数学物理学报, 2025, 45(1): 101-109

棱柱体中调和方程对基底扰动的连续依赖性

陈雪姣,*, 李丹丹,, 石金诚,, 曾鹏,

广州华商学院应用数学系 广州 511300

Continuous Dependence of Harmonic Equations on Base Perturbation in Prismatic Cylinder

Chen Xuejiao,*, Li Dandan,, Shi Jincheng,, Zeng Peng,

Department of Apllied Mathematics, Guangzhou Huashang College, Guangzhou 511300

通讯作者: * 陈雪姣, E-mail:A10314063@163.com

收稿日期: 2023-10-8   修回日期: 2024-04-8  

基金资助: 国家自然科学基金(11371175)
广州华商学院导师制项目(2023HSDS29)

Received: 2023-10-8   Revised: 2024-04-8  

Fund supported: NSFC(11371175)
Tutorial Program of Guangzhou Huashang College(2023HSDS29)

作者简介 About authors

李丹丹,E-mail:li20201101@126.com;

石金诚,E-mail:hning0818@163.com;

曾鹏,E-mail:m18819484746@163.com

摘要

该文研究定义在基底受到扰动的半无限圆柱体内的调和方程对基本几何结构和衰减行为的连续依赖关系. 假设在柱体的侧面上调和方程满足齐次边界条件,利用微分不等式技术, 推导出了一个关于几何基底的扰动和解的差异的微分不等式. 该微分不等式可以直接推导出解对扰动参数和基底上已知数据的连续依赖性.

关键词： 调和方程; 扰动; 连续依赖性; 微分方程.

Abstract

This article establishes the continuous dependence of the harmonic equation on its basic geometry and load of the decay behaviour in a prismatic semi-infinite cylinder. Assuming that the harmonic equation on the side of the cylinder satisfies homogeneous boundary conditions, a differential inequality technique is used to derive a differential inequality for perturbation of geometric bases and differences in solutions. This differential inequality can directly derive the continuous dependence of the solution on perturbation parameters and known data on the base.

Keywords： harmonic equation; perturbation; continuous dependence; differential equation.

PDF (530KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

陈雪姣, 李丹丹, 石金诚, 曾鹏. 棱柱体中调和方程对基底扰动的连续依赖性[J]. 数学物理学报, 2025, 45(1): 101-109

Chen Xuejiao, Li Dandan, Shi Jincheng, Zeng Peng. Continuous Dependence of Harmonic Equations on Base Perturbation in Prismatic Cylinder[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(1): 101-109

1 引言

在半无限和无限长度圆柱体的区域上, 基础数据的扰动对空间衰减率和解的影响是当前 Saint-Venant 原理研究的一个重要方面. 当通过物理测量或从数值评估获得数据时, 数学规定所要求的精确度不可避免地出现误差. 因此, 了解此类误差的影响非常重要. Hirsch 和 Smale [1] 首先系统地提出了已知数据的扰动会对方程的解产生什么影响的问题, 并将这种研究定义为结构稳定性. Knops 和 Payne[2] 研究了受约束和自由圆柱体中弹性模量扰动的影响. Li 等人[3,4]进一步将这种研究推广到了 Brinkman-Forchheimer 方程上. 这些研究的贡献都通过衰减估计证明了平面基底上的位移连续取决于各自数据的扰动. 更多关于连续依赖性的成果可见文献[4⇓⇓-7].

本文的目的是扩展这些研究, 即研究基础几何结构的扰动对半无限棱柱约束圆柱体中的位移衰减的影响. 调和方程在其非平面基底上给定的数据是已知的, 并且假设圆柱体的总势能是有界的. 当基底是平面时, 本文推导了解的衰减估计. 误差也是由于实际非平面基底上的解和假定平面基底上的解的差异而得到的. 通过引入辅助函数, 从而导出解的均方体积积分的一阶微分不等式. 积分提供了衰减估计, 其速率与基础几何形状和加载数据无关. 然而, 振幅连续地依赖于扰动的基础几何结构和轴向变量的所有值的基础数据.

