Hardy 算子作为不等式理论和函数空间研究中的重要工具, 自 G. H. Hardy 在 1920 年的开创性工作以来, 得到了广泛的关注和深入的研究. 最初, Hardy 算子被引入以研究与 Hilbert 不等式相关的问题, 其在积分不等式与 $ L^p $ 空间中的应用中发挥了关键作用. 随着研究的深入, Hardy 算子在不同的数学领域中展现出丰富的结构和性质, 特别是在加权函数和各种函数空间中的应用方面取得了显著进展.

$ L^2(0,\infty) $ 空间由定义在 $ (0,\infty) $ 上的平方可积函数构成,即

在 $ L^2(0,\infty) $ 空间中,传统的Hardy算子 $ H $ 定义为

它不仅在理论上具有重要意义, 而且在实际应用中, 如信号处理和微分方程的求解中扮演着不可或缺的角色. 近年来, 研究者们进一步拓展了 Hardy 算子的定义和应用范围, 例如对其在 Bergman 空间、$ L^2(0,1) $ 空间等函数空间的推广, 不仅丰富了算子的理论框架, 也为解决更广泛的数学和工程问题提供了新的工具. Hardy 算子最早由 G. H. Hardy 在 1920 年发表的文献[1]中提出, 在这篇论文中, Hardy 研究了一类与 Hilbert 不等式相关的算子, 这个算子后来被称为 Hardy 算子, 并成为不等式理论中的重要工具. Hardy 算子在研究积分不等式及其在函数空间中的应用中起到了重要作用, 它是基于对一类特定的积分表达式的处理和不等式的估计. 前人对Hardy 算子的研究在多个数学领域中取得了重要的进展, 尤其是在加权函数和不同函数空间中的应用方面. Kaiblinger, Maligranda 和 Persson 在参考文献[2]中讨论了带权 $ L^2 $ 空间中的 Hardy 不等式, 并推导了相关的精确常数. 在参考文献[3]中三位作者也证明了 Hardy 运算符相关算子在加权 $ L^p $ 空间中的有界性及其逆算子的存在性, 提出了更一般化的不等式, 并给出了必要条件及反例以验证这些条件的重要性. Brown 等系统研究了 Cesàro 算子和 Hardy 算子的性质, 包括其在不同 Hilbert 空间上的有界性, 谱理论以及不变子空间结构, $ I-H $ 在$ L^2[0,1] $ 和 $ L^2(0,\infty ) $ 分别是单侧移位算子和双侧移位算子, 进一步揭示 Hardy 算子与移位算子之间的深刻联系, 详情参见参考文献[4]. Edmunds 等系统研究了加权 Hardy 运算符在变指数 Lebesgue 空间 $ L^{p(x)} $ 上的有界性和紧性问题, 建立了该运算符从 $ L^{p(x)}(I) $ 映射到 $ L^{q(x)}(I) $ 所需满足的积分型必要条件和充分条件, 并进一步分析了对偶运算符的相应性质. 文章证明, 在经典 Lebesgue 空间中, 这些条件同时是必要且充分的, 而在变指数 Lebesgue 空间中, 则需要额外的约束来保证运算符的紧性. 作者还对 Hardy 运算符与有限秩算子之间的距离进行了估计, 从而为该类算子的逼近性质提供了理论依据. 此外, 文章给出了具体权函数的构造示例, 验证了所得条件的适用性, 并讨论了该研究在更一般的 Banach 函数空间中的推广情况. 这些结论为变指数函数空间中 Hardy 型不等式的进一步研究奠定了重要的理论基础, 详情参见参考文献[5]. Jim Agler 和 John E. McCarthy 在参考文献[6]探讨了 Hardy 算子的不变子空间即关于定义在 $ L^2[0,1] $ 空间上的 Hardy 算子的 Beurling 定理, 并得出结论, 这些不变子空间是由单项式函数生成的有限维空间序列的极限. Ma 和 Zhou 在 2024 年发表的论文[7]中, 引入了加权多线性 p-adic Hardy 算子和加权多线性 p-adic Cesàro 算子, 并研究了它们在 p-adic Herz 空间和 p-adic Morrey-Herz 空间上的有界性, 给出了相应的算子范数. Bui 和 Nader 在 2022 年的研究中, 探讨了与广义 Hardy 算子 R$ L_{\alpha }= (-\Delta )^{\alpha /2}+a|x|^{-\alpha } $ 相关的 Hardy 空间和 BMO 空间, 证明了这些新函数空间的分子分解和对偶性, 并展示了它们在谱乘子和 Sobolev 范数不等式中的应用, 详见参考文献[8]. Rafeiro 和 Samko 在 2024 年的研究[9]中, 分析了多维 Hardy 算子在带有幂次型权重的变指数广义局部和全局 Morrey 空间中的有界性, 找出了确保这种有界性的条件.

