本文主要研究如下具有 $L^2$ 约束的非线性 $p$-Laplacian 方程

其中 $\Delta_{p}$ 是 $p$-Laplacian 算子, 其作用效果为 $\Delta_{p}u:=\text{div}\left({\vert \nabla u\vert}^{p-2}\nabla u\right)$, $f\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 是满足超临界条件的非线性函数, $m$ 是给定的正质量, $\mu\in\mathbb{R}$ 可视为 Lagrange 乘子. 本文总假定维数 $N$ 与参数 $p$ 满足条件 $N\geq3$ 与 $2\leq p<N$. 特别地, 当 $p=2$ 时, 方程(1.1)即为如下非线性标量场方程

此类方程都可从具有物理现象的模型中导出, 例如非牛顿流体, 膨胀流体, 电磁场和反应扩散现象等. 更多相关的物理背景可参考文献[18,19].

众所周知, 方程(1.1)也与如下非线性 Schrödinger 方程密切相关

其中 $\psi(t,x): \mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}^N\to\mathbb{C}$ 是复值函数. 显然, 当 $f(u)=g({\vert u\vert}^2)u$ 时, $u(x)$ 是方程(1.2)的解当且仅当 $\psi(t,x)={\rm e}^{i\lambda t}u(x)$ 是方程(1.3)的解. 因此, 当 $f(u)=g({\vert u\vert}^2)u$ 时, 可通过求解方程(1.3)来得到方程(1.2)的解. 以物理角度而言, 由于 $L^2$ 约束 ${\Vert\psi(x,t)\Vert}_{L^2(\mathbb{R}^N)}={\Vert u(x)\Vert}_{L^2(\mathbb{R}^N)}$ 是关于时间 $t$ 演化过程中的守恒量, 故使用变分法研究(1.1)式进而得到(1.3)式的解. 此外, 该解的变分性质也有助于分析轨道的稳定性^{[10,14,31,32]}.

在先驱工作中, Jeanjean^[22]研究了方程(1.2)质量超临界的情况, 并证明了相关泛函具有山路几何结构. 此外, Jeanjean 通过极小极大方法和紧性论证得到了方程(1.2)的归一化解. Jeanjean 和 Lu^[23]证明了具有 $L^2$ 约束的方程(1.2)基态解的存在性, 并揭示了基态能量的性质. 此外, 大量研究者也研究了与方程(1.2)密切相关的其他方程的归一化解: 文献[26,34,35]研究了 Kirchhoff 类型方程, 文献[15,16,36]研究了拟线性 Schrödinger 方程, 文献[6,7,27]研究了 Schrödinger 方程组, 文献[24,25,31,32]研究了带非线性项的其他问题. 更多关于质量约束问题的结果可参见文献[4,5,29,30].

受上述工作特别是文献[23]中方法的启发, 本文主要研究 $p$-Laplacian 方程(1.1)基态解的存在性. 本文的创新点在于关注更一般的 $p$-Laplace 算子 (即 $2\leq p<N$ 且 $N\geq3$), 并给出非线性项 $f$ 更一般的超临界增长条件. 相应地, 处理维数 $N$ 与参数 $p$ 的关系时会出现新困难 (详见引理2.5与引理4.8).

考虑空间 $\mathscr{X}:=W^{1,p}(\mathbb{R}^N)\cap L^2(\mathbb{R}^N)$, 其范数定义为

若非线性项 $f$ 满足适当条件, 则可定义空间 $\mathscr{X}$ 上与方程(1.1)相关的能量泛函

其中 $F(t):=\int^t_0 f(s){\rm d}s$, $t\in\mathbb{R}$. 简记 $p_*:=p+\frac{2p}{N}$, $p_c:=\frac{N(p-2)}{2}$, $p^*:=\frac{Np}{N-p}$. 非线性项 $f$ 的超临界增长条件如下

$\boldsymbol{(f1)}$$f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是连续函数;

$\boldsymbol{(f2)}$$\lim\limits_{t \to 0} \frac{f(t)}{ {\vert t \vert}^{p_*-1} }=0$;

$\boldsymbol{(f3)}$$\lim\limits_{t \to \infty} \frac{f(t)}{ {\vert t \vert}^{p^*-1} }=0$;

$\boldsymbol{(f4)}$$\lim\limits_{t \to \infty} \frac{F(t)}{ {\vert t \vert}^{p_*} }=+\infty$;

$\boldsymbol{(f5)}$$t \mapsto \frac{\widetilde{F}(t)}{ {\vert t \vert}^{p_*} }$ 在 $(-\infty,0)$ 上严格递减, 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增, 其中 $\widetilde{F}(t):=f(t)t-2F(t)$.

后文需证 $\mu > 0$, 故补充条件

$\boldsymbol{(f6)}$ 存在常数 $\gamma \in (p_*,p^*)$ 使得 $f(t)t \leq \gamma F(t)$, $\forall t \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

满足 $(f1)$-$(f6)$ 的函数存在, 例如

其中 $\alpha=\frac{1}{2}(\gamma-p_*)$. 计算得 $f(t)$ 是奇函数, 且 $F(t)={\vert t\vert}^{p_*}\ln(1+{\vert t\vert}^\alpha)$.

对任意 $m>0$, 定义 $S_m:=\left\{ u \in \mathscr{X}: \int_{\mathbb{R}^N} {\vert u \vert}^2{\rm d}x=m \right\}$. 方程(1.1)对应的 Pohozaev 流形为

其中 $P(u)$ 是 Pohozaev 泛函

若 $u\in S_m$ 是(1.1)式的解, 且在(1.1)式的所有解中使 $I$ 取最小值, 即

则称 $u$ 是(1.1)式的基态解. 基态能量 $E_m$ 定义为

本文的主要结论如下

定理 1.1 设 $f$ 满足 $(f1)$-$(f6)$. 则存在 $m_0>0$ 使得对任意 $m\in (0,m_0)$, 方程(1.1)存在基态解, 且对应的 Lagrange 乘子 $\mu>0$. 若 $f$ 是奇函数, 则当 $m\in (0,m_0)$ 时, 方程(1.1)存在非负基态解.

注 1.1 对定理1.1说明如下

(i) 本文仅讨论 $2<p<N$ 情形, 此时当 $N\geq3$ 时 $p_*<p^*$, $p_c>0$. $p=2$ 情形可参考文献[23], 其中维数 $N\geq1$;

(ii) 凝聚态物理中, $\int_{\mathbb{R}^N} {\vert u \vert}^2{\rm d}x$ 表示原子数或质量, 故约束 $ {\Vert u \Vert}^2_{L^2}=m$ 有明确物理意义. 数学上 $L^2$ 约束也更自然 (见引理4.5证明).

以下结论给出 $E_m$ 的单调性和连续性, 这些性质对定理1.1的证明及基态能量本身均有重要意义.

定理 1.2 设 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$. 则映射 $m \mapsto E_m$ 连续, 单调不增, 且 $\lim_{m \to 0^+}E_m=+\infty$. 若 $f$ 还满足条件 $(f6)$, 则 $E_m$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递减.

本节将阐述泛函 $I$ 和非线性项 $f$ 的重要性质, 这些性质在证明主要结论时起关键作用.

对任意给定的 $m>0$, 定义

则有如下引理成立.

引理 2.1 假设 $f$ 满足 $(f1)$-$(f3)$, 那么如下结论成立

(i) 存在 $\delta=\delta(N,p,m)>0$ 使得对任意的 $u\in B_m$ 且 ${\Vert\nabla u\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}\leq\delta$, 有

(ii) 对 $\mathscr{X}$ 中的有界序列 $\{u_n\}$ 且满足 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert u_n\Vert}_{L^{p_*}(\mathbb{R}^N)}=0$, 有

(iii) 对 $\mathscr{X}$ 中的有界序列 $\{u_n\}$ 与 $\{v_n\}$ 且满足 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert v_n\Vert}_{L^{p_*}(\mathbb{R}^N)}=0$, 则有

证 (i) 通过计算可知, 仅需证明存在 $\delta=\delta(N,p,m)>0$ 使得对任意的 $u\in B_m$ 且满足 ${\Vert\nabla u\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}\leq\delta$, 都有如下不等式成立

由于条件 $(f1)$-$(f3)$ 成立, 从而对任意 $\varepsilon>0$, 存在常数 $C=C({\varepsilon})>0$ 使得

对任意的 $u\in B_m$, 由 Hölder 不等式和 Gagliardo-Nirenberg 不等式可知

其中 $C_1, C_2$ 为只依赖于 $p, N$ 的正常数. 显然, 取 $\varepsilon\leq\frac{1}{4pC_1m^{\frac{p}{N}}}$ 与 $\delta\leq\left(\frac{1}{4pCC_2}\right)^{\frac{N-p}{p^2}}$ 即可得到不等式(2.2);

(ii) 首先证明若 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert u_n\Vert}_{L^{p_*}(\mathbb{R}^N)}=0$, 那么

因序列 $\{u_n\}$ 在 $\mathscr{X}$ 中有界, 故存在 $M>0$ 使得 $\sup_{n\geq1}{\Vert u_n\Vert}_\mathscr{X}\leq M$ 且 ${\Vert\nabla u_n\Vert}^p_{L^p(\mathbb{R}^N)}\leq M^p$. 由于 $f$ 满足 $(f1)$-$(f3)$, 从而对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $M_{\varepsilon}>0$ 使得如下不等式成立

因此, 通过计算可知

再由 $\varepsilon$ 的任意性可知(2.3)式成立.

