该小节主要是简要介绍一下本文的写作框架和动机, 一些专用术语和符号将在随后章节给出. McMullen ^[10] 对于单位圆盘 $\Delta$ 上的全纯函数引入了一类积分平均范数 $I_{2k}(f)$ 用来度量全纯函数的增长性. McMullen 用这类积分平均范数给出单位圆周 $\partial\Delta$ 在单位圆盘上一族共形映射 $f^{t}(z)$ 下像的 Hausdorff 维数关于单参数 $t$ 的无穷小增长性与向量场 $V={\rm d}f^{t}/{\rm d}t$ 在 $t=0$ 处的渐近方差之间的关系. 本文的主要目的是用这类积分平均范数 $I_{2k}(f)$ 研究和刻画一些全纯函数族的渐近方差和由全纯二次微分诱导的调和 Beltrami 微分之间的关系.

本文主要框架如下: 第 2 节给出一些基本定义和结果; 第 3 节回顾一些关于积分平均范数 $I_{2k}$ 的一些结果; 第 4 节研究一些单叶函数的导数关于积分平均范数的阶数, 给出一些具有有限渐近方差的例子; 第 5 节主要讨论关于 Fuchs 群相容的自同构形式的性质; 第 6 节给出了调和 Beltrami 微分属于 Weil-Petersson 类的新的判别方法; 第 7 节利用渐近方差给出单位圆周 $\partial\Delta$ 上的同胚 $g$ 属于 Sobolev 类 $H^{\frac{3}{2}}$ 的判别方法.

在本节中我们首先给出一些预备定义和符号介绍. 尽管这些内容对于一些专家来说非常熟悉, 我们在这对这些内容作细致介绍的目的是为了方便部分读者和使得本文更清晰易懂. 我们用 $\Delta$、 $\Delta^{*}$ 和 $\partial\Delta$ 分别表示单位圆盘内部, 单位圆盘外部和单位圆周. 用 $\rho_{\Delta}(z)=\frac{2}{1-|z|^{2}}$ 表示单位圆盘 $\Delta$ 上的双曲度量. 相似的, 用 $\rho_{\mathbb{H}}(z)=\frac{1}{y}$ 表示上半平面 $\mathbb{H}$ 上的双曲度量, 这里 $z=x+{\rm i}y.$$L^{\infty}(\Delta)$ 表示单位圆盘 $\Delta$ 上所有本征有界可测函数组成的复 Banach 空间, 并用 $M(\Delta)$ 表示空间 $L^{\infty}(\Delta)$ 的单位圆盘. $T(1)$ 表示万有 Teichmüller 空间. 对于任意 $\mu\in L^{\infty}(\Delta)$, 通过在单位圆盘外赋值为零的方式将其扩充到整个复平面, 方便起见将扩充后函数仍用 $\mu$ 表示. 对于任意这样的 $\mu $, 存在唯一拟共形函数 $f^{\mu}$ 保持 $0,$$1$, $\infty$ 不动并满足如下的 Beltrami 方程

容易看出 $f^{\mu}|_{\Delta^{*}}$ 在单位圆盘外 $\Delta^{*}$ 为全纯函数.

对于任意 $\mu, \nu \in M(\Delta)$, 当 $f^{\mu}|_{\Delta^{*}}=f^{\nu}|_{\Delta^{*}}$ 时, 称 $\mu\sim\nu$, 这时万有 Teichmüller 空间 $T(1)$ 便为所有规范化拟共形映射 $f^{\mu}|_{\Delta^{*}}$ 的等价类组成的空间, 并用 $[\mu]$ 表示 $\mu$ 的 Teichmüller 等价类. 这时万有 Teichmüller 空间 $T(1)$ 恰为商空间 $T(1)=M(\Delta)/\sim.$ 关于万有 Teichmüller 空间有许多等价定义这里就不再赘述, 可参考文献 [6,7,11]. 令 $\Phi$ 表示从空间 $M(\Delta)$ 到空间 $T(1)$ 的自然投影映射 $\Phi(\mu)\mapsto [\mu]$. 在映射 $\Phi$ 下, 万有 Teichmüller 空间 $T(1)$ 具有唯一的复 Banach 流形结构.

令 $A_{\infty}(\Delta)=\{\phi: \phi \ \text{在}\ \Delta\ \text{上全纯并满足} \parallel\phi\parallel_{\infty}=\sup\limits_{z\in \Delta}\rho^{-2}(z)|\phi(z)| <\infty\}.$ 下面我们介绍一下 $A_{\infty}(\Delta)$ 相应的一些性质.

