在 1952 年, Calderón 与 Zygmund 在文献 [1] 引入经典的 Calderón-Zygmund 算子 (简称: C-Z 算子), 目的是研究偏微分方程解的问题; 在 1985 年, Yabuta 在文献 [2] 引入 $ \omega $ 型 C-Z 算子 (它是经典 C-Z 算子的更一般形式); 在 2009 年, Maldonado 与 Naibo 在文献 [3] 得到了双线性 $ \omega $ 型 C-Z 算子在 $ L^p(v)$ 空间上的有界性$ (\omega\in\mathrm{Dini}(\frac{1}{2}), v\in A_\infty),$ 并利用范数不等式来研究拟微分算子的一般正则性; 在 2014 年, Lu 与 Zhang 在文献 [4] 给出了多线性 $ \omega$ 型 C-Z 算子及其交换子 $ (b\in \mathrm{BMO})$ 在加权 $ L^p(\mu_{\vec v})$ 空间与 $ L^{p,\infty}(\mu_{\vec v})$ 上的有界性 $ (\vec{v}\in A_{\vec{p}})$, 而本文的目的是研究多线性 $ \omega$ 型 Calderón-Zygmund 算子与广义 Campanato 空间函数 $ \vec{b}$ 生成的交换子 $ [\vec{b},T]$ 在广义 Morrey 空间的紧性, 其中多线性 $ \omega $ 型 C-Z 算子定义如下

定义1.1 (多线性 $ \omega$ 型 C-Z 算子) 设定义在 $ (\mathbb{R}^n)^{m+1}\backslash x = y_1 =\cdots =y_m$ 上的局部可积函数 $ K(x,y_1,\cdots,y_m)$ 被称为 $ \omega$ 型多线性 C-Z 核, 其中 $ \omega:[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$, 满足 $\int_0^1\frac{\omega(t)}{t}{\rm d}t<\infty$, 如果对所有 $(x,y_1,\cdots,y_m) \in (\mathbb{R} ^n)^{m+1}$, 存在常数 $ A>0$ 使得

当 $ |x-x'| \leq \frac{1}{2}\max\limits_{1\leq i\leq m} | x - y_i|$ 时, 有

当 $ | y_i - y_i'|\leq \frac{1}{2} \max\limits_{1\leq j\leq m} | x - y_j|$ 时, 有

都成立.

设算子 $ T : \mathcal{S}(\mathbb{R} ^n) \times\cdots \times \mathcal{S}(\mathbb{R} ^n) \to \mathcal{S}'(\mathbb{R} ^n),$ 称

为带有 $ \omega$ 型多线性 C-Z 核 $ K(x,y_1,\cdots,y_m )$ 的多线性算子, 其中 $ x \notin \bigcap_{i=1}^{m} \mathrm{supp} f_i$ 且 $ f_i\in C_c^\infty(\mathbb{R} ^n), i=1,\cdots,m$.

设 $ p_i, p\in(1,\infty)$, 当 $ 1/{p_1}+\cdots +1/{p_m} =1/{p}$ 时, 若 $ T$ 是从 $ L^{p_1}(\mathbb{R}^n)\times\cdots \times L^{p_m}(\mathbb{R} ^n)$ 到 $ L^{p,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 或者当 $ 1/{p_1}+\cdots +1/{p_m}=1$ 时, $ T$ 是从 $ L^{p_1}(\mathbb{R} ^n)\times\cdots \times L^{p_m}(\mathbb{R}^n)$ 到 $ L^{1}(\mathbb{R} ^n)$, 则称 $ T$ 是 $ \omega$ 型多线性 C-Z 算子, 简记为: $ \omega$-$\mathrm{CZO}$.