另一极限 $\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}^N}F(u_n){\rm d}x=0$ 的证明是类似的. 综上结论成立.

(iii) 选取充分大的 $M_1$, $M_2>0$, 使得 $\sup_{n\geq1}{\Vert u_n\Vert}_\mathscr{X}\leq M_1$ 与 $\sup_{n\geq1}{\Vert v_n\Vert}_\mathscr{X}\leq M_2$, 那么有 ${\Vert u_n\Vert}^2_{L^2(\mathbb{R}^N)}\leq M_1^2$, ${\Vert\nabla u_n\Vert}^p_{L^p(\mathbb{R}^N)}\leq M_1^p$ 和 ${\Vert\nabla v_n\Vert}^p_{L^p(\mathbb{R}^N)}\leq M_2^p$. 由于 $f$ 满足 $(f1)$-$(f3)$, 从而对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $M_{\varepsilon}>0$, 使得 $\forall t\in\mathbb{R}$ 成立 $\vert f(t)\vert\leq\varepsilon{\vert t\vert}^{p^*-1}+M_{\varepsilon}{\vert t\vert}^{p_*-1}$. 由 Hölder 不等式与 Gagliardo-Nirenberg 不等式可知

故(2.1)式成立.

注 2.1 在引理2.1 假设成立的前提下, 对(2.1)式的证明过程进行少量修改可证明: 存在 $\delta=\delta(N,p,m)>0$, 使得对所有的 $u\in B_m$ 并满足 ${\Vert\nabla u\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}\leq \delta$, 有

从而可得到

注 2.2 构造如下函数

显然, 当 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$ 时, 函数 $\Lambda:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 关于 $t$ 是连续的, 且在 $(-\infty,0)$ 上关于 $t$ 严格递减, 在 $(0,+\infty)$ 上关于 $t$ 严格递增.

引理 2.2 若 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$, 则对任意的 $t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$, 有 $f(t)t>p_*F(t)>0$.

证 为了使证明更有条理, 下面分成五步完成证明.

$\textbf{步骤 1}\quad$ 对任意的 $t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$, 函数 $F(t)>0$.

若存在 $t_0\neq0$ 使得 $F(t_0)\leq0$, 由条件 $(f2)$ 与 $(f4)$ 可知, 函数 $F(t)/{\vert t\vert}^{p_*}$ 应在 $\theta\neq0$ 处达到其最小值. 因此 $F(\theta)\leq0$ 且

另一方面, 由注2.2可知 $\forall t\neq0$ 有 $f(t)t>2F(t)$, 从而有

产生矛盾. 步骤 1 证毕.

$\textbf{步骤 2}\quad$ 当 $n\to+\infty$ 时, 存在序列 $\{\theta^+_n\}$ 和 $\{\theta^-_n\}$ 使得 $\vert\theta^\pm_n\vert\to 0$, 其中 $\theta^-_n<0<\theta^+_n$. 并且 $\forall n\geq1$ 有 $f(\theta^\pm_n)\theta^\pm_n>p_*F(\theta^\pm_n)$.

如果存在 $T_\theta>0$ 使得 $f(t)t\leq p_*F(t)$, $t\in(0,T_\theta]$, 那么在 $(0,T_\theta]$ 上函数 $\frac{F(t)}{t^{p_*}}$ 关于 $t$ 单调不减. 进一步可推出

事实上, 从条件 $(f1)$ 可知这与 $\lim_{t\to0}F(t)/{\vert t\vert}^{p_*}=0$ 相矛盾. 从而满足要求的序列 $\{\theta^+_n\}$ 存在. 序列 $\{\theta^-_n\}$ 的存在性可类似证明. 步骤 2 证毕.

$\textbf{步骤 3}\quad$ 当 $n\to+\infty$ 时, 存在序列 $\{\lambda^+_n\}$ 和 $\{\lambda^-_n\}$ 使得 $\vert \lambda^\pm_n\vert\to+\infty$, 其中 $\lambda^-_n<0<\lambda^+_n$. 并且 $\forall n\geq1$ 有 $f(\lambda^\pm_n)\lambda^\pm_n>p_*F(\lambda^\pm_n)$.

如果存在 $T_\lambda>0$, 使得 $t\leq-T_\lambda$ 时有 $f(t)t\leq p_*F(t)$ 成立, 那么对所有 $t<-T_\lambda$ 有

但是这与条件 $(f4)$ 相矛盾. 从而满足要求的序列 $\{\lambda^-_n\}$ 存在. 序列 $\{\lambda^+_n\}$ 的存在性可类似证明. 步骤 3 证毕.

$\textbf{步骤 4}\quad$ 对任意的 $t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$, 成立 $f(t)t\geq p_*F(t)$.

运用反证法, 若存在 $t_\tau\neq0$ 使得 $f(t_\tau)t_\tau<p_* F(t_\tau)$ 成立, 不妨设 $t_\tau<0$, 由步骤 2 与步骤 3 可知, 存在 $\theta_{\min}$ 与 $\theta_{\max}$ 满足 $\theta_{\min}<t_\tau<\theta_{\max}<0$, 使得

以及

从不等式(2.5)可知, 当 $t\in(\theta_{\min},\theta_{\max})$ 时 $\frac{F(t)}{t^{p_*}}$ 是关于 $t$ 单调不增的函数. 因此有

此外, 由(2.6)式与 $(f5)$ 有

但这与(2.7)式矛盾. $t_\tau>0$ 的情况可类似证明. 因此步骤 4 证毕.

$\textbf{步骤 5}\quad$ 对所有的 $t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$, 成立 $f(t)t>p_*F(t)$.

由步骤 4 可知, 函数 $F(t)/t^{p_*}$ 在 $t\in(-\infty,0)$ 上单调不增, 在 $(0,+\infty)$ 上关于 $t$ 单调不减. 因此, 从条件 $(f4)$ 可知 $f(t)/t^{p_*-1}$ 在 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 上关于 $t$ 严格递增. 从而 $\forall t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ 有

故步骤 5 证毕.

综上, 结合步骤 1 与步骤 5, 引理2.2得证.

对 $u\in\mathscr{X}$ 与 $s\in\mathbb{R}$ 构造如下映射

通过计算可知对任意 $s\in\mathbb{R}$, 都有 $s\star u\in\mathscr{X}$ 与 ${\Vert s\star u\Vert}_{L^2(\mathbb{R}^N)}={\Vert u\Vert}_{L^2(\mathbb{R}^N)}$. 进一步计算可知

下面给出映射 $s\mapsto I(s\star u)$ 的一个重要性质.

引理 2.3 假设 $f$ 满足 $(f1)$-$(f4)$. 那么对任意 $u\in\mathscr{X}\setminus\{0\}$, 都有

(i) $\lim\limits_{s\to-\infty}I(s\star u)=0^+$;

(ii) $\lim\limits_{s\to+\infty}I(s\star u)=-\infty$.

证 (i) 不妨设 ${\Vert u\Vert}^2_{L^2(\mathbb{R}^N)}$ 对应质量 $m>0$, 且 $s\star u\in S_{m}\subset B_{m}$. 由引理2.1(i) 可知当 $s\to-\infty$ 时, 有

从而当 $s\to-\infty$ 时, $I(s\star u)\to 0^+$.

