1 引言
超几何级数定义如下, 设变量 $ z $ $ p $ $ q $ [2 ]
1 + p F q a 0 , a 1 , ⋯ , a p b 1 , ⋯ , b q z = ∑ k = 0 ∞ a 0 k a 1 k ⋯ a p k k ! b 1 k ⋯ b q k z k ,
其中, 当 $ n=1,2,\cdots $ $ (x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1) $ $ n=0 $ $ (x)_0=1 $ . $ _pF_q $ 2 ].
超几何级数的推广形式 Kampé de Fériet 级数的定义如下, 参见文献 [32 ]
F μ : u ; v λ : r ; s α 1 , ⋯ , α λ : a 1 , ⋯ , a r ; c 1 , ⋯ , c s β 1 , ⋯ , β μ : b 1 , ⋯ , b u ; d 1 , ⋯ , d v x , y
= ∑ m , n = 0 ∞ α 1 , ⋯ , α λ m + n a 1 , ⋯ , a r m c 1 , ⋯ , c s n β 1 , ⋯ , β μ m + n b 1 , ⋯ , b u m d 1 , ⋯ , d v n x m y n m ! n ! ,
这里 $ (a_1, a_2, \cdots, a_r)_n=(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_r)_n.$ 31 ,33 ].
将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ].
基于前面的工作, 我们发现在建立简化公式时, 某些变换公式起到重要的作用. 本文, 我们将利用一个已知的变换公式来推导新的简化公式,
这个变换公式如下, 可参考文献[6 ,19 ,20 ]:
这里假设级数是绝对收敛的. 当 $ g(i)=\frac{(\lambda)_{i}(\mu)_{i}}{(\beta)_i} $
引理1.1 对任意的复数序列 $ \{f(n)\} $ $ \{{\varOmega}(j)\} $
(1.1) $ \begin{matrix} &~~~~\sum\limits_{i,j=0}^{\infty}f(i+j)\frac{(\lambda)_{i}(\mu)_{i}}{(\beta)_i}{\varOmega}(j) \frac{x^iy^j}{i!j!}\nonumber\\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(n)\frac{(\lambda)_{n}(\mu)_{n}x^n}{n!(\beta)_n}\sum\limits_{j=0}^{n}\frac{(-n)_j(1-\beta-n)_j} {j!(1-\lambda-n)_j(1-\mu-n)_j}\Big(\frac{y}{x}\Big)^j\varOmega(j)\,.\label{lem1} \end{matrix}$
本文旨在利用上述变换公式推导出两种类型的 Kampé de Fériet 级数的简化公式. 文章的其余部分安排如下: 在第二节中, 基于一些经典超几何级数求和公式建立一系列形如 $ F_{q:1;0}^{p:2;1} $ $ _4F_3[1] $ $ F_{q:1;1}^{p:2;2} $ $ _{p+3}F_{q+2} $ $ _{p+4}F_{q+3} $ $ F_{q:1;1}^{p:2;2} $
2 $ F_{q:1;0}^{p:2;1} $
定理2.1 对任意的复数序列 $ \{f(n)\} $
(2.1) $ \begin{matrix} \sum\limits_{i,j=0}^{\infty}f(i+j)\frac{(\lambda)_i(\mu)_i}{(\beta)_i}(\beta-\lambda-\mu)_j\frac{x^{i+j}}{i!j!} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(n)\frac{(\beta-\lambda)_n(\beta-\mu)_n}{(\beta)_n}\frac{x^n}{n!}\,,\label{red1} \end{matrix}$
证 在 (1.1) 式中令 $ \varOmega(j)=(\beta-\lambda-\mu)_j $ $ x=y $
(2.2) $ \begin{matrix} &~~~~\sum\limits_{i,j=0}^{\infty}f(i+j)\frac{(\lambda)_i(\mu)_i}{(\beta)_i}(\beta-\lambda-\mu)_j\frac{x^{i+j}}{i!j!}\nonumber\\ &=\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(n)\frac{(\lambda)_{n}(\mu)_{n}x^n}{n!(\beta)_n} \sum\limits_{j=0}^{n}\frac{(-n)_j(1-\beta-n)_j(\beta-\lambda-\mu)_j} {j!(1-\lambda-n)_j(1-\mu-n)_j}. \label{eq1} \end{matrix}$
在 (2.2) 式内部的和式中利用 Saalschütz 定理, 参考文献 [2 ,第 2.2 节,Eq.(1)]{bai} 和 [29 ,Eq.(2.3.1.3)]
3 F 2 a , b , - n c , 1 + a + b - c - n 1 = c - a n c - b n c n c - a - b n ,
在 (2.1) 式中, 当 $ f(n)=\frac{(a_1,\cdots,a_p)_n}{(b_1,\cdots,b_q)_n} $ $ F_{q:1;0}^{p:2;1} $
F q : 1 ; 0 p : 2 ; 1 a 1 , ⋯ , a p : λ , μ ; β - λ - μ b 1 , ⋯ , b q : β ; - x , x = p + 2 F q + 1 a 1 , ⋯ , a p , β - λ , β - μ b 1 , ⋯ , b q , β x .
如果 $ p<q $ $ x $ $ p>q $ $ x\neq 0 $ $ p=q $ $ |x|<1 $ $ x=1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i+\lambda+\mu-\beta)>0 $ $ x=-1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i+\lambda+\mu-\beta+1)>0 $
(2.3) F 0 : 1 ; 0 0 : 2 ; 1 - : λ , μ ; β - λ - μ - : β ; - | 1 , 1 = Γ β Γ λ + μ - β Γ λ Γ μ , R e λ + μ - β > 0 ,
(2.4) F 0 : 1 ; 0 0 : 2 ; 1 - : - : 1 - λ + μ ; - 1 , - 1 = Γ 1 - λ + μ Γ 3 2 - λ + μ 2 Γ 2 - 2 λ + μ Γ 1 2 + μ 2 , R e λ > 0
(2.5) F 0 : 1 ; 0 0 : 2 ; 1 - : λ , 1 - λ ; β - 1 - : β ; - 1 2 , 1 2 = Γ 1 2 Γ β Γ 1 2 + β 2 - λ 2 Γ β 2 + λ 2 ,
(2.6) F 0 : 1 ; 0 0 : 2 ; 1 - : λ , μ ; 1 - λ - μ 2 - : 1 + λ + μ 2 ; 1 2 , 1 2 = Γ 1 + λ + μ 4 Γ 3 + λ + μ 4 Γ 1 + λ 2 Γ 1 + μ 2 ,
F 1 : 1 ; 0 1 : 2 ; 1 γ : λ , 1 - λ ; β - 1 2 γ : β ; - 1 , 1 = Γ 1 2 Γ γ + 1 2 Γ β Γ 1 - β + γ Γ 1 + β - λ 2 Γ β + λ 2 Γ 1 - β + λ 2 + γ Γ 1 - β + λ 2 + γ ,
(2.7) R e γ + 1 - β > 0 .
