研究扩散过程随时间推移达到某种平衡态或退化状态, 是刻画一些随机模型随时间演化的有力工具, 自然地, 我们十分关心模型收敛到平衡态或退化状态的速度. 遍历情形下的代数式收敛研究成果已十分丰富, 如文献 [1] 讨论了可数状态空间上连续时间 Markov 链的代数式收敛问题, 并给出了判定代数式收敛的方法; 文献 [2] 研究了一维实直线上扩散过程的代数式收敛; 文献 [3] 研究离散时间 Markov 链的 $l$ 遍历性, 得到 $n$ 步转移矩阵以代数式的速度收敛到平稳分布; 文献 [4] 以首中时的矩研究连续时间 Markov 链的遍历度, 给出转移矩阵收敛到平稳分布的多项式速度的估计; 文献 [5] 研究了 $n$ 维欧式空间上扩散过程的代数式收敛; 文献 [6] 定性讨论了非紧空间中可逆扩散过程的代数式收敛; 文献 [7] 研究不同的 Markov 半群无穷小算子之间代数式收敛的关系; 文献 [8] 研究了非紧流形上扩散过程的代数式收敛.

非遍历情形下, 相关研究成果较少. 文献 [9] 和文献 [10] 分别对一维生灭过程的指数式退化速度和代数式退化速度进行了较为系统的研究, 受其及文献 [2] 思想的启发, 鉴于此情形下扩散过程的代数式退化速度方面还没有好的判别准则, 本文以一维非常返扩散过程为研究对象, 给出其代数式退化的判别准则, 并将相关结论应用于实例.

考虑可测空间 $ (E,\mathcal{E},\mu) $ 上的可逆 Markov 过程, 其转移概率可生成 $ L^2(\mu) $ 上的强连续压缩半群 $ P_t $, 对应的无穷小生成元为 $ L $, 定义域为 $ \mathcal{D}(L) $.

定义 1.1 若存在函数 $ V:L^2(\mu)\rightarrow[+\infty] $, 常数 $ C>0 $ 和 $ q>1 $, 有

则称这样的收敛为 $ L^2(\mu) $ 意义下的$\text{代数式收敛}$或$\text{多项式收敛}$. 其中 $ \pi $ 是过程的平稳分布, $ \pi f:=$$\int f\pi (\text{d}x) $. 如无特殊声明, 下文始终用 $ \|\cdot\| $ 表示 $ L^2(\mu) $ 范数.

对于本文讨论的非常返情形, 上述定义变为

定义 1.2 若存在函数 $ V:L^2(\mu)\rightarrow[+\infty] $, 常数 $ C>0 $ 和 $ q>1 $, 有

则称这样的收敛为 $ L^2(\mu) $ 意义下的$\text{代数式退化}$.

根据定义可知, 只要找到某个常数 $ q>1 $, 使得 $ V(f)=\underset{t>0}{\text{sup}}\ t^{q-1} ||P_tf||^2 $ 对 $ L^2(\mu) $ 中的函数有界, 就知过程代数式退化. $ V $ 自然应满足以下条件

称 (1.2) 式为 $ V $ 对半群 $ P_t $ 有压缩性.(1.1), (1.2) 式正是我们构造函数 $ V $ 的前提条件.

本文首先考虑半直线上的非常返扩散过程, 随后将所得结论推广到实直线上.

考虑 $ E=[0,+\infty) $ 上的一维扩散算子 $ L=a(x)\displaystyle\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} +b(x)\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}, x\in E $, 其中 $ a(x)>0 $ 且 $ a\in C^2(E), b\in C^1(E) $.

设 $ C(x)=\int_0^x\frac{b(t)}{a(t)}\text{d}t $, 定义如下两个局部可积测度

$$ \mu(\text{d}x)=\frac{\text{e}^{C(x)}}{a(x)}\text{d}x,\qquad \nu(\text{d}x)=\text{e}^{-C(x)}\text{d}x. $$

并记 $ \mu(x):=\frac{\text{e}^{C(x)}}{a(x)} $. 由于过程非常返, 由文献 [11] 知

$$ \int_0^{+\infty}\nu(\text{d}x)=\int_0^{+\infty}\text{e}^{-C(x)}\text{d}x<\infty,\qquad \int_0^{+\infty}\mu(\text{d}x)=\int_0^{+\infty}\frac{\text{e}^{C(x)}}{a(x)}\text{d}x=\infty. $$

