反应扩散方程广泛应用于种群动力学、传染病学、生态科学等学科中. 根据问题的实际背景, 反应扩散方程中的传播动力学是一个重要的研究方向. 在种群动力学中, Lotka-Volterra 竞争模型是模拟两物种或多物种相互作用的重要模型, 同时时变环境 (如季节更替、昼夜变迁) 也是影响种群密度的一个不可忽略的因素. 因此研究具有季节更替的 Lotka-Volterra 竞争扩散模型的传播动力学具有重要价值. 2012年, Hsu 和 Zhao^[2]认为受季节好坏的影响, 物种在好季节具有繁殖和竞争等能力, 但是在坏季节物种只有死亡. 据此, 他们提出了下面的两物种 Lotka-Volterra 竞争模型

其中, $\forall i=1, 2, r_{i}, k_{i}, \lambda_{i}, \alpha_{i}$ 都是正的常数, $m\in\mathbb{Z}_{+}$, 且 $\phi\in(0,1]$. $u_{i}$ 表示物种 $i$ 的种群密度, $\lambda_{i}$ 表示种群 $i$ 在坏季节的死亡率, $r_{i}$ 表示种群 $i$ 在好季节自身的增长率, $1\backslash k_{i}$ 用来描述在好季节中种群 $i$ 内部相互之间的密度依赖程度, $\alpha_{i}$ 用来描述好季节中不同种群之间的相互作用及影响. 对于系统 (1.1) 的全局动力系统有一个完整的分类, 分别是全局灭绝^{[2,定理 2.1]}, 竞争排斥^{[2,定理 2.2]}, 竞争共存^{[2,定理 2.3]}, 以及鞍点结构^{[2,定理 2.4]}.

自从系统 (1.1) 被提出, 具有季节更替的 Lotka-Volterra 竞争系统得到了广泛的关注. 在自然界中, 大部分种群需要在环境中移动, 来寻找食物或栖息地等. 所以考虑下面具有季节更替的局部扩散的 Lotka-Volterra 强弱竞争模型

其中系数 $d_{1}, d_{2}$ 分别表示两种群 $u_{1}, u_{2}$ 的扩散速率. Ma 和 Zhao^[7]考虑了强弱竞争情形下, 时间周期单稳行波解的存在性以及最小波速的线性选择; Wang, Zhang 和 Zhao^[10]考虑了弱竞争情形下连接 $(0,0)$ 和正稳态平衡点的行波解的存在性和不存在性; Zhang 和 Zhao^[14]考虑了强竞争情形下时间周期双稳行波解的存在性、唯一性和全局稳定性.

值得注意的是, (1.2) 式中的 Laplace 算子被广泛用来描述种群的局部扩散. 然而, 受自然环境等因素的影响, 有些种群需要通过迁徙来寻找更适合生存繁衍的栖息地, 所以对于此类问题, Laplace 算子并不适用. 因此, 本文考虑利用下面的非局部算子

来刻画长距离扩散, 其刻画了种群在 $t$ 时刻从空间位置 $y$ 移动到位置 $x$ 的概率分布. 在本文中, 始终假设 $\mathcal{J}$ 满足

${\bf(J1)} \mathcal{J}\in C^{1}(\mathbb{R}), \mathcal{J}(-y)=\mathcal{J}(y)\geqslant0, \int_{\mathbb{R}}\mathcal{J}(y){\rm d}y=1$, 且 $\mathcal{J}$ 具有紧支撑.

受上述工作的启发, 本文考虑具有季节更替的非局部 Lotka-Volterra 强弱竞争扩散模型

贯穿本文, 做如下假设

很明显在 ${\rm(C1)}$-${\rm(C3)}$ 假设下, 系统 (1.4) 对应的常微分系统 (1.1) 存在三个平衡点, 分别是两个不稳定的平衡点 $(0,0), (0,u_{2}^{\ast}(t))$, 以及一个稳定的平衡点 $(u_{1}^{\ast}(t),0)$. 对系统 (1.4) 作变量替换, $u_{1}(x,t)=u(x,t), u_{2}(x,t)=-v(x,t),$ 系统 (1.4) 转化为系统

其中

则系统 (1.1) 的平衡点 $(0,0)$ 转化为 $E_{0}=(0,0)$, $(0,u_{2}^{\ast}(0))$ 转化为 $E_{1}=(0,v^{\ast}(0))$, $(u_{1}^{\ast}(0),0)$ 转化为 $E_{2}=(u^{\ast}(0),0)$. 这样, 就将竞争系统 (1.4) 等价转化成为合作系统 (1.5).

