数学物理学报, 2026, 46(1): 215-237

研究论文

有界域中三维可压缩磁流体系统大初值强解的整体适定性

张明玉,

潍坊学院数学与统计学院 山东潍坊 261061

Global Well-Posedness of Strong Solutions to Compressible Magnetohydrodynamic System with Large Initial Data in 3D Bounded Domains

Zhang Mingyu,

School of Mathematics and Statistics, Weifang University, Shandong Weifang 261061

收稿日期: 2025-03-31   修回日期: 2025-07-8  

基金资助: 山东省自然科学基金(ZR2024MA033)

Received: 2025-03-31   Revised: 2025-07-8  

Fund supported: Natural Science Foundation of Shandong Province(ZR2024MA033)

作者简介 About authors

张明玉,Email:wfumath@126.com

摘要

研究了三维有界矩形域中可压缩磁流体力学系统, 该系统的速度场满足滑移边界条件, 磁场满足完全导电条件. 对于具有大能量的正则性初值, 证明了该初边值问题全局强解的存在唯一性.

关键词： 可压缩磁流体力学系统; 全局强解; 唯一性; 大初值

Abstract

The three-dimensional (3D) compressible magnetohydrodynamic system is studied in a bounded rectangular domain with slip boundary condition for the velocity field and perfect conduction for the magnetic field. For the regular initial data with large energy, the global well-posedness of strong solutions to the initial-boundary-value problem of this system is obtained.

Keywords： compressible magnetohydrodynamic system; global strong solutions; uniqueness; large initial data

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本文引用格式

张明玉. 有界域中三维可压缩磁流体系统大初值强解的整体适定性[J]. 数学物理学报, 2026, 46(1): 215-237

Zhang Mingyu. Global Well-Posedness of Strong Solutions to Compressible Magnetohydrodynamic System with Large Initial Data in 3D Bounded Domains[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(1): 215-237

1 引言

可压缩磁流体力学 (MHD) 方程组描述了导电流体在电磁场作用下的运动规律, 该方程在天体物理, 等离子体等领域有广泛应用. 三维可压缩 MHD 系统的控制方程如下 (参见文献 [4,24])

$\begin{cases}\rho_{t}+\mbox{div}(\rho u)=0,\\(\rho u)_{t}+\mbox{div}(\rho u\otimes u)+\nabla P(\rho)=(\nabla \times H)\times H+\mu \Delta u+(\mu+\lambda)\nabla \mbox{div} u,\\H_t-\nabla \times (u\times H)=-\nabla \times (\nu \nabla \times H),\\\mbox{div}H=0,\end{cases}$

其中$t\geqslant0$ 和 $x=(x_1, x_2, x_3)\in \Omega_{\varepsilon}\subset \mathbb{R}^3$, 这里 $\Omega_{\varepsilon}=(0, \varepsilon)\times(0, \varepsilon)\times(0, \varepsilon), 0<\varepsilon<1$. 未知函数 $\rho>0, u=(u^1, u^2, u^3), H=(H^1, H^2, H^3)$ 和 $P=a\rho^\gamma$$(a>0, \gamma>1)$ 分别表示密度, 速度, 磁场和压力. 电阻系数 $\nu>0$, 粘性系数 $\mu$ 和 $\lambda$ 满足下面条件

$\mu >0, \quad \quad 2\mu+3\lambda \geqslant 0.$

方程组满足如下初值条件

$(\rho, u, H)|_{t=0}=(\rho_0, u_0, H_0)(x), \quad x\in \Omega_{\varepsilon},$

和边界条件

$\begin{cases}u\cdot n=0, \quad\,\, \mbox{curl} u\times n=0 \qquad \mbox{在} \partial \Omega_{\varepsilon} \mbox{上},\\H\cdot n=0, \quad \mbox{curl} H\times n=0 \qquad \mbox{在} \partial \Omega_{\varepsilon} \mbox{上},\end{cases}$

其中 $n=(n_1, n_2, n_3)$ 是 $\partial \Omega_{\varepsilon}$ 的单位外法向量. 矩形域边界上的条件 (1.4) 式与 Navier 滑移边界条件相同

$\begin{cases}u\cdot n=0,\quad [\mathbb{S}(\nabla u)\cdot n]\times n=0 \quad \mbox{在} \partial \Omega_{\varepsilon} \mbox{上},\\H\cdot n=0,\quad [\nabla H\cdot n]\times n=0 \quad \mbox{在} \partial \Omega_{\varepsilon} \mbox{上},\end{cases}$

其中 $\mathbb{S}(\nabla u)$ 是服从牛顿流变定律的粘性应力

$\mathbb{S}(\nabla u)=\mu \left(\nabla u+\nabla^{t} u-\frac{2}{3}\mbox{div} u\mathbb{I} \right)+\eta \mbox{div} u \mathbb{I},$

剪切粘性系数 $\mu>0$, 体积粘性系数 $\eta \geqslant 0$. 为简化问题，我们仅考虑矩形域顶部 $\Gamma \triangleq \{x\in \partial \Omega_{\varepsilon} | x_3=\varepsilon \}$. 在 $\Gamma$ 上, $n=(0, 0, 1)$. 通过直接计算, 可以证明在 $\Gamma$ 上, 条件 (1.4) 和 (1.5) 式等价.

由于流体运动与磁场之间的强耦合和相互作用, MHD 系统的适定性和动力学行为研究非常复杂. 尽管如此, 已有大量文献关注系统 (1.1) 解的全局存在性和大时间行为, 可参考文献 [5,6,8-11,15-23,27-31]. 本文简要回顾与多维可压缩 MHD 方程相关的结果. Kawashima 在文献 [22] 中证明了二维一般电磁流体力学方程在初始数据为给定常状态的小扰动时光滑解的全局存在性. Umeda, Kawashima 和 Shizuta 在文献 [27] 中研究了线性化二维可压缩 MHD 方程光滑解的全局存在性和时间衰减率. Zhang-Zhao 在文献 [31] 中得到了当初值接近非真空平衡态时, 可压缩 MHD 系统强解的最优衰减估计. 对于大初值条件且初始密度严格正的情况, Vol'pert-Khudiaev 在文献 [28] 中得到了可压缩 MHD 的局部强解. 当初始密度包含真空时, Fan-Yu 在文献 [10] 中也得到了相同的结果. Fan-Yu 在文献 [30] 中以及 Hu-Wang 在文献 [30,17] 中针对一般初值, 得到了可压缩 MHD 方程重整化解的全局存在性。Zhang-Jiang-Xie 在文献 [30] 中研究了等离子体物理中螺旋箍缩问题的 MHD 模型, 并证明了该模型具有柱对称性的弱解的全局存在性。

Bella-Feireisl-Jin 在文献 [3] 中证明了 Navier-Stokes 方程全局强解在初值小扰动下的鲁棒性, 其中 $\Omega_{\varepsilon}$ (即 $\varepsilon>0$) 的长度适当小. Huang-Li-Xin 在文献 [14] 中得到了可压缩 Navier-Stokes 方程能量小时强解的存在性. Li-Xu-Zhang 在文献 [26] 中证明了当能量较小时, 三维可压缩 MHD 方程具有大振荡和真空的全局强解. 本文将 Bella-Feireisl-Jin 和 Huang-Li-Xin 的结果推广到大初值的情况, 我们将证明对于任意大能量的初值, 如果 $\varepsilon>0$, 方程组 (1.1)- (1.4) 式在 $\Omega_{\varepsilon}=(0,\varepsilon)\times(0,\varepsilon)\times(0,\varepsilon) $ 中存在全局光滑解.

在陈述主要结果之前, 先说明本文使用的符号和约定. 令

$\begin{cases}\partial_if\triangleq\frac{\partial f}{\partial x_i},\quad \dot f\triangleq f_t+(u\cdot\nabla)f, \quad \int f {\rm d}x \triangleq \int_{\Omega_{\varepsilon}} f {\rm d}x, \\\tilde{\rho} \triangleq \frac{1}{|\Omega_{\varepsilon}|}\int \rho_0{\rm d}x, \quad \|\cdot\|_{W^{k, p}} \triangleq \|\cdot\|_{W^{k, p}(\Omega_{\varepsilon})}, \quad H^k \triangleq W^{k, 2}.\end{cases}$

初始能量为$$ E_0=\int \left(G(\rho_0)+\frac{1}{2}\rho_0|u_0|^2+\frac{1}{2}|H_0|^2\right){\rm d}x, $$

其中 $G$ 表示势能密度

$$G(\rho)\triangleq\rho\int_{\tilde{\rho}}^{\rho}\frac{P(s)-P(\tilde{\rho})}{s^2}{\rm d}s.$$

显然, 若 $\tilde{\rho}>0$ 且 $0 < \rho \leq 2\widehat{\rho}$, 存在常数$k_1$ 和 $k_2$ (依赖 $\tilde{\rho}$ 和 $\widehat{\rho}$), 使得

$$k_1(\rho-\tilde{\rho})^2\leq G(\rho)\leq k_2(\rho-\tilde{\rho})^2.$$

本文的主要结果如下

定理 1.1 设 $\Omega_{\varepsilon}=(0, \varepsilon)\times(0, \varepsilon)\times(0, \varepsilon)$, $0<\varepsilon<1$. 对于任意给定常数 $M_1, M_2>0$ 和 $\widehat{\rho}\geqslant 2^{\gamma-1}\tilde{\rho}+1$, $\tilde{\rho}>0$, 假设初值 $(\rho_0,u_0, H_0)$ 满足

$\begin{cases}G(\rho_0)+\rho_0|u_0|^2+|H_0|^2\in L^{1}, 0<\rho_0\leqslant \widehat{\rho},\\(\rho_0-\tilde{\rho}, P(\rho_0)-P(\tilde{\rho}))\in H^2 \cap W^{2, q}, \quad q\in(3, 6),\\u_0\in H^2, \quad H_0\in H^2,\\\|\nabla u_0\|_{L^2}^2\leq M_1,\quad \|\nabla H_0\|_{L^2}^2\leq M_2,\end{cases}$

以及如下形式的相容性条件

$-\mu\Delta u_0-(\mu+\lambda)\nabla {\rm div}u_0+\nabla P(\rho_0)+\frac{1}{2}\nabla|H_0|^2-H_0\cdot \nabla H_0=\rho_0g,$

其中, $g$ 满足 $\sqrt{\rho_0}g, \nabla g\in L^2$, $(\rho_0g^i)|_{x_i=0, \varepsilon}=0$, $i=1, 2, 3$. 同时假设在立方体的交点处相容性条件成立. 则存在仅依赖于 $\mu, \lambda, \nu, \tilde{\rho}, a, \gamma, \widehat{\rho}, M_1$ 和 $M_2$ 但不依赖于 $\varepsilon$ 的常数 $C$, 使得如果

$$\varepsilon^{1/3} \big(E_0+M_1+M_2\big) \leqslant C,$$

那么方程组 (1.1)- (1.4) 式在 $\Omega_{\varepsilon}\times (0, \infty)$ 上存在唯一的强解 $(\rho, u, H )$, 使得对任何 $0<\tau<T<\infty$, 成立

$$\frac{1}{4}\tilde{\rho}\leqslant \rho(x,t)\leqslant 2 \widehat{\rho},\quad x\in \Omega_{\varepsilon}, \;t\geq0$$

和

$\left\{\begin{array}{l}(\rho-\tilde{\rho}, P(\rho)-P(\tilde{\rho}))\in C([T]; H^2\cap W^{2, q}),\\u\in C([T]; H^2)\cap L^\infty(\tau,T; H^3\cap W^{3, q}),\\u_t\in L^\infty(\tau,T;H^2)\cap H^1(\tau,T; H^1),\\H\in C([T]; H^2)\cap L^\infty(\tau,T; H^3),\\H_t\in C([T]; L^2)\cap H^1(\tau,T; L^2).\end{array}\right.$

类似于柯西问题的情况, 定理 1.1 将通过结合强解的局部存在性和全局先验估计来证明. 为此, 需要在适当的空间中建立问题 (1.1)-(1.4) 强解的全局先验估计. 与文献 [14,26] 中研究具有长时间行为的柯西问题相比, 边值问题更为复杂. 主要困难如下: 首先, 由于我们不知道有效粘性通量 $F$ (定义为 $F\triangleq(2\mu+\lambda){\rm div}u-P+\bar{P}$, 其中 $\bar{f}$ 表示 $f$ 在 $\Omega_{\varepsilon}$ 上的平均值) 的边界值, 而 $F$ 在文献 [12,14,26] 中被广泛使用, 因此在处理边值问题时, $F$ 不再适用. 为克服这一困难, 我们采用速度分解 $u=v+w$, 其中 $v$ 满足椭圆方程

$\left\{\begin{array}{l}\mu\Delta v+(\mu+\lambda)\nabla{\rm div}v=\nabla (P-P(\tilde{\rho}))\quad\mbox{在} \Omega_{\varepsilon} \mbox{上},\\v\cdot n=0,\quad \mbox{curl} v\times n=0 \quad \mbox{在} \partial \Omega_{\varepsilon} \mbox{上},\end{array}\right.$

然后, 由动量方程 $ (1.1)_2$ 和 $ (1.9)$ 式可验证 $w$ 满足

$\left\{\begin{array}{l}\mu\Delta w+(\mu+\lambda)\nabla{\rm div}w=\rho \dot u-H\cdot \nabla H+\nabla H\cdot H \quad \mbox{在} \Omega_{\varepsilon} \mbox{上},\\w\cdot n=0,\quad \mbox{curl} w\times n=0 \quad \mbox{在} \partial \Omega_{\varepsilon} \mbox{上}.\end{array}\right.$

由 (1.9) 式和边界条件可得 $ \nabla((2\mu+\lambda){\rm div}v-P+P(\tilde{\rho}))=0$ 且 $\nabla F=(2\mu+\lambda){\rm div}w$. 由于 $\bar{F}=0$, (1.10) 式的 $L^p-$ 估计和 Zlotnik 不等式 (引理 2.5) 可推出密度的全局一致上下界. 其次, 对于边值问题, 我们无法得到 $\|\nabla\dot u\|_{L^2(0,T; L^2)}$ 与时间无关的估计. 但通过新技巧 (见引理 3.3-3.6), 可以证明若 $\|\nabla\dot u\|_{L^2(t_1,t_2; L^2)}$ 能被 $C(t_2-t_1)$ 控制, 某些重要估计仍然成立. 最后, 我们证明若 $\varepsilon$ 适当小, $\|\rho\|_{L^\infty}$ 和 $ \|\nabla u\|_{L^2} $ 对时间是一致有界的. 在条件 $\|\rho\|_{L^\infty}$ 和 $ \|\nabla u\|_{L^2}< M$ 下, 高阶导数的估计是常规的, 此处省略证明 (参见文献 [26]).