传统 Hardy 算子在处理定义在整个实数域上的 $ L^2(\mathbb{R}) $ 空间函数的问题时存在一定局限. 由于传统 Hardy 算子仅局限于处理 $ L^2(0,\infty) $ 上的函数, 难以直接应用于定义在整个实数域上函数空间的问题, 如对称性分析、整个实数域傅里叶变换以及某些实数域微分方程的求解. 传统 Hardy 算子依赖于积分上限的形式, 也限制了其解析内部结构的能力, 在将积分下限延拓到 $ -\infty $ 时难以证明其收敛性, 更难以直接揭示其与等距移位算子之间的内在联系, 这在谱理论和算子范数的精确计算中造成了一定的障碍. 此外, 在许多实际应用中, 函数空间往往是由定义在整个实数域上的函数构成, 传统 Hardy 算子需要通过额外的延拓或补充条件才能适应这些情形, 从而使得理论分析和应用方法相对复杂且不够自然.

本文旨在深入分析 $ L^2(\mathbb{R}) $ 上的 Hardy 算子 $ H_{\mathbb{R}} $, $ L^2(\mathbb{R}) $ 空间由定义在 $ \mathbb{R} $ 上的平方可积函数构成,即

定义 $ H_{\mathbb{R}} $ 形式如下,

$ H_{\mathbb{R}} $ 通过引入适当的指数加权, 有效平衡了积分下限延拓至 $ -\infty $ 后的收敛性问题, 将原本局限于 $ L^2(0,\infty) $ 的 Hardy 算子思想推广到 $ L^2(\mathbb{R}) $ 上. 具体来说, 我们利用参考文献[10]中提供的酉算子 $ T:L^2(\mathbb{R}) \rightarrow L^2(0,\infty) $, 定义如下,

其中 $ h\in L^2(0,\infty) $, $ g\in L^2(\mathbb{R}) $.

通过酉算子 $T$ 将 $L^2(0, \infty)$ 和 $L^2(\mathbb{R})$ 之间建立起等距映射, 得到 $ H_{\mathbb{R}}=T^{-1}HT $. 从这一形式上获得了合适的指数加权, 将传统 Hardy 算子 $H$ 的思想扩展到定义在整个实数域的函数空间 $L^2(\mathbb{R})$, 这一扩展使得 $H_{\mathbb{R}}$ 能够克服传统 Hardy 算子在处理 $ L^2(\mathbb{R}) $ 中函数的局限性, 并揭示了$H_{\mathbb{R}}$ 内部与移位算子之间的非平凡结构联系.

本文通过引入适当的正交基, 证明了 $ I - H_{\mathbb{R}} $ 在 $ L^2(\mathbb{R}) $ 上为等距移位算子, 并进一步探讨了其伴随算子的性质及谱特性. 讨论了 Hardy 算子的谱结构, 证明了其谱位于复平面上以 $ (1,0) $ 为圆心且半径为 1 的圆周上. $ H_{\mathbb{R}} $ 点谱为空集. 这些结果不仅深化了对 Hardy 算子本质的理解, 也为其在更一般函数空间中的应用奠定了坚实的理论基础. 最后, 本文探讨了 Hardy 算子的推广形式, 包括加权版本的 Hardy 算子及其在不同函数空间中的表现, 并展示了这些推广在求解特定类型微分方程中的应用.

