经典的极值理论是研究随机序列最大值和最小值相关极限性质的一门学科. 设 $\{X_{n},n\geq 1\}$ 是一列同分布的实值随机变量, 具有边际分布函数 $F(x)$. %记$M_{n} =\max\left \{ X_{1},X_{2}, \cdots,X_{n} \right \}$, $W_{n} =\min\left \{ X_{1},X_{2}, \cdots,X_{n} \right \}$. 若存在实数序列 $ a_{n}>0, b_{n}, c_{n}>0, d_{n}, $ 使得对任意 $ x,y\in \mathbb{R} $,

和

成立, 其中 $ u_{n}(x)=a_{n}x +b_{n}, v_{n}(y)= c_{n}y +d_{n} $, 则 $ G_{1} (x) $ 和 $ G_{2} (-x) $ 必为如下三大极值类型分布之一

上述的经典结果及其相关推广可参考文献 [1] 和 [2] 等.

在现实生活中, 我们常常需要同时关注最大值与最小值, 例如, 在气象预报中, 需要同时关注最低气温和最高气温; 在金融领域, 需要同时考虑金融证券的最高价格和最低价格等. 因此, 许多研究者进一步研究了最大值与最小值联合的相关极限性质.

对于独立同分布随机序列, 文献 [1,定理 1.8.3] 和文献 [2,定理 2.9.1] 证明了最大值与最小值之间是渐近独立的. 对于相依情形, 文献 [3-6] 在一定条件下详细地研究了最大值与最小值之间的渐近关系. 设 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 是一列平稳随机变量, 并满足相依条件 $ D(u_{n},v_{n}), C_{1} (u_{n},v_{n}) $ (定义见第二节), 文献 [3] 首次探讨了极限

存在的充分必要条件, 其中 $ M_{n} =\max\left \{ X_{1},X_{2}, \cdots,X_{n} \right \} $, $ W_{n} =\min\left \{ X_{1},X_{2}, \cdots,X_{n} \right \} $. 文献 [4-6] 则进一步拓展了文献 [3] 的研究. 文献 [7] 获得了一类具有均匀边际分布的自回归过程最大值与最小值的联合极限分布, 而文献 [8] 则在一类局部相依条件下探讨了最大值与最小值的渐近关系. 文献 [9-11] 研究了随机缺失情形下最大值与最小值的渐近关系. 文献 [12,13] 证明了最大值与最小值联合的几乎处处中心极限定理. 文献 [14] 则在一定条件下获得了上极值次序统计量与下极值次序统计量的联合极限分布, 同时也探讨了最大值与最小值位置的渐近关系. 文献 [15] 利用超过数点过程获得了一类尺度高斯序列上极值次序统计量与下极值次序统计量的联合极限分布. 文献 [16,17] 则研究了二维高斯三角列的最大值与最小值的极限性质. 关于其他随机过程最大值与最小值的联合极限性质的最新研究进展可参考文献 [18-21].

在应用中, 由于样本随机丢失时有发生, 我们获得的样本的样本容量常常是随机的. 因此, 探讨随机样本容量情形下的最大值与最小值的联合极限性质是一件非常有意义的工作.

最近, 文献 [22] 研究了随机样本容量情形下独立同分布随机序列最大值与最小值的联合极限分布. 设 $ \{X_{n},n\geq 1\} $ 是一列独立同分布的实值随机变量, $ N(n) $ 是一列取值为正整数值随机变量, 满足, 当 $ n\to \infty $ 时,

其中 $ \tau $ 是正值随机变量. 进一步假设 $ \{X_{n},n\geq 1\} $ 与 $ N(n) $ 相互独立. 若存在实数序列 $ a_{n}>0, b_{n}, c_{n}>0, d_{n}, $ 使得对任意 $ x,y\in \mathbb{R} $, (1.1) 式和 (1.2) 式成立, 则有

关于随机样本容量情形下极值及其相关对象的极限分布的研究可参考文献[1,23-30] 及其参考文献.

在实际应用中, 文献 [22] 的主要结果的条件太苛刻, 本文将从以下三个方面对其进行推广. 其一, 我们将假设随机变量序列 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 具有一定的相依性; 其二, 我们将舍去 $ \{X_{n},n\geq 1\} $ 与 $ N(n) $ 相互独立这一非常强的限制条件; 其三, 我们不仅考虑最大值与最小值的联合极限分布, 而且也将考虑上极值次序统计量与下极值次序统计量的联合极限分布.

