,引理 3.1] 可得, 对任意给定的$c>c^{\ast}$, 存在$\mu_{1}(c)$ 和$\mu_{2}(c)$ 满足$0<\mu_ {1}<\mu_{2}<\infty$, 使得$\Phi(\mu_{1})=c$ 且$\Phi(\mu)<c, \forall \mu\in(\mu_{1},\mu_{2})$. 由上述讨论可知, $G_{\mu_1}(t)$ 满足

取$\varepsilon_2\in(0, \mu_2-\mu_1)$ 是待定常数, 令$\mu_{\varepsilon_2}=\mu_1+\varepsilon_2$, 从而有$c^*<c_ {\varepsilon_2}:=\Phi(\mu_{\varepsilon_2})<c.$ 记$\lambda\left(\mu_ {\varepsilon_2}\right)=\frac{\ln\rho\left(\mu_{\varepsilon_2}\right)}{T}$, 则存在一个正$T$ 周期函数$G_ {\mu_{\varepsilon_2}}(t)$ 使得$\theta_ {\mu_{\varepsilon_2}}(t)={\rm e}^{\lambda(\mu_{\varepsilon_2})t}G_{\mu_{\varepsilon_2}}(t)$ 是$ (3.3)$ 式的解. 因此, $G_{\mu_{\varepsilon_2}}(t)$ 满足

定义函数

其中, $\varepsilon_i>0$和$N_i>0(i=1,2)$ 为待定常数; 正常数$G_{\varepsilon}>\max\limits_{t\in [T]}G_{\mu_{1}}(t)$ 且满足$G_{\varepsilon}=\max\limits_{t\in[T]}\frac{\beta_1(t)}{\gamma(t)}g(S_0,G_{\varepsilon})$.

引理 3.1 函数$\overline{\phi}\left(\xi,t\right)=S_0$ 满足

引理 3.2 对任意的$\xi \neq\xi_{1} :=\frac{1}{\mu_{1}}\ln \frac{G_{\varepsilon}}{G_{\mu_{1}}(t)}$, 函数$\overline{\psi}\left(\xi,t\right)=\min\left\{{\rm e}^ {\mu_1\xi}G_{\mu_1}\left(t\right),G_{\varepsilon}\right\}$ 满足

引理 3.3 假设$\varepsilon_{1}\in(0,\mu_{1})$ 充分小且$N_{1} >1$ 充分大, 则对任意的$\xi\neq \xi_{2} :=-\frac{1}{\varepsilon_{1}}\ln N_{1}$, 函数$\underline{\phi}\left(\xi,t\right)\colon=\max\left\{0,S_0\left(1-N_1 {\rm e}^{\mu_1\xi}\right)\right\}$ 满足

引理 3.4 假设$\varepsilon_{2}\in(0,\min\{\varepsilon_{1},\mu_{2}-\mu_{1}\})$ 充分小且满足$\max\limits_{t\in [T]}\frac{1}{\varepsilon_{2}}\ln\frac{G_{\mu_{1}}(t)}{N_{2}G_{\mu_{\varepsilon_{2}}} (t)} <-\frac{1}{\varepsilon_{1}} \ln N_{1}$ 的正数$N_{2}$ 充分大, 则对任意的$\xi \neq \xi_{3}(t):=\frac{1}{\varepsilon_{2}}\ln\frac{G_{\mu_{1}}(t)}{N_{2} G_{\mu_{\varepsilon_{2}}}(t)}$, 函数 $\underline{\psi}\left(\xi,t\right)\colon=\max\left\{0,{\rm e}^{\mu_1 \xi}G_{\mu_1}\left(t\right)-N_2{\rm e}^{\mu_{\varepsilon_2}\xi}G_{\mu_{\varepsilon_2}}\left(t\right)\right\}$ 满足

引理 3.1-3.4 的证明是平凡的, 可参见文献 [5,18], 故此省略.