(a) 首先考虑过程在原点反射, 无穷远吸收的情况, 即

$$ f'(0)=0,\quad f(+\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0,\quad \forall f\in L^2(\mu). $$

引入函数 $ \psi(x)\geq 0 $, 定义函数 $ F $ 如下

选取的 $ V $ 具有以下形式

为了得到代数式退化的充分条件, 引入检验函数 $ \phi(x)\neq 0 $, 设

$$ \sigma_{1}(x)=\frac{\phi(x)}{\sqrt{a(x)}\mu(x)}\int_0^{x}\frac{\mu(\text{d}t)}{\phi^2(t)},\quad x\in E. $$

对于代数式收敛的必要条件, 引入试验函数 $ \rho:E\rightarrow [0,+\infty) $ 满足以下条件

${\rm (i)}$ 存在常数 $ \alpha \in [0,2),n\in \mathbb{N} $, 使得

$$ \left[n\sqrt{a(x)}\rho'(x)+\rho(x)\displaystyle\frac{a'(x)-2b(x)}{2\sqrt{a(x)}}\right]^2\leq C_1(n)\rho^{\alpha}(x); $$

${\rm (ii)}$ 存在常数 $ c>0 $, $ \varepsilon<2 $, 对任意的 $ N\in\mathbb{N} $, 令 $ B_N=\{x\in E:\rho(x)\leq N\} $, 有

则对 $ E $ 上的非常返扩散过程的代数式退化有下面的判定定理.

定理 2.1 (1) 如果 $ \sup\limits_{x\in E}\sigma_1(x)<\infty $, 且存在常数 $ q>1 $, 使得

$$ \int_0^{+\infty}F^2(x)\phi^{2q-2}(x)\mu(\text{d}x)<\infty, $$

则过程代数式退化;

(2) 假设过程关于 $ V $ 代数式退化, 且存在满足条件 (i) (ii) 的 $ \rho(x) $, 则对任意的 $ 0<k<(2-\alpha)(q-1)+2-\epsilon $, 有 $ \int_0^{+\infty}\rho^k(x)\nu(\text{d}x)<\infty $.

改变 $ V(f) $ 的定义方式, 定义

其中, $ d(x,y):=\left|F(x)-F(y)\right| $. 引入检验函数 $ \phi(x)>0 $, 设

$$ \sigma_2(x)=\sup\limits_{t\in [x]}\frac{1}{\phi(t)}\int_t^{+\infty}{\rm e}^{-C(s)}\text{d}s\int_0^s \frac{{\rm e}^{C(u)}}{a(u)}\phi(u)\text{d}u,\quad x\in E. $$

并记

$$ g(x)=\int_0^x\frac{{\rm e}^{C(u)}}{a(u)}\psi(u)\text{d}u. $$

则有如下的判定定理.

定理 2.2 如果存在常数 $ q>1 $, 使得 $ \displaystyle\int_0^{+\infty}g^2(x)\sigma_2^{q}(x)\nu(\text{d}x)<\infty $, 则过程代数式退化.

若不引入检验函数, 设

$$ \sigma_3(x)=\frac{\int_0^x \mu(\text{d}t)}{\sqrt{a(x)}\mu(x)},\quad x\in E, $$

得到下面的判定定理.

定理 2.3 如果存在常数 $ q>1 $, 使得 $ \displaystyle\int_0^{+\infty}g^2(x)\sigma_3^{2q}(x)\nu(\text{d}x)<\infty $, 则过程代数式退化.

改变 $ F(x) $ 的定义方式, 定义函数 $ F_1(x):=\int_x^{+\infty}{\rm e}^{-C(s)}\text{d}s $, 并且在 (2.3) 式定义的 $ V_1 $ 中选取新的距离函数 $ d_1(x,y)=\left|F_1(x)-F_1(y)\right| $, 得到

则有如下的判定定理.

定理 2.4 如果存在常数 $ q>1 $, 使得

$$ \int_0^{+\infty}\sigma_2^{q}(x)\nu(\text{d}x)<\infty\quad \mbox{或者} \int_0^{+\infty}\sigma_3^{2q}(x)\nu(\text{d}x)<\infty $$

成立, 则过程代数式退化.

