数学物理学报, 2026, 46(1): 238-248

研究论文

Hirota 方程的光孤子共振和孤子分子

曾平平1, 曾平安2, 刘露,3,*

1浙江金融职业学院信息技术学院 杭州 310000

2浙江工业大学之江学院理学院 浙江绍兴 312000

3山东科技大学经济管理学院 山东青岛 266590

Optical Soliton Resonances and Soliton Molecules for the Hiorta Equation

Zeng Pingping1, Zeng Pingan2, Liu Lu,3,*

1Institute of Information Technology, Zhejiang Financial College, Hangzhou 310000

2School of Science, Zhijiang College of Zhejiang University of Technology, Zhejiang Shaoxing 312000

3School of Economics and Management, Shandong University of Science and Technology, Shandong Qingdao 266590

通讯作者: *刘露, Email: magic_liu@sdust.edu.cn

收稿日期: 2025-02-13   修回日期: 2025-06-27  

基金资助: 国家自然科学基金(72272089)
国家自然科学基金(71902105)
泰山学者工程专项经费(202312191)

Received: 2025-02-13   Revised: 2025-06-27  

Fund supported: NSFC(72272089)
NSFC(71902105)
Special Funds for the Taishan Scholars Program(202312191)

摘要

孤子共振和孤子分子对光学、物理和流体力学等领域的研究具有重要意义. 该文在非线性光学系统的背景下, 对 Hirota 方程的光孤子共振和孤子分子特性进行了系统性研究. 首先, 基于 Lax 对构造出 Hirota 方程的 $N$ 重 Darboux 变换. 并由此推导出 $N$ 孤子解的精确解析表达式. 接下来, 通过改变谱参数和初始相位参数, 构造出 Hirota 方程的新型孤子共振和孤子分子解, 并分析其动力学特性. 研究结果表明, 局域孤子共振可演化为孤子分子, 孤子分子可视为局域孤子共振的极限形式. 此外, 研究揭示了孤子携带的能量在孤子共振与孤子分子形成过程中呈现增长趋势, 并表明孤子分子的时空演化模式随孤子阶数的提升而趋于复杂. 同时, 孤子分子的波密度与高阶色散项及高阶非线性项的系数呈正相关关系. 上述结果为 Hirota 方程孤子动力学的深入研究提供了新的理论依据, 并有助于理解非线性光学系统中的孤子相互作用机制.

关键词： Hirota 方程; Darboux 变换; 孤子共振; 孤子分子

Abstract

Soliton resonance and soliton molecules play a significant role in the study of optics, physics, and fluid mechanics. This paper systematically investigates the soliton resonance and soliton molecule properties of the Hirota equation in the context of nonlinear optical systems. First, based on the Lax pair, the $N$-fold Darboux transformation of the Hirota equation is constructed, from which the exact analytical expressions of the $N$-soliton solutions are derived. Subsequently, by adjusting the spectral parameters and initial phase parameters, novel soliton resonance and soliton molecule solutions of the Hirota equation are constructed, and their dynamical characteristics are analyzed. The research results indicate that localized soliton resonance can evolve into soliton molecules, with soliton molecules being the limiting form of localized soliton resonance. Furthermore, the study reveals that the energy carried by solitons exhibits a growth trend during the formation of soliton resonance and soliton molecules. It also demonstrates that the spatiotemporal evolution patterns of soliton molecules become increasingly complex as the soliton order increases. Meanwhile, the wave density of soliton molecules is positively correlated with the coefficients of higher-order dispersion and higher-order nonlinear terms. These findings provide new theoretical insights into the soliton dynamics of the Hirota equation and contribute to a better understanding of soliton interaction mechanisms in nonlinear optical systems.