首先, 定义集合

由$(A_2)$ 和$(A_3)$ 可知, 对任意的$(\xi,t)\in \mathbb{R}^2$, 存在正常数$L_1$ 和$ L_2$ 分别满足$\partial_1g(\hat{\phi},\hat{\psi})(\xi,t)\leq L_1$ 和$f'(0)G_\varepsilon g(S_0,G_\varepsilon)+f(G_\varepsilon)\partial_2g(S_0,0)\leq L_2$, 对给定的$(\hat{\phi},\hat{\psi})\in D$, 记 $F(\hat{\phi},\hat{\psi}):=(f_1(\hat{\phi},\hat{\psi}),f_2(\hat{\phi},$$\hat{\psi}))$,

其中$\alpha_1$和$ \alpha_2$ 是满足$\alpha_1>\max\limits_{t\in[T]}\beta_1(t)L_1$ 和$ \alpha_2>\max\limits_{t\in[T]}(\gamma(t)+\beta_2(t)L_2)$ 的正常数. 另外, 不难验证

对任意给定的$(\hat{\phi},\hat{\psi})(\xi,t)\in D$ 且 $(\xi,t)\in\mathbb{R}\times(0,+\infty)$, 考虑线性系统

令$\mathbf{Q}(t):=(Q_1(t),Q_2(t)):X_\rho\rightarrow X_\rho$ 是线性系统

的解映射. 再令$\mathbf{G}(t):=(G_1(t),G_2(t)):X_\rho\rightarrow X_\rho$ 是线性系统

的解映射. 显然, 对给定的$(\varphi_1,\varphi_2)\in X_\rho,$ 有$\mathbf{G}(t) [\varphi]=(G_1(t)[\varphi_1],G_2(t)[\varphi_2])$. 由文献 [19] 可知,

其中$P_i(t)[\varphi_i](\xi)={\rm e}^{-d_it}\sum\limits^{\infty}\limits_{k=0}\frac{(d_it)^{k}}{k!}a_k(\varphi_i)(\xi), a_0(\varphi_i)(\xi)=\varphi_i(\xi)$ 以及$a_k(\varphi_i)(\xi)=\int_\mathbb{R}H(\xi-y)$$a_{k-1}(\varphi_i)(y){\rm d}y, \forall k\geq 1$. 因此, 对给定的$\varphi\!=\!(\varphi_1,\varphi_2)\in X_\rho$, 令$\mathbf{Q}(t) [\varphi]\!=\!(Q_1(t)[\varphi_1],Q_2(t)[\varphi_2])$, 由$ (3.12)$ 式可得

因此, 系统$ (3.12)$ 等价于积分系统

定义闭凸集

引理 3.5 任意给定的$\phi_0(\xi),\psi_0(\xi) \in \hat{D}$, 记$(\phi (\xi,t),\psi (\xi,t))$ 是系统$ (3.17)$ 以$\phi_0(\xi)$和$\psi_0(\xi)$ 为初值的解, 则对任意的$(\xi,t) \in \mathbb{R}\times[T]$, 有

证 因为$\overline{\phi}(\xi,t)=S_0$ 是$ (3.12)$ 式的解, 故有

再利用(3.19)式可知, $\overline{\phi}(\xi,t)=Q_1(t)\overline{\phi} _0(\xi)+\int^{t}_{0}Q_1(t-s)\alpha_1\overline{\phi}(\xi,s){\rm d}s.$ 从而, 结合$ (3.17)$ 式,$\phi_0(\xi)\in \hat{D}$ 和$f_1(\hat{\phi},\hat{\psi})(\xi,t)$ 的定义式可得

所以$\overline{\phi}(\xi,t)\geq \phi(\xi,t)$. 令$\tilde{\phi}(\xi,t)=Q_1(t)\phi_0(\xi)+\int^{t}_{0}Q_1(t-s)f_1(\underline{\phi},\hat{\psi})(\xi,s){\rm d}s$, 利用$(A_2)$ 和 $(\hat{\phi},\hat{\psi})\in D$ 有$f_1(\underline{\phi},\hat{\psi})\leq f_1(\hat{\phi},\hat{\psi})$, 即$\tilde{\phi}(\xi,t)\leq \phi(\xi,t)$. 由$ (3.12)$ 式可知

则利用引理 3.3 可得

从而$\partial_t[\tilde{\phi}-\underline{\phi}](\xi,t)-d_1[(H*\tilde{\phi}-\tilde{\phi})- (H*\underline{\phi}-\underline{\phi})](\xi,t)+c\partial_\xi[\tilde{\phi}-\underline{\phi}](\xi,t)+\alpha_1[\tilde{\phi}-\underline{\phi}](\xi,t)\geq 0$. 由最大值原理得$\tilde{\phi}(\xi,t)\geq \underline{\phi}(\xi,t)$. 因此, $\phi(\xi,t)\geq \tilde{\phi}(\xi,t)\geq \underline{\phi}(\xi,t).$

