长途通信电缆是传输线技术最早期的研究对象. 通过将其视为由一系列集总元件构成的极限情况, 可以推导出分布参数电路模型. 对于传输线而言, 由于电路参数的不同分布, 可分为均匀传输线和非均匀传输线. 当电路参数沿线均匀分布时, 称为均匀传输线, 对于均匀传输线的研究已经有大量文献^[1-3]. 而电路参数沿线变化的传输线称为非均匀传输线, 在实际情况中, 由于元件之间的相互作用或环境影响, 例如不同电磁环境以及地势的起伏等不可避免的原因, 所以传输线都是非均匀传输线. 对于非均匀传输线的研究, 在文献 [4] 中, 文章利用二维小波变换求解时域非均匀传输线方程的代数解. 该文首先将非均匀传输线方程在时间和空间两个维度分别进行小波展开, 通过对原始偏微分方程直接进行积分运算, 并结合小波基的正交性, 将其重写为 Lyapunov 形式的代数系统. 对于多导体系统, 将系统参数扩展为矩阵形式, 并调整积分算子的维度, 然后进行求解, 最后通过数值模拟分别得出单导体和多导体系统的代数解. 文献 [5] 研究的是非均匀多导体传输线的谱模型, 文章假设传输线仅支持准电磁模式传播, 首先将非均匀传输线电报方程变换为斯特姆-刘维尔问题, 其次利用均匀传输线问题的格林函数和本征函数作为基函数将非均匀问题的解进行展开, 然后利用格林函数展开构建传输线的宏模型, 从而对宏模型进行时域分析, 最后通过数值结果证实了方法的准确性.

由于非均匀传输线方程的模型参数是随空间位置变化而变化的, 所以它属于一类典型的具有变系数的双曲偏微分方程. 对于具有变系数的偏微分方程的边界控制和稳定性分析, 许多学者进行了深入的研究^[6-8]. 在文献 [9] 中, 研究了非均匀线性 $2\times2$ 双曲型系统在有界区间上的边界稳定性问题, 文章构造了某一常微分方程的解函数, 利用解函数证明了二次 Lyapunov 函数的存在性, 并且得出了边界反馈控制参数的显式条件. 文献 [10] 针对具有非一致稳态的速度-密度双曲型系统, 以等熵欧拉方程和圣维南方程为例, 通过调控加权函数来消除对系统参数的限制, 建立了适当的耗散边界条件, 使得系统达到局部指数稳定. 文献 [11] 研究了具有任意摩擦和空间变化坡度的非线性圣维南方程的指数稳定性问题. 通过特征坐标变换和坐标缩放, 将线性化后的方程转换为对角化形式, 构造显式的二次 Lyapunov 函数, 证明其在 $L^2$ 范数下的指数稳定性. 文献 [12] 分析了一维变系数热弹性系统的 Riesz 基性质和指数稳定性, 首先证明了系统的适定性, 其次利用矩阵束方法, 得到了特征值和特征函数的渐近表达式, 证明了存在一列广义本征函数, 形成 Hilbert 状态空间的一组 Riesz 基, 最后验证谱确定增长条件成立, 因此系统指数稳定. 在文献 [13] 中, 文章研究了在静态边界输入控制器下, 具有非光滑系数的一阶线性双曲型方程组边界镇定问题和稳定性问题. 利用正则化技术和特征线方法相结合, 以及指数稳定性分析方法证明了闭环系统的稳定性.

本文结构安排如下: 第 2 节首先建立非均匀传输线方程模型, 通过黎曼坐标变换将其转化为 $2\times2$ 变系数双曲系统. 随后对该系统进行进一步的坐标变换, 最终导出系统 (2.10), 并将其改写为抽象发展方程的形式. 在第 3 节中, 利用半群理论和等价范数定理得出反馈参数的耗散条件, 且对系统算子进行谱分析, 利用矩阵束方法得出特征值的渐近表达式. 在第 4 节中, 给出了反馈参数耗散性条件的数值举例, 证明了定理 3.1 的不等式约束条件的可行性.