在本文中, 设 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 是一列平稳的随机变量, $ N(n) $ 是一列取值为正整数值随机变量, 满足, 当 $ n\to \infty $ 时,

其中 $ \tau $ 是正值随机变量. 值得指出的是, 本文使用的条件 (1.6) 比文献 [22,条件 (1.4)] 稍强. 事实上, 这是舍去 $ \{X_{n},n\geq 1\} $ 与 $ N(n) $ 之间独立性的必要条件, 详见文献 [1,23,27]. 在一定相依条件下, 本文第二节推导了 $ M_{N(n)} $, $ W_{N(n)} $ 之间的渐近关系. 对 $ 0<b\le 1 $, 定义

$$ S_{N(n)} [u_{n} (x)]((0,b])=\sum_{i=1}^{N(n)} I(X_{i} >u_{n} (x))\delta_\frac{{i} }{N(n)} ((0,b]), $$

$$ R_{N(n)} [v_{n} (y)]((0,b])=\sum_{i=1}^{N(n)} I(X_{i} \le v_{n} (y))\delta_\frac{{i} }{N(n) } ((0,b]), $$

其中 $ I(\cdot) $ 表示示性函数, $ \delta_{a}(\cdot) $ 表示在 $ a\in \mathbb{R} $ 处的 Dirac 测度. 第 3 节首先建立了 $ S_{N(n)} [u_{n} (x)]((0,$$b]) $ 与 $ R_{N(n)} [v_{n} (y)]((0,b]) $ 之间的渐近关系, 然后利用其推导了 $ M^{(k_{1} )} _{N(n)} $, $ W^{(k_{2} )} _{N(n)} $ 之间的渐近关系, 其中 $ M^{(k_{1} )} _{N(n)} $ 和 $ W^{(k_{2} )} _{N(n)} $ 分别表示 $ \{X_{1},\cdots, X_{N(n)}\} $ 中的第 $ k_{1} $ 个最大值和第 $ k_{2} $ 个最小值. 上述的结论推广了文献 [22] 的主要结果.

本节将研究一类弱混合随机序列在随机样本容量情形下最大值与最小值联合极限性质. 首先给出弱混合随机序列的定义.

定义 2.1 设 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 是一列平稳的随机变量, $ u_{n} $, $ v_{n} $ 是实数序列. 对于任意整数 $ n $ 和任意的整数 $ 1\leq i_{1} <\cdots<i_{p} <j_{1} <\cdots<j_{q}\leq n $, $ j_{1}-i_{p}\geq l $ 有

如果对于某些序列 $ l=l_{n}=o(n) $, $ \alpha _{n,l} $ 关于 $ l $ 是非增的且 $ \lim_{n\to \infty}\alpha_{n,l}=0 $, 则称 $ D(u_{k},v_{k}, u_{n},v_{n}) $ 条件成立.

注 2.1 i) 当 $ u_{k}\equiv u_{n} $, $ v_{k}\equiv v_{n} $ 时, $ D(u_{k},v_{k}, u_{n},v_{n}) $ 条件即为文献 [3] 中的 $ D(u_{n},v_{n}) $ 条件;

ii) $ D(u_{k},v_{k}, u_{n},v_{n}) $ 是非常弱的相依条件, 许多经典的相依序列均满足该条件. 例如满足 Berman 条件的平稳高斯序列和卡方序列; 满足一定条件的高斯线性过程和 Farlie-Gumbel-Morgenstern 随机序列等, 详见文献 [10,例 4.1-例 4.4].

定义 2.2 设 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 是一列平稳的随机变量, 并且 $ u_{n} $, $ v_{n} $ 是实数序列. 定义

其中 $ \left \lfloor x\right \rfloor $ 表示 $ x $ 的整数部分. 如果当 $ k\to \infty $ 时, $ \limsup_{n \to \infty} S_{nk}^{(1)}=o(1/k) $, 则称 $ C_{1} (u_{n},v_{n}) $ 条件成立.

$ C_{1} (u_{n},v_{n}) $ 条件来自于文献 [3,4], 其主要作用是保证最大值与最小值之间的渐近独立性.

定理 2.1 设 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 是一列平稳的随机变量, 具有连续的边际分布函数 $ F(x) $, 并满足以下条件

(i) 对任意 $ x,y\in \mathbb{R} $, 存在实值常数 $ a_{n}>0, b_{n}, c_{n} >0, d_{n} $ 使得 (1.1) 式和 (1.2) 式成立;

(ii) $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 满足 $ D(u_{k}, v_{k}, u_{n}, v_{n}) $ 和 $ C_{1} (u_{n},v_{n}) $ 条件, 其中 $ u_{n}=u_{n}(x)=a_nx+b_n $, $ v_{n}=v_{n}(y)=c_ny+d_n $;

(iii) 设 $ N(n) $ 是一列取值为正整数值随机变量, 满足 (1.6) 式, 即当 $ n\to \infty $ 时, $ \frac{N(n)}{n} \overset{P}{\rightarrow} \tau $, 其中 $ \tau $ 是正值随机变量, 则有

推理 2.1 在定理 2.1 的条件下, 有

注 2.2 i) 推论 2.1 与文献 [22] 的主要结论 (定理 2.1) 是一致的. 推论 2.1 中的随机序列 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 是相依的, 并且不要求 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 与 $ N(n) $ 之间的独立性, 因此, 推论 2.1 推广了文献 [22] 的主要结论.

ii) 如果把定理 2.1 的条件 (iii) 替换为 (1.4) 式, 并进一步假设 $ \{X_{n},n\geq 1\} $ 与 $ N(n) $ 相互独立, 则定理 2.1 的结论仍然成立. 该结果的证明方法与定理 2.1 的方法完全不一样, 由于篇幅所限, 该问题将在另一篇文章中解决.