利用文献 [18,引理 2.10] 中$(2.13)$-$(2.15)$ 式的证明过程可证得

由(3.11)式可知, 对任意的$(\hat{\phi},\hat{\psi})\in D$, 有$f_2(\overline{\phi},\overline{\psi})\geq f_2(\hat{\phi},\overline{\psi})$. 故利用 $(A_2)$-$(A_3)$ 和 $f_2(\hat{\phi},\hat{\psi})$$(\xi,t)$ 的定义式, 可得

从而, $f_2(\hat{\phi},\overline{\psi})\geq f_2(\hat{\phi},\hat{\psi})$. 因此, $f_2(\overline{\phi},\overline{\psi})\geq f_2(\hat{\phi},\hat{\psi})$.

同理可证$f_2(\hat{\phi},\hat{\psi})\geq f_2(\underline{\phi},\underline{\psi})$. 结合 (3.17),(3.20)-(3.21) 式和$\psi_0(\xi) \in \hat{D}$ 可得

因此, $\underline{\psi}(\xi,t)\leq \psi(\xi,t)\leq \overline{\psi}(\xi,t)$. 故$(\underline{\phi}(\xi,t),\underline{\psi}(\xi,t))\leq (\phi(\xi,t),\psi(\xi,t))\leq (\overline{\phi}(\xi,t),\overline{\psi}(\xi,t)).$

类似文献 [18] 的证明, 可得

引理 3.6 对任意的$t\in(0,+\infty), $ 存在充分小的数$\rho>0$, 有$\|\mathbf{Q}(T)\|_\rho<1$.

接下来, 记$\check{d}=\min\{d_1,d_2\}, \check{\alpha}=\min\{\alpha_1,\alpha_2\}$, 对给定的$\rho>0$ 和$ L_i^{+}>0$, 定义$Y_{L^{+}}=\{\varphi_i\in X_\rho: 0\leq \varphi_i(\xi)\leq \mathbf{L}^{+}:=(L_1^{+},L_2^{+}), \forall \xi\in\mathbb{R}\}(i=1,2)$, 不难证明,$Y_{L^{+}}$ 是$X_\rho$ 上的非空闭凸集. 类似文献 [18,引理 2.9], 易证对任意的$t>0$, $\mathbf{Q}(t)$ 在$Y_{L^{+}}$ 上是$\alpha-$ 压缩的, 即

引理 3.7 对任意的$t>0$ 和$\rho>0$, 有$\mathbf{Q}(t)$ 在$Y_{L^{+}}$ 上是$\alpha-$压缩的, 且$\alpha(\mathbf{Q}(t)[Y_{L^+}])\leq {\rm e}^{(\rho c-\check{d}-\check{\alpha})t}\alpha(Y_{L^+})$.

为了建立系统$ (2.1)$ 周期行波解的存在性, 下面将系统$ (2.1)$ 周期行波解的存在性转化为定义在闭凸集$Y_{L^{+}}$ 上的非线性算子存在不动点的问题.

对给定的$(\hat{\phi},\hat{\psi})\in D$, 令$\phi_0(\xi)=\phi(\xi,T)\in X_\rho$ 和$ \psi_0(\xi)=\psi(\xi,T)\in X_\rho$ 满足$(\underline{\phi}(\xi,0),\underline{\psi}(\xi,$$0))\leq(\phi_0(\xi),\psi_0(\xi))\leq(\overline{\phi}(\xi,0),\overline{\psi}(\xi,0))$. 从而, 由$ (3.17)$ 式可得

另外, 由引理 3.6 可知, 存在充分小的数$\rho>0$, 有$\|\mathbf{Q}(t)\|_\rho<1$, 从而$ (3.22)$ 式等价于

其中$I_1$ 和$I_2$ 是恒等算子. 因此, 对任意给定的$(\hat{\phi},\hat{\psi})\in D, (\xi,t)\in \mathbb{R}\times [T]$, $ (3.17)$ 式等价于