非均匀传输线方程可由如下具有变系数的 $2\times2$ 线性双曲平衡律系统进行描述

其中, $ t\in(0,+\infty) $ 表示时间, $ x\in[l] $ 代表传输距离, $ I(t,x) $ 是电流强度, $ V(t,x) $ 是电压, $ L(x) $ 表示导线的自感系数 (即导线的自感量), $ C(x) $ 表示输电线路的电容, $ R(x) $ 是导体电阻, $ G(x) $ 表示的是分离两导体的绝缘体材料的导纳. 方程组 (2.1) 的边界条件为

其中, $ R_{0} $ 是电源的内部电阻, $ R_{L} $ 是负载, $ U(t) $ 是控制输入电压. 设 $ I^{*} \left ( x \right ) $ 与 $ V^{*} \left ( x \right ) $ 为系统 (2.1) 的稳定状态, 则满足

$$ \partial_x V^{*} \left ( x \right ) +R(x) I^{*} =0,\;\;\partial_x I^{*} \left ( x \right ) +G(x) V^{*} =0. $$

由稳态满足边界条件 (2.2)可得 $ V^{\ast }(l)-R_{L}I^{\ast }(l)=0 $, 并记 $ U^{\ast }\doteq V^{\ast }(0)+R_{0}I^{\ast }(0). $ 在接下来的工作中, 考虑边界条件输入电压 $ U(t)\equiv U^{\ast} $ 的情形, 即边界条件 (2.2) 为

作黎曼坐标变换

则系统 (2.1), (2.3) 在黎曼坐标系下可转化为如下 $ 2\times2 $ 变系数双曲型系统的形式

其中

显然, $ |k_1|<1 $, $ |k_2|<1 $. 记初始条件为 $ R_{1}(0,x)=R_{10}(x), R_{2}(0,x)=R_{20}(x). $

对系统 (2.5) 进行坐标变换, 令 $ \varphi_{1}(x)={\rm e}^{\int^{x}_{0}\frac{\gamma_{1}(s)}{\lambda(s)}{\rm d}s},\;\varphi_{2}(x)={\rm e}^{\int^{x}_{0}-\frac{\delta_{2}(s)}{\lambda(s)}{\rm d}s},\; \varphi(x)=\frac{\varphi_{1}(x)}{\varphi_{2}(x)}. \nonumber $ 定义新变量

通过坐标变换, 系统 (2.5) 转换为

其中

且初始条件为 $ y_{10}(x)=\varphi_{1}(x)R_{10}(x), y_{20}(x)=\varphi_{2}(x)R_{20}(x). $

不失一般性, 以下设 $ l=1 $. 设 Hilbert 状态空间为

其内积定义为

其中, $ X_{i}=(f_{i},g_{i} ) \in \mathcal{H}\;\;(i=1,2) $, $ \overline{f} $ 是 $ f $ 的共轭.

定义线性算子 $ \mathcal{A}:\;D(\mathcal{A})\subseteq \mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H} $ 如下

于是, 系统 (2.10) 可改写为抽象发展方程形式

其中, $ X(t)=(y_{1}(t,\;\;\cdot),\;\;y_{2}(t,\;\;\cdot)) $.

由文献 [14] 附录 A 关于双曲系统柯西问题解的适定性证明可知, 如果系统 (2.10) 的初始条件满足边界相容性条件

则系统 (2.10) 是适定的. 下面讨论系统算子的耗散性以及特征值的渐近表达式.

在本节中, 对 $ \forall Z_{1}=(f_1,g_1), Z_{2}=(f_2,g_2)\in \mathcal{H} $, 定义一个新内积

其中

且 $ p_{1}(0), p_{2}(1), q_{1}, q_{2} $ 都为正常数.

假设存在正常数 $ \nu_{1}, \nu_{2}, G $ 使得

令 $ \varepsilon>0 $, 引入以下符号

定理 3.1 设算子 $ \mathcal{A} $ 由 (2.14), (2.15) 式给出, 对 $ \forall Z_{1}, Z_{2}\in \mathcal{H} $, (3.1) 式给出的内积 $ \langle\cdot,\cdot\rangle_{1} $ 是 $ \mathcal{H} $ 上的一个新内积, 由它所诱导的范数等价于由 (2.13) 式所诱导的范数. 若存在正常数 $ \varepsilon,\eta $ 使得反馈参数 $ \hat{k}_{1},\hat{k}_{2} $ 满足

其中, $ \eta,h_{1},h_{2} $ 由 (3.3) 式给出. 则系统算子 $ \mathcal{A} $ 是耗散的, 且系统 (2.10) 是指数稳定的.

证 由内积的定义和等价范数定理, 第一个结论是显然的. 接下来证明算子 $ \mathcal{A} $ 的耗散性. 对 $ \forall Z=(f,g)\in D(\mathcal{A}), $ 考虑

令

所以 $ 2{\rm Re}\langle \mathcal{A}Z,Z\rangle_{1}=-I_{1}-I_{2}. $

对于 $ I_{1} $, 总存在常数 $ p_{1}(0), p_{2}(1) $, 使得

从而, $ I_{1}>0. $ 此外, 求解 (3.8) 式可得

其中, $ m $ 由 (3.3) 式给出.