本文主要研究的是对于非局部扩散系统 (1.5) 在满足 ${\rm(C1)}$-${\rm(C3)}$ 的条件下, 连接 $(u^{\ast}(t),0)$ 和 $(0,v^{\ast}(t))$ 的周期行波解的存在性以及渐近传播速度. 值得注意的是, 不动点 $(0,0)$ 位于两个有序的不动点 $(u^{\ast}(0),0)$ 和 $(0,v^{\ast}(0))$ 之间. 因此, 文献 [4] 中建立的关于周期半流的理论并不适用. 为了克服这个困难, 本文将利用文献 [1] 中建立的单调半流理论来证明行波解的存在性. 同时构造上解证明行波向右的最小波速与向右的渐近传播速度是一致的. 本文在第 1 部分中, 给出了解的存在唯一性结果. 在第 2 部分中, 利用单调半流理论文献 [1] 证明了单稳周期行波解的存在性. 在第 3 部分中, 证明了行波向右的最小波速与向右的渐近传播速度是一致的. 第 4 部分进行本文主要研究内容的总结.

在本节中, 给出系统 (1.5) 解的存在性与唯一性.

首先, 本文给出一些符号的定义. 用 $\parallel\cdot\parallel$ 表示 $\mathbb{R}^{2}$ 上的欧式范数. 对于 $\mathbf{a}=(a_{1}, a_{2})\in\mathbb{R}^{2}, \mathbf{b}=(b_{1}, b_{2})\in\mathbb{R}^{2}$, 若 $a_{i}\geqslant b_{i}, i=1, 2$, 则 $\mathbf{a}\geqslant\mathbf{b}$. 若 $\mathbf{a}\geqslant\mathbf{b},$ 但是 $\mathbf{a}\neq\mathbf{b}$, 则 $\mathbf{a}>\mathbf{b}$. 若 $a_{i}>b_{i}, i=1, 2$, 则 $\mathbf{a}\gg\mathbf{b}$.

贯穿本文, 用 $\mathcal{M}$ 表示从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}^{2}$ 的所有非增有界函数的集合, 并且赋予 $\mathcal{M}$ 紧开拓扑. 定义 $\mathcal{M}^{+}=\{(\psi_{1}, \psi_{2})\in\mathcal{M}:\psi_{i}\geqslant0, \forall x\in\mathbb{R}, i=1, 2\}$. 对于任意的 $\mathbf{\phi}=(\phi_{1}, \phi_{2}), \mathbf{\varphi}=(\varphi_{1}, \varphi_{2})\in\mathcal{M}$, 若 $\mathbf{\phi}-\mathbf{\varphi}\in\mathcal{M}$, 则 $\mathbf{\phi}\geqslant\mathbf{\varphi}$. 若 $\mathbf{\phi}-\mathbf{\varphi}\in\mathcal{M}$, 但是 $\mathbf{\phi}\neq\mathbf{\varphi}$, 则 $\mathbf{\phi}>\mathbf{\varphi}$. 若 $\mathbf{\phi}-\mathbf{\varphi}\in {\rm Int}\mathcal{M}^{+}$, 则 $\mathbf{\phi}\gg\mathbf{\varphi}$. 对于任意的 $\mathbf{a_{1}},\mathbf{a_{2}}\in\mathcal{M},$ 且 $\mathbf{a_{1}}\leqslant\mathbf{a_{2}}$, 则定义 $\mathcal{M}_{[\mathbf{a_{1}},\mathbf{a_{2}}]}:=\{\phi\in\mathcal{M}:\mathbf{a_{1}}\leqslant\phi\leqslant\mathbf{a_{2}}\}$.

接下来定义 $\mathbb{R}^{2}$ 中非紧的 Kuratowski 测度: 对于任意的有界集 $B$, $ \kappa(B):=\inf\{r:B \mbox{某个有限覆盖半径}<r\}. $ 很容易看出, $B$ 是预紧的, 当且仅当 $\kappa(B)=0$. 进一步, 有

根据文献 [1] 中建立的具有弱紧性的单调半流行波理论, 做出如下定义 $\forall y\in\mathbb{R}$, 定义一个平移算子 $T_{y}\in\mathcal{M}$,

令 $\beta\gg\alpha\in\mathbb{R}^{m}$, 映射 $Q:\mathcal{M}_{\alpha,\beta}\rightarrow\mathcal{M}_{\alpha,\beta}$, 根据文献[1,5] 作下列假设

${\bf(A1)}$ (平移不变性) $T_{y}\circ Q[\zeta]=Q\circ T_{y}[\zeta], \forall y\in\mathbb{R}, \zeta\in\mathcal{M}_{\alpha,\beta}$;

${\bf(A2)}$ (连续性) 若 $u_{n}\rightarrow u\in\mathcal{M}_{\alpha,\beta}, t_{n}\rightarrow t$, 则 $Q_{t_{n}}[u](x)\rightarrow Q_{t}[u](x)\in\mathbb{R}^{2}, Q_{t}[u_{n}](x)\rightarrow Q_{t}[u](x)\in\mathbb{R}^{2}$;

