1948 年, Shannon^[30] 将熵作为信息论的基本概念引入. 十年后, Kolmogorov^[23,24] 使用 Shannon 的概念定义了遍历理论中保测变换的熵. 为了研究拓扑空间上的动力系统, "拓扑熵'' 的概念第一次在 1965 年由 Adler, Konheim 和 McAndrew^[1] 提出. 在 90 年代初期, Blanchard 引入了熵对的概念, 以寻找令人满意的 Kolmogorov 系统的拓扑类似物 (参考文献 [2,3]). Ornstein 和 Weiss 的开创性文献 [27] 奠定了顺从群作用理论的基础, 之后, 由 Rudolph、Danilenko 和 Weiss^[8,29,33] 得到进一步的发展. Ollagnier 也在文献 [26] 中讨论了顺从群作用动力系统中的全局熵理论. Kerr 和 Li 在文献 [19-21] 中系统地研究了动力系统中集合轨道上的局部熵与组合独立性之间的联系. Chung 和 Li 在文献 [7] 中通过自同构讨论了紧群上的顺从群作用. 近三十多年来, 紧致度量空间上的可数顺从群作用的熵理论得到了迅速发展, 这部分相关内容可参考文献 [4-6,9,11,12,14-18,25,28,32,34,35].

下面给出本文即将使用到的可测动力系统的一些基础知识 (可参考文献 [31]) 和顺从群作用动力系统中的一些已知结果, 本部分内容主要参考文献 [10]. 本文通篇用 $(X,\mathcal{B}_{X},\nu)$ 表示一个 Polish 概率空间, 其中 $\mathcal{B}_{X}$ 是 $X$ 的 Borel $\sigma$ 代数, $\nu$ 是 $X$ 上的一个 Borel 概率测度. 假设 $(X, \mathcal{B}_{X},\nu, G)$ 是一个 Polish 系统 (即在 Polish 空间 $(X, \mathcal{B}_{X},\nu)$ 上的一族保测映射族 $G$). 一个 Lebesgue 系统 $(X, \mathcal{B}_{X},\nu, G)$ 表示在一个 Lebesgue 空间 $(X, \mathcal{B}_{X},\nu)$ 上的一族保测映射族 $G$. 我们用可测动力系统 $(Y, \mathcal{D}, \nu,G)$ 表示一个概率空间 $(Y, \mathcal{D}, \nu)$ 和一个由 $(Y,\mathcal{D}, \nu)$ 上的可逆保测变换构成的群 $G$, 用 $e$ 表示 $G$ 中的单位元. 若 $\mathcal{W}\subseteq\mathcal{D}$ 且 $\cup_{W\in \mathcal{W}}W=Y$, 则称 $\mathcal{W}$ 是 $Y$ 的一个覆盖; 如果 $Y$ 的一个覆盖 $\mathcal{W}$ 中的元素两两互不相交, 则称 $\mathcal{W}$ 是 $Y$ 的一个剖分. 用 $C_{Y}$ 和 $P_{Y}$ 分别表示 $(Y,\mathcal{D}, \nu)$ 上的由有限覆盖和有限剖分构成的集合. 设 $\alpha$ 是 $(Y,\mathcal{D},\nu)$ 的一个剖分, 且 $y \in Y $, 用 $\alpha(y)$ 表示 $\alpha$ 中包含 $y$ 的原子 (atom). 设 $\mathcal{W}_{1},\mathcal{W}_{2}\in C_{Y}$. 如果 $\mathcal{W}_{1}$ 中的每一个元素都被包含在 $\mathcal{W}_{2}$ 中的某一个元素中, 则称 $\mathcal{W}_{1}$ 是 $\mathcal{W}_{2}$ 的加细, 记为 $\mathcal{W}_{1}\succeq \mathcal{W}_{2}$ 或 $\mathcal{W}_{2}\preceq\mathcal{W}_{1}$. $\mathcal{W}_{1}$ 与 $\mathcal{W}_{2}$ 的交由下列方式给出

$$\{W_{1}\cap W_{2} : W_{1} \in \mathcal{W}_{1},W_{2}\in \mathcal{W}_{2}\},$$

记为 $\mathcal{W}_{1}\vee \mathcal{W}_{2}$.