对于 $ I_{2} $, 首先, $ q_{1}>0 $. 其次, 考虑到 $ \max\limits_{x\in [0,1]} x=1,\;\;\max\limits_{x\in [0,1]} (1-x)=1, $ 并结合 (3.2) 式和 (3.9) 式可知

所以, 结合不等式放缩以及 (3.3) 式可得

由条件 (3.4), 可知 (3.11) 式大于 0. 从而二次型 $ I_{2} $ 的矩阵为正定矩阵, 即 $ I_{2}>0 $.

因此, 存在某个正常数 $ \sigma $ 使得 Re$\langle \mathcal{A}Z,Z\rangle_{1}\leq-\sigma\langle Z,Z\rangle_{1}<0 $, 即系统算子 $ \mathcal{A} $ 是耗散的, 且系统 (2.10) 是指数稳定的.

考虑 $ \mathcal{A} $ 的特征值问题 $ \mathcal{A}X=\mu X,\;\;X=(f,g)\in D(\mathcal{A}), $ 即

通过计算, 可得到

下面利用矩阵束方法求解特征值的渐近表达式. 令

(3.13) 式转换成一阶矩阵微分方程

其中

定理 3.2 设算子 $ \mathcal{A} $ 由 (2.14), (2.15) 式给出, $ M(x,\mu) $ 由 (3.16) 式给出. 对于任意 $ x\in[0,1] $, 令

系统 (3.15) 存在一个基本解矩阵 $ \hat{\Psi}(x,\mu) $, 满足

且当 $ |\mu| $ 充分大时, $ \hat{\Psi}(x,\mu) $ 有以下渐近表达式

其中

且 $ \hat{\Psi}_{i}(x)(i=1,2,\cdots) $ 在 $ [0,1] $ 上一致有界.

证 容易验证, $ E(x,\mu) $ 是方程

的基本解矩阵. 下面证明 (3.21) 式是方程 (3.20) 的基本解矩阵. 对 (3.21) 式关于 $ x $ 求导, 得到

结合 (3.20) 和 (3.21) 式可得

对比 (3.25) 和 (3.26) 式右侧关于 $ \mu $ 不同次数的系数, 可得

由 (3.27) 式可知 $ \hat{\Psi}_{0}(x) $ 必为对角矩阵, 不妨设

$$ \hat{\Psi}_{0}(x)=\begin{pmatrix} \varphi _{1}(x) & 0\\ 0&\varphi _{2}(x)\end{pmatrix}. $$

此外, 令

$$ \hat{\Psi}_{1}(x)=\begin{pmatrix} \varphi _{11}(x) & \varphi _{12}(x)\\ \varphi _{21}(x)&\varphi _{22}(x)\end{pmatrix},\;\;\hat{\Psi}_{2}(x)=\begin{pmatrix} m_{1}(x) & m_{2}(x) \\ m_{3}(x) &m_{4} (x)\end{pmatrix}, $$

求解矩阵微分方程 (3.28) 可得

其中, $ C_{1},C_{2} $ 是任意常数. 将 (3.30) 式代入 (3.29) 式, 可得

其中 $ C_{11},C_{22} $ 是任意常数.

不失一般性, 令 $ C_{1}=C_{2}=1, C_{11}=C_{22}=0 $, 则

$$ \hat{\Psi}_{0}(x)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &1\end{pmatrix},\;\; \hat{\Psi}_{1}(x)=\begin{pmatrix}\int_{0}^{x}\frac{a(s)b(s)}{2\lambda (s)}{\rm d}s & -\frac{a(x)}{2} \\ -\frac{b(x)}{2} &-\int_{0}^{x}\frac{a(s)b(s)}{2\lambda (s)}{\rm d}s \end{pmatrix}, $$

以此类推, $ \hat{\Psi}_{i}(x)\;\;(i=2,3,\cdots) $ 亦可求得. 结合 (3.2) 式易知, $ \hat{\Psi}_{i}(x)(i=1,2,\cdots) $ 在 $ [0,1] $ 上一致有界.