2 准备工作

本节回顾一些已知事实和基本不等式. 首先给出强解的局部存在性和唯一性 (参见文献 [7]).

引理 2.1 对于 $\tilde{\rho}>0$, 假设初值 $(\rho_0, u_0, H_0)$ 满足 (1.6)-(1.7) 式. 那么存在一个小时间 $T_*>0$ 和唯一的强解 $(\rho, u, H)$ 在 $\Omega_{\varepsilon}\times (0, T_*]$ 上满足初边值问题 (1.1)-(1.4), 且对于 $q\in(3, 6)$

$\left\{\begin{array}{l}(\rho-\tilde{\rho}, P(\rho)-P(\tilde{\rho}))\in C([T]; H^2\cap W^{2, q}),\\u\in C([T]; H^2)\cap L^\infty(\tau,T; H^3\cap W^{3, q}),\\u_t\in L^\infty(\tau,T;H^2)\cap H^1(\tau,T; H^1),\\H\in C([T]; H^2)\cap L^\infty(\tau,T; H^3),\\u_t\in C([T]; L^2)\cap H^1(\tau,T; L^2).\end{array}\right.$

注 2.1 所考虑的区域形式为 $(0, \varepsilon)\times (0, \varepsilon)\times(0, \varepsilon)$, 因此不属于 $C^{2}$类. 我们通过以下方法克服此问题: 在证明解的存在性时, 区域的平滑性用于确保 Galerkin 逼近的光滑性. 在本文中, 我们可以利用空间区域的特殊结构和边界条件, 将解从 $\Omega_{\varepsilon}$ 适当扩展 (作为偶函数或奇函数), 以在大矩形域上创建具有周期性边界条件的解, 此时无需对边界平滑性施加限制.

引理 2.2 (庞加莱不等式) 设 $\Omega_{\varepsilon}=(0, \varepsilon)\times(0, \varepsilon)\times(0, \varepsilon)$ 和 $u\in W^{2, p}$, $p\in[1, \infty)$ 满足 (1.4) 式. 则存在常数 $C$ (可能依赖于 $p$, 但不依赖 $\varepsilon$) 使得

$\|u\|_{L^{p}}\leqslant C \varepsilon \|\nabla u\|_{L^{p}},$
$\|\nabla u\|_{L^{p}}\leqslant C \varepsilon \|\nabla^2 u\|_{L^{p}},$
$\|\dot u\|_{L^{p}}\leqslant C \varepsilon \|\nabla \dot u\|_{L^{p}}.$

证 由于光滑函数在 $W^{2, p}$ 中稠密, 仅对 $u\in C^{2}$ 证明此引理. 将 $\partial \Omega_{\varepsilon}$ 分为六部分

$\Gamma_1=\{x\in \partial \Omega_{\varepsilon}| x_3=\varepsilon \},\quad\Gamma_2=\{x\in \partial \Omega_{\varepsilon}| x_3=0 \},\quad\Gamma_3=\{x\in \partial \Omega_{\varepsilon}| x_2=\varepsilon \},$
$\Gamma_4=\{x\in \partial \Omega_{\varepsilon}| x_2=0\},\quad\Gamma_5=\{x\in \partial \Omega_{\varepsilon}| x_1=\varepsilon \},\quad\Gamma_6=\{x\in \partial \Omega_{\varepsilon}| x_1=0 \}.$

为简化问题, 仅考虑 $\Gamma_1\cup \Gamma_2$. 在 $\Gamma_1$ 上 $n=(0, 0, 1)$, 在 $\Gamma_2$ 上 $n=(0, 0, -1)$. 由 $(1.4)_1$ 式直接计算可得

$u^3=0,\quad \partial_1u^3=\partial_2u^3=0,\quad \dot u^3=0 \quad \mbox{on} \quad \Gamma_1\cup \Gamma_2,$

并且由 (1.4)$_2$ 式可知

$\partial_3u^1=\partial_1u^3, \quad \partial_3u^2=\partial_2u^3 \quad \mbox{on} \quad \Gamma_1\cup \Gamma_2.$

对 (2.4)$_1$ 式关于 $x_3$ 分部积分, 并利用庞加莱不等式, 对于任意 $p\in(0, \infty)$,

$\int_{0}^{\varepsilon} |u^3|^p{\rm d}x_3 \leqslant C\varepsilon^p \int_{0}^{\varepsilon} |\partial_3 u^3|^p{\rm d}x_3,$

其中常数 $C>0$ 依赖于 $p$ 但不依赖于 $\varepsilon$. 然后对 (2.6) 式关于 $x_1, x_2$ 分部积分, 可得

$\|u^3\|_{L^p}\leqslant C\varepsilon \|\nabla u\|_{L^p}.$

对于 $\Gamma_3\cup \Gamma_4$ 和 $\Gamma_5\cup \Gamma_6$, 利用 (2.7) 式可得

$\|u^2\|_{L^p}\leqslant C\varepsilon \|\nabla u\|_{L^p},\quad\|u^1\|_{L^p}\leqslant C\varepsilon \|\nabla u\|_{L^p},$

该式结合 (2.7) 式可直接推出 (2.1) 式.

类似于 (2.1) 式, 可直接得到 (2.3) 式. 对于 (2.2), 由 (2.4)$_2$ 和 (2.5) 式, 从 (2.7) 式可得

$\|\partial_i u^j\|_{L^p}\leqslant C\varepsilon \|\nabla^2 u\|_{L^p},\quad i, j=1, 2, 3, i\neq j.$

当 $i=j$ 时, 对于 $i=1, 2, 3,$, 我们仅考虑项 $\partial_3 u^3$. 根据中值定理, 对于任意固定的 $x_1$ 和 $x_2$, 存在点 $\xi\in(0, \varepsilon)$ 使得

$u^3(x_1, x_2, \xi)=\frac{1}{\varepsilon}\int _{0}^{\varepsilon}\partial_3 u^3 {\rm d}x_3=0,$

由 Hölder 不等式可得

$\|\partial_3 u^3\|_{L^p}\leqslant C\varepsilon \|\nabla^2 u\|_{L^p},$

该式结合 (2.8) 式推出 (2.2) 式.

接下来, 将频繁使用以下著名的 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (参见文献 [3,25]).

引理 2.3 对于 $p\in[2,6]$ 和 $r\in(3, \infty)$, 存在常数 $C>0$ (可能依赖于 $q, r$ 但不依赖于 $\varepsilon$), 使得对于 $f\in H^1$ 和 $g\in W^{1, r}$ 成立如下不等式

$\| f\|_{L^{p}}\leqslant C \varepsilon^{(\tfrac{3}{p}-\tfrac{3}{2})}\left( \|f\|_{L^{2}}+\varepsilon \|\nabla f\|_{L^{2}}\right),$
$\| g\|_{L^{\infty}}\leqslant C \varepsilon^{-\tfrac{3}{r}}\left( \|g\|_{L^{r}}+\varepsilon \|\nabla g\|_{L^{r}}\right).$

证 令 $\Omega_{\varepsilon}=(0, \varepsilon)\times (0, \varepsilon)\times (0, \varepsilon)=\varepsilon Q$, 其中 $Q=(0, 1)^3\subset \mathbb{R}^3$. 则由 Sobolev 嵌入定理得

$$\| f\|_{L^{p}(Q)}\leqslant C \left( \|f\|_{L^{2}(Q)}+ \|\nabla f\|_{L^{2}(Q)}\right),\quad \quad \mbox{for} p\in[2,6]$$

和

$$\| g\|_{L^{\infty}(Q)}\leqslant C \left( \|g\|_{L^{r}(Q)}+\|\nabla g\|_{L^{r}(Q)}\right),\quad\quad \mbox{for} r>3.$$

由于变换 $y=\varepsilon x$, $x\in Q$, 可得 (2.9)-(2.10) 式.

现在我们采用并修改 Agmon[1] 等和 Hoff[13]的椭圆理论思想, 给出方程 (1.9) 和 (1.10) 式的估计.

引理 2.4 令 $v$ 和 $w$ 分别是方程 (1.9) 和 (1.10) 式得光滑解. 则存在常数 $C$ (仅依赖于 $\mu$ 和 $\lambda$, 但不依赖于 $\varepsilon$, 使得对任意$p\in[2,6]$ 成立

$\varepsilon^2\|\nabla^2 w\|_{L^{p}}+\varepsilon\|\nabla w\|_{L^{p}}+\| w\|_{L^{p}} \leqslant C \varepsilon^2 \|\rho \dot u-H \cdot \nabla H +\nabla H \cdot H\|_{L^{p}}$

和

$\varepsilon\|\nabla v\|_{L^{p}}+\| v\|_{L^{p}}\leqslant C \varepsilon \|P(\rho)-P(\tilde{\rho})\|_{L^{p}}.$

证 令 $U$ 是如下边值问题得解

$\left\{\begin{array}{l}\mu\Delta U+(\mu+\lambda)\nabla{\rm div}U=F\quad \mbox{在} \Omega_{\varepsilon} \mbox{上},\\U\cdot n=\mbox{curl} U\times n=0 \quad \mbox{在} \partial\Omega_{\varepsilon} \mbox{上},\end{array}\right.$

在 (2.13) 式得两端同时乘以 $-U$, 并在 $L^2$ 意义下积分, 在 $\Omega_{\varepsilon}$ 上进行分部积分, 由柯西-施瓦兹不等式可得

$\mu \int |\nabla U|^2{\rm d}x+(\mu+\lambda)\int |\mbox{div} U|^2{\rm d}x=-\int F\cdot U {\rm d}x,$

即

$\begin{split}\mu \int |\nabla U|^2{\rm d}x\leqslant & C \int |F | |U| {\rm d}x\leqslant C \|F\|_{L^{2}} \|U\|_{L^{2}}\leqslant \delta \|U\|_{L^{2}}^{2}+ \frac{C}{\delta}\|F\|_{L^{2}}^2,\end{split}$

由庞加莱不等式 (2.1) 得

$\int |U |^2{\rm d}x\leqslant C \varepsilon^2 \int |\nabla U|^2{\rm d}x.$

将 (2.15) 式带入 (2.14) 式, 可知

$\frac{2}{\varepsilon^2}\int |U|^{2} {\rm d}x\leqslant \delta \|U\|_{L^{2}}^{2}+ \frac{C}{\delta}\|F\|_{L^{2}}^2,$

令 $\delta=\tfrac{1}{\varepsilon^2}$, 则

$\|U\|_{L^{2}}\leqslant C \varepsilon^2 \|F\|_{L^{2}},$

其中正得常数 $C$ 仅依赖于 $\mu$ 和 $\lambda$, 但不依赖于 $\varepsilon$.

类似于 (2.16) 式, 在 (2.13) 式得两端同时乘以 $\Delta U$, 然后在 $\Omega_{\varepsilon}$ 上利用分部积分公式, 由庞加莱不等式 (见引理 2.2), 可知

$\|\nabla^2 U\|_{L^{2}}\leqslant C \|F\|_{L^{2}},\quad\|\nabla U\|_{L^{2}}\leqslant C \varepsilon \|F\|_{L^{2}},$

当$2<p\leqslant 6$ 时, 由 Lamé 模型定理和 Agmon 等人的标准椭圆估计[1]以及 Hoff 的椭圆理论[13]可知

$\varepsilon^2\|\nabla^2 U\|_{L^{p}}\leqslant C (\varepsilon^2\|F\|_{L^{p}}+\|U\|_{L^{p}}).$

根据引理 2.2-2.4, (2.17) 式以及 Hölder 不等式, 对于 $2<p\leqslant 6$,

$\begin{split}\| U\|_{L^{p}}\leqslant & C \varepsilon^{(\tfrac{1}{p}-\tfrac{1}{2})+1}\|\nabla U\|_{L^{2}}\leqslant C \varepsilon^{(\tfrac{1}{p}-\tfrac{1}{2})+2}\|\nabla^2 U\|_{L^{2}}\\\leqslant & C \varepsilon^{(\tfrac{1}{p}-\tfrac{1}{2})+2}\|F\|_{L^{2}}\leqslant C \varepsilon^{2}\|F\|_{L^{p}},\end{split}$

将 (2.19) 式带入 (2.18) 式, 得

$\|\nabla^2 U\|_{L^{p}}\leqslant C \|F\|_{L^{p}}, \quad \quad 2<p\leqslant 6,$

由引理 2.2 和引理 (2.20), 得

$\|\nabla U\|_{L^{p}}\leqslant C \varepsilon \|F\|_{L^{p}},\quad\|U\|_{L^{p}}\leqslant C \varepsilon^2 \|F\|_{L^{p}},\quad p\in (2, 6],$

结合 (2.16)- (2.20) 式以及标准椭圆估计可得 (2.11) 和 (2.12) 式.