设 $\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{D}$ 的一个子 $\sigma$ 代数且 $\mathcal{W}\in P_{Y}$. 记

$$H_{\nu}(\mathcal{W}|\mathcal{C})=-\sum_{W_{1}\in \mathcal{W}}\int_{Y}\nu(W_{1}|\mathcal{C})(y)\log\nu(W_{1}|\mathcal{C})(y){\rm d}\nu(y),$$

(特别地, 记 $0\log0=0$), 其中 $\nu(W_{1}|\mathcal{C})(y)$ 表示函数 $1_{W_{1}}$ 关于 $\mathcal{C}$ 与 $\nu$ 的条件期望.

本文中, 用 $G$ 表示一个可数离散顺从群, $Fin(G)$ 表示由 $G$ 中所有的非空有限子集构成的集合. 设 $(X,\mathcal{D},\nu,G)$ 是一个可测动力系统, $\mathcal{W}\in C_{X}$, $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{D}$ 是一个子 $\sigma$ 代数. 对于每一个 $F\in Fin(G)$, 记 $\mathcal{W}_{F}=\bigvee_{g\in F}g^{-1}\mathcal{W}$. 若对于任意的 $g\in G$ 都满足 $g^{-1}\mathcal{C}=\mathcal{C}$, 则称 $\mathcal{C}$ 是 $G$ 不变的.

定义 1.1 设 $f:Fin(G)\longrightarrow \mathbb{R}$ 是一个函数, 则称 $f$ 是

(1) 单调的: 如果对于任意的 $E,F\in Fin(G)$ 且 $E\subseteq F$, 满足 $f(E)\leq f(F)$;

(2) 非负的: 如果对于任意的 $F\in Fin(G)$, 满足 $f(F)\geq0$;

(3) $G$ 不变的: 如果对于任意的 $F\in Fin(G)$ 和 $g\in G$, 满足 $f(Fg)=f(F)$;

(4) 次可加的: 如果对于任意的 $E,F\in Fin(G)$, 满足 $f(E\cup F)\leq f(E)+f(F)$.

命题 1.1 设 $f:Fin(G)\rightarrow\mathbb{R}$ 是单调的、非负的、$G$ 不变的和次可加的函数, 则对于 $G$ 中任意的 Følner 序列 $\{F_{n}:n\in \mathbb{N}\}$, 序列 $\{\frac{f(F_{n})}{|F_{n}|}:n\in \mathbb{N}\}$ 是收敛的, 并且极限值与 Følner 序列 $\{F_{n}:n\in \mathbb{N}\}$ 的选取无关.

设 $H_{\nu}(\mathcal{W}_{\cdot}|\mathcal{C}) :Fin(G)\rightarrow\mathbb{R}$, $F\mapsto H_{\nu}(\mathcal{W}_{F}|\mathcal{C})$. 由定义 1.1 易知 $H_{\nu}(\mathcal{W}_{\cdot}|\mathcal{C})$ 是一个单调的、非负的、 $G$ 不变的、次可加的函数. 那么由命题 1.1 可知与 $\mathcal{C}$ 有关的 $\mathcal{W}$ 的 $\nu$ 测度熵为

$$h_{\nu}(G,\mathcal{W}|\mathcal{C})=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{|F_{n}|}H_{\nu}(\mathcal{W}_{F_{n}}|\mathcal{C}),$$

从而与 $\mathcal{C}$ 有关的 $(Y,\mathcal{D},\nu,G)$ 的 $\nu$ 测度熵为

$$h_{\nu}(G,Y|\mathcal{C})=\sup_{\alpha\in P_{Y}}h_{\nu}(G,\alpha|\mathcal{C}).$$

下面的命题 1.2 可参考文献 [22,引理 9.5].