我们知道万有 Teichmüller 空间 $T(1)$ 与空间 $\mathfrak{F}$ 等价, 这里 $\mathfrak{F}$ 表示全体在单位圆盘上共形, 满足规范条件 $f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0 $ 并可以拟共形扩充到整个复平面 $\mathbb{C}$ 的函数组成的集合. 对于任意 $f\in \mathfrak{F}$, 令 $S(f)$ 表示 $f$ 的 Schwarz 导数, 这里

著名的 Bers 嵌入映射 $\Psi: T(1)\hookrightarrow A_{\infty}(\Delta)$ 将 $\mu$ 的等价类 $[\mu]$ 映为 $S(f^{\mu}|_{\Delta})$, 将复 Banach 流形 $ A_{\infty}(\Delta)$ 的复结构通过 Bers 嵌入映射拉回到空间 $T(1)$ 上使其具有复 Banach 流形结构.

令 $H_{\infty}(\Delta)=\{\mu: \mu=\rho^{-2}\bar{\phi}, \phi\in A_{\infty}(\Delta)\}$, 并令 $B(\Delta)$ 表示其开单位球 $B(\Delta)=H_{\infty}(\Delta)\cap M(\Delta).$ 今后我们将 $B(\Delta)$ 中元素称为调和 Beltrami 微分. 注意到空间 $L^{\infty}(\Delta)$ 具有直和分解 $L^{\infty}(\Delta)=N(\Delta)\oplus H_ {\infty}(\Delta)$, $H_{\infty}(\Delta)$ 在万有 Teichmüller 空间中具有很关键的地位, 这里 $N(\Delta)=\{\mu \in M(\Delta):$ 对于任意 $\phi\in A_{1}(\Delta),\, \iint_{\Delta}\mu \phi {\rm d}x{\rm d}y=0 \},$ $A_{1}(\Delta)=\{\phi:\phi $ 为单位圆盘 $\Delta$ 上全纯函数满足 $\iint_{\Delta}|\phi|{\rm d}x{\rm d}y <\infty\}.$ 这时 $H_ {\infty}(\Delta)$ 可看为万有 Teichmüller 空间 $T(1)$ 在原点处的切空间 $T_{0}T(1)=L^{\infty}(\Delta)/N(\Delta)$.

接下来我们将从另一个角度来介绍一下调和 Beltrami 微分.

设 $(M, \sigma)$、 $(N,\rho)$ 分别表示具有双曲度量 $\sigma$、$\rho$ 的 Riemann 曲面. 设映射 $f: M\rightarrow N$ 具有 $C^{2}(M)$ 光滑, 若 $f$ 满足

则称 $f$ 为关于度量 $\rho$ 调和. 由文献[9]知, $f$ 满足方程 (2.1) 当且仅当

为 Riemann 曲面 $M$ 上的全纯二次微分. 这时二次微分 $\varphi(z){\rm d}z^{2}$ 称为 Hopf 微分. 观察 (2.2) 式易知若 $f$ 为单位圆盘上的调和拟共形映射, 则其 Beltrami 系数可表示为

这里 $\partial f=\frac{\rho_{\Delta}\circ f(z)}{\rho_{\Delta}}f_{z}.$ 将 $\mu=\rho_{\Delta}^{-2}\bar{\phi}$ 形式的可测函数称为调和 Beltrami 微分, 这里 $\phi {\rm d}z^{2}$ 为单位圆盘上的全纯二次微分. 令 $X_{t}$ 表示万有 Teichmüller 空间中过点 $X_{0}$ 的一段曲线. 则切向量 $\dot{X_{0}}=\frac{{\rm d}X_{t}}{{\rm d}t}\big|_{t=0}$ 便可以唯一的由 Beltrami 微分 $\mu=\rho_{\Delta}^{-2}\bar{\phi}$ 表示 ^[10].

为了测量全纯函数在单位圆边界附近的增长性, McMullen ^[10] 引入了一列积分平均范数. 为了方便读者和文章独立性考虑, 在这小节中让我们先回顾一下积分平均范数相关内容. 遵循 McMullen 的记法, 对于单位圆盘 $\Delta$ 上的全纯函数 $\varphi(z)$ 和 $r\in[0, 1)$, 定义积分形式

特别的当 $i=j$ 时, 记 $I_{2k}=I_{k, k}$, 这时积分形式 (3.1) 便转化为

这里 $k$ 为正整数. 当 $k=0$ 时,

容易看出关于全纯函数 $\varphi$, 积分形式 $I_{2k}(\varphi)$ 是 $\varphi$ 的范数.