以下引理源自 Zlotnik[32], 将用于证明密度的全局一致上界.

引理 2.5 令 $y\in W^{1,1}(0,T)$ 满足如下常微分方程系统

$$y'=g(y)+b'(t) \text{在} [T] \text{上},\,\,\,\,y(0)=y_0,$$

其中 $b\in W^{1,1}(0,T)$, $g\in C(\mathbb{R})$ 且 $g(+\infty)=-\infty$. 假设存在两个常数 $N_0\geq0$ 和 $N_1\geq0$ 使得对所有 $0\leq t_1\leq t_2\leq T,$

$b(t_2)-b(t_1)\leq N_0+N_1(t_2-t_1).$

那么

$$y(t)\leq\max\{y_0, \xi^*\}+N_0<+\infty \text{在} [T] \text{上},$$

其中 $\xi^*\in\mathbb{R}$ 是一个常数使得

$g(\xi)\leq-N_1\,\,\,\,\,\text{对于}\,\,\,\xi\geq\xi^*.$

最后, 我们陈述以下由 Bendali-Dominguez-Gallic 在文献 [2] 中证明的引理.

引理 2.6 令 $\mbox{curl} u \in H^1$ 满足 $\mbox{curl}u\times n|_{\partial \Omega_{\varepsilon}}=0$, 其中 $n$ 是 $\partial \Omega_{\varepsilon}$ 得单位外法向量. 则

$(\nabla \times \mbox{curl}u)\cdot n|_{\partial \Omega_{\varepsilon}}=0.$

证 为完整性, 简要概述证明过程. 令 $f=\nabla \times h$, $h=\mbox{curl} u$. 由 Green 公式, 对于任意 $\varphi\in H^1$

$\int_{\Omega_{\varepsilon}}(f\cdot \nabla \varphi+\varphi \nabla \cdot f){\rm d}x=\int_{\partial \Omega_{\varepsilon}}\varphi f\cdot n {\rm d}S=<f\cdot n, \varphi>|_{\partial \Omega_{\varepsilon}}.$

由于任何无散向量场必为旋度场, 则

$\nabla \cdot f=\nabla \cdot (\nabla \times h)=0,$

且任何无旋向量场必为梯度场, 可知

$\nabla \cdot (h\times \nabla \varphi)= ( \nabla \times h)\cdot \nabla \varphi+h\cdot \nabla \times (\nabla \varphi)=( \nabla \times h) \cdot \nabla \varphi=f \cdot \nabla \varphi.$

结合 (2.23)- (2.24) 式以及分部积分, 可得

$\int_{\Omega_{\varepsilon}}f\cdot \nabla \varphi{\rm d}x=\int_{\Omega_{\varepsilon}}\nabla\cdot (h\times \nabla \varphi){\rm d}x=\int_{\partial \Omega_{\varepsilon}} (h\times \nabla \varphi)\cdot n {\rm d}S.$

现在证明 (2.25) 式中边界积分等于 $0$. 为简化问题, 仅考虑 $\Gamma \triangleq\{x\in \partial\Omega_{\varepsilon}|x_3=\varepsilon\}$. 在 $\Gamma$ 上 $n=(0,0,1)$, 则直接计算可得

$$\mbox{curl} u\times n|_{\Gamma}=(\partial_3 u^1-\partial_1u^3, \partial_3 u^2-\partial_2u^3, 0)|_{\Gamma}=0,$$

即

$$\partial_3 u^1=\partial_1u^3, \quad \quad \partial_3 u^2=\partial_2u^3,$$

这意味着

$$(\mbox{curl} u\times \nabla \varphi)\cdot n|_{\Gamma}=(0, 0, (\partial_2 u^3-\partial_3u^2)\partial_2 \varphi- (\partial_3 u^1-\partial_1u^3)\partial_1 \varphi)|_{\Gamma}=0,$$

于是

$\int_{\Omega_{\varepsilon}}f\cdot \nabla \varphi{\rm d}x=0,$

结合 (2.23) 式便可的结论.

3 先验估计

本节将建立模型 (1.1)- (1.4) 强解的必要先验估计, 以及密度的一致上下界. 设 $(\rho, u, H )$ 是模型 (1.1)- (1.4) 在 $\Omega_{\varepsilon}\times (0, T)$ 上的强解, 初值 $ (\rho_0, u_0, H_0)$ 满足 (1.6)-(1.7) 式. 定义 $\sigma(t)\triangleq\min$$\{1,t\}$, 并设

$$A_1(T)\triangleq\sup_{t\in[T]}\sigma (\|\nabla u\|_{L^2}^2+\|\nabla H\|_{L^2}^2), \quad A_2(T)\triangleq \sup_{t\in[T]}(\|\nabla u\|_{L^2}^2+\|\nabla H\|_{L^2}^2).$$

则有以下先验估计.

命题 3.1 在定理 1.1 的条件下, 存在正常数 $K_1, K_2$ (仅依赖于 $\mu,\lambda, g$, $\widehat{\rho}$, $\tilde{\rho}$, $M_1$ 和 $M_2$, 但不依赖 $\varepsilon$), 使得若 $(\rho, u, H)$ 是方程组 (1)- (4) 在 $\Omega_{\varepsilon}\times (0,T]$ 上得强解, 满足

$0< \rho\leq 2\widehat{\rho},\quad A_1(T)\leq 3K_1,\quad A_2(\sigma(T))\leq 3K_2,$

则如下估计成立

$0< \rho\leq \frac{7}{4}\widehat{\rho},\quad A_1(T)\leq 2K_1,\quad A_2(\sigma(T))\leq 2K_2,$

只要 $E_0+M_1+M_2 \lesssim \tfrac{1}{\varepsilon^{1/3}}$.

证 命题 3.1 是引理 3.3, 引理 3.4 和引理 3.7 得直接结果.

在本节中, 符号 $C$ 表示一般正常数, 其值可能依赖于 $\mu,\lambda,\widehat{\rho}, \tilde{\rho}, g, M_1$ 和 $M_2$, 但不依赖 $\varepsilon$ 和 $T$, $C(\beta)$ 强调 $C$ 依赖于 $\beta$. 根据 $-\Delta u=-\nabla{\rm div}u+\nabla\times{\rm curl}u$, 本文首先给出 $(\rho, u, H)$ 的标准能量估计.

引理 3.1 设 $(\rho, u, H)$ 是方程组 (1)- (4) 在 $\Omega_{\varepsilon}\times (0,T]$ 的一个强解. 则

$\sup_{0\leq t\leq T}\int \left( \frac{1}{2}\rho |u|^2+\frac{1}{2}|H|^2+G(\rho)\right){\rm d}x +\int_0^T \left(\mu \| \nabla u\|_{L^2}^2+\nu \| \nabla H\|_{L^2}^2\right){\rm d}t\leqslant E_0.$

证 在 (1.1)$_1$ 和 (1.1)$_2$ 式的两端分别乘以 $G'(\rho)$ 和 $u$, 在 $\Omega_{\varepsilon}$ 上利用分部积分公式可得 $\begin{split}&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int \left( \frac{1}{2}\rho |u|^2+\frac{1}{2}|H|^2+G(\rho)\right){\rm d}x+\int (\mu |\nabla u|^2+(\mu+\lambda)|\mbox{div}u|^2+\nu |\nabla H|^2){\rm d}x=0,\end{split}$ 在 $(0, T)$ 积分, 可得 (3.2) 式.

引理 3.2 设 $(\rho, u)$ 是方程组 (1.1)-(1.4) 在 $\Omega_{\varepsilon}\times (0,T]$, $0< \rho\leq 2\widehat{\rho} $ 的一个强解. 则对于任意分段光滑函数 $\eta=\eta(t)\geq0$, 成立

$\begin{split}& \left(\frac{\mu}{2}\eta\|\nabla u\|_{L^2}^2\!+\!\frac{\mu+\lambda}{2}\eta\|{\rm div}u\|_{L^2}^2\!+\!\nu \eta\|\nabla H\|_{L^2}^2\right)_t\!+\!\eta\|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\eta \|H_t\|_{L^2}^2+\eta \|\nabla^2 H\|_{L^2}^2 \\&\leqslant \left(\eta\int \left[(P-P(\tilde{\rho})){\rm div}u -H\cdot \nabla u \cdot H +|H|^2 {\rm div}u \right]{\rm d}x\right)_t+C(\eta+|\eta'|)\|\nabla u\|_{L^2}^2\\&\quad+C\eta\|\nabla u\|_{L^3}^3+C|\eta'|E_0+\varepsilon C|\eta'| \|\nabla H\|_{L^2}^4+\varepsilon C \eta \|\nabla u\|_{L^2}^2\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2+C |\eta'| \|\nabla H\|_{L^2}^2\end{split}$

和

$\begin{split}& \left(\eta\|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\eta\|H_t\|_{L^2}^2\right)_t+\eta\|\nabla \dot u\|_{L^2}^2+\eta\|\nabla H_t\|_{L^2}^2 \\&\leqslant C |\eta'|\left( \|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2\right)+C\eta\|\nabla u\|_{L^2}^2+C\eta\|\nabla u\|_{L^4}^4\\&\quad+\varepsilon C \eta \left(\|\nabla u\|_{L^2}^2+\|\nabla H\|_{L^2}^2\right)\|\nabla H_t\|_{L^2}^2+ \varepsilon C \eta \|\nabla H\|_{L^2} \|\nabla u\|_{L^2}^2 \|\nabla^2 H\|_{L^2}^3\\&\quad+\varepsilon C \eta \|\nabla H\|_{L^2}^2 \|\nabla \dot u\|_{L^2}^2+\varepsilon^2CE_0^{1/3}\eta \|\nabla u\|_{L^2}^2 \|\nabla^2 H\|_{L^2}^2\\&\quad +\varepsilon^2C \eta \|\nabla H\|_{L^2}^2 \|\nabla u\|_{L^2}^2\|\nabla \dot u\|_{L^2}^2+\varepsilon^{7/3}C\eta \|\nabla H\|_{L^2}^{8/3} \|\nabla u\|_{L^2}^2\|\nabla^2H\|_{L^2}^{10/3}\\&\quad +\varepsilon^2C \eta \|\nabla H\|_{L^2}^{3} \|\nabla u\|_{L^2}^2\|\nabla^2H\|_{L^2}^{3}.\end{split}$

证 由引理 2.2, (1.1)$_3$ 式以及分部积分公式, 得

$\begin{split}\int \eta(t)(H_t-\nu \Delta H)^2{\rm d}x&= \int \left(|H_t|^2-2\nu H_t\Delta H+\nu^2\Delta H\cdot \Delta H \right)\eta(t){\rm d}x\\&=\int \eta(t)|H_t|^2{\rm d}x+\nu \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int \eta(t)|\nabla H|^2{\rm d}x+\nu^2\int \eta(t) |\nabla^2H|^2{\rm d}x\\&\quad-\nu \int \eta'(t) |\nabla H|^2{\rm d}x,\end{split}$

于是

$\begin{split}& \left( \nu \eta(t)\| \nabla H\|_{L^2}^2\right)_t+\eta(t)\|H_t\|_{L^2}^2+\nu^2\eta(t) \| \nabla^2H\|_{L^2}^2\\&= \int \eta(t)(H_t-\nu \Delta H)^2{\rm d}x +\nu \int \eta'(t) |\nabla H|^2{\rm d}x\\&=\int |H\cdot \nabla H-u\cdot \nabla H-H{\rm div}u |^2\eta(t){\rm d}x+\nu \int \eta'(t) |\nabla H|^2{\rm d}x\\&\leqslant C\eta(t) \|H\|_{L^{\infty}}^2 \|\nabla u\|_{L^{2}}^2+ C\eta(t) \|u\|_{L^{6}}^2 \|\nabla H\|_{L^{3}}^2+C |\eta'(t)| \|\nabla H\|_{L^{2}}^2.\end{split}$

由引理 2.2-2.3, 可知

$\begin{split}\|H\|_{L^{\infty}}& \leqslant C \varepsilon^{-1/4} \|\nabla H\|_{L^{2}}^{1/2} \left( \varepsilon^{-1/2} \|H\|_{L^{6}}+\varepsilon^{1/2} \|\nabla H\|_{L^{6}} \right)^{1/2}\\&\leqslant C\|\nabla H\|_{L^{2}}^{1/2} \|\nabla H\|_{L^{6}}^{1/2}\leqslant C \|\nabla H\|_{L^{2}}^{1/2} \|\nabla^2 H\|_{L^{2}}^{1/2},\end{split}$
$\|u\|_{L^{6}}\leqslant C \varepsilon^{3(1/6-1/2)}\left(\|u\|_{L^{2}}+\varepsilon \|\nabla u\|_{L^{2}}\right)\leqslant C \|\nabla u\|_{L^{2}}$