命题 1.2 设 $\mathcal{P}$ 是 $X$ 的一个有限剖分, $\varepsilon> 0$, 则存在一个 $\delta> 0$ 使得对于 $X$ 中任意满足条件, 对于任意的 $A\in \mathcal{P}$, 在由 $\mathcal{Q}$ 生成的 $\sigma$ 代数中存在一个集合 $B$ 满足 $\mu(A\Delta B)< \delta$ 的有限剖分 $\mathcal{Q}$ 有 $H_{\mu}(\mathcal{P}\mid\mathcal{Q})<\varepsilon$.

在参考文献 [13] 中, Huang 和 Lu 证明了在一般变换下, 以自然扩充对应的映射的熵为零, 本文旨在得出顺从群的作用下求解相应的结果, 并且在主要结果的证明中使用了群作用系统中条件熵的性质 (参考文献 [22]) 与顺从群作用系统中测度熵的定义 (参考文献 [10]). 一个群 $G$ 作用在一个集合 $X$ 上的作用意味着一映射 $\alpha:G \times X\longrightarrow X$ (定义偶对 $(s,x)$ 在映射 $\alpha$ 下的像为 $\alpha_{s}(x):=sx$)使得 $\alpha_{s}(\alpha_{t}(x))=\alpha_{st}(x)$, $\alpha_{e}(x) = x$, $\forall x\in X$, $\forall s, t\in G$. 这样子的作用一般记为 $G\curvearrowright X$. 设 $G\curvearrowright X$ 和 $G\curvearrowright Y$ 是两个群作用, 如果对于任意的 $x\in X$, $s\in G$ 都有 $\varphi(sx)=s\varphi(x)$, 则称映射 $\varphi:X\rightarrow Y$ 是等价的. 如果 $G\curvearrowright X$ 和 $G\curvearrowright Y$ 是两个作用在紧的 Hausdorff 空间 $X,Y$ 上的连续作用, 如果存在一个等价的连续满射 $\pi: X \longrightarrow Y$, 则称第一个作用是第二个作用的$\text{扩充}$, 或者称第二个作用是第一个作用的$\text{因子}$, 其中 $\pi$ 被称为 $G \text{因子映射}$或 $G \text{扩充映射}$.

为了在因子映射中使用方便, 本文后续即将用 $(Y,G)$ 来表示群作用 $G\curvearrowright Y$. 进一步, 用 $(Y,G)$ 表示一个群 $G$ 作用于一个紧致的度量空间 $Y$ 上. 用 $P(Y)$ 表示 $Y$ 上的概率测度组成的集合, $\mathcal{P}(Y,G)$ 表示 $P(Y)$ 中的所有 $G$ 不变元素组成的集合, 因此有下列定义.

定义 2.1 设可数离散顺从群 $G$ 作用于两个紧致的度量空间 $Y_{1}, Y_{2}$ 上, $\pi: (Y_{1},G)\rightarrow(Y_{2},G)$ 是 $(Y_{1},G)$ 与 $(Y_{2},G)$ 之间的一个因子映射, $\pi^{-1}\mathcal{B}_{Y_{2}}$ 是 $\mathcal{B}_{Y_{1}}$ 的一个 $G$ 不变子 $\sigma$ 代数, 任取 $\mathcal{W}\in C_{Y_{1}}, \nu_{1}\in \mathcal{P}(Y_{1},G)$, 则与 $\pi$ 有关的 $\mathcal{W}$ 的 $\nu_{1}$ 测度熵为

$$h_{\nu_{1}}(G,\mathcal{W}|\pi) = h_{\nu_{1}}(G,\mathcal{W}|\pi^{-1}\mathcal{B}_{Y_{2}}),$$

其中 $\mathcal{B}_{Y_{1}},\mathcal{B}_{Y_{2}}$ 分别是 $Y_{1},Y_{2}$ 的 Borel $\sigma$ 代数.

