研究如下 Klein-Gordon-Maxwell 系统

其中 $\omega> 0$ 是一个常数, $\lambda> 0$ 是一个参数, $ s\geq6$, $u,\phi: \mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$. 系统 (1.1) 起源于物理学中的实际问题, 是描述三维空间中非线性 Klein-Gordon 场与静电场之间相互作用所产生的孤立波问题的数学模型. Benci 等^[1]首次提出了如下 Klein-Gordon-Maxwell 系统模型

其中 $\omega$ 表示相位, $m_0$ 和 $e$ 分别表示粒子的质量和电量.系统的未知因素是联系粒子的场 $u$ 和电磁位势 $\phi$. 当$|m_0| > |\omega|$, $4<\gamma<6$,

文献 [1,2] 首次利用变分法研究了系统 (1.2) 的无穷多径向对称解的存在性问题. 有关系统 (1.22) 的后续研究, 可参见文献 [3-6] 及其参考文献. 下述系统作为系统 (1.2) 的一般情形

近年来受到学术界的广泛关注. 当 $g$ 满足次临界增长条件 ($|g(x,t)|\leq c(1+|t|^{q-1})$)、$(AR)$ 条件 ($g(x,t)t\geq \mu G(x,t)$) 或弱化的 $(AR)$ 条件及其他条件时, 文献 [7-24] 针对系统 (1.3) 开展了深刻的研究, 获得了系统 (1.3) 的非平凡解或基态解或变号解. 当非线性项中含有临界项(即$g(x,t)=\nu |t|^{\gamma-2}t+|t|^{4}t$, $2<\gamma<6$) 且参数 $\nu$ 充分大时, 文献 [25-30] 研究了系统 (1.3) 非平凡解或基态解的存在性问题. 在上述文献中或者要求非线性项满足次临界增长条件或者非线性项中含有临界项. 据我们了解, 有关含有超临界项的 Klein-Gordon-Maxwell 系统的研究成果目前并不多, 仅见文献 [31]. 若 $g(x,t)=\phi(t)+\beta \psi(t)$, 其中 $\phi,\psi$ 满足$\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\frac{\phi(t)}{t}=\lim\limits_{t\rightarrow 0^+}\frac{\psi(t)}{t}=0$、$|\phi(t)|\leq |t|^{p-1}(4<p<6)$、 $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}\frac{\Phi(t)}{t^{4}}=+\infty$、$\phi(t)t\geq 4\Phi(t)$、$\psi(t)t\geq 4\Psi(t)$ 及 $\frac{\psi(t)}{t^{p-1}}\leq \frac{\psi(M_n)}{M_n^{p-1}}$, 这里 $M_n>0, \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}M_n=+\infty$, Cunha^[31] 在 $\beta$ 比较小限制条件下获得了系统 (3) 的一个正解. 显然文献 [31] 的非线性项 $g(x,t)$ 含有超临界项且满足弱化的 $(AR)$ 条件 (i.e., $\mu=4$). 此时就有一个疑问: 当 $2<\mu<4$ 或 $4<\mu$ 时, 含有超临界非线性项的系统 (1.3) 是否还有解呢? 本文针对系统 (1.1) 给出了此问题的一个肯定回答, 所得结论丰富了此系统的研究成果. 针对 $V$ 和 $f$, 本文做如下假设

$\boldsymbol{(V)}$$V\in \mathcal{C}(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R})$, $\inf\limits_{x\in \mathbb{R}^{3}}V(x)=V_0>0$, 且对任意的 $M>0$, meas$\big\{x\in \mathbb{R}^{3}: V(x)\leq M\big\}<\infty;$

$\boldsymbol{(F_1)}$$f\in \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, 且存在 $q\in (2,6)$ 使得

$$\limsup\limits_{|t|\rightarrow \infty}\frac{f(t)}{|t|^{q-1}}<\infty;$$

$\boldsymbol{(F_2)}$$\lim\limits_{|t|\rightarrow 0}\frac{f(t)}{t}=0$;

$\boldsymbol{(F_3)}$ 存在常数 $\mu>2$ 使得 $f(t)t\geq\mu F(t)\geq0, \forall t\in \mathbb{R}$, 其中 $F(t)=\int_{0}^{t}f(\xi){\rm d}\xi$;

$\boldsymbol{(F_4)}$$\inf\limits_{|t|=1}F(t)>0$.

本文的主要结果如下

定理 1.1 假设 $ s\geq6$, $(V)$、$(F_1)$-$(F_4)$ 及下列条件之一成立时

(i) $2< \mu<4$ 且 $0<\omega\leq \frac{\sqrt{8V_0(\mu-2)}}{4-\mu}$;

(ii) $4\leq \mu\leq s$.

则存在 $\lambda_0>0$ 使得当 $ \lambda<\lambda_0$ 时, 系统 (1.1) 存在一个非平凡解.