2 准备工作

令 $\Theta$ 表示一个半无限长的棱柱体, 假定其平面基底位于三维 Cartesian 坐标系的 $x_1Ox_2$ 坐标平面中, 并包含原点. 即

$\Theta=\Big\{(x_1,x_2,x_3)\Big|(x_1, x_2)\in D,\ x_3\geq 0\Big\},$

其中 $D$ 为平面基底, 具有足够光滑的边界, 可以在 $D$ 中应用散度定理. 采用符号 $D(z)$ 表示离原点的距离为 $z$ 的横截面, 即

$D(z)=\Big\{(x_1,x_2,x_3)\Big|(x_1, x_2)\in D,\ x_3=z\geq0\Big\}.$

显然 $D=D(0)$.

在实践中, 圆柱体并不一定具有平面基底, 而是由曲面给定的基底, 即

$D_f=\Big\{(x_1,x_2,x_3)\Big|(x_1, x_2)\in D,\ x_3=f(x_1, x_2)\geq0\Big\},$

其中 $f$ 是充分光滑的函数并满足

$\begin{matrix} |f|\leq\epsilon. \end{matrix}$

$\epsilon$ 称为扰动参数, 表示实际基底到其假定平面形状 $D(0)$ 的最大扰动的度量. 具有非平面基底的圆柱体可以定义为

$\Theta_f=\Big\{(x_1,x_2,x_3)\Big|(x_1, x_2)\in D,\ x_3\geq f(x_1, x_2)\Big\}.$

假设未受扰动的解 $u$ 满足微分方程

$\triangle u=0,\ \ \ x\in \Theta,$
$u=0,\ \ \ \ \ \, x\in\partial D\times[0, \infty),$

其中 $\partial D$ 表示 $D$ 的边界. 体积 $\Theta(z)$ 中的势能定义为

$\begin{matrix} \label{2.4} E^u(z)=\int_z^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial u}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x, \end{matrix}$

其中

$\Theta(z)=\Big\{(x_1,x_2,x_3)\Big|(x_1, x_2)\in D,\ x_3\geq z\geq 0\Big\}.$

接下来假设圆柱体的总势能是有界的, 即

$\begin{matrix} \label{2.5} E^u(0)<\infty. \end{matrix}$

利用散度定理和方程 (2.2)-(2.3), 可得

$\begin{matrix} \label{2.6} E^u(z)=-\int_{D(z)}u\frac{\partial u}{\partial x_3}{\rm d}x_1{\rm d}x_2. \end{matrix}$

接下来引入不等式[8,9]

$\begin{matrix} \label{2.7} \lambda\int_D\phi^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2\leq\int_D\sum_{\alpha=1}^2\Big(\frac{\partial \phi}{\partial x_\alpha}\Big)^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2,\ \ \text{若}\ \ \phi\Big|_{\partial D}=0, \end{matrix}$

其中 $\lambda$ 是 $\Delta\vartheta+\lambda\vartheta=0, \ \text{在}\ D,\ \vartheta=0,\ \text{在}\ \partial D$ 的第一特征值. 利用 Hölder 不等式和 (2.7) 式, 由 (2.6) 式可得

$\begin{matrix} \label{2.8} E^u(z)&\leq\Big[\int_{D(z)}u^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2\int_{D(z)}\Big(\frac{\partial u}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\Big[\int_{D(z)}\sum_{\alpha=1}^2\Big(\frac{\partial u}{\partial x_\alpha}\Big)^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2\int_{D(z)}\Big(\frac{\partial u}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq-\frac{1}{2\sqrt{\lambda}}\frac{\rm d}{{\rm d}z}E^u(z). \end{matrix}$

对 (2.8) 式从 $\epsilon$ 到 $\infty$ 积分, 可得

$\begin{matrix} \label{2.9} E^u(z)\leq E^u(\epsilon){\rm e}^{-2\sqrt{\lambda}(z-\epsilon)}. \end{matrix}$

于是

$\begin{matrix} \label{2.10} \int_{D(z)}u^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2&=-2\int_z^\infty\int_{D(x_3)}u\frac{\partial u}{\partial x_3}{\rm d}x\\ &\leq\frac{1}{\sqrt{\lambda}}E^u(\epsilon){\rm e}^{-2\sqrt{\lambda}(z-\epsilon)}. \end{matrix}$

假设 $v$ 是方程 (2.2) 和 (2.3) 式在 $\Theta_f$ 上的扰动解. 利用与 (2.4)-(2.8) 式类似的方法, 可以证明 $v$ 仍然满足 (2.9) 和 (2.10)式.