极差是许多应用领域尤其是金融领域中的一个非常重要的工具, 详见文献 [31] 及其参考文献. 令 $ T_{n}=M_n-W_n $ 和 $ T_{N(n)}=M_{N(n)}-W_{N(n)} $ 分别表示随机序列 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 的前 $ n $ 个和前 $ N(n) $ 个随机变量的极差. 文献 [1,定理 2.9.2] 和文献 [22,定理 3.2] 分别给出了独立同分布随机序列极差 $ T_{n} $ 和 $ T_{N(n)} $ 的极限分布, 下面的定理 2.2 则考虑了相依随机序列极差 $ T_{N(n)} $ 的极限分布.

定理 2.2 在推论 2.1 的条件下, 如果 $ N(n) $ 与 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 相互独立, 并且当 $ n\to \infty $ 时, $ \frac{N(n)}{n} \overset{P}{\rightarrow} \theta $, 其中 $ \theta>0 $ 是常数, 则有

注 2.3 定理 2.2 将文献[22,定理 3.2] 从独立情形推广到了相依情形.

我们将借助下面几个引理来完成定理 2.1 的证明.

引理 2.1 设随机变量序列 $ U_{n},V_{n} $ 满足

其中 $ T(x,y) $ 是一个实值函数. 如果对满足 $ P\left ( U_{k} \le x,V_{k}>y \right ) > 0 $ 的 $ x $ 和 $ y $ 以及固定的常数 $ k\in \mathbb{N} $, 在 $ T(x,y) $ 的连续点处, 有

则对任意事件 $ B $,

其中 $ T\left ( x,y \right ) $ 不依赖于 $ B $.

注 2.4 满足引理 2.1 条件的随机序列被称为混合的, 这种混合性在概率领域扮演着非常重要的角色, 该定义由文献 [32] 提出, 后续被很多学者用来处理具有随机样本容量的统计量的极限问题, 详见文献 [1].

证 该引理是文献 [1,引理 6.2.1] 的二维情形, 证明与之相似, 故略去.

引理 2.2 对任意 $ x,y\in \mathbb{R} $, 设存在实值常数 $ a_{n}>0, b_{n}, c_{n} >0, d_{n} $ 使得 (1.1) 式和 (1.2) 式成立. 设 $ N(n) $ 是一列取值为正整数值随机变量, 满足当 $ n\to \infty $ 时, $ \frac{N(n)}{n} \overset{P}{\rightarrow} \tau, $ 其中 $ \tau $ 是正值随机变量, 则依概率有

其中 $ \mathcal{A} _{t } $, $ \mathcal{B } _{t } $ 由关系 $ G_{1} ^{t } \left ( x \right )=G_{1} \left ( \mathcal{A} _{t}x+\mathcal{B} _{t}\right ) $ 式所定义, $ \mathcal{C} _{t } $, $ \mathcal{D} _{t } $ 由关系 $ G_{2} ^{t } \left (y \right ) =G_{2} \left (\mathcal{C} _{t}y+\mathcal{D} _{t} \right ) $ 式所定义, 并且 $ \mathcal{A} _{t } $, $ \mathcal{B } _{t } $, $ \mathcal{C} _{t } $, $ \mathcal{D} _{t } $ 是关于 $ t $ 的连续函数.

证 第一个结论的证明参考文献 [1,引理 6.2.4], 第二个结论的证明是类似地.

引理 2.3 如果定理 2.1 的条件 (i) 和 (ii) 成立, 则对任意 $ x,y\in \mathbb{R} $, 有

证 注意到 $ D(u_{k}, v_{k}, u_{n}, v_{n}) $ 条件蕴含着文献 [3] 中的 $ D(u_{n},v_{n}) $ 条件, 所以由文献 [3,定理 3.3] 可得引理 2.3 结论成立.

对 $ 0\leq k\leq n-1 $, $ M_{k, n}^{(l)} $ 和 $ W_{k, n}^{(l)} $ 将分别表示 $ \{X_{k+1}, X_{k+2},\cdots,X_{n} \} $ 中第 $ l $ 个最大值和第 $ l $ 个最小值, 其中 $ M_{0, n}^{(1)}=M_{n}, W_{0, n}^{(1)}=W_{n} $.

引理 2.4 如果定理 2.1 的条件 (i) 和 (ii) 成立, 则对任意事件 B, 有

证 首先, 由文献[3,引理 3.2] 可知, 在 $ D(u_{k}, v_{k}, u_{n}, v_{n}) $ 和 $ C_{1} (u_{n},v_{n}) $ 条件下, 对任意 $ x,y\in \mathbb{R} $, 有

因此, 对任意固定的 $ k $, 有

因此, 结合引理 2.1 和引理 2.3 可知, 为证 (2.6) 式, 只需证明

记

利用三角不等式可得

对于 (2.9) 式右端第一项, 有

由 (2.7) 式和 $ \lim_{n \to \infty} \frac{l_{n} }{n}=0 $, 可知

所以 $ \lim_{n \to \infty }\Big|P(A_{1})-P(A_{2}A_{4})\Big|=0. $ 对 (2.9) 式右端第二项, 根据 $ D (u_{k},v_{k},u_{n},v_{n}) $ 条件, 有

由第一项求解可知, 对 (2.9) 式右端第三项, 有

综上可知 (2.8) 式成立, 进而 (2.6) 式得证.