取全纯函数 $\varphi(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}$, 这里 $a_{n}$ 为 $\varphi$ 的 $n$-阶 Fourier 系数, 即

则 (3.2) 和 (3.3) 式的级数表达方式为: 当 $k>0$ 时,

和当 $k=0$ 时

注意到 (3.4) 和 (3.5) 式是 McMullen ^[10] 给出的, 但是他在文章中并没有给出证明, 为了后面需要, 下面简单推导 (3.4) 和 (3.5) 式.

将 $\varphi(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}$ 带入 (3.1) 式可得

和

注意到对于正整数 $k$, 假若 $I_{2k}(\varphi)$ 存在, 则当 $r\rightarrow 1$ 有

这里 $A(r)\sim B(r)$ 式是指 $\lim\limits_{r\rightarrow 1}\frac{A(r)}{B(r)}=1.$ 进一步当 $r\rightarrow 1$ 时, 我们有

综合 (3.6) 和 (3.7) 式, 我们可得

将 (3.8) 式两边同乘以 $2$ 并关于参数 $r$ 积分可得

进一步令 $B(n,k)=[n(n-1)(\cdot\cdot\cdot)(n-k+1)]^{2}-n^{2k}$, 得

注意到当 $r\rightarrow 1$ 时,

因此 (3.4) 式成立, 即

同理可得 (3.5) 式成立.

关于积分形式 $I_{j,k}$, McMullen ^[10] 给出如下结果.

定理3.1 设 $\varphi(z)$ 为单位圆盘 $\Delta$ 上的全纯函数. 若对任意正整数 $i, j$, $I_{i, j}(\varphi)$ 存在, 则对于任意整数 $0\leq m\leq i, 0\leq n\leq j$, $I_{m,n}(\varphi)$ 存在并满足

注3.1 单位圆盘 $\Delta$ 上的全纯函数 $g$ 称为 Bloch 函数, 若 $g$ 满足

我们将所有 Bloch 函数组成的集合称为 Bloch 空间, 记为 $\mathbf{B}(\Delta)$. 对于 Bloch 函数 $g\in\mathbf{B}(\Delta)$, 定义 $g$ 的渐近方差为

全纯函数的渐近方差在研究 Bloch 函数增长性中起到非常重要的作用[1]. 定理 3.1 中关于全纯函数 $g$ 的积分平均形式 $I_{0}(g)$ 即为渐近方差 $\sigma^{2}(g)$.

需要指出的是定理 3.1 的结论反过来是不成立的, 即由 $I_{0}$ 存在并不能得到 $I_{i, j}$ 的存在. 下面的例子是 McMullen ^[10] 给出的.

例3.1 对于函数 $f(z)=\sum\limits^{\infty}_{0}z^{2^{n}}$, $I_{0}(f)=\frac{1}{\log 2}$ 存在有限, 但是 $I_{2}(f)$ 却为无限.

对于该例子, McMullen 在文献 [10] 中并未给出具体证明. 我们发现这个例子的证明并不是特别显然的, 下面我们给出其证明如下

证 容易看出函数 $f(r):=\sum\limits_{n=0}^{\infty}r^{2^{n}}$ 和 $g:=\mid \text{log} (1-r)\mid $ 均为定义在 $r\in (0,1)$ 上的可微函数. 首先证明 $I_{0}(f)$ 存在且有限. 将 $f(r)$ 带入 (3.5) 式可得

记 $S_{n}(r)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}(r)=\sum_{k=0}^{n}r^{2^{k+1}}$, 这里 $a_{k}(r)=r^{2^{k+1}}$ 并有 $ \frac{a_{k+1}(r)}{a_{k}(r)}=a_{k}(r).$ 注意到当 $n\approx \mid\log(1-r)|/\log 2$ 时, $\lim_{r\rightarrow 1}r^{2^{n+1}}=\frac{1}{{\rm e}^{2}\log2}<1.$ 故当 $n\geq\ \mid\!\!\log(1-r)|/\log 2$ 时, $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(r)\leq \sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}(r)+C$, 这里 $C$ 为不依赖于 $r$ 的常数. 故

接下来我们将证明

进而由定理 3.1 知道 $I_{2}(f)$ 取值为无穷, 例 3.1 成立.