定理 2.1-2.4 主要区别在于通过选取不同的距离函数构造了不同的 $ V(f) $, 实际应用中应根据具体情况构造合适的 $ V(f) $ 以获取对收敛幂次的最优估计. 下文讨论的定义在实直线上的情形同理.

(b) 考虑过程在原点及无穷远均为吸收的情况, 即

$$ f(0)=0,\quad f(+\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0,\quad \forall f\in L^2(\mu). $$

选取 (2.1) 式定义的函数 $ F $ 及 (2.2) 式定义的函数 $ V $, 并引入检验函数 $ \phi(x)\neq0 $, 设

$$ \sigma_4(x)=\frac{\phi(x)}{\sqrt{a(x)}\mu(x)}\int_x^{+\infty}\frac{\mu(\text{d}t)}{\phi^2(t)},\quad x\in E. $$

得到下面的判定定理.

定理 2.5 如果 $ \sup\limits_{x\in E}\sigma_4(x)<\infty $, 且存在常数 $ q>1 $, 使得

$$ \int_0^{+\infty}F^2(x)\phi^{2q-2}(x)\mu(\text{d}x)<\infty, $$

则过程代数式退化.

考虑 $ E=\mathbb{R} $ 上的一维扩散算子$ L=a(x)\displaystyle\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2} +b(x)\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}, x\in E $, 设 $ \displaystyle C(x)=\int_0^x\frac{b(t)}{a(t)}\text{d}t $, 定义如下两个局部可积测度

$$ \mu(\text{d}x)=\frac{\text{e}^{C(x)}}{a(x)}\text{d}x,\qquad \nu(\text{d}x)=\text{e}^{-C(x)}\text{d}x. $$

由于过程非常返, 有

$$ \max\left\{\int_0^{+\infty}\nu(\text{d}x), \int_{-\infty}^0\nu(\text{d}x)\right\}<\infty; \quad \min\left\{\int_0^{+\infty}\mu(\text{d}x), \int_{-\infty}^0\mu(\text{d}x)\right\}=\infty $$

成立^[11].

考虑过程在无穷远吸收的情况, 即

$$f(+\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0, f(-\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0,\quad \forall f\in L^2(\mu). $$

引入连续函数 $ \psi(x)\geq 0 $, 定义函数 $ \widetilde{F} $ 如下

其中 $ \mathbb{1} $ 表示示性函数. 引入检验函数 $ \phi(x)\neq0 $, 选取 (2.2) 式定义的函数 $ V $ 及 (2.5) 式定义的函数 $ \widetilde {F} $, 即 $ V(f)=\sup\limits_{x\in E}\left|\frac{f(x)}{\widetilde {F}(x)}\right|^2 $, 设

$$ \sigma_{1}^{+}(x)=\frac{\phi(x)}{\sqrt{a(x)}\mu(x)}\int_0^{x}\frac{\mu(\text{d}t)}{\phi^2(t)},\quad x\geq 0;\quad \sigma_{1}^{-}(x)=\frac{\phi(x)}{\sqrt{a(x)}\mu(x)}\int_x^{0}\frac{\mu(\text{d}t)}{\phi^2(t)},\quad x< 0, $$

得到下面的判定定理.

定理 2.6${\rm(1)}$ 如果 $ \sup\limits_{x\geq 0}\sigma_1^{+}(x)<\infty $, $ \sup\limits_{x< 0}\sigma_1^{-}(x)<\infty $, 且存在常数 $ q>1 $, 使得

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\widetilde{F}^2(x)\phi^{2q-2}(x)\mu(\text{d}x)<\infty, $$

则过程代数式退化;

${\rm(2)}$ 假设过程关于 $ V $ 代数式退化, 且存在满足条件 ${\rm (i)}$${\rm (ii)}$ 的 $ \rho(x) $, 则对任意的 $ 0<k<(2-\alpha)(q-1) +2-\varepsilon $, 有 $ \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\rho^{k}(x)\nu(\text{d}x)<\infty $.