为了便于进一步探讨 $ \omega$ 型多线性 C-Z 算子的性质, 本文引入如下记号与定义

记 $ B(x,r)$ 为中心在 $ x\in \mathbb{R}^n$, 半径为 $ r$ 的开球, 即 $B(x,r)=\{y\in \mathbb{R}^n: |y-x|<r\}.$ 对于任意可测集 $ E\subset \mathbb{R}^n$, 记 $ |E|$ 为 $ E $ 的 Lebesgue 测度, $ \chi_E$ 为 $ E$ 的特征函数. 若函数 $ f\in L_{\mathrm{loc}}^{1} (\mathbb{R}^n)$ 和球 $ B\subset\mathbb{R}^n$, 记

此外, 为简单起见, 对于可测函数 $\varphi: \mathbb{R}^n\times(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$, 当 $ B=B(x,r)$ 时, 记为 $ \varphi(B):=\varphi(x,r)$.

定义1.2 (广义 Morrey 空间) 设 $ \varphi(x,r)$ 是定义在 $\mathbb{R}^n\times (0,\infty )$ 上的非负可测函数, $p\in[1,\infty)$, 称

为广义 $\mathrm{Morrey}$ 空间, $\|f\|_{L^{(p,\varphi)}(\mathbb{R}^n)}$ 记为 $ f$ 在$L^{(p,\varphi)}(\mathbb{R}^n)$ 中的范数.

易知 $ L^{(p,\varphi)}(\mathbb{R}^n)$ 是 Banach 空间. 当 $ \lambda\in(-n,0)$ 时, 若 $ \varphi _{\lambda } (x,r)=r^{\lambda }$, 则 $ L^{(p,\varphi_{\lambda})}(\mathbb{R}^n)=L^{(p,\lambda)}(\mathbb{R}^n)$ 为经典的 Morrey 空间; 特别地, $ {L^{(p,\varphi_{-n})}(\mathbb{R}^n)}={L^{p}(\mathbb{R}^n)}$, $ {L^{(p,\varphi_{0})}(\mathbb{R}^n)}={L^{\infty}(\mathbb{R}^n)}$.

定义1.3 (广义 Campanato 空间) 设 $ \psi(x,r)$ 是定义在 $ \mathbb{R}^n\times (0,\infty )$ 上的非负可测函数, $ p\in[1,\infty)$, 称

为广义的 $\mathrm{Campanato}$ 空间, 记 $ \|f\|_{\mathcal{L}^{(p, \psi)}(\mathbb{R}^{n})}$ 为 $ f$ 在 $ \mathcal{L}^{(p, \psi)}(\mathbb{R}^{n})$ 中的范数.

不难验证 $ \mathcal{L}^{(p, \psi)}(\mathbb{R}^{n})$ 是 Banach 空间. 当 $ p=1$ 且 $ \psi\equiv1$ 时, $ \mathcal{L}^{(p, \psi)}(\mathbb{R}^{n})=\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^{n})$; 当 $ p=1$ 且 $ \psi(x,r)=r^\alpha (0<\alpha\leq1)$ 时, 则 $ \mathcal{L}^{(p, \psi)}(\mathbb{R}^{n})={\rm Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^{n})$.

对可测函数 $ \theta: \mathbb{R}^n\times(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$, 若存在正常数 $ C$, 对所有 $ x\in\mathbb{R}^n$ 及 $r, s\in(0,\infty)$, 满足

则称 $ \theta$ 满足双倍条件.

对可测函数 $ \theta: \mathbb{R}^n\times(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$. 本文也引入下列条件: 存在正常数 $ C$, 对所有 $ x, y\in\mathbb{R}^n$ 及 $ r\in(0,\infty)$, 使得下式成立

对可测函数 $ \theta, \kappa: \mathbb{R}^n\times(0,\infty)\rightarrow(0,\infty) $. 若存在正常数 $ C$, 对所有 $ x\in\mathbb{R}^n$ 及 $r\in(0,\infty)$, 有

成立, 则称 $ \theta$ 与 $ \kappa$ 等价, 记为: $ \theta\thicksim\kappa$.

