数学物理学报, 2026, 46(1): 174-189

研究论文

带奇异位势的加权退化椭圆方程解的唯一延拓性

杜广伟,*, 韦飞雪,

曲阜师范大学数学科学学院 山东曲阜 273165

Unique Continuation Properties of Weighted Degenerate Elliptic Equation with Singular Potential

Du Guangwei,*, Wei Feixue,

School of Mathematical Sciences, Qufu Normal University, Shandong Qufu 273165

通讯作者: *杜广伟, Email: guangwei87@mail.nwpu.edu.cn

收稿日期: 2024-12-16   修回日期: 2025-06-27  

基金资助: 山东省自然科学基金(ZR2020QA017)

Received: 2024-12-16   Revised: 2025-06-27  

Fund supported: Natural Science Foundation of Shandong Province(ZR2020QA017)

作者简介 About authors

韦飞雪,Email:feixuewei0420@163.com

摘要

该文研究了如下与广义 Baouendi-Grushin 向量场相关的带奇异位势的二阶变系数加权退化椭圆方程解的唯一延拓性

$$- \sum\limits_{i,j = 1}^N {{X_j}({a_{ij}}(x,y){X_i}u)} + V(x,y)u = 0,$$

其中

$$\lambda {\left| \eta \right|^2}w \leqslant \left\langle {A\eta,\eta } \right\rangle \leqslant {\lambda ^{ - 1}}{\left| \eta \right|^2}w, \ \ A = {({a_{ij}})_{N \times N}},$$

$w$ 是与拟距离相关的权函数. 首先利用加权 Hardy 不等式、Rellich 型恒等式及 Dirichlet 能量估计, 证明了方程弱解频率函数的单调性, 进一步建立了弱解的二重性, 最后得到了方程弱解的唯一延拓性.

关键词： 唯一延拓性; Baouendi-Grushin 向量场; 奇异位势; 频率函数

Abstract

In this paper, we consider the following second order variable coefficient weighted degenerate elliptic equation with singular potential constituted by Generalized Baouendi-Grushion vector fields

$$ - \sum\limits_{i,j = 1}^N {{X_j}({a_{ij}}(x,y){X_i}u)} + V(x,y)u = 0,$$

where

$$\lambda {\left| \eta \right|^2}w \leqslant \left\langle {A\eta,\eta } \right\rangle \leqslant {\lambda ^{ - 1}}{\left| \eta \right|^2}w,\ \ A = {({a_{ij}})_{N \times N}},$$

$w$ is a weight function related to quasi distance. By using the weighted Hardy inequality, Rellich type identity and the estimates of Dirichlet energy, we first get the monotonicity of the frequency function of the weak solutions. Then the doubling and unique continuation properties of the weak solutions are obtained.

Keywords： unique continuation properties; Baouendi-Grushion vector fields; singular potential; frequency function

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本文引用格式

杜广伟, 韦飞雪. 带奇异位势的加权退化椭圆方程解的唯一延拓性[J]. 数学物理学报, 2026, 46(1): 174-189

Du Guangwei, Wei Feixue. Unique Continuation Properties of Weighted Degenerate Elliptic Equation with Singular Potential[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(1): 174-189

1 引言

偏微分方程解的唯一性一直是数学家和物理学家关注的问题, 而偏微分方程解的唯一性与解的唯一延拓性密切相关, 当 Cauchy 问题的解充分光滑时, 它们是等价的. 因此方程解的唯一延拓性是偏微分方程理论的重要组成部分. 特别地, 具有位势项的二阶椭圆方程的唯一延拓性受到了广泛的关注. 最简单的例子就是物理学中经常出现的 Schrödinger 方程 $ - \Delta u + Vu = 0$, 其中 $V$ 是位势函数. 通常研究方程唯一性的方法是建立解的先验估计. 最早是由 Carleman 在 1939 年提出的, 用以解决 ${\mathbb{R}^2}$ 中具有界位势的 Schrödinger 方程解的唯一延拓性, 自此 Carleman 方法推动了偏微分方程的发展. 许多学者利用 Carleman 估计得到了椭圆方程解的唯一性, 代表性的文献可见文献[1,17,19]. Aronszajn 在文献[1]中用这种方法证明了当位势函数局部有界时, Schrödinger 方程解的唯一延拓性, 考虑到数学和物理上的需要, 对于位势项无界的情况, Jerison 和 Kenig 在文献[19]中证明了当 $V \in L_{\rm loc}^{n/2}({\mathbb{R}^n})$ 时 Schrödinger 方程的唯一延拓性.

自 Hörmander 的经典文章 [18] 发表以来, 由向量场构成的退化椭圆方程受到广泛关注, 见文献 [5,7,8,26,27]. 与此同时, 与向量场相关的退化椭圆方程的唯一延拓性也得到广泛关注. 然而对于退化椭圆方程, 由于缺乏椭圆性, Carleman 估计的方法不再适用. 于是便出现了另一种方法: 频率函数方法. 该方法最早由 Garofalo 和 Lin 在文献 [10] 中引入, 他们通过定义方程弱解的 Almgren 频率函数, 证明了频率函数的单调性, 进而得到解的唯一延拓性, 还可见文献 [11,12,14]. 基于此类方法, Bahouri 在文献 [3] 中证明了当向量场 ${X_1},\cdots,{X_{n - 1}}$ 满足 Hörmander 条件和 $V \in {C^\infty }$ 时, ${\mathbb{R}^n}$ 中 Schrödinger 方程 $ - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {X_i^2} u + Vu{\text{ = 0}}$ 解的唯一延拓性不成立. 此后, Garofalo 和 Lanconelli 在文献 [12] 中考虑了 Heisenberg 群 ${H^n}$ 上的 Schrödinger 方程 $- {\Delta _{{H^n}}}u + Vu = 0$. 在对 $V$ 的适当假设条件下证明了解的唯一延拓性, 也可见文献 [29]. 这就激发了人们对更一般的算子在什么条件下唯一延拓性仍然成立这一问题的兴趣. Liu 等在文献 [20] 中证明了 Heisenberg 群上次 $p$-Laplace 方程

$\Delta_H^pu=\sum_{i=1}^{2n}X_i(|Xu|^{p-2}X_iu)=0,\quad1<p<\infty$

在频率函数局部有界的假设下解的唯一延拓性.

与 Heisenberg 群密切相关的广义 Baouendi-Grushin 向量场也得到了很多学者的研究, 与此向量场相关的退化椭圆方程更激发了人们对其研究的兴趣. 广义 Baouendi-Grushin 向量场为

${X_k} = \frac{\partial }{{\partial {x_k}}}, k = 1,\cdots,n; \quad {X_{n + j}} = {\left| x \right|^\alpha }\frac{\partial } {{\partial {y_j}}}, j = 1,\cdots,m, N = n + m. $

与此向量场相关的次 Laplace 算子

${L_\alpha }u: = \sum\limits_{i = 1}^N {X_i^2u} $

最早成为学者们研究的对象. 注意到当 $\alpha = 0$ 时, ${L_0}$ 是 ${\mathbb{R}^N}$ 中的 Laplace 算子, 当 $\alpha > 0$ 时, ${L_\alpha }$ 在 ${\mathbb{R}^N}$ 的特征子流形 ${\mathbb{R}^N} \times \{ 0\} $ 上是退化的. 当 $\alpha = 2k, k \in {\mathbb{N}}$ 时, ${L_\alpha }$ 是一族满足 Hörmander 有限秩条件的光滑向量场的平方和算子. 当 $\alpha = 1$ 时, ${L_\alpha }$ 与 Heisenberg 群 $H^n$ 上的 Kohn 次 Laplace 算子的实部密切相关, 见文献 [9,13,24]. 当 $\alpha \in {\mathbb{N}}$ 时, Grushin 在文献 [15,16] 证明了 ${L_\alpha }$ 的亚椭圆性并且指出这一性质会受到低阶项的影响. 在文献 [13] 中, Garofalo 通过引入 Almgren 型频率函数, 建立了方程

