此文旨在考虑集值映射有稳定局部误差界的原始刻画. 下面回顾集值映射误差界的定义 ^[22]. 设 $X,Y$ 是赋范空间且 $C\subset Y$ 是闭凸锥, 则 $C$ 导出了 $Y$ 中的偏序 $\leq_{C}$ (或 $<_{C}$): $y_{1}\leq_{C}y_{2} \Leftrightarrow y_{2}-y_{1}\in C$ (或 $y_{1}<_{C}y_{2} \Leftrightarrow y_{2}-y_{1}\in \mathrm{int}(C)$). 并设 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是集值映射. 考虑如下锥包含关系

用 $S(\Psi, C):=\Psi^{-1}(-C)$ 表示锥包含关系 (CIN)的解集. 我们称锥包含关系 (CIN)(或集值映射 $\Psi$) 关于序锥 $C$ 有全局误差界, 如果存在 $\tau\in (0, +\infty)$ 使得

再称锥包含关系 (CIN) (或集值映射 $\Psi$) 在 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 处关于序锥 $C$ 有局部误差界 (以下简称误差界), 如果存在 $\tau, \delta\in (0, +\infty)$ 使得

其中 $B_{X}(\bar{x}, \delta)$ 表示 $X$ 中以 $\bar{x}$ 为心且以 $\delta$ 为半径的开球. 若 $f:X\rightarrow\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ 为正常下半连续函数, 则在 $\Psi=f$ 且 $C=[0, +\infty)$ 的情形下, (1.2) 式意味着 $f$ 在 $\bar{x}\in f^{-1}((-\infty, 0])$ 处有经典误差界. 若 $F: X\rightarrow Y$ 为向量值函数, 则在 $\Psi=F$ 的情形下, 锥包含关系 (CIN) 退化为如下锥不等式

且 (1.2) 式意味着锥不等式 (CIE) (或向量值函数 $F$) 在 $\bar{x}\in S(F, C)$ 处关于序锥 $C$ 有误差界. 定义集值映射

则 (1.2) 式意味着集值映射 $\Psi_{C}$ 在 $(\bar{x}, 0)$ 处有度量次正则性 (见[15,32,38] 及其参考文献). 用 $\mathrm{Er}(\Psi, \bar{x}, C)$ 表示锥包含关系 (CIN) (或集值映射 $\Psi$) 在 $\bar{x}$ 处关于序锥 $C$ 的误差界模, 其定义为

显然, $\Psi$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 有误差界当且仅当 $\mathrm{Er}(\Psi, \bar{x}, C)>0$. 需要进一步说明的是, $\Psi$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 有稳定误差界指 $\Psi$ 在一定范围内经过小扰动后在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 仍然有误差界.

1952 年, Hoffman^[14] 率先证明了欧几里得空间中线性不等式一定有全局误差界. 在 Hoffman 的开创性工作之后, 许多学者对误差界进行了广泛且深入的研究 (参见[4,8,17,19,23,25,26,31] 及其参考文献), 而且发现其在灵敏度分析、算法的收敛性分析和数学规划中的罚函数方法等很多领域有重要的应用 (参见 [2,5⇓-7,11,12,18,27] 及其参考文献).

在实际问题中, 因测量的不准确性和不确定性, 获取的数据通常含有误差. 因此, 当系统数据遇到小扰动时, 研究问题的稳定性是自然且有意义的. 这样, 我们不可避免地要考虑误差界问题的稳定性. 然而, 相较于误差界自身理论和应用的大量研究工作, 误差界稳定性的工作并不多见. 1994 年, Luo 和 Tseng^[20] 率先研究了欧几里得空间中锥线性不等式经扰动时全局误差界的稳定性. 2005 年, Zheng 和 Ng^[35] 建立了 Banach 空间中锥线性不等式系统有稳定全局误差界的结果. 2010 年, Ngai, Kruger 和 Théra^[24] 放开线性的限制并利用次微分研究了凸不等式误差界的稳定性. 此后, Zheng 和 Wei ^[37] 把前述结果从凸情形推广至 subsmooth 情形. 近来, Kruger, L$\acute{\rm o}$pez 和 Th$\acute{\rm e}$ra ^[16] 采用误差界半径刻画了 Banach 空间上正常下半连续凸广义实值函数误差界的稳定性. 为了建立向量值函数经 "小 calm" 扰动关于序锥有稳定误差界的充分和必要条件, Zheng 和 Ng ^[36] 采用了这种函数抽象意义下的 Clarke 次微分. 前述文献[16,24,36,37]都是采用 Clarke 次微分处理误差界的稳定性, 但是 Clarke 次微分是用 Clarke 法锥描述的而且 Clarke 法锥是 Clarke 切锥的对偶锥. 因此, 为了更加便利地判定向量值函数误差界的稳定性, Zheng^[33] 采用了其切导数关于序锥的 Slater 条件.

受文献 [16,33] 的启发, 此文主要从误差界半径的角度并利用切导数关于序锥的 Slater 条件建立集值映射关于序锥有稳定误差界的充分和必要条件. 第 2 节列出了一些预备知识. 第 3 节利用切导数建立了集值映射关于序锥有强误差界的一些充分和必要条件. 第 4 节给出了集值映射的切导数关于序锥满足 Slater 条件的一些充分条件并证明了集值映射的 Bouligand 切导数关于序锥的 Slater 条件在该集值映射经 "小 calm" 单值映射扰动时总是稳定的. 第 5 节主要从误差界半径的角度证明了: 若集值映射的 Bouligand 切导数关于序锥满足 Slater 条件, 则该集值映射经 "小 calm 和正则" 扰动时其关于序锥的误差界有稳定性. 作为应用, 第 6 节建立了凸过程经 "小" 连续算子扰动时其关于序锥有稳定全局误差界的充分条件.