(ii) 对任意给定常数 $c\geq0$, 构造辅助函数

显然 $F(t)=\Gamma_c(t){\vert t\vert}^{p_*}-c{\vert t\vert}^{p_*}$, $\forall t\in\mathbb{R}$. 从条件 $(f1)$-$(f4)$ 可推出 $\Gamma_c(t)$ 关于 $t$ 连续, 且 $\lim_{\vert t\vert\to\infty}\Gamma_c(t)=+\infty$. 因此可取 $c>0$ 足够大, 使得 $\Gamma_c(t)\geq0$, $\forall t\in\mathbb{R}$. 由 Fatou 引理可推出

由于

则当 $s\to+\infty$ 时, $I(s\star u)\to-\infty$.

若有单调性条件 $(f5)$ 成立, 那么有如下结论.

引理 2.4 如果 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$, 则对任意 $u\in\mathscr{X}\backslash\{0\}$, 如下结论成立

(i) 存在唯一依赖于 $u$ 的常数 $s_0=s(u)\in\mathbb{R}$ 使得 $P(s_0\star u)=0$, 其中 $P$ 是 Pohozaev 泛函;

(ii) 对所有的 $s\neq s_0$, $I(s_0\star u)>I(s\star u)$ 成立, 并且 $I(s_0\star u)$ 是严格正的;

(iii) 映射 $u\mapsto s(u)=s_0$ 关于变量 $u\in\mathscr{X}\backslash\{0\}$ 是连续的;

(iv) 对所有 $y\in\mathbb{R}^N$, 都有 $s(u(\cdot+y))=s(u)$. 此外, 若 $f$ 是奇函数, 则 $s(u)=s(-u)$.

证 (i) 通过计算可知

从而

由引理2.3可知

因此 $I(s\star u)$ 可在 $s_0=s(u)\in\mathbb{R}$ 处达到其最大值, 并且

注意到 $\widetilde{F}(t)=\Lambda(t){\vert t\vert}^{p_*}$, 其中 $t\in\mathbb{R}$, 函数 $\Lambda$ 定义见(2.4)式, 从而

由条件 $(f5)$ 与注2.2可知, 对任意给定 $t\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$, 映射 $s\mapsto\Lambda({\rm e}^{Ns/2}t)$ 严格递增. 因此 $s_0=s(u)$ 唯一, 且映射 $u\mapsto s(u)$ 是良定义的.

(ii) 此结论可从上述证明直接得到.

(iii) 取 $u\in\mathscr{X}\backslash\{0\}$ 及 $\{u_n\}\subset\mathscr{X}\backslash\{0\}$, 使得当 $n\to+\infty$ 时在 $\mathscr{X}$ 中有 $u_n\to u$. 根据结论 (i), 对每个 $n\geq1$ 可找到 $s_n:=s(u_n)$. 从而仅需证明存在子列 (不妨仍记为 $\{s_n\}$), 使得当 $n\to+\infty$ 时 $s_n\to s_0=s(u)$.

首先证明序列 $\{s_n\}$ 有界. 由(2.9)式定义的函数 $\Gamma_c$ 是强制连续函数. 进一步由引理2.2可知, $\forall t\in\mathbb{R}$ 有 $\Gamma_0(t)\geq0$. 若 $s_n\to+\infty$, 在取子序列意义下 (不妨仍记为 $\{s_n\}$), 由 Fatou 引理及在 $\mathbb{R}^N$ 上几乎处处 $u_n\to u$ 可推出

在(2.10)式中取 $c=0$ 并由结论 (ii) 可知, 当 $n\to+\infty$ 时

产生矛盾, 从而序列 $\{s_n\}$ 有上界. 由结论 (ii) 可知, 对所有 $n\geq1$ 有 $I(s_n\star u_n)\geq I(s_0\star u_n)$. 由于在 $\mathscr{X}$ 中 $s_0\star u_n\to s_0\star u$, 故

且 $I(s_0\star u_n)=I(s_0\star u)+o_n(1)$. 取 $m>0$ 足够大, 使得 $\{s_n\star u_n\}\subset B_m$. 由引理2.1(i), (2.8)与(2.12)式可知序列 $\{s_n\}$ 有下界.

通过上述分析, 不失一般性可假设存在 $\hat{s}\in\mathbb{R}$ 使得 $\lim_{n\to+\infty}s_n=\hat{s}$. 由于在 $\mathscr{X}$ 中 $\lim_{n\to+\infty}u_n=u$, 从而在 $\mathscr{X}$ 中有 $s_n\star u_n\to \hat{s}\star u$. 因对所有 $n\geq1$ 有 $P(s_n\star u_n)=0$ 且 $P(\hat{s}\star u)=0$, 由结论 (i) 可知 $\hat{s}=s_0$. 结论 (iii) 得证.

(iv) 通过变量替换可得

由结论 (i) 可知 $s(u(\cdot+y))=s(u)$. 进一步若 $f$ 是奇函数, 那么

从而 $s(u)=s(-u)$.

最后给出关于 Pohozaev 流形

与限制于 $\mathcal{P}_m$ 上的能量泛函 $I$ 的重要引理.

引理 2.5 假设 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$, 那么如下结论成立

(i) Pohozaev 流形 $\mathcal{P}_m\neq\emptyset$;

(ii) 下确界 $\inf_{u\in\mathcal{P}_m}{\Vert\nabla u_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 严格正;

(iii) 下确界 $\inf_{u\in\mathcal{P}_m}I(u)$ 严格正;

(iv) $I$ 在 $\mathcal{P}_m$ 上具有强制性, 即对满足 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert u_n\Vert}_\mathscr{X}=+\infty$ 的序列 $\{u_n\}\subset\mathcal{P}_m$, 当 $n\to+\infty$ 时 $I(u_n)\to+\infty$.

证 (i) 根据引理2.4(i) 可立刻得到结论 (i) 成立.

(ii) 首先需要借助如下 Lions 引理^[28]

引理 2.6^[28] 设 $1<p\leq+\infty$, $1\leq q<+\infty$, 且当 $p<N$ 时 $q\neq p^*$. 如果 $u_n$ 在 $L^{q}(\mathbb{R}^N)$ 中有界, $\nabla u_n$ 在 $L^p(\mathbb{R}^N)$ 中有界, 并且当 $R>0$ 时

那么对任意介于 $q$ 与 $p^*$ 之间的参数 $\alpha$, 在 $L^\alpha(\mathbb{R}^N)$ 中有 $u_n\to 0$.

如果存在 $u\in\mathcal{P}_m$ 满足 ${\Vert\nabla u\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}\leq \delta$, 其中常数 $\delta$ 可见注2.1中的讨论, 则

由于 $\Vert u\Vert_{L^2}=m>0$, 对于某正常数 $\tilde{m}$ 有 $\Vert u\Vert_{L^p}=\tilde{m}>0$, 从而

此外, 由 $u\in\mathcal{P}_m$ 可知 $P(u)=0$, 这不可能. 从而 $\inf_{u\in\mathcal{P}_m}{\Vert\nabla u_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}\geq \delta>0$.

(iii) 由引理2.4 可知, 对任意 $u\in\mathcal{P}_m$ 和 $s\in\mathbb{R}$ 有 $I(u)=I(0\star u)\geq I(s\star u)$. 定义

其中 $\delta>0$ 由引理2.1(i) 给出. 通过计算可推出 ${\Vert\nabla(s\star u_n)\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}=\delta$. 由引理2.1(i) 可知

从而结论 (iii) 得证.

(iv) 假设存在序列 $\{u_n\}\subset\mathcal{P}_m$ 和常数 $C>0$ 使得

下面分三种情况讨论.

$\textbf{情况 1}\quad$ 对任意 $n\geq1$, 存在 $M_1>0$ 使得 $\int_{\mathbb{R}^N}{\vert u_n\vert}^p{\rm d}x\leq M_1$.

由于 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert u_n\Vert}_\mathscr{X}=+\infty$, ${\Vert u_n\Vert}_{L^2(\mathbb{R}^N)}=m$, 故 $\lim_{n\to+\infty}\int_{\mathbb{R}^N}{\vert\nabla u_n\vert}^p{\rm d}x=+\infty$. 不失一般性, 假设存在 $N\in \mathbb{N}^+$ 和 $M_2>0$ 使得当 $n>N$ 时 $\int_{\mathbb{R}^N}{\vert\nabla u_n\vert}^p{\rm d}x\geq M_2$. 定义

显然 $\lim_{n\to+\infty}s_n=+\infty$, $\{v_n\}\subset S_m$ 且

其中 $\hat{p}=1-p/(p_c+p)$. 因此对每个 $n\geq1$, ${\Vert v_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 和 ${\Vert\nabla v_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 有界.

$\textbf{情况 2}\quad$ 对任意 $n\geq1$, 存在 $M_3>0$ 使得 $\int_{\mathbb{R}^N}{\vert\nabla u_n\vert}^p{\rm d}x\leq M_3$.

