在控制论、金融学中的许多实际现象和问题均可用随机微分方程来描述, 这些现象的典型特征就是不确定性, 这种不确定性通常由随机性来刻画, 但不确定性还有另一面-模糊性. 经济中内生和外生的一些不确定性因素均会导致参数难以被准确的描述, 如无风险利率百分之三左右, 波动约为百分之五等. 在具有模糊性的金融市场中, 模型中的一些参数可能不是精确的, 因此需要把这种不精确性反应到模型结构中, 模糊随机微分方程的建立将是解决不确定性问题的有利工具.

经典的 B-S 期权定价公式广泛应用于金融衍生品市场, 但这种理想化和具有严格约束条件的模型与实际金融市场数据会产生较大的偏差. 在实际情况中, 由于企业重大经营变更, 宏观经济的巨大波动、国家政策调整、战争和自然灾害等, 均会导致资产价格在一段时间内发生剧烈变动. 为了更好的捕捉市场中股票大幅波动的现象, 很多文献提出了改进的 B-S 模型, Merton^[1] 在资产价格演化过程中加入跳跃来刻画资产价格的突然变动, 提出了对数正态跳跃扩散模型, 并给出了看涨、看跌期权的解析解. Merton 的跳跃扩散模型弥补了B-S 模型的不足, 但对数正态分布的假定限制了跳跃不能出现负值, 而且没有解决股票价格呈现非对称的尖峰厚尾和波动率微笑的缺陷. Kou^[2] 对 Merton 的跳跃扩散模型进行了修正和推广, 利用双指数跳跃扩散模型得到了路径依赖期权的显式解, 双指数跳跃扩撒模型成为对资产定价的有利工具, 更多的相关文献可参考邓国和,杨向群^[3]; 周伟, 何建敏^[4]等.

为了刻画金融市场中的不确定性. 近年来, 已有很多文献将模糊性和随机性相结合来研究金融衍生品的定价问题. Zadeh^[5] 首先提出了模糊集理论, 该理论已成为刻画不确定性因素的有力工具. Puri 和 Ralescu 等^[6]把模糊应用到随机模糊上, 将模糊变量与随机理论相结合, 提出了模糊随机变量. 模糊随机变量的提出、发展和完善有助于把不确定当中的随机性和模糊性相结合, 有效改善模型的不精确性. Carlsson 和 Fuller^[7] 将模糊随机理论应用到金融衍生品定价中, 构建了资产价格的模糊表达形式. Yoshida 等^[8,9]把模糊性引入到随机金融模型中, 对参数同时赋予了随机性和模糊性, 给出了模糊欧式和美式期权的定价公式. Zhang 等^[10]在模糊环境下研究了双指数跳跃扩散模型的欧式期权定价问题. Xu 和 Wu^[11] 等使用模糊性来刻画跳跃次数和跳跃幅度的不确定性, 其数值结果表明, 与默顿模型相比, 模糊默顿模型提供了更为可靠的值. Wu^[12] 利用模糊运算进一步得到了模糊的 B-S 期权定价版本. Muzzioli 和 Torricell^[13] 使用三角模糊数来刻画标的资产价格的上升和下降, 得到了看涨期权的清晰均值. Chrysafis 和 Papadopoulos^[14] 使用三角模糊数, 完成了去模糊化处理, 并对期权进行了敏感性分析. Liu 和 Li^[15] 等通过假设标的资产遵循一个模糊的跳跃扩散过程, 在默顿框架下推导了欧式期权模糊价格区间的解析定价公式, 并用加权可能性均值代替定价公式中的模糊值, 进行了数值模拟, 给出了清晰解. Lee 等^[16]提出了用 "底、中、高" 来表示跳跃因子的模糊二叉树模型, 实证结果表明该模型得到的模糊看涨期权价格是标准 CRR 价格的有效替代方案. Nowak 和 Romaniuk^[17] 通过模糊化 L$\acute{\rm e}$vy 过程给出了欧式期权的定价. Appadoo 和 Becto^[18] 利用梯形模糊数来表示跳跃因子, 对具有模糊收益的期权进行定价. 秦学志和吴冲锋^[19]同样采用梯形模糊数方法, 在考虑交易成本的情况下, 给出了未定权益的模糊估价方法. 对参数进行去模糊化处理并进行数值模拟的文献还可以参考 Nowak 和 Romaniuk^[17], 詹惠蓉和彭龙^[20], 马勇^[21]等. 模糊随机变量的提出为改善模型预测精度提供了很好的工具.

综观以上文献其主要采用模糊化模型参数和对数正态假定下得到期权定价公式. 受文献 [10,11] 的启发, 本文在考虑复杂金融环境下, 纳入模糊性和随机性建立了模糊跳跃扩散模型, 在假定跳跃幅度服从对数正态分布和双指数状态下, 给出多维跳跃扩散市场模型欧式极大看涨期权定价公式, 扩展了跳跃扩散模型的应用场景. 最后, 利用加权概率平均法, 将模糊参数化为清晰数, 通过数值模拟分析了在不同模型下主要参数变化对期权定价带来的影响, 通过上证 50ETF 期权价格实证分析, 进一步验证了参数敏感性及模型稳定性, 为投资决策提供了定量计算依据.

本文后续部分安排如下: 第 2 节介绍一些模糊基础知识. 第 3 节给出在模糊情形下多维跳跃扩散市场模型欧式极大看涨期权定价公式及去模糊化方法. 第 4 节给出了数值计算, 分析了不同模型下和主要参数变化对期权价格影响. 第 5 节对全文进行了总结.

定义 2.1^[5] 令 $X$ 是一个集合, $\tilde{A}$ 是 $X$ 的一个模糊子集, 给定实数域 $\mathbb{R}$ 上的一个映射 $ \mu_{\tilde{A}}: \mathbb{R} \longmapsto[0,1] $, 则称 $\mu_{\tilde{A}}\left ( x \right )$ 为 $x$ 在模糊集 $\tilde{A}$ 中的隶属函数.