要证 (3.14) 式成立即证

令 $b_{n}(r)=(1-r)2^{n}r^{2^{n}}$, $r_{k}=1-\frac{1}{2^{k}}, $ 可知

选取 $\varepsilon>0$ 充分小满足 $0<\frac{1}{\rm e}-\varepsilon< \frac{1}{\rm e}+\varepsilon<\frac{1}{2}$, 并令 $q= \frac{1}{\rm e}+\varepsilon.$ 经过简单计算可知当 $ n>\frac{\log(\frac{\log q}{\log r_{k}})}{\log2}$ 时, 有

设 $q_{k}:=[\frac{\log(\frac{\log q}{\log r_{k}})}{\log2}]$ 为向下取整函数并令 $t_{k}=k-q_{k},$ 可得

对于固定的 $k$, 令 $S_{k}(r_{k})=\sum\limits_{n=q_{k}}^{k}b_{n}(r_{k}).$ 由 (3.17) 和 $(3.18)$ 式, 有

注意到 $b_{k}(r_{k})=(1-r_{k})2^{k}r_{k}^{2^{k}}$ 和 $r_{k}=1-\frac{1}{2^{k}},$ 因此存在充分大正整数 $N$, 使得 $k>N$ 时,

这是因为

综上可得

即 (3.15) 式成立, 进而该例子成立.

例 3.1 表明对于不同正整数 $k$, 范数 $I_{2k}(f)$ 并不等价. 为了避免例 3.1 的情况发生, McMullen ^[10] 介绍了另一种积分平均范数 $J_{k}(f)$, 现在这种范数称为 Cesaro 范数. 对于全纯函数 $f(z)=\sum a_{n}z^{n}$ 的 Cesaro 范数定义为: 当 $k=0$ 时, $J_{0}(f)=I_{0}(f)$; 当 $k>0$ 时,

McMullen ^[10] 证明了对于不同的 $k$, $J_{2k}(f)$ 互相等价. 得到如下结论

定理3.2^{[10,定理 6.3]} 若 $J_{2k}(f)$ 存在对于某个 $k\geq 0$ 成立, 即

则对任意非负整数 $j$, $J_{2j}(f)$ 都存在, 并有

注3.2 对于 Bloch 函数, 朱 ^[17]给出了一个类似 Cesaro 范数 $J_{2k}$ 的性质. 他证明对于单位圆盘 $\Delta$ 上全纯函数 $f$, 若 $f$ 满足 $\sup\limits_{z\in\Delta}\{\rho_{\Delta}^{-1}(z)|f'(z)|\}<+\infty$, 则对任意正整数 $k>0$, 都有

对于解析 Besov 空间具有更强的类似性质. 设 $p>0,$ 我们称单位圆盘上解析函数 $f$ 属于 Besov 空间 $B_{p,n}$ 当且仅当 $f$ 满足

这里${\rm d}A=\frac{{\rm d}x{\rm d}y}{(1-|z|^{2})^{2}}.$ 对于解析 Besov 空间中函数, 朱在文献 [p115] 给出如下结果

命题3.1^{[18,引理 5.16]} 设 $p>0$, $f$ 为单位圆盘 $\Delta$ 上解析函数. 若对于任意正整数 $m$ 和 $n$ 满足 $pm>1$, $pn>1$, 则

当且仅当

这里 ${\rm d}A=\frac{{\rm d}x{\rm d}y}{(1-|z|^{2})^{2}}.$

我们用 $S(\Delta)$ 表示单位圆盘上所有满足规范条件 $f(0)=0$, $f'(0)=1$ 的解析函数组成的集合. 因为关于函数 $f$ 的导函数 $f'$ 的积分方幂与 Brennan 猜想紧密相关, 大量数学家从事这方面研究, 可参考文献 [13] 及其附录的参考文献. 令

由 $I_{2k}(f)$ 定义容易看出 $\lim\limits_{r\rightarrow 1}I_{2}(f, r)=I_{2}(f).$ 本文的主要目的不是研究 Brennan's 猜想, 而是研究 $I_{2}(f)$ 相对于双曲度量 $\rho_{\Delta}(r)$ 在 $r\rightarrow 1$ 时的增长阶数. 由定理 3.1 可知, 要使得 Bloch 函数 $g\in\mathcal{B}(\Delta)$ 的渐近方差 $\sigma^{2}(g)$ 有限, 只需要证明 $I_{2k}(g)$ 的有限性对某个正整数 $k$ 成立, 这里

对于单位圆盘 $\Delta$ 上的单叶函数 $f\in S(\Delta)$, 有

命题4.1 设 $f\in S(\Delta)$, 则 $I_{2}(f, r)\leq C \rho_{\Delta}^{\alpha-2}(r),$ 这里 $C$ 为常数, $\alpha=\frac{3+\sqrt{57}}{2}$.

注4.1 由定理 3.1 可知 $I_{2}(f)$ 有限时, $f$ 的渐近方差 $\sigma^{2}(f)$ 一定有限. 由命题 4.1 我们可以发现绝大多数的单位圆盘上的共形映射的渐近方差都是无限的. 参考文献 [13] 中的证明方法, 我们给出命题 4.1 证明如下.