${\bf(A3)}$ (单调性) 当 $u\geqslant v\in\mathcal{M}_{\alpha,\beta}$ 时, $Q[u]\geqslant Q[v]$, 则称 $Q:\mathcal{M}_{\alpha, \beta}\rightarrow\mathcal{M}_{\alpha, \beta}$ 是单调的;

${\bf(A4)}$ (单稳性) $\alpha, \beta$ 是 $Q$ 的两个平衡点, 对于任意的 $\gamma\in\mathbb{R}^{m}, \alpha\ll\gamma\leqslant\beta$, $\lim_{n\rightarrow\infty} Q^{n}[\gamma]=\beta$;

${\bf(A5)}$ (弱紧性) 存在 $h\in[0,1)$ 使得 $\forall \mathcal{U}\subseteq\mathcal{M}_{\alpha, \beta}, \kappa(Q[\mathcal{U}](0))\leqslant h\kappa(\mathcal{U}(0))$.

给定 $\varpi\in\mathbb{R}^{m}$, 使得 $\alpha\ll\varpi\leqslant\beta$, 选取 $\psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 且 $\psi$ 具有以下性质

${\rm(B)} \psi$是非增函数; $\psi(x)=\alpha, \forall x\geqslant 0$; $\psi(-\infty)=\varpi$.

对于任意给定的实数 $c$, 定义算子 $R_{c}$,

并定义一个函数序列 $a_{n}(c;s)$,

为了方便, 记 $R_{c}=R_{c,1}, a_{n}(c;s)=a_{n}(c,1;s)$. 根据 Fang 和 Zhao^[1]的理论可知, 下列陈述是正确的

${\bf(P1)} \forall s\in\mathbb{R}, a_{n}(c;s)\rightarrow a(c;s)\in\mathbb{R}^{m}$, 且 $a_{n}(c;s)$ 对 $s, c$ 都是非增的;

${\bf(P2)} a(c;-\infty)=\beta$, 且 $a(c;+\infty)$ 在 $\mathbb{R}^{m}$ 中存在;

${\bf(P3)} a(c;+\infty)\in\mathbb{R}^{m}$ 是 $Q$ 的一个平衡点.

根据文献 [1,11] 作如下定义: $c_{+}^{\ast}=\sup\{c:a(c;+\infty)=\beta\}, \overline{c}_{+}=\sup\{c:a(c;+\infty)>\alpha\}. $ 由于 $a(c;\cdot)$ 关于 $c$ 非增, 则显然 $c_{+}^{\ast}\leqslant \overline{c}_{+}$. 由于 $a(c;+\infty)$ 是 $Q$ 的平衡点, 若 $Q$ 在 $\mathcal{M}_{\alpha, \beta}$ 中只有 $\alpha, \beta$ 两个平衡点, 则 $c_{+}^{\ast}=\overline{c}_{+}$. 此外, $a(c;+\infty)=\beta, a(c;+\infty)>\alpha$ 当且仅当 $c<c_{+}^{\ast}$ 且 $c<\overline{c}_{+}$.

设 $\{Q_{t}\}_{t\geqslant0}$ 为一个 $\omega$-周期半流, 具有两个与 $x$ 无关的 $\omega$-周期轨道 $\alpha(t), \beta(t)$, 满足 $\alpha(t)\ll\beta(t)$, 其中 $\alpha(t)=Q_{t}[\alpha], \beta(t)=Q_{t}[\beta], \forall t\geqslant0$. 通过 $Q=Q_{\omega}$ 以及文献 [2,定理 2.1-2.3] 中的论证, 可以得到以下两个结果.

引理 2.1 令 $\{Q_{t}\}_{t\geq0}$ 为一个 $\omega$-周期半流, 且 $c_{+}^{\ast}, \overline{c}_{+}$ 如上述定义. 假设 $Q_{\omega}$ 满足 ${\rm(A1)}$-${\rm(A5)}$, $\beta=\beta(0), \alpha=\alpha(0),$ 并且, $\forall t>0, Q_{t}$ 满足 ${\rm(A3)}$, 则下列结论成立

${\rm(1)}$ 若 $u_{0}\in\mathcal{M}_{\alpha, \beta}, \alpha\leq u_{0}\ll\beta, $且 $u_{0}(x)=\alpha, \forall x\geq L,$ 对于某些 $L\in\mathbb{R},$ 则

$$\lim_{t\rightarrow\infty, x\geq ct}[Q_{t}[u_{0}](x)-\alpha(t)]=0, \forall c>\overline{c}_{+}/\omega;$$