定义 2.2 设可数离散顺从群 $G$ 作用于两个紧致的度量空间 $Y_{1}, Y_{2}$ 上

$$\pi: (Y_{1},G)\rightarrow(Y_{2},G)$$

是 $(Y_{1},G)$ 与 $(Y_{2},G)$ 之间的一个因子映射, $\pi^{-1}\mathcal{B}_{Y_{2}}$ 是 $\mathcal{B}_{Y_{1}}$ 的一个 $G$ 不变子 $\sigma$ 代数, $\nu_{1}\in \mathcal{P}(Y_{1},G)$, 则与 $\pi$ 有关的 $(Y_{1},G)$ 的 $\nu_{1}$ 测度熵是

$$h_{\nu_{1}}(G, Y_{1}\mid\pi) = h_{\nu_{1}}(G,Y_{1}|\pi^{-1}\mathcal{B}_{Y_{2}}),$$

其中 $\mathcal{B}_{Y_{1}},\mathcal{B}_{Y_{2}}$ 分别是 $Y_{1},Y_{2}$ 的 Borel $\sigma$ 代数.

定义 2.3 用 $G$ 的 $p.m.p.$ 作用表示一个由在标准概率空间 $(X,\mu)$ 上的保测变换构成的一个群作用, 简记为 $G\curvearrowright(X,\mu)$.

设 $(X,\mathcal{B},\mu)$ 是一个 Lebesgue 空间, $G$ 是一个可数无限顺从群, 用 $\alpha$ 表示 $G$ 作用在 $(X,\mathcal{B},\mu)$ 上的一个群作用, 考虑作用 $G\curvearrowright X^{G}$, 即 $(sx)(t)=x(s^{-1}t)$. 设

$$Y=\left\{y\in X^{G}:y(tg)=\alpha_{t^{-1}}y(g), \forall t,g\in G\right\},$$

则有下列两条命题成立.

命题 2.1$Y$ 是 $X^{G}$ 中的一个 $G$ 不变子集.

证 设 $y\in Y$, $s,t,g\in G$, 加之 $G\curvearrowright X^{G}$, 则

$$(sy)(tg)=y(s^{-1}tg)=\alpha_{t^{-1}s}(y(g))=\alpha_{t^{-1}}(\alpha_{s}y(g))=\alpha_{t^{-1}}(y(s^{-1}g))=\alpha_{t^{-1}}((sy)(g)).$$

上述等式中第一个等号和最后一个等号成立是因为 $G\curvearrowright X^{G}$, 第二个等号和第四个等号成立是因为 $y\in Y$, 第三个等号成立是因为群作用 $G\curvearrowright X$. 因此 $sy\in Y$, 即 $Y$ 是 $X^{G}$ 中的一个 $G$ 不变子集.

命题 2.2 设 $G$ 是一个顺从群. $g\in G$, 通过 $\Pi_{g,X}(y)=y(g), \forall y\in Y,$ 定义一个映射

$$\Pi_{g,X}:Y\rightarrow X, $$

则对于每一个 $g\in G$, $\prod_{g,X}$ 都是一个因子映射.

证 本命题的证明需要下列三步.

${\bf 第一步}\quad$ 证明 $\Pi_{g,X}$ 是等价的.

设两个群作用 $G\curvearrowright X$ 和 $G\curvearrowright Y$ 分别记为 $\alpha,\beta$. 那么对于任意的 $y\in Y, g, s\in G$

$$\Pi_{g,X}\circ \beta_{s}(y)=(\beta_{s}(y))(g)=y( s^{-1}(g))=\alpha_{s}(y(g))=\alpha_{s}\circ\Pi_{g,X}(y).$$

因此 $\Pi_{g,X}$ 是等价的.

${\bf 第二步}\quad$ 证明 $\Pi_{g,X}$ 是满射.

设 $x\in X$, 存在 $y\in Y$ 且 $y(s)=\alpha_{gs^{-1}}x, \forall s\in G$ 使得 $\Pi_{g,X}(y)=y(g)=x$, 因此 $\Pi_{g,X}$ 是满射.