定义1.4 (i) 设函数 $ \varphi: \mathbb{R}^n\times(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$. 对所有 $ x\in\mathbb{R}^n$ 与 $ r, s\in(0,\infty)$, 若存在正常数 $ C$, 使得

成立, 则称 $ \varphi$ 是几乎递减且 $ r\mapsto \varphi (x,r)r^n$ 是几乎递增, 记满足上述条件的所有 $ \varphi$ 构成的集合为 $ \mathcal{G}^{dec}$;

(ii) 设函数 $ \varphi: \mathbb{R}^n\times(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$, 对所有 $ x\in\mathbb{R}^n$ 与 $ r, s\in(0,\infty)$, 存在正常数 $ C$, 使得

成立, 则称 $ \varphi$ 是几乎递增且 $ r\mapsto \varphi (x,r)/r$ 是几乎递减, 记满足上述条件的所有 $ \varphi$ 构成的集合为 $ \mathcal{G}^{inc}$.

注1.1 (i) 若 $ \varphi\in\mathcal{G}^{dec}$ 或 $ \varphi\in\mathcal{G}^{inc}$, 则 $ \varphi$ 满足双倍条件 (1.5) 式.

(ii) (文献 [5]) 对于 $ \varphi\in\mathcal{G}^{dec}$, 若 $ \varphi$ 满足

则存在 $ \widetilde{\varphi } \in \mathcal{G}^{dec}$ 使得 $\varphi\sim\widetilde{\varphi }$, 其中 $ \widetilde{\varphi}(x,\cdot)$ 是连续, 严格递减且对每个 $x, \widetilde{\varphi }$ 是从 $ (0,\infty)$ 到 $ (0,\infty)$ 的双射.

设 $ f_i\in L^{(p_i,\varphi_i)}(\mathbb{R}^n), i=1,\cdots,m, 1<p_i<\infty$. 对每个球 $ B\subset\mathbb{R}^n$, 记 $f_i^0:=f_i\chi_{2B}, f_i^{\infty}:=f_i\chi_{(2B)^\complement}, i=1,\cdots, m$, 其中 $ E^\complement=\mathbb{R}^n\backslash E$ 表示任意可测集 $ E$ 在 $ \mathbb{R}^n$ 中的补集. 记

其中 $ \widetilde{\sum}$ 记为 $ \alpha_i$ 不全等于 $ 0$ 或 $ \infty$. 基于 (1.9) 式, 定义

由文献 [6,引理 3.1] 可知, 上述定义是有意义的且与球 $ B$ 的选取无关.

定义1.5 ($\omega$ 型 $ m$ 线性 C-Z 算子的交换子) 设局部可积函数 $ \vec{b} =(b_1,\cdots,b_m)$, $T$ 为 $ \omega$ 型 $ m$ 线性 C-Z 算子, 称

为由 $ T$ 与 $ \vec{b}$ 生成的交换子, 其中

对 $ f_i\in L^{(p_i,\varphi_i)}(\mathbb{R}^n),1<p_i<\infty$, $ 1\leq i\leq m$, 在任意球 $ B$ 上, 由 $ (1.9)$式, 定义

由文献 [6,引理 3.2] 可知, 上述定义是有意义的.

最近在文献 [6] 中, 对于 $ b_j\in \mathcal{L}^{(1,\psi)}(\mathbb{R}^n)$, 可建立了 $ [\vec{b},T]$ 在乘积广义 Morrey 空间的有界性, 其结果叙述如下

定理1.1^[6] 设 $ T$ 为 $ \omega$ 型 $ m$ 线性 C-Z 算子, 其中 $ \omega$ 满足 $ \int_{0}^{1} \frac{\omega (t)\log{\frac{1}{t} } }{t} {\rm d}t<+\infty $. 设 $ 1 < p,$ $p_i < \infty, i=1,\cdots,m, p\leq q $ 且 $ \sum\limits_{i=1}^{m} 1/{p_i} =1/ p$, $ \varphi, \varphi_i, \psi: \mathbb{R}^n\times (0,\infty )\rightarrow (0,\infty )$, 满足

(i) 设 $ \psi\in \mathcal{G}^{inc}$ 满足 $ (1.6)$式, $\varphi, \varphi_i\in \mathcal{G}^{dec}$ 满足 $ (1.8)$ 式, 对所有 $ x\in \mathbb{R}^{n}$ 及 $ r\in (0,\infty)$, 存在正常数 $ C_0, C$, 使得