证 设 $r\in (0,1)$, $z=r{\rm e}^{{\rm i}\theta},$ 令

对 $I(r)$ 关于 $r$ 求导并关于方程两边乘以 $r$ 可得

利用经典的 Hardy 恒等式

可得

注意到 $|z\frac{f''}{f'}-\frac{2r^{2}}{1-r^{2}}|\leq \frac{4r}{1-r^{2}},$ 有

将上式带入 (4.2) 式可得

进一步有

注意到极限

对于给定 $\varepsilon>0,$ 存在实数 $\delta>0$, 当 $1-\delta\leq r<1$ 时, 有

接下来我们需要如下引理, 参见文献 [13].

引理4.1 设 $p(x), q(x)$ 为区间 $[a,b)$ 上两个连续函数, 并且对 $x\in [a,b),$ 满足 $p(x)\in \mathbb{R}$, $q(x)>0.$ 设 $u(x),v(x)$ 是两个区间 $[a,b)$ 上两个连续函数满足 $u''<pu'+qu$ 和 $v''=pv'+qv.$ 若 $u(a)= v(a)$, $u'(a)<v'(a)$, 则对任意 $x\in[a,b),$ 有 $ u(x)\leq v(x).$

接下来我们继续证明命题 4.1. 令 $T(r)= \frac{c}{(1-r)^{\alpha}}$, 这里 $c$ 为待定常数. 将 $T(r)$ 关于参数 $r$ 连续求导两次可得 $T'(r)=\alpha \frac{c}{(1-r)^{\alpha+1}}$ 和 $T''(r)=(\alpha+1)\alpha\frac{c}{(1-r)^{\alpha+2}}.$ 若

有

求解方程 $(4.6)$ 可得

我们选择充分大的常数 $c$ 使得 $T(1-\delta)>I(1-\delta)$ 和 $T'(1-\delta)>I'(1-\delta)$ 成立. 由引理 4.1 可得当 $r\in [1-\delta, 1)$ 时, $I(r)\leq T(r).$ 令 $\varepsilon$ 趋于 $0$, 有 $\alpha=\frac{3+\sqrt{57}}{2}.$ 因此命题成立.

下面将给出渐近方差总是有限的一类有趣的解析函数族的例子.

记 $A_{\infty}(\Delta)$ 表示在单位圆盘 $\Delta$ 上满足范数 $\parallel\phi\parallel_{\infty}=\sup\limits_{z\in \Delta}\rho^{-2}(z)|\phi(z)| <\infty$ 的所有全纯函数组成的集合. 对于 $Q\in A_{\infty}(\Delta)$, 当 $t$ 很小的时候, 适合方程 $S(f^{tQ})=tQ$ 的一族全纯函数 $f_{tQ}$ 属于 $A_{\infty}(\Delta),$ 这里 $S(f)$ 表示函数 $f$ 的 Schwarz 导数. 当 $t$ 很小的时候, 考虑扰动 $f_{tQ}(z)$ 关于 $t$ 的 Taylor 展开式

这里

向量 $u(z)$应该具有什么性质使得 $Q\in A_{\infty}(\Delta)$?

令 $s>0$, 记 $H^{s}(\partial\Delta)$ 包含所有 $h\in L^{1}(\partial\Delta)$ 并满足半范数

的全纯函数组成的集合, 称 $H^{s}(\partial\Delta)$ 为 Sobolev 空间, 这里 $a_{n}$ 为 $h$ 的 $n$-阶 Fourier 系数, 即

下面的结果是 Leo 在文献 [8]中给出的.

命题4.2 设流曲线 $f^{t}(z)$ 的泰勒展式为

这里 $u(z)=z(a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdot\cdot\cdot)=\sum\limits^{\infty}_{n=1}a_{n}z^{n+1}$ 为单位圆盘上的全纯函数. 则有 $u'(z)$ 的渐近方差总是有限的, 即

关于群的自同构理论在 Riemann 曲面的模空间中起到非常重要的作用^[7,11]. 特别的关于曲面 $\Delta/G$ 的 Teichmüller 空间 (这里 $G$ 为 Fuchs 群, 即为由保持单位圆盘不动的分式线性变换组成的离散群) 的切空间和余切空间都可以看成离散群 $G$ 的某些自同构形式组成的空间, 参考专著 [11]. 下面让我们来回忆一下与 Fuchs 群相容的自同构形式的一些基本定义.