定义 2.2^[12] 对于任意的 $\alpha \in(0,1]$, 若集合

$$\tilde{A}_\alpha=\left\{x \in \mathbb{R}: \mu_{\tilde{A}} \geq \alpha\right\},$$

则称 $\tilde{A}_\alpha$ 为 $\tilde{A}$ 的一个 $\alpha$-截集, 并且当 $\alpha=0$ 时, $\tilde{A}$ 的支撑集为

$$\tilde{A}_0: \operatorname{supp} \mu_{\tilde{A}_0}=\operatorname{cl}\{x \in \mathbb{R}: u(x) >0\}.$$

若 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的实值函数,如果满足 $\left \{ x \mid f(x)\ge \alpha \right \}$, 则 $f$ 对于任意的 $\alpha \in(0,1]$ 是上半连续的.

定义 2.3^[12] 令 $\tilde{a}$ 是实数 $\mathbb{R}$ 的模糊子集, 如果 $\tilde{a}$ 是模糊数, 则需要满足下面四个条件

(1) $\tilde{a}$ 是正规的, 即使得 $\mu_{\tilde{a}}\left(x\right)=1$;

(2) $\tilde{a}$ 是模糊凸的, 即对于任意的 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$, 均有

$$ \mu_{\tilde{a}}\left(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2\right) \geq \min \left\{\mu_{\tilde{a}}\left(x_1\right), \mu_{\tilde{a}}\left(x_2\right)\right\} ;$$

(3) $\tilde{a}$ 的隶属度 $\mu_{\tilde{a}}$ 是上半连续的;

(4) $\tilde{a}$ 的支撑集的闭包 $\tilde{a}_0$ (即 $\overline{x \in \mathbb{R}: \mu_{\tilde{a}}(x)>0}$) 是紧的.

由文献 [5] 知, $\tilde{A}$ 是凸模糊集当且仅当 $\left\{x \in \mathbb{R}:\mu_{\tilde{A}} \geq \alpha,\right\}$ 是紧凸集. 因此, 如果$\tilde{a}$ 是模糊数, 则 $\tilde{a}_{\alpha}$ 是紧凸集, 其中模糊数 $\tilde{a}$ 表示在 $a$ 附近波动且 $\tilde{a}_{\alpha}=[a_\alpha^L,a_\alpha^U]$.

命题 2.1^[5] 隶属函数 $\mu_{\tilde{A}}$ 的模糊集为 $\tilde{A}$, 并且 $\tilde{A}_\alpha=\left\{x \in \mathbb{R}: \mu_{\tilde{A}}(x) \geqslant \alpha\right\}$, 则可以得到

$$\mu_{\tilde{A}}(x)=\sup _{\alpha \in[0,1]} \alpha 1_{\tilde{A}_\alpha}(x),$$

其中 $1_A$ 是集合 $A$ 的指标函数, 当 $\tilde{A}_\alpha$ 是清晰的集合 $\tilde{A}$ 时, 如果 $x \in A$, 则 $1_A(x)=1$. 如果 $x \notin A$, 则 $1_A(x)=0$.

当 $\tilde{a}$ 是一个清晰数 $a$ 时,

$$\mu_{\tilde{a}}(x)= \begin{cases}1 & x=a, \\ 0 & \text {其他.}\end{cases}$$

定义 2.4^[12] 假设 $\tilde{a}$ 和 $\tilde{b}$ 为两个模糊数, 这两个数的模糊运算符号为 $\oplus, \ominus, \otimes$ or $\oslash$, 则 $\tilde{a} \odot \tilde{b}$ 模糊数的隶属函数为

$$\mu_{\tilde{a} \odot \tilde{b}}(z)=\sup _{\{(x, y): x \circ y=z\}} \min \left\{\mu_{\tilde{a}}(x), \mu_{\tilde{b}}(y)\right\},$$

其中 $\odot=\oplus, \ominus, \otimes$ 或 $\oslash$ 和 $\circ=+,-, \times,/ $. $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 关于两个区间的模糊运算 $[a, b] \odot_{\mathrm{int}}[c, d]$ 为

$$ [a, b] \odot_{\text {int }}[c, d] \equiv \{z \in \mathbb{R}: z=x \circ y, \forall x \in[a, b], \forall y \in[c, d]\}.$$

由此 $a \oplus b, a \circ b$ 和 $\frac{a}{b}$ 同样也是模糊数, 则对于所有的 $\alpha \in[0,1]$, 它们的 $\alpha$-截集可以表述为

(1) $[a \oplus b]_\alpha=\left[a_\alpha^L+b_\alpha^L, a_\alpha^U+b_\alpha^U\right]$; $[a \ominus b]_\alpha=\left[a_\alpha^L-b_\alpha^U, a_\alpha^U-b_\alpha^L\right]$;

(2) $[a \circ b]_\alpha=\left[\min \left\{a_\alpha^L b_\alpha^L, a_\alpha^L b_\alpha^U, a_\alpha^U b_\alpha^L, a_\alpha^U b_\alpha^U\right\}, \max \left\{a_\alpha^L b_\alpha^L, a_\alpha^L b_\alpha^U, a_\alpha^U b_\alpha^L, a_\alpha^U b_\alpha^U\right\}\right]$;

(3) 如果 $[b]_\alpha$ 的左右端点不等于 $0$, 则

$$\bigg[\frac{a}{b}\bigg]_\alpha=\bigg(\min \bigg\{\frac{a_\alpha^L}{b_\alpha^L}, \frac{a_\alpha^L}{b_\alpha^U}, \frac{a_\alpha^U}{b_\alpha^L}, \frac{a_\alpha^U}{b_\alpha^U}\bigg\}, \max \bigg\{\frac{a_\alpha^L}{b_\alpha^L}, \frac{a_\alpha^L}{b_\alpha^U}, \frac{a_\alpha^U}{b_\alpha^L}, \frac{a_\alpha^U}{b_\alpha^U}\bigg\}\bigg).$$