证 在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ x=1 $ 2 ,第 1.3 节,Eq.(1)] 和 [29 ,Eq.(1.7.6)]
2 F 1 a , b c 1 = Γ c Γ c - a - b Γ c - a Γ c - b ,
在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ \beta=1-\lambda+\mu $ $ x=-1 $ 2 ,第 2.3 节,Eq.(1)] 和 [29 ,Eq.(1.7.1.6)]
2 F 1 a , b 1 + a - b ∣ - 1 = Γ 1 + a - b Γ 1 + a 2 Γ 1 + a Γ 1 + a 2 - b ,
在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ \mu=1-\lambda $ $ x=\frac{1}{2} $ 2 ,第 2.4 节,Eq.(2)] 和 [29 ,(1.7.1.9)]
2 F 1 a , b 1 + a + b 2 1 2 = Γ 1 2 Γ 1 2 + a 2 + b 2 Γ 1 2 + a 2 Γ 1 2 + b 2 ,
在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ \beta=\frac{1+\lambda+\mu}{2} $ $ x=\frac{1}{2} $ 2 ,第 2.4 节,Eq.(3)]和 [29 ,Eq.(1.7.1.8)]
2 F 1 a , 1 - a c 1 2 = Γ c 2 Γ 1 2 + c 2 Γ c 2 + a 2 Γ 1 2 + c 2 - a 2 ,
在 (2.1) 式中令 $ f(n)=\frac{(\gamma)_n}{(2\gamma)_n},\ \mu=1-\lambda,\ x=1, $ 2 ,第 3.3 节,Eq.(1)] 和 [29 ,Eq.III.23]
3 F 2 a , b , c 1 + a + b 2 , 2 c 1 = Γ 1 2 Γ c + 1 2 Γ 1 + a + b 2 Γ 1 - a - b 2 + c Γ 1 + a 2 Γ 1 + b 2 Γ 1 - a 2 + c Γ 1 - b 2 + c ,
定理2.2 对任意复数序列 $ \{f(n)\} $
(2.8) $ \begin{matrix} \sum\limits_{i,j=0}^{\infty}f(i+j)\frac{(1+\beta)_i(2\beta)_i}{(\beta)_i}(\alpha)_j\frac{x^{i+j}}{i!j!} =\sum\limits_{n=0}^{\infty}f(n)\frac{(\alpha+2\beta)_n(1+\frac{\alpha}{2}+\beta)_n}{(\frac{\alpha}{2}+\beta)_n}\frac{x^n}{n!}\,,\label{red2} \end{matrix}$
3 F 2 a , b , - n c , d ∣ 1 = c - a n c n 3 F 2 a , d - b , - n d , 1 + a - c - n 1 ,
是 Slater[29 ] 中的公式 (4.3.4.2), 也可参考文献[12 ,27 ]. 在这个变换公式中将 $ c\rightarrow1+a-b, d\rightarrow1+2b-n $
3 F 2 a , b , - n 1 + a - b , 1 + 2 b - n 1 = 1 - b n 1 + a - b n 3 F 2 a , 1 + b - n , - n b - n , 1 + 2 b - n 1 .
3 F 2 a , b , - n 1 + a - b , 1 + 2 b - n 1 = a - 2 b n 1 + a 2 - b n - b n 1 + a - b n a 2 - b n - 2 b n ,
3 F 2 a , 1 + b - n , - n b - n , 1 + 2 b - n 1 = a - 2 b n 1 + a 2 - b n - b n 1 - b n a 2 - b n - 2 b n .
在 (1.1) 式中令 $ \lambda=1+\beta $ $ \mu=2\beta $ $ x=y $ $ \Omega(j)=(\alpha)_j $
当 (2.8) 式中 $ f(n)=\frac{(a_1,\cdots,a_p)_n}{(b_1,\cdots,b_q)_n} $ $ F_{q:1;0}^{p:2;1} $
F q : 1 ; 0 p : 2 ; 1 a 1 , ⋯ , a p : 1 + β , 2 β ; α b 1 , ⋯ , b q : β ; - x , x
= p + 2 F q + 1 a 1 , ⋯ , a p , α + 2 β , 1 + α 2 + β b 1 , ⋯ , b q , α 2 + β ∣ x .