则由引理 3.5 可知,$(\phi(\xi,t),\psi(\xi,t))\in D$. 下面定义非线性算子$\mathcal{F}:=(\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2): D\rightarrow D$ 为$\mathcal{F}(\hat{\phi},\hat{\psi})= (\mathcal{F}_1(\hat{\phi},\hat{\psi}),\mathcal{F}_2(\hat{\phi},\hat{\psi}))=(\phi,\psi)$, 其中

下面证明非线性算子$\mathcal{F}$ 是$\alpha-$ 压缩的, 首先要证明$\mathcal{F}$ 的连续性, 即

引理 3.8 假设$(A_1)$-$(A_3)$ 成立, 则$\mathcal{F}:=(\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2):D\rightarrow D$ 关于$\|\cdot\|^{\rm per}_\rho$ 是连续的.

证明过程类似于文献 [11,引理 3.6], 故此省略.

其次, 在证明连续算子$\mathcal{F}:=(\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2)$ 是$\alpha-$ 压缩的过程中, 还需要如下的假设条件$(A_4)$ 和非紧性 Kuratowski 测度的性质 (即命题 3.3)

$\boldsymbol{(A_{4})} $$\check{d}>\max\{M_1,M_2\}$, 其中$ M_1=\max\limits_{t\in [T]}\{3\alpha_1,\beta_1(t)[G_\epsilon)]\}, M_2=\max\limits_{t\in [T]}\{2\alpha_1,\alpha_2+\gamma(t)+\beta_1(t)[G_\epsilon)]\}$.

注意到, 由于$M_1$ 和$M_2$ 不依赖于$d_1$ 和$d_2$, 故只需$d_1$ 和$d_2$ 充分大, 就有$(A_{4})$ 成立.

命题 3.3^[20,21] 令$E$ 是 Banach 空间, $I\subseteq\mathbb{R}^{n}$ 是一个紧集, $B\subseteq C(I,E)$ 是有界的. 对每个$t\in I$, 定义$B(t)=\{b(t):b\in B\}$, 则下面陈述是正确的

$(\text{i})$$ \alpha(B)\geq \sup\limits_{t\in I}\alpha(B(t))$. 此外, 若$B$ 是等度连续的, 即对任意的$\varepsilon>0$, 存在 $\delta=\delta(\varepsilon)$, 使得当$|t_1-t_2|<\delta$ 时, $\sup\{|b_1(t)-b_2(t)|:b\in B\}<\varepsilon$, 则$\alpha(B)=\sup\limits_{t\in I}\alpha(B(t))$;

$(\text{ii}) $ 若$B$ 是等度连续的, 则$\alpha(\int_{0}^{t}B(s){\rm d}s)\leq \int_{0}^{t}\alpha(B(s)){\rm d}s$, 其中$\int_ {0}^{t}\alpha(B(s)){\rm d}s:=\!\{\int_{0}^{t}\alpha(b(s))$${\rm d}s:b\in B\}$.

引理 3.9 ($\alpha-$压缩性) 假设$(A_1)$-$(A_4)$ 成立, 则$\mathcal{F}:=(\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2):D\rightarrow D$ 是$\alpha-$ 压缩的.

证 对任意的$\xi\in\mathbb{R}$, 给定的$(\hat{\phi}_i,\hat{\psi}_i)\in D(i=1,2)$, 有$f_i(\hat{\phi_i},\hat{\psi_i})(\xi,t)\in C([T],X_\rho)$. 此外, $f_i(\hat{\phi_i},\hat{\psi_i})(\xi,t)$ 关于$(\hat{\phi}_i,\hat{\psi}_i)\in D$ 是一致有界的. 由$f_1(\hat{\phi},\hat{\psi})(\xi,t)$ 的定义式可得

另外

其中 $\tilde{\phi}(\xi,t)\in(\hat{\phi}_1(\xi,t),\hat{\phi}_2(\xi,t))$. 同理可得

从而

其中$M_1:=\max\limits_{t\in [T]}\{3\alpha_1,\beta_1(t)[G_\epsilon)]\}$. 结合范数的定义可知

类似证明(3.23)式的相似方法可得

其中$M_2:=\max\limits_{t\in [T]}\{2\alpha_1,\alpha_2+\gamma(t)+\beta_1(t)[G_\epsilon)]\}$. 故当$\overline{M}:=\max\{M_1,M_2\}$ 时, 有$\|F(\hat{\phi}_1,\hat{\psi}_1)-F(\hat{\phi}_2,\hat{\psi}_2)\|_\rho^{\rm per}\leq \overline{M}(\|\hat{\phi}_1-\hat{\phi}_2\|^{\rm per}_\rho+\|\hat{\psi}_1-\hat{\psi}_2\|^{\rm per}_\rho)$. 从而, 对任意的有界闭集$B\subseteq D$, 有$\alpha(F(B))\leq \overline{M}\alpha(B)$. 类似文献 [18,引理 2.11] 可得