$- {L_\alpha }u + \overrightarrow b \cdot \nabla u + Vu = 0$

的唯一延拓性, 文中关于位势函数的假设条件为

$\begin{equation}\label{Quan} |V| \leq \frac{f(\rho)}{\rho^2} \psi, \end{equation}$

其中 $ f : (0, R_0) \to \mathbb{R}^+ $ 为一递增函数, 且满足 $\displaystyle\int_{0}^{R_0} \frac{f(r)}{r}{\rm d}r < \infty $; $\rho$ 表示与向量场相关的拟距离, $0 \leq \psi \leq 1$ 是一个权函数 (具体定义见下文 (2.6) 和 (2.7) 式). Niu 和 Wang 在文献 [25] 中研究了带径向型位势 $V(\rho )$ (其中 $|V|\leqslant\dfrac{c}{\rho^2}$) 的方程

$ - \sum\limits_{i = 1}^N {X_i^2} + V(\rho )\frac{{{{\left| x \right|}^{2\alpha }}}} {{{\rho ^{2\alpha }}}}u = 0$

弱解的唯一延拓性. 以上研究的方程均为常系数方程. 对于变系数的情形, Garofalo 和 Vassilev 在文献 [14] 中考虑了散度型方程

$\sum\limits_{i,j = 1}^N {{X_j}({a_{ij}}(x,y){X_i}u)} = 0$

弱解的唯一延拓性. 文献 [4] 中, Banerjee 和 Mallick 证明了如下具有 Hardy 型位势的退化椭圆方程

$\Delta_z u + |z|^2 \partial_t^2 u = V u, \quad (z, t) \in \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}$

解的唯一延拓性, 其中 $V$ 满足 (1.1) 式且 $\psi=1$. 最近, Liu 和 Yang 在文献 [21] 中研究了如下具有强奇异位势的四阶 Baouendi-Grushin 向量场构成的退化椭圆方程

$\Delta_X^2 u=Vu$

解的唯一延拓性, 其中 $\Delta_X = \Delta_x + |x|^{2\alpha} \Delta_y \ (0 < \alpha \leq 1,\ x \in \mathbb{R}^m,\ y \in \mathbb{R}^n)$, $|V|\leqslant\dfrac{c}{\rho^4}$.

本文旨在研究与广义 Baouendi-Grushin 向量场相关的带奇异位势的二阶变系数加权退化椭圆方程

$\begin{equation} - Lu + Vu = - \sum\limits_{i,j = 1}^N {{X_j}({a_{ij}}(x,y){X_i}u)} + V(x,y)u = 0\label{eq1.1} \end{equation}$

弱解的唯一延拓性, 其中 $A = ({a_{ij}}(x,y)) (i,j = 1,\cdots,N)$ 是 ${\mathbb{R}^N}$ 上 $N \times N$ 函数矩阵, $A(0) = {I_{N \times N}}$. 此外 $A$ 对称且满足一致椭圆条件, 即 ${a_{ij}} = {a_{ji}}$, 存在 $\lambda,\Lambda > 0$ 使得对任意的 $\eta \in {{\mathbb{R}^N}}$ 有

$\begin{equation}\label{eq1.2} \lambda {\left| \eta \right|^2}w \leqslant \left\langle {A\eta,\eta } \right\rangle \leqslant \Lambda {\left| \eta \right|^2}w, \end{equation}$

其中

$\begin{equation}\label{weight} w = {\left| x \right|^{\beta - 2\alpha }}{\rho ^{2(1 + \alpha ) - \gamma }}, n + (\alpha + 1)m > \gamma - \beta - 2, n > 2\alpha - \beta; \end{equation}$

位势函数 $V$ 满足

$\begin{align*} &\left| {V(x,y)} \right| \leqslant M\frac{{f(\rho (x,y))}} {{{\rho ^\gamma }(x,y)}}{\left| x \right|^\beta }, \end{align*}$

其中 $ f$ 满足 Dini 可积条件, $\rho (x,y)$ 为 $x$ 与 $y$ 间的拟距离.

与文献 [14] 相比, 由于方程 (1.2) 具有位势项且二阶项系数是加权的, 因此受文献 [13] 的启发, 我们除定义方程 (1.2) 弱解在球 $B_r$ 上的高度 $H(r)$ 和 Dirichlet 能量 $D(r)$ 以外, 还定义了弱解的包含奇异位势项的总能量泛函 $I(r)$ 及频率函数 $N(r)$ (见定义 1.1). 为估计 $I(r)$, 我们首先利用散度定理并结合方程将其改写为边界积分形式 (见 (3.4) 式), 然后利用加权 Hardy 不等式和 Rellich 型恒等式对 $H(r)$, $D(r)$, $I(r)$ 和 $I'(r)$ 进行精细的估计, 从而证明了频率函数 $N(r)$ 的单调性. 最终, 基于频率函数的单调性我们建立了弱解的二重性, 进而得到了方程弱解的唯一延拓性.

本文组织如下: 第二节介绍广义 Baouendi-Grushin 向量场的相关知识, 加权 Hardy 不等式, Rellich 型恒等式, 并给出本文的主要结果; 第三节给出相关引理的证明; 第四节证明本文的主要结果.

2 预备知识和主要结果

广义 Baouendi-Grushin 向量场为

$\begin{equation} {X_k} = \frac{\partial }{{\partial {x_k}}}, k = 1,\cdots,n; \quad {X_{n + j}} = {\left| x \right|^\alpha }\frac{\partial } {{\partial {y_j}}}, j = 1,\cdots,m.\label{eq2.1} \end{equation}$

其中 $\alpha > 0, x = ({x_1},\cdots,{x_n}) \in {\mathbb{R}^n}$, $y = ({y_1},\cdots,{y_m}) \in {\mathbb{R}^m}$. 相应的水平梯度算子为

$\begin{equation} X = ({X_1},\cdots,{X_N}) = \bigg(\frac{\partial } {{\partial {x_1}}},\cdots,\frac{\partial } {{\partial {x_n}}},{\left| x \right|^\alpha }\frac{\partial } {{\partial {y_1}}},\cdots,{\left| x \right|^\alpha }\frac{\partial } {{\partial {y_m}}}\bigg), \quad N = n + m. \label{eq2.2} \end{equation}$

记

$\begin{equation*} S = \left( \begin{array}{cc} {{I_{n \times n}}} & 0 \\ 0 & {{{\left| x \right|}^\alpha }{I_{m \times m}}} \\ \end{array} \right), \end{equation*}$

则 $S = {S^T}$, $X = SD$. 注意到当 $\alpha = 0$ 时, 上述向量场即为欧氏空间中的梯度算子, 即 $X = D$. 令

$\begin{equation} Lu = \sum\limits_{i,j = 1}^N {{X_j}({a_{ij}}(x,y){X_i}u)} = {\rm div}(SASDu).\label{eq2.3} \end{equation}$

定义广义 Baouendi-Grushin 向量场上的伸缩为

$\begin{equation} {\delta _\lambda }(x,y) = (\lambda x,{\lambda ^{\alpha + 1}}y), \lambda > 0, \label{eq2.4} \end{equation}$

对应于 ${\delta _\lambda }$ 的齐次维数为

$\begin{equation} Q = n + (\alpha + 1)m. \label{eq2.5} \end{equation}$

对 $(x,y) \in {\mathbb{R}^n} \times {\mathbb{R}^m}$ 定义与原点的拟距离为

$\begin{equation}\label{eq2.6} \rho = \rho (\xi ) = {({\left| x \right|^{2(\alpha + 1)}} + {(\alpha + 1)^2}{\left| y \right|^2})^{\frac{1} {{2(\alpha + 1)}}}}, \end{equation}$

则 $\rho$ 满足 $\rho ({\delta _\lambda }(x,y)) = \lambda \rho (x,y)$, 即 $\rho$ 关于伸缩变换 ${\delta _\lambda }$ 为一次齐次函数.