Keywords： Hirota equation; Darboux transformation; soliton resonances; soliton molecules

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本文引用格式

曾平平, 曾平安, 刘露. Hirota 方程的光孤子共振和孤子分子[J]. 数学物理学报, 2026, 46(1): 238-248

Zeng Pingping, Zeng Pingan, Liu Lu. Optical Soliton Resonances and Soliton Molecules for the Hiorta Equation[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(1): 238-248

1 引言

在光学、等离子体物理学以及流体力学等诸多学科领域中, 非线性可积偏微分方程广泛存在, 并在描述非线性波动现象方面发挥着重要作用[1-5]. 可积系统的精确解的构造与动力学特性分析始终是数学物理研究的重点方向. 为此, 专家学者们提出了多种求解可积系统的方法, 如 Hirota 双线性方法[6,7], Riemann-Hilbert 方法[8,9], Darboux 变换[10-17]等. 在众多解析方法中, Darboux 变换以其严格的规范不变性特征, 成为研究可积系统精确解的有效工具. 该方法由 Gaston Darboux 于 1882 年在研究线性 Sturm-Liouville 问题时首次提出. 然而, 由于 Sturm-Liouville 方程无法产生著名的孤子解, 因此该方法最初并未应用于孤子及可积系统. 直到 1955 年, Matveev 率先将 Sturm-Liouville 方程的 Darboux 变换与 Korteweg-de Vries 方程的 Lax 对相关. 此后, Darboux 变换得以拓展, 用以构建若干可积非线性可积方程的解.

孤子作为一种独特的物理现象, 在非线性介质传播过程中, 凭借介质色散效应与非线性效应的精妙平衡, 展现出形状、速度等特性的高度稳定性, 呈现为局域化的波包形式[18-21]. 于物理学研究范畴而言, 孤子为非线性系统动力学行为的探究构筑了关键模型, 深度揭示非线性相互作用的内在机理. 在信息传输领域, 其稳定的特性使其成为理想的信息载体, 有力保障长距离传输中信号的完整性, 有效规避传统波传输易出现的色散致展宽、非线性致畸变及衰减等问题[22,23]. 在光纤通信领域, 充分利用孤子的稳定传输特性, 能够达成高速率、长距离的光通信, 极大提升通信系统的容量与传输质量[24,25]. 在流体力学领域, 孤子理论对水波、等离子体波等流体系统中的特殊波动现象给予了合理的阐释, 为相关工程应用输送了坚实的理论支撑与实践指导[26,27]. 光孤子共振是特定频率光波与非线性介质相互作用时, 因介质折射率随光强变化产生自聚焦效应, 使光波形成孤子并长距传播保持形状和能量的现象. 它增强光与介质能量耦合与相互作用, 为光传输和能量集中提供高效方式, 也有助于揭示光的非线性传播特性与介质光学性质[28,29]. 光孤子分子, 也叫束缚态孤子, 是在非线性光学系统中由两个或多个光孤子经非线性相互作用紧密缔合而成的稳定复合结构体[30,31]. 更确切地说, 光孤子分子的形成通常是由两个或多个具有相近频率和振幅的孤子相互作用而引发的. 当两个孤子在空间和时间上相互重叠时, 它们会发生能量交换并改变彼此的形状. 如果能量交换足够强烈, 这些孤子就会相互锁定, 进而形成稳定的孤子分子构型[32-34].

本文主要研究 Hirota 方程

$iq_x + \frac{1}{2}q_{tt} + |q|^2q + i\beta(q_{ttt} + 6|q|^2q_t) = 0,$

其中, $q$ 表示具有空间坐标 $x$ 和时间坐标 $t$ 的光脉冲包络, $\beta$ 是三阶色散以及对三次项的修正. 三阶色散项 $q_{ttt}$ 修正了群速度色散的频率依赖性, 显著影响脉冲的对称性与传播稳定性. 在超快光学中, 其会导致脉冲波形畸变. 高阶非线性项 $6|q|^2q_t$ 对应于自陡化效应, 即脉冲前沿的瞬时非线性相移随强度梯度变化. 该效应在高功率脉冲传输中尤为突出, 可导致脉冲自压缩或频谱展宽, 进一步影响孤子间的相互作用模式. 该方程适用于描述光纤中亚皮秒或飞秒脉冲的传播, 且能更精确地刻画超短脉冲的非线性动力学[35]. 据我们所知, 目前, 对于 Hirota 方程只探究了其孤子、呼吸子、怪波解[36-38]. 但, 针对 Hirota 方程的光孤子共振和孤子分子的研究仍处于空白. 因此, 本文基于 Darboux 变换方法, 构造 Hirota 方程的光孤子共振及孤子分子解, 并进一步分析其动力学特性及演化规律. 同时揭示 Hirota 方程孤子共振向孤子分子转变的物理机制, 并探讨谱参数及初始相位参数对孤子共振及孤子分子形成的影响.