注 1.1 由 $s\geq6$ 可知, 本文可统一处理非线性项中含次临界或超临界增长的情形.

注 1.2 在文献 [25-30] 中, 非线性项中所含的次临界项是特殊的次临界项. 与之相比, 本文非线性项中所含的次临界项是更加一般的次临界项. 再者, 在文献 [25-30] 中均要求参数 $\nu$ 比较大, 而本文并无此限制条件. 虽然文献[31]考虑的超临界项更一般化, 但本文对 $\mu$ 的取值范围的要求更宽泛.

令

其范数为

$$\|u\|_{\mathcal{D}^{1,2}}=\big(\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2{\rm d}x\big)^{\frac{1}{2}};$$

$H^1(\mathbb{R}^3)$ 表示通常的 Sobolev 空间, 其范数定义为

定义

其范数为

$$\|u\|=\bigg(\int_{\mathbb{R}^3}\big(|\nabla u|^2+V(x)u^2\big){\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}.$$

$L^p(\mathbb{R}^3)$ 表示 Lebesgue 空间, 其范数定义为

$$\|u\|_p=\left(\int_{\mathbb{R}^3}|u|^p{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}},\ \forall p\in[1,+\infty), \quad \|u\|_\infty=\mathrm{ess}\sup\limits_{x\in\mathbb{R}^3}|u(x)|.$$

由文献 [32,引理 3.4] 及 $(V)$ 知, 嵌入映射 $H\hookrightarrow L^{p}(\mathbb{R}^3)$($2\leq p<6$) 是紧映射, $H\hookrightarrow L^{p}(\mathbb{R}^3)$($2\leq p\leq6$) 是连续映射. 故存在 $S_ p>0$,

引理 2.1^[11] 对任意的 $u\in H^1(\mathbb{R}^3)$, 存在唯一的 $\phi=\phi_u\in\mathcal{ D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 满足方程 $\Delta \phi=(\omega+\phi)u^2.$ 又

(i) 在集合 $\{x|u(x)\neq 0\}$ 上, $-\omega\leq \phi_u\leq 0$;

(ii) $\|\phi_u\|_{\mathcal{D}^{1,2}}\leq C\|u\|^2_{H^1},$ 且 $\int_{\mathbb{R}^3}| \phi_u|u^2{\rm d}x\leq C\|u\|^4_{H^1}$.

当 $\lambda=0$ 时, 系统 (1.1) 退化为如下系统

由 $(F_1)$-$(F_2)$ 知, 对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $D_\varepsilon>0$ 使得

故由文献 [22,定理 1.2] 知如下定理成立

定理 2.1 假设 $(V)$, $(F_1)$-$(F_4)$ 成立, 则系统 (2.2) 存在一个非平凡解.

由于 $s>6$ 时, 系统 (1.1) 对应的能量泛函在全空间 $H$ 上是没有意义的. 为了克服这一困难, 受文献 [33] 的启发, 本文首先针对非线性项 $f$ 和 $|u|^{s-2}u$ 利用截断技巧构造一个合适的函数 $\bar{f}_\lambda$ 且保证 $\bar{f}_\lambda$ 在空间 $H$ 中满足次临界增长及 $(AR)$ 条件, 进而确保修正系统所对应的能量泛函在全空间 $H$ 上是有意义的. 其次, 证明修正系统具有非平凡解. 最后, 利用 Moser 迭代法说明当 $\lambda$ 比较小时, 修正系统的非零解的 $L^\infty$ 范数也比较小, 从而修正系统的解就是原系统 (1.1) 的解. 由 $(F_3)$ 知, 对任意给定的 $M>0$, 有 $f(M)>0$. 对上述给定的 $s$, 构造如下截断函数

易知 $\psi(t)\in \mathcal{C}( \mathbb{R}, \mathbb{R})$, $\psi(t)t\geq \mu\Psi(t)\geq0$ ($2<\mu\leq s$), $\forall t\in \mathbb{R}$, 其中 $\Psi(t)=\int_{0}^{t}\psi(\xi){\rm d}\xi$. 对任意的 $t\in\mathbb{R}$, 构造 $\bar{f}_\lambda(t)=f(t)+\lambda\psi(t).$ 经计算知, $\bar{f}_\lambda$ 具有如下性质

引理 2.2 假设 $(F_1)$-$(F_4)$ 成立, $2<\mu\leq s$, 则 $\bar{f}_\lambda(t)\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 且满足

(i) $\limsup\limits_{|t|\rightarrow \infty}\frac{\bar{f}_\lambda(t)}{|t|^{q-1}}<\infty$;

(ii) $\lim\limits_{|t|\rightarrow0}\frac{\bar{f}_\lambda(t)}{t}=0$ ;

(iii) $\bar{f}_\lambda(t)t\geq\mu\bar{F}_\lambda(t)\geq 0, \forall t\in \mathbb{R}$, 其中$\bar{F}_\lambda(t)=\int^t_0\bar{f}_\lambda(\xi){\rm d}\xi$;

(iv) $\inf\limits_{|t|=1}\bar{F}_\lambda(t)>0$.