定义 2.5^[22] 设 $f$ 是一个加权函数, 设 $\tilde{a} $ 是一个模糊数. 则模糊数 $\tilde{a}$ 的$f$ 加权区间值可能性均值为

$$M_*(\tilde{a})=\frac{\int_0^1 f\left(\operatorname{Pos}\left[a \leq \tilde{a}_\alpha^L\right]\right) \tilde{a}_\alpha^L \mathrm{ d} \alpha}{\int_0^1 f\left(\operatorname{Pos}\left[a \leq \tilde{a}_\alpha^L\right]\right) \mathrm{d} \alpha}=\int_0^1 f(\alpha) \tilde{a}_\alpha^L \mathrm{ d} \alpha$$

和

$$M^*(\tilde{a})=\frac{\int_0^1 f\left(\operatorname{Pos}\left[a \geq \tilde{a}_\alpha^U\right]\right) \tilde{a}_\alpha^U \mathrm{ d} \alpha}{\int_0^1 f\left(\operatorname{Pos}\left[a \geq \tilde{a}_\alpha^U\right]\right) \mathrm{d} \alpha}=\int_0^1 f(\alpha) \tilde{a}_\alpha^U \mathrm{ d} \alpha,$$

其中$\tilde{a}$ 的 $\alpha$-截集 $ \tilde{a}_{\alpha } =\left [ \tilde{a}^{L}_{\alpha },\tilde{a}^{U}_{\alpha } \right ]$, $P$ 为可能性测度, 即

$$\begin{aligned} \operatorname{P}\left[\tilde{a} \leq \tilde{a}_\alpha^L\right]=\sup _{x \leq \tilde{a}_\alpha^L} \tilde{a}(x)=\alpha, \quad \operatorname{P}\left[\tilde{a} \geq \tilde{a}_\alpha^U\right]=\sup _{x \geq \tilde{a}_\alpha^U} \tilde{a}(x)=\alpha, \end{aligned}$$

并且 $f(\alpha)$ 为满足 $\int_0^1 f(\alpha) \mathrm{d} \alpha=1$ 的加权函数. 根据加权函数的定义可得到下列性质.

命题 2.2^[22] 设$\tilde{a}$和$\tilde{b}$ 是两个模糊数. 则

$$M_*(\tilde{a}+\tilde{b})=M_*(\tilde{a})+M_*(\tilde{b})$$和$$M^*(\tilde{a}+\tilde{b})=M^*(\tilde{a})+M^*(\tilde{b}).$$

命题 2.3^[22] 设 $\tilde{a}$ 为模糊数, $\lambda$ 为实数. 则有

$$M_*(\lambda \tilde{a})= \begin{cases}\lambda M_*(\tilde{a}), & \text { if } \lambda \geq 0, \\ \lambda M^*(\tilde{a}), & \text { if } \lambda<0\end{cases}$$

和

$$M^*(\lambda \tilde{a})= \begin{cases}\lambda M^*(\tilde{a}), & \text { if } \lambda \geq 0, \\ \lambda M_*(\tilde{a}), & \text { if } \lambda<0. \end{cases}$$

注 2.1$M(\tilde{a})=\left [ M_*(\tilde{a}),M^*(\tilde{a}) \right ] $ 是一个以加权的下、上可能均值为界的封闭区间, 且称 $ M(\tilde{a})$ 为模糊数 $\tilde{a}$ 的加权封闭区间的概率均值, 定义上下概率加权平均值的算术平均值为

$$M(\tilde{a})=\frac{M_*(\tilde{a})+M^*(\tilde{a})}{2}.$$

命题 2.4^[22]设 $\tilde{a}$ 和 $\tilde{b}$ 为模糊数, 设 $\lambda \in \mathrm{R}$ 为实数. 则有

$$M(\tilde{a}+\tilde{b})=M(\tilde{a})+M(\tilde{b})$$

和

$$M(\lambda \tilde{a})=\lambda M(\tilde{a}).$$

定义 2.6^[23,24] 假设 $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ 为一个概率空间. 对于所有的 $\alpha \in[0,1]$, 如果 $[\tilde{X}]_\alpha: \Omega \rightarrow \mathcal{K}(\mathbb{R}^n)$ 是一个 $\mathcal{A}$-可测函数, 则称映射 $\tilde{X}: \Omega \rightarrow\mathcal{F}(\mathbb{R}^n)$ 为一个模糊随机变量, 并且对于所有的 $\alpha \in [ 0,1 ]$, 映射 $\omega \rightarrow \tilde{X}_{\alpha}^{L} $ 和 $\omega \rightarrow \tilde{X}_{\alpha}^{U}$ 是可测的, 其中 $\tilde{X}_{\alpha }(\omega )= [\tilde{X}_{\alpha }^{L}(\omega ),\tilde{X}_{\alpha }^{U}(\omega )] = \{ x\in\mathbb{R}^n \mid \tilde{X}(\omega)(x)\ge \alpha \}$.

设 $X$ 是一个有界可积的模糊随机变量, 根据文献 [9] 期望的定义, 即对于每一个 $\alpha \in[0,1]$ 且 $X \in \mathbb{R}^n$, 模糊随机变量 $X$ 的期望 $E[X]$ 可以由一个模糊数定义为

$$E[X](x)=\sup _{\alpha \in[0,1]} \min \left\{\alpha, 1_{E[X]_\alpha}(x)\right\},$$

其中

$$E[X]_\alpha=\bigg(\int_{\Omega} X_\alpha^L \mathrm{ d} P(\omega), \int_{\Omega} X_\alpha^U \mathrm{ d} P(\omega)\bigg).$$

在模型中使用三角模糊数, 则三角模糊数 $\tilde{a}$ 的隶属函数定义为

$$\mu _{\tilde{a} }(x)= \begin{cases}\left(x+a-a_c\right) / a, & a_c-a \leq x \leq a_c, \\ \left(a_c+b-x\right) / b, & a_c<x \leq a_c+b,\\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}$$

其中三角模糊数表示为 $\tilde{a}=\left(a_{c}-a ; a_{c} ; a_{c}+b\right)$. 三角模糊数 $\tilde{a}$ 可解释为 "在 $a_c$ 左右'' 或 "近似等于 $a_{c}$, 实数 $a_c$ 称为 $\tilde{a}$ 的核心值, $a$ 和 $b$ 分别称为 $\tilde{a}$ 的左、右区间宽度. $\tilde{a}$ 的 $\alpha $ 水平集 (闭区间) 为

$$\tilde{a}_\alpha=\left\{x \mid \mu_{\tilde{a}}(x) \geq \alpha\right\}=\left[a_c-(1-\alpha) a, a_c+(1-\alpha) b\right],$$

即

$$\tilde{a}_\alpha^L=a_c-(1-\alpha) a, \quad \tilde{a}_\alpha^U=a_c+(1-\alpha)b.$$

本小节结合模糊性和随机性来刻画资产定价中的不确定性, 主要研究两种跳跃扩散模型: 模糊正态跳跃扩散模型和模糊双指数跳跃扩散模型, 并推导出相应的显示表达式.