这些研究成果不仅拓展了 Hardy 算子的理论边界, 也为相关领域的进一步研究提供了新的视角和方法. 通过系统地构建和分析 $ L^2(\mathbb{R}) $ 上的 Hardy 算子, 为理解和应用 Hardy 算子提供了新的见解, 丰富了算子理论的发展, 并为未来的研究指明了方向.

首先我们用经典的 Schur 检验法 (参见参考文献[4,11]), 证明了 $ H_{\mathbb{R}} $ 的有界性, Schur 检验法内容如下.

引理 2.1 如果 $X$ 是一个测度空间, $k(\geq 0)$ 是 $X \times X$ 上的可测函数, $p(>0)$ 是 $X$ 上的可测函数, 且 $\alpha$ 和 $\beta$ 是正常数, 满足以下条件

则以下方程

定义了 $L^{2}$ 上的一个有界线性算子, 并且 $\|A\|^{2} \leq \alpha \beta$.

定理 2.1$ H_{\mathbb{R}} $ 在 $ L^2({\mathbb{R}}) $ 上有界.

证 已知 $ H_{\mathbb{R}}f(y)= \int_{-\infty}^y {\rm e}^{\frac{(u-y)}{2}}f(u)\mathrm{d}u $, 得到其核定义为

取 $ p(x)={\rm e}^{\frac{y}{4}} $, 先验证 Schur 检验的第一个条件,

接着验证第二个条件,

从而得到 $ H_{\mathbb{R}} $ 在 $ L^2({\mathbb{R}}) $ 上有界, 并且 $ \|H_{\mathbb{R}}\| \leq \frac{4}{\sqrt{3}} $.

接下来我们研究 $ I-H_{\mathbb{R}} $ 和等距移位算子 $ U $ 之间的关系. 首先给出$ L^2({\mathbb{R}}) $ 上的正交基, 这个正交基与拉盖尔多项式密切相关, 我们会证明在这组基下 $ I-H_{\mathbb{R}} $ 是 $ L^2({\mathbb{R}}) $ 上的等距移位算子. 在此之前, 先给出拉盖尔多项式的描述, 设 $ L_{n}=L_{n}(x)(n \geq 0) $ 为一列拉盖尔多项式, 这些多项式 $ L_{n} $ 可以定义为代数多项式, 满足

(i) $ L_{0} \equiv 1, L_{n}(x) $ 是次数为 $ n $ 的多项式;

(ii) $ \left\{L_{n}\right\} $ 在测度 $ {\rm e}^{-x} \mathrm{d}x $ 下是$ L^{2}=L^{2}(0, \infty) $ 中的正交系统, 有

其中 $ \delta_{m, n} $ 是克罗内克函数, 即 $ m \neq n $ 时有 $ \delta_{m, n}=0 $, $ m=n $ 时有 $ \delta_{m, n}=1 $. 已知 $ \left\{L_{n}\right\} $ 在测度 $ {\rm e}^{-x} \mathrm{d}x $ 下是 $ L^{2}(0, \infty) $ 中的基, 关于拉盖尔多项式更多性质参见参考文献[p349]. 拉盖尔多项式 $ L_{n}(x) $ 可以通过罗德里格斯公式表示, 即

特别地, $ L_{0}(x)=1 $ 且 $ L_{1}(x)=1-x $. 有关拉盖多项式的更多信息参见文献[pp295-302].

在参考文献[2]得到 $ L^{2}(0,\infty) $ 上的正交基是 $ \left\{f_{n}\right\} \cup\left\{e_{n}\right\}(n\geq 0) $, 其中 $ f_{n}(t)=L_{n}(-\ln t)$$ \chi_{(0,1)} $, $ e_{n}(t)=-\frac{L_{n}(\ln t)}{t} \chi_{(1, \infty)} $. 在参考文献[10]中给出了酉算子 $ T:L^2(\mathbb{R}) \rightarrow L^2(0,\infty) $, 定义为 $ (Th)(x) = x^{-\frac{1}{2}} h(\log x) $, 其逆算子为 $ T^{-1}g(y) = {\rm e}^{\frac{y}{2}} g({\rm e}^y). $ 由此可以得到 $ L^2({\mathbb{R}}) $ 上的正交基, 即 $ n \geq 0 $ 时有

定义等距移位算子 $ U: L^{2}(R) \longrightarrow L^{2}(R) $ 如下,

定理 2.2$ (H_{\mathbb{R}} f)(y) = {\rm e}^{-\frac{y}{2}}\int_{-\infty}^y {\rm e}^{\frac{u}{2}}f(u) \mathrm{d}u $ 可以写成 $ H_{\mathbb{R}}=I-U $ 的形式.