由于 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert u_n\Vert}_\mathscr{X}=+\infty$ 且 ${\Vert u_n\Vert}_{L^2(\mathbb{R}^N)}=m$, 故 $\lim_{n\to+\infty}\int_{\mathbb{R}^N}{\vert u_n\vert}^p{\rm d}x=+\infty$. 不失一般性, 假设存在 $N\in \mathbb{N}^+$, $M_4>0$ 使得当 $n\geq N$ 时 $\int_{\mathbb{R}^N}{\vert u_n\vert}^p{\rm d}x\geq M_4$. 对于 $p\neq2$, 定义

显然 $\lim_{n\to+\infty}s_n=+\infty$, $\{v_n\}\subset S_m$ 且

因此对每个 $n\geq1$, ${\Vert v_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 和 ${\Vert\nabla v_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 有界.

$\textbf{情况 3}\quad$ 对任意 $n\geq1$, 当 $n\to+\infty$ 时

不失一般性, 对 $p\neq2$, 定义 $ v_n:=(-s_n)\star u_n$ 及

显然 $\lim_{n\to+\infty}s_n=+\infty$, $\{v_n\}\subset S_m$ 且

进而对任意 $n\geq1$

故对 $n\geq1$, ${\Vert v_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 和 ${\Vert\nabla v_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 有界.

综上, 存在正常数 $M_5$ 与 $M_6$ 使得对 $n\geq1$ 都有 $\int_{\mathbb{R}^N}{\vert\nabla v_n\vert}^p{\rm d}x\leq M_5$ 和 $\int_{\mathbb{R}^N}{\vert v_n\vert}^p{\rm d}x\leq M_6$. 进一步定义

若 $\rho>0$, 在取子列意义下, 存在 $\{l_n\}\subset\mathbb{R}^N$ 及 $w\in \mathscr{X}\setminus\{0\}$ 使得当 $n\to+\infty$ 时在 $\mathscr{X}$ 中有

且在 $\mathbb{R}^N$ 上几乎处处有

由引理2.3, Fatou 引理及极限 $\lim_{n\to+\infty}s_n=+\infty$ 可知

其中 $\Gamma_0$ 是(2.9)式中 $c=0$ 时的函数. 在(2.10)式中取 $c=0$ 并根据结论 (iii), 当 $n\to+\infty$ 时

矛盾.

若 $\rho=0$, 由引理2.6可知当 $n\to+\infty$ 时在 $L^{p_*}(\mathbb{R}^N)$ 中 $v_n\to0$. 对任意 $s\in\mathbb{R}$, 由引理2.1(ii) 可知

在情况 1 中, 由引理2.4 及 $P(s_n\star v_n)=P(u_n)=0$ 可知, 存在常数 $C>0$ 使得对任意 $s\in\mathbb{R}$

然而, 由于 $\frac{1}{p}{\rm e}^{s(p_c+p)}>C$ 导致 $s=\frac{1}{p_c+p}\ln{\left(Cp\right)}+1$, 矛盾.

在情况 2 中类似可得矛盾. 由引理2.4 与 $P(s_n\star v_n)=P(u_n)=0$ 可知, 存在常数 $C>0$ 使得对任意 $s\in\mathbb{R}$

然而, 由于 $\frac{1}{p}{\rm e}^{sp_c}>C$ 导致 $s=\frac{1}{p_c}\ln{\left(Cp\right)}+1$, 矛盾.

在情况 3 中, 由引理2.4 与 $P(s_n\star v_n)=P(u_n)=0$ 可知, 存在常数 $C>0$ 使得对任意 $s\in\mathbb{R}$

然而, 由于 $\frac{1}{p}{\rm e}^{sp_c}>C$ 导致 $s=\frac{1}{p_c}\ln{\left(Cp\right)}+1$, 矛盾.

综上, 引理2.6证毕.

注 2.3 事实上, 在引理2.5的证明中, 还存在如下两种情形满足 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert u_n\Vert}_\mathscr{X}=+\infty$ 和 $\sup_{n\geq1}I(u_n)\leq C$.

$\textbf{情况 4}\quad$ 当 $n\to+\infty$ 时, ${\Vert u_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 与 ${\Vert\nabla u_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 中仅一个趋近于无穷大, 另一个无界但不趋近于无穷. 例如 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert\nabla u_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}=+\infty$, ${\Vert u_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 无界, 且 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert u_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$$\neq +\infty$.

$\textbf{情况 5}\quad$ 当 $n\to+\infty$ 时, ${\Vert u_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 与 ${\Vert\nabla u_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 均不趋近于无穷大, 但均无界.

不失一般性, 仅对情况 4 中 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert\nabla u_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}=+\infty$ 及 ${\Vert u_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 无界情形讨论. 显然可找到 $\{u_n\}$ 的子列 $\{u_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ 使得 $\lim_{k\to+\infty}{\Vert u_{n_k}\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}=+\infty$. 从而与情况 3 讨论相似, 可得结论.

下面给出情况 5 的例子. 对任意 $k\geq1$

其中 $C_*>0$ 是正常数. 定义

采用与情况 1 和情况 2 类似讨论, 在情况 5 时 ${\Vert v_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 与 ${\Vert\nabla v_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$ 仍有界.

注 2.4 若 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$, 且对任意 $u_n\in\mathscr{X}\setminus\{0\}$ 有 $\sup_{n\geq1}{\Vert u_n\Vert}_{L^2(\mathbb{R}^N)}<+\infty$, $\sup_{n\geq1}I(u_n)<+\infty$ 与 $ P(u_n)=0$, 则采用与引理2.5(iv) 类似证明可推出 $\{u_n\}$ 是 $\mathscr{X}$ 中的有界序列.

当 $N\geq3$ 且 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$ 时, 从引理2.5可知, 对任意给定 $m>0$, 基态能量 $E_m$ 良定且严格正. 本节主要研究 $m>0$ 时基态能量 $E_m$ 的相关性质, 特别地将证明 $E_m$ 关于 $m>0$ 单调不增.

下面首先证明基态能量 $E_m$ 关于 $m$ 连续.

引理 3.1 若 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$, 则 $E_m$ 关于 $m\in (0,\infty)$ 连续.

证 只需证明对任意序列 $\{m_k\}>0$ 且 $\lim_{k\to+\infty}m_k=m>0$, 有 $\lim_{k\to+\infty}E_{m_k}=E_m$.

对任意 $u\in\mathcal{P}_m$ 与 $ k\in\mathbb{N}^+$, 定义

首先证明

注意到在 $\mathscr{X}$ 中 $\lim_{k\to+\infty}u_k=u$, 由引理2.4(iii) 知 $\lim_{k\to+\infty}s(u_k)=s(u)=0$, 故在 $\mathscr{X}$ 中有

从而

由 $u$ 任意性知(3.1)式成立.

下面证明

对 $k\in\mathbb{N}^+$, 选择 $\alpha_k\in\mathcal{P}_{m_k}$ 使得

定义

结合(3.3)式与引理2.4(ii) 得

显然(3.2)式成立当且仅当 $\lim_{k\to+\infty}\zeta(k)=0$. 由于 $s\star\left(u(\cdot/t)\right)=(s\star u)(\cdot/t)$, 从而

由于 $\lim_{k\to+\infty}\beta_k=1$, 故仅需证明

下面分三步证明(3.4)式.

$\textbf{步骤 1}\quad$ 序列 $\{\alpha_k\}$ 在 $\mathscr{X}$ 中有界.

由(3.1)与(3.3)式知 $\limsup_{k\to+\infty}I(\alpha_k)\leq E_m$. 注意到 $\lim_{k\to+\infty}m_k=m$ 及 $\alpha_k\in\mathcal{P}_{m_k}$, 由注2.4直接得结论.

$\textbf{步骤 2}\quad$ 序列 $\{\tilde{\alpha}_k\}$ 在 $\mathscr{X}$ 中有界. 进一步在取子列意义下, 存在 $\{l_k\}\subset\mathbb{R}^N$ 与 $\alpha\in\mathscr{X}$, 使得当 $k\to+\infty$ 时在 $\mathbb{R}^N$ 中几乎处处 $\tilde{\alpha}_k(\cdot+l_k)\to\alpha$ 且 $\alpha\neq0$.