本文的结构如下: 第 2 节基于 Hiorta 方程的谱问题, 构造其 Darboux 变换, 并由此导出孤子解的精确表达式. 第 3 节详细研究了谱参数和色散系数对孤子共振和孤子分子的影响, 并探讨其重要特性. 第 4 节对本文进行了总结.

2 Darboux 变换和 $N$ 孤子解

方程 (1.1) 的 Lax 对可以写为

$\Psi_t = U\Psi, \quad \Psi_x = V\Psi,$

其中

$U =\begin{pmatrix}i\lambda & iq^* \\iq & -i\lambda\end{pmatrix}, \quad V =\begin{pmatrix}V_1 & V_2 \\V_3 & V_4\end{pmatrix},$
$\begin{align*} V_1 &= 4i\beta\lambda^3 + i\lambda^2 - 2i\beta\lambda|q|^2 + \beta(q^*q_t - qq_t^*) - \frac{1}{2}i|q|^2, \\ V_2 &= 4i\beta\lambda^2q^* + \lambda(2\beta q_t^* + iq^*) + \frac{1}{2}q_t^* - \beta(iq_{tt}^* + 2i|q|^2), \\ V_3 &= 4i\beta\lambda^2q + \lambda(-2\beta q_t + iq) - \frac{1}{2}q_xt - \beta(iq_{xtt} + 2i|q|^2), \\ V_4 &= -4i\beta\lambda^3 - i\lambda^2 + 2i\beta\lambda|q|^2 - \beta(q^*q_t - qq_t^*) + \frac{1}{2}i|q|^2, \end{align*}$

且 $\lambda$ 是一个谱参数.

基于此 Lax 对, 我们就开始构造方程 (1.1) 的 Darboux 变换. 考虑以下变换

$\Psi[1] = T[1]\Psi,$

新函数 $\Psi[1]$ 满足

$\Psi[1]_t = (T[1]_t + T[1]U)(T[1])^{-1}\Psi[1] \triangleq U[1]\Psi[1],$
$\Psi[1]_x = (T[1]_x + T[1]V)(T[1])^{-1}\Psi[1] \triangleq V[1]\Psi[1],$

其中 $U[1]$, $V[1]$ 与 $U$, $V$ 具有相同的形式, 只是 $q$, $q^{*}$ 被新函数 $q[1]$, $q[1]^{*}$ 所取代.

不失一般性, 方程 (1.1) 可以有以下形式的 Darboux 变换 $T[1]$

$T[1] = \lambda I - S[1], \quad S[1] = H[0]\Lambda_{1}H[0]^{-1},$

其中

$S[1] =\begin{pmatrix}s_{11}[1] & s_{12}[1] \\s_{21}[1] & s_{22}[1]\end{pmatrix},H[0] =\begin{pmatrix}\psi_{11}[0] & \psi_{12}[0] \\\psi_{21}[0] & \psi_{22}[0]\end{pmatrix},\Lambda_{1} =\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0 \\0 & \lambda_{1}^{*}\end{pmatrix},$

通过计算, 我们得到

$s_{11}[1] = \frac{\lambda_{1}\psi_{11}[0]\psi_{22}[0] - \lambda_{1}^{*}\psi_{12}[0]\psi_{21}[0]}{\psi_{11}[0]\psi_{22}[0] - \psi_{12}[0]\psi_{21}[0]}$
$s_{12}[1] = \frac{(\lambda_{1}^{*} - \lambda_{1})\psi_{11}[0]\psi_{12}[0]}{\psi_{11}[0]\psi_{22}[0] - \psi_{12}[0]\psi_{21}[0]},$
$s_{21}[1] = \frac{(\lambda_{1} - \lambda_{1}^{*})\psi_{21}[0]\psi_{22}[0]}{\psi_{11}[0]\psi_{22}[0] - \psi_{12}[0]\psi_{21}[0]},$
$s_{22}[1] = \frac{\lambda_{1}^{*}\psi_{11}[0]\psi_{22}[0] - \lambda_{1}\psi_{12}[0]\psi_{21}[0]}{\psi_{11}[0]\psi_{22}[0] - \psi_{12}[0]\psi_{21}[0]}. $