除了上述准备工作之外, 我们还将应用到一个微分不等式.

$\textbf{引理2.1}$[10,p.182] 如果 $y(0)=0$ 且 $2k$ 是大于零的整数, 则

$\begin{align*} \int_0^1y^{2k}{\rm d}x\leq C\int_0^1(y')^{2k}{\rm d}x, \end{align*}$

其中 $C=\frac{1}{2k-1}\Big(\frac{2k}{\pi}\sin\frac{\pi}{2k}\Big)^{2k}$.

特别地, 若在引理 2.1 中取 $k=1$ 并利用积分技巧, 可得以下结果. 若 $y(-m)=0$, 则有

$\begin{matrix} \label{2.11} \int_{-m}^my^{2}{\rm d}x\leq \frac{16m^2}{\pi^2}\int_{-m}^m(y')^{2}{\rm d}x, \end{matrix}$

其中 $m$ 是大于零的常数.

3 辅助函数

为了得到由扰动参数 $\epsilon$ 描述的解对基础几何形状的依赖性, 设

$\begin{matrix} \label{3.1} w=u-v, \ \ x\in \Theta(\epsilon). \end{matrix}$

令 $u$ 和 $v$ 各自的方程相减, 可以得到 $w$ 满足

$\triangle w=0,\ \ x\in \Theta(\epsilon),$
$w=0,\ \ \ \ \, x\in\partial D\times[\epsilon, \infty).$

在总势能有界的条件下, 有

$\begin{matrix} \label{3.4} E^w(\epsilon)=\int_\epsilon^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial w}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x\leq2E^u(\epsilon)+2E^v(\epsilon)<\infty. \end{matrix}$

另一方面, 利用三角不等式可得

$\begin{matrix} \label{3.5} \int_{D(z)}w^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2\leq\int_{D(z)}u^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2+\int_{D(z)}v^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2. \end{matrix}$

(3.5) 与 (2.10)式说明, 当 $z$ 沿 $x_3$ 逐步变大时, $w$ 在截面中的 $L^2$ 范数渐近衰减于零, 且衰减率与 $\epsilon$ 的大小无关. 下一步, 我们致力于证明: 对于 $\forall z\geq\epsilon$, $w$ 的 $L^2$ 范数随 $\epsilon\rightarrow0$ 而逐步消失. 为了得到这种依赖性, 定义函数 $V(z)$ 为

$\begin{matrix} \label{3.6} V(z)=\int_z^\infty\int_{D(x_3)}w^2{\rm d}x, \ \ z\geq\epsilon. \end{matrix}$

引入一个辅助函数 $\psi$. 假设该辅助函数是足够光滑的, 并且对于固定的 $z$ 满足

$\triangle \psi=-w,\quad \ \ \ \, x\in \Theta(z),$
$\psi=0,\qquad\qquad x\in\partial D\times[z, \infty),$
$\psi=0,\qquad\qquad x\in D(z),$
$\psi,\ \nabla\psi\rightarrow0,\quad \ \text{当}\ z\rightarrow\infty.$

现给出辅助函数的一些性质.