设 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 是一完备的概率空间, 其中 $\Omega=\Omega_1 \times \cdots \times \Omega_n, \mathcal{F}=\mathcal{F}_1 \times \cdots \times \mathcal{F}_n, P=$$P_1 \times \cdots \times P_n$, 假定 $\left(\Omega_i, \mathcal{F}_i, P_i\right)$ 是由 $W_i$ 和 $N_i$ 生成的概率空间, $W_i$ 为标准的布朗运动, $N_i$ 为泊松随机测度, $W_i$ 和 $N_i$ 为相互独立的随机过程. $\mathbb{F}_i=\left\{\mathcal{F}_i(t)\right\}_{t \geq 0}$ 是由 $W_i$ 和 $N_i$ 生成的滤子.

考虑如下的多维混合市场模糊模型

其中 $\tilde{Q}_{ik}(t)=\sum\limits_{l=1}^{N_{lk}(t)}\tilde{Y}_{ik}^{l}$ 为模糊复合泊松过程, $\tilde{N}_{l k}$ 是强度为 $\tilde{\lambda}_{l k}$ 的模糊泊松过程, $\tilde{Y}_{i k}^1, \tilde{Y}_{i k}^2, \cdots$ 是一列独立同分布的非负模糊随机变量, 且 $\tilde{Y}_{i k}^l$ 独立于模糊泊松过程 $\tilde{N}_{l k}$. $E(\tilde{Y}_{i k}^l)=\tilde{\beta}_{i k}$, $\tilde{W}_i$ 为模糊标准布朗运动且与模糊泊松过程 $\tilde{N}_{l k}$, 模糊跳跃 $\tilde{Y}_{l k}$ 相互独立. 在模糊情形下, 资产价格变成了模糊随机过程 $\tilde{S}_i$. 模糊泊松过程 $\tilde{N}_{i l}$ 服从以下的概率分布

$$P(\tilde{N}_{il}(t)=n)=\frac{\bigg(\sum\limits_{k=1}^{K}\tilde{\lambda}_{ik}^{l}t\bigg)^{n}}{n!} {\rm e}^{-\sum\limits_{k=1}^{K}\tilde{\lambda}_{ik}^{l}t}.$$

令 $\tilde{\gamma}_i=\ln \tilde{Y}_{i k}^l$, 本文基于模糊随机微分方程显示解的可得性、数值计算的便利性, 以及股票价格具有 "尖峰厚尾'' 和 "波动率微笑'' 等特性, 主要考虑 $\tilde{\gamma}_i$ 服从以下两种概率分布

(1) 模糊正态分布, 其密度函数为

记为 $\tilde{\gamma}_i \sim N(\tilde{u}_i, \tilde{\delta}_i^2)$, 此时称模型 (3.1) 式为模糊正态跳跃扩散模型;

(2)模糊双指数分布, 其密度函数为

其中 $\tilde{\eta}_{i1}>0,\tilde{\eta}_{i2}>0$ 为模糊参数, $p_i,q_{i}\geq 0,p_i+q_i=1$ 表示上跳和下跳的模糊概率. 此时称模型 (3.1) 式为模糊双指数跳跃扩散模型.

引理 3.1 当资产价格满足模糊随机微分方程 (3.1), 则对应的模糊随机微分方程的解为

证 将模糊资产价格 $\tilde{S}_i(t)$ 分解为模糊连续部分 $\tilde{X}_i(t)$ 和模糊纯跳部分 $\tilde{J}_i(t)$, 记

$$\begin{gathered} \tilde{X}_i^c(t)=\Bigg(r_i-\sum_{k=1}^K \tilde{\beta}_{i k} \tilde{\lambda}_{i k}\Bigg) t+\sum_{j=1}^J \sigma_{i j} \tilde{W}_{i j}(t), \ \ \tilde{J}_i(t)=\sum_{k=1}^K\Bigg(\prod_{l=1}^{\tilde{N}_{i l}(t)}(1+ \tilde{Y}_{i k}^l)\Bigg), \end{gathered}$$

则

下证模糊资产价格 $\tilde{S}_i(t)$ 是随机微分方程 (3.1)的解. 由伊藤公式知

在第 $i$ 次跳时刻, $ \tilde{J}_{i}(t)=\tilde{J}_{i}(t^{-})\bigg(1+\sum\limits_{k=1}^{K}\tilde{Y}_{ik}\bigg) $, 则

$$\Delta \tilde{J}_{i}(t)=\tilde{J}_{i}(t)-\tilde{J}_{i}(t^{-}) =\tilde{J}_{i}(t^{-})\Bigg(\sum\limits_{k=1}^{K}Y_{ik}\Bigg) =\tilde{J}_{i}(t^{-})\sum\limits_{k=1}^{K}\Delta \tilde{Q}_{ik}(t).$$

方程 $\Delta \tilde{J}_{i}(t)=\tilde{J}_{i}(t^{-})\sum\limits_{k=1}^{K}\Delta \tilde{Q}_{ik}(t)$ 在非跳时刻也成立, 此时两边同时为零. 故

由跳过程的伊藤乘积公式知

由于$\tilde{J}_{i}(t)$ 是模糊纯跳过程, 而 $\tilde{X}_{i}(t)$ 连续的, 故 $[\tilde{X}_{i}, \tilde{J}_{i}](t)=0$. 将 (3.6) 式和 (3.7) 式代入 (3.8) 式, 可得