由于 $\lim_{k\to+\infty}\beta_k=1$, 由步骤 1 知 $\{\tilde{\alpha}_k\}$ 在 $\mathscr{X}$ 中有界. 定义

只需证 $\rho\neq0$. 假设 $\rho=0$, 由引理2.6知当 $k\to+\infty$ 时在 $L^{p_*}(\mathbb{R}^N)$ 中 $\tilde{\alpha}_k\to0$. 从而

由引理2.1(ii) 及 $P(\alpha_k)=0$ 知

故当 $k$ 充分大时, $\lim_{k\to+\infty}\int_{\mathbb{R}^N}{\vert\nabla\alpha_k\vert}^p{\rm d}x=0$ 与 $\int_{\mathbb{R}^N}{\vert\nabla\alpha_k\vert}^p{\rm d}x\leq \delta$, 其中 $\delta$ 是注2.1中常数. 从而对任意充分大 $k$ 有

其中序列 $\{p_k\}$ 严格正且当 $k\to+\infty$ 时 $p_k\to 0$. 但由 $\alpha_k\in\mathcal{P}_{m_k}$ 知 $P(\alpha_k)=0$, 与 $p_k>0$ 矛盾. 故步骤 2 得证.

$\textbf{步骤 3}\quad \limsup_{k\to+\infty}s(\tilde{\alpha}_k)<+\infty$.

假设存在 $\tilde{\alpha}_k$ 的子列 (仍记为 $\tilde{\alpha}_k$) 使得当 $k\to+\infty$ 时

由步骤 2 知在 $\mathbb{R}^N$ 中几乎处处有

由引理2.4(iv) 及(3.5)式知当 $k\to+\infty$ 时

另一方面, 由引理2.4(ii) 推得

利用(3.6)-(3.8)式可得与(2.11)式矛盾结论, 故步骤 3 得证.

由步骤 1 与步骤 3 知 $\limsup_{k\to+\infty}{\Vert s(\tilde{\alpha}_k)\star\alpha_k\Vert}_\mathscr{X}<+\infty$. 因 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$, 故(3.4)式成立, 证毕.

引理 3.2 若 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$, 则 $E_m$ 关于 $m$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调不增.

证 只需证对任意 $\varepsilon>0$, $m_1>m_2>0$, 有 $E_{m_1}\leq E_{m_2}+\varepsilon$. 因 $E_{m_2}=\inf_{u\in\mathcal{P}_{m_2}}I(u)$, 故存在 $u\in\mathcal{P}_{m_2}$ 使得

定义示性函数 $\chi\in C^\infty_0(\mathbb{R}^N)$ 满足: 在 $\mathbb{R}^N$ 中 $0\leq\chi(x)\leq1$, $0\leq \vert\nabla\chi(x)\vert\leq1$ 且

记 $u_\theta(x)=u(x)\cdot\chi(\theta x)\in\mathscr{X}\backslash\{0\}$, 其中 $\theta>0$. 显然在 $\mathscr{X}$ 中当 $\theta\to0^+$ 时 $u_\theta\to u$. 由引理2.4(iii) 知 $\lim_{\theta\to0^+}s(u_\theta)=s(u)=0$, 故在 $\mathscr{X}$ 中当 $\theta\to0^+$ 时

因此可取足够小 $\theta>0$ 使得

选取函数 $v\in C^\infty_0(\mathbb{R}^N)$ 使得 $\text{spt}(v)\subset B(0,1+4/\theta)\backslash B(0,4/\theta)$. 定义

对任意 $\delta\leq0$, 设 $w_\delta:=u_\theta+\delta\star\tilde{v}$. 计算可知

可证当 $\delta\to-\infty$ 时 $s(w_\delta)$ 有上界. 由引理2.4(ii) 知 $I(s(w_\delta)\star w_\delta)\geq0$ 在 $\mathbb{R}^N$ 上当 $\delta\to-\infty$ 时几乎处处 $w_\delta\to u_\theta$, 且 $u_\theta\neq0$. 若结论不成立, 类似(2.11)式证明可得矛盾. 由 $\lim_{\delta\to-\infty}(s(w_\delta)+\delta)=-\infty$, 当 $\delta\to-\infty$ 时

且在 $L^{p_*}(\mathbb{R}^N)$ 中

由引理2.1(ii) 知存在 $\delta_0>0$, 使得对 $\delta<-\delta_0$

由引理2.1(ii) 与(3.9)-(3.11)式推得

证毕.

引理 3.3 设 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$. 若有 $u\in \mathcal{P}_m$ 使得

其中 $I(u)=E_m$, $m>0$ 且 $\mu\neq 0$, 则 $E_m>E_{m_0}$, 其中 $m_0$ 是满足 $\vert m-m_0\vert$ 足够小的正常数, 且

证 首先, $\forall t>0$, $s\in\mathbb{R}$, 定义函数 $u_{t,s}:=s\star(tu)$ 并记 $\Upsilon(t,s):=I(u_{t,s})$. 显然 $u_{t,s}\in S_{mt^2}$ 且满足

计算可知

当 $\mu>0$ 时, 在 $\mathscr{X}$ 中 $\lim_{(t,s)\to(1,0)}u_{t,s}=u$ 且 $I'(u)u=-\mu{\Vert u\Vert}^2_{L^2(\mathbb{R}^N)}=-\mu m<0$. 故存在足够小 $\delta>0$, $(t,s)\in(1,1+\delta]\times[-\delta,\delta]$ 使得 $\frac{\partial}{\partial t}\Upsilon(t,s)<0$. 由中值定理, 对任意 $1<t\leq1+\delta$, $\vert s\vert\leq\delta$, 存在 $\theta\in (1,t)$ 使得

应用引理2.4(iii) 得 $\lim_{t\to1^+}s(tu)=s(u)=0$. 对任意 $m_0>m$ 且 $\vert m-m_0\vert$ 充分小, 记 $t_0:=\sqrt{\frac{m_0}{m}}\in(1,1+\delta]$ 和 $s_0:=s(t_0 u)\in[-\delta,\delta]$. 在(3.12)式中取 $t=t_0$ 与 $s=s_0$, 则有 $u_{t_0,s_0}\in \mathcal{P}_{m_0}$ 和

$\mu<0$ 时的情况可类似证明, 证毕.

通过引理 3.2 与引理 3.3, 可以直接得到如下结论.

引理 3.4 假设 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$. 如果对任意 $\mu\in\mathbb{R}$, 存在 $u\in \mathcal{P}_m$ 使得 $I(u)=E_m$ 且

则有 $\mu\geq0$. 进一步, 如果 $\mu>0$, 那么对任意的 $m_2>m_1$ 有 $E_{m_1}>E_{m_2}$.

下面研究基态能量 $E_m$ 所具有的极限性质.

引理 3.5 如果 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$, 那么有 $\lim_{m\to0^+}E_m=+\infty$.

证 只需证明对任意的 $\{u_n\}\subset\mathscr{X}\backslash\{0\}$ 且满足 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert u_n\Vert}_{L^2(\mathbb{R}^N)}=0$ 与 $P(u_n)=0$, 则有 $\lim_{n\to+\infty}I(u_n)=+\infty$. 与引理2.5的证明类似, 定义

通过计算可知

从引理2.6与引理2.1(ii) 可知, 在 $L^{p_*}(\mathbb{R}^N)$ 中 $\lim_{n\to+\infty}v_n=0$ 且对任意的 $s\in\mathbb{R}$ 有

由引理2.4以及 $P(s_n\star v_n)=P(u_n)=0$ 可知

通过 $s\in\mathbb{R}$ 的任意性可知 $\lim_{n\to\infty}I(u_n)=+\infty$. 从而证明了结论.

通过引理3.2与引理3.3, 可直接得到如下结论.

引理 3.6 假设 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$. 如果对任意 $\mu\in\mathbb{R}$, 存在 $u\in \mathcal{P}_m$ 使得 $I(u)=E_m$ 且

则 $\mu\geq0$. 进一步, 若 $\mu>0$, 则对任意 $m_2>m_1$ 有 $E_{m_1}>E_{m_2}$.

下面研究基态能量 $E_m$ 的极限性质.

引理 3.7 若 $f$ 满足 $(f1)$-$(f5)$, 则 $\lim_{m\to0^+}E_m=+\infty$.

证 只需证对任意 $\{u_n\}\subset\mathscr{X}\backslash\{0\}$ 满足 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert u_n\Vert}_{L^2(\mathbb{R}^N)}=0$ 与 $P(u_n)=0$, 有 $\lim_{n\to+\infty}I(u_n)=+\infty$. 类似引理2.5证明, 定义

计算可知

由引理2.6与引理2.1(ii) 知, 在 $L^{p_*}(\mathbb{R}^N)$ 中 $\lim_{n\to+\infty}v_n=0$ 且对任意 $s\in\mathbb{R}$

由引理2.4 及 $P(s_n\star v_n)=P(u_n)=0$ 知

由 $s\in\mathbb{R}$ 任意性知 $\lim_{n\to\infty}I(u_n)=+\infty$. 证毕.