$\textbf{引理3.1}$ 方程 (3.7)-(3.10) 所定义的辅助函数 $\psi$ 满足

$\begin{align*} \int_z^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\frac{\partial\psi}{\partial x_i}\frac{\partial w}{\partial x_i}{\rm d}x=0,\ \ z\geq\epsilon. \end{align*}$

证 利用方程 (3.2), (3.3), (3.7)-(3.10) 和散度定理, 可得

$\begin{align*} \int_z^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\frac{\partial\psi}{\partial x_i}\frac{\partial w}{\partial x_i}{\rm d}x=-\int_{D(z)}\psi \frac{\partial w}{\partial x_3}{\rm d}x_1{\rm d}x_2 -\int_z^\infty\int_{D(x_3)}\psi\triangle w{\rm d}x=0. \end{align*}$

$\textbf{引理3.2}$ 方程 (3.7)-(3.10) 所定义的辅助函数 $\psi$ 满足

$\begin{align*} \int_z^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial \psi}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x\leq\frac{1}{\lambda}V(z),\ \ z\geq\epsilon. \end{align*} $

证 利用方程 (3.7)-(3.10) 和散度定理, 可得

$\begin{align*} \int_z^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial \psi}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x&=-\int_z^\infty\int_{D(x_3)}\psi \triangle\psi {\rm d}x =\int_z^\infty\int_{D(x_3)}\psi w {\rm d}x. \end{align*}$

利用 Hölder 不等式和 (2.7) 式, 有

$\begin{matrix} \label{3.11} \int_z^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial \psi}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x&\leq\Big[\int_z^\infty\int_{D(x_3)} w^2{\rm d}x\int_z^\infty\int_{D(x_3)}\psi^2{\rm d}x\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\Big[\int_z^\infty\int_{D(x_3)} w^2{\rm d}x\int_z^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{\alpha=1}^2\Big(\frac{\partial \psi}{\partial x_\alpha}\Big)^2{\rm d}x\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq\frac{1}{\sqrt{\lambda}}\Big[\int_z^\infty\int_{D(x_3)} w^2{\rm d}x\int_z^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial \psi}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x\Big]^\frac{1}{2}. \end{matrix}$

由 (3.11) 式可得引理 3.2.

$\textbf{引理3.3}$ 方程 (3.7)-(3.10) 所定义的辅助函数 $\psi$ 满足

$\begin{align*} \int_{D(z)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial \psi}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2\leq\frac{2}{\sqrt{\lambda}}V(z),\ \ z\geq\epsilon. \end{align*}$

证 利用 (3.7) 式, 可得以下恒等式

$\begin{align*} \int_z^\infty\int_{D(x_3)}\triangle\psi\frac{\partial\psi}{\partial x_3}{\rm d}x=-\int_z^\infty\int_{D(x_3)}\frac{\partial\psi}{\partial x_3} w{\rm d}x. \end{align*}$

利用散度定理和 Schwarz 不等式, 可得

$\begin{matrix} \label{3.12} \int_{D(z)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial \psi}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2&=2\int_z^\infty\int_{D(x_3)}\frac{\partial\psi}{\partial x_3}w{\rm d}x \nonumber\\ &\leq2\Big[\int_z^\infty\int_{D(x_3)}w^2{\rm d}x\int_z^\infty\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial\psi}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x\Big]^\frac{1}{2}. \end{matrix}$

利用引理 3.2 和 (3.6) 式, 由 (3.12) 式可以完成引理 3.3 的证明.

4 主要结果

基于第三节的引理, 我们推导关于 $V(z)$ 的微分-积分不等式, 从而得到 $V(z)$ 的衰减性结果.

$\textbf{引理4.1}$ 由 (3.6) 式所定义的能量函数 $V(z)$ 满足

$\begin{align*} V(z)\leq V(\epsilon){\rm e}^{-\frac{\sqrt{\lambda}}{2}(z-\epsilon)},\ \ z\geq\epsilon. \end{align*}$

证 利用引理 3.1, 可得

$\begin{align*} V(z)=\int_z^\infty\int_{D(x_3)}w^2{\rm d}x&=-\int_z^\infty\int_{D(x_3)}w \triangle\psi{\rm d}x =\int_{D(z)}\frac{\partial\psi}{\partial x_3} w {\rm d}x_1{\rm d}x_2, \end{align*}$