故结合引理 3.7 可知, 对每个$t\in [T]$, 有

类似文献 [22,引理 3.3] 可知, $\phi_t(\xi,t)$ 和$\psi_t(\xi,t)$ 是一致有界的. 从而, $\mathcal{F}(B)(t)$ 是有界且等度连续的. 利用命题 3.3 的$(\text{i})$ 可知, $\alpha(\mathcal{F}(B))\leq \frac{\overline{M}}{\check{d}+\check{\alpha}-\rho c}\alpha(B)$. 于是, 由$(A_4)$ 可知, $1>\frac{\overline{M}}{\check{d}+\check{\alpha}}=\lim\limits_{\rho\rightarrow 0^{+}}\frac{\overline{M}}{\check{d}+\check{\alpha}-\rho c}.$ 故存在充分小的数$\rho>0$, 有$\frac{\overline{M}}{\check{d}+\check{\alpha}}<1$.

因此, 对任意的非空有界闭集$B\subseteq D$ 和$\alpha(B)>0$, 有$\alpha(\mathcal{F}(B))< \alpha(B)$, 即$\mathcal{F}:= (\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2):D\rightarrow D$ 是$\alpha-$ 压缩的.

本节主要建立非线性算子$\mathcal{F}$ 存在不动点, 即系统$ (2.1)$ 存在周期行波解.

定理 3.1 若$(A_1)$-$(A_4)$ 成立, 则当$c>c^{*}$ 时, 系统$ (2.1)$ 存在周期行波解$(\phi^{*}(\xi,t),\psi^{*}(\xi,t))$ 且对任意的$(\xi,t)\in \mathbb{R}^{2}$ 满足

以及

对任意的$t\in\mathbb{R}$ 一致成立.

证 由引理 3.8 和引理 3.9 可知, $\mathcal{F}:D\rightarrow D$ 关于$\|\cdot\|^{\rm per}_\rho$ 是连续的且$\mathcal{F}$ 是$\alpha-$压缩的. 注意到, $D$ 在$C(\mathbb{R}\times[T],\mathbb{R}^2)$ 上关于范数$\|\cdot\|^{\rm per}_\rho$ 是有界的, 结合引理 3.5 可知, $\mathcal{F}^{n}(D)\subseteq D, \forall n\geq 1$. 因此, $\mathcal{F}$ 是紧耗散的. 利用渐近不动点定理^[13]可得, $\mathcal{F}$ 存在不动点$(\phi(\xi,t),\psi(\xi,t))\in D$. 记$\phi^{*}(\xi,t):={\phi}(\xi,t-mT)$ 和$ \psi^{*}(\xi,t):={\psi}(\xi,t-mT), \forall(\xi,t)\in \mathbb{R}^{2}$, 其中$m\in Z$ 满足$t\in [mT,(m+1)T]$, 则$\phi^{*}(\xi,t+T)=\phi^{*}(\xi,t), \psi^{*}(\xi,t+T)=\psi^{*}(\xi,t)$ 且

因为$\phi^{*}(\xi,0)={\phi}(\xi,0)={\phi}_0(\xi)$ 和$\psi^{*}(\xi,0)={\psi}(\xi,0)={\psi}_0(\xi)$, 所以对任意的$(\xi,t)\in \mathbb{R}\times[T]$, 结合$ (3.17)$ 式可得

因此, $(\phi^{*}(\xi,t),\psi^{*}(\xi,t))$ 是系统$ (2.1)$ 的周期解.

类似文献 [18,定理 2.12] 的证明过程易证(3.26)式成立.