记

${B_r} = \{ (x,y) \in {{\mathbb{R}}^n} \times {{\mathbb{R}}^m}:\rho (x,y) < r\}, \quad \partial {B_r} = \{ (x,y) \in {{\mathbb{R}}^n} \times {{\mathbb{R}}^m}:\rho (x,y) = r\},$

分别为中心在原点, 半径为 $r$ 的球和球面.

引入函数

$\begin{equation}\label{eq2.7} \psi = \psi (\xi ) = {\left| {X\rho } \right|^2}(\xi ) = \sum\limits_{i = 1}^N {({X_i}\rho } {)^2} = \frac{{\,\;{{\left| x \right|}^{2\alpha }}}} {{{\rho ^{2\alpha }}}}, \xi \ne 0. \end{equation}$

定义

$\left| {{B_r}} \right| = \int_{{B_r}} {\psi {\mathrm dx}{\mathrm dy}}, \quad \left| {\partial {B_r}} \right| = \frac{\mathrm d}{{\mathrm dr}}\left| {{B_r}} \right|.$

记方程 (1.2) 中系数

$\begin{equation*} A = \left( \begin{array}{cc} {{A_{11}}} & {{A_{12}}} \\ {{A_{21}}} & {{A_{22}}} \\ \end{array} \right). \end{equation*}$

其中 ${A_{11}}$, ${A_{12}}$, ${A_{21}}$, ${A_{22}}$ 分别为 $n \times n$, $n \times m$, $m \times n$, $m \times m$ 矩阵, 其中 $A_{_{12}}^T = {A_{21}}$. 记 $B = A - {I_{N \times N}}$, 则有 $B(0) = {O_{N \times N}}$. 设存在正常数 $\Lambda $ 使得对 $\varepsilon > 0$, 在 ${B_\varepsilon }$ 内满足

$\begin{equation} \left| {{b_{ij}}} \right| = \left| {{a_{ij}} - {\delta _{ij}}} \right| \leqslant \left\{ \begin{array} \Lambda \rho w,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \;\,1 \leqslant i,j \leqslant n,\\ \Lambda {\psi ^{\frac{1}{2} + \frac{1} {{2\alpha }}}}\rho = \Lambda \dfrac{{\;{{\left| x \right|}^{\alpha + 1}}}} {{{\rho ^\alpha }}}w, \quad \text{其他. } \end{array} \right. \end{equation}$
$\begin{equation} \left| {{X_k}{b_{ij}}} \right| = \left| {{X_k}{a_{ij}}} \right| \leqslant \left\{ \begin{array} \Lambda w,\quad \quad \quad \quad \quad \quad \;1 \leqslant k \leqslant n, \leqslant i,j \leqslant n,\\ \Lambda {\psi ^{\frac{1} {2}}} = \Lambda \dfrac{{\;{{\left| x \right|}^\alpha }}} {{{\rho ^\alpha }}}w, \text{其他. } \end{array} \right. \end{equation}$

满足 (2.8) 和 (2.9) 式的一个简单例子为

$\begin{equation*} A = w\left( \begin{array}{cc} {1 + \rho f(x,y)} & {{{\left| x \right|}^{\alpha + 1}}g(x,y)} \\ {{{\left| x \right|}^{\alpha + 1}}g(x,y)} & {1 + {{\left| x \right|}^{\alpha + 1}}h(x,y)} \\ \end{array} \right), \end{equation*}$

其中 $n = m = 1,f,g$ 和 $h$ 是在 $\mathbb{R}^2$ 中的原点处关于欧氏度量 Lipschitz 连续的函数.

设存在增函数 $f:(0,{R_0}) \to {\mathbb{R}^ + }$ 满足

$\begin{equation} \int_0^{{R_0}} {\frac{{f(r)}}{r}{\rm d}r < \infty }. \label{eq2.10} \end{equation}$

假设对 a.e. $(x,y) \in {B_{{R_0}}}$, 存在常数 $M > 0$ 使得位势函数 $V$ 满足下述条件

$\begin{equation} \left| {V(x,y)} \right| \leqslant M\frac{{f(\rho (x,y))}} {{{\rho ^\gamma }(x,y)}}{\left| x \right|^\beta }. \label{eq2.11} \end{equation}$

根据 (2.10), (2.11) 式知位势函数可以是奇异的, 参见文献 [12].

定义 2.1 设 $u$ 为 ${B_{{R_0}}}$ 内方程 (1.2) 的弱解, $0 < r < {R_0}$, 在 $B_r$ 内定义

$\begin{align*} & H(r) = \int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{\left\langle {AX\rho,X\rho } \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}}, \\ & D(r) = \int_{{B_r}} {\left\langle {AXu,Xu} \right\rangle } {\mathrm dx}{\mathrm dy}, \\ & I(r) = \int_{{B_r}} {(\left\langle {AXu,Xu} \right\rangle + V{u^2})} {\mathrm dx}{\mathrm dy}, \end{align*}$
$ \hspace{-1cm}N(r) = \begin{cases} \dfrac{rI(r)}{H(r)}, & \quad H(r) \neq 0, \\ 0, & \quad H(r) = 0. \end{cases} $

分别称 $H(r),D(r),I(r)$ 和 $N(r)$ 分别为 $u$ 在 $B_r$ 上的高度, Dirichlet 能量, Dirichlet 总能量和频率函数. 其中, ${\mathrm d H_{N - 1}}$ 表示 ${\mathbb{R}^N}$ 中的 $(N-1)$ 维 Hausdorff 测度,

注意到由假设条件 (1.3) 及 ${\left| {X\rho } \right|^2} = \psi $, 知存在常数 $C_1$ 和 $C_2$, 使得

${C_1}\int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{\psi } {{\left| {D\rho } \right|}}w} {\mathrm d H_{N - 1}} \leqslant H(r) \leqslant {C_2}\int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{\psi } {{\left| {D\rho } \right|}}} w{\mathrm d H_{N - 1}}. $
${C_1}\int_{{B_r}} {{{\left| {Xu} \right|}^2}} w{\mathrm dx}{\mathrm dy} \leqslant D(r) \leqslant {C_2}\int_{{B_r}} {{{\left| {Xu} \right|}^2}w} {\mathrm dx}{\mathrm dy}.$

下面给出方程 (1.2) 弱解的定义与无穷阶消失条件的定义.

定义 2.2 设 $u \in {L^2}({B_{{R_0}}})$, 且 $Xu \in {L^2}({B_{{R_0}}})$. 若对任意 $\varphi \in C_0^\infty ({B_{{R_0}}})$ 有

$\int_{{B_{{R_0}}}} {\left\langle {AXu,X\varphi } \right\rangle {\mathrm dx}{\mathrm dy}} + \int_{{B_{{R_0}}}} {Vu\varphi {\mathrm dx}{\mathrm dy}} = 0,$

则称 $u$ 为方程 (1.2) 在 $B_{{R_0}}$ 内的弱解.

定义 2.3 称 $u \in {L^2}({B_{{R_0}}})$ 在原点处满足无穷阶消失性条件, 如果对任意 $k > 0$ 及 $r<R_0$ 有下式成立

$\mathop {\lim }\limits_{r \to 0} \frac{1} {{{r^k}}}\int_{{B_r}} {{u^2}} \psi w{\mathrm dx}{\mathrm dy} = 0.$

设 $1 \leqslant p < \infty, w' \in L_{\rm loc}^1(\Omega )$, 且 $w' > 0$ 在 $\Omega $ 上几乎处处成立. 记 $D_\alpha ^{1,p}(\Omega,w')$ 为 $C_0^\infty (\Omega )$ 在范数 $\displaystyle{\left( {\int_\Omega {{{\left| {Xu} \right|}^p}w'{\mathrm dx}{\mathrm dy}} } \right)^{\frac{1} {p}}}$ 下的闭包.

为了得到 $H(r),D(r),I(r)$ 和 $N(r)$ 估计, 我们将用到如下加权 Hardy 不等式和 Rellich 型恒等式.