和

$\begin{split}\|\nabla H\|_{L^{3}}&\leqslant C\left(\varepsilon^{-1/2} \|\nabla H\|_{L^{2}} \right)^{1/2}\left(\varepsilon^{-3/2} \| H\|_{L^{2}} + \varepsilon^{-1/2} \|\nabla H\|_{L^{2}}+\varepsilon^{1/2} \|\nabla^2 H\|_{L^{2}} \right)^{1/2}\\& \leqslant C \left(\varepsilon^{-1/2} \|\nabla H\|_{L^{2}} \right)^{1/2} \left(\varepsilon^{1/2} \|\nabla^2 H\|_{L^{2}} \right)^{1/2}\\& \leqslant C \|\nabla H\|_{L^{2}}^{1/2} \|\nabla^2 H\|_{L^{2}}^{1/2}.\end{split}$

将 (3.7)-(3.9) 式带入 (3.6) 式, 利用柯西-施瓦兹不等式以及引理 2.1-2.2, 可得

$\begin{split}& \left( \nu \eta(t)\| \nabla H\|_{L^2}^2\right)_t+\eta(t)\|H_t\|_{L^2}^2+\nu^2\eta(t) \| \nabla^2H\|_{L^2}^2\\&\leqslant \varepsilon C\eta(t) \|\nabla u\|_{L^{2}}^2 \|\nabla^2 H\|_{L^{2}}^2+C |\eta'(t)| \|\nabla H\|_{L^{2}}^2.\end{split}$

在 $(1.1)_2$ 式得两端同时乘以 $\eta(t)\dot{u}$, 并在 $\Omega_{\varepsilon}$ 上分部积分, 则

$\begin{split}\int \eta(t) \rho |\dot{u}|^2{\rm d}x&=\int [-\eta(t)\nabla P\cdot\dot{u}+\mu\eta(t)\Delta u\cdot\dot{u}+(\lambda+\mu)\eta(t)\nabla{\rm div}u\cdot\dot{u}\\&\quad +\eta(t)H\cdot \nabla H\cdot \dot{u}-\frac{1}{2}\eta(t) \dot{u}\cdot \nabla(|H|^2) ]{\rm d}x\triangleq\sum_{i=1}^5I_i.\end{split}$

利用 $ (1.1)_1$ 式, $ (1.4)_1$ 式以及分布积分公式, 可得

$\begin{align*} I_1 &=\int \eta(t)(P-P(\tilde{\rho}))\mbox{div}\dot{u}{\rm d}x\\ &=(\int \eta(t){\rm div}u (P-P(\tilde{\rho})){\rm d}x)_t-\eta'\int {\rm div}u (P-P(\tilde{\rho})){\rm d}x\\ &\quad+\int \eta(t)(P'\rho({\rm div}u)^2-(P-P(\tilde{\rho}))({\rm div}u)^2+(P-P(\tilde{\rho}))\partial_i u^j\partial_ju^i){\rm d}x\\ &\leq\left(\eta(t)\int {\rm div}u (P-P(\tilde{\rho})){\rm d}x\right)_t+C(\widehat{\rho})(\eta(t)+|\eta'|)\|\nabla u\|^2_{L^2}+C|\eta'|\|P-P(\tilde{\rho})\|^2_{L^2}\\ &\leq \left(\eta(t)\int {\rm div}u (P-P(\tilde{\rho})){\rm d}x\right)_t+C(\widehat{\rho})(\eta(t)+|\eta'|)\|\nabla u\|^2_{L^2}+C(\widehat{\rho})E_{0}|\eta'|. \end{align*}$

利用分布积分公式以及 $ (1.4)_1$ 式, 可得

$\begin{align*} \begin{split} I_2 & =\mu\int \eta(t)\Delta u\cdot \dot{u}{\rm d}x\\ & =\mu\int_{\partial \Omega_{\varepsilon}}\eta(t) \partial_i u^j n_i(u_t^j+u^k\partial_ku^j){\rm d}S-\mu\int \eta(t) \partial_i u^j \partial_i(u_t^j+u^k\partial_ku^j){\rm d}x\\ & =-\frac{\mu}{2}(\eta(t)\|\nabla u\|_{L^2}^2)_t+\frac{\mu}{2}\eta'\|\nabla u\|_{L^2}^2-\mu\eta(t)\int \partial_i u^j\partial_i(u^k\partial_ku^j){\rm d}x\\ & \quad+\mu\int_{\partial \Omega_{\varepsilon}}\eta(t) \partial_i u^j n_i(u_t^j+u^k\partial_ku^j){\rm d}S\\ & \leq-\frac{\mu}{2}(\eta(t)\|\nabla u\|_{L^2}^2)_t+C|\eta'|\|\nabla u\|_{L^2}^2+C\eta(t)\|\nabla u\|^3_{L^3}\\ & \quad+\mu\int_{\partial \Omega_{\varepsilon}}\eta(t) \partial_i u^j n_i(u_t^j+u^k\partial_ku^j){\rm d}S. \end{split} \end{align*}$

接下来证明上述积分在 $\partial\Omega_{\varepsilon}$ 上等于 0. 为了简便起见, 这里只考虑在 $\Gamma\triangleq\{x\in \partial\Omega_{\varepsilon}|x_3=\varepsilon\}$ 上的积分. 注意到 $n=(0,0,1)$ on $\Gamma$, 那么通过 $ (1.4)_1$ 和 $ (1.4)_2$ 式, 可以得到 (也可见 (2.4) 和 (2.5) 式)

$u^3=0,\quad \partial_1u^3=\partial_2u^3=\dot u^3=0,\quad \partial_3u^1=\partial_3u^2=0 \text{在} \Gamma \text{上}.$

由 (3.12) 式可得

$\partial_i u^j n_i(u_t^j+u^k\partial_ku^j)=\partial_3 u^j (u_t^j+u^k\partial_ku^j)=\Sigma_{j=1}^2 \partial_3 u^j (u_t^j+u^k\partial_ku^j)=0 \text{在} \Gamma \text{上}.$

因此

$I_2\leqslant -\frac{\mu}{2}(\eta(t)\|\nabla u\|_{L^2}^2)_t+C|\eta'|\|\nabla u\|_{L^2}^2+C\eta(t)\|\nabla u\|^3_{L^3}.$

同理可得

$\begin{align*} I_3 & =(\lambda+\mu)\int \eta(t)\nabla {\rm div}u\cdot\dot{u}{\rm d}x\\ & =-\frac{\lambda+\mu}{2}(\eta(t)\|{\rm div}u\|_{L^2}^2)_t-(\lambda+\mu)\int \eta(t){\rm div}u{\rm div}(u\cdot\nabla u){\rm d}x+\frac{(\lambda+\mu)\eta'}{2}\|{\rm div}u\|_{L^2}^2\\ & \leq -\frac{\lambda+\mu}{2}(\eta(t)\|{\rm div}u\|_{L^2}^2)_t+C\eta(t)\|\nabla u\|_{L^3}^3+C|\eta'|\|\nabla u\|_{L^2}^2. \end{align*}$

由于分部积分公式以及 ${\rm div}H=0$, 则由引理 2.2-2.3 可得

$\begin{align*} I_4&=\int \eta(t)H\cdot \nabla H\cdot \dot{u}{\rm d}x\\ &=-\int \eta(t) H^{j}\partial_{i}(H^i u_t^j){\rm d}x+\int \eta(t) H^{i}\partial_{i}H^j u^k \partial_k u^j){\rm d}x\\ & \leqslant -\left(\int \eta(t) H\cdot \nabla u \cdot H{\rm d}x \right)_{t}+\int \eta'(t) H\cdot \nabla u \cdot H{\rm d}x+\int \eta(t) H\cdot \nabla u \cdot H_t{\rm d}x\\ &\quad +\int \eta(t) H_t\cdot \nabla u \cdot H{\rm d}x+\int \eta(t) |H|^2 |\nabla u|^2{\rm d}x+\int \eta(t) |u|^2 |\nabla H|^2{\rm d}x\\ &\leqslant -\left(\int \eta(t) H\cdot \nabla u \cdot H{\rm d}x \right)_{t}+C\eta'(t)\|\nabla u\|_{L^2}^2\\ &\quad+\varepsilon C \eta'(t)\|\nabla H\|_{L^2}^4+\varepsilon C\eta(t)\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2\|\nabla u\|_{L^2}^2+\frac{\nu}{8} \eta(t)\|H_t\|_{L^2}^2. \end{align*}$

同理, 由 (3.7)-(3.9) 式以及柯西-施瓦兹不等式得

$\begin{align*} \begin{split} I_5&=-\int \frac{1}{2}\eta(t)\dot{u}\cdot \nabla(|H|^2){\rm d}x \\ &\leqslant \frac{1}{2}\left(\int \eta(t) |H|^2{\rm div}u{\rm d}x \right)_{t}++C\eta'(t)\|\nabla u\|_{L^2}^2+\varepsilon C \eta'(t)\|\nabla H\|_{L^2}^4\\ &\quad+\frac{\nu}{8} \eta(t)\|H_t\|_{L^2}^2+\varepsilon C\eta(t)\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2\|\nabla u\|_{L^2}^2. \end{split} \end{align*}$

将估计式 $I_1$-$I_5$ 带入 (3.11) 式, 结合 (3.10) 式, 可得到 (3.3) 式.

接下来,对 $ (1)_2^j$ 式的第 $j$ 个分量施加 $\eta(t)\dot{u}^j[\partial_t+{\rm div}(u\cdot)]$, 对 $j$ 求和, 并在 $\Omega_{\varepsilon}$ 上积分，分部积分后得到

$\begin{split}&\quad\bigg(\frac{\eta(t)}{2}\int\rho|\dot{u}|^2{\rm d}x\bigg)_t-\frac{\eta'}{2}\int\rho|\dot{u}|^2{\rm d}x\\&=-\eta(t)\int\dot{u}^j[\partial_jP_t+{\rm div}(\partial_jPu)]{\rm d}x+\mu\eta(t)\int\dot{u}^j[\Delta {u}^j_t+{\rm div}(u\Delta u^j)]{\rm d}x\\&\quad+\eta(t)(\lambda+\mu)\int \dot{u}^j[\partial_j\partial_t({\rm div}u)+{\rm div}(u\partial_j({\rm div}u))]{\rm d}x\\&\quad +\eta(t)\int \dot{u}^j[\partial_t(H\cdot \nabla H^j)+{\rm div}(u H \cdot \nabla H^j)]{\rm d}x\\&\quad -\frac{1}{2}\eta(t)\int \dot{u}^j[\partial_t\partial_j|H|^2+{\rm div}(u \partial_j|H|^2)]{\rm d}x\triangleq\sum_{i=1}^5J_i.\end{split}$

由 $(1.1)_2$ 式以及分部积分公式得

$\begin{align*} \begin{split} J_1&=-\eta(t)\int \dot{u}^j[\partial_jP_t+{\rm div}(\partial_jPu)]{\rm d}x\\&=\int \eta(t)[-P'\rho {\rm div}u\partial_j\dot{u}^j+\partial_k(\partial_j\dot{u}^ju^k)P-P\partial_j(\partial_k\dot{u}^ju^k)]{\rm d}x\\ &\leq C(\widehat{\rho})\eta(t)\|\nabla u\|_{L^2}\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}\\ &\leq \frac{\mu\eta(t)}{8}\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}^2+C(\widehat{\rho})\eta(t)\|\nabla u\|_{L^2}^2. \end{split} \end{align*}$

注意 $J_2$ 中边界积分等于 $0$ (由 $ (1.4)_1$ 和 $ (1.4)_2$ 式, 类似于 (3.12) 和 (3.13) 式), 分部积分后得到

$\begin{align*} J_2&=\mu \eta(t)\int \dot{u}^j[\Delta {u}^j_t+{\rm div}(u\Delta u^j)]{\rm d}x\\ &=\mu \eta(t)\int[\dot u^j\partial_i\partial_i\dot u^j-\dot u^j\partial_i\partial_i(u^k\partial_ku^j) +\dot u^j\partial_k(u^k\partial_i\partial_iu^j)]{\rm d}x \\ &=\mu \eta(t)\int [\partial_i\dot u^j\partial_i(u^k\partial_k u^j)-|\nabla\dot u|^2]{\rm d}x+\mu \eta(t)\int[\dot u^j\partial_ku^k\partial_i\partial_iu^j+\dot u^ju^k\partial_i\partial_i\partial_ku^j]{\rm d}x \\ &=\mu \eta(t)\int [\partial_i\dot u^j\partial_i u^k\partial_k u^j-|\nabla\dot u|^2]{\rm d}x+\mu \eta(t)\int \partial_i\dot u^ju^k\partial_i\partial_k u^j{\rm d}x \\ &\quad -\mu \eta(t)\int [\partial_i(\dot u^j\partial_ku^k)\partial_i u^j+\partial_i(\dot u^ju^k)\partial_i\partial_ku^j]{\rm d}x\\ &=\mu \eta(t)\int [\partial_i\dot u^j\partial_i u^k\partial_k u^j-\partial_i\dot u^j\partial_ku^k\partial_i u^j-|\nabla\dot u|^2]{\rm d}x \\ &\quad-\mu \eta(t)\int [\dot u^j\partial_i\partial_ku^k\partial_i u^j+\dot u^j\partial_i u^k\partial_k\partial_i u^j]{\rm d}x \\ &=\mu \eta(t)\int [\partial_i\dot u^j\partial_i u^k\partial_k u^j-\partial_i\dot u^j\partial_ku^k\partial_i u^j-|\nabla\dot u|^2+\partial_k\dot u^j\partial_i u^k\partial_i u^j]{\rm d}x\\ &\leqslant -\frac{3\mu}{4}\eta(t)\|\nabla\dot{u}\|_{L^2}^2+C\eta(t)\|\nabla u\|_{L^4}^4. \end{align*}$

