令 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 是一个光滑有界区域, 我们研究以下简化版 Ericksen-Leslie 系统, 该系统描述了可压缩液晶流的动力学行为

其中 $ (x,t)\in\Omega\times[0,+\infty ) $. 在上述系统中, 函数 $ \rho(x,t)\in\mathbb{R}_{+} $, $ u(x,t)\in\mathbb{R}^{3} $, $ d(x,t)\in\mathbb{S}^2 $ 分别表示流体密度、速度、液晶分子的方向场, 函数 $ P $ 表示压力, 另外, 常数 $ \mu $ 和 $ \lambda $ 表示满足 $ \mu>0 $, $ 2\mu+3\lambda\geq 0 $ 的流体粘性系数. $ \nabla d\odot\nabla d $ 表示第 $ i $-$ j $ 个元为 $ \partial_id\partial_jd $ 的 $ 3\times 3 $ 阶矩阵, $ \mathbb{I}_3 $ 表示 $ 3\times 3 $ 阶单位矩阵, 我们易算出 $ {\rm div}(\nabla d\odot\nabla d-\frac{1}{2}|\nabla d|^2 \mathbb{I}_3 )=\nabla d\cdot\Delta d $.

我们注意到方程组 (1.1) 是一个可压缩 Navier-Stokes 方程组与输运调和映射热流耦合的方程组. 当忽略方向场 $ d $ 时, 系统 (1.1) 便简化为经典的 Navier-Stokes 方程. 可压缩液晶系统 (1.1) 在物理学和数学中的研究非常重要且有意义^[3], 然而由于方向场的产生, 速度场和方向场的耦合使方程组 (1.1) 增加了更强的非线性, 于是对方程组 (1.1) 的研究更具有挑战性. 文献 [4,7-9,18] 证明了强解的局部存在性和爆破准则. 对于强解的整体存在性, Hu 等^[6]在临界 Besov 空间中建立了 Cauchy 问题的整体强解的存在性, Sun 等^[22]在 $ \mathbb{R}^3 $ 中建立了属于一类新函数的小能量强解的全局存在性和唯一性. 在初始含真空的情形下, 平衡态附近的小强解的整体存在唯一性被 Li 等^[14]得到, 小能量强解的整体存在唯一性在文献 [19,21] 中得到, 接着 Liu 等^[24]把三维有界域上的结果^[19]推广到外区域. Wu 等^[28]和 Liu^[17] 考虑了小能量弱解的存在性问题. Jiang 等^[10,11]在初始能量或初始方向场上某种小的限制下建立了有限能量弱解的整体存在性, 不久 Lin 等^[15]在方向场的上半球面推广了这一结果, 去掉了小性条件的限制. 我们也可以参考文献 [1,2,5,16,25,29] 来了解可压缩向列型液晶系统的解的衰减速率及其参考文献.

受文献 [13,20,26,27] 的启发, 本文考虑方程组 (1.1) 满足以下初始和边界条件

假设初值 $ (\rho_0,u_0,d_0) $ 在平衡态 $ (\bar{\rho},0,\bar{d}) $ 附近, 我们研究初边值问题 (1.1)- (1.2) 的强解存在性问题和大时间行为.

在陈述主要结果之前, 让我们介绍一些符号, 以便在本文中使用. Sobolev 空间 $ H^m(\Omega) $ 和 $ W^{m,q}(\Omega) $ 的范数分别记为 $ \|\cdot\|_m $ 和 $ \|\cdot\|_{m,q} $, 其中 $ m\geq 0 $ 且 $ q\geq 1 $. 特别地, 对于 $ m=0 $, 我们将简单地使用 $ \|\cdot\| $ 和 $ \|\cdot\|_{L^q} $. 记

对任意整数 $ \ell\geq0 $, $ \nabla^{\ell} f $ 表示函数 $ f $ 的所有 $ \ell $ 阶导数. $ C $ 表示某个正常数, 在不同的估计中可能表示的值不同.