本节主要证明(1.1)式基态解的存在性, 完成与映射 $m\mapsto E_m$ 相关的性质研究. 首先完成定理1.1的证明, 而定理1.1的证明需要如下重要引理.

引理 4.1 对于限制泛函 $I\vert_{S_m}$, 存在序列 $\{u_n\}\subset\mathcal{P}_m$ 使其成为以 $E_m$ 为水平集的 Palais-Smale 序列. 此外, 若 $f$ 是奇函数, 则 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert u^-_n\Vert}_{L^2(\mathbb{R}^N)}=0$, 其中 $u_n^-$ 为 $u_n$ 的负部.

为证明引理4.1, 参考文献中[8,9,23]的方法并给出相关结论. 定义泛函 $\Phi:\mathscr{X}\backslash\{0\}\to\mathbb{R}$ 如下

其中 $s(u)\in\mathbb{R}$ 的唯一性由引理2.4 保证.

引理 4.2 泛函 $\Phi:\mathscr{X}\backslash\{0\}\to\mathbb{R}$ 是 $C^1$ 的. 此外, 对任意 $u\in\mathscr{X}\backslash\{0\}$ 与 $\varphi\in\mathscr{X}$ 有

证 直接计算可知

设 $\varphi\in\mathscr{X}, u\in\mathscr{X}\backslash\{0\}$ 并定义 $s_t:=s(u+t\varphi)$. 由泛函 $\Phi$ 定义知

由于 $I(s\star u)$ 关于变量 $s$ 存在唯一最大值点 $s_0=s(u)$, 故由中值定理知

其中 $\eta_1, \eta_2, \eta_3\in(0,1)$. 同理有

其中 $\xi_1, \xi_2, \xi_3\in(0,1)$. 由上两不等式可推 $\lim_{t\to0}s_t=s_0=s(u)$, 从而有

而引理2.4(iii) 说明泛函 $\Phi$ 的 Gâteaux 导数关于 $u$ 连续, 关于 $\varphi$ 线性有界. 因此 $\Phi$ 是 $C^1$ 泛函 (参考文献[3,33]且

证毕.

因 $\mathscr{X}=W^{1,p}(\mathbb{R}^N)\cap L^2(\mathbb{R}^N)$, 故 $\mathscr{X}\hookrightarrow L^2(\mathbb{R}^N)$. 记 $L^2(\mathbb{R}^N)$ 内积为 $(\cdot,\cdot)$. 对任意函数 $u\in\mathscr{X}$, 设

记 $T_uS_m$ 上正交投影为 $\pi_u$, 即 $\forall v\in\mathscr{X}$ 有

对任意给定 $m>0$, 关于限制泛函 $\mathscr{L}:=\Phi\vert_{S_m}:S_m\to\mathbb{R}$ 有如下引理.

引理 4.3 泛函 $\mathscr{L}:S_m\to\mathbb{R}$ 是 $C^1$ 的. 此外, 对任意 $u\in S_m$ 与 $\varphi\in T_uS_m$ 有

下面回顾文献[20]中定义, 并证明 $\mathscr{L}$ 的极小极大值将为约束泛函 $I\vert_{S_m}$ 提供 Palais-Smale 序列, 其水平集由 $\mathcal{P}_m$ 中元素组成. 之后给出引理4.1证明.

定义 4.1^[20] 设 $B$ 为 $\mathscr{X}$ 中闭子集. 称 $\mathscr{X}$ 中一族紧子集 $\mathcal{F}$ 为带边界 $B$ 的同伦稳定族, 若其满足

(i) $\mathcal{F}$ 中每个集合 $A$ 均包含 $B$;

(ii) $\forall\eta\in C([0,1]\times\mathscr{X},\mathscr{X})$, 对所有 $(t,u)\in(\{0\}\times \mathscr{X})\cup([0,1]\times B)$ 有 $\eta(t,u)=u$, 对所有 $A\in\mathcal{F}$ 有 $\eta(\{1\}\times A)\in\mathcal{F}$.

当边界 $B$ 为空集时, 上述定义仍适用.

引理 4.4 设 $\mathcal{F}$ 是以 $B=\emptyset$ 为边, 以 $S_m$ 的紧子集所组成的同伦稳定族, 且定义

若 $E_{m,\mathcal{F}}>0$, 则限制泛函 $I\vert_{S_m}$ 在水平集 $E_{m,\mathcal{F}}$ 上存在 Palais-Smale 序列 $\{u_n\}\subset\mathcal{P}_m$. 此外, 若 $f$ 是奇函数, 且 $\mathcal{F}$ 由包含于 $S_m$ 中单点集所组成的集类, 则 $\lim_{n\to+\infty}{\Vert u^-_n\Vert}_{L^2(\mathbb{R}^N)}=0$.

证 设 $\{A_n\}\subset\mathcal{F}$ 是 $E_{m,\mathcal{F}}$ 中任意极小序列. 根据引理2.4(iii) 定义连续函数

进一步若 $(t,u)\in\{0\}\times S_m$, 则 $\eta(t,u)=u$. 定义

特别地, 对每个 $n\in\mathbb{N}^+$ 有 $K_n\subset\mathcal{P}_m$, 对所有 $s\in\mathbb{R}$, $u\in S_m$ 有 $\mathscr{L}(s\star u)=\mathscr{L}(u)$. 进一步当 $n\to+\infty$ 时

且 $\{K_n\}\subset\mathcal{F}$ 是关于 $E_{m,\mathcal{F}}$ 的极小序列. 由极小极大原理^[20]知 $\mathscr{L}$ 在水平集 $E_{m,\mathcal{F}}$ 上存在 Palais-Smale 序列 $\{v_n\}\subset S_m$, 且满足当 $n\to+\infty$ 时 $\text{dist}_\mathscr{X}(v_n,K_n)\to0$. 定义

下面证明: 存在常数 $M>0$ 使得对每个 $n\in\mathbb{N}^+$ 有 ${\rm e}^{-s_n}\leq M$. 注意到

由 $\{u_n\}\subset\mathcal{P}_m$ 与引理2.5(ii) 知 $\left\{\Vert\nabla u_n\Vert_{L^p(\mathbb{R}^N)}\right\}$ 存在正下界. 因当 $n\in\mathbb{N}^+$ 时 $K_n\subset\mathcal{P}_m$, 从而当 $n\to+\infty$ 时

又由引理2.5(iv) 知 $\{K_n\}$ 在 $\mathscr{X}$ 中一致有界. 注意到 $\text{dist}_\mathscr{X}(v_n,K_n)\to0$, 故 $\sup_{n\in\mathbb{N}^+}\!\!{\Vert\nabla v_n\Vert}_{L^p(\mathbb{R}^N)}$$<+\infty$. 结论成立.

因 $\{u_n\}\subset\mathcal{P}_m$, 故当 $n\to+\infty$ 时 $I(u_n)=\mathscr{L}(u_n)=\mathscr{L}(v_n)\to E_{m,\mathcal{F}}$. 因此只需证 $\{u_n\}$ 是泛函 $I$ 在 $S_m$ 上的 Palais-Smale 序列. 注意到对任意 $\psi\in T_{u_n}S_m$ 有

从而 $(-s_n)\star\psi\in T_{v_n}S_m$. 此外, 由上知

由引理4.3知

其中记 ${\Vert\cdot\Vert}_{u,*}$ 为 ${\left(T_uS_m\right)}^*$ 的对偶范数. 因 $\{v_n\}\subset S_m$ 是 $\mathscr{L}$ 的 Palais-Smale 序列, 故 ${\lim_{n\to+\infty}\Vert {\rm d}I(u_n)\Vert}_{u_n,*}=0$.