证 首先证明第一个等式 $ Uh_0=(I-H_{\mathbb{R}})h_0=s_0 $, 通过简单计算得到

第一个等式成立. 下面证明第二个等式, 即 $ (I-H_{\mathbb{R}})s_{n}=s_{n+1} $. 证明中需要用到拉盖尔多项式的性质,

通过计算可以得到,

由拉盖尔多项式的性质可以得到 $ -L_n(y)+\int_{0}^{y}L_n(u) \mathrm{d}u=L_{n+1}(y) $, 由此可得

第二个等式证明完毕. 最后证明第三个等式, 即 $ Uh_{n+1}=h_{n}. $

根据拉盖尔多项式性质得到,

从而可以推导出

因此,

通过变换 $ x=-y $, 有

从而得到

等式两边同乘 $ {\rm e}^{\frac{y}{2}} $ 得到下式,

将等式两边同乘特征函数 $ \chi_{(-\infty, 0)}(y) $ 得到,

由

可以得到 $ h_{n+1}(y)-H_{\mathbb{R}}h_{n+1}(y)=h_n(y) $, 即 $ (I-H_{\mathbb{R}})h_{n+1}=h_n $.

在上面的定理中得到了 $ I-H_{\mathbb{R}} $ 是等距移位算子. 接下来我们研究其共轭算子的性质,首先需要得到 $ H_{\mathbb{R}} $ 的共轭算子的具体形式.

命题 2.1 任取 $ f\in L^2({\mathbb{R}}) $, 有 $ (I - H_{\mathbb{R}}^*)f(x) = f(x) - {\rm e}^{\frac{x}{2}} \int_{x}^\infty {\rm e}^{-\frac{y}{2}} f(y) \, \mathrm{d}y. $

证 采用常规方法计算 $ H_{\mathbb{R}}^* $ 的具体形式, 任取 $ f,g \in L^2({\mathbb{R}}) $, 有

交换积分次序得到,

从而得到了 $ H_{\mathbb{R}}^*g(u) = {\rm e}^{\frac{u}{2}} \int_{u}^\infty {\rm e}^{-\frac{y}{2}} g(y) \, \mathrm{d}y $.

接下来进行对 $ I - H_{\mathbb{R}}^* $ 的研究.

定理 2.3$ I-H_{\mathbb{R}}^* $ 是 $ L^2({\mathbb{R}}) $ 上的等距移位算子, 并且$ I-H_{\mathbb{R}}^*=(I-H_{\mathbb{R}})^{-1}. $

证 不妨重新排列正交基 $ \{h_n\}_{n=0}^{\infty}, \{s_n\}_{n=0}^{\infty} $ 为$ \{k_n(z)\}_{n=-\infty}^{\infty} $. 设 $ n\geq0 $ 时 $ h_n=k_{-n}, s_n=k_{n+1} $. 由于 $ U=I-H_{\mathbb{R}} $ 是 $ L^2({\mathbb{R}}) $ 上的等距移位算子, 可以得到 $ (I-H_{\mathbb{R}})k_n=k_{n+1} $. 那么可以得到 $ (I-H_{\mathbb{R}}^*)k_{n+1}=k_{n} $, 即 $ I-H_{\mathbb{R}}^*=(I-H_{\mathbb{R}})^{-1} $ 且 $ I-H_{\mathbb{R}}^* $ 也是一个等距移位算子.

推论 2.1$ H_{\mathbb{R}}^* $ 与 $ H_{\mathbb{R}} $ 是可交换的.

证 由前面的定理得到 $ (I-H_{\mathbb{R}})(I-H_{\mathbb{R}}^*)=I $, 那么显然有 $ H_{\mathbb{R}}H_{\mathbb{R}}^*=H_{\mathbb{R}}^* H_{\mathbb{R}} =H_{\mathbb{R}}+H_{\mathbb{R}}^* $.