引理 2.5 在定理 2.1 的条件下, 对任意事件 B, 有

证 令 $ \varepsilon $ 是一个大于 0 的任意实数, 并选择 $ y_{1}<y_{2} $ 使得 $ P(y_{1}\le \tau <y_{2} )\ge 1-\varepsilon $. 由定理 2.1 的条件 (iii) 可知, 存在 $ n^{*} $, 当 $ n\ge n^{*} $ 时, 有 $ P(y_{1}\le N(n)/n <y_{2} )\ge 1-2\varepsilon $. 固定 $ y_{1} $, $ y_{2} $, 将区间 $ [y_{1}, y_{2}] $ 按点 $ y_{1}=s_{0}<s_{1} <\cdots<s_{m} = y_{2} $ 进行划分. 令 $ n(j)=\lfloor ns_{j}\rfloor $, 则有

由引理 2.5 条件可知, 用 $ \tau $ 将上式中的 $ \frac{N(n)}{n} $ 进行替换, 同时用 $ 3\varepsilon $ 替换 $ 2\varepsilon $, 上式仍然成立. 注意到

如果选择的点 $ s_{j} $, $ 0\le j\le m $, 足够接近, 则对于足够大的 $ n $, 有

其中 $ \delta _{1} $, $ \delta _{2} $ 是大于 0 的任意实数. 如果 $ n(j) $ 被 $ n(j-1) $ 替代, 上式结论仍然成立, 因此有

进而, 利用引理 2.4, 可得

注意到

由 $ G_{1}(x) $ 和 $ G_{2}(y) $ 的连续性, 及 $ \varepsilon>0 $, $ \delta _{1}>0 $, $ \delta _{2}>0 $ 的任意性, 令 $ \varepsilon \downarrow 0 $, $ \delta _{1} \downarrow 0 $, $ \delta _{2} \downarrow 0 $, 即可完成引理的证明.

$\textbf{定理 2.1的证明}\quad$ 设 $ s_{0} <s_{1} <\cdots<s_{m} $ 是如引理 2.5 所给定的实数值. 定义事件 $ D_{k} =\left \{ s_{k-1} \le \tau <s_{k} \right \} $, $ 1\le k\le m $, 令 $ D_{0} =\left \{ \tau <s_{0}\right\} $ 和 $ D_{m+1} =\left \{ \tau \ge s_{m}\right\} $. 则由引理 2.5 可知, 当 $ n\rightarrow\infty $ 时, 对 $ 0\le k\le m+1 $ 有

注意到

和

由 (2.4) 式和 (2.5) 式可知, (2.12) 式和 (2.13) 式最后一项趋于 0. 对 (2.12) 式和 (2.13) 式中的倒数第二项, 我们有

和

其中 $ r_{1} $, $ r_{2} $ 为任意正实数. 当 $ r_{1}\to \infty $ 时, 由 (2.10), (2.12) 式和 (2.4) 式知, (2.14) 式中第一项都趋于 0; 当 $ r_{2}\to \infty $ 时, 同理可得 (2.15) 式中第一项也趋于 0. 再次由 (2.4) 式和 (2.5) 式知, (2.14) 式和 (2.15) 式中最后一项也趋于 0. 因此, 当 $ n\to \infty $ 时, (2.11) 式可以改写为

对于 $ 1\le k\le m $, 令 $ s(k) $ 是 $ (s_{k-1},s_{k}] $ 中固定的点, 由引理 2.2 和 (2.16) 式可知, 当 $ n\to \infty $ 时,

因此, 由函数 $ G_{1}(x) $ 和 $ G_{2}(y) $ 的连续性以及 $ \mathcal{A} _{\tau }>0 $, $ \mathcal{B} _{\tau }>0 $, $ \mathcal{C} _{\tau }>0 $, $ \mathcal{D} _{\tau }>0 $ 的连续性可得, 当 $ s_{k-1} $ 和 $ s_{k} $ 足够接近时, 对于 $ 1\le k\le m $, 有

由引理 2.5 证明中 $ s_{0} $ 和 $ s_{m} $ 的选择可知, $ P(D_{0} )+P(D_{m+1})\leq\varepsilon $, 进而, 对于充分大的 $ n $, 有

与

的偏差小于 $ 2\varepsilon $. 注意到最后这个和是积分

的黎曼和, 因此, 对充分大的 $ n $,

由 $ \varepsilon $ 的任意性即可完成定理 2.1 的证明.

$\textbf{推论 2.1 的证明}\quad$ 由定理 2.1, 有

推论 2.1 证毕.