再证对任意的$t\in\mathbb{R}$, 有 (3.27) 式成立. 由$\overline{\phi}(\xi,t), \overline{\psi}(\xi,t)$ 和$ \underline{\phi}(\xi,t), \underline{\psi}(\xi,t)$ 的定义可知$\lim\limits_{\xi\rightarrow-\infty }\phi^{*}(\xi,t)=S_0$ 和$\lim\limits_{\xi\rightarrow-\infty }\psi^{*}(\xi,t)=0$. 令$U(\xi)\!=\!\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\phi^{*}(\xi,t){\rm d}t, V(\xi)\!=\!\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\psi^{*}(\xi,t){\rm d}t, \xi\in \mathbb{R},$ 则由 (3.26) 式和文献 [22,引理 3.3] 可知, $0< U(\xi)\leq S_0, 0< V(\xi)\leq G_\varepsilon$ 且 $V(\xi), V'(\xi)$ 是一致有界的. 通过对$ (2.4)$ 式直接计算, 不难得到

对$ (3.28)$ 式的第一个方程关于$\xi$ 从$-X$ 到$X$ 积分, 可得

利用 Fubini 定理和换元法, 可知

将 (3.30) 式代入(3.29)式可得

对$ (3.28)$ 式的第二个方程关于$\xi$ 从$-X$ 到$X$ 积分, 可得

类似于 (3.20) 式的讨论, 可知

结合(3.31)-(3.33) 式可得

因此, 由$V(\xi)$ 的定义式及$(A_1)$ 可知

其中$\tilde{\gamma}=\min\limits_{t\in[T]}\{\gamma(t)\}$, 则存在不依赖于$X$ 的正数$b>0$, 使得$|\int_{-X}^{X}V(\xi){\rm d}\xi| \leq b$. 又因为$V(\xi)$ 和$V'(\xi)$ 一致有界, 所以$V(+\infty)=0$, 即 $\psi^{*}(+\infty,t)=0.$

下证$\phi^{*}(+\infty,t)=S^{\infty}<S_0.$ 首先证明$U(+\infty)$ 的存在性. 反设$\overline{U}:=\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty} U(\xi)>\liminf\limits_{\xi\rightarrow+\infty} U(\xi):=\underline{U}$, 取序列$\{\sigma_{n}\}$ 和$\{\zeta_{n}\}$ 满足$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\sigma_n=+\infty$ 和$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\zeta_n=+\infty$, 且$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}U(\sigma_n)=\overline{U}, U'(\sigma_n)=0$ 和$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}U(\zeta_n)=\underline{U}, U'(\zeta_n)=0$. 类似文献 [23] 中的计算可知, 当$y\in {\rm supp} H$ 时, $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}U(\sigma_n+y)=\overline{U}$ 和$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}U(\zeta_n+y)=\underline{U}.$ 对$ (3.28)$ 式的第一个方程关于$\xi$ 从$\zeta_n$ 到$\sigma_n$ 积分, 可得

又由$H(\cdot)$ 的偶性, Fubini 定理并结合$\lim\limits_ {n\rightarrow+\infty}\frac{1}{T}\int_{\zeta_n}^{\sigma_n}\int_{0}^{T}[\beta_{1}(t)-\beta_{2}(t)f(\psi^{*}(\xi,t))]g(\phi^{*}(\xi,t),\psi^{*}(\xi-c\tau,t-\tau)){\rm d}t{\rm d}\xi=0$, 可得

这产生了矛盾. 从而, $\limsup\limits_{\xi\rightarrow+\infty} U(\xi)=\liminf \limits_{\xi\rightarrow+\infty} U(\xi):=S^{\infty}$. 接下来证明$U(+\infty)=S^{\infty}<S_0$. 若不然, 则有$U(+\infty)=S_0$. 此时, 对$ (3.28)$ 式的第一个方程关于$\xi$ 从$-p$ 到$p$ 积分, 可得

令$p\rightarrow+\infty$, 可得

这也是一个矛盾. 所以, $U(+\infty)=S^{\infty}<S_0$.

由$(3.26)$ 式可知,$\phi^{*}$ 的上下极限存在, 故令

根据$\phi^*$ 的$T-$周期性, 只需证明$S_{+}^{\infty}=S^{\infty}=S_{-}^{\infty}$. 证明过程类似文献 [7], 故此省略. 因此, $\phi^{*}$$(+\infty,t)=S^{\infty}<S_0$ 关于$t\in\mathbb{R}$ 一致成立.

本节建立当$\Re_{0}<1$ 时, 系统$ (2.1)$ 周期行波解的不存在性.