如果 $ p<q $ $ x $ $ p>q $ $ x\neq 0 $ $ p=q $ $ |x|<1 $ $ x=1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\alpha-2\beta-1)>0 $ $ x=-1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\alpha-2\beta)>0 $
F 1 : 1 ; 0 1 : 2 ; 1 γ : 1 + β , 2 β ; α 1 + α + 2 β - γ : β ; - | - 1 , - 1 = Γ 1 2 + α 2 + β Γ 1 + α + 2 β - γ Γ 1 + α + 2 β Γ 1 2 + α 2 + β - γ ,
(2.9) R e γ < 1 2
F 2 : 1 ; 0 2 : 2 ; 1 γ , δ : 1 + β , 2 β ; α 1 + α + 2 β - γ , 1 + α + 2 β - δ : β ; - 1 , 1
= Γ 1 2 + α 2 + β Γ 1 + α + 2 β - γ Γ 1 + α + 2 β - δ Γ 1 2 + α 2 + β - γ - δ Γ 1 + α + 2 β Γ 1 2 + α 2 + β - γ Γ 1 2 + α 2 + β - δ Γ 1 + α + 2 β - γ - δ ,
(2.10) R e 1 + α + 2 β - 2 γ - 2 δ > 0 ,
F 2 : 1 ; 0 2 : 2 ; 1 γ , δ : 1 + β , 2 β ; α 1 + α + 2 β - γ , 1 + α + 2 β - δ : β ; - - 1 , - 1
(2.11) = Γ 1 + α + 2 β - γ Γ 1 + α + 2 β - δ Γ 1 + α + 2 β Γ 1 + α + 2 β - γ - δ , R e 2 + α + 2 β - 2 γ - 2 δ > 0 ,
F 3 : 1 ; 0 3 : 2 ; 1 γ , δ , ω : 1 + β , 2 β ; α 1 + α + 2 β - γ , 1 + α + 2 β - δ , 1 + α + 2 β - ω : β ; - 1 , 1
= Γ 1 + α + 2 β - γ Γ 1 + α + 2 β - δ Γ 1 + α + 2 β - ω Γ 1 + α + 2 β - γ - δ - ω Γ 1 + α + 2 β Γ 1 + α + 2 β - γ - δ Γ 1 + α + 2 β - γ - ω Γ 1 + α + 2 β - δ - ω ,
(2.12) R e 1 + α + 2 β - γ - δ - ω > 0 ,
F 4 : 1 ; 0 4 : 2 ; 1 γ , 1 - γ , δ , 1 - δ : 1 + β , 2 β ; α 1 + α + 2 β - γ , α + 2 β + γ , 1 + α + 2 β - δ , α + 2 β + δ : β ; - - 1 , - 1
= π 2 1 - 2 α - 4 β Γ 1 + α + 2 β - γ Γ α + 2 β + γ Γ 1 + α + 2 β - δ Γ α + 2 β + δ Γ α + 2 β Γ 1 + α + 2 β Γ 1 + α + 2 β + δ - γ 2 Γ α + 2 β + γ + δ 2 Γ 1 + α + 2 β - γ - δ 2 Γ 1 + α + 2 β + γ - δ 2 ,
(2.13) R e α + 2 β > 0 .
证 在 (2.8) 式中令 $ f(n)=\frac{(\gamma)_n}{(1+\alpha+2\beta-\gamma)_n} $ $ x=-1 $ 29 ,Eq.III.21]
3 F 2 a , 1 + a 2 , b a 2 , 1 + a - b - 1 = Γ 1 2 + a 2 Γ 1 + a - b Γ 1 + a Γ 1 2 + a 2 - b ,
在 (2.8) 式中令 $ f(n)=\frac{(\gamma)_n(\delta)_n}{(1+\alpha+2\beta-\gamma)_n(1+\alpha+2\beta-\delta)_n} $ $ x=1 $ 29 ,Eq.III.22]
4 F 3 a , 1 + a 2 , b , c a 2 , 1 + a - b , 1 + a - c 1 = Γ 1 2 + a 2 Γ 1 + a - b Γ 1 + a - c Γ 1 2 + a 2 - b - c Γ 1 + a Γ 1 2 + a 2 - b Γ 1 2 + a 2 - c Γ 1 + a - b - c ,
4 F 3 a , 1 + a 2 , b , c a 2 , 1 + a - b , 1 + a - c - 1 = Γ 1 + a - b Γ 1 + a - c Γ 1 + a Γ 1 + a - b - c ,
并且 $ x=1 $ 29 ,Eq.III.12]
5 F 4 a , 1 + a 2 , b , c , d a 2 , 1 + a - b , 1 + a - c , 1 + a - d 1
= Γ 1 + a - b Γ 1 + a - c Γ 1 + a - d Γ 1 + a - b - c - d Γ 1 + a Γ 1 + a - b - c Γ 1 + a - b - d Γ 1 + a - c - d ,
f n = γ n 1 - γ n δ n 1 - δ n 1 + α + 2 β - γ n α + 2 β + γ n 1 + α + 2 β - δ n α + 2 β + δ n ,
且 $ x=-1 $ 22 ,[Eq.(3.2)]
6 F 5 a , 1 + a 2 , c , 1 - c , e , 1 - e a 2 , 1 + a - c , a + c , 1 + a - e , a + e - 1
= π 2 1 - 2 a Γ 1 + a - c , a + c , 1 + a - e , a + e a , 1 + a , 1 2 + a + e - c 2 , a + e + c 2 , 1 + a - e - c 2 , 1 2 + a - e + c 2 ,
这个公式等价于文献[29 ,Eq. III.27], 我们建立求和公式(2.13).
3 $ F_{q:1;1}^{p:2;2} $
在引理1.1中, 当 $ f(n)=\frac{(a_1,\cdots,a_p)_n}{(b_1,\cdots,b_q)_n} $ $ \varOmega(j)=\frac{(\gamma)_j(\delta)_j}{(\varepsilon)_j} $ $ x=y $
F q : 2 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : λ , μ ; γ , δ b 1 , ⋯ , b q : β ; ε x , x
(3.1) = ∑ n = 0 ∞ a 1 , ⋯ , a p n b 1 , ⋯ , b q n λ n μ n x n n ! β n 4 F 3 γ , δ , 1 - β - n , - n ε , 1 - λ - n , 1 - μ - n 1 .
如果将某些封闭形式的求和公式应用在上述公式中的内部和式 $ _4F_3[1] $ $F_{q:1;1}^{p:2;2} $ 20 ] 中, 两个 $ _4F_3[1] $ $ _4F_3[1] $ [8 ] 和 Gasper[15 ] 给出相似的恒等式
(3.2) 4 F 3 b , b + 1 2 , 2 d + n , - n d + 1 , d + 1 2 , 2 b 1 = d d + n 2 d - 2 b + 1 n 2 d n .
最近, 李等[21 ] 利用线性化方法将这一公式进行了推广. 本节中, 我们从中选择了三个公式来帮助我们寻找 Kampé de Fériet 级数简化公式. 它们是文献[21 ]中的 (Ex.3), (Ex.6) 和 (Ex.15)
(3.3) 4 F 3 b , b - 1 2 , 2 d + n , - n d , d - 1 2 , 2 b + 1 1 = 2 d - 2 b n 1 + 2 b 2 d - 1 + 4 b n 2 d n 1 + 2 b 2 d - 1 ,
(3.4) 4 F 3 b + 1 , b - 1 2 , 2 d + n , - n d + 1 , d + 1 2 , 2 b 1 = 2 d - 2 b + 1 n d n b 2 d - 2 b + 1 + n 2 d n d + 1 n b 2 d - 2 b + 1 ,
(3.5) 4 F 3 b - 1 , b + 1 2 , 2 d + n - 1 , - n d , d - 1 2 , 2 b 1 = 2 d - 2 b n b 2 d - 2 b + n 2 d - 1 n b 2 d - 2 b .