由于 $ I-H_{\mathbb{R}} $ 是等距移位算子,那么必然有 $ \|I-H_{\mathbb{R}}\|=1 $, 由此我们可以准确得到 $ \|H_{\mathbb{R}}\| $.

定理 2.4$ \|H_{\mathbb{R}}\|=2 $.

证 已知 $ (H_{\mathbb{R}}^* g)(u) \!=\! {\rm e}^{\frac{u}{2}} \int_u^\infty {\rm e}^{-\frac{y}{2}} g(y) \, \mathrm{d}y $, 考虑一列函数 $ g_a $ 定义为 $ g_a(y) \!=\! \sqrt{2a} \, {\rm e}^{-a y} \chi_{[0, \infty)}(y) $, 其中 $ a > 0 $, 显然 $ \| g_a \|^2 = \int_0^\infty 2a {\rm e}^{-2a y}\mathrm{d}y = 1 $, 接着计算 $ \| (H_{\mathbb{R}}^{*} )g_a \| $,

当 $ u < 0 $ 时, $ (H_{\mathbb{R}}^* g_a)(u) = \sqrt{2a} \, {\rm e}^{\frac{u}{2}} \cdot \frac{1}{a + \frac{1}{2}} $. 当 $ u \geq 0 $ 时, $ (H_{\mathbb{R}}^* g_a)(u) = \sqrt{2a} \, \frac{{\rm e}^{-a u}}{a + \frac{1}{2}} $, 从而得到

当 $ a $ 趋近于 0 时,

即 $ \lim_{a \to 0^+} \| H_{\mathbb{R}}^* g_a \| = 2 $. 这表明对于任意小的 $ a > 0 $, 存在单位范数的函数 $ g_a $ 使得 $ \| H_{\mathbb{R}}^* g_a \| $ 趋近于2. 因此, 伴随算子 $ H_{\mathbb{R}}^* $ 的范数至少为 2, 即 $ \| H_{\mathbb{R}} \| =\| H_{\mathbb{R}}^* \| \geq 2 $.

由 $ \|I-H_{\mathbb{R}}\|=1 $, 可以得到 $ \|H_{\mathbb{R}}\|-1 \leq \|I-H_{\mathbb{R}}\|=1 $, 即 $ \|H_{\mathbb{R}}\| \leq 2 $. 综上所述, 得到 $ \|H_{\mathbb{R}}\|=2 $.

接下来我们对 $ H_{\mathbb{R}} $ 的谱进行了一系列研究. 首先我们考虑 $ H_{\mathbb{R}} $ 的点谱, 设 $ H_{\mathbb{R}} $ 的点谱为 $ \sigma_p(H_{\mathbb{R}}) $, 有以下定理.

定理 2.5$ H_{\mathbb{R}} $ 的点谱 $ \sigma_p(H_{\mathbb{R}})=\varnothing $.

证 首先要找到所有 $ \lambda \in \mathbb{C} $ 和非零函数 $ f \in L^2(\mathbb{R}) $, 使得

对两边关于 $y$ 求导, 等式左边为,

我们得到微分方程 $ \lambda f^{\prime}(y) = \left( 1 - \frac{\lambda}{2} \right) f(y) $, 接着对这个方程进行求解, 其通解为 $ f(y) = D {\rm e}^{\left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{2} \right) y} $, 其中 $ D $ 是常数. 若 $ f $ 属于$ L^2(\mathbb{R}) $, 则必须满足

若积分收敛, 必须满足当 $ y \to +\infty $ 时, 指数项的系数为负,

当 $ y \to -\infty $ 时, 指数项的系数为正,

这显然是不可能的. 因此算子 $ H_{\mathbb{R}} $ 没有特征值, 即其点谱为空集, 证明完毕.

接下来我们给出算子 $ H_{\mathbb{R}} $ 的谱, 设算子 $ H_{\mathbb{R}} $ 的谱为 $ \sigma(H_{\mathbb{R}}) $.