设 $G$ 为单位圆盘 $\Delta$ 上的 Fuchs 群, $p, q$ 为整数. 若可测函数 $\varphi:\Delta\rightarrow \mathbb{C}$ 对于 $g\in G$ 满足

则称 $\varphi$ 为关于群 $G$ 相容的 $(p,q)$ 形式. 当满足 (5.1) 式的 $\varphi$ 为单位圆盘 $\Delta$ 上全纯函数且 $q=0$ 时, 我们称这样的函数为全纯 $(p,0)$-形式, 用 $Q^{p}(\Delta, G)$ 表示所有全纯 $(p,0)$-形式组成的集合. 单位圆盘上关于群 $G$ 相容的全纯 $(p,0)$-形式都可以投影为商曲面 $\Delta/G$ 上的一个全纯 $p$-形式.

在本文中我们主要关注关于 Fuchs 群相容的全纯 $2$-形式.

考虑 $Q^{2}(\Delta, G)$ 中子集 $A_{\infty}(\Delta,G)$, 其中元素 $\varphi\in A_{\infty}(\Delta,G)$ 满足 $\sup\limits_{z\in \Delta} |\rho^{-2}_{\Delta}(z)\varphi|<\infty.$ 这时由 $A_{\infty}(\Delta,G)$ 中元素 $\varphi$ 诱导的 Beltrami 微分 $\mu=\rho^{-2}_{\Delta}(z)\overline{\varphi}$, $||\mu||_{\infty}<1$, 称为关于群 $G$ 相容的调和 Beltrami 微分, 记为 $B(\Delta, G).$ 注意到单位圆盘 $\Delta$ 的双曲度量 $\rho_{\Delta}(z)$ 保持单位圆盘的分式线性变换的共形不变性, 即对任意 $z\in \Delta$ 和 $g\in G$, $\rho_{\Delta}(g(z))|g'(z)|^{2} =\rho_{\Delta}(z)$, 可知 $B^{2}(\Delta, G)$ 中元素均为 $(-1,1)$- 形式并满足

McMullen ^[10] 讨论了黎曼曲面 $S=\Delta/G$ 的单位切丛 $T_{1}(S)$ 的叶状结构的性质, 为了方便读者, 下面我们给出关于叶状结构的一些基本内容.

对于单位圆盘 $\Delta$ 的单位切丛 $T_{1}(\Delta)$ 中任意元素 $(z, \xi)$ 决定了一条测地线, 这里 $z\in \Delta$, $\xi$ 为单位切向量. 该测地线沿 $\xi$ 方向在无穷远处的理想端点记为 $p$, 显然有 $p\in \partial\Delta.$ 这样我们可以建立 $T_{1}(\Delta)$ 与 $\Delta\times \partial\Delta$ 的同构对应. 设 $\widetilde{\mathcal{F}}$ 为 $T_{1}(\Delta)$ 的叶状结构, 对于 $\zeta \in \partial\Delta$, $\widetilde{\mathcal{F}}$ 的叶 $L_{\zeta }$ 同构于 $\Delta\times {\zeta }$, 包含所有收敛到 $\zeta$ 的测地线.

设 $S=\Delta/G$ 为黎曼曲面, 记 $S$ 上的叶状结构为 $\mathcal{F}$. 我们知道在投影映射下, $T_{1}S$ 的叶状结构 $\widetilde{\mathcal{F}}$ 可以投射为 $S$ 的叶状结构 $\mathcal{F}$. $S$ 上任意全纯 $k$-形式可以经过 $T_{1}S\rightarrow S$ 的投影映射拉回得到叶状结构 $\mathcal{F}$ 上的全纯 $k$-形式, 并用 $Q^{k}(\mathcal{F})$ 表示 $\mathcal{F}$ 上所有全纯 $k$-形式组成的集合.

当商曲面 $S=\Delta/G$ 具有有限面积的时候, 称群 $G$ 为格群. 本文主要考虑格群的性质. 这时单位切丛 $T_{1}(S)$ 上存在一个关于测地流 $g_{t}$ 不变的测度, 记为 ${\rm d}\sigma.$ 由文献 [3] 知 ${\rm d}\sigma$ 恰为关于纤维的角测度与关于基点的面积测度的乘积. 关于该测度, Hedlund[5] 证明了格群的 $g_{t}$ 还是混合的: 即对于 $L^{2}(T_{1}(S), {\rm d}\sigma )$ 中任意 $\alpha$ 和 $\beta$, 有

由测地流的混合性可知对于任意以 $x\in S$ 为心, 以 $r$ 为半径的球 $B(x, r)$, 当 $r\rightarrow\infty$ 时等分布. McMullen ^[10] 给出如下结果