虽然上面的公式都是 Saalschützian, 但是不能直接应用于 (3.1) 式的内和中. 因此, 我们需要先将这些公式变换为 (3.1) 式的形式, 这个过程需要利用著名的终止 Saalschützian 级数变换, 参见文献[2 ,第 7.2 节,Eq.(1)]
(3.6) 4 F 3 x , y , z , - n u , v , w 1 = v - z n w - z n v n w n 4 F 3 u - x , u - y , z , - n 1 - v + z - n , 1 - w + z - n , u 1 ,
这里 $ u+v+w=1+x+y+z-n $ . 那么, 我们将得到几个形如 $ F_{q:1;1}^{p:2;2} $
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a , b - 1 2 ; a , b + 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b ; a + b ∣ x , x
(3.7) = p + 3 F q + 2 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b , a + b - 1 2 b 1 , ⋯ , b q , a + b , 2 a + 2 b - 1 x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a , b ; a , b b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 2 ; a + b - 1 2 x , x
(3.8) = p + 3 F q + 2 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b , a + b b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 2 , 2 a + 2 b - 1 x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b ; a - 1 2 , b b 1 , ⋯ , b q : a + b ; a + b ∣ x , x
(3.9) = p + 3 F q + 2 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b , a + b - 1 2 b 1 , ⋯ , b q , a + b , 2 a + 2 b - 1 x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b + 1 2 ; a - 1 2 , b - 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 2 ; a + b - 1 2 x , x
(3.10) = p + 3 F q + 2 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b , a + b b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 2 , 2 a + 2 b - 1 x .
如果 $ p<q $ $ x $ $ p>q $ $ x=0 $ $ p=q $ $ |x|<1 $ $ x=1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\frac{1}{2})>0 $ $ x=-1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i+\frac{1}{2})>0 $
证 令 $ 2d=1-2a-2n $
4 F 3 b , b + 1 2 , 1 - 2 a - n , - n 3 2 - a - n , 1 - a - n , 2 b ∣ 1 = a + 1 2 n 2 a n 2 a + 2 b - 1 2 n a - 1 2 n 2 a 2 n 2 a + 2 b - 1 n .
$ u=1-a-n, v=\frac{3}{2}-a-n, w=2b, x=1-2a-n, $
$ y=b, z=b+\frac{1}{2} $ $ y=b+\frac{1}{2}, z=b $
(3.11) 4 F 3 a , b + 1 2 , 1 - a - b - n , - n a + b , 1 - a - n , 3 2 - b - n 1 = 2 a n 2 b n a + b - 1 2 n a n b - 1 2 n 2 a + 2 b - 1 n ,
(3.12) 4 F 3 a , b , 1 2 - a - b - n , - n a + b - 1 2 , 1 - a - n , 1 - b - n 1 = 2 a n 2 b n a + b n a n b n 2 a + 2 b - 1 n ,
(3.12) 式恰好是文献 [20 ] 中的 (Eq.Ia).
$ u=a+b, v=1-a-n, w=\frac{3}{2}-b-n, x=a, y=b+\frac{1}{2}, z=1-a-b-n, $
(3.13) 4 F 3 a - 1 2 , b , 1 - a - b - n , - n a + b , 1 2 - a - n , 1 - b - n 1 = 2 a n 2 b n a + b - 1 2 n a + 1 2 n b n 2 a + 2 b - 1 n .
$ u=a+b-\frac{1}{2}, v=1-a-n, w=1-b-n, x=a, y=b, z=\frac{1}{2}-a-b-n, $
(3.14) 4 F 3 a - 1 2 , b - 1 2 , 1 2 - a - b - n , - n a + b - 1 2 , 1 2 - a - n , 1 2 - b - n 1 = 2 a n 2 b n a + b n a + 1 2 n b + 1 2 n 2 a + 2 b - 1 n ,
在 (3.1) 式中令 $ \lambda=a $ $ \mu=b-\frac{1}{2} $ $ \beta=a+b $ $ \gamma=a $ $ \delta=b+\frac{1}{2} $ $ \varepsilon=a+b $
在 (3.1) 式中令 $ \lambda=a $ $ \mu=b $ $ \beta=a+b+\frac{1}{2} $ $ \gamma=a $ $ \delta=b $ $ \varepsilon=a+b-\frac{1}{2} $
在 (3.1) 式中令 $ \lambda=a+\frac{1}{2} $ $ \mu=b $ $ \beta=a+b $ $ \gamma=a-\frac{1}{2} $ $ \delta=b $ $ \varepsilon=a+b $
在 (3.1) 式中令 $ \lambda=a+\frac{1}{2} $ $ \mu=b+\frac{1}{2} $ $ \beta=a+b+\frac{1}{2} $ $ \gamma=a-\frac{1}{2} $ $ \delta=b-\frac{1}{2} $ $ \varepsilon=a+b-\frac{1}{2} $
(3.7) 和 ((3.8) 式在文献 [20 ] 中也有提到.
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 , b + 1 ; a - 1 , b b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 2 ; a + b + 1 2 x , x
(3.15) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b + 1 , a + b , a + 2 a b + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 2 , 2 a + 2 b , a + 2 a b x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 , b + 3 2 ; a - 1 , b - 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 ; a + b x , x
(3.16) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b + 1 , a + b + 1 2 , a + 2 a b + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 , 2 a + 2 b , a + 2 a b ∣ x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a - 1 2 , b - 1 2 ; a + 1 2 , b + 3 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 2 ; a + b + 1 2 x , x
(3.17) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b + 1 , a + b , a + 2 a b + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 2 , 2 a + 2 b , a + 2 a b ∣ x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a - 1 2 , b ; a + 1 2 , b + 1 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 ; a + b ∣ x , x
(3.18) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b + 1 , a + b + 1 2 , a + 2 a b + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 , 2 a + 2 b , a + 2 a b ∣ x .