引理 2.1 (加权 Hardy 不等式[6]) 设 $p > 1,\alpha,\beta \in {\mathbb{R}},$ 满足 $Q > \gamma - \beta - p,n > p\alpha - \beta,$ 则对任意的 $D_\alpha ^{1,p}\left( {\Omega,{{\left| x \right|}^{\beta - \alpha p}}{\rho ^{(1 + \alpha )p - \gamma }}} \right)$, 有

$\begin{equation} \int_\Omega {{u^p}\frac{{{{\left| x \right|}^\beta }}} {{{\rho ^\gamma }}}} {\mathrm dx}{\mathrm dy} \leqslant C_{Q,p,\gamma,\beta }^p\int_\Omega {{{\left| {Xu} \right|}^p}{{\left| x \right|}^{\beta - \alpha p}}{\rho ^{(1 + \alpha )p - \gamma }}} {\mathrm dx}{\mathrm dy}, \end{equation}$

其中 ${C_{Q,p,\gamma,\beta }} = (Q + \beta - \gamma )/p.$

这里当 $\beta = p\alpha,\gamma = (1 + \alpha )p$ 时, (2.14) 式即为非加权的 Hardy 不等式, 见文献 [23,28]. 本文证明过程中我们取 $p=2$.

为了介绍 Rellich 型恒等式, 记

$\begin{equation} \mu = \left\langle {AX\rho,X\rho } \right\rangle,\quad \nu = \left\langle {BX\rho,X\rho } \right\rangle, \label{eq2.15} \end{equation}$

则 $\lambda \psi w \leqslant \mu \leqslant {\lambda ^{ - 1}}\psi w$, $\psi = \mu - \nu $.

引入向量场 $F$:

$\begin{equation} F = \frac{\rho } {\mu }\sum\limits_{i,j = 1}^N {{a_{ij}}{X_j}\rho {X_i}},\quad x \ne 0, \end{equation}$

即

$Fu = \frac{\rho } {\mu }\left\langle {AX\rho,Xu} \right\rangle = \frac{\rho } {\mu }\left\langle {SAX\rho,Du} \right\rangle. $

因此

$\begin{equation} F\rho = \left\langle {F,D\rho } \right\rangle = \frac{\rho } {\mu }\left\langle {AX\rho,X\rho } \right\rangle = \rho. \end{equation}$

记

$\begin{equation} Z = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}\frac{\partial } {{\partial {x_i}}}} + (\alpha + 1)\sum\limits_{j = 1}^m {{y_i}\frac{\partial } {{\partial {y_i}}}}. \end{equation} $

因此, 若 $u$ 是关于 (2.4) 式中伸缩 ${\delta _\lambda }$ 为 $k$ 次齐次函数当且仅当 $Zu = ku$. 此外, $Z = \dfrac{\rho } {\psi }SX\rho $, $F$ 可表示为

$\begin{equation} F = \frac{{\,\psi }} {\mu }Z + \frac{\rho } {\mu }SBX\rho = Z - \frac{\nu } {\mu }Z + \rho \sum\limits_{i,j = 1}^N {\frac{{{b_{ij}}{X_j}\rho }} {\mu }} {X_i}. \end{equation}$

引理 2.2 (Rellich型恒等式[14]) 设 $F$ 为 (2.16) 式中定义的向量场, 则有下列等式成立

$\begin{align*} &\quad\int_{\partial {B_r}} {\left\langle {AXu,Xu} \right\rangle \left\langle {F,\overrightarrow n } \right\rangle {\mathrm d H_{N - 1}}} \\ &= 2\int_{\partial {B_r}} {{a_{jk}}{X_j}u\left\langle {{X_k},\overrightarrow n } \right\rangle } \,Fu{\mathrm d H_{N - 1}} - 2\int_{{B_r}} {{a_{jk}}{X_j}u[{X_k},F]\,u} {\mathrm dx}{\mathrm dy} \\ &\quad + \int_{{B_r}} {{\rm div} F \left\langle {AXu,Xu} \right\rangle } {\mathrm dx}{\mathrm dy} + \int_{{B_r}} {\left\langle {(FA)Xu,Xu} \right\rangle } {\mathrm dx}{\mathrm dy} - 2\int_{{B_r}} {FuLu{\mathrm dx}{\mathrm dy}}. \end{align*}$

其中 $\overrightarrow n$ 为球 $B_r$ 上的单位外法向量.

下面阐述本文的主要结果, 定理 2.1 为方程 (1.2) 弱解的二重性, 定理 2.2 为方程 (1.2) 弱解的唯一延拓性.

定理 2.1 设 $V$ 满足条件 (2.11), $A$ 为对称矩阵且满足 (1.3), (2.8) 式和 (2.9) 式. 若 $u$ 是方程 (1.2) 在 ${B_{{R_0}}}$ 内的弱解, 则存在正常数 $C = C(\alpha,\lambda,\Lambda,Q,f)$ 和 ${r_0} = {r_0}(\alpha,\lambda,\Lambda,Q,f)$ 使得对任意的 $2r \leqslant {r_0}<R_0$, 有

$\int_{{B_{2r}}} {{u^2}\psi w{\mathrm dx}{\mathrm dy}} \leqslant C\int_{{B_r}} {{u^2}\psi w{\mathrm dx}{\mathrm dy}}. $

定理 2.2 在满足定理 2.1 条件下, 若 $u$ 在原点处满足无穷阶消失性条件, 则对定理 2.1 中的 $r_0$, 存在球 ${B_{{r_0}}}$, 使得在 ${B_{{r_0}}}$ 内 $u \equiv 0$.

注 2.1 因为当 $\alpha = 0$ 时, $L_0$ 对应的是欧氏空间中的 Laplace 算子, 而对于欧氏空间中变系数椭圆方程

${\text{div}}(A(x)\nabla u) = 0,$

Aronszajin 等在文献 [2] 证明了当 $A(x)$ 具有 Lipschitz 连续系数时, 上述方程具有唯一延拓性. 此后, Miller 在文献 [22]) 中证明了该条件是最优的. 因此在我们的假设条件下, 定理 2.1 和定理 2.2 (令 $\alpha \to 0$) 可以认为是文献 [2] 中结果及椭圆方程相关结果的推广.

3 相关引理的证明

应用引理 2.1, 我们首先得到 $H(r)$ 的性质.

引理 3.1 设 $u$ 为 ${B_{{R_0}}}$ 内 (1.2) 的弱解, 则存在 ${r_0}(\alpha,\lambda,\Lambda,N,M,f) > 0$, 使得在 ${B_{{r_0}}}$ 内 $u \equiv 0$ 或对任意 $r \in (0,{r_0})$, $H(r) \ne 0$.

证 设对某 ${r_0} < {R_0}$ 有 $H({r_0}) = 0$, 则对几乎处处的 $(x,y) \in \partial {B_{{r_0}}}$ 有 $u = 0$. 由于 ${\partial B_r}$ 上的单位外法向量 $\overrightarrow n = {D\rho }| {D\rho }|^{-1}$, 从而由 (2.3) 式及散度定理得

$\begin{align*} D({r_0}) &= I({r_0}) - \int_{{B_{{r_0}}}} {V(x,y){u^2}(x,y)} {\mathrm dx}{\mathrm dy} \\ &\leqslant \frac{1}{2}\int_{{B_{{r_0}}}} {L({u^2}){\mathrm dx}{\mathrm dy}} + \int_{{B_{{r_0}}}} {\left| {V(x,y)} \right|{u^2}(x,y){\mathrm dx}{\mathrm dy}} \\ &= \frac{1}{2}\int_{{B_{{r_0}}}} {{\rm div}(SAX({u^2})){\mathrm dx}{\mathrm dy} + \int_{{B_{{r_0}}}} {\left| {V(x,y)} \right|{u^2}(x,y){\mathrm dx}{\mathrm dy}} } \\ &= \int_{\partial {B_{{r_0}}}} {SAXu\frac{{D\rho }} {{\left| {D\rho } \right|}}u{\mathrm d H_{N - 1}} + \int_{{B_{{r_0}}}} {\left| {V(x,y)} \right|{u^2}(x,y){\mathrm dx}{\mathrm dy}} }. \end{align*}$