$\textbf{定理 2.2 的证明}\quad$ 定义 $ \xi_n=\frac{M_{N(n)}-b_{n}}{a_{n}} $, $ \eta_n=-\frac{W_{N(n)}-d_{n}}{a_{n}} $. 注意到,

$$ \xi_n+\eta_n=\frac{M_{N(n)}-W_{N(n)}-b_{n}+d_n}{a_{n}}=\frac{T_{N(n)}-b_{n}+d_n}{a_{n}}. $$

因为当 $ n\to \infty $ 时, $ \frac{N(n)}{n} \overset{P}{\rightarrow} \theta $, 其中 $ \theta>0 $ 是常数, 所以利用定理 2.1, 可知

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}P\left(\xi_n\le x, \eta_n\le y\right )=G^{\theta}_{1}(x)G_{2}^{\theta}(-y). $$

因此, 利用文献 [1,引理 2.9.1], 可得

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}P\left(T_{N(n)} \le a_{n}x+ b_{n}-d_{n}\right ) =\int_{-\infty}^{+\infty}G_{2}^{\theta}(y-x){\rm d}G_{1}^{\theta}(y). $$

为了讨论相依随机序列上极值次序统计量与下极值次序统计量的联合极限分布, 我们需要将第二节中相依条件 $ D(u_{k},v_{k}, u_{n},v_{n}) $ 进一步强化.

定义 3.1 设 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 是一列平稳的随机变量, 并且 $ u_{n} $, $ v_{n} $ 是实数序列. 对于任意的 $ 1\le i\le j $, $ \beta^{j} _{i} (u_{n}, v_{n}) $ 表示由事件 $ \left \{v_{n}< X_{s} \le u_{n}\right \} $, $ i\le s\le j $ 生成的 $ \sigma $ 代数. 对于 $ 1\le l\le n-1 $, 记

如果对某些序列 $ l=l_{n}=o(n) $, 当 $ n\to \infty $ 时, $ \beta ^{*}_{n,l_{n} }\to 0 $, 则称 $ \bigtriangleup ^{*} (u_{k}, v_{k}, u_{n}, v_{n}) $ 条件成立.

独立的随机序列, $ m $ 相依的随机序列和强混合随机序列显然满足 $ \bigtriangleup ^{*} (u_{k}, v_{k}, u_{n}, v_{n}) $ 条件. 令 $ u_{k}\equiv u_{n}, v_{k}\equiv v_{n} $, 则 $ \bigtriangleup ^{*} (u_{k}, v_{k}, u_{n}, v_{n}) $ 条件即为文献 [14] 中的 $ \bigtriangleup ^{*} (u_{n}, v_{n}) $ 条件.

定理 3.1设 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 是一列平稳的随机变量, 具有连续的边际分布函数 $ F(x) $. 假设以下条件成立

(i) 存在实数序列 $ a_{n}>0, b_{n}, c_{n}>0, d_{n} $, 使得对任意 $ x,y\in\mathbb{R} $, (1.1) 式和 (1.2) 式成立;

(ii) $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 满足 $ \bigtriangleup ^{*}(u_{k},v_{k},u_{n},v_{n}) $ 条件和 $ C_{1} (u_{n},v_{n}) $ 条件, 其中 $ u_{n}=a_{n}x+b_{n}, v_{n}=c_{n}y+d_{n} $, $ x,y\in \mathbb{R} $;

(iii) 设 $ N(n) $ 是一列取值为正整数值随机变量, 满足 (1.6) 式, 即当 $ n\to \infty $ 时, $ \frac{N(n)}{n} \overset{P}{\rightarrow} \tau $, 其中 $ \tau $ 是正值随机变量;

(iv) 存在概率分布 $ \Pi_{1}(j) $ 和 $ \Pi_{2}(j) $, 对任意的 $ j\in \mathbb{N} $ 有

则对任意的非负整数 $ s, r $, 有

其中 $ S[-\tau b\log G_{1}(x),\Pi_{1}] $ 和 $ R[-\tau b\log G_{2}(y),\Pi_{2}] $ 是关于 $ \tau $ 的条件复合泊松随机变量, 即它们有如下的表示

$$ S[-\tau b\log G_{1}(x),\Pi_{1}]=\sum_{j_{1}=1}^{\Lambda(-\tau b\log G_{1}(x))}Y_{j_{1}},\ \ \ R[-\tau b\log G_{2}(y),\Pi_{2}]=\sum_{j_{2}=1}^{\Lambda(-\tau b\log G_{2}(y))}Y_{j_{2}}, $$

其中 $ \{Y_{j_{1}}, j_{1}\geq1\} $ 和 $ \{Y_{j_{2}}, j_{2}\geq1\} $ 是相互独立的独立同分布的随机序列, 其分布律分别为 $ \Pi_{1} $ 和 $ \Pi_{2} $, $ \Lambda(\theta) $ 表示参数为 $ \theta $ 的泊松随机变量. 进而, 对每个 $ k_{i} =1,2\cdots $, $ i =1,2 $, 有

其中 $ {\textstyle \Pi_{i}^{*l_{i} }} $ 是 $ {\textstyle \Pi_{i}} $ 的 $ l_{i} $ 次卷积, $ i=1,2. $

注 3.1 i) 定理 3.1 的结论表明, 在一定条件下, 随机样本容量情形下上极值次序统计量与下极值次序统计量是渐近条件独立的; ii) 本文第四节给出两了个满足定理 3.1 条件的例子.