如果 $ p<q $ $ x $ $ p>q $ $ x=0 $ $ p=q $ $ |x|<1 $ $ x=1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\frac{3}{2})>0 $ $ x=-1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\frac{1}{2})>0 $
证 如果 $ 2d=1-2a-2n $
4 F 3 b - 1 2 , b , 1 - 2 a - n , - n 1 2 - a - n , - a - n , 2 b + 1 1 = 2 a + 2 b 2 n 2 a n 1 + 2 b - 2 a - 2 n + 4 b n 2 a + 2 b n 2 a 2 n 1 + 2 b - 2 a - 2 n .
$ u=-a-n, v=\frac{1}{2}-a-n, w=2b+1, x=1-2a-n, $
$ y=b-\frac{1}{2}, z=b $ $ y=b, z=b-\frac{1}{2} $
4 F 3 a - 1 , b , 1 2 - a - b - n , - n a + b + 1 2 , - a - n , - b - n 1
= 2 a n 2 b + 1 n a + b n a n b + 1 n 2 a + 2 b n 1 + 2 b - 2 a - 2 n + 4 b n - 2 a - 2 n 2 b + 1 ,
4 F 3 a - 1 , b - 1 2 , - a - b - n , - n a + b , - a - n , - 1 2 - b - n 1
= 2 a n 2 b + 1 n a + b + 1 2 n a n b + 3 2 n 2 a + 2 b n 1 + 2 b - 2 a - 2 n + 4 b n - 2 a - 2 n 2 b + 1 .
(3.19) 4 F 3 a - 1 , b , 1 2 - a - b - n , - n a + b + 1 2 , - a - n , - b - n 1 = 2 a n 2 b + 1 n a + b n a + 2 a b + 1 n a + 1 n b + 1 n 2 a + 2 b n a + 2 a b n ,
(3.20) 4 F 3 a - 1 , b - 1 2 , - a - b - n , - n a + b , - a - n , - 1 2 - b - n 1 = 2 a n 2 b + 1 n a + b + 1 2 n a + 2 a b + 1 n a + 1 n b + 3 2 n 2 a + 2 b n a + 2 a b n .
再一次应用变换公式 (3.6) 到这两个公式中, 我们能够建立另外两个 $ _4F_3[1] $
(3.21) 4 F 3 a + 1 2 , b + 3 2 , 1 2 - a - b - n , - n a + b + 1 2 , 3 2 - a - n , 3 2 - b - n 1 = 2 a n 2 b + 1 n a + b n a + 2 a b + 1 n a - 1 2 n b - 1 2 n 2 a + 2 b n a + 2 a b n ,
(3.22) 4 F 3 a + 1 2 , b + 1 , - a - b - n , - n a + b , 3 2 - a - n , 1 - b - n 1 = 2 a n 2 b + 1 n a + b + 1 2 n a + 2 a b + 1 n a - 1 2 n b n 2 a + 2 b n a + 2 a b n .
在 (3.1) 式中令 $ \lambda=a+1 $ $ \mu=b+1 $ $ \beta=a+b+\frac{1}{2} $ $ \gamma=a-1 $ $ \delta=b $ $ \varepsilon=a+b+\frac{1}{2} $
在 (3.1) 式中令 $ \lambda=a+1 $ $ \mu=b+\frac{3}{2} $ $ \beta=a+b+1 $ $ \gamma=a-1 $ $ \delta=b-\frac{1}{2} $ $ \varepsilon=a+b $
在 (3.1) 式中令 $ \lambda=a-\frac{1}{2} $ $ \mu=b-\frac{1}{2} $ $ \beta=a+b+\frac{1}{2} $ $ \gamma=a+\frac{1}{2} $ $ \delta=b+\frac{3}{2} $ $ \varepsilon=a+b+\frac{1}{2} $
在 (3.1) 式中令 $ \lambda=a-\frac{1}{2} $ $ \mu=b $ $ \beta=a+b+1 $ $ \gamma=a+\frac{1}{2} $ $ \delta=b+1 $ $ \varepsilon=a+b $
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a , b + 1 2 ; a , b - 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 ; a + b - 1 x , x
(3.23) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b , a + b - 1 2 , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 , 2 a + 2 b - 1 , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a , b - 1 ; a , b + 1 b 1 , ⋯ , b q : a + b - 1 2 ; a + b + 1 2 x , x
(3.24) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b , a + b - 1 , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 2 , 2 a + 2 b - 1 , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b + 1 ; a - 1 2 , b - 1 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 ; a + b - 1 x , x
(3.25) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b , a + b - 1 2 , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 , 2 a + 2 b - 1 , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b - 1 2 ; a - 1 2 , b + 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b - 1 2 ; a + b + 1 2 x , x
(3.26) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a , 2 b , a + b - 1 , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 2 , 2 a + 2 b - 1 , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 x .
如果 $ p<q $ $ x $ $ p>q $ $ x=0 $ $ p=q $ $ |x|<1 $ $ x=1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\frac{1}{2})>0 $ $ x=-1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i+\frac{1}{2})>0 $
证 相似地, 设 $ 2d=1-2a-2n $
4 F 3 b + 1 , b - 1 2 , 1 - 2 a - n , - n 3 2 - a - n , 1 - a - n , 2 b 1
= a + 1 2 n 2 a n 2 a + 2 b - 1 2 n a - 1 2 n 2 a 2 n 2 a + 2 b - 1 n b 2 - 2 a - 2 b - 2 n + n b 2 - 2 a - 2 b - 2 n .
$ u=1-a-n, v=\frac{3}{2}-a-n, w=2b, x=1-2a-n, $
$ y=b+1, z=b-\frac{1}{2} $ $ y=b-\frac{1}{2}, z=b+1 $
4 F 3 a , b - 1 2 , - a - b - n , - n a + b - 1 , 1 - a - n , 1 2 - b - n 1
= 2 a n 2 b n a + b n a + b - 1 2 n a n b + 1 2 n a + b - 1 n 2 a + 2 b - 1 n b 2 - 2 a - 2 b - 2 n + n b 2 - 2 a - 2 b - 2 n ,
4 F 3 a , b + 1 , 3 2 - a - b - n , - n a + b + 1 2 , 1 - a - n , 2 - b - n 1
= 2 a n 2 b n a + b n a + b - 1 2 n a n b - 1 n 2 a + 2 b - 1 n a + b + 1 2 n b 2 - 2 a - 2 b - 2 n + n b 2 - 2 a - 2 b - 2 n
b 2 - 2 a - 2 b - 2 n + n b 2 - 2 a - 2 b - 2 n = 2 b a + b - 1 + 2 b - 1 n 2 b a + b - 1 + n = 2 b 2 b - 1 a + b - 1 + n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 + n
= 2 b 2 b - 1 a + b - 1 + 1 n a + b - 1 n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 n a + b n .