利用 $u = 0$ 在 $\partial {B_{{r_0}}}$ 上几乎处处成立及 (2.11), (2.14) 式, 有

$\begin{align*} D({r_0}) &\leqslant \int_{{B_{{r_0}}}} {\left| {V(x,y)} \right|{u^2}(x,y)} {\mathrm dx}{\mathrm dy} \\ & \leqslant Mf({r_0})\int_{{B_{{r_0}}}} {{u^2}(x,y)} \frac{{{{\left| x \right|}^\beta }}} {{{\rho ^\gamma }}}{\mathrm dx}{\mathrm dy} \\ &\leqslant Cf({r_0})\int_{{B_{{r_0}}}} {{{\left| {Xu} \right|}^2}} w{\mathrm dx}{\mathrm dy} \hfill \\ & = Cf({r_0})D({r_0}), \end{align*}$

其中 $w$ 为 (1.4) 式定义的权函数, $C$ 为依赖于 $M$ 和 $Q$ 的正常数.

若 $D({r_0}) \ne 0$, 则 $Cf({r_0}) \geqslant 1$, 这与 $\mathop {\lim }\limits_{r \to {0^ + }} f(r) = 0$ 矛盾. 因此, $D({r_0}) = 0$, $\left| {Xu} \right| = 0$, 进而可得在 ${B_{{r_0}}}$ 内 $u \equiv 0$. 结论成立.

引理 3.1 表明 $r \to N(r)$ 在 $(0,{r_0})$ 上绝对连续. 令

$\begin{equation} {\Omega _{{r_0}}} = \{ r \in (0,{r_0})\left| {N(r) > \max \{ 1,N({r_0})\} } \right.\}. \end{equation}$

显然 ${\Omega _{{r_0}}}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的开集, 因此可以分解为

$\begin{equation} {\Omega _{{r_0}}} = \bigcup\limits_{j = 1}^\infty {({a_j},{b_j})}, \quad {a_j},{b_j} \notin {\Omega _{{r_0}}}. \end{equation}$

显然在 ${\Omega _{{r_0}}}$ 内 $N(r) > 1$, 即当 $r \in {\Omega _{{r_0}}}$ 时,

$\begin{equation} \frac{{H(r)}}{r} < I(r). \end{equation}$

下面研究 $I(r)$ 的性质.

引理 3.2 对几乎处处 $r \in (0,{R_0})$, $u$ 在 $B_r$ 上的总能量 $I(r)$ 可被表示为

$\begin{equation} I(r) = \int_{\partial {B_r}} {u\frac{{\left\langle {AXu,X\rho } \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}}. \label{eq3.4} \end{equation}$

证 由散度定理及 $Lu = Vu$ 得

$\begin{aligned} & \int_{\partial B_{r}} u \frac{\langle A X u, X \rho\rangle}{|D \rho|} \mathrm{d} H_{N-1} \\ = & \int_{\partial B_{r}} u\langle S A X u, \vec{n}\rangle \mathrm{d} H_{N-1} \\ = & \int_{B_{r}} \operatorname{div}(u S A X u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ = & \int_{B_{r}} u \operatorname{div}(S A X u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\int_{B_{r}} D u(S A X u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ = & \int_{B_{r}} V u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\int_{B_{r}}\langle A X u, X u\rangle \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=I(r) \end{aligned}$

引理得证.

为了得到 $I(r),H(r)$ 和 $H'(r)$ 的关系式, 还需要用到下面的引理.

引理 3.3 (余面积公式) 设 $f \in {L^1}({{\mathbb{R}}^N}), g \in {\rm Lip}({{\mathbb{R}}^N})$, 则

$\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^N} f(x){\mathrm d x} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\mathrm d s} \int_{\{ g = s\} } {\frac{{f(x)}} {{\left| {Dg(x)} \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}}, \end{equation}$

其中对 $s \in \mathbb{R}$, $Dg$ 在集合 $\{ g = s\} $ 上几乎处处不为 $0$.

引理 3.4 存在正常数 ${C_1}(\alpha,\lambda,\Lambda,N)$ 使得对于几乎处处 $r \in (0,{R_0})$, 有

$\begin{equation} \left| {H'(r) - \frac{{Q - 1}} {r}H(r) - 2I(r)} \right| \leqslant {C_1}H(r). \label{eq3.6} \end{equation}$

证 由

${u^2}\frac{{\left\langle {AX\rho,X\rho } \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}} = {u^2}\frac{{\left\langle {AX\rho,SD\rho } \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}} = \left\langle {{u^2}SAX\rho,\overrightarrow n } \right\rangle $

以及散度定理得

$\begin{align*} H(r) &= \int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{\left\langle {AX\rho,X\rho } \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}} \\ &= \int_{\partial {B_r}} {\left\langle {{u^2}SAX\rho,\overrightarrow n } \right\rangle } {\mathrm d H_{N - 1}} \\ &= \int_{{B_r}} {{\rm div}({u^2}SAX\rho ){\mathrm dx}{\mathrm dy}} \\ & = 2\int_{{B_r}} {u\left\langle {AX\rho,Xu} \right\rangle {\mathrm dx}{\mathrm dy}} + \int_{{B_r}} {{u^2}L\rho {\mathrm dx}{\mathrm dy}}. \end{align*}$

利用引理 3.2 和引理 3.3 可得

$\begin{align*} H'(r) &= 2\int_{\partial {B_r}} {\frac{{u\left\langle {AX\rho,Xu} \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}} + \int_{\partial {B_r}} {\frac{{{u^2}L\rho }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}} \\ &= 2I(r) + \int_{\partial {B_r}} {\frac{{{u^2}L\rho }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}}. \end{align*}$

又因为

${L_0}\rho = \sum\limits_{i = 1}^N {X_i^2\rho } = \dfrac{{Q - 1}} {\rho }{\left| {X\rho } \right|^2},$

所以

$\begin{align*} &\quad H'(r) - \frac{{Q - 1}} {r}H(r) - 2I(r) \\ &= \int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{L\rho }} {{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}} - \frac{{Q - 1}}{r}H(r) \\ &= \int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{{\rm div}(SBX\rho )}} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}} + \int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{{L_0}\rho }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}} - \frac{{Q - 1}} {r}\int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{{{\left| {X\rho } \right|}^2}}} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}} \\ &\quad - \frac{{Q - 1}}{r}\int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{\left\langle {BX\rho,X\rho } \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}} \\ &= \int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{{\rm div}(SBX\rho )}} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}} - \frac{{Q - 1}} {r}\int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{\left\langle {BX\rho,X\rho } \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}}. \end{align*}$

由假设条件 (2.8) 知, 存在正常数 $C(\alpha,\lambda,\Lambda,N)$ 使得 ${\left\| B \right\|_{{L^\infty }(\partial {B_r})}} \leqslant Crw,$ 因此

$\hspace{-2.3cm}\frac{{\left\langle {BX\rho,X\rho } \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}} \leqslant Cr\frac{{\left\langle {AX\rho,X\rho } \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}},$
$\begin{equation} \left| {\frac{{Q - 1}} {r}\int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{\left\langle {BX\rho,X\rho } \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}}} \right| \leqslant CH(r). \end{equation}$

经计算得

${X_i}\rho = \psi \frac{{{x_i}}}{\rho }, i = 1,\cdots,n, \quad {X_{n + j}}\rho = (\alpha + 1){\psi ^{\frac{1} {2}}}\frac{{{y_j}}}{{{\rho ^{\alpha + 1}}}}, j = 1,\cdots,m.$

若 $i,j = 1,\cdots,n$,

${X_i}{X_j}\rho = - (2\alpha + 1)\frac{{\,{\psi ^2}}} {{{\rho ^3}}}{x_i}{x_j} + 2\alpha \frac{\psi } {\rho }{\left| x \right|^{ - 2}}{x_i}{x_j} + \frac{\psi } {\rho }{\delta _{ij}};$