其中 $n=(n_1, n_2, n_3)$ 是 $D$ 上的外单位法向量. 利用 Schwarz 不等式和引理 3.3, 有

$\begin{align*} V(z)&\leq\Big[\int_{D(z)}w^2 {\rm d}x_1{\rm d}x_2\int_{D(z)}\Big(\frac{\partial \psi}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq\Big[\frac{2}{\sqrt{\lambda}}V(z)\int_{D(z)}w^2 {\rm d}x_1{\rm d}x_2\Big]^\frac{1}{2}, \end{align*}$

所以

$\begin{matrix} \label{3.13} V(z)\leq-\frac{2}{\sqrt{\lambda}}\frac{\rm d}{{\rm d}z}V(z). \end{matrix}$

对 (4.1) 式积分可以完成引理 4.1 的证明.

$\textbf{注 4.1}$ 引理 4.1 说明当 $z\rightarrow\infty$ 时 $v(z)$ 衰减于零. 然而, 为了得到解连续依赖于参数 $\epsilon$, 我们推导用 $\epsilon$ 来估计 $V(\epsilon)$ 的显式上界. 我们将在下一节考虑这个问题.

$\textbf{注 4.2}$ 出现在引理 4.1 中的振幅 $V(z)$ 不会明显地随着扰动参数 $\epsilon$ 而消失. 因此, 把引理 4.1 作为连续依赖性估计是不严谨的. 为了证明 $V(z)$ 随着扰动参数 $\epsilon$ 而消失, 我们需要分别在区域 $D(0)$ 和 $D_f$ 上指定未扰动和扰动数据, 并延拓至区域 $\Theta(-\epsilon, \epsilon)$, 其中 $\Theta(-\epsilon, \epsilon)=\Theta(\epsilon)/\Theta(-\epsilon)$.

假设

$u(x_1, x_2, 0)=g(x_1, x_2), \qquad \qquad (x_1, x_2)\in D(0),$
$v(x_1, x_2, f(x_1, x_2))=h(x_1, x_2), \ \ (x_1, x_2)\in D(0), $

其中 $g$ 和 $h$ 是给定的函数并且在 $\partial D$ 上满足兼容性条件, 即 $g=h=0,\ x\in\partial D$. 在区域 $\Theta(-\epsilon, 0)$ 和 $\Theta_f(-\epsilon, \epsilon)$ 上分别定义

$u(x_1, x_2, x_3)=g(x_1, x_2), \ \ (x_1, x_2)\in D(0), -\epsilon\leq x_3\leq0,$
$v(x_1, x_2, x_3)=h(x_1, x_2), \ \ (x_1, x_2)\in D(0), -\epsilon\leq x_3\leq f(x_1, x_2), $

则 $w$ 可以定义为

$\begin{matrix} \label{4.5} w(x_1, x_2, x_3)&=u(x_1, x_2, x_3)-v(x_1, x_2, x_3), \ \ (x_1, x_2)\in D(0), -\epsilon\leq x_3\leq\epsilon. \end{matrix}$

在 (4.6) 式中取 $x_3=-\epsilon$ 并结合 (4.4) 和 (4.5) 式, 可得

$\begin{matrix} \label{4.6} w(x_1, x_2, -\epsilon)=g(x_1, x_2)-h(x_1, x_2), \ \ (x_1, x_2)\in D(0). \end{matrix}$

利用 Schwarz 不等式, 可得

$\begin{matrix} \label{4.7} \int_{D(\epsilon)}w^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2&=2\int_{-\epsilon}^\epsilon\int_{D(x_3)}w\frac{\partial w}{\partial x_3}{\rm d}x +\int_{D(0)}(g-h)^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2 \nonumber\\ &\leq2\Big[\int_{-\epsilon}^\epsilon\int_{D(x_3)}w^2{\rm d}x\int_{-\epsilon}^\epsilon\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial w}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x\Big]^\frac{1}{2}\\ &~~~+\int_{D(0)}(g-h)^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2. \end{matrix}$