4 F 3 a , b - 1 2 , - a - b - n , - n a + b - 1 , 1 - a - n , 1 2 - b - n 1
(3.27) = 2 a n 2 b n a + b - 1 2 n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 + 1 n a n b + 1 2 n 2 a + 2 b - 1 n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 n ,
4 F 3 a , b + 1 , 3 2 - a - b - n , - n a + b + 1 2 , 1 - a - n , 2 - b - n 1
(3.28) = 2 a n 2 b n a + b - 1 2 n a + b - 1 n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 + 1 n a n b - 1 n 2 a + 2 b - 1 n a + b + 1 2 n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 n .
再次应用变换公式 (3.6) 到这两个公式, 我们又得到另外两个 $ _4F_3[1] $
4 F 3 a - 1 2 , b - 1 , - a - b - n , - n a + b - 1 , 1 2 - a - n , - b - n 1
(3.29) = 2 a n 2 b n a + b - 1 2 n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 + 1 n a + 1 2 n b + 1 n 2 a + 2 b - 1 n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 n ,
4 F 3 a - 1 2 , b + 1 2 , 3 2 - a - b - n , - n a + b + 1 2 , 1 2 - a - n , 3 2 - b - n 1
(3.30) = 2 a n 2 b n a + b - 1 2 n a + b - 1 n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 + 1 n a + 1 2 n b - 1 2 n a + b + 1 2 n 2 a + 2 b - 1 n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 n .
在 (3.1) 式中, 令 $ \lambda=a $ $ \mu=b+\frac{1}{2} $ $ \beta=a+b+1 $ $ \gamma=a $ $ \delta=b-\frac{1}{2} $ $ \varepsilon=a+b-1 $
在 (3.1) 式中令 $ \lambda=a $ $ \mu=b-1 $ $ \beta=a+b-\frac{1}{2} $ $ \gamma=a $ $ \delta=b+1 $ $ \varepsilon=a+b+\frac{1}{2} $
在 (3.1) 式中令 $ \lambda=a+\frac{1}{2} $ $ \mu=b+1 $ $ \beta=a+b+1 $ $ \gamma=a-\frac{1}{2} $ $ \delta=b-1 $ $ \varepsilon=a+b-1 $
在 (3.1) 式中令 $ \lambda=a+\frac{1}{2} $ $ \mu=b-\frac{1}{2} $ $ \beta=a+b-\frac{1}{2} $ $ \gamma=a-\frac{1}{2} $ $ \delta=b+\frac{1}{2} $ $ \varepsilon=a+b+\frac{1}{2} $
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 , b - 1 2 ; a , b + 1 2 b 1 , ⋯ , b q : x , x a + b ; a + b + 1 x , x
(3.31) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a + 1 , 2 b , a + b - 1 2 , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 , 2 a + 2 b , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 ∣ x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 , b + 1 ; a , b - 1 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 3 2 ; a + b - 1 2 x , x
(3.32) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a + 1 , 2 b , a + b , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 3 2 , 2 a + 2 b , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 ∣ x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b - 1 ; a + 1 2 , b + 1 b 1 , ⋯ , b q : a + b ; a + b + 1 ∣ x , x
(3.33) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a + 1 , 2 b , a + b - 1 2 , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 1 , 2 a + 2 b , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 x ,
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b + 1 2 ; a + 1 2 , b - 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 3 2 ; a + b - 1 2 x , x
(3.34) = p + 4 F q + 3 a 1 , ⋯ , a p , 2 a + 1 , 2 b , a + b , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 + 1 b 1 , ⋯ , b q , a + b + 3 2 , 2 a + 2 b , 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 ∣ x .
如果 $ p<q $ $ x $ $ p>q $ $ x=0 $ $ p=q $ $ |x|<1 $ $ x=1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i-\frac{1}{2})>0 $ $ x=-1 $ $ {\rm Re}(\sum\limits_{i=1}^pb_i-\sum\limits_{i=1}^pa_i+\frac{1}{2})>0 $
证 采用上述三个定理同样的证明方法, 利用 (3.5) 式, 我们能够推导出四个求和公式
4 F 3 a , b + 1 2 , 1 - a - b - n , - n a + b + 1 , - a - n , 3 2 - b - n 1
(3.35) = 2 a + 1 n 2 b n a + b - 1 2 n a + b n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 + 1 n a + 1 n b - 1 2 n 2 a + 2 b n a + b + 1 n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 n ,
4 F 3 a , b - 1 , - 1 2 - a - b - n , - n a + b - 1 2 , - a - n , - b - n 1
(3.36) = 2 a + 1 n 2 b n a + b n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 + 1 n a + 1 n b + 1 n 2 a + 2 b n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 n ,
4 F 3 a + 1 2 , b + 1 , 1 - a - b - n , - n a + b + 1 , 1 2 - a - n , 2 - b - n 1
(3.37) = 2 a + 1 n 2 b n a + b - 1 2 n a + b n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 + 1 n a + 1 2 n b - 1 n 2 a + 2 b n a + b + 1 n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 n ,
4 F 3 a + 1 2 , b - 1 2 , - 1 2 - a - b - n , - n a + b - 1 2 , 1 2 - a - n , 1 2 - b - n 1
(3.38) = 2 a + 1 n 2 b n a + b n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 + 1 n a + 1 2 n b + 1 2 n 2 a + 2 b n 2 b 2 b - 1 a + b - 1 2 + 1 n ,
在 (3.1) 式中插入上述四个求和公式, 我们就可得到本定理中的简化公式.
当然, 更多的相似的求和公式也会被推导出来, 这里我们把它们留给感兴趣的读者.
令我们吃惊的是, 这些简化公式中有几个是相等的, 例如,(3.7) 和 (3.9) 式的右边式子是相等的, 因此它们的左边也是相等的, 那么下面的变换公式成立
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a , b - 1 2 ; a , b + 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b ; a + b ∣ x , x
= F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b ; a - 1 2 , b b 1 , ⋯ , b q : a + b ; a + b x , x .