下面选取 (2.3) 式定义的函数 $ V_1 $ 及距离函数 $ d_2(x,y)=\left|\widetilde{F}(x)-\widetilde{F}(y)\right| $, 设

$$\sigma_2^{+}(x)=\sup\limits_{t\in [x]}\frac{1}{\phi(t)}\int_t^{+\infty}\text{e}^{-C(s)}\text{d}s\int_0^s \frac{\text{e}^{C(u)}}{a(u)}\phi(u)\text{d}u,\quad x\geq 0; $$

$$\hspace{-.1cm} \sigma_2^{-}(x)=\sup\limits_{t\in [x,0]}\frac{1}{\phi(t)}\int_{-\infty}^{t}\text{e}^{-C(s)}\text{d}s\int_s^0 \frac{\text{e}^{C(u)}}{a(u)}\phi(u)\text{d}u,\quad x< 0; $$

$$\hspace{-3.6cm} \widetilde{\sigma}_2(x)=\sigma_2^{+}(x)\mathbb{1}_{\{x\geq 0\}}+\sigma_2^{-}(x)\mathbb{1}_{\{x< 0\}}. $$

并记

$$ \widetilde{g}(x)=\int_0^x\frac{\text{e}^{C(u)}}{a(u)}\psi(u)\text{d}u\mathbb{1}_{\{x\geq 0\}}+\int_x^0\frac{\text{e}^{C(u)}}{a(u)}\psi(u)\text{d}u\mathbb{1}_{\{x< 0\}}. $$

得到下面的判定定理.

定理 2.7 如果存在常数 $ q>1 $, 使得$ \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\widetilde{g}^2(x)\widetilde{\sigma}_2^{q}(x)\nu(\text{d}x)<\infty $, 则过程代数式退化.

不引入检验函数, 设

$$\sigma_3^{+}(x)=\frac{\int_0^x \mu(\text{d}t)}{\sqrt{a(x)}\mu(x)},\quad x\geq 0;\qquad \sigma_3^{-}(x)=\frac{\int_x^0 \mu(\text{d}t)}{\sqrt{a(x)}\mu(x)},\quad x< 0. $$

$$\hspace{-4.3cm} \widetilde{\sigma}_3(x)=\sigma_3^{+}(x)\mathbb{1}_{\{x\geq 0\}}+\sigma_3^{-}(x)\mathbb{1}_{\{x< 0\}}. $$

得到下面的判定定理.

定理 2.8 如果存在常数 $ q>1 $, 使得$ \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\widetilde{g}^2(x)\widetilde{\sigma}_3^{2q}(x)\nu(\text{d}x)<\infty $, 则过程代数式退化.

首先引入两个引理.

引理 3.1 (Liggett-Stroock^[12]) 令 $ \displaystyle 1<p,q<\infty, \frac {1}{p}+\frac {1}{q}=1 $, 设函数 $ V:L^2(\mu)\rightarrow [+\infty] $, 对任意的常数 $ c $, 有 $ V(cf)=c^2V(f) $, 考虑下面两个结论

(a) 若存在常数 $ C>0 $, 使得

$$ \parallel P_{t}f\parallel^2\leq CV(f)/t^{q-1},\qquad t>0,\quad f\in L^2(\mu); $$

(b) 若存在常数 $ C'>0 $, 使得

$$\parallel f \parallel^2\leq C'D(f,f)^{\frac 1p}V(f)^{\frac 1q},\quad \mbox{任意的} f\in \mathcal{D}(D). $$

其中 $ D(f,f):=\int_{0}^{+\infty}a(t)f'^2(t)\mu(\text{d}t) $ 为 $ L $ 相对应的 Dirichlet 型, 则有以下结论.

(1) 若 (b) 成立, 且 $ V $ 对半群 $ P_t $ 有压缩性 (即 (1.2) 式成立), 则 (a) 成立;

(2) 若 (a) 成立, 且过程关于 $ \mu $ 可逆, 则 (b) 成立.

引理 1 是本文的理论核心. 由引理 1 可知, 若要证明过程代数式退化, (1.1) (1.2) 式成立是前提, 对 $ \parallel f\parallel^2 $ 的估计是关键. 为了保证 $ V $ 的压缩性, 我们有下面的引理.

引理 3.2$ F(x) $ 如 (2.1) 式定义. 若 $ LF(x)\leq 0 $, 即可保证压缩性条件 (1.2) 成立.

证 由 $ LF(x)\leq 0 $, 依据 Dynkin's 公式可得

$$ E^{x}F(X_t)=F(x)+E^{x}\int_0^{t}LF(X_s)\text{d}s\leq F(x). $$

从而

$$\left|\frac{P_{t}f(x)}{F(x)}\right|^2=\left|\frac{E^{x}f(X_t)}{F(x)}\right|^2 =\left| E^x\left[\frac{f(X_t)}{F(X_t)}\cdot \frac{F(X_t)}{F(x)}\right]\right|^2 \leq \sup\limits_{y\in E}\left|\frac{f(y)}{F(y)}\right|^2 \left|\frac{E^{x}F(X_t)}{F(x)}\right|^2\leq V(f). $$

再对 $ x $ 取上确界, 得到 $ V(P_{t}f)\leq V(f) $.