定理5.1^[10] 设 $\varphi \in Q^{k}(\mathcal{F})$, 并设单位切丛 $T_{1}(S)$ 上的全纯 $k$-形式 $f^{(k)}(z){\rm d}z^{k}$ 在投影映射 $T_{1}(S)\rightarrow S$ 下等于 $\varphi(z){\rm d}z^{k}$. 则对于任意非负整数 $k$, $I_{k}$ 存在并满足

设 $G$ 为格群, $\mathcal{D}$ 为群 $G$ 的以 $z\in \Delta$ 为心的一个 Dirichlet 基本域. 注意到测度 ${\rm d}\sigma$ 为纤维上的角测度与基点的面积测度的乘积, 利用测地流的混合性我们可以得到下面类似的结果.

命题5.1 设 $G$ 为一个格群. 对于任意调和 Beltrami 微分 $\mu=\rho^{-2}(z)\overline{\phi(z)}\in B(\Delta, G),$ 有

进一步关于全纯 $k$-形式的积分平均范数, 有如下结果

命题5.2 设 $G$ 为格群并且 $\varphi(z)$ 为关于群 $G$ 相容的全纯 $(k,0)$-形式. 令 $f$ 为单位圆盘 $\Delta$ 上使得 $f^{(k)}{\rm d}z^{k}=\varphi(z){\rm d}z^{k}$ 成立的全纯函数. 若存在正整数 $i$ 使得 $I_{2i}(f)$ 存在, 则对于任意 $j\geq0$, $I_{2j}(f)$ 都存在. 进一步对于 $j>0,$ 成立如下关系

证 若对于某正整数 $i>0$, $I_{2i}(f)$ 存在, 由定理 5.1, 我们知道对于任意 $j\geq0$, 都有 $I_{2j}(f)$ 存在. 下面只需要证明

经过简单计算, (5.3) 式可由 (3.11) 式得到.

多年来, 国内外有大量数学家从事 Weil-Petersson 类 和 Weil-Petersson Teichmüller 空间的研究, 取得了很多漂亮的结果 ^[4,8,12,14]. 设 $\mu\in M(\Delta)$, 以 $\mu$ 为 Beltrami 系数的拟共形映射具有到单位圆周 $\partial\Delta$ 上的拟共形延拓, 并且延拓值限制在单位圆周上为拟对称同胚. 当 $\mu$ 关于双曲度量的积分满足

时, 称所对应的单位圆周上的拟对称同胚属于 Weil-Petersson 类^[2,14,16], 将 Weil-Petersson 类表示为 $WP(\partial\Delta)$. 调和 Beltrami 系数 $\mu(z)=\rho_{\Delta}^{-2}(z)\bar{\phi}(z)$ 对应的单位圆周的拟对称同胚 $f$ 属于 Weil-Petersson 类当且仅当调和 Beltrami 系数 $\mu(z)=\rho_{\Delta}^{-2}(z)\bar{\phi}(z)$ 满足积分 $\iint_{\Delta}|\varphi(z)|^{2}\rho_{\Delta}^{-2}(z){\rm d}x{\rm d}y$ 对于所有全纯二次微分 $\varphi(z){\rm d}z^{2}$ 都收敛.

对于调和 Beltrami 系数我们有如下结果

定理6.1 设 $\phi(z){\rm d}z^{2}$ 为单位圆盘上全纯二次微分, $\Phi$ 为单位圆盘上全纯函数满足 $\Phi'(z)=\phi(z).$ 若存在正整数 $k$ 使得 $ \lim\limits_{r\rightarrow 1}\int_{|z|=r}|\Phi^{(k)}|^{2}\rho_{\Delta}^{-2k}|{\rm d}z|<+\infty, $ 则 $\Phi$ 具有有限渐进方差 $\sigma^{2}(\Phi),$ 即,

进一步有调和 Beltrami 系数 $\mu(z)=\rho_{\Delta}^{-2}(z)\bar{\phi}(z)$ 属于 Weil-Petersson 类 $WP(\partial\Delta).$

为了证明该结果首先证明下面引理.

引理6.1 设 $\phi\in \mathcal{B}(\Delta)$ 为单位圆盘 $\Delta$ 上的 Bloch 函数. 若极限

存在, 则有

这里 $C(r)$ 表示以 $0$ 为中心以 $r$ 为半径的圆周.