${\rm(2)}$ 若 $u_{0}\in\mathcal{M}_{\alpha, \beta}, u_{0}(x)\geq\sigma, \forall x\leq H, $对于某些 $\sigma\gg\alpha, H\in\mathbb{R},$

则

$$\lim_{t\rightarrow\infty, x\leq ct}[Q_{t}[u_{0}](x)-\beta(t)]=0, \forall c<c_{+}^{\ast}/\omega.$$

引理 2.2 令 $\{Q_{t}\}_{t\geq0}$ 为一个 $\omega$-周期半流, 且 $c_{+}^{\ast}, \overline{c}_{+}$ 如上述定义. 假设 $Q_{\omega}$ 满足 ${\rm(A1)}-{\rm(A5)}$, $\beta=\beta(0), \alpha=\alpha(0),$ 并且, $\forall t>0, Q_{t}$ 满足 ${\rm(A3)}$, 则下列结论成立

${\rm(1)} \forall c\geq c_{+}^{\ast}/\omega, \{Q_{t}\}_{t\geq0}$ 存在一个 $\omega$-周期行波 $W(x-ct,t)$ 连接 $\beta(t)$ 到某个过 $\beta_{1}(0)\in\mathcal{M}_{\alpha, \beta}\backslash\{\beta\}$ 的周期轨道 $\beta_{1}(t);$

${\rm(2)}$ 若 $\alpha$ 是 $Q_{\omega}\in\mathcal{M}_{\alpha,\beta}$ 的一个孤立平衡点, 则对于任意的 $c\geq \overline{c}_{+}/\omega,$ 以下陈述之一成立

${\rm(a)} \{Q_{t}\}_{t\geq0}$ 存在一个 $\omega$-周期行波 $W(x-ct, t)$ 连接 $\beta(t)$ 到 $\alpha(t);$

${\rm(b)} Q_{\omega}$ 存在两个有序的不动点 $\gamma_{1}, \gamma_{2}\in\mathcal{M}_{\alpha,\beta}\backslash\{\alpha,\beta\},$ 使得存在一个 $\omega$-周期行波 $W_{1}(x-ct, t)$ 连接 $\gamma_{1}$ 到 $\alpha,$ 行波 $W_{2}(x-ct, t)$ 连接 $\beta(t)$ 到 $\gamma_{2}.$ 其中, $\gamma_{1}(t)=Q_{t}[\gamma_{1}], \gamma_{2}(t)=Q_{t}[\gamma_{2}].$

${\rm(3)}$ 对于任意的 $c<c_{+}^{\ast}/\omega,$ 不存在连接 $\beta(t)$ 的 $\omega$-周期行波, $\forall c<\overline{c}_{+}/\omega,$ 不存在连接 $\beta(t)$ 到 $\alpha(t)$ 的行波.

不失一般性, 令 $m=0$, 则系统 (1.5) 等价于

下面给出系统 (2.5) 解的存在唯一性, 对于下面的初值问题

通过计算可以得到上述系统 (2.6) 的解为 $(u(x,t),v(x,t))=({\rm e}^{-\lambda_{1} t}u(x,0),{\rm e}^{-\lambda_{2} t}v(x,0))=:(\phi_{1}(x),\phi_{2}(x))$. 因此, 系统 (2.5) 等价于以下非局部扩散方程的初值问题

根据文献[12,引理 3.1], 考虑下面系统

的解半群. 首先, 考虑如下初值问题

显然, (2.9) 式等价于如下的积分问题

定义 $\widetilde{u}_{0}(x,t)=\phi_{1}(x),$

利用类似于文献 [12] 中的归纳法不难证明

其中

$$a_{0}(\phi_{1})(x)=\phi_{1}(x), a_{k}(\phi_{1})(x)=\int_{\mathbb{R}}\mathcal{J}_{1}(x-y)a_{k-1}(\phi_{1})(y){\rm d}y,\ \ k\in\mathbb{N}.$$

由于 $\int_{\mathbb{R}}\mathcal{J}_{1}(y){\rm d}y=1$ 且 $a_{0}(\phi_{1})(x)=\phi_{1}(x)$ 有界, 故 $a_{k}(\phi_{1})(x)$ 有界, 因此 $\widetilde{u}_{n}(x,t)$ 是收敛的. 从而

$$u_*(x,t):=\lim_{n\rightarrow\infty}\widetilde{u}_{n+1}(x,t)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{[d_{1}(t-(1-\phi)\omega)]^{k}}{k!}a_{k}(\phi_{1})(x), \forall t\geqslant(1-\phi)\omega, x\in\mathbb{R}.$$

在 (2.10) 式中, 令 $n\rightarrow\infty$ 得 $u_*(x,t)$ 为系统 (2.10), 即 (2.9) 式的解. 因此, 系统 (2.8) 的解半群为

定义

令 $\mathbf{w}=(\widetilde{u},\widetilde{v})^\top$, $\mathbf{w}(\cdot,0)=(w_{10}(\cdot),w_{20}(\cdot))^\top:=(\widetilde{u}(\cdot,0),\widetilde{v}(\cdot,0))^\top.$ 则系统 (2.7) 等价于下面的积分系统

下面给出 (2.13) 式的上下解的定义.