由此可得, 新函数 $q[1]$ 可以写成

$q[1] = q[0] - 2s_{21}[1].$

通过继续上述步骤 $N$ 次, 就可以得到方程 (1.1) 的 $N$ 重 Darboux 变换

$\Psi[N] = T[N]\Psi, \quad T[N] = \lambda I - S[N], \quad S[N] = H[N - 1]\Lambda_{2N - 1}H[N - 1]^{-1},$

其中

$\begin{align*} & S[N]=\!\! \begin{pmatrix} s_{11}[N] & s_{12}[N] \\ s_{21}[N] & s_{22}[N] \end{pmatrix}, H[N - 1]=\!\! \begin{pmatrix} \psi_{11}[N - 1] & \psi_{12}[N - 1] \\ \psi_{21}[N - 1] & \psi_{22}[N - 1] \end{pmatrix}, \Lambda_{2N - 1}=\!\! \begin{pmatrix} \lambda_{2N - 1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2N - 1}^{*} \end{pmatrix}, \\ & \begin{pmatrix} \psi_{11}[N - 1] \\ \psi_{21}[N - 1] \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \lambda_{2N - 1} - s_{11}[N - 1] & -s_{12}[N - 1] \\ -s_{21}[N - 1] & \lambda_{2N - 1} - s_{22}[N - 1] \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_{2N - 1} - s_{11}[N - 2] & -s_{12}[N - 2] \\ -s_{21}[N - 2] & \lambda_{2N - 1} - s_{22}[N - 2] \end{pmatrix}\\ & \cdots \begin{pmatrix} \lambda_{2N - 1} - s_{11}[1] & -s_{12}[1] \\ -s_{21}[1] & \lambda_{2N - 1} - s_{22}[1] \end{pmatrix} \end{align*}$
$\begin{align*} & \begin{pmatrix} \psi_{12}[N - 1] \\ \psi_{22}[N - 1] \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \lambda_{2N - 1}^{*} - s_{11}[N - 1] & -s_{12}[N - 1] \\ -s_{21}[N - 1] & \lambda_{2N - 1}^{*} - s_{22}[N - 1] \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_{2N - 1}^{*} - s_{11}[N - 2] & -s_{12}[N - 2] \\ -s_{21}[N - 2] & \lambda_{5}^{*} - s_{22}[N - 2] \end{pmatrix}\\ & \cdots \begin{pmatrix} \lambda_{2N - 1}^{*} - s_{11}[1] & -s_{12}[1] \\ -s_{21}[1] & \lambda_{2N - 1}^{*} - s_{22}[1] \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_{1,2N} \\ \psi_{2,2N} \end{pmatrix}, \end{align*}$
$s_{11}[N] = \frac{\lambda_{2N - 1}\psi_{11}[N - 1]\psi_{22}[N - 1] - \lambda_{2N - 1}^{*}\psi_{12}[N - 1]\psi_{21}[N - 1]}{\psi_{11}[N - 1]\psi_{22}[N - 1] - \psi_{12}[N - 1]\psi_{21}[N - 1]},$
$s_{12}[N] = \frac{(\lambda_{2N - 1}^{*} - \lambda_{2N - 1})\psi_{11}[N - 1]\psi_{12}[N - 1]}{\psi_{11}[N - 1]\psi_{22}[N - 1] - \psi_{12}[N - 1]\psi_{21}[N - 1]},$
$s_{21}[N] = \frac{(\lambda_{2N - 1} - \lambda_{2N - 1}^{*})\psi_{21}[N - 1]\psi_{22}[N - 1]}{\psi_{11}[N - 1]\psi_{22}[N - 1] - \psi_{12}[N - 1]\psi_{21}[N - 1]},$
$s_{22}[N] = \frac{\lambda_{2N - 1}^{*}\psi_{11}[N - 1]\psi_{22}[N - 1] - \lambda_{2N - 1}\psi_{12}[N - 1]\psi_{21}[N - 1]}{\psi_{11}[N - 1]\psi_{22}[N - 1] - \psi_{12}[N - 1]\psi_{21}[N - 1]}.$