证 (1) 不妨设 $ \parallel f\parallel^2=1, f(+\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0 $, 由 $ H\ddot{\text{o}}lder $ 不等式得到

其中 $ 1<p,q<\infty $, $ \displaystyle\frac 1p+\frac 1q =1 $. 由 Schwarz 不等式和积分换序得到

所以

对 Ⅱ 有

则综合 (4.11), (4.3), (4.4) 式, 可得

$$ \parallel f \parallel^2\leq CD(f,f)^{\frac 1p}V(f)^{\frac 1 q}, $$

其中 $ \displaystyle C=\bigl\{4\sup\limits_{x\in E}\sigma_1^2(x)\bigl\}^{\frac 1 p}\left\{\int_0^{+\infty}F^2(x)\phi^{2q-2}(x)\mu(\text{d}x)\right\}^{\frac 1 q} $.

$ V $ 显然满足(1.1) 式, 经计算可得 $ LF(x)=-\psi(x)\leq 0 $, 由引理 3.2 知 $ V $ 满足压缩性条件 (1.2). 根据引理 3.1 可得, 过程代数式退化.

(2) 因为过程关于 $ V $ 代数式退化, 由引理 3.1 可得, 存在 $ C'>0 $, 使得 $ \parallel f \parallel^2\leq C'D(f,f)^{\frac 1p}$$V(f)^{\frac 1q} $. 对 $ N,n\in \mathbb{N} $, 设 $ f(x)=\rho^{n}(x)\sqrt{a(x)}\text{e}^{-C(x)}\mathbb{1}_{B_N}(x) $, 其中 $ \mathbb{1} $ 为示性函数, 则

由条件 (i) 得

由条件 ${\rm (ii)}$ 得

综合 (4.5), (4.6), (4.7) 式, 可得

由上式得

$$ \int_{B_N}\rho^{2n}(x)\nu(\text{d}x)\leq C_4(n)N^{\frac{2np(2n-2+\varepsilon)}{q(2np-2n-\alpha+2)}}. $$

从而得到

当 $ n\longrightarrow +\infty $ 时, $ N $ 的指数 $ \longrightarrow k-[(2-\alpha)(q-1)+2-\varepsilon] $, 所以当 $ 0<k<(2-\alpha)(q-1)+2-\varepsilon $ 时, 取 $ n $ 充分大, 可使 $ N $ 的指数为 $ -\eta<0 $, 于是

证 不妨设 $ \parallel f\parallel^2=1, f(+\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0, h(x)>0 $, 则由 Schwarz 不等式和积分换序得到

取 $ h(t)=\displaystyle\int_0^t\frac{\text{e}^{C(s)}}{a(s)}\phi(s)\text{d}s $, 由中值定理和 $ H\ddot{\text{o}}lder $ 不等式得到

$ V_1 $ 显然满足(1.1) 式, 由文献 [2] 知 $ V_1 $ 满足压缩性条件 (1.2). 根据引理 3.1 知, 过程代数式退化.

证 不妨设 $ \parallel f\parallel^2=1, f(+\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0 $, 由 Schwarz 不等式和积分换序得到

类似 (4.8) 式, 由 $ H\ddot{\text{o}}lder $ 不等式得

由定理 2.2 的证明可得, $ V_1 $ 满足条件(1.1) (1.2). 由引理 3.1 可得, 过程代数式退化.

证 在定理 2.2,2.3 中取 $ g(t)=1 $ 立得.

证 不妨设 $ \parallel f\parallel^2=1, f(0)=0, f(+\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0 $, 由 $ H\ddot{\text{o}}lder $ 不等式得到

其中 $ 1<p,q<\infty $, $ \frac 1p+\frac 1q=1 $. 类似 (4.2) 式, 由 Schwarz 不等式和积分换序得到

类似 (4.4) 式, 对 Ⅱ 有

所以

$$ \parallel f \parallel^2\leq CD(f,f)^{\frac 1p}V(f)^{\frac 1q}, $$

其中 $ C=\bigl\{4\sup\limits_{x\in E}\sigma_4^2(x)\bigl\}^{\frac 1p}\left\{\int_0^{+\infty}F^2(x)\phi^{2q-2}(x)\mu(\text{d}x)\right\}^{\frac 1q} $.