其微分形式为

在模糊极大欧式看涨期权中规定有 $n$ 种可能选择, 期权持有人有以敲定价格 $E_i(i=1, \cdots, n)$ 购买模糊风险资产 $\tilde{S}_i(i=1, \cdots, n)$ 的权利. 期权持有人有权在合约到期日选择最佳的一种, 使实施的效益达到极大, 因此对于模糊欧式极大看涨期权, 在期权到期日的收益为

$$V(\tilde{S}_1, \cdots, \tilde{S}_n, T)=\max \{(\tilde{S}_1(T)-E_1)^{+}, \cdots,(\tilde{S}_n(T)-E_n)^{+}\}.$$

特别的, 当 $E_1=\cdots=E_n=E$, 在初始时刻 0 时, 选取表现最好的风险资产 $\tilde{S}_i$, 则极大欧式看涨期权的模糊价格为

$$\begin{aligned} \widetilde{\mathrm{C}}(\tilde{S}_i, T) & =\mathrm{e}^{-\mathrm{r}_{\mathrm{i}} \mathrm{T}} \mathbb{E}[\max \{(\tilde{S}_1(T)-E)^{+}, \cdots,(\tilde{S}_n(T)-E)^{+}\}]\\ & =\mathrm{e}^{-\mathrm{r}_{\mathrm{i}} \mathrm{T}} \mathbb{E}[(\tilde{S}_i-E)^{+}]_{i=1,2, \cdots, n}. \end{aligned}$$

这类模糊欧式极大欧式看涨期权可以看作是单个模糊资产的标准看涨期权的推广, 其中 $r_i$ 是常数市场利率. 以下期权的模糊价格 $\widetilde{\mathrm{C}}(\tilde{S}_i, T)$ 简记为 $\widetilde{\mathrm{C}}$.

定理 3.1 模糊正态跳跃扩散模型的极大看涨期权的定价解析式为

其中

$$\tilde{d}_{1,2}^{n}=\frac{\ln \Bigg(\tilde{S}_i(0) \Bigg(\mathrm{e}^{-\sum\limits_{k=1}^{K}\tilde{\lambda}_{ik} \tilde{\beta}_{ik}T} \cdot \prod\limits_{l=1}^{\tilde{N}_{il}(t)}\Bigg(1+\sum\limits_{k=1}^{K}\tilde {Y}_{ik}^{l}\Bigg)\Bigg) / E_i\Bigg)+ \Bigg(r_{i}\pm \sum\limits_{j=1}^{J}\frac{1}{2}\sigma^2_{ij}\Bigg)T} {\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{J}\sigma^{2}_{ij}T} }.$$

证 由模糊标准的布莱克-斯科尔斯-默顿公式, 极大欧式看涨期权的价格为

其中

$$ \tilde{d}_{1,2}^{n}=\frac{\ln \frac{\tilde {S}_i(T)}{E_i}+ \bigg(r_{i}\pm \sum\limits_{j=1}^{J}\frac{1}{2}\sigma^2_{ij}\bigg)T} {\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{J}\sigma^{2}_{ij}T} }.$$

由 (3.4) 式知

$$\tilde{S}_{i}(T)=S_{i}(0){\rm e}^{(r_{i}-\sum\limits_{k=1}^{K}\tilde{\beta}_{ik} \tilde{\lambda}_{ik}-\sum\limits_{j=1}^{J}\frac{1}{2}\sigma^{2}_{ij})T +\sum\limits_{j=1}^{J}\sigma_{ij}(\tilde{W}_{ij}(T)-\tilde{W}_{ij}(0))} \times \prod\limits_{l=1}^{\tilde{N}_{il}(T)}\Bigg(1+\sum\limits_{k=1}^{K} \tilde{Y}_{ik}^{l}\Bigg),$$

$S_{i}(T)$ 是 $\mathcal{F}(t)$ 可测, 由独立性引理^[25]和全期望公式可知

其中

$$Z_{ij}=-\frac{\tilde{W}_{ij}(T)-\tilde{W}_{ij}(0)}{\sqrt{T}},$$

是 $Q$ 下得标准正态随机变量, $\widetilde{\mathbb{E}}$ 是 $Q$ 测度下的期望, 条件 $\mathcal{F}_{t}:=\sigma\Bigg(\prod\limits_{l=1}^{\tilde{N}_{i l}(t)}\bigg(1+\sum\limits_{k=1}^K \tilde{Y}_{i k}^l\bigg)\Bigg)$ 是由随机变量 $\prod\limits_{l=1}^{\tilde{N}_{i l}(T)}\bigg(1+\sum\limits_{k=1}^K \tilde{Y}_{i k}^l\bigg)$ 生成的. 由于 $\prod\limits_{l=1}^{\tilde{N}_{i l}(T)}\bigg(1+\sum\limits_{k=1}^K \tilde{Y}_{i k}^l\bigg)$ 是 $\sigma\Bigg(\prod\limits_{l=1}^{\tilde{N}_{i l}(T)}\bigg(1+\sum\limits_{k=1}^K \tilde{Y}_{i k}^l\bigg)\Bigg)$ 可测的, 而 $\tilde{Z}_{i j}$ 独立于 $\sigma\Bigg(\prod\limits_{l=1}^{\tilde{N}_{i l}(T)}\bigg(1+\sum\limits_{k=1}^K \tilde{Y}_{i k}^l\bigg)\Bigg)$, 再由独立性引理可得

由于 $V(\tilde{S}_i, T)=\widetilde{\mathrm{C}}(\tilde{S}_i, T)$, 把 (3.12) 式代入 (3.10) 式可得 (3.9) 式.