相似地, 我们发现公式 ((3.8) 和 (3.10) 也有相同的特征, 因此我们又得到一个 Kampé de Fériet 级数 $ F_{q:1;1}^{p:2;2} $
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a , b ; a , b b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 2 ; a + b - 1 2 x , x
= F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b + 1 2 ; a - 1 2 , b - 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 2 ; a + b - 1 2 x , x .
由 (3.15) 和 (3.17) 式, 有下列变换
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 , b + 1 ; a - 1 , b b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 2 ; a + b + 1 2 x , x
= F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a - 1 2 , b - 1 2 ; a + 1 2 , b + 3 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 2 ; a + b + 1 2 x , x .
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 , b + 3 2 ; a - 1 , b - 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 ; a + b x , x
= F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a - 1 2 , b ; a + 1 2 , b + 1 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 ; a + b x , x .
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a , b + 1 2 ; a , b - 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 ; a + b - 1 x , x
= F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b + 1 ; a - 1 2 , b - 1 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 1 ; a + b - 1 x , x .
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a , b - 1 ; a , b + 1 b 1 , ⋯ , b q : a + b - 1 2 ; a + b + 1 2 x , x
= F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b - 1 2 ; a - 1 2 , b + 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b - 1 2 ; a + b + 1 2 x , x .
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 , b - 1 2 ; a , b + 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a , b + 1 2 a + b ; a + b + 1 x , x
= F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b - 1 ; a + 1 2 , b + 1 b 1 , ⋯ , b q : a + b ; a + b + 1 x , x .
F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 , b + 1 ; a , b - 1 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 3 2 ; a + b - 1 2 x , x
= F q : 1 ; 1 p : 2 ; 2 a 1 , ⋯ , a p : a + 1 2 , b + 1 2 ; a + 1 2 , b - 1 2 b 1 , ⋯ , b q : a + b + 3 2 ; a + b - 1 2 x , x .
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9
1935
... 超几何级数定义如下, 设变量 $ z $ $ p $ $ q $ [2 ] ...
... 其中, 当 $ n=1,2,\cdots $ $ (x)_n=x(x+1)\cdots(x+n-1) $ $ n=0 $ $ (x)_0=1 $ . $ _pF_q $ 2 ]. ...
... 在 (2.2) 式内部的和式中利用 Saalschütz 定理, 参考文献 [2 ,第 2.2 节,Eq.(1)]{bai} 和 [29 ,Eq.(2.3.1.3)] ...
... 证 在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ x=1 $ 2 ,第 1.3 节,Eq.(1)] 和 [29 ,Eq.(1.7.6)] ...
... 在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ \beta=1-\lambda+\mu $ $ x=-1 $ 2 ,第 2.3 节,Eq.(1)] 和 [29 ,Eq.(1.7.1.6)] ...
... 在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ \mu=1-\lambda $ $ x=\frac{1}{2} $ 2 ,第 2.4 节,Eq.(2)] 和 [29 ,(1.7.1.9)] ...
... 在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ \beta=\frac{1+\lambda+\mu}{2} $ $ x=\frac{1}{2} $ 2 ,第 2.4 节,Eq.(3)]和 [29 ,Eq.(1.7.1.8)] ...
... 在 (2.1) 式中令 $ f(n)=\frac{(\gamma)_n}{(2\gamma)_n},\ \mu=1-\lambda,\ x=1, $ 2 ,第 3.3 节,Eq.(1)] 和 [29 ,Eq.III.23] ...
... 虽然上面的公式都是 Saalschützian, 但是不能直接应用于 (3.1) 式的内和中. 因此, 我们需要先将这些公式变换为 (3.1) 式的形式, 这个过程需要利用著名的终止 Saalschützian 级数变换, 参见文献[2 ,第 7.2 节,Eq.(1)] ...
Analytic continuation of Lauricella's function $ F_D^{(N)} $ for large in modulo variables near hyperplanes $ \{z_j=z_l\} $
1
2022
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Analytic continuation of Lauricella's function $ F_D^{(N)} $ for variables close to unit near hyperplanes $ \{z_j=z_l\} $
1
2022
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Analytic continuation of the Kampé de Fériet function and the general double Horn series
1
2022
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Series identities and reducibility of Kampé de Fériet functions
2
1982
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
... 这个变换公式如下, 可参考文献[6 ,19 ,20 ]: ...
Derivatives of any Horn-type hypergeometric functions with respect to their parameters
1
2020
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Summation of a special $ _4F_3 $
1
1963
... 如果将某些封闭形式的求和公式应用在上述公式中的内部和式 $ _4F_3[1] $ $F_{q:1;1}^{p:2;2} $ 20 ] 中, 两个 $ _4F_3[1] $ $ _4F_3[1] $ [8 ] 和 Gasper[15 ] 给出相似的恒等式 ...
Some multiple hypergeometric transformations and associated reduction formulas
1
2004
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Series identities and associated families of generating functions
1
2005
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Reduction and summation formulae for semi-terminating $ q $ -Kampé de Fériet series
1
2013
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Ordinary and basic bivariate hypergeometric transformations associated with the Appell and Kampé de Fériet functions
1
2003
... 是 Slater[29 ] 中的公式 (4.3.4.2), 也可参考文献[12 ,27 ]. 在这个变换公式中将 $ c\rightarrow1+a-b, d\rightarrow1+2b-n $
Well-posed reduction formulas for the $ q $ -Kampé de Fériet function
1
2011
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
A reduction formula for the Kampé de Fériet function
1
2010
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Positive integrals of Bessel functions
1
1975
... 如果将某些封闭形式的求和公式应用在上述公式中的内部和式 $ _4F_3[1] $ $F_{q:1;1}^{p:2;2} $ 20 ] 中, 两个 $ _4F_3[1] $ $ _4F_3[1] $ [8 ] 和 Gasper[15 ] 给出相似的恒等式 ...
Reduction and transformation formulae for bivariate basic hypergeometric series
1
2007
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Transformation and reduction formulae for double $ q $ -Clausen series of type $ \Phi_{1:1;\mu}^{1:2;\lambda} $
1
2007
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur à deux variables
1921
Some reducible generalized Kampé de Fériet functions
2
1983
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
... 这个变换公式如下, 可参考文献[6 ,19 ,20 ]: ...