那么, 新函数为

$q[N] = q[N-1] - 2s_{21}[N].$

3 孤子共振和孤子分子

在这一部分, 我们将详细分析谱参数, 初始相位参数和色散系数对孤子共振和孤子分子的影响, 同时也讨论了孤子共振和孤子分子的重要特性.

取方程 (1.1) 的种子解为 $q = 0$. 那么, Lax 对的解可以构造为

$\begin{pmatrix}\psi_{1,2k - 1} \\\psi_{2,2k - 1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{\lambda_{2k - 1}t + i(4\beta\lambda_{2k - 1}^{3} + \lambda_{2k - 1}^{2})x + \eta_{2k - 1,0}} \\e^{-\lambda_{2k - 1}t - i(4\beta\lambda_{2k - 1}^{3} + \lambda_{2k - 1}^{2})x - \eta_{2k - 1,0}}\end{pmatrix},$
$\begin{pmatrix}\psi_{1,2k} \\\psi_{2,2k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{\lambda_{2k}^{*}t + i(4\beta\lambda_{2k}^{*3} + \lambda_{2k}^{*2})x + \eta_{2k,0}} \\e^{-\lambda_{2k}^{*}t - i(4\beta\lambda_{2k}^{*3} + \lambda_{2k}^{*2})x - \eta_{2k,0}}\end{pmatrix},$

其中的 $\eta_{2k - 1,0}$ 和 $\eta_{2k,0}$ ($k = 1,2,3,\cdots$) 是常数. 将其代入 $N$-重 Darboux 变换, 我们就能得到 $N$ 孤子解.

当 $N=1$ 时, 1-孤子解的解析表达式可写为

$\nonumber q[1]=-2i\lambda_{1I}e^{2i(\lambda_{1R}x+(4\beta\lambda_{1R}(\lambda_{1R}^2-3\lambda_{1I}^2)+\lambda_{1R}^2-\lambda_{1I}^2)t)}{\rm sech}(-2\lambda_{1I}(x+(12\beta\lambda_{1R}^2-4\beta\lambda_{1I}^2+2\lambda_{1R})t))$

这里的 $\lambda_{1R}$ 和 $\lambda_{1I}$ 分别代表$\lambda_1$ 的实部和虚部. 由此可知, 孤子的速度可以表示为

$\nonumber v=-2\lambda_{1I}(12\beta\lambda_{1R}^2-4\beta\lambda_{1I}^2+2\lambda_{1R}),$

波密度为

$|q[1]|^2=4\lambda_{1I}^2 {\it sech}^2[-2\lambda_{1I}(x+(12\beta\lambda_{1R}^2-4\beta\lambda_{1I}^2+2\lambda_{1R})t].$