定理 4.1 若$\Re_{0}<1,$ 则对任意的$c\geq0,$ 系统$ (2.1)$ 不存在满足渐近边界条件$ (2.5)$ 的周期行波解.

证 利用反证法, 假设系统$ (2.1)$ 存在满足渐近边界条件$ (2.5)$ 的周期行波解$(\phi,\psi )$, 则对任意的$(\xi,t)\in \mathbb{R}^2$, 有$\phi(\xi,t)\leq S_0$, 因此, 结合$(A_2)$-$(A_3)$ 和$ (2.4)$ 式的第二个方程可知, 当$\xi\in\mathbb{R}, t>0$ 时, 有

定义$m:=\sup\limits_{\xi\in \mathbb{R}}\psi(\xi,0)<+\infty$, 则对任意的$\xi\in\mathbb{R}$, 有$\psi(\xi,0)\leq m$. 从而, 利用比较原理可得, 对任意的$(\xi,t)\in \mathbb{R}\times(0,+\infty),$ 有$\psi(\xi,t)\leq \chi(t;m),$ 其中$\chi(t;m)$ 满足

记$r(0)$ 为方程$ (4.1)$ Poincaré 映射的谱半径, 则由$\Re_{0}<1$

和文献 [14,定理 2.1] 可知$r(0)<1$. 由文献 [15,命题 2.1] 可知, 存在以$T$ 为周期的正函数$K(t)$ 使得$\chi(t;m)={\rm e}^{\lambda(0)t}K(t)$ 满足$ (4.1)$ 式, 其中$\lambda(0)=\frac{\ln r(0)}{T}<0$, 从而$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\chi(t;m)=0$. 因此, $\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\psi(\xi,t)=0$ 关于$\xi\in \mathbb{R}$ 一致成立, 这与$\psi(\cdot,t)$ 不恒等于 0 矛盾.

考虑如下的时滞非局部扩散 SIR 系统

这里, 取

$$ H(z)=\begin{cases} \frac{15}{16}(1-z^2)^2, & |z|\leq1,\\ 0, & |z|>1. \end{cases} $$

不难看出, 系统$ (1.6)$ 中的

$$ f(I(x,t))=\frac{I(x,t)}{1+I(x,t)}, g(S(x,t),I(x,t-\tau))=\frac{S(x,t)I(x,t-\tau)}{S(x,t)+I(x,t-\tau)}. $$

另外, 通过直接计算可知,$H(\cdot)$ 满足$(A_1)$,$f$ 和$g$ 满足$(A_2)$-$(A_3)$. 令

$$ M_1=\max\limits_{t\in [T]}\{3\alpha_1,\beta_1(t)(2+\frac{S_0G_\varepsilon}{S_0+G_\varepsilon})\},\ M_2=\max\limits_{t\in [T]}\{2\alpha_1,\alpha_2+\gamma(t)+\beta_1(t)(2+\frac{S_0G_\varepsilon}{S_0+G_\varepsilon})\}, $$

其中$S_0$ 是初始无病时刻易感者的密度,

$$G_\varepsilon=S_0\max\limits_{[T]}{\frac{\beta_1(t)}{\gamma(t)}}-S_0,\ \alpha_1=3\max\limits_{t\in[T]}\beta_1(t),\ \alpha_2=2\max\limits_{t\in[T]}[\gamma(t)+\beta_2(t)(S_0G_\varepsilon+1)].$$

从而取$\min\{d_1,d_2\}=\max\{M_1,M_2\}+1$, 则$(A_4)$ 成立.

因此, 由定理 3.1 和定理 4.1 可以建立系统 (5.1) 周期行波解的存在性和不存在性, 即定理 $5.1$ 和定理 $5.2$:

定理 5.1 若$\Re_{0}>1$, 则当$c>c^{*}$ 时, 系统$ (5.1)$ 存在周期行波解$(\phi^{*}(\xi,t),\psi^{*}(\xi,t))$ 且对任意的$(\xi,t)\in \mathbb{R}^{2}$ 满足

以及

对任意的$t\in\mathbb{R}$ 一致成立.

定理 5.2 若$\Re_{0}<1,$ 则对任意的$c\geq0,$ 系统$ (5.1)$ 不存在满足渐近边界条件

的周期行波解.