推理 3.1 在定理 3.1 的条件下, 对每个 $ k_{i} =1,2\cdots $, $ i =1,2 $, 有

由定理 3.1 的结论可知, 上极值次序统计量和下极值次序统计量之间是渐近条件独立的, 但是产生了极值聚集现象. 由文献 [3,4] 可知, 这种渐近条件独立性主要是由条件 $ C_{1} (u_{n},v_{n}) $ 决定的. 下面的条件 $ C_{2} (u_{n},v_{n}) $ 同样来自于文献 [3,4], 不仅保证了上极值次序统计量与下极值次序统计量之间的渐近独立性, 而且保证了不会出现极值聚集现象.

定义 3.2 设 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 是一列平稳的随机变量, 并且 $ u_{n} $, $ v_{n} $ 是实数序列. 定义

如果当 $ k\to \infty $ 时, $ \limsup_{n \to \infty}S_{nk}^{(2)}=o(1/k) $, 则称 $ C_{2} (u_{n},v_{n}) $ 条件成立.

定理 3.2 假设定理 3.1 的条件 (i), (ii), (iii) 成立. 若将 $ C_{1} (u_{n},v_{n}) $ 条件替换为 $ C_{2} (u_{n},v_{n} ) $ 条件, 则对任意的非负整数 $ s, r $, 有

其中 $ S[-\tau b\log G_{1}(x)] $ 和 $ R[-\tau b\log G_{2}(y)] $ 是参数分别为 $ -\tau b\log G_{1}(x) $ 和 $ -\tau b\log G_{2}(y) $ 的条件泊松随机变量, 进而, 对每个 $ k_{i} =1,2,\cdots $, $ i =1,2, $ 有

注 3.2 定理 3.2 将文献 [22,定理 2.1] 从最大值与最小值联合情形推广到了上极值次序统计量与下极值次序统计量情形.

我们需要下列引理来证明定理 3.1.

引理 3.1 假设定理 3.1 的条件 (i), (ii), (iv) 成立, 则对任意的非负整数 $ s, r $, 有

证 注意到条件 $ \bigtriangleup ^{*} (u_{k}, v_{k}, u_{n}, v_{n}) $ 蕴含着文献 [14] 中的 $ \bigtriangleup ^{*} (u_{n}, v_{n}) $ 条件, 因此, 直接由文献 [14,定理 2.1] 可知引理 3.1 成立.

引理 3.2 假设定理 3.1 的条件 (i), (ii), (iv) 成立, 则对任意的非负整数 $ s, r $, 有

其中 $ B $ 是一个任意事件.

证 为了简便起见, 将 $ S_{n} [u_{n} (x)]((0,b]) $ 和 $ R_{n} [v_{n} (y)]((0,b]) $ 分别记为 $ S_{n}^{(x)}((0,b]) $ 和 $ R_{n}^{(y)}((0,b]) $. 由引理 2.1 可知, 要证 (3.7) 式, 只需证明, 对使得 $ P\big(S_{k}^{(x)}((0,b])\le s, R_{k}^{(y)}((0,b])\leq r\big)>0 $ 的非负整数 $ s, r $, 有

其中 $ k=1,2,\cdots, $ 是固定的整数. 一方面, 对足够大的 $ n $, 我们有

其中, 最后一步利用 $ \bigtriangleup ^{*}(u_{k}, v_{k}, u_{n}, v_{n}) $ 条件. 注意到

对第一项 $ P_{n,1} $, 注意到

$$ \{M_{\lfloor nb\rfloor}^{(s+1)}> u_{n}(x)\}\subset \{M_{k+l_{n}}> u_{n}(x)\}\cup\{M_{k+l_{n},\lfloor nb\rfloor}^{(s+1)}> u_{n}(x)\}, $$

结合 (2.7) 式和 $ l_{n}=o(n) $ 可得, 当 $ n\rightarrow\infty $ 时,

同理可证, 当 $ n\rightarrow\infty $ 时, $ P_{n,2}\rightarrow 0 $. 因此, (3.9) 式右端等于

$$ P\left(S_{k}^{(x)}((0,b])\le s,R_{k}^{(y)}((0,b])\le r\right)P\left(S_{n}^{(x)}((0,b])\le s,R_{n}^{(y)}((0,b])\le r\right)+o(1). $$

另一方面, 再次利用 $ \bigtriangleup ^{*}(u_{k}, v_{k}, u_{n}, v_{n} $) 条件, 类似地讨论可得

综上, 利用引理 3.1 可知 (3.8) 式成立. 引理证毕.