定理 1.1 给定一个常数 $ \bar\rho>0 $, 令 $ (\rho_0-\bar\rho,u_0,\nabla d_0)\in H^2(\Omega) $ 满足相容性条件, 即 $ \partial^\ell_t u(x,0)|_{\partial\Omega}=0 $, $ \ell=0,1 $, 且

假设存在常数 $ \delta_0 $, 使得 $ \|(\rho_0-\bar{\rho},u_0,\nabla d_0)\|_2 \leq\delta_0, $ 则初边值问题 (1.1)- (1.2) 存在唯一的全局解 $ (\rho-\bar\rho,u,d) $ 且 $ \rho>0 $, 满足

此外, 存在常数 $ C_0>0 $ 和 $ \eta_0>0 $, 使对任意的 $ t>0 $ 以下估计成立

为了证明定理1.1, 我们先利用截断函数推导有界域内部的能量估计. 由于缺少高阶的边界条件, 为此借用标准的边界拉平技巧, 在新的局部坐标下推导边界附近的高阶能量估计. 最后结合局部解的存在性和先验估计证明强解的整体存在性. 相比较可压缩 Navier-Stokes 方程组的相关结果^[20,27], 方程组 (1.1) 的动量方程和方向场的方程里出项强非线性项$ \nabla d\cdot \Delta d $ 和 $ |\nabla d|^2d $, 这需要在证明过程中对方向场做一些精细的处理和更细致的估计. 此外由于方向场的限制条件 $ |d|=1 $, 所以对方向场的能量估计从一阶导 $ \nabla d $ 开始.

这一节, 我们首先回顾一些已知的基本不等式, 这在后面的证明中会频繁使用.

引理 2.1 令 $ \Omega $ 是 $ \mathbb{R}^3 $ 中具有光滑边界的任意有界域, 则存在依赖于 $ \Omega $ 的常数 $ C>0 $, 使得

下面将给出 Stokes 问题的正则性估计 (见文献 [23]).

引理 2.2 令 $ \Omega $ 是 $ \mathbb{R}^3 $ 中具有光滑边界的有界区域, 考虑下面 Stokes 问题

其中 $ f\in H^{k+1}(\Omega) $, $ g\in H^k(\Omega)(k\geq 0) $, 则上述问题存在一个解 $ (p,u)\in H^{k+1}\times H^{k+2}\bigcap H^1_0 $, 并且满足

最后我们给出问题 (1.1)- (1.2) 的局部适定性结果, 其证明可见文献 [12], 这里不再赘述.

命题 2.1 令 $ \Omega\subset\mathbb{R}^3 $ 是一个有界域且 $ \partial\Omega\in C^3 $. 设 $ (\rho_0-\bar\rho,u_0,\nabla d_0)\in H^2(\Omega) $ 满足

$$ \inf_{x\in\bar{\Omega}}{\rho_0(x)}>0,\quad \partial^\ell_t u_0(x)|_{\partial\Omega}=0, \ell=0,1. $$

于是存在常数 $ T_1>0 $ 使得初边值问题 (1.1)- (1.2) 有唯一解 $ (\rho,u,\nabla d)(t)\in\mathcal{E}([T_1];H^2(\Omega)) $ 使得

其中常数 $ C_1>1 $, 并且

这一节, 我们建立解 $ (\rho,u,d) $ 的先验的估计. 为此, 先给出先验假设

接着, 我们将在以下几个引理中推导一系列能量估计. 首先给出 $ (\rho,u,\nabla d) $ 的低阶能量估计.

引理 3.1 在定理 1.1 和 (3.1) 式的条件下, 则对任意 $ t\geq 0 $, 存在正常数 $ C $, 使得

证 首先, 将方程 $ (1.1)_2 $ 乘以 $ u $, 再积分可得

其次 $ (1.1)_3 $ 乘以 $ \Delta d $, 再分部积分得

将方程 $ (1.1)_1 $ 进行变形为

方程 (3.5) 乘以 $ (\rho-\bar\rho)\frac{P{'}(\bar{\rho})}{\bar{\rho}} $, 再在 $ \Omega $ 上进行积分可得

结合 (3.3), (3.4) 式和 (3.6) 式, 利用 (3.1) 式, 引理 2.1, $ \rm H\ddot{o}lder $ 不等式, Poincaré 不等式以及事实 $ P^{'}(\rho)-P^{'}(\bar\rho)\sim P^{''}(\bar\rho)(\rho-\bar\rho) $, 我们有

其次, 我们推导 $ (\rho,u,\nabla d) $ 的时间导数的能量估计.