同理

$\begin{align*} \begin{split} J_3 &\leqslant-\eta(t)\frac{\lambda+\mu}{2}\|{\rm div}\dot{u}\|_{L^2}^2+C\eta(t)\|\nabla u\|_{L^4}^4. \end{split} \end{align*}$

对于 $J_4$, 由 ${\rm div}H=0$, 引理 2.2-2.3, 分部积分以及柯西-施瓦兹不等式, 可得

$\begin{split}J_4&=\eta(t)\int \dot{u}^j[\partial_t(H\cdot \nabla H^j)+{\rm div}(u H \cdot \nabla H^j)]{\rm d}x\\&= \eta(t)\int \dot{u}^j(H_t^i\partial_iH^j+H^i\partial_iH_t^j){\rm d}x- \eta(t)\int \partial_k\dot{u}^ju^kH^i\partial_iH^j{\rm d}x\\&\leqslant - \eta(t)\int H^j\partial_i\dot{u}^jH_t^i+H_t^j\partial_i\dot{u}^jH^i{\rm d}x- \eta(t)\int \partial_k\dot{u}^ju^kH^i\partial_iH^j{\rm d}x\\&\leqslant \frac{\mu}{8}\eta(t)\|\nabla\dot{u}\|_{L^2}^2+C\eta(t)\|H\|_{L^3}^2 \|H_t\|_{L^6}^2+ C\eta(t)\|\nabla H\|_{L^6}^2\|H\|_{L^\infty}^2\|u\|_{L^3}^2\\&\leqslant \frac{\mu}{8}\eta(t)\|\nabla\dot{u}\|_{L^2}^2+\varepsilon C\eta(t)\|\nabla H\|_{L^2}^2 \|\nabla H_t\|_{L^2}^2+ \varepsilon C\eta(t)\|\nabla H\|_{L^2}\|\nabla^2H\|_{L^2}^3\|\nabla u\|_{L^2}^2.\end{split}$

同理

$\begin{split}J_5&= -\frac{1}{2}\eta(t)\int \dot{u}^j[\partial_t\partial_j|H|^2+{\rm div}(u \partial_j|H|^2)]{\rm d}x\\& \leqslant \frac{\mu}{8}\eta(t)\|\nabla\dot{u}\|_{L^2}^2+\varepsilon C\eta(t)\|\nabla H\|_{L^2}^2 \|\nabla H_t\|_{L^2}^2+ \varepsilon C\eta(t)\|\nabla H\|_{L^2}\|\nabla^2H\|_{L^2}^3\|\nabla u\|_{L^2}^2.\end{split}$

将估计式 $J_1$-$J_5$ 带入 (3.14) 式, 得

$\begin{split}& \left(\eta(t)\| \sqrt{\rho} \dot{u}\|_{L^2}^2\right)_t+\eta(t)\|\nabla\dot{u}\|_{L^2}^2\\& \leqslant C \eta'(t) \| \sqrt{\rho} \dot{u}\|_{L^2}^2{\rm d}x+ C \eta(t)\|\nabla u\|_{L^4}^4+\varepsilon C\eta(t)\|\nabla H\|_{L^2}^2 \|\nabla H_t\|_{L^2}^2\\&\quad + \varepsilon C\eta(t)\|\nabla H\|_{L^2}\|\nabla^2H\|_{L^2}^3\|\nabla u\|_{L^2}^2.\end{split}$

另一方面, 由 (1.1)$_3$ 式, 可以得到

$H_{tt}-\nu \Delta H_t= (H\cdot \nabla u-u\cdot\nabla H-H {\rm div}u)_t.$

在 (3.16) 式两端同时乘以 $\eta(t) H_t$ 并在 $\Omega_{\varepsilon}$ 上积分, 得

$\begin{split}& \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int \eta(t)|H_t|^2{\rm d}x -\frac{1}{2}\int \eta'(t)|H_t|^2{\rm d}x+\nu \int \eta(t)|\nabla H_t|^2{\rm d}x\\&= \int \eta(t)( H_t \cdot \nabla u-u\cdot \nabla H_t-H_t \cdot {\rm div}u )\cdot H_t{\rm d}x\\&\quad+\int \eta(t)( H \cdot \nabla \dot{u}-\dot{u}\cdot \nabla H-H \cdot {\rm div}\dot{u} )\cdot H_t{\rm d}x\\&\quad - \int \eta(t)(H\cdot \nabla (u\cdot \nabla u)-(u\cdot \nabla u)\cdot \nabla H-H {\rm div}(u\cdot \nabla u) )\cdot H_t{\rm d}x\triangleq\sum_{i=1}^3J_i.\end{split}$

接下来估计 $J_i$. 由于 ${\rm div}H=0$, 引理 2.2-2.3 以及分部积分公式, 得

$\begin{split}J_1& =-\eta(t)\int \left(u^j H_t^i\partial_i H_t^j-u^i H_t^j\partial_i H_t^j \right){\rm d}x\\& \leqslant \frac{\nu}{8}\eta(t)\|\nabla H_t\|_{L^2}^2+C \eta(t)\| H_t\|_{L^3}^2 \|u\|_{L^6}^2\\& \leqslant \frac{\nu}{8}\eta(t)\|\nabla H_t\|_{L^2}^2+\varepsilon C \eta(t)\|\nabla H_t\|_{L^2}^2 \|\nabla u\|_{L^2}^2.\end{split}$

同理

$\begin{split}J_2&=\int \eta(t)( H \cdot \nabla \dot{u}-\dot{u}\cdot \nabla H-H \cdot {\rm div}\dot{u} )\cdot H_t{\rm d}x\\&\leqslant \frac{\mu}{8}\eta(t)\|\nabla\dot{u}\|_{L^2}^2+\frac{\nu}{8}\eta(t)\|\nabla H_t\|_{L^2}^2\\&\quad+\varepsilon C\eta(t)\|\nabla H\|_{L^2}^2 \|\nabla H_t\|_{L^2}^2+ \varepsilon C\eta(t)\|\nabla H\|_{L^2}^2\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}^2.\end{split}$

对于 $J_3$, 由引理 2.2-2.4, Hölder 不等式以及分部积分公式, 可得

$\begin{split}J_3&=- \int \eta(t)(H\cdot \nabla (u\cdot \nabla u)-(u\cdot \nabla u)\cdot \nabla H-H {\rm div}(u\cdot \nabla u) )\cdot H_t{\rm d}x\\&= \int\eta(t) u^k \partial_k u^j H^i \partial_iH_t^j{\rm d}x+ \int\eta(t) u^i \partial_i u^k \partial_kH^j H_t^j{\rm d}x\\&\quad-\int \eta(t) u^k \partial_k u^i (\partial_iH^j H_t^j +H^j\partial_iH_t^j ){\rm d}x\\& \leqslant C\eta(t)\|u\|_{L^6} \|\nabla u\|_{L^6} \|H\|_{L^6}\|\nabla H_t\|_{L^2}+C\eta(t)\|u\|_{L^6} \|\nabla u\|_{L^6} \|\nabla H\|_{L^2}\| H_t\|_{L^6}\\&\leqslant C\eta(t)\|\nabla u\|_{L^2} \|\nabla u\|_{L^6} \|\nabla H\|_{L^2}\|\nabla H_t\|_{L^2}.\end{split}$

根据引理 2.2-2.4, 可得

$\begin{split}\|\nabla u\|_{L^6}& \leqslant \|\nabla v\|_{L^6}+\|\nabla \omega \|_{L^6}\\& \leqslant C \|P-P(\tilde{\rho})\|_{L^6}+\varepsilon C(\|\rho \dot{u}\|_{L^6}+\|H\cdot \nabla H\|_{L^6}+\|\nabla H\cdot H\|_{L^6})\\& \leqslant C(\widehat{\rho})E_0^{1/6}+\varepsilon C(\widehat{\rho})\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}+\varepsilon C (\|\nabla H\|_{L^4}^2+\|H\|_{L^\infty} \|\nabla^2 H\|_{L^2})\\& \leqslant C(\widehat{\rho})E_0^{1/6}+\varepsilon C(\widehat{\rho})\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}+ \varepsilon^{7/6}C \|\nabla H\|_{L^2}^{1/3} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{5/3}\\&\quad+\varepsilon C \|\nabla H\|_{L^2}^{1/2} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{3/2}.\end{split}$

将 (3.18) 式带入 $J_3$, 由引理 2.2-2.3 以及柯西-施瓦兹不等式得

$\begin{split}J_3& \leqslant \frac{\nu}{8}\eta(t)\|\nabla H_t\|_{L^2}^2+\varepsilon^2 C E_0^{1/3} \eta(t) \|\nabla u\|_{L^2}^2 \|\nabla^2 H\|_{L^2}^2+ \varepsilon^2 C \eta(t) \|\nabla \dot{u}\|_{L^2}^2\|\nabla u\|_{L^2}^2 \|\nabla H\|_{L^2}^2\\& \quad +\varepsilon^{7/3} C \eta(t) \|\nabla H\|_{L^2}^{8/3}\|\nabla u\|_{L^2}^2 \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{10/3}+\varepsilon^{2} C \eta(t) \|\nabla H\|_{L^2}^{3}\|\nabla u\|_{L^2}^2 \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{3}.\end{split}$

将 $J_1-J_3$ 带入 (3.17) 式, 可得

$\begin{split}&(\eta(t)\|H_t\|_{L^2}^2 )_t+\eta(t) \|\nabla H_t\|_{L^2}^2\\& \leqslant C \eta'(t) \|H_t\|_{L^2}^2+\varepsilon C \eta(t)\|\nabla H_t\|_{L^2}^2 (\|\nabla u\|_{L^2}^2+\|\nabla H\|_{L^2}^2 )+ \varepsilon C\eta(t)\|\nabla H\|_{L^2}^2\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}^2\\& \quad+ \varepsilon^2 C E_0^{1/3} \eta(t) \|\nabla u\|_{L^2}^2 \|\nabla^2 H\|_{L^2}^2+ \varepsilon^2 C \eta(t) \|\nabla \dot{u}\|_{L^2}^2\|\nabla u\|_{L^2}^2 \|\nabla H\|_{L^2}^2\\& \quad +\varepsilon^{7/3} C \eta(t) \|\nabla H\|_{L^2}^{8/3}\|\nabla u\|_{L^2}^2 \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{10/3}+\varepsilon^{2} C \eta(t) \|\nabla H\|_{L^2}^{3}\|\nabla u\|_{L^2}^2 \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{3},\end{split}$

结合 (3.15) 式就可得到 (3.4) 式.

引理 3.3 设 $(\rho, u, H)$ 是方程组 (1.1)-(1.4) 在 $\Omega_{\varepsilon}\times (0,T]$, $0< \rho \leq 2\widehat{\rho}$ 上的一个强解. 则存在一个正的常数 $K_2$, 该常数仅依赖于 $\mu, \nu$, $\lambda$, $\widehat{\rho}$, $\tilde{\rho}$, $\gamma$, $M_1$ 和 $M_2$, 但是不依赖 $\varepsilon$ 和 $T$, 使得

$A_2(\sigma( T))+\int_0^{\sigma( T)}(\|\sqrt{\rho} \dot{u}\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2){\rm d}t\leqslant 2K_2,$

只要 $\varepsilon^{1/3}\big(E_{0}+M_1+M_2 \big)\leqslant C$.