若 $i = 1,\cdots,n,j = 1,\cdots,m$,

$${X_i}{X_{n + j}}\rho = - (2\alpha + 1)(\alpha + 1)\frac{{\,{\psi ^2}}} {{{\rho ^3}}}{\left| x \right|^{ - \alpha }}{x_i}{y_j} + \alpha (\alpha + 1)\frac{\psi } {\rho }{\left| x \right|^{ - \alpha - 2}}{x_i}{y_j},$$

$${X_{n + j}}{X_i}\rho = - (2\alpha + 1)(\alpha + 1)\frac{{{\psi ^2}}} {{{\rho ^3}}}{\left| x \right|^{ - \alpha }}{x_i}{y_j};$$

若 $i,j = 1,\cdots,m$,

${X_{n + i}}{X_{n + j}}\rho = - (2\alpha + 1){(\alpha + 1)^2}\frac{\psi } {{{\rho ^{2\alpha + 3}}}}{y_i}{y_j} + (\alpha + 1)\frac{\psi } {\rho }{\delta _{ij}}.$

再利用假设条件 (2.8) 和 (2.9), 得

$\sum\limits_{i,j = 1}^N {\left| {{X_i}{b_{ij}}{X_j}\rho } \right|} \leqslant C\psi w,\quad \sum\limits_{i,j = 1}^N {\left| {{b_{ij}}{X_i}{X_j}\rho } \right|} \leqslant C\psi{w}. $

进一步有

$\begin{aligned} &&\quad \left| {\int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{{\rm div}(SBX\rho )}} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}}} \right| \notag \\ && = \left| {\int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{\sum\limits_{i,j = 1}^N {[({X_i}{b_{ij}}){X_j}\rho + {b_{ij}}({X_i}{X_j}\rho )]} }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}}} \right| \notag \\ && \leqslant \int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{{\sum\limits_{i,j = 1}^N {\left| {({X_i}{b_{ij}}){X_j}\rho } \right|} + \sum\limits_{i,j = 1}^N {\left| {{b_{ij}}({X_i}{X_j}\rho )} \right|} }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}} \notag \\ && \leqslant C\int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{\psi } {{\left| {D\rho } \right|}}} w{\mathrm d H_{N - 1}} \leqslant CH(r). \end{aligned}$

结合 (3.7) 和 (3.8) 式得

$\left| {H'(r) - \frac{{Q - 1}}{r}H(r) - 2I(r)} \right| \leqslant {C_1}H(r).$

这样我们就证明了 (3.6) 式.

利用加权 Hardy 不等式, 可建立 $D(r)$ 和 $I(r)$ 的关系.

引理 3.5 存在常数 $C = C(Q,M,f) > 0$, 使得对任意 $r \in {\Omega _{{r_0}}}$, 有

$\begin{equation} D(r) \leqslant CI(r). \label{eq3.9} \end{equation}$

证

根据 $D(r)$, $I(r)$ 的定义以及 (2.14) 式得

$\begin{align*} \quad D(r) &\leqslant I(r) + \int_{{B_r}} {\left| V \right|{u^2}{\mathrm dx}{\mathrm dy}} \\ &\leqslant I(r) + Mf(r)\int_{{B_r}} {{u^2}\frac{{{{\left| x \right|}^\beta }}} {{{\rho ^\gamma }}}{\mathrm dx}{\mathrm dy}} \\ &\leqslant I(r) + Cf(r)\int_{{B_r}} {{{\left| {Xu} \right|}^2}w{\mathrm dx}{\mathrm dy}}. \end{align*}$

选取 ${r_0} > 0$ 足够小使得 $Cf({r_0}) < 1$, 则有

$D(r) \leqslant CI(r).$

引理 3.6 存在正常数 ${C_2}(\alpha,\lambda,\Lambda,N)$, ${C_3}(\alpha,\lambda,\Lambda,N)$ 使得

$\begin{equation}\label{eq3.10} I'(r) \geqslant 2\int_{\partial {B_r}} {\frac{1} {\mu }\frac{{{{\left\langle {AXu,X\rho } \right\rangle }^2}}} {{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}} - {C_2}\frac{{f(r)}} {r}I(r) - {C_3}\frac{{I(r)}} {r}, \end{equation}$

其中 $\mu $ 如 (2.15) 式所定义.

证 利用余面积公式 (3.5) 得

$ I(r) = \int_0^r \int_{\partial B_s} \frac{\langle AXu, Xu \rangle}{|D\rho|} \, {\mathrm d H_{N-1}} {\mathrm ds} + \int_0^r \int_{\partial B_s} \frac{V u^2}{|D\rho|} {\mathrm dH_{N-1}} {\mathrm ds}. $

对 $r$ 求导得

$I'(r) = \int_{\partial {B_r}} {\frac{{\left\langle {AXu,Xu} \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}} + } \int_{\partial {B_r}} {\frac{{V{u^2}}} {{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}}. $

由 (2.17) 式知, $\left\langle {F,\overrightarrow n } \right\rangle = \dfrac{{F\rho }} {{\left| {D\rho } \right|}} = \dfrac{\rho }{{\left| {D\rho } \right|}}$, 因此

$I'(r) = \frac{1} {r}\int_{\partial {B_r}} {\left\langle {AXu,Xu} \right\rangle } \left\langle {F,\frac{{D\rho }} {{\left| {D\rho } \right|}}} \right\rangle {\mathrm d H_{N - 1}} + \int_{\partial {B_r}} {\frac{{V{u^2}}} {{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}}. $

利用引理 2.2 以及 $Lu = Vu$, 有

$\begin{align*} I'(r) &= \frac{2} {r}\int_{\partial {B_r}} {{a_{jk}}{X_j}u\left\langle {{X_k},\overrightarrow n } \right\rangle } \,Fu{\mathrm d H_{N - 1}} - \frac{2}{r}\int_{{B_r}} {{a_{jk}}{X_j}u\,[{X_k},F]u} {\mathrm dx}{\mathrm dy} \\ &\quad + \frac{1} {r}\int_{{B_r}} {{\rm div}(F)\left\langle {AXu,Xu} \right\rangle } \,{\mathrm dx}{\mathrm dy} + \frac{1} {r}\int_{{B_r}} {\left\langle {(FA)Xu,Xu} \right\rangle } {\mathrm dx}{\mathrm dy} \\ &\quad - \frac{2} {r}\int_{{B_r}} {FuVu{\mathrm dx}{\mathrm dy}} + \int_{\partial {B_r}} {\frac{{V{u^2}}} {{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}} \\ & =: {I_1} + {I_2} + {I_3} + {I_4} + {I_5} + {I_6}. \end{align*}$

利用 $F$ 的定义先计算第一项 $I_1$,

$\begin{align*} {I_1} &= \frac{2} {r}\int_{\partial {B_r}} {{a_{jk}}{X_j}u\left\langle {{X_k},\overrightarrow n } \right\rangle } \,Fu{\mathrm d H_{N - 1}} \hfill \\ & = \frac{2} {r}\int_{\partial {B_r}} {{a_{jk}}{X_j}u\frac{{{X_k}\rho }} {{\left| {D\rho } \right|}}} \frac{\rho } {\mu }\left\langle {A\rho,Xu} \right\rangle {\mathrm d H_{N - 1}} \\ &= 2\int_{\partial {B_r}} {\frac{1} {\mu }} \frac{{{{\left\langle {AX\rho,Xu} \right\rangle }^2}}} {{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}. \end{align*}$

利用 (2.11), (2.12) 和 (3.3) 式, 估计 $I_6$ 得

$\begin{align*} {I_6} &= \int_{\partial {B_r}} {\frac{{V{u^2}}} {{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}} \leqslant \int_{\partial {B_r}} {\frac{{\,\left| V \right|{u^2}}} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}} \\ & \leqslant C\frac{{f(r)}} {{{r^2}}}\int_{\partial {B_r}} {\frac{{{u^2}}} {{\left| {D\rho } \right|}}\psi {w}} {\mathrm d H_{N - 1}} \leqslant C\frac{{f(r)}} {r}\frac{{H(r)}} {r} \leqslant C\frac{{f(r)}}{r}I(r), \end{align*}$

其中 $C$ 依赖于 $\alpha,\lambda,\Lambda,N$.