若所有 $ b_i\in {\mathcal{L}^{(1, \psi)}}(\mathbb{R}^{n})$ 与 $ f_i \in L^{(p_i,\varphi_i) }(\mathbb{R}^{n}), i=1,\cdots,m$, 则由 $ (1.12)$ 式定义的 $ [\vec{b},T](\vec{f} ) $ 有意义且存在与 $ b_i$ 和 $ f_i, i=1,\cdots,m$ 无关的正常数 $ C$, 使得

其中 $ \parallel\vec{b} \parallel_{(\mathcal{L}^{(1, \psi)})^m}:=\sup _{j=1,\cdots,m}\parallel b_j \parallel_{\mathcal{L}^{(1, \psi)}(\mathbb{R}^n)}.$

(ii) 反之, 假设 $ \varphi, \varphi_i\in \mathcal{G}^{dec}$ 满足 $ (1.6)$ 式, 存在正常数 $ C_0$, 对所有 $ x\in \mathbb{R}^{n}$ 与 $ r\in (0,\infty)$, 使得

设 $ T$ 为卷积型算子

且 $ T$ 带有非零齐次核 $ K\in C^\infty (S^{mn-1})$ 满足 $ K(x)=| x|^{-mn}K(x /| x|)$, $ \int_{(S^{mn-1})}K{\rm d}\sigma(x)=0 $, 若$ [\vec{b},T]$ 从 $ L^{(p_1,\varphi_1)}(\mathbb{R}^n)\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)}(\mathbb{R}^n)$ 到 $ L^{(q,\varphi)}(\mathbb{R}^n)$ 上有界, 则 $ b_j\in \mathcal{L}^{(1,\psi)}(\mathbb{R}^n), j=1,\cdots,m$ 且存在与 $b_j$ 无关的正常数 $ C$, 使得

成立, 其中 $ \|[b_j,T] \|_{L^{(p_1,\varphi_1)}\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)}\to L^{(q,\varphi)}}$ 是 $ [b_j,T]$ 从 $ L^{(p_1,\varphi_1)}(\mathbb{R}^n)\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)}(\mathbb{R}^n)$ 到 $ L^{(q,\varphi)}(\mathbb{R}^n)$ 上的范数.

本文旨在探讨 $[\vec{b},T ]$ 在广义 Morrey 空间上的紧性. 记 $ \overline{C_{\mathrm{c}}^\infty (\mathbb{R} ^n)} ^{\mathcal{L}^{(1,\psi )}(\mathbb{R} ^n)}$ 为 $ C_{\mathrm{c}}^\infty (\mathbb{R} ^n)$ 在 $ \mathcal{L}^{(1,\psi )}(\mathbb{R} ^n) $ 中的闭包. 易知若 $ \psi\equiv 1 $ 时, 则 $ \mathcal{L}^{(1,\psi )}(\mathbb{R}^n)=\mathrm{BMO}(\mathbb{R} ^n) $ 且 $ \overline{C_{\mathrm{c}}^\infty (\mathbb{R}^n)} ^{\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)}=\mathrm{CMO}(\mathbb{R}^n)$. 本文主要结果如下

定理1.2 在定理 1.1 的条件下, 假设 $ \varphi, \varphi_i$ 满足 (1.6) 式及 $ \psi$ 满足

若 $ b_j \in\overline{C_{\mathrm{\mathrm{c}}}^\infty (\mathbb{R} ^n)}^{\mathcal{L}^{(1,\psi )}(\mathbb{R} ^n)}, j=1,\cdots,m $, 对所有 $ f_i\in C_{\mathrm{c}}^\infty(\mathbb{R} ^n), i=1,\cdots,m $, 有

则 $ [\vec{b},T ]$ 是从 $ L^{(p_1,\varphi_1)}(\mathbb{R}^n)\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)}(\mathbb{R}^n)$ 到 $ L^{(q,\varphi )}(\mathbb{R}^n)$ 上的紧算子.

注1.2 (i) 当 $ \varphi(x,r)=\varphi_1(x,r)=\varphi_2(x,r)=r^\lambda, -n<\lambda<0$ 和 $ \psi(x)\equiv1$ 时, 定理 1.2 即为 Ding 与 Mei 文献 [12,定理 2.9];

(ii) 当 $ \varphi(x,r)=\varphi_1(x,r)=\varphi_2(x,r)=r^{-n}$ 和 $ \psi(x)\equiv1$ 时, 定理 1.2 为 Bényi 与 Torres 文献 [定理 1] 相应结果. 因此, 定理 1.2 可看作上述结果的一般化.