证

令 $\eta=1$, 并且对 (3.3) 式在 $(0,\sigma(T)]$ 上积分, 由引理 2.2-2.4, 引理 3.1 和 (3.1) 式, 可得

$\begin{split}& A_2(\sigma(T))+\int_0^{\sigma( T)}\|\sqrt{\rho} \dot{u}\|_{L^2}^2{\rm d}t+\int_0^{\sigma( T)}(\|H_t\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2){\rm d}t \\&\leqslant C(\|\nabla u_0\|_{L^2}^2+\|\nabla H_0\|_{L^2}^2 )+(\int [(P-P(\tilde{\rho})){\rm div}u -H\cdot \nabla u \cdot H +|H|^2 {\rm div}u]{\rm d}x)|_{0}^{\sigma(t)}\\&\quad + C E_0+ C \int_{0}^{\sigma(T)}\|\nabla u\|_{L^3}^3{\rm d}t+\varepsilon C \int_{0}^{\sigma(T)}\|\nabla u\|_{L^2}^2 \|\nabla^2 H\|_{L^2}^2{\rm d}t\\& \leqslant C(\widehat{\rho})(E_0+M_1+M_2)+C \|P(\rho_0)-P(\tilde{\rho})\|_{L^2}^2+\frac{1}{2} A_2(\sigma(T))\\&\quad+ C\|H\|_{L^4}^2+C \|P(\rho)-P(\tilde{\rho})\|_{L^2}^2+ C\|H_0\|_{L^4}^4\\&\quad+C \int_{0}^{\sigma(T)}\|\nabla u\|_{L^3}^3{\rm d}t+\varepsilon C\sup_{T\in [\sigma(T)]} \|\nabla u\|_{L^2}^2\int_{0}^{\sigma(T)}\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2{\rm d}t\\&\leqslant C(\widehat{\rho})(E_0+M_1+M_2)+\frac{1}{2}A_2(\sigma(T))+C(\widehat{\rho})\int_0^{\sigma( T)}\|\nabla u\|^3_{L^3}{\rm d}t\\&\quad+\varepsilon C K_2\int_{0}^{\sigma(T)}\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2{\rm d}t,\end{split}$

即

$\begin{split}& A_2(\sigma(T))+\int_0^{\sigma( T)}(\|\sqrt{\rho} \dot{u}\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2){\rm d}t\\&\leqslant C(E_0+M_1+M_2)+C\int_0^{\sigma( T)}\|\nabla u\|^3_{L^3}{\rm d}t,\end{split}$

只要 $\varepsilon \leqslant \tfrac{1}{2CK_2}$. 又由引理 2.1-2.3, 可得

$\begin{split}\|\nabla w\|_{L^3(\Omega_{\varepsilon})}^3& \leqslant C \|\nabla w\|_{L^2(\Omega_{\varepsilon})}^{4/3}\|\nabla w\|_{L^5(\Omega_{\varepsilon})}^{5/3}\\&\leqslant C \|\nabla w\|_{L^2(\Omega_{\varepsilon})}^{4/3}\varepsilon^{-3/2}\left(\|\nabla w\|_{L^2}+\varepsilon \|\nabla^2 w\|_{L^2}\right)^{5/3}\\& \leqslant C \varepsilon^{1/6}\|\nabla w\|_{L^2}^{4/3}\|\nabla^2 w\|_{L^2}^{5/3}\\& \leqslant C \varepsilon^{1/6}\|\nabla w\|_{L^2}^{4/3}\|\rho \dot{u}\|_{L^2}^{5/3}+C \varepsilon \|\nabla w\|_{L^2}^{4/3} \|\nabla H\|_{L^2}^{5/3}\|\nabla^2 H\|_{L^2}^{5/3},\end{split}$

结合柯西-施瓦兹不等式可得

$\begin{split}& C\int_0^{\sigma( T)}\|\nabla u\|^3_{L^3}{\rm d}t\leqslant C\int_0^{\sigma(T)}\|\nabla v\|^3_{L^3}+\|\nabla w\|^3_{L^3}{\rm d}t\\&\leqslant C\int_0^{\sigma(T)}\|P-P(\tilde{\rho})\|_{L^3}^3{\rm d}t+C\int_0^{\sigma(T)}( \varepsilon^{1/6}\|\nabla w\|_{L^2}^{4/3}\|\rho \dot{u}\|_{L^2}^{5/3}\\&\quad+ \varepsilon \|\nabla w\|_{L^2}^{4/3}\|\nabla H\|_{L^2}^{5/3} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{5/3}){\rm d}t \\& \leqslant C(\widehat{\rho})E_0+\varepsilon^6 C(\widehat{\rho}) \int_0^{\sigma(T)}(\|\nabla u\|^8_{L^2}+\|\nabla v\|^8_{L^2} )\|\nabla H\|_{L^2}^{10}{\rm d}t\\&\quad +\int_0^{\sigma(T)}(\|\sqrt{\rho} \dot{u}\|_{L^2}^{2} +\|\nabla^2 H\|_{L^2}^{2} ){\rm d}t +\varepsilon C(\widehat{\rho}) \int_0^{\sigma(T)}(\|\nabla u\|^8_{L^2}+\|\nabla v\|^8_{L^2} ){\rm d}t\\\end{split}$
$\begin{split}& \leqslant C(\widehat{\rho})E_0+\int_0^{\sigma(T)}(\|\sqrt{\rho} \dot{u}\|_{L^2}^{2} +\|\nabla^2 H\|_{L^2}^{2} ){\rm d}t+\varepsilon C(\widehat{\rho})E_0^4+\varepsilon C(\widehat{\rho})A_2^3(\sigma(T)E_0\\&\quad +\varepsilon^6 C(\widehat{\rho})E_0^5A_2^4(\sigma(T))+\varepsilon^6 C(\widehat{\rho})E_0A_2^9(\sigma(T)).\end{split}$

结合 (3.20) 式可得

$\begin{split}& A_2(\sigma(T))+2\int_0^{\sigma( T)}(\|\sqrt{\rho} \dot{u}\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2){\rm d}t\\& \leqslant C(E_0+M_1+M_2)+\varepsilon C(\widehat{\rho})[E_0^4+(3K_2)^3E_0]++\varepsilon^6 C(\widehat{\rho})[(3K_2)^4E_0^5+(3K_2)^9E_0].\end{split}$

令 $K_2=C(\widehat{\rho})(E_0+M_1+M_2)$, 并取 $\varepsilon \leqslant \tfrac{1}{2C(\widehat{\rho})(3K_2)^3}$, 于是便得到 (3.19) 式.

引理 3.4 设 $(\rho, u, H)$ 是方程组 (1.1)-(1.4) 在 $\Omega_{\varepsilon}\times (0,T]$ 上得一个强解, 则存在一个正得常数 $K_1$, 该常数仅依赖于 $\mu, \nu$, $\lambda$, $\widehat{\rho}$, $\tilde{\rho}$, $\gamma$, $M_1$ 和 $M_2$, 但不依赖于 $\varepsilon$ 和 $T$, 使得

$A_1(T)\leq 2K_1$

和

$\int_{t_1}^{t_2}\sigma( \|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2){\rm d}t\leq C(\widehat{\rho})E_0(t_2-t_1)+ C(\widehat{\rho}, K_1, K_2),$

只要 $\varepsilon^{1/3}(E_{0}+M_1+M_2 )\leqslant C$.

证 对于指标 $i$ ($1\leq i\leq [T]-1$) 和 $t\in (i-1,i+1]$, 令 $\eta=\sigma_i(t)\triangleq\sigma(t+1-i)$, 对 (3.3) 式关于 $(i-1,t)$ 积分, 由引理 3.1 和 $\sigma_i(i-1)=0$ 可得

$\begin{align*} & \sigma_i(\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\nabla H\|^2_{L^2})+\int_{i-1}^t\sigma_i(\|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2){\rm d}s\\ & \leqslant CE_{0}+\frac{\sigma_i}{2}\|\nabla u\|^2_{L^2}+C \|P-P(\tilde{\rho})\|_{L^2}^2+C \sigma_i \|H\|^2_{L^4}+C\int_{i-1}^{ t}\sigma_i\|\nabla u\|^3_{L^3}{\rm d}s\\ &\quad +\varepsilon C\int_{i-1}^{ t}|\sigma_i'|\|\nabla H\|^4_{L^2}{\rm d}s+\varepsilon C\int_{i-1}^{ t}\sigma_i \|\nabla u\|^2_{L^2}\|\nabla^2 H\|^2_{L^2}{\rm d}s\\ &\leqslant CE_{0}+\varepsilon CA_2(\sigma(T))E_0+\frac{\sigma_i}{2}\|\nabla u\|^2_{L^2}+\varepsilon^{1/2}C \sigma_i \|\nabla H\|^2_{L^2}+C\int_{i-1}^{ t}\sigma_i\|\nabla u\|^3_{L^3}{\rm d}s\\ &\quad +\varepsilon C( A_2(\sigma(T)+A_1(T)) )\int_{i-1}^{ t}\sigma_i \|\nabla^2 H\|^2_{L^2}{\rm d}s, \end{align*}$

即

$\begin{split}& \sigma_i(\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\nabla H\|^2_{L^2})+\int_{i-1}^t\sigma_i(\|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2){\rm d}s\\&\leqslant C(\widehat{\rho})E_0+C\int_{i-1}^{ t}\sigma_i\|\nabla u\|^3_{L^3}{\rm d}s,\end{split}$

只要 $\varepsilon \leqslant 1/(6C(K_1+K_2))$. 接下来估计 (3.24) 式右端最后一项. 由 (3.1), (3.2) 式, (3.21) 式, 引理 2.2-2.4, 引理 3.3, 并且注意到 $t+1-i\in (0, 2]$, 可以得到

$\begin{split}& C\int_{i-1}^{t}\sigma_i\|\nabla u\|^3_{L^3}{\rm d}s\leqslant C\int_{i-1}^{t}\sigma_i(\|\nabla v\|^3_{L^3}+\|\nabla w\|^3_{L^3}){\rm d}s\\&\leqslant C\int_{i-1}^{t}(\varepsilon^{1/6} \sigma_i \|\nabla w\|_{L^2}^{4/3} \|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^{5/3}+\varepsilon \sigma_i \|\nabla w\|_{L^2}^{4/3} \|\nabla H\|_{L^2}^{5/3} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{5/3} ){\rm d}s \\&\quad+C\sigma_i\|P-P(\tilde{\rho})\|_{L^3}^3 \\& \leqslant C(\widehat{\rho})E_0+\int_0^{\sigma(T)}\sigma_i(\|\sqrt{\rho} \dot{u}\|_{L^2}^{2} +\|\nabla^2 H\|_{L^2}^{2} ){\rm d}s \\&\quad +\varepsilon C(\widehat{\rho}) \int_0^{\sigma(T)}\sigma_i(\|\nabla u\|^8_{L^2}+\|\nabla v\|^8_{L^2} ){\rm d}s\\&\quad+\varepsilon^6 C(\widehat{\rho}) \int_0^{\sigma(T)}\sigma_i(\|\nabla u\|^8_{L^2}+\|\nabla v\|^8_{L^2} )\|\nabla H\|_{L^2}^{10}{\rm d}t\\& \leqslant C(\widehat{\rho})E_0+\varepsilon C(\widehat{\rho})E_0^4+\int_0^{\sigma(T)}\sigma_i(\|\sqrt{\rho} \dot{u}\|_{L^2}^{2} +\|\nabla^2 H\|_{L^2}^{2} ){\rm d}s\\&\quad +\varepsilon C(A_2^3(\sigma(T))+A_1^3(T))E_0+\varepsilon^6 C(A_2^4(\sigma(T))+A_1^4(T))E_0^5\\&\quad+\varepsilon^6 C(A_2^9(\sigma(T))+A_1^9(T))E_0.\end{split}$

结合 (3.24)- (3.25) 式并取 $K_1=C(\widehat{\rho})E_0$, 则

$\sigma_i(\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\nabla H\|^2_{L^2})+\int_{i-1}^t\sigma_i(\|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2){\rm d}s \leqslant 2K_1,$

只要 $\varepsilon \leqslant \tfrac{1}{2C(\widehat{\rho})(3K_1+3K_2)^3}$.

由于 $\sigma_1(t)=\sigma(t)$ 和 (3.26) 式, 可以得到

$\sup_{0\leq t\leq 1} \sigma_(\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\nabla H\|^2_{L^2})\leqslant 2K_1$

和

$\sup_{i\leq t\leq i+1}(\|\nabla u\|^2_{L^2}+\|\nabla H\|^2_{L^2})+\int_{i-1}^{i+1}\sigma_i(\|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2){\rm d}s \leqslant 2K_1.$

则根据 (3.27) 和 (3.28) 式可以得到 (3.22) 式.

另一方面, 取 $\eta=\sigma$, 并对 (3.3) 式在 $(t_1,t_2)$, $t_1,t_2\in (0,T]$ 上积分, 类似于 (3.25) 式, 由引理 3.1, 引理3.3 和 (3.21) 式可得

$\begin{align*} & 2\int_{t_1}^{t_2}\sigma (\|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2){\rm d}t \\ &\leqslant C(E_{0}+A_1(T))+C(\widehat{\rho})\int_{t_1}^{ t_2}\sigma\|\nabla u\|^3_{L^3}{\rm d}t+\varepsilon C\int_{i-1}^{ t}\sigma \|\nabla H\|^4_{L^2}{\rm d}s\\ &\quad+\varepsilon C\int_{i-1}^{ t}\sigma \|\nabla u\|^2_{L^2}\|\nabla^2 H\|^2_{L^2}{\rm d}s \\ & \leqslant C(E_{0}+A_1(T))+C(\widehat{\rho})E_0(t_2-t_1)+\varepsilon C(\widehat{\rho})A_1(T)E_0+\varepsilon C(\widehat{\rho})A_1(T)\int_{t_1}^{t_2}\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2{\rm d}t\\ &\quad +\int_{t_1}^{t_2}\sigma (\|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2){\rm d}t+\varepsilon C(\widehat{\rho})E_0^4(t_2-t_1)+\varepsilon C(\widehat{\rho})E_0[A_2^3(\sigma(T))+A_1^3(T)]\\ &\quad+\varepsilon^6 C(\widehat{\rho})[(A_1^4(T)+A_2^4(\sigma(T)))E_0^5+ (A_1^9(T)+A_2^9(\sigma(T)))E_0 ], \end{align*}$

只要 $E_0+M_1+M_2\lesssim 1/\varepsilon^{1/3}$, 于是便得到 (3.23) 式.

引理 3.5 设 $(\rho, u, H)$ 是方程组 (1.1)-(1.4) 在 $\Omega_{\varepsilon}\times (0,T]$ 上的一个强解, 则

$\sup_{t\in(0,\sigma( T)]}(\|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2)+\int_0^{\sigma(T)}(\|\nabla\dot{u}\|_{L^2}^2+\|\nabla H_t\|_{L^2}^2 ){\rm d}t \leqslant C(\widehat{\rho}, g, K_2),$

只要 $\varepsilon^{1/3}(E_{0}+M_1+M_2)\leqslant C $.