推理 3.1 在模糊正态跳跃扩散模型下, 模糊期权价格 $\tilde{C}_\alpha$ 可表示为

$$\widetilde{C}_\alpha=[\widetilde{C}_\alpha^L, \widetilde{C}_\alpha^U],$$

其中

$$\tilde{d}_{1,2}^{L}=\frac{\ln \Bigg(S_i(0) \Bigg(\mathrm{e}^{-\sum\limits_{k=1}^{K}\tilde{\lambda}_{ik}^{U} \tilde{\beta}_{ik}^{L}} \cdot \prod\limits_{l=1}^{\tilde{N}_{il}(t)}\Bigg(1+\sum\limits_{k=1}^{K}\tilde {Y}_{ik}^{lL}\Bigg)\Bigg) / E\Bigg)+ \Big(r_{i}\pm \sum\limits_{j=1}^{J}\frac{1}{2}\sigma^2_{ij}\Big)T} {\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{J}\sigma^{2}_{ij}T}},$$

$$\tilde{d}_{1,2}^{U}=\frac{\ln \Bigg(S_i(0) \Bigg(\mathrm{e}^{-\sum\limits_{k=1}^{K}\tilde{\lambda}_{ik}^{L} \tilde{\beta}_{ik}^{U}} \cdot \prod\limits_{l=1}^{\tilde{N}_{il}(t)}\Bigg(1+\sum\limits_{k=1}^{K}\tilde {Y}_{ik}^{lU}\Bigg)\Bigg) / E\Bigg)+ \Big(r_{i}\pm \sum\limits_{j=1}^{J}\frac{1}{2}\sigma^2_{ij}\Big)T}{\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{J}\sigma^{2}_{ij}T} }.$$

对于双指数分布, 平均向上和向下跳的尺度概率不能超过百分之百, 即

$$ \ln \tilde{Y}_{ik}^{l}=\tilde{\gamma}_{i}=\left\{\begin{array}{l} \sum\limits_{k=1}^{K}\xi_{i}^{+}, \ \ \text {概率为 } p_{i}, \\ \sum\limits_{k=1}^{K}\xi_{i}^{-}, \ \ \text {概率为 } q_{i}, \end{array}\right.$$

$ \xi_{i}^{+},\xi_{i}^{-}$ 分别表示模糊上跳幅度和下跳幅度, 两个模糊指数分布的均值分别为

$$\begin{aligned} \mathbb{E}(\tilde {Y}_{il}^{+})=\int_0^{\infty} {\rm e}^{-\eta_{i,1}y}{\rm d} y=\frac{1}{\eta_{i,1}}, \quad \mathbb{E} (\tilde {Y}_{il}^{-})=\int_{-\infty}^0 {\rm e}^{\eta_{i,2} y} {\rm d} y=\frac{1}{\eta_{i,2}}. \end{aligned}$$

$\tilde{\gamma}_{i}$ 的数学期望和方差分别为

$$\mathbb{E}(\tilde{\gamma}_{i})=\frac{p_i}{\eta_{i,1}}-\frac{q_i}{\eta_{i,2}}, \quad \operatorname{Var}(\tilde{\gamma}_{i})=p_i q_i \bigg(\frac{1}{\eta_{i,1}}+\frac{1}{\eta_{i,2}}\bigg)^{2}+ \bigg(\frac{p_i}{\eta_{i,1}^{2}}+\frac{q_i}{\eta_{i,2}^{2}}\bigg),$$

$\tilde {Y}_{ik}^{l}$ 的均值 $\mathbb{E}(\tilde {Y}_{ik}^{l})=q_i \frac{\eta_{i,2}}{\eta_{i,2}+1}+p_{i} \frac{\eta_{i,1}}{\eta_{i,1}-1}-1, \eta_{i,1}>1, \eta_{i2}>0$, $\sum\limits_{k=1}^{K}\xi_{ik}=\sum\limits_{k=1}^{K}\xi_{ik}^{+}-\sum\limits_{k=1}^{K}\xi_{ik}^{-}$. 这里 $\eta_{i,1}>1$ 是为了保证 $ E(\gamma_{i})<\infty $ 和 $E(S_{i}(t))<\infty $.

定理 3.2 模糊双指数跳跃扩散模型的欧式极大看涨期权的定价解析式为

其中

$$\begin{gathered} d_i=\ln (E_i / \tilde{S}(0))+\Bigg(\sum_{j=1}^J \sigma_{i j}^2 / 2+\sum_{k=1}^K \tilde{\lambda}_{i, k}(\tilde{\beta}_{i k}-1)-r_i\Bigg) T, \\ d_{i 1}=d_2+\sum_{j=1}^J \sigma_{i j} \sqrt{T}, \quad d_{i 2}=\Bigg(n \sum_{k=1}^K \tilde{\xi}_{i k}\Bigg) /\Bigg(\sum_{j=1}^J \sigma_{i j} \sqrt{T}\Bigg). \end{gathered}$$

证 证明同定理 3.1, 证明过程略.

注 3.1 在 $0$ 时刻, 模糊欧式极大看涨期权为 $\tilde{C}=\mathbb{E}({\rm e}^{-r T}(\tilde{S}_i(T)-E_i)^{+})=\mathbb{E}({\rm e}^{-r T} \tilde{S}_i(T) *$
$I_{\{\tilde{S}_i(T)>E_i\}})-E_i {\rm e}^{-r T} \mathbb{E}(I_{\{\tilde{S}_i(T)>E_i\}})=\mathbb{E}({\rm e}^{-r T} \tilde{S}_i(T) I_{\{\tilde{S}_i(T)>E_i\}})-E_i {\rm e}^{-r T} P(\tilde{S}_i(T) \geq E_i)$. 根据文献 [2] 给出不同测度下 $P(Z_i(t) \geq a_i)=\psi(\mu_i, \tilde{\sigma}_i, \tilde{\lambda}_{i k}, p_i, \tilde{\eta}_{i, 1}, \tilde{\eta}_{i, 2} ; \alpha_i, T), Q(Z_i^*(t) \geq a_i)=$$\psi(\mu_i, \tilde{\sigma}_i, \tilde{\lambda}_{i k}^*, p_i^*, \tilde{\eta}_{i, 1}^*, \tilde{\eta}_{i, 2}^* ; \alpha_i, T)$ 的明确表达式, 定理 3.2 的结果也可以写成如下形式