当$N=2$时, 2-孤子解的精确解析表达式可表示为

$q[2]=\frac{F}{G},$

其中

$\begin{align*} F=\,&4\lambda_{1I}(( i{\lambda_{1I}}^{2}+i(\lambda_{1R}-\lambda_{3R}-\lambda_{3I})(\lambda_{1R}-\lambda_{3R}+\lambda_{3I}))\cosh^2( \theta_3)\\ &-2\lambda_{3I} ( \lambda_{1R}-\lambda_{3R} )\sinh( \theta_3) \cosh( \theta_3 )-\frac{i}{2}{\lambda_{1I}}^{2}\\ &-\frac{i}{2}( \lambda_{1R}-\lambda_{3R}-\lambda_{3I} ) ( \lambda_{1R}-\lambda_{3R}+\lambda_{3I} ) ) \cos (2\theta_2)\\ &-8\lambda_{1I} ( ( \frac{1}{2}{\lambda_{1I}}^{2}+\frac{1}{2}( \lambda_{1R}-\lambda_{3R}-\lambda_{3I} ) ( \lambda_{1R}-\lambda_{3R}+\lambda_{3I} ) ) \cosh^{2} (\theta_3)\\ &+i\lambda_{3I} ( \lambda_{1R}-\lambda_{3R} )\sinh ( \theta_3 ) \cosh (\theta_3) -\frac{1}{4}{\lambda_{1I}}^{2}\\ &-\frac{1}{4}( \lambda_{1R}-\lambda_{3R}-\lambda_{3I} ) ( \lambda_{1R}-\lambda_{3R}+\lambda_{3I} ) ) \sin (2\theta_2) \\ &+8( ( \frac{i}{2}( -{\lambda_{1I}}^{2}+{\lambda_{3I}}^{2}+ ( \lambda_{1R}-\lambda_{3R} ) ^{2} ) \cosh (2\theta_1) +\sinh (2\theta_1) \lambda_{1I} ( \lambda_{1R}-\lambda_{3R} )) ( \cos^{2} (\theta_4) \\ &+ ( \frac{1}{2}( {\lambda_{1I}}^{2}-{\lambda_{3I}}^{2}-( \lambda_{1R}-\lambda_{3R} ) ^{2} ) \cosh (2\theta_1) +i\lambda_{1I}( \lambda_{1R}-\lambda_{3R} )\sinh (2\theta_1) ) \sin(\theta_4)\cos (\theta_4)\\ &+ \frac{i}{4}( {\lambda_{1I}}^{2}-{\lambda_{3I}}^{2}-( \lambda_{1R} -\lambda_{3R} ) ^{2} ) \cosh (2\theta_1) -\frac{1}{2}\lambda_{1I} \lambda_{3I}( \lambda_{1R}-\lambda_{3R}) \sinh (2\theta_1) ),\\ G=\,&2\lambda_{1I} \lambda_{3I}(\sin (2\theta_2) \sin (2\theta_4)+\cos(2\theta_2)\cos (2\theta_4) )\\ &-( {\lambda_{1I}}^{2}+\lambda_{3I}^{2}+ ( \lambda_{1R}-\lambda_{3R} ) ^{2} )\cosh (2\theta_1)\cosh(2\theta_3) +2\lambda_{1I}\lambda_{3I}\sinh(4\theta_1)\sinh(\theta_3), \end{align*}$

其中

$\begin{align*} \theta_1&=-4\beta{\lambda_{1I}}^{3}t+(( 12\beta{\lambda_{1R}}^{2}+2\lambda_{1R})t+x )\lambda_{1I},\\ \theta_2&=( 4\beta{\lambda_{1R}}^{3}-12\beta\lambda_{1R}{\lambda_{1I}}^{2}+{\lambda_{1R}}^{2}-{\lambda_{1I}}^{2} ) t+\lambda_{1R}x,\\ \theta_3&=-4\beta{\lambda_{3I}}^{3}t+(( 12\beta{\lambda_{3R}}^{2}+2\lambda_{3R})t+x )\lambda_{3I},\\ \theta_4&=( 4\beta{\lambda_{3R}}^{3}-12\beta\lambda_{3R}{\lambda_{3I}}^{2}+{\lambda_{3R}}^{2}-{\lambda_{3I}}^{2} ) t+\lambda_{3R}x. \end{align*}$

3.1 孤子共振

$\textbf{情况 1}\quad$ 当 $N = 2$, 令 $\lambda_{2k - 1,R} \neq 0$, $\lambda_{2k - 1,I} \neq 0(k = 1, 2)$, 双孤子将在局部区域相交并共振, 见图1. 可以观察到随着 $\frac{|\lambda_{1}|}{|\lambda_{3}|}$ 的值逐渐增大, 双孤子中的一个孤子的振幅逐渐减小.

图1

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图1   二孤子共振, 参数 $\beta=0.01$, $\lambda_1=1.6+0.6i$, (a,d) $\lambda_3=1+0.5i$; (b,e) $\lambda_3=1+0.3i$; (c,f) $\lambda_3=1+0.1i$.