引理 3.2 在定理 1.1 和 (3.1) 式的条件下, 则对任意 $ t\geq 0 $, 存在正常数 $ C $, 使得

证 对方程 $ (1.1)_2 $, (3.5), $ (1.1)_3 $ 分别关于 $ t $ 求导, 再分别乘以 $ u_t $, $ \frac{P^{'}(\bar{\rho})}{\bar{\rho}}(\rho-\bar{\rho})_t $, $ d_t $, 并且将 $ (1.1)_3 $ 式作用 $ \nabla $, 再对 $ t $ 求导, 乘以 $ \nabla d_t $, 最后把所得的方程相加在 $ \Omega $ 上进行积分可得

注意到 $ u_t|_{\partial\Omega}=0 $, 于是利用 (3.1), $ (1.1)_1 $ 式, 引理 2.1, $ \rm H\ddot{o}lder $ 不等式和 Poincaré 不等式估计 (3.8) 式的右边各项

由于

(3.8)式右边剩下的项被如下控制

将 (3.9)-(3.17) 式代入 (3.8) 式便可得 (3.7) 式, 因此该引理证毕.

为了处理 $ (\rho,u,\nabla d) $ 空间导数的高阶能量估计, 但由于缺少 $ (u,\nabla d) $ 关于高阶导数的边界条件, 我们先推导内部估计. 令 $ \chi_0 $ 是 $ C^\infty_0(\Omega) $ 中的一个任意但固定的函数.

引理 3.3 在定理 1.1 和 (3.1) 式的条件下, 则对任意 $ t\geq 0 $, 存在正常数 $ C $, 使得

证 和引理 3.2 类似, 先将 $ (1.1)_2 $, (3.5), $ (1.1)_3 $ 式分别对 $ x_i $ 求导, 再分别乘以 $ u_{x_i}\chi_0^2 $, $ \frac{P{'}(\bar{\rho})}{\bar{\rho}}\rho_{x_i}\chi_0^2 $, $ \Delta d_{x_i}\chi_0^2 $, 最后在 $ \Omega $ 上进行积分可得

于是利用 (3.1) 式, 引理 2.1, $ \rm {H\ddot{o}lder} $ 不等式和 Poincaré 不等式依次估计 (3.20) 式的右边各项

注意到

于是,

将 (3.21)- (3.27) 式代入 (3.20) 式即可得 (3.18) 式.

再次重复上述过程, 对 $ (1.1)_2 $, (6), $ (1.1)_3 $ 式关于 $ x_i x_j $ 求导, 再分别乘以 $ u_{x_i x_j}\chi^2_0 $, $ \frac{P^{'}(\bar\rho)}{\bar\rho}$$\rho_{x_i x_j}\chi^2_0 $, $ \Delta d_{x_i x_j}\chi^2_0 $, 最后在 $ \Omega $ 上进行积分即可证得 (3.19) 式, 因此该引理证毕.

接下来, 我们需要在边界附近建立能量估计. 为此, 我们在边界附近引入一种合适的坐标变换. 选择有限个属于 $ \mathbb{R}^3 $ 有界开集 $ \{\mathcal{O}_j\}_{j=1}^N $, 使得 $ \partial\Omega\subset\cup_{j=1}^N\mathcal{O}_j $. 在每个开集 $ \mathcal{O}_j $ 中, 选择局部坐标 $ y=(y_1,y_2,y_3) $ 满足如下条件

$ \bullet \mathcal{O}_j\cap\partial\Omega $ 是光滑向量函数$ z^j(y_1,y_2)=(z^j_1,z^j_2,z^j_3)(y_1,y_2) $ 的像集, 其中 $ C $ 是与 $ j $ 无关的正常数, 满足 $ |z_{y_1}^j|=1, z_{y_1}^j\cdot z_{y_2}^j=0, |z_{y_2}^j|\geq C>0. $

$ \bullet $ 任意 $ x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathcal{O}_j $ 表示为

其中 $ n^j(y_1,y_2)=(n^j_1,n^j_2,n^j_3)(z^j(y_1,y_2)) $ 表示曲面 $ \partial\Omega $ 的点 $ z^j(y_1,y_2) $ 处的单位内法向量.