最后, 注意到包含于 $S_m$ 的单点集所组成的集合是 $S_m$ 紧子集的同伦稳定族 (取 $B=\emptyset$). 进一步, 若 $f$ 是奇函数, 由引理2.4(iv) 知 $u\in S_m$ 时 $\mathscr{L}(u)=\mathscr{L}(-u)$ 是偶函数. 故在上述证明中, 可直接选取由非负函数组成的极小化序列 $\{A_n\}\subset\mathcal{F}$. 从而在 (4.1) 式中定义的序列 $\{K_n\}$ 继承此性质. 因当 $n\to+\infty$ 时 $\text{dist}_\mathscr{X}(v_n,K_n)\to0$, 那么泛函 $I\vert_{S_m}$ 在水平集 $E_{m,\mathcal{F}}$ 上存在 Palais-Smale 序列 $\{u_n\}\subset\mathcal{P}_m$ 满足当 $n\to+\infty$ 时

引理4.1的证明 因 $E_m>0$, 故仅需证 $E_{m,\mathcal{F}}=E_m$. 取特殊 $\mathcal{F}$ 为引理 4.4 中包含于 $S_m$ 的单点集所组成的集类. 此时

因对每个 $u\in S_m$ 有 $s(u)\star u\in\mathcal{P}_m$, 故 $I(s(u)\star u)\geq E_m$, 进一步 $E_{m,\mathcal{F}}\geq E_m$. 因对任意 $u\in\mathcal{P}_m$ 有 $s(u)=0$ 与 $I(u)=I(0\star u)\geq E_{m,\mathcal{F}}$, 故 $E_m\geq E_{m,\mathcal{F}}$.

接下来给出重要引理, Berestycki 与 Lions^[12]证明了可用 ${\Vert {\rm d}I\vert_{S_m}(u_n)\Vert}_{u_n,*}\rightarrow0$ 该项的收敛性刻画 d$I(u_n)$ 的收敛性, 但为使证明更加完善, 仍在此给出详细证明. 因 $I: \mathscr{X}\rightarrow\mathbb{R}$ 在 $\mathscr{X}$ 上是 $C^1$ 泛函, 故 $I\vert_{S_m}$ 是 $S_m$ 上 $C^1$ 泛函, 对任意 $u\in{S_m}$ 与 $w\in T_uS_m$ 有

引理 4.5 对所有 $m>0$, 设 $\{u_n\}$ 是 $S_m$ 中序列且在 $\mathscr{X}$ 中有界, 则如下结论等价

(i) 当 $n\rightarrow+\infty$ 时 ${\Vert {\rm d}I\vert_{S_m}(u_n)\Vert}_{u_n,*}\rightarrow0$;

(ii) 在 $\mathscr{X}^*$ 中 d$I(u_n)-\langle {\rm d}I(u_n), u_n\rangle \frac{u_n}{m}\rightarrow0$.

证 对任意 $v\in\mathscr{X}$, 设唯一分解式为 $v=(v,u)\frac{u}{m}+\pi_uv$, 其中 $u\in S_m$, $\pi_u v\in T_uS_m$. 因 $\vert(u,v)\vert\leq \sqrt{m}\Vert v\Vert_{L^2(\mathbb{R}^N)}\leq \sqrt{m}\Vert v\Vert_{\mathscr{X}}$, 故对任意 $v\in\mathscr{X}$ 与 $u\in S_m$ 有

记 $Q(u)={\rm d}I(u)-\langle {\rm d}I(u), u\rangle \frac{u}{m}$. 对任意 $v\in\mathscr{X}$ 有

显然, 对所有 $w\in T_uS_m$ 有 $Q(u)\in\mathscr{X}^*$ 和 $\langle Q(u), w\rangle=\langle {\rm d}I\vert_{S_m}(u), w\rangle$, 从而对任意 $u\in S_m$ 有 ${\Vert {\rm d}I\vert_{S_m}(u)\Vert}_{u,*}\leq{\Vert Q(u)\Vert}_{\mathscr{X}^*}$. 故 (ii) $\Rightarrow$ (i).

另一方面, 假设 $\{u_n\}\subset S_m$ 为 ${\Vert {\rm d}I\vert_{S_m}(u_n)\Vert}_{u_n,*}\rightarrow0$ 的有界序列. 计算可知

因 $\{u_n\}$ 有界, 由 $\lim_{n\to+\infty}\Vert Q(u_n)\Vert_{\mathscr{X}^*}=0$ 与上述不等式可推 (ii).

引理 4.6 假设 $f$ 满足 $(f1)$-$(f3)$. 若 $\{u_n\}\subset\mathscr{X}$ 是有界序列且存在 $u\in\mathscr{X}$ 使得当 $n\to+\infty$ 时在 $\mathscr{X}$ 中几乎处处 $u_n\to u$, 则

证 因 $\{u_n\}\subset\mathscr{X}$ 是有界序列, 且存在 $u\in\mathscr{X}$ 使得当 $n\to+\infty$ 时在 $\mathscr{X}$ 中几乎处处 $u_n\to u$. 选取足够大 $M>0$ 使得

由条件 $(f1)$-$(f3)$ 知存在正常数 $C>0$ 使得 $\forall t\in\mathbb{R}$ 有

对任意 $\varepsilon>0$ 与 $a, b\in\mathbb{R}$, 由(4.3)式与 Young 不等式可推

特别地, 注意到对所有 $b\in\mathbb{R}$ 有 $\vert F(b)\vert\leq\psi_\varepsilon(b)$. 应用 Gagliardo-Nirenberg 不等式知 $\int_{\mathbb{R}^N}\varphi(u_n-u){\rm d}x$ 关于 $\varepsilon$ 与 $n$ 一致有界. 此外, 对任意 $\varepsilon>0$ 可推 $\int_{\mathbb{R}^N}\psi_\varepsilon(u){\rm d}x<+\infty$ 以及 $F(u)\in L^1(\mathbb{R}^N)$. 再由 Brezis-Lieb 定理 (见文献 [13, 定理 2]) 知(4.2)式成立.

引理 4.7 假设 $f$ 满足 $(f1)$-$(f6)$, ${\Vert u_0\Vert}^2_{L^2(\mathbb{R}^N)}=m$ 且

则存在足够小常数 $m_0>0$, 使得当 $m\in(0,m_0)$ 时 $\mu_0>0$.

证 由条件 $(f1)$-$(f3)$ 知, 对任意小 $\varepsilon>0$, 存在正常数 $c_1({\varepsilon})$ 与 $c_2({\varepsilon})$ 使得

其中 $p_1=p_*+\varepsilon, p_2=p^*-\varepsilon$. 为证明简洁, 下述证明中用带数字下标的 $c$ 表示不同依赖于 $\varepsilon$ 的正常数.

由(4.4)式知 $u_0$ 满足

因 Pohozaev 等式成立^[21], 故可推

结合(4.5), (4.6)式与 $(f6)$ 得

与

应用更精细的 Gagliardo-Nirenberg 不等式^[1], 进一步可推

为方便计算, 设

直接计算知 $g(p_1), g(p_2), h(p_1), h(p_2)$ 均严格正. 再由(4.7)和(4.9)式知

从而可推

另一方面, 由 $L^p$ 插值不等式与 $L^{p_1}$ Gagliardo-Nirenberg 不等式知

其中 $\theta\in(0,1)$. 再从(4.8), (4.10)式与(4.11)式知

直接计算可推

最后, 对足够小 $m_0>0$, 由(4.10)式知若 $\Vert u_0\Vert_{L^2}^2=m<m_0$, 则 $\Vert\nabla u_0\Vert_{L^p}$ 必须足够大. 但若 $\mu_0=0$, 则与(4.12)式矛盾, 故得结论.

引理 4.8 设 $m\in(0,m_0)$ 并选取泛函 $I\vert_{S_m}$ 在水平集 $E_m>0$ 上的有界 Palais-Smale 序列 $\{u_n\}\subset S_m$, 满足当 $n\to{+\infty}$ 时 $P(u_n)\to0$. 其中 $m_0$ 是引理4.7确定的常数. 若 $f$ 满足条件 $(f6)$, 则在 $\mathbb{R}^N$ 中提取子列和平移的意义下, 存在 $u\in S_m$ 及 $\mu>0$ 使得在 $\mathscr{X}$ 中 $u_n\to u$ 强收敛, 且 $-\Delta_{p}u+{\vert u\vert}^{p-2}u=f(u)-\mu u$.