利用 (2.11) 式, 可得

$\begin{matrix} \label{4.8} \int_{-\epsilon}^\epsilon\int_{D(x_3)}w^2{\rm d}x\leq\frac{16\epsilon^2}{\pi^2} \int_{-\epsilon}^\epsilon\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial w}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x+2\epsilon\int_{D(0)}(g-h)^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2. \end{matrix}$

把 (4.9) 式代入到 (4.8) 式并利用算术几何平均不等式, 可得

$\begin{matrix} \label{4.9} \int_{D(\epsilon)}w^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2\leq \frac{16\epsilon}{\pi} \int_{-\epsilon}^\epsilon\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial w}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x+\frac{5}{4}\int_{D(0)}(g-h)^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2. \end{matrix}$

接下来, 我们来处理 (4.10) 式右边的第一项. 结合 (4.4) 和 (4.5) 式以及三角不等式, 可得

$\begin{matrix} \label{4.10} \int_{-\epsilon}^\epsilon\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial w}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x&\leq\int_{0}^\epsilon\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial u}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x +\int_{f}^\epsilon\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial v}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x \nonumber\\ &\leq\int_{0}^\infty\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial u}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x +\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial v}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x. \end{matrix}$

令 $H$ 表示

$H(x_1, x_2, x_3)=h(x_1, x_2){\rm e}^{-\sigma(x_3-f(x_1, x_2))}, \ \sigma>0,$

所以

$\begin{matrix} \int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial v}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x &=-\int_{D(f)}\sum_{i=1}^3\frac{\partial v}{\partial x_i}n_iH{\rm d}x_1{\rm d}x_2 \nonumber\\ & =\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\frac{\partial}{\partial x_i}\Big(\frac{\partial v}{\partial x_i}H\Big){\rm d}x=\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\frac{\partial v}{\partial x_i}\frac{\partial H}{\partial x_i}{\rm d}x \nonumber\\ &\leq\Big[\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial v}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial H}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x\Big]^\frac{1}{2}.\nonumber \end{matrix}$

于是

$\begin{matrix} \label{4.11} \int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial v}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x&\leq\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}{\rm e}^{-2\sigma(x_3-f(x_1, x_2))}\Big(\sum_{\alpha=1}^3\Big(\frac{\partial h}{\partial x_\alpha}\Big)^2 +\sigma^2h^2\Big){\rm d}x_1{\rm d}x_2. \end{matrix}$

由 (4.12) 式, 可得

$\begin{matrix} \label{4.12} \int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial v}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x&\leq\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}\sum_{i=1}^3\Big(\frac{\partial v}{\partial x_i}\Big)^2{\rm d}x \nonumber\\ &\leq\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}{\rm e}^{-2\sigma(x_3-f(x_1, x_2))}\Big(\sum_{\alpha=1}^3\Big(\frac{\partial h}{\partial x_\alpha}\Big)^2 +\sigma^2h^2\Big){\rm d}x_1{\rm d}x_2. \end{matrix}$

类似地, 有

$\begin{matrix} \label{4.13} \int_{0}^\infty\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial u}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x \leq\int_{0}^\infty\int_{D(x_3)}{\rm e}^{-2\sigma x_3}\Big(\sum_{\alpha=1}^3\Big(\frac{\partial g}{\partial x_\alpha}\Big)^2 +\sigma^2g^2\Big){\rm d}x. \end{matrix}$

把 (4.12) 和 (4.13) 式代入到 (4.11) 式并结合 (4.10) 式, 可得

$\begin{matrix} \label{4.14} \int_{D(\epsilon)}w^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2&\leq \frac{16\epsilon}{\pi} \Big[\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}{\rm e}^{-2\sigma(x_3-f(x_1, x_2))}\Big(\sum_{\alpha=1}^3\Big(\frac{\partial h}{\partial x_\alpha}\Big)^2 +\sigma^2h^2\Big){\rm d}x \nonumber\\ &~~~+\int_{0}^\infty\int_{D(x_3)}{\rm e}^{-2\sigma x_3}\Big(\sum_{\alpha=1}^3\Big(\frac{\partial g}{\partial x_\alpha}\Big)^2 +\sigma^2g^2\Big){\rm d}x\Big] \nonumber\\ &~~~+\frac{5}{4}\int_{D(0)}(g-h)^2{\rm d}x. \end{matrix}$

在 (4.1) 式中取 $x_3=\epsilon$, 然后把 (4.15) 式代入到 (4.1) 式, 可得以下定理.