当 $N = 3$, 令 $\lambda_{2k - 1,R} \neq 0$, $\lambda_{2k - 1,I} \neq 0(k = 1, 2, 3)$, 图2 展示了三孤子在局部区域相交且共振. 在这一种情况下, 我们保持 $\lambda_{1}$, $\lambda_{3R}$ 和 $\lambda_{5R}$ 不变, 改变 $\lambda_{3I}$ 和 $\lambda_{5I}$, 可以发现, 随着 $|\lambda_{3I}|$ 和 $|\lambda_{5I}|$ 同时增加, 三孤子共振的距离变小, 并且孤子的振幅变大.

图2

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图2   三孤子共振 $\beta=0.01$, $\lambda_1=1+0.2i$, (a,d) $\lambda_3=-1.6+0.2i$, $\lambda_5=1+0.2i$; (b,e) $\lambda_3=-1.6+0.8i$, $\lambda_5=1+0.8i$; (c,f) $\lambda_3=-1.6+i$, $\lambda_5=1+i$.


3.2 孤子分子

$\textbf{情况 2}\quad$ 当 $N = 2$, $\lambda_{1R}=\lambda_{3R} = 0$, 我们可以得到孤子分子, 呈现束缚态构造. 值得注意的是, 在这种情况下, 双孤子完全共振. 换言之, 这些孤子会完全合并成一个类似呼吸子的孤子, 它们会相互束缚, 并在无限区域内沿着整个 $x$ 轴传播, 见图3. 另一方面, 随着 $\vert\lambda_{3}\vert$ 逐渐减小, 孤子分子的振幅变小, 而密度变大. 将图4 中的三孤子分子与图3 中的二孤子分子比较, 揭示了随着孤子分子共振时阶数的增加, 时空模式会变得更加复杂.

图3

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图3   二孤子分子, 参数 $\beta=0.01$, $\lambda_1=1.2i$, (a,d) $\lambda_3=-0.95i$; (b,e) $\lambda_3=-0.75i$; (c,f) $\lambda_3=-0.55i$.


图4

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图4   三孤子分子, 参数 $\beta=0.01$, (a,d) $\lambda_1=1.5i$, $\lambda_3=1.4i$, $\lambda_5=1.2i$; (b,e) $\lambda_1=i$, $\lambda_3=0.8i$, $\lambda_5=0.7i$; (c,f) $\lambda_1=0.6i$, $\lambda_3=0.4i$, $\lambda_5=0.2i$.


$\textbf{情况 3}\quad$ 当 $N = 2$, 保持 $ \lambda_{1I}$, $\lambda_{3I}$ 不变, 在这种情况下, 我们观察孤子共振到孤子分子的形成过程. 令 $-\lambda_{1R} =\lambda_{3R}$ 的值逐渐减小到 0, 可以看到一个形成过程, 从局部孤子共振 (见图5(a, d)), 到更强的局部孤子共振 (见图5(b, e)), 最后再到全局孤子共振, 也就是孤子分子 (见图5(c, f)).

图5

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图5   孤子共振到孤子分子的演化过程, 参数 $\beta=0.01$, $\lambda_1=-\lambda_{3R}+0.6i$, $\lambda_3=\lambda_{3R}+0.3i$, (a,d) $\lambda_{3R}=0.8$; (b,e) $\lambda_{3R}=0.05$; (c,f) $\lambda_{3R}=0$


当 $\lambda_{3R}=0.8$, 在图6(a) 中, 可以观察到, 在 $t=-5$ 时刻, 孤子呈现两个分离的局部峰值, 随着时间演化, 孤子在 $t=0$ 附近发生明显的相互作用, 形成了瞬态的共振结构, 并在 $t=5$ 时刻趋于新的稳定分布. 当 $\lambda_{3R}=0.05$, 图6(b) 进一步刻画了孤子共振后的动力学行为. 初始时刻 ($t=-5$), 孤子依然保持较大分离度, 但在 $t=0$ 附近形成了更集中的峰值结构, 说明孤子间的相互作用增强, 并伴随明显的局部增益效应. 最终, 在 $t=5$ 时刻, 孤子趋向于新的稳定态, 与原始状态相比, 形成了更紧密的双峰结构. 图6(c) 反映了孤子共振向孤子分子态演化的趋势. 当 $\lambda_{3R}=0$, 与前两幅图类似, 在 $t=-5$ 处, 孤子仍保持分离, 但在 $t=0$ 附近发生剧烈的共振, 使得局部振幅大幅增加. 最终, 在 $t=5$ 时刻, 孤子演化成了更明显的双峰分子态, 这表明孤子间的长时间相互作用促成了稳定的孤子分子结构的形成.