为了方便起见, 本文引入以下记号: 记 $ C$ 为常数, 但在不同的地方可能不同. 有时为了区分, 引入带下标的常数, 如 $ C_p$. 若 $ f\leq Cg$, 则记 $ f\lesssim g$; 若 $ f\lesssim g \lesssim f$, 则记 $ f\thicksim g$. 对于 $ 1\leq p\leq \infty$, 当 $ 1/p+1/p'=1$, 记 $ p'$ 是 $ p$ 共轭指标.

设 $ \Phi:\mathbb{R}^n\times [\infty]\rightarrow [\infty],$ 对每个 $ x \in \mathbb{R}^n$, $ \Phi(x, \cdot)$ 是 Young 函数 (见文献 [16]) 且对每一个 $ t \in[\infty]$, $ \Phi(\cdot,t) $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 上可测, 满足上述条件的所有 $ \Phi$ 构成的集合记为 $ \Phi_Y^\nu$.

对于 $ \Phi\in \Phi_Y^\nu$ 与 $ x \in \mathbb{R}^n$, 称

为 $ \Phi$ 的逆函数.

对于 $ \Phi\in \Phi_Y^\nu$, 其补函数 $ \widetilde{\Phi}: \mathbb{R}^n \times [\infty] \rightarrow [\infty]$, 定义如下

定义2.1 设 $ \Phi \in\Phi_Y^\nu$, 称

为 Musielak-Orlicz 空间, 函数 $ f$ 在 Musielak-Orlicz 空间上的范数定义为

易知 $ L^\Phi(\mathbb{R}^n)$ 是 $\mathrm{Banach}$ 空间.

引理2.1 设 $ \varphi : \mathbb{R}^n \times (0,\infty) \rightarrow(0,\infty)$, $ \varphi\in\mathcal{G}^{dec}$ 且满足 (1.6) 式与 (1.8) 式, 对所有球 $ B=B(x,r)$, 存在 $ \Phi_{\varphi} \in \Phi_Y^\nu$ 及正常数 $ C$, 使得

成立. 进一步, 对所有球 $ B=B(x,r)$, 存在正常数 $ C'$ 和 $ C"$ 使得

成立, 其中 $ \widetilde{\Phi}_\varphi$ 是函数 $ \Phi_\varphi$ 的补函数.

引理2.2^[14] 设 $ 1 \leq q < \infty$ 及 $ \varphi: \mathbb{R}^n \times (0,\infty) \rightarrow(0,\infty)$. 若 $ \varphi\in\mathcal{G}^{dec}$ 且满足 (1.6) 式与 (1.8) 式, 则存在 $ \Phi_{q,\varphi} \in \Phi_Y^\nu$, 使得

成立, 其中 $ \Phi_{q,\varphi} (x,t)=\Phi_{\varphi}(x,t^q)$, 正常数 $ C$ 与 $ f \in L^{\Phi_{q,\varphi}}(\mathbb{R}^n)$ 无关.

注2.1^[14] 由引理 $ 2.2$ 可得: 对所有球 $ B$, 有

设 $ \rho: \mathbb{R}^n\times (0,\infty )\rightarrow (0,\infty ) $ 是非负可测函数, 相应于 $ \rho$ 的广义多线性极大算子 $ \mathcal{M} _\rho $ 定义如下

对于广义多线性极大算子 $ \mathcal{M} _\rho$ 有如下引理

引理2.3 设 $ p, p_i\in(1,\infty), i=1,\cdots,m$ 满足 $ \sum\limits_{i=1}^{m} 1/{p_i} =1/ p, p\leq q$. 设 $ \rho, \varphi, \varphi_i:\mathbb{R}^n\times (0,\infty )\rightarrow (0,\infty )$ 是可测函数. 假设 $ \varphi, \varphi_i\in\mathcal{G}^{dec}$ 满足 (1.8) 式和 (1.13) 式, 若存在正常数 $ C_0$ 使得

成立, 则 $ \mathcal{M}_\rho$ 在 $ (L^{(p_1,\varphi_1)}(\mathbb{R}^n)\times \cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)}(\mathbb{R}^n),L^{(q,\varphi)}(\mathbb{R}^n))$ 上有界.