证

在 (3.4) 式中取 $\eta=1$. 对 (3.4) 式在 $(0,\sigma(T)]$ 上积分, 由引理 2.2-2.4, 引理 3.1 以及柯西-施瓦兹不等式得

$\begin{split}& \sup_{t\in(0,\sigma( T)]}(\|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2)+\int_0^{\sigma(T)}(\|\nabla\dot{u}\|_{L^2}^2+\|\nabla H_t\|_{L^2}^2 ){\rm d}t\\& \leqslant C(\widehat{\rho}, g)+C(\widehat{\rho})E_0+C\int_0^{\sigma(T)}\|\nabla u\|_{L^4}^4{\rm d}t+\varepsilon C K_2 \int_0^{\sigma(T)}\|\nabla H_t\|_{L^2}^2{\rm d}t\\&\quad+\frac{1}{8} \sup_{t\in(0,\sigma( T)]}\|H_t\|_{L^2}^2+\varepsilon^2C K_2^4+\varepsilon CK_2^{7/2}\\&\quad+(\varepsilon CK_2+\varepsilon^2CK_2^2 ) \int_0^{\sigma(T)}\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}^2{\rm d}t+\varepsilon^2C E_0^{1/3}K_2^2\\&\quad+\varepsilon^{7/3}C \int_0^{\sigma(T)}\|\nabla H\|_{L^2}^{8/3} \|\nabla u\|_{L^2}^{2} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{10/3}{\rm d}t\\&\quad+\varepsilon^2 C \int_0^{\sigma(T)}\|\nabla H\|_{L^2}^{3} \|\nabla u\|_{L^2}^{2} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{3}{\rm d}t.\end{split}$

由引理 2.2-2.3 和庞加莱不等式, 可得

$\begin{split}\|\nabla w\|_{L^4}^4& \leqslant C \|\nabla w\|_{L^2}^{2/3}\|\nabla w\|_{L^5}^{10/3}\\& \leqslant C \varepsilon^{1/3}\|\nabla w\|_{L^2}^{2/3}\|\nabla^2 w\|_{L^2}^{10/3}\\& \leqslant C \varepsilon^{1/3}\|\nabla w\|_{L^2}^{2/3}(\|\rho \dot{u}\|_{L^2}+\|H\cdot \nabla H\|_{L^2}+\|\nabla H\cdot H\|_{L^2})^{10/3}\\& \leqslant \varepsilon^2 C \|\nabla w\|_{L^2}^{2/3} \|\nabla H\|_{L^2}^{10/3}\|\nabla^2 H\|_{L^2}^{10/3}\\&\quad+\varepsilon^{1/3}C \|\nabla w\|_{L^2}^{2/3}\|\rho \dot{u}\|_{L^2}^{10/3}.\end{split}$

又由 (1.1)$_3$ 式, 可得

$\begin{split}\|\nabla^2 H\|_{L^2}& \leqslant C\| H_t\|_{L^2}+C\|H\|_{L^\infty} \|\nabla u\|_{L^2}+C \|u\|_{L^6}\|\nabla H\|_{L^3}\\& \leqslant C \| H_t\|_{L^2}+C \| \nabla H\|_{L^2}^{1/2}\| \nabla u\|_{L^2}\| \nabla^2 H\|_{L^2}^{1/2}\\&\leqslant \frac{1}{2} \|\nabla^2 H\|_{L^2}+C \| H_t\|_{L^2}+C\|\nabla H\|_{L^2}\| \nabla u\|_{L^2}^2,\end{split}$

即

$\|\nabla^2 H\|_{L^2}\leqslant C \| H_t\|_{L^2}+C\|\nabla H\|_{L^2}\| \nabla u\|_{L^2}^2.$

与 (3.25) 式类似, 根据引理 3.1, (3.31), (3.32) 式和柯西-施瓦兹不等式, 可以得到

$\begin{split}& C\int_0^{\sigma(T)}\|\nabla u\|_{L^4}^4{\rm d}t\leqslant C\int_0^{\sigma(T)}\|\nabla v\|_{L^4}^4{\rm d}t+C\int_0^{\sigma(T)}\|\nabla \omega\|_{L^4}^4{\rm d}t\\& \leqslant C(\widehat{\rho})E_0+\varepsilon^{1/3}C\int_{0}^{\sigma(t)} \|\nabla w\|_{L^2}^{2/3} \|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^{10/3}{\rm d}t\\&\quad+\varepsilon^2 C\int_{0}^{\sigma(t)}\|\nabla w\|_{L^2}^{2/3} \|\nabla H\|_{L^2}^{10/3} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{10/3} ){\rm d}t\\& \leqslant C(\widehat{\rho})E_0+\frac{1}{2}\sup_{t\in[\sigma(t)]}( \|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^{2} +\|H_t\|_{L^2}^{2} )+\varepsilon C(\widehat{\rho})K_2^4+\varepsilon^6 C(\widehat{\rho})K_2^9+\varepsilon^2 C(\widehat{\rho})K_2^5\end{split}$

和

$\begin{split}& \varepsilon^{7/3}C \int_0^{\sigma(T)} \|\nabla H\|_{L^2}^{8/3} \|\nabla u\|_{L^2}^{2} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{10/3}{\rm d}t\\&\leqslant \varepsilon^{7/3}C \sup_{t\in[\sigma(t)]} \|\nabla H\|_{L^2}^{8/3} \sup_{t\in[\sigma(t)]} \|\nabla u\|_{L^2}^{2} \sup_{t\in[\sigma(t)]} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{4/3}\int_0^{\sigma(T)} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{2}{\rm d}t\\& \leqslant \sup_{t\in[\sigma(t)]} \frac{1}{8} \|H_t\|_{L^2}^{2}+\varepsilon^7C K_2^{10}+\varepsilon^{7/3}C K_2^{16/3},\end{split}$

同理

$\varepsilon^2 C \int_0^{\sigma(T)}\|\nabla H\|_{L^2}^{3} \|\nabla u\|_{L^2}^{2} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{3}{\rm d}t\leqslant\sup_{t\in[\sigma(t)]} \frac{1}{8} \|H_t\|_{L^2}^{2}+\varepsilon^4C K_2^{7}+\varepsilon^{2}C K_2^{5}.$

于是, 由 (3.30) 式, (3.33)-(3.35) 式可以得到 (3.29) 式成立.

引理 3.6 设 $(\rho, u, H)$ 是方程组 (1.1)- (1.4) 在 $\Omega_{\varepsilon}\times (0,T]$ 上的一个强解, 则成立

$\sup_{t\in[T]}\sigma^3(\|\sqrt{\rho}\dot u\|_{L^2}^2+\|H_t\|_{L^2}^2)\leqslant C(\widehat{\rho}, K_1, K_2)$

和

$\int_{t_1}^{t_2}\sigma^3(\|\nabla\dot u\|_{L^2}^2+\|\nabla H_t\|_{L^2}^2){\rm d}t\leqslant C(\widehat{\rho})E_0(t_2-t_1)+ C(\widehat{\rho},K_1, K_2),$

只要 $\varepsilon^{1/3}(E_{0}+M_1+M_2)\leqslant C$.

证 对任意 $t\in (i-1,i+1]$, 令 $\eta=\sigma_i^3(t)=\sigma^3(t+1-i)$, 对 (3.4) 式在 $(i-1,t)$ 上积分, 则

$\begin{split}& \sigma_i^3(\|\sqrt{\rho}\dot{u}\|^2_{L^2}+\|H_t\|_{L^2}^2 )+ \int_{i-1}^{t}\sigma_i^3(\|\nabla\dot u\|_{L^2}^2+\|\nabla H_t\|_{L^2}^2){\rm d}s \\&\leqslant C(\widehat{\rho})E_0+2CK_1+\int_{i-1}^{t}\sigma_i^3\|\nabla u\|_{L^4}^4{\rm d}s+\varepsilon C (K_1+K_2) \int_{i-1}^{t}\sigma_i^3\|\nabla H_t\|_{L^2}^2{\rm d}s\\&\quad+\frac{1}{8}\sup_{\tau\in[i-1, t]}\sigma_i^3\|H_{\tau}\|_{L^2}^2+C(\widehat{\rho}, K_1, K_2)+\varepsilon C(K_1+K_2) \int_{i-1}^{t}\sigma_i^3\|\nabla\dot u\|_{L^2}^2{\rm d}s,\end{split}$

即

$\begin{split}& \sigma_i^3(\|\sqrt{\rho}\dot{u}\|^2_{L^2}+\|H_t\|_{L^2}^2 )+ \int_{i-1}^{t}\sigma_i^3(\|\nabla\dot u\|_{L^2}^2+\|\nabla H_t\|_{L^2}^2){\rm d}s\\&\leqslant C(\widehat{\rho}, K_1, K_2)+\int_{i-1}^{t}\sigma_i^3\|\nabla u\|_{L^4}^4{\rm d}s.\end{split}$

接下来估计 (3.38) 式中的最后一项. 类似于 (3.33) 式, 由引理 2.2-2.4, 引理 3.1-3.4, 可以得到

$\begin{split}\int_{i-1}^t\sigma_i^3\|\nabla u\|_{L^4}^4{\rm d}s& \leqslant \int_{i-1}^t\sigma_i^3(\|\nabla v\|_{L^4}^4+\|\nabla w\|_{L^4}^4){\rm d}s\\&\leqslant C(\widehat{\rho})E_0+\varepsilon^{1/3}C(\widehat{\rho})\int_{i-1}^{t}\sigma_i^3 \|\nabla w\|_{L^2}^{2/3}\|\nabla^2 w\|_{L^2}^{10/3} {\rm d}s\\&\quad+\varepsilon^2 C\int_{i-1}^{t}\sigma_i^3\|\nabla w\|_{L^2}^{2/3} \|\nabla H\|_{L^2}^{10/3} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^{10/3}{\rm d}s\\&\leqslant \frac{1}{8}\sup_{\tau\in[i-1, t]}\sigma_i^3(\|\sqrt{\rho}\dot{u}\|^2_{L^2}+\|H_{\tau}\|_{L^2}^2)+C(\widehat{\rho}, K_1, K_2).\end{split}$

于是, 对任意 $1\leq i\leq [T]-1$, 由 (3.38) 和 (3.39) 式可得

$\sup_{0\leq t\leq 1}\sigma^3(\|\sqrt{\rho} \dot{u}\|^2_{L^2}+\|H_t\|_{L^2}^2)\leqslant C(\widehat{\rho}, K_1, K_2)$

和

$\begin{split}\sup_{i\leq t\leq i+1}(\|\sqrt{\rho} \dot{u}\|^2_{L^2}+\|H_t\|_{L^2}^2)\leqslant C(\widehat{\rho}, K_1, K_2).\end{split}$

因此, 由 (3.40) 和 (3.41) 式可以得到 (3.36) 式. 接下来, 对 (3.4) 式在 $(t_1,t_2)$, $t_1,t_2\in (0,T]$ 上积分, 取 $\eta=\sigma^3$, 类似于 (3.40)-(3.41) 式, 那么

$\begin{split}& \int_{t_1}^{t_2}\sigma^3(\|\nabla\dot u\|_{L^2}^2+\|\nabla H_t\|_{L^2}^2){\rm d}t\\&\leqslant C(\widehat{\rho}) E_0+C(\widehat{\rho}, K_1, K_2)+C\int_{t_1}^{t_2}\sigma^3\|\nabla u\|^4_{L^4}{\rm d}t+ \frac{1}{8}\sup_{t\in[t_1, t_2]}\sigma^3(\|\sqrt{\rho}\dot{u}\|^2_{L^2}+\|H_t\|_{L^2}^2)\end{split}$

类似于 (3.39) 式, 则

$\begin{split}C\int_{t_1}^{t_2}\sigma^3\|\nabla u\|^4_{L^4}{\rm d}t&\leqslant C\int_{t_1}^{t_2}\sigma^3(\|\nabla v\|^4_{L^4}+\|\nabla w\|^4_{L^4}){\rm d}t\\&\leq C\int_{t_1}^{t_2}\sigma^3\|P-P(\tilde{\rho})\|_{L^4}^4+C\int_{t_1}^{t_2}\sigma^3\|\nabla w\|^4_{L^4}{\rm d}t\\&\leqslant C(\widehat{\rho})E_0(t_2-t_1)+ \frac{1}{8}\sup_{t\in[t_1, t_2]}\sigma^3(\|\sqrt{\rho}\dot{u}\|^2_{L^2}+\|H_t\|_{L^2}^2)+C(\widehat{\rho}, K_1, K_2).\end{split}$

于是, 由 (3.42) 和 (3.43) 式可得 (3.37) 式成立.

根据引理 3.3-3.6, 便可以得到密度的上界. 具体如下

引理 3.7 设 $(\rho, u, H)$ 是方程组 (1.1)-(1.4) 在 $\Omega_{\varepsilon}\times (0,T]$, $0<\rho \leq 2\widehat{\rho}$ 上的一个强解, 则

$\sup_{t\in [T]}\|\rho(x, t)\|_{L^\infty}\leq \frac{ 7\widehat{\rho}}{4},$

只要 $E_{0}+M_1+M_2 \lesssim \tfrac{1}{\varepsilon^{1/3}}$.