${\bf 第三步}\quad$ 证明 $\Pi_{g,X}$ 是连续的.

设 $B$ 是 $X$ 中的一个开子集, 则

$$\Pi_{g,X}^{-1}(B)=\{y\in Y:y(g)\in B\}=Y\cap\Bigg\{B\times\prod_{s\in G\setminus\{g\}}X\Bigg\}$$

是 $Y$ 中的一个开子集, 即 $\Pi_{g,X}$ 是连续的.

下面构造 $Y$ 上的一个测度. 设 $(X,\mathcal{B},\mu,G)$ 是一个 Lebesgue 系统, 记 $\overline{\mathcal{B}}_{g}=\Pi_{g,X}^{-1}(\mathcal{B})$, $\forall g\in G$. 由 $G$ 对 $X^{G}$ 的作用与 $Y$ 中元素满足的条件, 可得 $\overline{\mathcal{B}}_{g}=\overline{\mathcal{B}}_{e}, \forall g\in G$. 加之, $\emptyset\in \overline{\mathcal{B}}_{e}$ 并且 $\overline{\mathcal{B}}_{e}$ 对有限交与补运算封闭, 从而 $\overline{\mathcal{B}}_{e}$ 是一个代数, 令 ${\mathcal{D}}_{Y}=\overline{\mathcal{B}}_{e}$.

现在考虑定义在 ${\mathcal{D}}_{Y}$ 上并且满足条件 $\overline{\mu}(\Pi_{g,X}^{-1}(A))=\mu(A)$, $\forall A\in \mathcal{B},\forall g\in G$ 的测度 $\overline{\mu}$. 假设 $\overline{\mathcal{B}}$ 是由与 $\overline{\mu}$ 相关的 ${\mathcal{D}}_{Y}$ 生成的 $\sigma$ 代数的完备化. 定义在 $Y$ 上的自映射 $G$ 就是通过作用 $G\curvearrowright X^{G}$ 限制在 $Y$ 上的一个群作用, 则由此诱导出的作用 $G\curvearrowright(Y,\overline{\mu})$ 是可逆保测的. 也就是, 若记作用 $G\curvearrowright (Y,\overline{\mu})$ 为 $\beta$, 则对于任意的 $s\in G$, $B\in\overline{\mathcal{B}}$, 有

推理 2.1 设 $(X,\mathcal{B},\mu)$ 是一个 Lebesgue 空间, $G$ 是一个可数无限顺从群

$$Y=\left\{y\in X^{G}:y(tg)=\alpha_{t^{-1}}y(g), \forall t,g\in G\right\},$$

令 $\Pi_{X}=\Pi_{e,X}$, 即

$$\Pi_{X}:(Y,\overline{\mathcal{B}},\overline{\mu},G)\rightarrow(X,\mathcal{B},\mu,G),$$

则 $(Y,\overline{\mathcal{B}},\overline{\mu},G)$ 是 $(X,\mathcal{B},\mu,G)$ 的一个扩充.

定理 3.1 设$\Pi_{X}:(Y,\overline{\mathcal{B}},\overline{\mu},G)\rightarrow(X,\mathcal{B},\mu,G)$ 是一个因子映射, 那么

$$h_{\overline{\mu}}(G,Y\mid\Pi_{X})=0.$$

${\bf 证}\quad$ 取 $g\in G$. 设 $\Pi_{g,X}:Y\rightarrow X$ 是由 $\Pi_{g,X}(y)=y(g)$, $\forall y\in Y$ 定义的. 因为 $\overline{\mathcal{B}}$ 是由 ${\mathcal{D}}_{Y}$ 生成的 $\sigma$ 代数的完备化, 则对于任意的 $A\in \overline{\mathcal{B}}$ 和 $\epsilon>0$, 存在 $A_{\epsilon}\in{\mathcal{D}}_{Y}$ 使得 $\overline{\mu}(A\Delta A_{\epsilon})<\epsilon$ 其中 $A\Delta A_{\epsilon}=(A\backslash A_{\epsilon})\cup (A_{\epsilon}\backslash A)$ (可见参考文献 [31,定理 0.7]).