Some reduction formulae for double power series and Kampé de Fériet functions
6
1984
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
... 这个变换公式如下, 可参考文献[6 ,19 ,20 ]: ...
... 如果将某些封闭形式的求和公式应用在上述公式中的内部和式 $ _4F_3[1] $ $F_{q:1;1}^{p:2;2} $ 20 ] 中, 两个 $ _4F_3[1] $ $ _4F_3[1] $ [8 ] 和 Gasper[15 ] 给出相似的恒等式 ...
... (3.12) 式恰好是文献 [20 ] 中的 (Eq.Ia). ...
... 这个公式恰好是文献[20 ,Eq.Ib]. ...
... (3.7) 和 ((3.8) 式在文献 [20 ] 中也有提到. ...
Terminating balanced $ _4F_3 $-series and very well-poised $ _7F_6 $-series
2
2019
... 最近, 李等[21 ] 利用线性化方法将这一公式进行了推广. 本节中, 我们从中选择了三个公式来帮助我们寻找 Kampé de Fériet 级数简化公式. 它们是文献[21 ]中的 (Ex.3), (Ex.6) 和 (Ex.15) ...
... 利用线性化方法将这一公式进行了推广. 本节中, 我们从中选择了三个公式来帮助我们寻找 Kampé de Fériet 级数简化公式. 它们是文献[21 ]中的 (Ex.3), (Ex.6) 和 (Ex.15) ...
Hypergeometric series summations and $ \pi $ -formulas
1
2014
... 且 $ x=-1 $ 22 ,[Eq.(3.2)] ...
Transformation and summation formulae for Kampé de Fériet series
1
2014
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
双变量超几何级数的变换与简化公式
1
2016
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
双变量超几何级数的变换与简化公式
1
2016
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
On certain results related to the hypergeometric function $ F_K $
1
2021
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Husimi Q-functions attached to hyperbolic Landau levels
1
2022
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Transformation and summation formulas for Kampé de Fériet series $ F_{1:1}^{0:3}(1,1) $
1
1996
... 是 Slater[29 ] 中的公式 (4.3.4.2), 也可参考文献[12 ,27 ]. 在这个变换公式中将 $ c\rightarrow1+a-b, d\rightarrow1+2b-n $
A note on some reduction formulas for the generalized hypergeometric function $ _2F_2 $ and Kampé de Fériet function
1
2017
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
13
1966
... 在 (2.2) 式内部的和式中利用 Saalschütz 定理, 参考文献 [2 ,第 2.2 节,Eq.(1)]{bai} 和 [29 ,Eq.(2.3.1.3)] ...
... 证 在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ x=1 $ 2 ,第 1.3 节,Eq.(1)] 和 [29 ,Eq.(1.7.6)] ...
... 在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ \beta=1-\lambda+\mu $ $ x=-1 $ 2 ,第 2.3 节,Eq.(1)] 和 [29 ,Eq.(1.7.1.6)] ...
... 在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ \mu=1-\lambda $ $ x=\frac{1}{2} $ 2 ,第 2.4 节,Eq.(2)] 和 [29 ,(1.7.1.9)] ...
... 在 (2.1) 式中令 $ f(n)=1 $ $ \beta=\frac{1+\lambda+\mu}{2} $ $ x=\frac{1}{2} $ 2 ,第 2.4 节,Eq.(3)]和 [29 ,Eq.(1.7.1.8)] ...
... 在 (2.1) 式中令 $ f(n)=\frac{(\gamma)_n}{(2\gamma)_n},\ \mu=1-\lambda,\ x=1, $ 2 ,第 3.3 节,Eq.(1)] 和 [29 ,Eq.III.23] ...
... 是 Slater[29 ] 中的公式 (4.3.4.2), 也可参考文献[12 ,27 ]. 在这个变换公式中将 $ c\rightarrow1+a-b, d\rightarrow1+2b-n $
... 接下来利用 [29 ,Eq.III.16] ...
... 证 在 (2.8) 式中令 $ f(n)=\frac{(\gamma)_n}{(1+\alpha+2\beta-\gamma)_n} $ $ x=-1 $ 29 ,Eq.III.21] ...
... 在 (2.8) 式中令 $ f(n)=\frac{(\gamma)_n(\delta)_n}{(1+\alpha+2\beta-\gamma)_n(1+\alpha+2\beta-\delta)_n} $ $ x=1 $ 29 ,Eq.III.22] ...
... 利用文献 [29 ,Eq.III.10] ...
... 并且 $ x=1 $ 29 ,Eq.III.12] ...
... 这个公式等价于文献[29 ,Eq. III.27], 我们建立求和公式(2.13). ...
Stretched 9-$ j $ coefficients and summation theorems
1
1994
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
A note on the convergence of Kampé de Fériet's double hypergeometric series
2
1972
... 这里 $ (a_1, a_2, \cdots, a_r)_n=(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_r)_n.$ 31 ,33 ]. ...
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
1
1985
... 超几何级数的推广形式 Kampé de Fériet 级数的定义如下, 参见文献 [32 ] ...
An integral representation for the product of two Jacobi polynomials
1
1976
... 这里 $ (a_1, a_2, \cdots, a_r)_n=(a_1)_n(a_2)_n\cdots(a_r)_n.$ 31 ,33 ]. ...
Transformation formula for a double Clausenian hypergeometric series, its $ q $ -analogue, and its invariance group
1
2002
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
Transformation and summation formulas for double hypergeometric series
1
1997
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
New transformation and reduction formulae for double $ q $ -Clausen series
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2013
... 将双变量超几何级数表示成单变量超几何级数是 Kampé de Fériet 级数的主要研究问题. 大量的这种简化公式被发现, 可参见文献 [6 ,9 ,10 ,14 ,19 ,20 ,23 ,24 ,28 ,30 ,31 ,34 ,35 ]. 最近, Bezrodnykh 等 [3 ⇓ -5 ] 研究了包含 Kampé de Fériet 级数的多变量超几何级数的解析延拓性. $ q $ - Kampé de Fériet 的相关工作, 可参见文献 [11 ,13 ,16 ,17 ,36 ]. 另外, Kampé de Fériet 级数在物理和统计领域也有重要的应用, 参考文献 [7 ,25 ,26 ]. ...