证 由于 $-\Delta v=-\nabla{\rm div}v+\nabla\times{\rm curl}v$, 因此 $ (1.9)_1$ 式可以写成如下形式

$\nabla((2\mu+\lambda){\rm div}v-P+\bar{P})-\mu\nabla\times{\rm curl}v=0,$

其中

$\bar{P}=\frac{1}{|\Omega_{\varepsilon}|}\int P{\rm d}x=\frac{a}{|\Omega_{\varepsilon}|}\int \rho^\gamma{\rm d}x\triangleq a \overline{\rho^\gamma}\leq a 2^{\gamma-1}\widehat{\rho}^{\gamma-1}\tilde{\rho},$

这里用到了 $0<\rho \leq 2\widehat{\rho}$ 和 $\gamma>1$. 因此 $\overline{\rho^\gamma}=\frac{1}{|\Omega_{\varepsilon}|}\int \rho^\gamma{\rm d}x$. 在 (3.44) 式的两端同时乘以 $\nabla((2\mu+\lambda){\rm div}v-P+\bar{P})$, 于是由引理 2.6 可得

$$\|\nabla((2\mu+\lambda){\rm div}v-P+\bar{P})\|_{L^2}=0,$$

即

$\nabla((2\mu+\lambda){\rm div}v-P+\bar{P})=0.$

另一方面, $ (1.1)_2$ 式可以写成如下形式

$$\Delta F=\mbox{div} (\rho \dot{u}-H\cdot\nabla H+\nabla H\cdot H),$$

其中

$F=(2\mu+\lambda){\rm div}u-P+\bar{P},$

由边界条件 (1.4) 式可得

$\begin{align*} \begin{split} \overline{F} &=\frac{1}{|\Omega_{\varepsilon}|}\int F {\rm d}x =\frac{1}{|\Omega_{\varepsilon}|}\int ((2\mu+\lambda){\rm div}u-P+\bar{P}){\rm d}x\\ &=\frac{2\mu+\lambda}{|\Omega_{\varepsilon}|}\int_{\partial \Omega_{\varepsilon}}u\cdot n {\rm d}S-\frac{1}{|\Omega_{\varepsilon}|}\int (P-\bar{P}) dx =0, \end{split} \end{align*}$

于是, 我们有如下形式的庞加莱不等式

$\|F\|_{L^p}\leqslant C \varepsilon \|\nabla F\|_{L^p}, \quad \quad p\geqslant 2.$

注意到

$\begin{align*} \begin{split} F =(2\mu+\lambda){\rm div}u-P+\bar{P} =(2\mu+\lambda){\rm div}w+(2\mu+\lambda){\rm div}v-P+\bar{P}, \end{split} \end{align*}$

结合 (3.46) 式可得

$\begin{align*} \begin{split} \nabla F =(2\mu+\lambda)\nabla{\rm div}w+\nabla\left((2\mu+\lambda){\rm div}v-P+\bar{P}\right) =(2\mu+\lambda)\nabla{\rm div}w, \end{split} \end{align*}$

根据 $w$ 的 $L^p-$ 估计 (可见引理 2.4), Gagliardo-Nirenberg 不等式 (可见引理 2.3), 以及 $\dot{u}$ 的庞加莱不等式 (见引理 2.2), 对于 $p\geqslant 2$, 则

$\begin{split}\|\nabla F\|_{L^p}& \leqslant C \|\nabla^2 w\|_{L^p}\leqslant C (\|\rho \dot{u}\|_{L^p}+\|H\cdot \nabla H\|_{L^p}+\|\nabla H \cdot H\|_{L^p})\\& \leqslant C(\widehat{\rho}) \varepsilon^{3(\frac{1}{p}-\frac{1}{2})+1}(\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}+ \|\nabla (H\cdot \nabla H)\|_{L^p}+\|\nabla( \nabla H \cdot H)\|_{L^2})\\& \leqslant C(\widehat{\rho}) \varepsilon^{3(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})+1}(\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}+\|\nabla H\|_{L^4}^2+\|H\|_{L^\infty} \|\nabla^2 H\|_{L^2} )\\& \leqslant C(\widehat{\rho}) \varepsilon^{3(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})+1}(\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}+\varepsilon^{1/2}\|\nabla^2 H\|_{L^2}^2 ).\end{split}$

由引理 2.4 和 (3.47)-(3.48) 式, 可以得到

$\begin{split}\|F\|_{L^\infty(\Omega_{\varepsilon})}& \leqslant C \varepsilon^{-3/6} (\|F\|_{L^6}+\varepsilon \|\nabla F\|_{L^6})\\& \leqslant C \varepsilon^{1/2} \|\nabla F\|_{L^6}\\& \leqslant C(\widehat{\rho}) \varepsilon^{1/2}\|\nabla \dot{u}\|_{L^2}+C(\widehat{\rho}) \varepsilon \|\nabla^2 H\|_{L^2}^2.\end{split}$

又由 $ (1.1)$ 式得

$D_t \rho=g(\rho)+b'(t),$

其中

$D_t \rho=\rho_t+u\cdot \nabla \rho, \quad\quad g(\rho)=-\frac{a \rho}{2\mu+\lambda}(\rho^\gamma-\overline{\rho^\gamma}), \quad\quad b(t)=-\frac{1}{2\mu+\lambda}\int_{0}^{t}\rho F {\rm d}t.$

对于$t\in[\sigma(T)]$, 对任意$0\leqslant t_1<t_2\leqslant \sigma(T)$, 由 (3.19) 式, (3.29) 式, (.9) 式, 以及引理 3.5 可得

$\begin{align*} \begin{split} |b(t_2)-b(t_1)| &\leqslant \int_{t_1}^{t_2}|b'(t)|{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2}| \frac{\rho F}{2\mu+\lambda}|{\rm d}t \leqslant C(\widehat{\rho}) \int_{t_1}^{t_2} \|F\|_{L^\infty}{\rm d}t\\ &\leqslant C(\widehat{\rho}) \varepsilon^{1/2} \int_{0}^{\sigma(T)} \|\nabla \dot{u}\|_{L^2}{\rm d}t+C(\widehat{\rho}) \varepsilon \int_{0}^{\sigma(T)} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^2{\rm d}t\\ &\leqslant C(\widehat{\rho}, g, K ) \varepsilon^{1/2}+\varepsilon C(\widehat{\rho})K_2. \end{split} \end{align*}$

因此, 对于 $t\in [\sigma(T)]$, 在 (26) 式中取 $N_0$ 和 $N_1$ 如下

$$N_1=0, \quad N_0=C(\widehat{\rho}, g, K )\varepsilon^{1/2}+\varepsilon C(\widehat{\rho})K_2,$$

和 (2.22) 式中 $\zeta^*=\max\{2^{\gamma-1}\tilde{\rho}, \widehat{\rho}\}$.

于是, 根据 $0<\rho \leqslant 2\widehat{\rho}$ 和 $\tilde{\rho}=\tfrac{1}{|\Omega_{\varepsilon}|}\smallint \rho \, {\rm d}x$, 由 (3.44) 式: $\overline{\rho^\gamma}=\tfrac{1}{|\Omega_{\varepsilon}|}\smallint_{\Omega_{\varepsilon}} \rho^\gamma \, dx\leqslant 2^{\gamma-1}\widehat{\rho}^{\gamma-1}\tilde{\rho}$ 可以得到

$$g(\zeta)=-\frac{a\zeta}{2\mu+\lambda}(\zeta^{\gamma}-\overline{\rho^\gamma})\leqslant -N_1=0, \quad \forall \zeta\geq \zeta^*=\max\{2^{\gamma-1}\tilde{\rho}, \widehat{\rho}\}.$$

因此, 由引理 2.5 可以得到

$\begin{split}\sup_{t\in[\sigma(T)]}\|\rho\|_{L^\infty(\Omega_{\varepsilon})}&\leqslant \max\{\rho_0,\zeta^*\}+N_0\\& \leqslant \max\{\widehat{\rho}, 2^{\gamma-1}\tilde{\rho}\}+C(\widehat{\rho}, g, K )\varepsilon^{1/2}+\varepsilon C(\widehat{\rho})K_2\leqslant \frac{3\widehat{\rho}}{2},\end{split}$

只要

$$\varepsilon \leqslant \min\Bigg\{\frac{\widehat{\rho}}{4C(\widehat{\rho}) K_2}, \left(\frac{\widehat{\rho}}{4C(\widehat{\rho}, g, K_2 )} \right)^{2}\Bigg\},\quad K_2=C(\widehat{\rho})(E_0+M_1+M_2).$$

对于 $t\in [\sigma(T), T]$, 由引理 3.6, (3.49)-(3.50) 式以及柯西-施瓦兹不等式, 对所有 $\sigma(T)\leq t_1<t_2\leq T$, 有

$\begin{align*} \begin{split} |b(t_2)-b(t_1)| &\leqslant \int_{t_1}^{t_2}|b'(t)|{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2}| \frac{\rho F}{2\mu+\lambda}|{\rm d}t\leqslant C(\widehat{\rho}) \int_{t_1}^{t_2} \|F\|_{L^\infty}{\rm d}t\\ &\leqslant C(\widehat{\rho}) \varepsilon^{1/2} \int_{0}^{\sigma(T)} \|\nabla \dot{u}\|_{L^2}{\rm d}t+C(\widehat{\rho}) \varepsilon \int_{0}^{\sigma(T)} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^2{\rm d}t\\ &\leqslant C(\widehat{\rho}) \varepsilon^{1/2} \int_{t_1}^{t_2}\sigma^3 \|\nabla \dot{u}\|_{L^2}^2{\rm d}t+C(\widehat{\rho}) \varepsilon^{1/2} \int_{t_1}^{t_2}\sigma^{-3}{\rm d}t +C(\widehat{\rho}) \varepsilon \int_{0}^{\sigma(T)} \|\nabla^2 H\|_{L^2}^2{\rm d}t\\ &\leqslant \big[C(\widehat{\rho})E_0+C(\widehat{\rho})\big] \varepsilon^{1/2}(t_2-t_1)+C(\widehat{\rho}, K_1, K_2)\varepsilon^{1/2}. \end{split} \end{align*}$

因此, 对 $t\in [\sigma(T),T]$, 在 (2.21) 式中取 $N_0$ 和 $N_1$ 是如下形式

$$N_1=\big[C(\widehat{\rho})E_0+C(\widehat{\rho})\big] \varepsilon^{1/2}, \quad N_0=C(\widehat{\rho}, K_1, K_2)\varepsilon^{1/2}$$

和 (2.22) 式中 $\zeta^*=\max\{2^{\gamma-1}\tilde{\rho}+1, \widehat{\rho} \}$.

那么对于任意 $\zeta\geq \zeta^*= \max\{2^{\gamma-1}\tilde{\rho}+1, \widehat{\rho} \}$, 只要 $\varepsilon\leqslant \left(\tfrac{a \widehat{\rho}^{\gamma}}{(2\mu+\lambda)C(\widehat{\rho})(E_0+M_1+M_2)}\right)^2$ 成立, 就有

$$g(\zeta)=-\frac{a\zeta}{2\mu+\lambda}(\zeta^{\gamma}-\overline{\rho^\gamma})\leq -N_1=-\big[C(\widehat{\rho})E_0+C(\widehat{\rho})\big] \varepsilon^{1/2},$$

因此, 由引理 2.5 可得

$\begin{split}\sup_{t\in[\sigma(T),T]}\|\rho\|_{L^\infty(\Omega_{\varepsilon})}\leqslant \max\{\frac{3\widehat{\rho}}{2}, \zeta^*\}+N_0\leqslant \max\{\frac{3\widehat{\rho}}{2}, 2^{\gamma-1}\tilde{\rho}\}+C(\widehat{\rho}, K)\varepsilon^{1/2}\leqslant\frac{7}{4}\widehat{\rho},\end{split}$

只要

$\varepsilon \leqslant \max \Bigg\{\frac{\widehat{\rho}}{4C(\widehat{\rho}) K_2}, \left(\frac{\widehat{\rho}}{4C(\widehat{\rho}, g, K_2 )} \right)^{2}, \left(\frac{a \widehat{\rho}^{\gamma}}{(2\mu+\lambda)C(\widehat{\rho})(E_0+M)}\right)^2\Bigg\}$

结合 (3.50) 和 (3.51) 式, 引理 3.7 便得证了.

${\bf 定理 1.1 的证明}\quad$ 如果 $\varepsilon$ 满足 (3.52) 式, 则由命题 3.1 可得密度 $\rho, \|\nabla u\|_{L^2}$ 关于时间 $t$ 是一致有界的. 因此, 由引理 3.1-3.7, 类似于文献 [26] 中的方法, 可以证明 $(\rho, u, H)$ 是一个强解并且满足 (1.8) 式.

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This paper is concerned with an initial-boundary value problem for screw pinches arisen from plasma physics. We prove the global existence of weak solutions to this physically very important problem. The main difficulties in the proof lie in the presence of 1/x-singularity in the equations at the origin and the additional nonlinear terms induced by the magnetic field. Solutions will be obtained as the limit of the approximate solutions in annular regions between two cylinders. Under certain growth assumption on the heat conductivity, we first derive a number of regularities of the approximate physical quantities in the fluid region, as well as a lot of uniform integrability in the entire spacetime domain. By virtue of these estimates we then argue in a similar manner as that in Ref. 20 to take the limit and show that the limiting functions are indeed a weak solution which satisfies the mass, momentum and magnetic field equations in the entire spacetime domain in the sense of distributions, but satisfies the energy equation only in the compact subsets of the fluid region. The analysis in this paper allows the possibility that energy is absorbed into the origin, i.e. the total energy be possibly lost in the limit as the inner radius goes to zero.

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