因为 $0 \leqslant \psi \leqslant 1$, 且

$\begin{equation} \hspace{-1.4cm}\left| {{X_i}\rho } \right| \leqslant {\psi ^{1 + \frac{1}{{2\alpha }}}}, \quad 1 \leqslant i \leqslant n, \label{eq3.11} \end{equation}$
$\begin{equation} \left| {{X_i}\rho } \right| \leqslant (\alpha + 1){\psi ^{\frac{1} {2}}}, \quad n \leqslant i \leqslant n+m, \label{eq3.12} \end{equation}$

所以

$\left| {{X_i}\rho } \right| \leqslant C{\psi ^{\frac{1} {2}}}.$

因此

$ \left| {Fu} \right| = \left| {\frac{\rho } {\mu }{a_{ij}}{X_i}\rho {X_j}u} \right| \leqslant C\frac{\rho } {\psi }{\lambda ^{ - 1}}\left| {{X_i}\rho } \right|\left| {Xu} \right| \leqslant C\frac{\rho } {\psi }{\psi ^{\frac{1} {2}}}\left| {Xu} \right| = C\rho {\psi ^{ - \frac{1} {2}}}\left| {Xu} \right|. $

利用 (2.11), (2.14), (3.9) 式以及 Cauchy 不等式, 得

$\begin{align*} \left| {{I_5}} \right|& = \left| {\frac{2} {r}\int_{{B_r}} {FuVu{\mathrm dx}{\mathrm dy}} } \right| \leqslant \frac{2} {r}\int_{{B_r}} {\left| {Fu} \right|\left| V \right|\left| u \right|{\mathrm dx}{\mathrm dy}} \\ &\leqslant C\frac{{f(r)}}{r}\int_{{B_r}} {\left| u \right|\left| {Xu} \right|{{\left| x \right|}^{\beta - \alpha }}{\rho ^{1 + \alpha - 2\gamma }}} {\mathrm dx}{\mathrm dy} \\ &\leqslant C\frac{{f(r)}}{r}\int_{{B_r}} {{u^2}{{\left| x \right|}^\beta }{\rho ^{ - \gamma }}} {\mathrm dx}{\mathrm dy} + C\frac{{f(r)}} {r}\int_{{B_r}} {{{\left| {Xu} \right|}^2}w} {\mathrm dx}{\mathrm dy} \\ &\leqslant C\frac{{f(r)}}{r}\int_{{B_r}} {{{\left| {Xu} \right|}^2}} w{\mathrm dx}{\mathrm dy} \leqslant C\frac{{f(r)}} {r}D(r) \leqslant C\frac{{f(r)}}{r}I(r). \end{align*}$

对 $k,l = 1,\cdots,N$, 由 (3.11), (3.12) 式以及假设 (2.9), 有

$\left| {{a_{ij}}{X_i}\rho {X_j}({a_{kl}})} \right| \leqslant C{\psi ^{1 + \frac{1} {{2\alpha }}}}{w^2} \leqslant C\psi {w^2}, \quad 1 \leqslant j \leqslant n;$
$\left| {{a_{ij}}{X_i}\rho {X_j}({a_{kl}})} \right| \leqslant C{\psi ^{\frac{1} {2}}}{\psi ^{\frac{1}{2}}}{w^2} \leqslant C\psi {w^2}, \quad n + 1 \leqslant j \leqslant N.$

从而有

$\left| {F{a_{kl}}} \right| = \left| {\frac{\rho } {\mu }{a_{ij}}{X_i}\rho {X_j}({a_{kl}})} \right| \leqslant C\frac{\rho } {\psi }\psi w = C\rho w.$

故对 $I_4$, 有

$\begin{align*} \left| {{I_4}} \right| &= \left| {\frac{1}{r}\int_{{B_r}} {\left\langle {(FA)Xu,Xu} \right\rangle } {\mathrm dx}{\mathrm dy}} \right| \\ & \leqslant \frac{1}{r}\int_{{B_r}} {\left| {\left\langle {(FA)Xu,Xu} \right\rangle } \right|{\mathrm dx}{\mathrm dy}} \leqslant C\frac{1} {r}\int_{{B_r}} {\rho \left\langle {Xu,Xu} \right\rangle w{\mathrm dx}{\mathrm dy}} \leqslant CD(r) \leqslant CI(r). \end{align*}$

利用 (2.19) 式, $I_2$ 和 $I_3$ 可变为

$\begin{align*} {I_2} &= -\frac{2}{r} \int_{B_r} a_{jk} X_j u [X_k, F] u {\mathrm dx}{\mathrm dy}\\ & = -\frac{2}{r} D(r) - \frac{2}{r} \int_{B_r} a_{jk} X_j u \left[ X_k, -\frac{\nu}{\mu} Z + \frac{\rho}{\mu} SBX \rho \right] u{\mathrm dx}{\mathrm dy}; \end{align*}$
$\begin{align*} {I_3} &= \frac{1} {r}\int_{{B_r}} {{\rm div}(F)\left\langle {AXu,Xu} \right\rangle } \,{\mathrm dx}{\mathrm dy} \\ &= \frac{Q}{r}\int_{{B_r}} {\left\langle {AXu,Xu} \right\rangle {\mathrm dx}{\mathrm dy}} + \frac{1}{r}\int_{{B_r}} {{\rm div}\left (- \frac{\nu }{\mu }Z + \frac{\rho }{\mu }SBX\rho\right )\left\langle {AXu,Xu} \right\rangle {\mathrm dx}{\mathrm dy}}. \end{align*}$

利用文献 [14,引理 2.6-2.9], 知存在常数 $C(\alpha,\lambda,\Lambda,N)$ 使得

$\left| {\left[{X_i},\frac{\rho }{\mu }SBX\rho\right ]u} \right| \leqslant C\rho \left| {Xu} \right|, \quad\left| {\left[{X_i}, - \frac{\nu }{\mu }Z\right]u} \right| \leqslant C\rho \left| {Xu} \right|, 1 \leqslant i \leqslant N.$
$\hspace{-4cm}\left| {{\rm div}\left(\frac{\rho }{\mu }SBX\rho \right)} \right| \leqslant C\rho, \quad \left| {{\rm div}\left(\frac{\nu }{\mu }Z\right)} \right| \leqslant C\rho.$

因此

$\left| {{I_2}} \right| \leqslant C\frac{{I(r)}}{r},\quad \left| {{I_3}} \right| \leqslant \frac{Q}{r}D(r) + \frac{1} {r}\int_{{B_r}} {C\rho \left\langle {AXu,Xu} \right\rangle {\mathrm dx}{\mathrm dy}} \leqslant C\frac{{I(r)}} {r} + CI(r).$

综合 $I_1-I_6$ 的估计, 可知引理 3.6 结论成立.

为证明本文主要结果, 需要建立频率函数 $N(r)$ 的单调性.