构造如下算子

其中核函数 $ K_0 : (\mathbb{R} ^n)^{m+1} \rightarrow \mathbb{C}$. 对于上述算子有如下命题

命题2.1 设 $ p, p_i, q\in(1,\infty), p\leq q, i=1,\cdots,m$ 及 $ \varphi, \varphi_i :\mathbb{R}^n \times(0,\infty)\rightarrow (0,\infty)$. 假设 $ \varphi, \varphi_i\in\mathcal{G}^{dec} $ 且满足 (1.6) 式、 (1.8) 式和 (1.13) 式. 若 $ K_0 \in L_{\mathrm{c}}^\infty((\mathbb{R}^n)^{m+1} )$, 则 (2.2) 式定义的 $ T_0$ 是从 $ L^{(p_1,\varphi_1)}(\mathbb{R}^n)\times \cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)}(\mathbb{R}^n)$ 到 $ L^{(q,\varphi)}(\mathbb{R}^n)$ 上的紧算子.

为了证明命题 $2.1$, 引入如下引理.

引理2.4 设 $ \Phi\in\Phi_Y^\nu$ 及 $ p \in (1,\infty)$, 若有

成立, 则 $ T_0$ 是从 $ L^{p_1}(\mathbb{R}^n)\times \cdots \times L^{p_m}(\mathbb{R}^n)$ 到 $ L^\Phi(\mathbb{R}^n)$ 上紧的且

其中 $ \|\cdot\| _{L^{p_1}\times \cdots \times L^{p_m}\to L^\Phi }$ 是 $ L^{p_1}(\mathbb{R}^n)\times \cdots \times L^{p_m}(\mathbb{R}^n)$ 到 $ L^{\Phi }(\mathbb{R}^n)$ 上的范数.

证 由 Hölder 不等式有

可得

由已知得 (2.3) 式成立. 下证 $ T_0$ 紧.

对任意 $ \varepsilon > 0 $, 存在有限个有界可测集 $ E_1, E_2, \cdots, E_k,$ $ F_{11}, \cdots, F_{1k}, F_{21}, \cdots, F_{mk} $ 及有限个数 $z_{11}, \cdots, z_{1k}, z_{21}, \cdots, z_{mk}\in \mathbb{C} $ 满足

由此可知算子 $ T_0$ 可以被带有核 $ K_{0,\varepsilon}$ 的有限秩算子 $ T_{0,\varepsilon }$ 逼近, 故 $ T_0$ 紧. 证毕.

下证命题 2.1.

证 对于 $ q$ 与 $ \varphi$, 取函数 $ \Phi_{q,\varphi} \in \Phi_Y^\nu$ 满足引理 $2.4$, 则 $ \|K_0\|_{L^{\Phi _{q,\varphi }}\big(\mathbb{R} ^n; L^{p'}(\mathbb{R}^n)^m\big)} <\infty $. 由注 $ 2.1$, 取球 $ B_0\subset\mathbb{R}^{n}$, 满足 $ \mathrm{supp} K_0 \subset\overbrace{ B_0 \times \cdots \times B_0}^{m+1}$, 于是 $ T_0: L^{(p_1,\varphi_1)}(\mathbb{R}^n)\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)}(\mathbb{R}^n) \rightarrow L^{(q,\varphi)}(\mathbb{R}^{n})$ 可表示为

其中

故

易证算子 $ T_1$ 有界; 由引理 $ 2.4$ 知, $ T_2$ 是紧的; 由引理 $2.2$ 知算子 $ T_3$ 是有界, 则 $ T_0 = T_3T_2T_1 $ 紧, 故命题 $ 2.1$ 得证.