定义 2.1 假设对于任意的连续函数 $(\widetilde{u},\widetilde{v})$ 关于 $t$ 是 $C^{1}$ 的, 该函数满足

则称 $(\widetilde{u}(x,t),\widetilde{v}(x,t))$ 分别为 (1.5) 式的上解和下解.

参考文献 [3,命题 4.3], [6,定理 2.3], [引理 16] 可知如下引理成立.

引理 2.3 如果 $(u_{0},v_{0})\in\mathcal{M}(\mathbb{R},\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}_{-})$, 则 (1.5) 式存在唯一的适度解 $(u(t,\cdot),v(t,\cdot))\in \mathcal{M}(\mathbb{R},\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}_{-})$.

在本节中, 建立了系统 (1.5) 连接 ${\rm(}u^{\ast}(t),0{\rm)}$ 到 ${\rm(}0,v^{\ast}(t){\rm)}$ 的周期行波的存在性. 应用文献 [1] 中建立的具有弱紧性的单调半流理论来证明周期行波解的存在性.

若在 $\mathcal{M}_{\alpha,\beta}$ 中 $Q_{0}[\phi]=\phi; Q_{t}\circ Q_{s}[\phi]=Q_{t+s}[\phi], \forall t\geq 0$; 对于任意的 $x\in\mathbb{R},$ 当 $t_{n}\rightarrow t, \mathbf{u}_{0_{n}}\rightarrow \mathbf{u}_{0}$ 时, 有 $Q_{t_{n}}[\mathbf{u}_{0_{n}}](x)\rightarrow Q_{t}[\mathbf{u}_{0}](x)$, 则称 $\{Q_{t}\}_{t\geq0}$ 是系统 (1.5) 在 $\mathcal{M}_{\alpha,\beta}$ 上的解半流. $Q_{\omega}$ 有三个平衡点:$E_{0}=(0,0), E_{1}=(0,v^{\ast}(t)), E_{2}=(u^{\ast}(t),0)$. 因此, $\alpha(t):=(0,v^{\ast}(t)), \beta(t):=(u^{\ast}(t),0)$ 为系统 (1.5) 的 $\omega$-周期解. 根据文献 [8] 可知

为了方便, 记

$\overline{c}^{+}$, $c^{\ast +}$ 分别是 $\{Q_{t}\}_{t\geqslant0}$ 向右传播的最快速度和最慢速度. 当 $\overline{c}^{+}=c^{\ast +}$ 时, 称 $\{Q_{t}\}_{t\geqslant0}$ 具有单个向右的传播速度.

定理 3.1 假设 ${\rm(C1)}$-${\rm(C3)}$ 和 ${\rm(J1)}$ 成立. 根据上述定义的 $\overline{c}^{+},c^{\ast +}$, 显然 $\overline{c}^{+}\geqslant c^{\ast +}$, 则下列陈述正确

${\rm(1)}$ 对于任意的 $c\geqslant \overline{c}^{+}$, 系统存在一个 $\omega$-周期的行波 ${\rm(}U(x-ct,t),V(x-ct,t){\rm)}$ 连接 $(u^{\ast}(t),0)$ 到 $(0,v^{\ast}(t))$, 其中 $U(z,t)$, $V(z,t)$ 在 $z\in\mathbb{R}$ 中是非增的;

${\rm(2)}$ 对于任意的 $c<\overline{c}^{+}$, 不存在连接 $(u^{\ast}(t),0)$ 到 $(0,v^{\ast}(t))$ 的行波.

证 令 $Q_{t}[\phi](x)=\mathbf{u}(x,t;\phi), \phi\in\mathcal{M}_{\alpha,\beta}$, 其中 $\mathbf{u}(x,t;\phi)$ 是 (1.5) 的适度解, 且 $\mathbf{u}(x,t;\phi)=\phi(x), x\in\mathbb{R}$. 下面将验证 $Q_{t}:\mathcal{M}_{\alpha,\beta}\rightarrow\mathcal{M}_{\alpha,\beta}$ 满足 ${\rm(}A1{\rm)}-{\rm(}A5{\rm)}$. 若 $\mathbf{u}(x,t)$ 是系统的解, 则对于任意 $y\in\mathbb{R}, \mathbf{v}(x,t):=\mathbf{u}(x-y,t)$, 故 ${\rm(A1)}$ 成立. 关于连续性条件 ${\rm(A2)}$, 由文献 [12,引理2.2] 得到. 由于系统 (1.5) 是合作系统, 则对于该系统比较原理成立, 因此, 单调性条件 ${\rm(A3)}$ 显然成立. 对于单稳性条件 ${\rm(A4)}$, 由文献 [8,定理 2.2] 可证. 最后验证 ${\rm(A5)}$, 取 $x= 0$, 由于任意的 $\mathbb{R}$ 中的有界闭集是预紧集, 则有 $\kappa(\mathcal{U}(0))=0, \forall\mathcal{U}\subseteq\mathcal{M}_{\alpha,\beta}$. 此外, 因为 $\kappa(Q_{t}[\mathcal{U}](0))=0$, 则 $\kappa(Q_{t}[\mathcal{U}]$$(0))=\kappa(\mathcal{U}(0))=0,{\rm(A5)}$ 成立.