其中 $a_i=\ln \dfrac{E_i}{S_i(0)},\ p_i^*=\dfrac{p_i}{\tilde{\beta}_{i k}}\cdot \frac{\tilde{\eta}_{i, 1}}{\tilde{\eta}_{i, 1}-1},\ \tilde{\eta}_{i, 1}^*=\tilde{\eta}_{i, 1}-1,\ \tilde{\eta}_{i, 2}^*=\tilde{\eta}_{i, 2}+1,\ \tilde{\lambda}_{i k}^*=\tilde{\lambda}_{i k}\tilde{\beta}_{i k}$, $ \tilde{\beta}_{i k}=\mathbb{E}(\tilde{Y}_{i k}^l),\ \mu_i=r_i \pm \sum\limits_{j=1}^J \frac{1}{2} \sigma_{i j}^2-\sum\limits_{k=1}^K \tilde{\lambda}_{i k}(\tilde{\beta}_{i k}-1).\ Z_i(t):=\tilde{\mu}_i t+\sum\limits_{j=1}^J \sigma_{i j} \tilde{W}_{i j}(t)+\sum\limits_{k=1}^K \sum_{l=1}^{\tilde{N}_{l k}(t)}(1+\tilde{Y}_{i k}^l).$

其中 $\pi_{i n}:=P(\tilde{N}_{l k}(t)=n)$,
$P_{n, k}=\sum\limits_{i=k}^{n-1}\binom{n-k-1}{i-k}\binom{n}{i}(\frac{\tilde{\eta}_1}{\tilde{\eta}_1+\tilde{\eta}_2})^{i-k} (\frac{\tilde{\eta}_2}{\tilde{\eta}_1+\tilde{\eta}_2})^{n-i} p^i q^{n-i}$, $1 \leq k \leq n-1, P_{n, n}=p^n$.

在实际应用中, 需要将模糊数去模糊化得到一个清晰数, 以便用一个实数对期权的模糊价格进行估计. 本文采用 Fullér and Majlender (2003)^[21] 去模糊化的方法, 参考定义 2.5 和命题 2.3

$$ M(\tilde{a})=\frac{M_*(\tilde{a})+M^*(\tilde{a})}{2},$$

当 $f(\alpha)=2\alpha$, 且 $\tilde{a}$ 的 $\alpha$-截集 $ \tilde{a}_{\alpha } =\left [ \tilde{a}^{L}_{\alpha },\tilde{a}^{U}_{\alpha } \right ]$, 则有

$$M(\tilde{a})=\dfrac{1}{2}\bigg(\int_{0}^{1} 2 \alpha \tilde{a}_{\alpha}^{L} \mathrm{ d} \alpha+\int_{0}^{1} 2 \alpha \tilde{a}_{\alpha}^{U} \mathrm{ d} \alpha\bigg)=\int_{0}^{1} \alpha(\tilde{a}_{\alpha}^{L}+\tilde{a}_{\alpha}^{U}) \mathrm{d} \alpha.$$

推理 3.2 模糊正态跳跃扩散模型的欧式极大看涨期权的清晰定价表达式 (记为 CWPM 模型) 为

其中 $M(\tilde{\beta} _{ik})={\rm e}^{\sum\limits_{j}^{J}M(\tilde{u}_{ij})+\frac{1}{2} \sum\limits_{j}^{J}M(\delta_{ij}^{2})}$,

$$M(\tilde{d}_{1,2}^{n})=\frac{\ln (S_i(0) \Bigg(\mathrm{e}^{-\sum\limits_{k=1}^{K}M(\tilde{\lambda}_{ik}) M(\tilde{\beta}_{ik})T} \cdot \bigg(1+\sum\limits_{k=1}^{K}M(\tilde {Y}_{ik}^{l})\bigg)\Bigg) / E_i)+ r_{i}\pm \sum\limits_{j=1}^{J}\frac{1}{2}\sigma^2_{ij}T} {\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{J}\sigma^{2}_{ij}T} }.$$

推理 3.3 模糊双指数跳跃扩散模型的欧式极大看涨期权的清晰定价表达式 (记为 CWPMDE 模型) 为

其中 $ M(p_{i}^{*})=\frac{p_i}{1+M(\tilde{\beta}_{ik})} \cdot \frac{M(\tilde{\eta}_{i,1})}{M(\tilde{\eta}_{i,1})-1}, \ M(\tilde{\eta}_{i,1}^{*})=M(\tilde{\eta}_{i,1})-1,\ M(\tilde{\eta}_{i,2}^{*}) =M(\tilde{\eta}_{i,2})+1$, $M(\lambda_{ik}^{*})=\tilde{\lambda}_{ik}(M(\tilde{\beta}_{ik})+1)$, $M(\tilde{\beta}_{ik})=\mathbb{E}(M(\tilde {Y}_{ik}^{l})),\ \tilde{\pi}_{in}:=P(\tilde{N}_{il}(t)=n)=\frac{(M(\sum\limits_{k=1}^{K} \tilde{\lambda}_{ik})t)^{n}}{n!}{\rm e}^{-M(\sum\limits_{k=1}^{K}\tilde{\lambda}_{il})T}$.

本小节分析主要参数变化对不同模型期权价格的影响, 以及通过实证分析, 进一步验证模型的敏感性和稳健性. 假设欧式极大看涨期权的敲定价格 $E=110$, 标的资产当前价格 $S=100$, 波动率 $\sigma=0.2$, 无风险利率 $r=0.05$, 模糊参数 $\tilde{u}_{i}=(0.0980,0.1,0.1030)$, $\tilde \delta_{i}=(0.0960,0.1,$$0.1030)$, $\tilde \lambda=(7,10,14)$. 表1 列出了模糊正态跳跃扩散模型不同的 $\alpha$ 截集在到期日 $T=1$ 时所对应的模糊极大看涨期权价格区间.

表1 数据表示投资者在一定置信水平下，可以选择模糊期权价格区间的任意值, 投资者可根据模糊区间做出决策来减少投资风险. 如当投资者对置信水平 $\alpha=0.90$ 较为满意时, 可以在价格区间 $[12.0106,12.2731]$ 选择任何值进行投资, 若市场期权价格高于12.2731, 则价格被高估了, 投资者可以卖出期权, 若市场期权价格低于12.0106, 则价格被低估了, 投资着可以购买期权, 实现套利. 从表1 还可以看到随着置信水平 $\alpha$ 变大, 模糊期权价格区间距离变小, 逐渐趋于一清晰数.