引理2.5^[14] 若 $ \varphi$ 满足双倍条件 (1.5) 式及 $\int_{r}^{\infty } \frac{\varphi (x,t)}{t} {\rm d}t\le C\varphi (x,r),$ 对所有 $ x \in \mathbb{R} ^n$ 及 $ r \in (0,\infty)$, 则存在正常数 $ \varepsilon$ 与 $ C_\varepsilon$ 使得 $\int_{r}^{\infty } \frac{\varphi (x,t)t^\varepsilon }{t} {\rm d}t\le C_\varepsilon\varphi (x,r)r^\varepsilon$ 成立. 进一步, 对所有 $ p \in (0,\infty)$, 存在正常数 $ C_p$ 使得, 对所有 $ x \in \mathbb{R} ^n$ 与 $ r > 0$, 有 $\int_{r}^{\infty } \frac{\varphi (x,t)^{1/p} }{t} {\rm d}t\le C_p\varphi (x,r)^{1/p}.$

引理2.6^[14] 若 $ \varphi\in\mathcal{G}^{dec}$ 且满足 (1.15) 式, 则 $ \varphi$ 满足 (1.8) 式.

引理2.7^[14] 设 $ \psi$ 满足 (1.17) 式, 对所有 $ b_j\in C_{\mathrm{c}}^\infty(\mathbb{R}^n), j=1,\cdots,m$ 与 $ x, y \in \mathbb{R} ^n$, 若 $ |x - y| < 1$, 则存在 $\theta\in(0,1)$ 与 $ C\in [1,\infty)$, 使得下式成立

Gafakos 与 Torres 在文献 [15] 中引入如下截断极大算子

其中

在文献 [3] 中给出了当 $ m=2$ 时, 截断极大算子的有界性, 上述结果可以推广到 $ m>2$ 情形, 即

引理2.8^[3] 设 $ p, p_i\in [1,\infty), i=1,\cdots,m$ 满足 $ \sum\limits_{i=1}^{m} 1/{p_i} =1/ p $, 若算子 $ T$ 如定义 1.1 所述的 $ \omega $ 型多线性 C-Z 算子, 对所有 $ f_i\in L^{p_i}(\mathbb{R}^n)$, 则存在常数 $ C_{p,n}$ 使得

(i) 当 $ p_i>1, i=1,\cdots,m $ 时, 有 $\|T_{*}(\vec{f})\|_{L^{p}(\mathbb{R}^{n})} \leq C_{p, n} \prod_{i=1}^{m}\|f_{i}\|_{L^{p_{i}}(\mathbb{R}^{n})};$

(ii) 当 $ p_i=1, i=1,\cdots,m$ 时, 有 $\|T_{*}(\vec{f})\|_{L^{1/m,\infty}(\mathbb{R}^{n})} \leq C_{p, n} \prod_{i=1}^{m}\|f_{i}\|_{L^{1}(\mathbb{R}^{n})}$

都成立.

综合上述所证, 对所有 $ f_i\in L^{(p_i,\varphi_i)}(\mathbb{R}^n), 1\leq p_i<\infty, 1,\cdots,m$, 有 (1.18) 式成立. 进一步在定理 1.2 条件下, 对所有 $ f_i\in L^{(p_i,\varphi_i)}(\mathbb{R}^n),1\leq p_i<\infty, 1,\cdots,m$ 及 $ b_j\in \mathcal{L}^{(1,\psi)}(\mathbb{R}^n),$ $j=1,\cdots,m$, 由文献 [6,注记 3.3], 有

成立.

这一节主要证明定理 1.2, 要证定理 1.2, 只需证明: 当 $ b_j\in C_{c}^\infty( \mathbb{R}^n)$ 时, 对所有 $ j=1,\cdots,m$, 交换子 $[b_j,T]$ 是紧的即可. 由于当 $ k\rightarrow\infty$ 时, 若在 $ \mathcal{L}^{(1, \psi)}(\mathbb{R}^{n})$ 中有 $ b_j^k\rightarrow b_j$, 则由定理 1.1(i) 有

其中 $ \|\cdot\|_{L^{(p_1,\varphi_1)}\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)}\to L^{(q,\varphi)}}$ 表示算子从$ L^{(p_1,\varphi_1)}(\mathbb{R}^n)\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)}(\mathbb{R}^n)$ 到 $ L^{(q,\varphi)}(\mathbb{R}^n)$ 上的范数.