定理 2.6 算子$ H_{\mathbb{R}} $的谱为 $ \sigma(H_{\mathbb{R}}) = \left\{ z \in \mathbb{C} \,\bigg|\, |z - 1| = 1 \right\} $.

证 首先采用傅里叶变换的方法, 设 $ \mathcal{F} $ 为傅里叶变换算子, 其定义为,

对 $ H_{\mathbb{R}} f $ 进行傅里叶变换,

交换积分顺序,

计算内层积分,

因此,

这表明 $ \mathcal{F} H_{\mathbb{R}} = \frac{1}{\frac{1}{2} + {\rm i} \xi} \mathcal{F} $. 傅里叶变换将算子$ H_{\mathbb{R}} $转化为乘法算子, 乘数为$ m(\xi) = \frac{1}{\frac{1}{2} + {\rm i} \xi} $. 算子的谱等于乘数$ m(\xi) $的特征值集, 即 $ \sigma(H_{\mathbb{R}}) = \left\{ \frac{1}{\frac{1}{2} + {\rm i}\xi} \,\bigg|\, \xi \in \mathbb{R} \right\}. $

复数 $ z = \frac{1}{\frac{1}{2} + {\rm i} \xi} $ 分解为实部和虚部, $ z = \frac{1}{\frac{1}{2} + {\rm i} \xi} = \frac{\frac{1}{2} - {\rm i} \xi}{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \xi^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4} + \xi^2} - {\rm i} \frac{\xi}{\frac{1}{4} + \xi^2} $. 令 $ t = \xi $, 则有

由此可知, $ \left(\text{Re}(z)\right)^2 + \left(\text{Im}(z)\right)^2 = \left(\frac{2}{1 + 4 \xi^2}\right)^2 + \left(\frac{4 \xi}{1 + 4 \xi^2}\right)^2 = \frac{4 + 16 \xi^2}{(1 + 4 \xi^2)^2} = \frac{4}{1 + 4 \xi^2} $. 此外,由于 $ \text{Re}(z) = \frac{2}{1 + 4 \xi^2} \Rightarrow 1 + 4 \xi^2 = \frac{2}{\text{Re}(z)} $, 将其代入上式 $ \left(\text{Re}(z)\right)^2 + \left(\text{Im}(z)\right)^2 = \frac{4}{1 + 4 \xi^2} = 2 \cdot \text{Re}(z) $, 整理得 $ \left(\text{Re}(z)\right)^2 + \left(\text{Im}(z)\right)^2 = 2 \cdot \text{Re}(z) $. 这可以重写为 $ \left(\text{Re}(z) - 1\right)^2 + \left(\text{Im}(z)\right)^2 = 1 $, 这表明谱 $ \sigma(H_{\mathbb{R}}) $ 位于复平面上以 $ (1, 0) $ 为圆心且半径为 $ 1 $ 的圆周上. 综上所述, 算子 $ H_{\mathbb{R}} $ 的谱是 $ \left\{ z \in \mathbb{C} \,\bigg|\, |z - 1| = 1 \right\} $.

本文第一部分中的结果显然可以向不同方向上推广. 在这里我们首先推导一个加权版的定理2.2. 令 $ w $ 为定义在 $ (a, b) $ 上的正局部可积函数, $ -\infty < a<b <+\infty $, 使得

考虑加权空间 $ L_{w}^{2}=L_{w}^{2}(a, b) $, 该空间由定义在 $ (a, b) $ 上的实值可测函数类构成, 满足

定理 3.1 (i)设 $ W(x)=\int_{a}^{x} w(t) \mathrm{d}t<\infty $, 其中 $ x \in(a, b) $, 则算子

可以写成 $ H_{w}=I-U_{w} $, 其中 $ U_{w} $ 是 $ L_{w}^{2} $ 中的一个等距移位算子.

(ii)设 $ \tilde{W}(x)=\int_{x}^{b} w(t) \mathrm{d}t<\infty $, 其中 $ x \in(a, b) $, 则算子

可以写成 $ \tilde{H}_{w}=I-\tilde{U}_{w} $, 其中 $ \tilde{U}_{w} $ 是 $ L_{w}^{2} $ 中的一个等距移位算子.