记 $a:=\limsup\limits_{|t|\rightarrow \infty}\frac{f(t)}{|t|^{q-1}}$, 则 $a<\infty$. 由 $\bar{f}_\lambda$ 的构造知

故结合引理 2.2(ii) 知, 对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $C_\varepsilon>0$ 使得

现考虑修正后的如下 Klein-Gordon-Maxwell 系统

按照常规做法 (见文献 [11] 等) 知, 系统 (2.4) 对应的泛函为

由引理 2.1 及引理 2.2 易知, $I_\lambda$ 在空间 $H$ 上是有意义的, $I_\lambda\in C^1(H,\mathbb{R})$, 且对任意的 $v\in H$, 有

由文献 [1,命题 3.5] 知, $u$ 是泛函 $I_\lambda$ 的临界点当且仅当 $(u,\phi)\in H\times D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 是系统 (1.1) 的解, 并且 $\phi=\phi_u$. 因此, 为了得到系统 (1) 的非零解, 只需寻找泛函 $I_\lambda$ 的 $L^\infty$ 范数不超过 $M$ 的非零临界点即可.

记 $S:=\inf\limits_{u\in \mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^3)\setminus \{0\}}\frac{\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2{\rm d}x}{(\int_{\mathbb{R}^3}|u|^6{\rm d}x)^{\frac{1}{3}}}.$ 在本文中, $C_i,c_i$ 表示不同的正常数.

由引理 2.2 及定理 2.1 知如下引理成立

引理 3.1 假设 $(V),(F_1)-(F_4)$ 成立, 则系统 (2.4) 存在一个非平凡解.

由引理 3.1 及文献 [34,定理 2.10] 知, 存在一个非零点 $u_\lambda\in H$ 满足 $I'_\lambda(u_\lambda)=0$, $I_\lambda(u_\lambda)=c_\lambda>0$, 其中

$$c_\lambda=\inf\limits_{\gamma\in \Gamma}\max\limits_{t\in[0,1]}I_\lambda(\gamma(t)), \Gamma=\{\gamma\in C([0,1],H):\gamma(0)=0,I_\lambda(\gamma(1))<0\}.$$

定义

$$I(u)=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^3}\big(|\nabla u|^2+V(x)u^2-\omega\phi_uu^2\big){\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^3}F(u){\rm d}x, \ \forall u\in H,$$

则由 $\Psi(t)\geq0$ 知, $I_\lambda(u)\leq I(u)$, $\forall\lambda>0, u\in H$.

引理 3.2 存在与 $\lambda, M$ 无关的常数 $A$, 使得 $A\geq \|u_\lambda\|_6.$

证 由 $(F_1)$-$(F_4)$ 知, 存在常数 $c_1,c_2>0$ 使得 $F(t)\geq c_1|t|^{\mu}-c_2|t|^2$, $ \forall t\in \mathbb{R}$. 任取 $\xi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^3)\setminus\{0\}$, 结合引理 2.1 知

这表明: 存在与 $\lambda, M$ 均无关的常数 $t_0>0$ 使得 $I_\lambda(t_0\xi)<0$. 令 $\gamma(t)=tt_0\xi, t\in[0,1]$, 则 $\gamma(t)\in \Gamma$. 故

其中 $c_3>0$ 是一个与 $\lambda$ 及 $M$ 均无关的常数.

由引理 2.2 知

情况 1 若 $4\leq \mu\leq s$, 则由 $-\omega\leq \phi_u\leq 0$ 及 (9) 式知

$$\mu c_3\geq \frac{\mu-2}{2}\|u_\lambda\|^2\geq \frac{\mu-2}{2}S_6^{-2}\|u_\lambda\|_6^2. $$

情况 2 若 $2< \mu<4$ 且 $0<\omega\leq \frac{\sqrt{8V_0(\mu-2)}}{4-\mu}$, 则

故结合 (3.1) 式知

$$\mu c_3\geq \frac{\mu-2}{2}\|\nabla u_\lambda\|_2^2= \frac{\mu-2}{2}\|u_\lambda\|_{\mathcal{D}^{1,2}}^2\geq \frac{\mu-2}{2}S\|u_\lambda\|_6^2.$$

综上两种情况知, 存在与 $\lambda, M$ 无关的常数 $A$, 使得 $A\geq \|u_\lambda\|_6.$

引理 3.3 假设 $(u,\phi_u)$ 是系统 (2.4) 的非平凡解, 则存在与 $\lambda, M$ 无关的常数 $C_1>0$ 满足

$$\|u\|_{\infty}\leq C_1\Bigg(1+\lambda\frac{M^{s-1}}{f(M)}\Bigg)^{\frac{1}{6-q}}\|u\|_6^{\frac{4}{6-q}}.$$