任取 $\mathcal{P}=\{B_{1},B_{2},\cdots, B_{k}\}\in P_{Y}$, $k\geq 2$.

设 $i=1,2,\cdots,k-1$, 记 $B_{i}'\in{\mathcal{D}}_{Y}$ 且 $\overline{\mu}(B_{i}\Delta B_{i}')<\frac{\delta}{k^{3}}$. 设 $B_{k}'=Y\setminus \cup^{k-1}_{j=1}B_{j}'$, 于是有 $B_{k}'\in{\mathcal{D}}_{Y}$ 和

$$\overline{\mu}(B_{k}\Delta B_{k}')\leq\overline{\mu}(\cup^{k-1}_{j=1}B_{j}\Delta B_{j}')\leq\sum^{k-1}_{j=1}\overline{\mu}(B_{j}\Delta B_{j}')<\frac{\delta}{k^{2}},$$

上列式子中第一个不等式来源于下列事实

$$B_{k}\Delta B_{k}'=\Bigg(Y\setminus \bigcup^{k-1}_{j=1}B_{j}\Bigg)\Delta\Bigg(Y\setminus \bigcup^{k-1}_{j=1}B_{j}'\Bigg)\subseteq \bigcup^{k-1}_{j=1}(B_{j}\Delta B_{j}').$$

取 $D_{1}=B_{1}'$ 和

$$\hspace{-2.2cm} D_{2}=B_{2}'\setminus B_{1}'=B_{2}'\setminus D_{1}\in{\mathcal{D}}_{Y},$$

$$D_{3}=B_{3}'\setminus (B_{1}'\cup B_{2}')=B_{3}'\setminus (D_{1}\cup D_{2})\in{\mathcal{D}}_{Y},$$

$$......$$

$$\hspace{-1.1cm} D_{k}=B_{k}'\setminus \bigcup_{j=1}^{k-1}B_{j}'=B_{k}'\setminus \bigcup_{j=1}^{k-1}D_{j}\in {\mathcal{D}}_{Y}.$$

显而易见, 对于每一个 $i\in\{1,2,\cdots,k\}$, $D_{i}\in{\mathcal{D}}_{Y}$ 且 $\gamma:=\{D_{1},D_{2},\cdots,D_{k}\}\in P_{Y}$.

因为 ${\mathcal{D}}_{Y}=\overline{\mathcal{B}}_{e}$, 则对于每一个 $i\in\{1,2,\cdots,k\}$ 都满足 $D_{i}\in \overline{\mathcal{B}}_{e}$, 从而存在 $E_{i}\in \mathcal{B}$ 使得 $\Pi^{-1}_{X}(E_{i})=D_{i}$. 设 $\tau=\{E_{1},E_{2},\cdots,E_{k}\},$ 则有 $\tau\in P_{X}$ 且 $\gamma=\Pi^{-1}_{X}(\tau)$.

设 $i\in\{1,2,\cdots,k\}$, 于是

因此 $\overline{\mu}( B_{i}\Delta D_{i})<\frac{\delta}{k}<\delta.$ 根据 $\delta$ 满足的条件及其存在性, 由命题 1.2 可知 $H_{\overline{\mu}}(\mathcal{P}\mid\gamma)<\frac{1}{m}$. 接下来, 设 $\{F_{n}\}$ 是 $G$ 中的一 Følner 序列, $n\in \mathbb{N}$, 于是有

运用上面不等式, 可得

因为 $m$ 是任意的, 则 $h_{\overline{\mu}}(G,\mathcal{P}\mid\Pi^{-1}_{X}(\mathcal{B}))=0$. 又因为 $\mathcal{P}$ 是任意的, 这也意味着 $h_{\overline{\mu}}(G\mid\Pi_{X})=0$.