表2 列出了参数 $E, \sigma, {\lambda}$ 等取不同值时布莱克-斯科尔斯模型 (BS), 正态跳跃扩散模型 (MJD) 与模糊正态跳跃扩散清晰概率 均值模型 (CWPM) 模型的模糊欧式极大看涨期权价格的变化情况. 其中, $r=0.05$, 跳跃扩散系数 $\sigma=0.2,0.3$, 模糊参数 $\tilde \lambda=(7,10,14), \tilde\lambda=(12,15,19)$ 和 $\tilde u_{i}=(0.0980,0.1,0.1030)$, $\tilde u_{i}=(0.1980,0.2,0.2030)$, $\tilde \delta_{i}=(0.0960,0.1,0.1030)$, $\tilde \delta_{i}=(0.1960,0.2,0.2030)$, 通过三角模糊数和加权概率均值方法将模糊区间替换成数量形式, 结果见表2.

由表2 可以看到, 当跳跃幅度 $\lambda$ 和波动率 $\sigma$ 增大时, 模型 MJD 和 CWPM 对应的定价随之上升, 但模型对参数 $\sigma$ 响应更为敏感, 这可以从参数和价格变化之比看出. 当 $\sigma$ 变动 $0.1$ 时, MJD 模型和 CWPM 模型定价变动分别为 $1.8475$ 和 $1.8334$, 变动比为 $18.475$ 和 $18.334$. 当 $\lambda$ 变动 $5$ 时, MJD 模型和 CWPM 模型定价变动分别为 $1.3234$ 和 $1.3506$, 变动比为 $0.26468$ 和 $0.27012$, 参数 $\sigma$ 变动比显著高于 $\lambda$ 参数的变动比. 当正态分布中模糊参数 $\tilde{\mu}_{i},\ \tilde{\delta}_{i}$ 发生变化时, 模糊方差参数 $\tilde{\delta}_{i}$ 变化对模型定价的影响较大. 当执行价格 $E$ 降低时, 相应的定价出现显著上涨, 这表明执行价格对以上模型定价影响均显著, 在金融市场中, 对于看涨期权来讲, 更低的执行价格具有更高的投资价值. 在相同到期日下, 模型 CWPM 的预测价格普遍高于 BS 和 MJD 模型的期权价格, 这是因为 CWPM 模型比 BS 模型和 MJD 模型有更多的不确定性, 它的价格估值更为激进. MJD 模型的得到期权价格高于BS 模型, 这是由于MJD 模型考虑了跳跃过程, 能更好的体现金融市场中突发事件对金融市场造成的巨大冲击.

假设欧式极大看涨期权的敲定价格 $E=110,90 $ 和 $\sigma=0.1, 0.2$, 到期时间 $T=0.5$ 和 $T=1$, 标的资产的当前价格 $S=100$. 令模糊参数分别为 $\tilde\lambda=(1,2,6),$$ \tilde\lambda=(2,3,7)$, $\tilde\eta_1=(3,4,6), $$\tilde\eta_1=(4,5,7)$ 和 $\tilde\eta_2=(2,4,5), \tilde\eta_2=(3,5,6)$. 表3 为各参数取不同值时所对应的双指数跳跃扩散模型 (KDE) 和模糊双指数跳跃扩散清晰概率均值模型 (CWPMDE) 的期权价格.

由表3 可以看出, 在不同的参数下 CWPMDE 模型的期权价格高于 KDE 模型的期权价格, 这与 CWPMDE 模型的模糊性有关. 对于具有相同执行价格的期权, 期权价格对到期日反应较为灵敏, 到期日越长, 价格越高, 到期日越近, 价格越便宜, 这反应了随着时间的推移, 金融市场的不确定性降低, 期权的时间价值也随之减少. 对投资者而言, 若预期长期波动, 可买入长期期权, 若博弈短期事件, 可选择短期期权. 双指数模糊参数 $\tilde\eta_1,\tilde\eta_2$ 变化对 KDE 和 CWPMDE 模型预测影响不大, 而对参数 $\lambda, \sigma, E$ 响应较为敏感, 因此在金融市场中, 投资者不仅要关注期权的执行价格以制定有效策略, 还需关注政策调整、自然灾害等突发风险事件对资产价格的冲击, 同时充分考虑市场波动性对投资组合的影响, 以实现投资目标.

图1 和图2 分别表示 $T=0.5$ 时不同模型看涨期权价格随着无风险利率 $r$ 和波动率 $\sigma$ 变化的情况, 令 $E=110$, $S=100$, $\tilde{\lambda}=(2,3,7), \tilde{\mu}_{i}=(0.098,0.1,0.103)$, $\tilde{\delta}_{i}=(0.096,0.1,0.103), \tilde{\eta}_1=\tilde{\eta}_2=(3,5,6)$. 从图1 和图2 可以看出所有不同模型得到极大欧式看涨期权价格均是 $r$ 和 $\sigma$ 的增函数, 这表明在此种情形下无风险利率和波动率的变化对期权价格均呈现正面效用, 这符合金融市场的实际和预期.

表4 展示了 2024 年 5 月 31 日-2024 年 9 月 6 日上证 50ETF 购 12 月 2250 合约数据与所列模型定价比较. 表4 结果显示具有随机跳跃扩散模型拟合效果优于仅有随机性的模型, 具模糊性的随机跳跃扩散模型优于随机跳跃扩散模型, 从模拟结果来看模糊双指数跳跃扩散模型拟合效果最好, 这符合预期情况, 也说明在复杂金融市场中把模糊性加入随机跳跃扩散模型中更为合理、模拟结果更接近实际. 均方根误差图3 更直观的解释和支持了这一结论.

本文通过构建模糊环境下多维跳跃扩散市场模型, 给出了跳跃过程服从模糊正态分布和模糊双指数分布下欧式极大看涨期权的清晰定价公式.数值模拟表明在考虑模糊不确定性的情况下, 得到的期权价格均高于 BS 模型和 MJD 模型, 这表明具有模糊性的模型有更大的不确定性, 对期权价值的估值更为激进.