引理 3.7 设 $u$ 为方程 (1.2) 的弱解, 则存在正常数 ${r_0}(\alpha,\lambda,N)$, ${C_4}(\alpha,\lambda,\Lambda,N)$, ${C_5}(\alpha,\lambda,\Lambda,$$N)$ 使得对几乎处处的 $r \in {\Omega _{{r_0}}}$ 成立

$\begin{equation}\label{eq3.13} \frac{{N'(r)}} {{N(r)}} \geqslant - {C_4}\frac{{f(r)}} {r} - {C_5}\frac{1} {r}. \end{equation}$

证 对 (3.4) 式利用 Hölder 不等式可得

$\begin{align*} I(r) &= \int_{\partial {B_r}} {u\frac{{\left\langle {AXu,X\rho } \right\rangle }} {{\left| {D\rho } \right|}}} {\mathrm d H_{N - 1}} \\ &\leqslant {\left( {\int_{\partial {B_r}} {{u^2}\frac{\mu }{{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}} } \right)^{\frac{1}{2}}}{\left( {\int_{\partial {B_r}} {\frac{1}{\mu }\frac{{{{\left\langle {AXu,X\rho } \right\rangle }^2}}}{{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}} } \right)^{\frac{1}{2}}} \\ & = {H^{\frac{1}{2}}}(r){\left( {\int_{\partial {B_r}} {\frac{1} {\mu }\frac{{{{\left\langle {AXu,X\rho } \right\rangle }^2}}} {{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}} } \right)^{\frac{1} {2}}}. \end{align*}$

再由 $N(r)$ 的定义及 (3.6) 和 (3.10) 式, 有

$\begin{align*} \dfrac{{N'(r)}}{{N(r)}} &= \frac{1}{r} + \frac{{I'(r)}}{{I(r)}} - \frac{{H'(r)}}{{H(r)}} \\ &\geqslant \dfrac{1}{r} + 2\dfrac{{\displaystyle\int_{\partial {B_r}} {\dfrac{1}{\mu }\dfrac{{{{\left\langle {AXu,X\rho } \right\rangle }^2}}}{{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}} }}{{I(r)}} - {C_2}\frac{{f(r)}}{r} - {C_3}\dfrac{1}{r} - {C_1} - \dfrac{{Q - 1}}{r} - 2\dfrac{{I(r)}}{{H(r)}} \\ &\geqslant 2\dfrac{{\displaystyle\int_{\partial {B_r}} {\dfrac{1}{\mu }\dfrac{{{{\left\langle {AXu,X\rho } \right\rangle }^2}}}{{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}} }}{{{H^{\frac{1} {2}}}(r){{\left( {\displaystyle\int_{\partial {B_r}} {\dfrac{1}{\mu }\dfrac{{{{\left\langle {AXu,X\rho } \right\rangle }^2}}}{{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}} } \right)}^{\frac{1} {2}}}}} - \dfrac{2{\left( {\displaystyle\int_{\partial {B_r}} {\dfrac{1}{\mu }\dfrac{{{{\left\langle {AXu,X\rho } \right\rangle }^2}}} {{\left| {D\rho } \right|}}{\mathrm d H_{N - 1}}} } \right)^{\frac{1} {2}}}}{H^{\frac{1}{2}}(r)} \\ &\quad + \frac{1}{r} - {C_2}\frac{{f(r)}} {r} - {C_3}\frac{1}{r} - {C_1} - \frac{{Q - 1}}{r} \\ &\geqslant - {C_4}\frac{{f(r)}}{r} - {C_5}\frac{1}{r}. \end{align*}$

从而结论成立.

4 主要结论的证明

利用引理 3.7 中 $N(r)$ 的单调性, 下面我们给出定理 2.1 和定理 2.2 的证明.

${\bf 定理 2.1 的证明}\quad$ (3.6) 式可变形为

$\frac{\rm d}{{\mathrm d t}}\left(\ln \frac{{H(t)}} {{{t^{Q - 1}}}}\right) \leqslant 2\frac{{N(t)}} {t} + {C_1},\quad t \in (0,{r_0}).$

对于 $2r < {r_0}$, 对上式关于 $t$ 从 $r$ 到 $2r$ 积分得,

$ \ln \left(\frac{{H(2r)}} {{H(r)}}{2^{1 - Q}}\right) \leqslant {C_1}r + 2\int_r^{2r} {\frac{{N(t)}}{t}{\mathrm d t}} \leqslant {C_1}r + 2\int_{(r,2r) \cap {\Omega _{{r_0}}}} {\frac{{N(t)}} {t}{\mathrm d t}} + 2\int_{J(r)} {\frac{{N(t)}} {t}{\mathrm d t}}, $

其中 $J(r) = \{ t \in (r,2r)\left| {t \notin {\Omega _{{r_0}}},N(t) \geqslant 0} \right.{\text{\}}}$.

由 ${\Omega _{{r_0}}}$ 的定义知

$\begin{equation}\label{JR} 0 \leqslant N(t) \leqslant \max \{ 1,N({r_0})\},\ \ t\in J(r). \end{equation}$

因此

$\int_{J(r)} {\frac{{N(t)}} {t}{\mathrm d t}} \leqslant \max \{ 1,N({r_0})\} \int_r^{2r} {\frac{1} {t}{\mathrm d t} = } \ln 2\max \{ 1,N({r_0})\}. $

因为 ${b_j} \notin {\Omega _{{r_0}}}$, 所以利用 (3.13) 式可得到

$\ln \frac{{N({b_j})}} {{N(r)}} = \int_r^{{b_j}} {\frac{{N'(t)}} {{N(t)}}} {\mathrm d t} \geqslant - {C_4}\int_0^{{r_0}} {\frac{{f(t)}} {t}{\mathrm d t} - {C_5}\int_r^{{r_0}} {\frac{1} {t}{\mathrm d t}} }. $

进而有

$ \frac{{N(r)}} {{N({b_j})}}\leqslant \exp \left\{{C_4}\int_0^{{r_0}} {\frac{{f(t)}} {t}{\mathrm d t} + {C_5}\int_r^{{r_0}} {\frac{1} {t}{\mathrm d t}} }\right\}. $

因此, 由 (4.1) 式知, 对于 $r \in {\Omega _{{r_0}}}$, 有

$N(r) \leqslant \max \{ 1,N({r_0})\} \exp \left\{ {{C_4}\int_0^{{R_0}} {\frac{{f(t)}} {t}{\mathrm d t} + {C_5}\ln \frac{{{r_0}}} {r}} } \right\},$
$\int_{(r,2r) \cap {\Omega _{{r_0}}}} {\frac{{N(t)}} {t}{\mathrm d t}} \leqslant \ln 2\max \{ 1,N({r_0})\} \exp \left\{ {{C_4}\int_0^{{R_0}} {\frac{{f(t)}} {t}{\mathrm d t} + {C_5}\ln \frac{{{r_0}}}{r}} } \right\}.$

从而有

$H(2r) \leqslant CH(r).$

关于 $r$ 积分并利用余面积公式即可完成定理的证明.

${\bf 定理 2.2 的证明}\quad$ 利用定理 2.1 的结论迭代可得

$\begin{align*} \int_{{B_{{r_0}}}} {{u^2}\psi w} {\mathrm dx}{\mathrm dy} &\leqslant \cdots \leqslant {C^k}\int_{{B_{{2^{ - k}}{r_0}}}} {{u^2}\psi w{\mathrm dx}{\mathrm dy}} \\ &= {C^k}{\left| {{B_{{2^{ - k}}{r_0}}}} \right|^\beta }\frac{1} {{{{\left| {{B_{{2^{ - k}}{r_0}}}} \right|}^\beta }}}\int_{{B_{{2^{ - k}}{r_0}}}} {{u^2}\psi w{\mathrm dx}{\mathrm dy}} \\ &= \omega _Q^\beta r_0^{\beta Q}{(\frac{C} {{{2^{\beta Q}}}})^k}\frac{1} {{{{\left| {{B_{{2^{ - k}}{r_0}}}} \right|}^\beta }}}\int_{{B_{{2^{ - k}}{r_0}}}} {{u^2}\psi w{\mathrm dx}{\mathrm dy}}. \end{align*}$

取 $\beta$ 使 $\dfrac{C}{{{2^{\beta Q}}}} = 1$. 由于 $u$ 在原点处满足无穷阶消失条件, 从而有

$\int_{{B_{{r_0}}}} {{u^2}\psi } w{\mathrm dx}{\mathrm dy} \to 0, \ k \to + \infty.$

所以在 ${B_{{r_0}}}$ 内 $u \equiv 0$.

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