证 由于 $\{u_n\}\subset S_m$ 是 $\mathscr{X}$ 中有界序列, 可提取子列使下列极限存在

由 $\Vert {\rm d}I(u_n)\Vert_{u_n,*}\to0$ 与引理4.5, 在 $\mathscr{X}^*$ 中当 $n\to+\infty$ 时 $Q(u_n):={\rm d}I(u_n)-\langle {\rm d}I(u_n),u_n \rangle \frac{u_n}{m}\to0$. 则对任意 $v\in\mathscr{X}$, 当 $n\to+\infty$ 时

为简洁起见, 在 $\mathscr{X}^*$ 中将上述极限重写为

其中

因 $\{u_n\}$ 在 $\mathscr{X}$ 中有界, 可提取子列使存在 $\mu\in\mathbb{R}$, 当 $n\to+\infty$ 时 $\mu_n\to\mu$. 对任意 $\{l_n\}\subset\mathbb{R}^N$, 在 $\mathscr{X}^*$ 中

下证序列 $\{u_n\}$ 不收敛到零. 应用反证法, 若序列 $\{u_n\}$ 收敛至零, 由引理2.6知在 $L^{p_*}(\mathbb{R}^N)$ 中当 $n\to{+\infty}$ 时 $u_n\to0$. 因 $P(u_n)\to0$ 当 $n\to+\infty$, 由引理2.1 (ii) 得 $\int_{\mathbb{R}^N}F(u_n){\rm d}x\to0$ 且

故当 $n\to+\infty$ 时

从而

与 $E_m>0$ 矛盾.

因 $\{u_n\}$ 不收敛于零, 存在 $\{l^1_n\}\subset\mathbb{R}^N$ 及 $w^1\in B_m\backslash\{0\}$ 使得当 $n\to+\infty$ 时

$\bullet$ 在 $\mathscr{X}$ 中 $u_n(\cdot+l^1_n)\rightharpoonup w^1$

$\bullet$ 对任意 $q\in[1,p^*)$, 在 $L^q_\text{loc}(\mathbb{R}^N)$ 中 $u_n(\cdot+l^1_n)\to w^1$

$\bullet$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中几乎处处 $u_n(\cdot+l^1_n)\to w^1$ \end{itemize}$

由引理4.6的(4.3)式及文献[11,定理 A.I], 对任意 $\varphi\in C^\infty_0(\mathbb{R}^N)$:

由(4.13)式

故 $P(w^1)=0$. 对任意 $n\in\mathbb{N}^+$, 定义 $v^1_n:=u_n-w^1(\cdot-l^1_n)$, 则在 $\mathscr{X}$ 中 $v^1_n(\cdot+l^1_n)\rightharpoonup0$ 且

下证等式成立

只需证 $\nabla u_n(\cdot+l^1_n)\to\nabla w^1$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中几乎处处成立. 参考文献[2, 引理 2.1] 的技巧, 定义 $\psi\in$$ C^\infty_0(\mathbb{R}^N)$ 满足 $0\leq\psi(x)\leq1$ 且

对任意 $x\in\mathbb{R}^N$ 和 $R>0$, 定义 $\psi_R(x):=\psi(x/R)$. 直接计算得

其中

由(4.14)式及 $\lim_{n\to+\infty}Q(u_n)=0$ 在 $\mathscr{X}^*$ 中得

对任意 $q\in[1,p^*)$, 由 Sobolev 紧嵌入 $\mathscr{X}\hookrightarrow L^q_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N)$ 及 $u_n(\cdot+l^1_n)\rightharpoonup w^1$ 在 $\mathscr{X}$ 中知

故 $T_n=o_n(1)$. 据文献[17], 有不等式

其中 $C_1, C_2$ 为正常数. 因此可提取子列, 在 $B(0,R)$ 中几乎处处 $\nabla u_n(\cdot+l^1_n)\to\nabla w^1$. 由 $R$ 任意性, 可提取子列在 $\mathbb{R}^N$ 中几乎处处

因 $\{u_n\}$ 在 $\mathscr{X}$ 中有界, 当 $n\to+\infty$ 时

$\bullet$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中几乎处处 $u_n(\cdot+l^1_n)\to w^1$

$\bullet$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中几乎处处 $\nabla u_n(\cdot+l^1_n)\to\nabla w^1$

应用 Brezis-Lieb 引理^[33]即得结论.

由引理4.6

结合上述等式得

下证 $\lim_{n\to+\infty}I(v^1_n)\geq0$. 反设 $\lim_{n\to+\infty}I(v^1_n)<0$, 则 $\{v^1_n\}$ 不收敛至零. 可提取子列及 $\{l^2_n\}\subset\mathbb{R}^N$ 使

因在 $L^p_\text{loc}(\mathbb{R}^N)$ 中 $v^1_n(\cdot+l^1_n)\to0$ 当 $n\to+\infty$, 故 $\vert l^2_n-l^1_n\vert\to+\infty$. 可提取子列及 $w^2\in B_m\backslash\{0\}$ 使 $v^1_n(\cdot+l^2_n)\rightharpoonup w^2$ 在 $\mathscr{X}$ 中. 由(4.13)式及

在 $\mathscr{X}$ 中, 得 $P(w^2)=0$ 且 $I(w^2)>0$. 定义 $v^2_n:=v^1_n-w^2(\cdot-l^2_n)=u_n-\sum^2_{i=1}w^i(\cdot-l^i_n)$, 则

进而

重复此步骤, 对每个 $k\in\mathbb{N}^+$ 可得 $\{w^k\}\subset B_m\backslash\{0\}$ 满足 $P(w^k)=0$, 且

由注2.1知存在 $\delta>0$, 使对任意 $w\in B_m\backslash\{0\}$ 若 $P(w)=0$, 则 $\Vert\nabla w\Vert_{L^p(\mathbb{R}^N)}\geq\delta$. 故(4.18)式不成立, 从而 $\lim_{n\to+\infty}I(v^1_n)\geq0$.

令 $z:=\Vert w^1\Vert^2_{L^2(\mathbb{R}^N)}\in(0,m]$. 因 $w^1\in\mathcal{P}_z$, $\lim_{n\to+\infty}I(v^1_n)\geq0$ 及(4.17)式, 得

由引理3.2, $E_m$ 关于 $m>0$ 单调不增. 又因

与

由(4.15), (4.19) 式及引理3.6知 $\mu\geq0$. 此外, 由引理4.7可知, 若 $\Vert u_0\Vert_{L^2}^2=m<m_0$ 则 $\mu>0$. 若 $z\in(0,m)$, 由引理3.6及(4.15) 式得 $I(w^1)=E_z>E_m$, 与 (4.19) 式矛盾. 故由(4.16)式知当 $n\to+\infty$ 时

注意到 $w^1\in\mathscr{X}$ 且 $\Vert v_n^1\Vert^2_{L^2(\mathbb{R}^N)}\to0$, 由引理2.6知在 $L^{p_*}(\mathbb{R}^N)$ 中 $v_n^1\to0$. 应用引理2.1(ii) 及(4.20)式, 得 $\lim_{n\to+\infty}\int_{\mathbb{R}^N}F(v_n^1){\rm d}x=0$ 和 $\lim_{n\to+\infty}\Vert v_n\Vert_{W^{1,p}(\mathbb{R}^N)}=0$. 因此在 $\mathscr{X}$ 中 $u_n(\cdot+l_n^1)\to w^1$ 强收敛.

注 4.1 若 $f$ 满足更强的条件, 则 $\lim_{n\to+\infty}I(v_n^1)\geq0$ 的证明可简化. 例如在假设 $(f1)$-$(f5)$ 下, 若 $\widetilde{F}$ 为 $C^1$ 函数且其导数 $\widetilde{F}'$ 可由引理4.6右端控制, 则由 $P(w^1)=0$ 及类似(4.17)式的证明得

故由引理2.2可知

由引理4.1与引理4.8, 现完成定理1.1的证明.

定理 1.1 的证明 由引理4.1与引理2.5(iv), 限制泛函 $I\vert_{S_m}$ 在水平 $E_m>0$ 上存在有界 Palais-Smale 序列 $\{u_n\}\subset\mathcal{P}_m$.

(i) 由引理4.8, 若条件 $(f6)$ 成立且 $m\in(0,m_0)$, 则在水平 $E_m$ 上存在基态解 $u\in S_m$;

(ii) 若 $f$ 为奇函数, 由引理4.1知当 $n\to+\infty$ 时 $\Vert u_n^-\Vert_{L^2(\mathbb{R}^N)}\to0$. 应用引理4.8 及 $\lim_{n\to\infty}\Vert u_n^-\Vert_{L^2(\mathbb{R}^N)}=0$ 得 $u\geq0$. 故 $u\in S_m$ 为水平 $E_m$ 上的非负基态解.

最后给出定理1.2的证明.

定理 1.2 的证明 由引理2.5, 3.1, 3.2与3.7, 只需证在 $(f6)$ 条件下 $E_m$ 关于 $m>0$ 严格递减. 由定理1.1, $E_m$ 可由(1.1)式的基态解实现, 其中 $\mu>0$. 故由引理3.6, $m\mapsto E_m$ 关于 $m\in(0,+\infty)$ 严格递减.