图6

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图6   孤子共振到孤子分子的平面演化图, 参数与图5 相同.


$\textbf{情况 4}\quad$ 这里, 主要讨论保持其他参数不变, 改变初始相位参数 $\eta_{10}$, $\eta_{30}$ 的值对解的影响. 从图6中可以发现, 随着 $\eta_{10}$, $\eta_{30}$ 的值逐渐减小到0, 从完全分离的平行二孤子分子 (见图7(a, d)), 到略微束缚的孤子分子 (见图7(b, e)), 最后再到紧密束缚的孤子分子, 也就是孤子分子 (见图7(c, f)).

图7

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图7   二孤子分子, 参数 $\beta=0.01$, $\lambda_1=i$, $\lambda_3=0.4i$, (a, d) $\eta_{10}=-1.5$, $\eta_{30}=1.5$; (b, e) $\eta_{10}=-0.8$, $\eta_{30}=0.8$; (c, f) $\eta_{10}=-0.05$, $\eta_{30}=0.05$.


$\textbf{情况 5}\quad$ 在这里, 我们探究色散系数 $\beta$ 对解的影响. 在保持其他参数不变的情况下, 随着 $\beta$ 逐渐增大, 孤子共振的密度会逐渐变大, 见图8. 这就说明随着色散系数的增大, 方程 (1.1) 的孤子所携带的能量会增加.

图8

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图8   二孤子分子, 参数 $\beta=0.01$, $\lambda_1=1.2i$, $\lambda_3=0.35i$, (a, d) $\beta=0.05$; (b, e) $\beta=0.6$; (c, f) $\beta=1.2$.


4 结论

本文旨在探究非线性光学系统背景下的 Hirota 方程的光孤子共振和孤子分子. 基于 Lax 对, 构造了 Hirota 方程的 $N$ 重 Darboux 变换, 并由此导出了 Hirota 方程的 孤子共振和孤子分子. 通过改变谱参数、初始相位参数以及色散系数, 详细研究了解的构造和动力学行为. 在此过程中, 我们发现了一些孤子共振和孤子分子的显著特性. 首先发现了从局部 孤子共振逐渐演变成孤子分子的形成过程, 确立孤子分子是局部孤子共振的一个极限过程. 其次, 我们还发现, Hirota 方程的孤子的能量会因孤子共振和孤子分子的产生而增大. 此外, 随着 孤子的阶数增加, 孤子共振的结构会变得更加复杂. 最后, 我们在改变色散系数的过程中, 观察到随着色散系数的增加, 孤子分子的密度会增大. 这些结果在研究其他光学系统的复杂解方面具 有重要的参考价值与推动作用.

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本文主要研究可积的耦合Sasa-Satsuma 方程, 它可用于描述两个超短脉冲在双折射或双模光纤中的传输动力学.通过Darboux-穿衣变换, 可以得到一类半有理解.这类解能够展示出怪波与呼吸波之间各种有趣的叠加场景.这些结果将有助于丰富和解释出现在光纤和色散介质中一些相关的非线性现象.

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Darboux-dressing transformation and semirational solution to the coupled Sasa-Satsuma equation

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Under investigation in this work is the integrable coupled Sasa-Satsuma equation, which can be used to describe the propagation dynamics of two ultrashort pulses in the birefringent or two-mode fiber. Through the Darboux-dressing transformation, we obtain a family of semirational solutions. This family of solutions exhibits various scenes of superimposition between rogue waves and breathers. These results may contribute to enriching and explaining some related nonlinear phenomena in optical fibers and dispersive media.

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