由定理2.1 的证明可得 $ V $ 满足条件(1.1) (1.2). 由引理 3.1 可得, 过程代数式退化.

证 (1) 不妨设 $ \parallel f\parallel^2=1, f(+\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0, f(-\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0 $, 则由 $ H\ddot{\text{o}}lder $ 不等式得到

对 Ⅰ 有

$$ Ⅰ=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f^2(x)}{\phi^2(x)}\mu(\text{d}x)=\int_{0}^{+\infty}\frac{f^2(x)}{\phi^2(x)}\mu(\text{d}x) +\int_{-\infty}^{0}\frac{f^2(x)}{\phi^2(x)}\mu(\text{d}x)=:Ⅰ^{+}+Ⅰ^{-}. $$

由定理 2.1 的证明可知,

$$ Ⅰ^{+}\leq4\int_0^{+\infty}a(t)f'^2(t)\mu(\text{d}t)\cdot\sup\limits_{t\geq0}\sigma_{1}^{+}(t)^2. $$

类似的, 由 Schwarz 不等式可得

所以

$$ Ⅰ^{-}\leq4\int_{-\infty}^0a(t)f'^2(t)\mu(\text{d}t)\cdot\sup\limits_{t<0}\sigma_{1}^{-}(t)^2. $$

从而

对 Ⅱ 有

则$$ \parallel f \parallel^2\leq CD(f,f)^{\frac 1p}V(f)^{\frac 1q}, $$

其中 $ C=\bigl\{4\max\{\sup\limits_{x\geq0}\sigma_{1}^{+}(x)^2,\sup\limits_{x<0}\sigma_{1}^{-}(x)^2\}\bigl\}^{\frac 1p}\left\{\int_{-\infty}^{+\infty}\widetilde{F}^2(x)\phi^{2q-2}(x)\mu(\text{d}x)\right\}^{\frac 1q} $. 由引理 3.1 可得, 过程代数式退化;

(2) 与定理 2.1(2) 的证明类似.

证 不妨设 $ \parallel f\parallel^2=1, f(+\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0, f(-\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0, h(x)>0 $, 则

$$ \parallel f\parallel^2= \int_{0}^{+\infty}f^2(x)\mu(\text{d}x)+\int_{-\infty}^{0}f^2(x)\mu(\text{d}x)=:Ⅰ^{+}+Ⅰ^{-}. $$

由定理 2.2 的证明可知,

$$ Ⅰ^{+}\leq \int_0^{+\infty}a(t)f'^2(t)\sigma_{2}^{+}(t)\mu(\text{d}t). $$

类似 (4.8) 式, 由 Schwarz 不等式可得

取 $ h(t)=\displaystyle\int_t^0\frac{\text{e}^{C(s)}}{a(s)}\phi(s)\text{d}s $, 类似 (4.9) 式, 由中值定理得到

所以

由引理 3.1 可得, 过程代数式退化.

证 不妨设 $ \parallel f\parallel^2=1, f(+\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0, f(-\infty):=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0 $, 则

$$ \parallel f\parallel^2=\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(x)\mu(\text{d}x)= \int_{0}^{+\infty}f^2(x)\mu(\text{d}x)+\int_{-\infty}^{0}f^2(x)\mu(\text{d}x)=:Ⅰ^{+}+Ⅰ^{-}. $$

由定理 2.3 的证明可知,

$$ Ⅰ^{+}\leq 4\int_0^{+\infty}a(t)f'^2(t)\sigma_{3}^{+}(t)^2\mu(\text{d}t). $$

类似 (4.10) 式, 由 Schwarz 不等式可得

即

$$ Ⅰ^{-}\leq 4\int_{-\infty}^{0} a(t)f'^2(t)\sigma_3^{-}(t)^2\mu(\text{d}t). $$

类似 (4.11) 式, 得到

由引理 3.1 可得, 过程代数式退化.

情况 1 在 $ [0,+\infty) $ 上, $ L=\dfrac{\text{d}^2}{\text{d}x^2}+\dfrac{r}{1+x}\dfrac{\text{d}}{\text{d}x} $.