证 因为 $(u,\phi_u)$ 是系统 (2.4) 的非平凡解, 所以

对任意的 $m\in \mathbb{N}, \beta>1$, 定义 $A_m=\{x\in\mathbb{R}^3:|u|^{\beta-1}\leq m\}$, $B_m=\mathbb{R}^3\backslash A_m$ 及

易知 $u_m\in H, u_m\leq |u|^{2\beta-1}$ 且

故

令

则

$$\hspace{-3cm} 0\leq\eta_m^2=uu_m\leq |u|^{2\beta}, |\eta_m|\leq |u|^{\beta},$$

且

故

由 (3.3) 式及 (3.6) 式知

从而由 (3.3)- (3.4) 式及 (3.7) 式知

因此结合 (3.2) 式知

由 (2.3) 式及 $\eta_m^2=uu_m\leq |u|^{2\beta}$ 知

取充分小的 $\varepsilon$ 使得 $\varepsilon<V_0$, 则由 (3.8)- (3.9) 式知

$$\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla\eta_m|^2{\rm d}x\leq \beta^2C_\varepsilon\Bigg(1+\lambda\frac{M^{s-1}}{f(M)}\Bigg)\int_{\mathbb{R}^3} |u|^{q-2}\eta_m^2{\rm d}x,$$

进而知

令 $\theta=\frac{6}{8-q},$ 则 $1<\theta<3$ 且由 (3.10) 式及 $\eta_m$ 的定义知

在 (3.11) 式中取 $m\rightarrow +\infty$, 则由 Fatou 引理知

$$\bigg(\int_{\mathbb{R}^3} |u|^{6\beta}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{3}}\leq S^{-1} \beta^2 C_\varepsilon\Bigg(1+\lambda\frac{M^{s-1}}{f(M)}\Bigg)\|u\|_6^{q-2}\|u\|_{2\beta \theta}^{2\beta},$$

即

其中 $C=\max\{S^{-1}C_\varepsilon,1\}.$ 下面就 (3.12) 式利用 Moser 迭代说明 $\|u\|_{\infty}\leq C_1(1+\lambda\frac{M^{s-1}}{f(M)})^{\frac{1}{6-q}}\|u\|_6^{\frac{4}{6-q}}.$ 令 $\sigma=\frac{3}{\theta}$, 则 $1<\sigma<3$. 在 (20) 式中取 $\beta=\sigma$, 则

在 (3.12) 式中取 $\beta=\sigma^2$, 则

进而结合 (3.13) 式知

$$ \|u\|_{6\sigma^2}\leq C^{\frac{1}{2\sigma^2}+\frac{1}{2\sigma}}\sigma^{\frac{2}{\sigma^2}+\frac{1}{\sigma}}\bigg(\bigg(1+\lambda\frac{M^{s-1}}{f(M)}\bigg)\|u\|_6^{q-2}\bigg)^{\frac{1}{2\sigma^2}+\frac{1}{2\sigma}}\|u\|_{6}.$$

在 (3.12) 式中取 $\beta=\sigma^n, n=1,2, \cdots,$ 则由 Moser 迭代知

由 $\sigma>1$ 知, 正项级数 $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2\sigma^i}, \sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{i}{\sigma^i}$ 收敛且

令 $n\rightarrow+\infty$, 则由 (3.14)-(3.15) 式知

其中 $C_1=C^{\frac{1}{6-q}}\cdot(\frac{8-q}{2})^{\frac{2(8-q)}{(6-q)^2}}$ 是与 $\lambda, M$ 无关的常数.

$\textbf{定理 1.1 的证明}\quad$ 由引理 3.2-引理 3.3 知

其中 $C_2=C_1A^{\frac{4}{6-q}}$ 是与 $\lambda, M$ 无关的常数. 由于 $C_2$ 是与$\lambda, M$ 无关的常数, 故可取充分大的 $M>1$ 使得 $C_2\leq \sqrt{M}$. 鉴于对上述给定的 $M$, $\frac{M^{s-1}}{f(M)}$ 是固定的常数, 因此存在充分小的 $\lambda_0>0$ 使得 $(1+\lambda_0 \frac{M^{s-1}}{f(M)})^{\frac{1}{6-q}}\leq \sqrt{M}$. 故当 $\lambda<\lambda_0$ 时, $\|u_\lambda\|_{\infty}\leq C_2(1+\lambda \frac{M^{s-1}}{f(M)})^{\frac{1}{6-q}}\leq M$, 即 $\{(u_\lambda,\phi_{u_\lambda})\}$ 是系统 (1.1) 的一个非平凡解.