证 (i) 函数 $ W:(a, b) \rightarrow \mathbb{R} $ 具有性质 $ W(a)=-\infty $, $ W(b)=+\infty $. 此外,

因此, $ W $ 在 $ L^{2}(0, \infty) $ 与 $ L_{w}^{2}(a, b) $ 之间诱导了一个等距算子 $ T_{w} f(x)=f(W(x)) $. 通常情况下, 空间之间的等距映射会诱导算子空间之间的等距映射. 因此有

因此, 等距算子 $ T_{w} $ 将算子 $ H_{\mathbb{R}} $ 转换为算子 $ H_{w} $. 故由定理2.2可知有 $ H_{w}=I-U_{w} $, 其中 $ U_{w} $ 是对应于等距移位算子 $ U $ 的一个等距移位算子.

(ii) 在这种情况下, 需要考虑函数 $ \tilde{W} $, 该证明与 (i) 的证明类似, 因此省略证明过程.

如果我们不考虑等距算子 $ T_{w} f(x)=f(W(x)) $, 而是考虑变换

那么对于情况 (i)

$ S_w $ 将在 $ L^{2}(\mathbb{R}) $ 与 $ L^{2}(a, b) $ 之间诱导一个等距映射, 并将算子 $ H_{\mathbb{R}} $ 转换为算子 $ A_{w} $, 即

从而得到算子 $ A_w $,

同理对于情况 (ii) 有

因此, 类似于定理3.1, 我们有以下结果.

定理 3.2 (i) 若 $ \int_{a}^{x} w(t) \mathrm{d}t<\infty $, 对任意的 $ x \in(a, b) $, 算子 $ I-A_{w} $ 是 $ L^{2}(a, b) $ 中的一个等距移位算子.

(ii) 若 $ \int_{x}^{b} w(t) \mathrm{d}t<\infty $, 对任意 $ x \in(a, b) $, 算子 $ I-\tilde{A}_{w} $ 是 $ L^{2}(a, b) $ 中的一个等距移位算子.

传统的一阶欧拉微分方程定义如下,

在本节中给出一类特殊微分方程的解法,

接下来通过 $ I-H_{\mathbb{R}} $ 来求解该微分方程, 并得到下面的定理.

定理 4.1 令 $ g \in L^2({\mathbb{R}}) $ 有

且该微分方程有解

算子

将 $ L^2({\mathbb{R}}) $ 等距地映射到 $ {W}^{1,2} $.

证 设 $ g \in L^2({\mathbb{R}}) $, 那么可以知道 $ f=(I-H_{\mathbb{R}})^{-1}g\in L^{2}(\mathbb{R}) $, 从而根据 H$\ddot{\rm o}$lder 不等式可以得到 $ y(x)=\int_{-\infty}^{x}{\rm e}^{\frac{u}{2}}f(u)\mathrm{d}u $ 存在. 由此可得

那么我们就得到了微分方程的解, 即 $ y=\int_{-\infty}^{x}{\rm e}^{\frac{u}{2}}(I-H)^{-1}g(u)\mathrm{d}u $. 在 $ L^{2}(\mathbb{R}) $ 空间上有

现在我们考虑在 $ \mathbb{R} $ 上的 Sobolev 空间 $ {W}^{1,2} $, 即定义在 $ \mathbb{R} $ 上的函数 $ y $ 的空间. $ W^{1,2} $ 空间中的元素是忽略常数部分的函数, 其范数为 $ \|y\|_{{W}^{1,2}}=\left\|y^{\prime}\right\| $. 因为 $ (I-H)^{-1} $ 等距映射 $ L^{2}(\mathbb{R}) $ 到 $ L^{2}(\mathbb{R}) $, 而算子$ Pf(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t $ 等距映射 $ L^{2}(\mathbb{R}) $ 到 $ {W}^{1,2} $. 由此我们得到了算子 $ K y(x)={\rm e}^{-\frac{x}{2}}y^{\prime}(x)-{\rm e}^{-{\frac{x}{2} }}y(x) $ 具有一个右逆

算子 $ V $ 将空间 $ L^{2}(\mathbb{R}) $ 等距映射到 Sobolev 空间 $ {W}^{1,2}$.