接下来, 为了完成定理3.1, 只需要证明引理2.2 ${\rm(2)(b)}$ 的陈述对于该模型来说是不正确的. 利用反证法, 假设 (b) 的陈述是正确的. 显然, 对于任意的 $c\geqslant\overline{c}_{+}$, $E_{1}=(0,v^{\ast}(t))$ 与 $E_{2}=(u^{\ast}(t),0)$ 之间只存在唯一一个平衡点 $E_{0}=(0,0)$. 系统 (1.5) 限制在区间 $[E_{1},E_{0}]$ 上可以简化为反应扩散系统

该系统存在一个非增的 $\omega$-周期行波 $V(x-ct,t)$ 连接 $0$ 到 $v^{\ast}(t)$. 同时系统 (1.5) 限制在区间 $[E_{0},E_{2}]$ 上可以简化为反应扩散系统

此系统存在一个非增的 $\omega$-周期行波 $U(x-ct,t)$ 连接 $u^{\ast}(t)$ 到 $0$.

显然, 连接 $0$ 到 $-v^{\ast}(t)$ 的非减行波 $\widetilde{W}(x-ct,t)=-V(x-ct,t)$ 满足下面方程

通过文献 [9,定理 4.5], [13,定理 3.5] 和定理 3.6 可知, 定义一个线性算子 $\mathfrak{L}:\mathcal{M}_{\alpha,\beta}\rightarrow\mathcal{M}_{\alpha,\beta},$ 且满足

$$(\mathfrak{L}\psi)(x)={\rm e}^{-\lambda_{1}(1-\phi)\omega}\psi(x), \forall x\in\mathbb{R}.$$

并且对于任意给定的 $\varepsilon>0,$ 令 $Q_{t}^{\varepsilon}$ 为下面线性反应扩散方程的解半流,

$$Q_{\omega}(\psi)\leqslant Q_{\phi\omega}^{0}\circ\mathfrak{L}(\psi), \forall \psi\in\mathcal{M}_{\alpha,\beta}.$$

令 $\mathcal{N}:=Q_{\phi\omega}^{0}\circ\mathfrak{L}$. 对于任意的 $\mu\in\mathbb{R}$, 根据文献 [5], 定义 $\mathcal{B}_{\mu}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, 且有

因此, $\mathcal{B}_{\mu}$ 的特征函数 $\lambda(\mu)$ 满足

$$\lambda(\mu)={\rm e}^{(d_{1}[\int_{\mathbb{R}}\mathcal{J}_{1}(y){\rm e}^{-\mu y}{\rm d}y-1]+r_{1})\phi\omega-\lambda_{1}(1-\phi)\omega}.$$

因此,

根据文献 [5,定理 3.10(i)] 可知,

$$c_{\omega}^{\ast}\leqslant\inf_{\mu>0}\Phi(\mu).$$

对于任意的 $\varepsilon>0,$ 且 $(r_{1}-\varepsilon)\phi-(1-\phi)\lambda_{1}>0,$ 可以选择一个 $\eta>0$ 使得

$$u(t,x,\psi)\leqslant\frac{\varepsilon}{b},\forall t\in[\omega],x\in\mathbb{R},\psi\in\mathcal{M}_{\eta}.$$

根据比较原理可知,

$$Q_{\omega}\geqslant Q_{\phi\omega}^{\varepsilon}\circ\mathfrak{L}(\psi),\forall \psi\in\mathcal{M}_{\eta}.$$

令 $\mathcal{N}^{\varepsilon}:=Q_{\phi\omega}^{\varepsilon}\circ\mathfrak{L}$ 且

$$\Phi_{\varepsilon}(\mu):=\frac{(d_{1}[\int_{\mathbb{R}}\mathcal{J}_{1}(y){\rm e}^{-\mu y}{\rm d}y-1]+r_{1}-\varepsilon)\phi\omega-\lambda_{1}(1-\phi)\omega}{\mu}.$$