在证明定理 1.2 之前, 引入如下记号:

对于 $ 0<\varepsilon<R<\infty$, 记

对所有 $ b_j\in \mathcal{L}^{(1, \psi)}(\mathbb{R}^{n})$ 和 $ f_i \in L^{(p_i,\varphi_i)}(\mathbb{R}^n), i, j=1,\cdots,m$, 由定理 1.1 和文献 [6,注 3.3], 有

若 $ b_j\in C_{c}^\infty( \mathbb{R} ^n), j=1,\cdots,m$, 由命题 2.1 与引理 $2.4$, 则

是从 $ L^{(p_1,\varphi_1)}(\mathbb{R}^n)\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)}(\mathbb{R}^n)$ 到 $ L^{(q,\varphi)}(\mathbb{R}^n)$ 的紧算子, 故要证定理 1.2 成立, 只需证明如下命题成立即可.

命题3.1 在定理 1.2 条件下, 若 $ b_j\in C_{\mathrm{c}}^\infty(\mathbb{R}^n), j=1,\cdots,m$, 则有

(i) $ \lim _{\varepsilon \rightarrow+0}\left\|\left[b_j, T_{\varepsilon}\right]-[b_j, T]\right\|_{L^{(p_1,\varphi_1)}\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)} \rightarrow L^{(q, \varphi)}}=0$;

(ii) $ \lim _{R \rightarrow \infty}\left\|\left[b_j, T_{\varepsilon,R}\right]-\left[b_j, T_{\varepsilon}\right]\right\|_{L^{(p_1,\varphi_1)}\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)} \rightarrow L^{(q, \varphi)}}=0,$

其中 $ \parallel\cdot\parallel_{L^{(p_1,\varphi_1)}\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)} \rightarrow L^{(q,\varphi )} }$ 是算子从 $ L^{(p_1,\varphi_1)}(\mathbb{R}^n)\times\cdots \times L^{(p_m,\varphi_m)}(\mathbb{R}^n) $ 到 $ {L^{(q,\varphi )}}(\mathbb{R}^n)$ 上的范数.

证 (i) 由 $ f_i \in L^{(p_i,\varphi_i)}(\mathbb{R}^n)$, 设 $ \varepsilon \in (0,1]$, 对 $ a.e. x\in\mathbb{R}^n$, 则由 (2.5) 式可得

由引理 $2.7$ 及 $ \psi\in \mathcal{G}^{inc}$ 可得

在条件 (2.1) 式下, 由引理 $2.3$, 对某个 $ \theta \in (0, 1)$, 有

故 (i) 得证.

(ii) 设 $ \mathrm{supp} b_j\subset B_0 = B(0, R_0)$, 有

记

则有

由 Hölder 不等式, 可得

再由引理 $2.5$ 和 (1.6) 式, 对足够大的 $ R$, 有

从而有 $\left\|E_{1}\right\|_{L^{(q, \varphi)}} \lesssim\left\|\chi_{B_{0}}\right\|_{L^{(q, \varphi)}} \varphi(0, R)^{1 / p}\prod\limits_{i=1}^m\| f_i \|_{L^{(p_i,\varphi _i)}}.$ 对于 $ \|E_2\|_{L^{(q,\varphi)}}$, 由 Hölder 不等式, 可得

若 $ y_j \in B_0 \cap B(x, t)$ 及足够大的 $ t$, 由注 2.1, 有

由于 $ \varphi_i\in \mathcal{G}^{dec}$ 且 $ t>R$, 则有 $\varphi_i(x,t)\lesssim\varphi_i(B_{0})$, 可推出

运用 $ r\mapsto\varphi(0,r)r^n$ 几乎递增及 $ \psi\in \mathcal{G}^{inc}$, 有

再由 (1.8) 式及 $ r\mapsto\varphi(0,r)r^n$ 几乎递增, 可推出: 当 $ R\rightarrow\infty$ 时, $ \varphi(0, R)\rightarrow0$ 及

故 (ii) 得证.