显然

经计算可得当 $ r>1 $ 时,

$$ \int_0^{+\infty}\nu(\text{d}x)<\infty,\qquad \int_0^{+\infty}\mu(\text{d}x)=\infty. $$

并且

由此可知, 此时过程非指数式退化.

事实上, 我们有下面的结论

命题 5.1 (1) 对 (2.2) 式定义的函数 $ V $, 当且仅当 $ r>3 $ 时, 过程代数式退化;

(2) 对 (2.3) 式定义的函数 $ V_1 $ 及 (2.4) 式定义的函数 $ \widetilde{V}_1 $, 当 $ r>3 $ 时, 过程代数式退化.

证 (1) 应用定理 2.1(1), 取函数 $ \phi(x)=(1+x)^n, 1<\dfrac{r+1}{2}<n<r $, 则

由 $ 1<\dfrac{r+1}{2}<n<r $ 可知, $ \sup\limits_{x\in [0,+\infty)}\sigma_1(x)<\infty $.

取 $ \psi(t)=(1+t)^m, m<-r-1<-2 $, 则

当 $ q\in(1,\frac{r-3}{2n}+1) $ 时, 有 $ 2(1-r)+n(2q-2)+r<-1 $ 成立, 从而

$$ \int_0^{+\infty}F^2(x)\phi^{2q-2}(x)\mu(\text{d}x)=\int_0^{+\infty} \frac{\left[\frac{1}{1-r}-\frac{(1+x)^{m+r+1}}{m+2}\right]^2}{(m+r+1)^2}(1+x)^{2(1-r)+n(2q-2)+r}\text{d}x<\infty, $$

由定理 2.1(1) 可知, 过程代数式退化.

反之, 如果 $ 1<r\leq 3 $, 下证对 (2.2) 式定义的函数 $ V $ 及任意的 $ q>1 $, 过程非代数式退化. 由定理 2.1(2), 设 $ \rho(x)=(1+x)^s, s>0, x\geq0 $. 考察条件 ${\rm(i)}$

要找到常数 $ \alpha\in[0,2) $, 使得

$$ \left[n\sqrt{a(x)}\rho'(x)+\rho(x)\displaystyle\frac{a'(x)-2b(x)}{2\sqrt{a(x)}}\right]^2\leq C_1(n)\rho^{\alpha}(x)=C_1(n)(1+x)^{\alpha s}. $$

只要 $ 2s-2\leq \alpha s $, 即 $ \alpha\geq \dfrac{2s-2}{s}=2-\dfrac 2s $. 由 $ \alpha\in[0,2) $, 只要 $ s\geq 1 $, 就有这样的 $ \alpha $ 存在;

考察条件 (ii)

故可取 $ \varepsilon=2-\dfrac 2s<2 $, 即可保证 $ \sup\limits_{x\in B_N}V(\rho)a(x)\text{e}^{-2C(x)}\leq cN^{\varepsilon} $.

而 $ (2-\alpha)(q-1)+2-\varepsilon=(2-\alpha)(q-1)+\frac 2s>\frac 2s $, 故可取 $ k_0=\frac 2s $, 则

$$\int_0^{+\infty}\rho^{k_0}(x)\nu(\text{d}x)=\int_0^{+\infty}(1+x)^{s\cdot\frac 2s}(1+x)^{-r}\text{d}x\\ =\int_0^{+\infty}(1+x)^{2-r}\text{d}x. $$

由 $ 1<r\leq 3 $ 知 $ -1\leq 2-r<1 $, 则 $ \displaystyle\int_0^{+\infty}(1+x)^{2-r}\text{d}x=\infty $, 即 $ \displaystyle\int_0^{+\infty}\rho^{k_0}(x)\nu(\text{d}x)=\infty $. 由定理 2.1(2) 可知, 此时过程非代数式退化;

(2) 首先应用定理 2.2, 取函数 $ \phi(t)=(1+t)^m $, $ -r-1<m<-2 $, 则

取函数 $ \psi(u)=(1+u)^{-r}\text{e}^{-u} $, 则

$$ g(x)=\int_0^x\frac{\text{e}^{C(u)}}{a(u)}\psi(u)\text{d}u=\int_0^x\text{e}^{-u}\text{d}u=1-\text{e}^{-x}. $$

当 $ q\in(1,\frac{r-1}{2}) $ 时, 有 $ 2q-r<-1 $ 成立, 从而 $$ \int_0^{+\infty}g^2(x)\sigma_2^q(x)\nu(\text{d}x)\leq \int_0^{+\infty}(1-\text{e}^{-x})^2\left[-(m+2)(r+m+1)\right]^{-q}(1+x)^{2q-r}\text{d}x<\infty $$ 成立. 由定理 2.2 知, 此时过程代数式退化.