根据文献 [5,定理 3.10(ii)] 可知, $c_{\omega}^{\ast}\geqslant\inf_{\mu>0}\Phi_{\varepsilon}(\mu).$ 令 $\varepsilon\rightarrow0$, 则可以得到

$$c_{\omega}^{\ast}\geqslant\inf_{\mu>0}\Phi(\mu).$$

则根据上述结果可知, $c_{\omega}^{\ast}=\inf_{\mu>0}\Phi(\mu)$, 故$c_{1}^{\ast}:=\frac{c_{\omega}^{\ast}}{\omega}$. 因此, 系统 (3.4)、 (3.5) 存在速度 $c_{1}^{\ast},c_{2}^{\ast}$, 其中 $c_{1}^{\ast},c_{2}^{\ast}$ 分别是系统 (3.4)、 (3.5) 的 $\omega$-周期行波的最小波速. 因此, $c\geqslant c_{1}^{\ast}>0,-c\geqslant c_{2}^{\ast}>0$, 产生矛盾, 则假设不成立.

在本节中, 验证了行波向右的最小波速与向右的渐近传播速度是一致的.

定理 4.1 假设 ${\rm(C1)}$-${\rm(C3)}$ 成立, 则下列陈述是正确的

${\rm(1)}$ 若 $\psi\in\mathcal{M}_{\alpha,\beta},\alpha=\alpha(0), \beta=\beta(0), \alpha\leqslant \psi\ll\beta$, 且$\psi(x)=\alpha, \forall x\geqslant L$, 对于某些 $L\in\mathbb{R}$, 则

$$\lim_{t\rightarrow\infty,x\geqslant ct}[(u,v)-\alpha(t)]=0, \forall c>\overline{c}^{+};$$

${\rm(2)}$ 若 $\psi\in\mathcal{M}_{\alpha,\beta}, \alpha=\alpha(0), \beta=\beta(0), \psi(x)\geqslant\sigma, \forall x\leqslant H$, 对于某些 $\sigma\gg\alpha, H\in\mathbb{R}$, 则

$$\lim_{t\rightarrow\infty,x\leqslant ct}[(u,v)-\beta(t)]=0, \forall c<\overline{c}^{+}.$$

证 根据引理2.2 可知, 只需要证明 $\overline{c}^{+}=c^{\ast +}$ 即可证明定理 4.1. 下面利用反证法, 假设结论不成立, 根据 $\overline{c}^{+}, c^{\ast +}$ 的定义可知, $\overline{c}^{+}>c^{\ast +}$. 由引理 2.1-2.2 可知, 系统 (1.5) 存在一个连接 $\beta(t)$ 到 $\mathbf{0}$ 的非增的 $\omega$-周期行波 $(U(x-c^{\ast +},t),V(x-c^{\ast +},t))$, 其中 $\mathbf{0}=(0,0)$. 因此, 令 $V\equiv0$, 则 $U$ 是系统 (3.4) 的一个连接 $u^{\ast}(t)$ 到 $0$ 的 $\omega$-周期行波. 显然, $c^{\ast +}\geqslant c_{1}^{\ast}>0$, 其中 $c_{1}^{\ast}$ 如定理3.1 证明中定义. 固定一个 $c_{1}\in(c^{\ast +},\overline{c}^{+})$, 因为 $c_{1}>c_{1}^{\ast}=\inf_{\mu>0}\frac{\Phi(\mu)}{\omega}$, 故存在一个 $\mu_{1}>0$, 使得 $c_{1}=\frac{\Phi(\mu_{1})}{\omega}$.

不妨令 $m=0$, 系统

在 $u^{\ast}(t)=0$ 处线性化可得

进而 (4.2) 式等价于

其中

令 $u(x,t)={\rm e}^{-\mu(x-ct)}l_{1}(t)$, 代入 (4.3) 式可知

则

接下来, 定义

由于 $F(0,c_{1})=0$, 且 $\frac{\partial F}{\partial\tau}(0,c_{1})=c_{1}>0$. 因此存在一个 $\tau\in(0,\mu_{1})$ 使得 $F(\tau,c_{1})>0$. 现在定义

其中

$$u^{\ast}(t)=\frac{k_{1}(1-{\rm e}^{\lambda_{1}(1-\phi)\omega-r_{1}\phi\omega})}{({\rm e}^{\lambda_{1}(1-\phi)\omega}-1){\rm e}^{-r_{1}t}+(1-{\rm e}^{\lambda_{1}(1-\phi)\omega-r_{1}\phi\omega})}, M:=\frac{r_{2}}{k_{2}\alpha_{2}}\min_{0\leqslant t\leqslant\omega}\{\frac{-v^{\ast}(t)}{l_{1}(t){\rm e}^{-\mu(x-c_{1}t)}}\}>0.$$