引理 3.3 在定理 3.1 的条件下, 对任意的非负整数 $ s, r $, 有

证 令 $ s_{0} <s_{1} <\cdots<s_{m} $ 是给定的实值. 定义事件 $ D_{k} =\left \{ s_{k-1} \le \tau <s_{k} \right \} $, $ 1\le k\le m $, 令 $ D_{0} =\left \{ \tau <s_{0}\right\} $ 和 $ D_{m+1} =\left \{ \tau \ge s_{m}\right\} $. 选择 $ s_{0}, s_{m} $ 使得 $ P(D_{0})+P(D_{m+1})<\varepsilon $, 其中 $ \varepsilon $ 是大于 0 的任意实数. 由定理 3.1 的条件 (iii) 可知, 当 $ n $ 充分大时, $ P\left(\{\frac{N(n)}{n}<s_{0}\}\cup \{\frac{N(n)}{n}\geq s_{m}\}\right)<\varepsilon $. 令 $ n(j)=\lfloor ns_{j}\rfloor $, 对于足够大的$ n $, 有

观察上述求和中的每一项, 注意到

其中

类似地

其中

由引理 2.2 可知, 如果选择的点 $ s_{k} $, $ 0\le k\le m $, 足够接近, 则对于足够大的 $ n $, 有

其中 $ \delta $ 是大于的 0 任意实数. 容易看到, 如果 $ n(j) $ 被 $ n(j-1) $ 替代, 上式结论仍然成立. 因此结合 (3.12), (3.13) 式和 (3.14) 式, 有

由引理 3.2 可知, 上式收敛到

$$ P\left(S[-b\log G_{1}(\frac{x+\delta }{1-\delta } ),\Pi_{1}]\le s\right)P\left(R[-b\log G_{2}(\frac{y-\delta }{1+\delta } ),\Pi_{2}]\le r\right)P\left(s_{0} <\tau \le s_{m},B\right) +5\varepsilon. $$

另一方面, 类似地讨论可得

由引理 3.2 可知, 上式收敛到

$$ P\left(S[-b\log G_{1}(\frac{x-\delta }{1+\delta } ),\Pi_{1}]\le s\right)P\left(R[-b\log G_{2}(\frac{y+\delta }{1-\delta } ),\Pi_{2}]\le r\right)P\left(s_{0} <\tau\le s_{m},B\right) -5\varepsilon. $$

由于 $ P\big(S[-b\log G_{1}(x),\Pi_{1}]\le s\big) $ 和 $ P\big(R[-b\log G_{2}(y),\Pi_{2}]\leq r\big) $ 是关于 $ x, y $ 连续函数, 因此, 根据 $ \varepsilon $ 和 $ \delta $ 的任意性, 引理得证.

$\textbf{定理 3.1 的证明} $ 我们将沿用引理 3.3 证明中的记号. 首先, 注意到

和

对于 $ 1\le k\le m $, 一方面, 对任意的 $ \delta>0 $ 和充分大的 $ n $, 利用引理 2.2, 有

另一方面, 对任意的 $ \delta>0 $ 和充分大的 $ n $, 类似可得

利用上述不等式, $ \delta $ 的任意性以及引理 3.3 可知

对于 $ 1\le k\le m $, 令 $ s(k) $ 是 $ (s_{k-1}, s_{k}] $ 中固定的点, 由引理 2.2 知, 若我们将 (3.17) 式中的 $ x $ 替换为 $ x'=\mathcal{A}_{s(k)} x+\mathcal{B}_{s(k)} $, $ y $ 替换为 $ y'=\mathcal{C}_{s(k)} y+\mathcal{D}_{s(k)} $, 则有

利用 $ P\big(S[-s(k)b\log G_{1}(x),\Pi_{1}]\le s\big), P\big(R[-s(k)b\log G_{2}(x),\Pi_{2}]\leq r \big) $, $ \mathcal{A}_{x} $, $ \mathcal{B}_{x} $, $ \mathcal{C}_{x} $, $ \mathcal{D}_{x} $ 关于 $ x $ 的连续性, 选择足够接近的$ s_{k} $, 对 $ x''=\mathcal{A}_{\tau} x/\mathcal{A}_{s(k)}-(\mathcal{B}_{s(k)}-\mathcal{B}_{\tau} )/\mathcal{A}_{s(k)} $, $ y''=\mathcal{C}_{\tau} y/\mathcal{C}_{s(k)}-(\mathcal{D}_{s(k)}-\mathcal{D}_{\tau} )/\mathcal{C}_{s(k)} $, 利用 (3.18) 式, 有

另一方面, 同理可得

因此, 对于足够大的 $ n $, 有

进而有

由 $ \varepsilon $ 的任意性, 令 $ n\to \infty $, 则定理 3.1 的 (3.1) 式得证.

下面证明 (3.2) 式. 由定理 3.1 中的 (3.1) 式可知, 当 $ n\to \infty $ 时, 有

定理证毕.

$\textbf{推论 3.1 的证明}\quad$ 由 (3.2) 式易得, 当 $ n\to \infty $ 时,

进而, 当 $ n\to \infty $ 时

$\textbf{定理 3.2 的证明}\quad$ 注意到在 $ C_{2} (u_{n},v_{n} ) $ 条件下, 极值指数 $ \theta=1 $, 因此, 由定理 3.1 立刻可得定理 3.2 成立.