$\textbf{定理4.2}$ 由 (3.6) 式所定义的 $V(x_3)$ 满足

$\begin{matrix} \label{4.15} V(\epsilon)\leq\,& \frac{32\epsilon}{\pi\sqrt{\lambda}} \Big[\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}{\rm e}^{-2\sigma(x_3-f(x_1, x_2))}\Big(\sum_{\alpha=1}^3\Big(\frac{\partial h}{\partial x_\alpha}\Big)^2 +\sigma^2h^2\Big){\rm d}x \nonumber\\ &+\frac{2}{\sqrt{\lambda}}\int_{0}^\infty\int_{D(x_3)}{\rm e}^{-2\sigma x_3}\Big(\sum_{\alpha=1}^3\Big(\frac{\partial g}{\partial x_\alpha}\Big)^2 +\sigma^2g^2\Big){\rm d}x\Big]\\ &+\frac{5}{2\sqrt{\lambda}}\int_{D(0)}(g-h)^2{\rm d}x. \end{matrix}$

$\textbf{注4.3}$ 引理 4.1 以及定理 4.2 表明方程 (2.2) 和 (2.3) 的解连续依赖于参数 $\epsilon$. 即当 $\epsilon\rightarrow0,~ g\rightarrow h$ 时

$w\rightarrow0.$

$\textbf{注4.4}$ 如果 $g=h$, 由(4.16) 式可知, 对于 $\forall x_3\geq\epsilon$, $w$ 仅随 $\epsilon$ 而消失. 如果同时 $\epsilon=0$, 那么定理 4.2 可以覆盖(2.9) 式中的 Saint-Venant 型衰减性结果.

$\textbf{注4.5}$ 最后, 我们推导在任何横截面 $D(z)$ 上的 $w$ 的 $L^2$ 估计. 我们计算

$\begin{matrix} \label{4.16} \int_{D(z)}w^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2&=-2\int_{z}^\infty\int_{D(x_3)}w\frac{\partial w}{\partial x_3}{\rm d}x \nonumber\\ &\leq2\Big[\int_{z}^\infty\int_{D(x_3)}w^2{\rm d}x\int_{z}^\infty\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial w}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq2V^\frac{1}{2}(z)\cdot\Big[\int_{0}^\infty\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial u}{\partial x_3}\Big)^2+\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}\Big(\frac{\partial v}{\partial x_3}\Big)^2{\rm d}x\Big]^\frac{1}{2}. \end{matrix}$

利用 (4.14)-- (4.16) 式, 由 (4.17) 式可得

$\begin{matrix} \int_{D(z)}w^2{\rm d}x_1{\rm d}x_2 \leq\,&2\Big\{\frac{32\epsilon}{\pi\sqrt{\lambda}} \Big[\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}{\rm e}^{-2\sigma(x_3-f(x_1, x_2))}\Big(\sum_{\alpha=1}^3\Big(\frac{\partial h}{\partial x_\alpha}\Big)^2 +\sigma^2h^2\Big){\rm d}x \nonumber\\ &+\int_{0}^\infty\int_{D(x_3)}{\rm e}^{-2\sigma x_3}\Big(\sum_{\alpha=1}^3\Big(\frac{\partial g}{\partial x_\alpha}\Big)^2 +\sigma^2g^2\Big){\rm d}x\Big]+\frac{5}{2\sqrt{\lambda}}\int_{D(0)}(g-h)^2{\rm d}x\Big\}^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\times\Big[\int_{f}^\infty\int_{D(x_3)}{\rm e}^{-2\sigma(x_3-f(x_1, x_2))}\Big(\sum_{\alpha=1}^3\Big(\frac{\partial h}{\partial x_\alpha}\Big)^2 +\sigma^2h^2\Big){\rm d}x \nonumber\\ &+\int_{0}^\infty\int_{D(x_3)}{\rm e}^{-2\sigma x_3}\Big(\sum_{\alpha=1}^3\Big(\frac{\partial g}{\partial x_\alpha}\Big)^2 +\sigma^2g^2\Big){\rm d}x\Big]^\frac{1}{2}.\nonumber \end{matrix}$