接下来应用定理2.3,

$$\sigma_3(x)=\frac{\int_0^x\mu(\text{d}t)}{\sqrt{a(x)}\mu(x)}=\frac{\int_0^x(1+t)^r\text{d}t}{(1+x)^r} =\frac{1+x}{1+r}\left[1-(1+x)^{-r-1}\right] < \frac{1+x}{1+r}. $$

取函数 $ \psi(x)=(1+x)^m,m<-r-1 $, 则

当 $ q\in(1,\frac{r-1}{2}) $ 时, 有 $ 2q-r<-1 $ 成立, 从而

$$ \int_0^{+\infty}g^2(x)\sigma^{2q}_3(x)\nu(\text{d}x)<\int_0^{+\infty}\frac{(1+x)^{2q}}{(m+r+1)^2(1+r)^{2q}}(1+x)^{-r}\text{d}x<\infty $$

成立. 由定理2.3 知, 此时过程代数式退化.

最后应用定理 2.4, 取 $ g(x)=1 $, 即可得结论.

情况 2 在 $ [0,+\infty) $ 上, $ L=(1+x)^{-r}\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2}+(1+x)^{-r}\frac{\text{d}}{\text{d}x} $.

显然

经计算可得当 $ r>0 $ 时,

$$ \int_0^{+\infty}\nu(\text{d}x)=1<\infty,\qquad \int_0^{+\infty}\mu(\text{d}x)=\infty. $$

并且

由此可知, 此时过程非指数式退化.

事实上, 我们有下面的结论

命题 5.2 对 ${\rm (2.2)}$ 式定义的函数 $ V $, ${\rm (2.3)}$ 式定义的函数 $ V_1 $ 及 ${\rm (2.4)}$ 式定义的函数 $ \widetilde{V}_1 $, 当 $ r>0 $ 时, 过程代数式退化.

证 (1) 应用定理 2.1(1), 取函数 $ \phi(x)=(1+x)^{\frac r2} $, 则

故 $ \sup\limits_{x\in[0,+\infty)}\sigma_1(x)<\infty $. 取 $ \psi(t)={\rm e}^{-2t}(1+t)^{-r} $, 则

从而

所以由定理 2.1(1) 可知, 此时过程代数式退化;

(2) 应用定理 2.2, 取函数 $ \phi(t)=(1+t)^{-r}{\rm e}^{-\frac t2} $, 则

取函数 $ \psi(u)={\rm e}^{-u}(1+u)^{-r-2} $, 则

$$ g(x)=\int_0^x\frac{{\rm e}^{C(u)}}{a(u)}\psi(u)\text{d}u=\int_0^x(1+u)^{-2}\text{d}u=1-\frac{1}{1+x}<1. $$

从而

$$ \int_0^{+\infty}g^2(x)\sigma_2^q(x)\nu(\text{d}x)< \int_0^{+\infty}4^q(1+x)^{rq}{\rm e}^{-x}\text{d}x<\infty. $$

由定理 2.2 知, 此时过程代数式退化;

(3) 应用定理2.3, 则

取函数 $ \psi(x)={\rm e}^{-2x}(1+x)^{-r} $, 则

$$g(x)=\int_0^x\frac{{\rm e}^{C(t)}}{a(t)}\psi(t)\text{d}t=\int_0^x{\rm e}^{-t}\text{d}t =1-{\rm e}^{-x}<1. $$

从而

$$ \int_0^{+\infty}g^2(x)\sigma^{2q}_3(x)\nu(\text{d}x)<\int_0^{+\infty}(1+x)^{\frac r2\cdot2q}{\rm e}^{-x}\text{d}x=\int_0^{+\infty}(1+x)^{rq}{\rm e}^{-x}\text{d}x<\infty. $$

由定理2.3 知, 此时过程代数式退化;

(4) 应用定理 2.4, 取 $ g(x)=1$, 即可得到与 (2) (3) 相同的结论.