证 设 $\phi(z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}$ 为单位圆盘 $\Delta$ 上的全纯函数, $a_{n}$ 为函数 $\phi$ 的 $n$-阶 Fourier 系数, 即

有

若令

可知

容易看出假若极限

存在则有

注6.1 反过来积分 $\iint_{\Delta}\rho_{\Delta}^{-2}(z)|\phi(z)|^{2}{\rm d}x{\rm d}y<+\infty $ 并不能保证

这是因为级数 $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n+2}b_{n}r^{n}$ 收敛并不能说明级数 $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}b_{n}r^{n}$ 收敛一样.

令 $\mathbb{B}_{\infty}(\Delta)$ 表示单位圆盘 $\Delta$ 上关于范数

的全纯二次微分组成集合, $\mathbb{Q}(\Delta)$ 为单位圆盘上关于范数

的全纯二次微分组成的集合, $\mathbb{H}(\Delta)$ 为单位圆盘上关于范数

的全纯二次微分组成的集合. 关于上述范数, 崔[2] 证明存在常数 $C>0$使得

由 (6.1) 式结合引理 6.1 我们知道空间 $\mathbb{B}_{\infty}(\Delta)$、 $\mathbb{Q}(\Delta)$ 和 $\mathbb{H}(\Delta)$ 具有如下包含关系

下面我们给出定理 6.1 的证明.

证 假若存在整数 $k>0$ 使得 $I_{2k}(\Phi)<+\infty,$ 由定理 3.1 可知

进一步有定理中 $\Phi$ 的渐近方差 $\sigma^{2}(\Phi)$ 是有限的. 当 $r\rightarrow1$ 时, 有

利用引理 6.2 可得

(6.2) 式表明调和 Beltrami 微分 $\mu(z)=\rho_{\Delta}^{-2}(z)\bar{\phi}(z)$ 对应的拟对称同胚属于 Weil-Petersson 类.

沈^[14]给出 Weil-Petersson 类中的拟对称同胚一些本质刻画. 沈还证明了存在由 $H^{\frac{3}{2}}$ 向量诱导的流映射虽然属于 Weil-Petersson 类但是这些流映射既不满足 Lipschitz 条件也不属于 $H^{\frac{3}{2}}.$ 这一小节的主要目的是相对于沈和唐^[15]的结果给出相应渐近方差的一些结果.

命题7.1^[15] 设 $g$ 为单位圆周 $\partial\Delta$ 上满足规范化条件 $g(1)=0$ 和 ${\rm Re}(\bar{w}g(w))=0$ 连续函数, $\gamma(z)=\frac{z-{\rm i}}{z+{\rm i}}$ 为将上半平面 $\mathbb{H}$ 映为单位圆盘 $\Delta$ 的 Cayley 变换. 令 $f(z)=(g\circ\gamma)(z)/\gamma'(z)$, 当 $x\rightarrow+\infty$ 时, $f$ 限制在实数轴 $\mathbb{R}$ 上满足下列展开式 $f(x)=o(x^{2})$, $x\rightarrow+\infty.$ 则在单位圆周 $\partial\Delta$ 上, $g\in H^{\frac{3}{2}}$ 当且仅当 $f$ 限制在实数轴 $\mathbb{R}$ 上属于 $H^{\frac{3}{2}}.$

命题7.2^[15] 设 $f$ 为实数轴 $\mathbb{R}$ 上满足规范条件 $f(t)=O(|t|^{\alpha}), t\rightarrow+\infty$ 的实值连续函数, 这里 $0<\alpha<2.$ 则 $f\in H^{\frac{3}{2}}$ 当且仅当

这里

$z=x+{\rm i}y$ 属于上半平面 $\mathbb{H}$, 并且有

利用 Cayley 变换, 我们给出关于渐近方差的类似结果.

命题7.3 设 $g$ 为单位圆周 $\partial\Delta$ 上满足规范化条件 $g(1)=0$ 和 ${\rm Re}(\bar{w}g(w))=0$ 连续函数. 令 $\Phi(z)$ 为下面微分方程

的解, 这里的算子 $A$ 定义同命题 7.2. 若存在整数 $k>0$ 使得 $I_{2k}(\Phi)$ 有限. 则有 $g\in H^{\frac{3}{2}}$ 并且 $\Phi$ 的渐近方差有限, 即

注7.1 命题中满足 (7.2) 式的函数 $\Phi(z)$ 在单位圆盘上是全纯的并且并不唯一.

证 利用 Cayley 变换 $\gamma(z)=\frac{z-{\rm i}}{z+{\rm i}}$, 我们将命题 7.2 的结果拉回单位圆盘. 因此 $g\in H^{3/2}$ 当且仅当 $I_{2}(\Phi)$ 是有限的. 进一步假若存在整数 $k>0$ 使得 $I_{2k}(\Phi)$ 有限, 有

和