下面针对 (3.21) 式中基本解矩阵的两种不同近似精度 $ \mathcal{O}(\mu^{-1}) $ 和 $ \mathcal{O}(\mu^{-2}) $, 计算相应特征值的渐近表达式. 为了方便论述, 引入记号: $ [a]_{1}=a+\mathcal{O}(\mu^{-1}),\;[a]_{2}=a+\mathcal{O}(\mu^{-2}). $

首先考虑一阶近似精度的情形, 即

定理 3.3 设算子 $ \mathcal{A} $ 由 (2.14), (2.15) 式给出. 则系统的特征方程为

其中, $ F_{1}(1,\mu ),F_{2}(1,\mu ) $ 由 (3.19) 式可得. 进而, 特征值的渐近表达式为

证 简单计算可得 (3.33) 式显然成立. 由 $ \Delta(\mu)=[-1]_{1}F_{2}(1,\mu)+[\hat{k}_{1}\hat{k}_{2}]_{1}F_{1}(1,\mu)=0 $ 可得

根据儒歇定理^[15], 即得特征值的渐近表达式 (3.34).

下面考虑二阶近似精度的情形, 即

引理 3.1 设算子 $ \mathcal{A} $ 由 (2.14), (2.15) 式给出, 则系统的特征方程为

其中

定理 3.4 设算子 $ \mathcal{A} $ 由 (2.14), (2.15) 式给出. 对于 (3.37) 式相应特征值的渐近表达式为

其中

证 对 (3.37) 式进行渐近分析可得

其中, $ m_{0}=\hat{k}_{1}\hat{k}_{2}, $

在 (3.34) 式的基础上, 不妨设

将 $ \mu_{n} $ 代入 (3.40) 式的左侧, 并且对右侧进行渐近分析, 进而有

由一阶泰勒公式可知, $ {\rm e}^{A\cdot \frac{1}{n}}=1+\frac{A}{n}+\mathcal{O}(n^{-2}) $, 则式 (3.42)为

$$ \hat{k}_{1}\hat{k}_{2}+\hat{k}_{1}\hat{k}_{2}\cdot \frac{A}{n}+\mathcal{O}(n^{-2})=m_{0}+(m_{1}-m_{0}n_{1})\frac{1}{n}+\mathcal{O}(n^{-2}), $$

从而可得系数 $ A $ 的表达式 (3.39). 因此, 结合 (3.41) 式即可得特征值的渐近表达式 (3.38).

在本节中, 对于非均匀传输线方程 (2.1) 进行数值举例, 从而证明定理 3.1 中条件 (3.4) 的可行性. 不妨设系统 (2.1) 为指数型非均匀传输线方程, 令

$$ L(x)=\mathrm{e}^{0.05x},\; C(x)=\mathrm{e}^{-0.05x},\; G(x)=0.1\mathrm{e}^{-0.05x},\; R(x)=0.1\mathrm{e}^{0.05x}, $$

且令边界条件 (2.3) 中内部电阻 $ R_{0}=\frac{13}{7}, $ 负载 $ R_{L}=\frac{\mathrm{e}^{0.025}+0.4\mathrm{e}^{0.225}}{\mathrm{e}^{-0.025}-0.4\mathrm{e}^{0.175}} $. 进而, 结合 (2.6)-(2.8) 式以及 (2.11) 式计算可得

$$ \hat{k}_{1}=0.3,\;\hat{k}_{2}=0.4,\; a(x)=0.025\mathrm{e}^{0.2x},\;b(x)=-0.025\mathrm{e}^{-0.2x}, \;\lambda(x)=1, $$

则 $ \underset{x\in[0,1] }{\max }|a(x)|\approx0.03,\underset{x\in[0,1] }{\max }|b(x)|\approx 0.025,\underset{x\in[0,1] }{\max }|\lambda(x)|=1 $. 由 (3.2) 式可令

$$ \nu_{1}=0.05,\;\nu_{2}=0.05,\; G=1.2, $$

则由 (3.3) 式可得

$$ m=1-\hat{k}_{1}^{2}\hat{k}_{2}^{2}=0.9856,\;h_{1}=\frac{0.0654\varepsilon+0.124536}{0.9856},\;\;h_{2}=\frac{0.0696\varepsilon+0.128736}{0.9856}. $$

不妨取参数 $ \varepsilon=0.1, \eta=0.5 $, 易验证满足条件 (3.4). 因此, 系统算子是耗散的. 图1 展示了系统 (2.10) 的稳定性, 其中初始条件为 $ y_{1}(0,x)= 12\mathrm{cos}(2\pi x)+6\mathrm{sin}(2\pi x),\;y_{2}(0,x)= 12\mathrm{cos}(2\pi x)+5x$.