本节给出两个满足定理 3.1 条件 (也满足定理 2.1 条件) 的例子, 例 4.1 是一个 2 相依的随机序列, 例 4.2 是一个具有均匀边际分布的自回归过程.

例 4.1 设 $ \left \{ Y_{n}, n\ge 1\right \} $ 是独立同分布的标准化随机变量序列, 具有共同的分布函数 $ F_{Y}\left ( x \right ) $. 记 $ X_{n} =\max\left ( Y_{n},Y_{n+1} \right ),n\ge 1 $. 设存在实数序列 $ a_{n}>0, b_{n}, c_{n}>0, d_{n} $, 使得对任意 $ x,y\in \mathbb{R} $, (1.1) 式和 (1.2) 式成立. 设 $ N(n) $ 是一列取值为正整数值随机变量, 满足 (1.6) 式, 即当 $ n\to \infty $ 时, $ \frac{N(n)}{n} \overset{P}{\rightarrow} \tau $, 其中 $ \tau $ 是正值随机变量. 则对任意的非负整数 $ s, r $, 有

其中 $ S[-\tau b \log G_{1}(x),\Pi_{1}] $ 和 $ R[-\tau b\log G_{2}(y),\Pi_{2}] $ 如定理 3.1 中所定义, 而 $ \Pi_{1}(2)=1 $ 和 $ \Pi_{2}(1)=1 $. 进而, 对每一个 $ k_{i} =1,2,\cdots $, $ i =1,2, $ 有

证 由于 $ \{X_{n}, n\geq1\} $ 是平稳的2相依随机序列, 因此, 定理 3.1 的条件(i)-(iii) 均成立. 又由文献 [14,例 3.1] 可知, 定理 3.1 的条件 (iv) 成立, 其中 $ \Pi_{1}(2)=1 $ 和 $ \Pi _{2}(1)=1 $. 因此, 由定理 3.1 及简单计算可得例 4.1 的结论成立.

例 4.2 令 $ r\geq2 $ 是正整数. 设 $ X_{0} $ 服从 $ [0,1] $ 上均匀分布; 当 $ n\geq1 $ 时, $ X_{n} $ 由以下一阶自回归机制定义

$$ X_n=\frac{1}{r}X_{n-1}+\varepsilon_{n}, $$

其中 $ \varepsilon_{n} $ 与 $ X_{n-1} $ 独立, $ \varepsilon_{n} $ 是独立同分布的, 其分布律为

$$ P(\varepsilon_{n}=k/r)=1/r,\ \ k=0,1,2,\cdots,r-1. $$

设 $ N(n) $ 是一列取值为正整数值随机变量, 满足 (1.6) 式, 即当 $ n\to \infty $ 时, $ \frac{N(n)}{n} \overset{P}{\rightarrow} \tau $, 其中 $ \tau $ 是正值随机变量. 如果令 $ u_{n}(x)=1+x/n, x\leq 0 $, $ v_{n}(y)=y/n, y\geq 0 $, 则对任意的非负整数 $ s, r $, 有

其中 $ S[-(r-1)b\tau x/r,\Pi_{1}] $ 和 $ R[(r-1)b\tau y/r,\Pi_{2}] $ 如定理 3.1 中所定义, 而 $ \Pi _{1}\left (i\right ) =(r-1)r^{-i} $ 和 $ \Pi _{2}\left (i\right )=(r-1)r^{-i} $. 进而, 对每一个 $ k_{i} =1,2,\cdots $, $ i=1,2, $ 有

证 我们将通过验证定理 3.1 的条件 (i)-(iv) 来完成例 4.2 的证明. 首先, 由文献 [33,定理 4.1] 和文献 [7,定理 2.1] 可知, 如果选取 $ a_{n}=\frac{1}{n}, b_{n}=1, c_{n}=\frac{1}{n}, d_{n}=0 $, 则对任意$ x\leq 0,y\geq 0 $, (1.1) 式和 (1.2) 式成立, 其中 $ G_{1}(x)={\rm e}^{\frac{r-1}{r} x} $, $ G_{2}(y)={\rm e}^{-\frac{r-1}{r} y} $. 因此, 定理 3.1 的条件 (i) 成立. 其次, 由文献 [34,例 4.1] 的证明可知 $ \bigtriangleup ^{*}(u_{k}, v_{k}, u_{n}, v_{n}) $ 条件成立, 而由文献 [7,定理 2.1] 的证明可知 $ C_{1} (u_{n},v_{n}) $ 条件成立. 因此, 定理 3.1 的条件 (ii) 成立. 定理 3.1 的条件 (iii) 显然成立. 最后, 由文献 [34,例 4.1] 的证明可知, 定理 3.1 的条件 (iv) 成立, 其中 $ \Pi _{1}\left (i\right ) =(r-1)r^{-i} $ 和 $ \Pi _{2}\left (i\right )=(r-1)r^{-i} $, $ i\geq 1 $.