为了表述简单, 我们省略了上标 $ j $. 对于 $ k=1,2 $, 我们定义单位向量

由 Frenet-Serret 公式可知, 存在关于 $ (y_1,y_2) $ 的光滑函数 $ (\alpha_1,\beta_1,\gamma_1,\alpha_2,\beta_2,\gamma_2) $, 满足

此外, 通过简单的计算可得 (3.28) 式的雅可比行列式 $ J $

由 (3.29) 式易知, 通过选择很小的 $ y_3 $ 可使得 $ J\geq C/2 $, 从而可知 (3.28) 式的变换是正则的. 因此, $ \Psi(y):=(\Psi_1,\Psi_2,\Psi_3)(y) $ 存在反函数, 我们将其表示为 $ y=\Psi^{-1}(x) $. 进一步, 通过简单的计算, $ (y_1,y_2,y_3)_{x_i}(x) $ 表示为

其中 $ \mathcal{A}=|z_{y_2}|+\beta_2y_3 $, $ \mathcal{B}=-y_3\alpha_2 $, $ \mathcal{C}=-\beta_1y_3 $, $ \mathcal{D}=1+\alpha_1y_3 $, $ J=\mathcal{AD}-\mathcal{BC}\geq C/2. $ 显然, 由 (3.30) 式可知

并且 $ \partial_{x_i}=a_{ki}\partial_{y_k}. $

因此, 在每个 $ \mathcal{O}_j $ 中, 方程 (1) 可以在局部坐标 $ (y_1,y_2,y_3) $ 下表述为

其中

我们记切向导数 $ \partial:=(\partial_{y_1},\partial_{y_2}) $, $ \Omega^{-1}_j(y):=\{y|y=\Psi^{-1}(x),x\in\Omega_j=\mathcal{O}_j\cap\Omega\} $, 令 $ \chi_j $ 是 $ C_0^\infty(\mathcal{O}_j) $ 中任意固定的函数. 显然, 当 $ 0\leq k\leq2 $ 时, 在 $ \partial\Omega^{-1}_j $ 上 $ \chi_j\partial^k u=0 $. 利用类似于引理 3.3 的方式去估计 $ (\rho,u,\nabla d) $ 在边界处的切向导数, 我们可以得到引理 3.4.

引理 3.4 在定理 1.1 和 (3.1) 式的条件下, 则对任意 $ t\geq 0 $, 存在一个正常数 $ C $, 使得

接下来, 我们进行 $ (\rho,u,\nabla d) $ 关于边界法向导数的估计.

引理 3.5 在定理 1.1 和 (3.1) 式的条件下, 则对任意 $ t\geq 0 $, 存在一个正常数 $ C $, 使得

证 首先, 根据方程 $ \partial_{y_3}(L^{\rho}-f^0)=0 $, $ n(L^u-f^1)=0 $, 我们有

其中 (3.35) 式中 $ one\ order\ terms\ of\ u $ 表示为

(3.36) 式中 $ one\ order\ terms\ of\ u $ 表示为

为了消除 (3.36) 式中的 $ nu_{y_3 y_3} $ 项, 我们计算 $ \frac{\mu}{\bar{\rho}}\times(3.35)\,+\, (3.36) $ 得到

其中 $ one\ order\ terms\ of\ u $ 表示为

从而, 将 (3.37) 式乘以 $ \chi^2_j(\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t})_{y_3} $, 在 $ \Omega^{-1}_j $ 上进行积分可得

利用 (3.1) 式, 引理 2.1, $ \rm {H\ddot{o}lder} $ 不等式和 Cauchy 不等式, 我们估计 (28) 式的右边两项

进而将 (3.39)-(3.40) 式代入 (3.38) 式, 可以得到 (3.33) 式.

如果我们对 (3.37) 式作用 $ \partial^k\partial^\ell_{y_3} $, 并乘 以 $ \chi^2_j\partial^k\partial^{\ell+1}_{y_3}\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} $, 类似于 (3.33) 式的证明即可得到 (3.34) 式.

最后, 我们利用引理 2.2 得到 $ (\rho,u,\nabla d) $ 的高阶切向导数的估计.