接下来要验证 $(\overline{u},\overline{v})$ 是系统 (1.5) 的上解. 事实上, 对于任意的 $u^{\ast}(t)<l_{1}(t){\rm e}^{-\mu(x-c_{1}t)}$, 此时 $\overline{u}=u^{\ast}(t)$. 当 $t\in[(1-\phi)\omega]$ 时,

当 $t\in[(1-\phi)\omega,\omega]$ 时,

对于任意的 $u^{\ast}(t)>l_{1}(t){\rm e}^{-\mu(x-c_{1}t)}$, 此时 $\overline{u}=l_{1}(t){\rm e}^{-\mu(x-c_{1}t)}$. 当 $t\in[(1-\phi)\omega]$ 时,

对于 $\overline{u}=Ml_{1}(t){\rm e}^{-\mu(x-c_{1}t)}$, 当 $t\in[(1-\phi)\omega,\omega]$ 时,

接下来, 考虑对于任意的 $0<v^{\ast}(t)(1-{\rm e}^{-\tau(x-c_{1}t)})$, $\overline{v}=0$, 此时 $x-c_{1}t<0$, 当 $t\in[(1-\phi)\omega]$ 时, $\overline{v}_{t}+\lambda_{2}\overline{v}=0$. 当 $t\in[(1-\phi)\omega,\omega]$ 时,

对于任意的 $0>v^{\ast}(t)(1-{\rm e}^{-\tau(x-c_{1}t)})$, $\overline{v}=v^{\ast}(t)(1-{\rm e}^{-\tau(x-c_{1}t)})$, 此时 $x-c_{1}t>0$, 当 $t\in[(1-\phi)\omega]$ 时,

则有 $\overline{v}_{t}+\lambda_{2}\overline{v}>0$. 当 $t\in[(1-\phi)\omega,\omega]$ 时,

根据上述计算, 证明了 $\forall t\in[\omega], (\overline{u},\overline{v})$ 是系统 (1.5) 的上解. 对于给定的函数 $\psi(x)$, 满足 (B), 其中, $\alpha=E_{1}, \beta=E_{2}, \alpha\ll\varpi\leqslant\beta$, 取足够大的常数 $\widehat{L}>0$, 则有

$$\varphi(x):=(\overline{u}(0,x-\widehat{L}),\overline{v}(0,x-\widehat{L}))\geqslant\psi(x),\forall x\in\mathbb{R}.$$

通过比较原理,

$$Q_{t}[\psi](x)\leqslant(\overline{u}(t,x-\widehat{L}),\overline{v}(t,x-\widehat{L})),\forall t\in[\omega],x\in\mathbb{R},$$

其中, $Q_{t}$ 是系统 (1.5) 的 $\omega$-周期解半流. 令 $a_{n}$ 如 ${\rm(P1)}$-${\rm(P3)}$ 定义, 且 $Q=Q_{\omega}, \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a.$ 又由于 $a_{n}=\psi\leqslant\varphi$ 且

$$a_{1}(c_{1}\omega,x)=\max\{\psi(x),T_{-c_{1}\omega}Q_{\omega}[a_{0}](x)\}\leqslant\max\{\varphi(x),Q_{\omega}[\varphi](x+c_{1}\omega)\}.$$

根据上解 $(\overline{u},\overline{v})$ 的定义,

此外, 还可以得到

则有

因此, $a_{1}(c_{1}\omega,x)\leqslant\varphi(x),\forall x\in\mathbb{R}$. 根据定义可得 $a_{n}(c_{1}\omega,x)\leqslant\varphi(x),\forall x\in\mathbb{R},n\geqslant0.$ 再由于 $c_{1}\omega\in(c_{+}^{\ast},\overline{c}_{+})$, 则

$$(0,0)=a(c_{1}\omega,+\infty)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\lim_{n\rightarrow+\infty}a_{n}(c_{1}\omega,x)\leqslant\lim_{x\rightarrow+\infty}\varphi(x)=(0,v^{\ast}(0)),$$

构成矛盾. 因此 $\overline{c}^{+}=c^{\ast +}$.

注 4.1 本文定义了 $c^{\ast}_{+}$ 和 $\overline{c}_{+}$, 其中, "$+$'' 代表了向右传播. 相似的, 可以定义 $c^{\ast}_{-}$ 和 $\overline{c}_{-}$. 其中, "$-$'' 代表向左传播, 向左的渐近传播速度类似向右的情形可得.

本文首先进行了符号的定义, 并且给出了具有季节更替的非局部 Lotka-Volterra 竞争系统解的存在唯一性 (见引理 2.3), 随后给出了该系统连接两个半正平衡点的周期行波解的存在性 (见定理 3.1), 最后通过构造上解证明了行波向右的最小波速与向右的渐近传播速度是一致的 (见定理 4.1).