5 总结

本文考虑了齐次边界条件下调和方程对基底扰动的连续依赖性. 如果解在柱体的侧面上不满足齐次边界条件, 本文的推导和结论将不再适用. 事实上, 对于这种情况, 文献中已经有了一些衰减性解结果. 例如, Horgan 和 Payne [11] 在侧面上施加了

$\frac{\partial u}{\partial n}+L(u)=0,\ \ x\in \partial D.$

当 $L(u)$ 满足不同的约束条件时, 他们得到了解的不同的衰减率. 在此基础上, 利用本文的方法, 可以进一步研究调和方程对基底扰动的连续依赖性.

参考文献

Smale S, Hirsch M W. Differential Equations Dynamical Systems, and Linear Algebra. New York: Academic Press, 1974

[本文引用: 1]

Knops R J, Payne L E.

The effect of a variation in the elastic moduli on Saint-Venant's principle for a half-cylinder

J Elasticity, 1996, 44(2): 161-182

[本文引用: 1]

Li Y F, Lin C H.

Continuous dependence for the nonhomogeneous Brinkman-Forchheimer equations in a semi-infinite pipe

Applied Mathematics and Computation, 2014, 244: 201-208

[本文引用: 1]

李远飞, 肖胜中, 曾鹏.

饱和蒸汽大气原始方程组的连续依赖性

华东师范大学学报 (自然科学版), 2021, 2021(3): 34-46

[本文引用: 2]

Li Y F, Xiao S Z, Zeng P.

Continuous dependence of primitive equations of the atmosphere with vapor saturation

Journal of East China Normal University (Natural Science), 2021, 2021(3): 34-46

[本文引用: 2]

Franchi F, Nibbi R, Straughan B.

Continuous dependence on modelling for temperature-dependent bidispersive flow

Proceedings of the Royal Society A: Mathematical Physical and Engineering Sciences, 2017, 473(2208): 20170485

[本文引用: 1]

Ciarletta M, Straughan B, Tibullo V.

Structural stability for a thermal convection model with temperature-dependent solubility

Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2015, 22: 34-43

[本文引用: 1]

Li Y F, Chen X J.

Structural stability for temperature-dependent bidispersive flow in a semi-infinite pipe

Lithuanian Mathematical Journal, 2023, 63(3): 337-366

[本文引用: 1]

李远飞.

Keller-Segel 趋化模型解的全局存在性和爆破时间的下界估计

应用数学和力学, 2022, 43(7): 816-824

[本文引用: 1]

Li Y F.

Global existence of solutions and lower bound estimate of blow-up time for the Keller-Segel chemotaxis model

Applied Mathematics and Mechanics, 2022, 43(7): 816-824

[本文引用: 1]

Payne L E, Song J C.

Spatial decay estimates for the Brinkman and Darcy flows in a semi-infinite cylinder

Contin Mech Thermodyn, 1997, 9(3): 175-190

[本文引用: 1]

Hardy G H, Littlewood J E, Pólya G. Inequalities. Cambridge: Cambridge University Press, 1952

[本文引用: 1]

Horgan C O, Payne L E.

Phragmén-Lindelöf type results for harmonic functions with nonlinear boundary conditions

Arch Rational Mech Anal, 1993, 122(2): 123-144

[本文引用: 1]

/

〈 〉

版权所有 © 《数学物理学报》杂志社
地址： 武汉市71010号信箱(430071)　电话: 027-87199206(中文版)　027-87199087(英文版)
E-mail: actams@apm.ac.cn
本系统由北京玛格泰克科技发展有限公司设计开发