引理 3.6 在定理 1.1 和 (3.1) 式的条件下, 则对任意 $ t\geq 0 $, 存在一个正常数 $ C $, 使得

证 首先将方程 $ (1.1)_{1,2} $ 改写为 Stokes 问题

根据引理 2.2 有

对 $ (1.1)_3 $ 作用 $ \nabla $, 可得

将 (3.44) 式和 (3.45) 式相加, 即可得到 (3.41) 式.

接下来, 对 $ (3.43)_2 $ 作用 $ \chi_j\partial $, 结合方程 $ (3.43)_{1,3} $, 我们有下面 Stokes 问题

根据引理2.2可知

对 $ (1.1)_3 $ 作用 $ \partial\nabla $ 可得

联合 (3.46) 和 (3.47) 式可证得 (3.42) 式, 因此该引理证毕.

现在我们开始证明定理 1.1, 证明分为四步.

${\bf 步骤一}\quad$ 我们推导 $ (\rho,u,\nabla d) $ 的 2 阶耗散估计. 设 $ D $ 是一个较大的正常数, 通过计算 $ D^2\times((3.2)+ (3.7))+D\times( (3.18)+ (3.31))+ (3.33) $, 可以推出

其中函数 $ H_1(\rho,u,\nabla d)\sim\|(u,\rho-\bar{\rho},\nabla d,u_t,\rho_t,\nabla d_t,\nabla\rho)\|^2 $. 将 $ (3.41) $ 式代入上式 (4.1), 并且利用方程 $ \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}=-\rho{\rm div}u $, 由于 $ D $ 适当大, $ \delta $ 足够小, 我们可以得到

${\bf 步骤二}\quad$ 我们推导 $ (\rho,u,\nabla d) $ 的 3 阶耗散估计. 取 $ (3.34) $ 式中的 $ \ell=0 $, 并求 和 $ D\times[2\times (3.19)+ (3.32)]+ (3.34) $, 得到

然后在 $ (3.34) $ 式中取 $ \ell=1 $, 将 $ (3.42) $ 式代入 $ (3.34) $ 式有,

将 $ D\times (4.3) $ 加上 $ (4.4) $, 可知存在 $ H_2(\rho)\sim\|\nabla^2\rho\|^2 $, 使得

${\bf 步骤三}\quad$ 我们建立 Gronwall 型的能量估计. 对 Stokes 问题 (3.43) 再次应用引理 2.2 可得到更高阶导数的估计

由 $ (1.1)_2 $ 式可得

因此, 通过对 $ D^4\times (4.2)+D\times (4.5)+ (4.6) $ 求和, 并利用 (4.7) 式, 我们发现存在函数 $ H_3(\rho,u,\nabla d)\sim\|(\rho,u,\nabla d)\|^2_2+\|(\rho_t,u_t,\nabla d_t,\nabla^2 d_t)\|^2 $, 使得

于是运用 Gronwall 不等式, 由 (4.8) 式可直接得到 (1.3) 式.

${\bf 步骤四}\quad$ 局部解延拓到全局. 假设初值 $ (\rho_0-\bar\rho,u_0,\nabla d_0)\in H^2(\Omega) $ 满足

其中 $ C_0>1 $, $ C_1>1 $, $ \delta>0 $ 是 (1.3) 式, 命题 2.1, (3.1) 式中出现的常数. 显然

由命题 2.1 可知存在常数 $ T_1>0 $, 使得初边值问题 (1.1)- (1.2) 有唯一局部解 $ (\rho,u,\nabla d)\in\mathcal{E}([T_1];H^2) $, 且对任意 $ t\in[T_1] $, 有

由 (4.10), (1.3) 式和 (4.9) 式可得对任意 $ t\in[T_1] $, 有

特别地,

于是, 取 $ T_1>0 $ 作为新的初始时刻, 根据命题2.1, 则初边值问题 (1.1)- (1.2) 存在唯一的局部解 $ (\rho,u,\nabla d)\in\mathcal{E}([T_1,T_2];H^2) $ 使得

利用 (4.10)- (4.13), 我们便将解从 $ [T_1] $ 延拓到 $ [0, 2T_1] $, 且

类似于 (1.3) 式的证明, 由 (4.14) 式可知对任意 $ t\in[0, 2T_1]$, 有

继续重复上述步骤, 即可将局部解扩展到全局解, 从而定理 1.1 的证明完成.