设 $X$ 是赋范空间且 $X^*$ 是 $X$ 的对偶空间. 在不引起混淆时, 用 $\|\cdot\|$ 表示 $X$ 或 $X^*$ 上的范数. 并用 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示对偶空间 $X^*$ 与原始空间 $X$ 之间的对偶作用. 再用 $S_X$ 和 $B_{X}$ 分别表示 $X$ 的单位球面和闭单位球, 即

设 $A$ 是赋范空间 $X$ 中的非空闭子集且 $a\in A$, 用 $\widehat{T}(A, a)$ 和 $T(A,a)$ 分别表示 $A$ 在 $a$ 处的 Bouligand 切锥 (相依锥) 和 Clarke 切锥[9,21], 它们的定义是

和

其中 $a_{n} \buildrel {A}\over\longrightarrow a$ 表示 $a_{n}$ 在 $A$ 中收敛于 $a$. 显然, 总有 $T(A, a)\subseteq \widehat{T}(A, a)$. 容易验证, $\widehat{T}(A, a)$ 和 $T(A,a)$ 分别是闭锥和闭凸锥. 在 $A$ 是凸集的特殊情形下, 我们熟知

其中 ${\rm cone}(A-a):=\bigcup\limits_{t>0}\frac{A-a}{t}$ 表示由 $A-a$ 生成的锥. 回顾 $A$ 在 $a$ 处是 Clarke 正则的[9]: $T(A,a)=\widehat{T}(A,a).$ 再回顾 $A$ 在 $a$ 处有弱 Shapiro 性质: 对于任意的 $\varepsilon\in(0, +\infty)$ 都存在 $\delta\in(0, +\infty)$ 使得

显然, 若 $A$ 是凸集, 则 $A$ 在每一点 $a'\in A$ 都有弱 Shapiro 性质. 对于凸性和光滑性推广的弱 Shapiro 性质和 Shapiro 性质的详细讨论, 参见文献[3,28⇓-30]. 用 $N(A,a)$ 表示 $A$ 在 $a$ 处的 Clarke 法锥, 其定义是

由定义易知, $N(A,a)$ 是 $X^*$ 中的弱*闭凸锥. 特别地, 当 $A$ 是凸集时, 上述 Clarke 法锥退化为凸分析意义下的法锥, 即

设 $X$ 和 $Y$ 是赋范空间且 $C\subset Y$ 是闭凸锥. 并设 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是集值映射. 定义 $\Psi$ 关于序锥 $C$ 的上方图形 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 如下

如果 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 是 $X\times Y$ 中的凸集, 那么称 $\Psi$ 是 $C$-凸集值映射. 显然, $\Psi$ 是 $C$-凸集值映射当且仅当只要 $x_{1}, x_{2}\in\mathrm{dom}(\Psi)$, $y_{1}\in \Psi(x_{1})$, $y_{2}\in \Psi(x_{2})$ 以及 $\lambda\in [0,1]$ 就有

其中 $\mathrm{dom}(\Psi):=\{x\in X: \Psi(x)\neq \emptyset\}$. 我们称 $\Psi$ 在 $(\bar{x}, \bar{y})\in \mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 处是 $C$-Clarke 正则的, 如果 $\Psi$ 关于 $C$ 的上方图形 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 在 $(\bar{x}, \bar{y})$ 处是 Clarke 正则的, 即

$\Psi$ 关于 $C$ 的上方图形 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 在 $(\bar{x}, \bar{y})\in \mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 处的 Bouligand 切锥和 Clarke 切锥分别导出 $\Psi$ 在 $(\bar{x}, \bar{y})$ 处的 Bouligand 切导数 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, \bar{y})$ 和 Clarke 切导数 $D_{C}\Psi(\bar{x}, \bar{y})$, 它们的定义是

和

下面列出近似投影定理^[30], 其在主要结论的证明中将起到关键作用.

引理2.1 若 $A$ 是 Banach 空间 $X$ 中的非空闭子集, 则对于任意的 $\gamma \in (0, 1)$ 以及任意的 $x\in X\setminus A$ 都存在 $a\in A$ 使得 $\label{A1} \gamma\|x-a\|\leq\min\{d(x, A),d(x-a, \widehat{T}(A, a))\}. $

为了方便查阅, 本节最后列出著名的 Ekeland 变分原理[13].

引理2.2 设 $E$ 为完备的距离空间. 并设 $\bar x\in E$ 且 $\varepsilon \in (0, +\infty)$. 若正常下半连续广义实值函数 $f: E \rightarrow \mathbb{R}\cup \{+\infty\}$ 满足 $f(\bar x)\leq\inf_{x\in E} f(x) +\varepsilon.$ 则对于任意的 $\lambda\in (0, +\infty)$ 都存在 $x\in E$ 使得

设 $X, Y$ 是赋范空间且 $C\subset Y$ 是闭凸锥. 回顾集值映射 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 在 $\bar{x}\in S(\Psi, C):=\Psi^{-1}(-C)$ 处关于序锥 $C$ 有强误差界 ^[10]: 存在 $\tau, \delta \in (0, +\infty)$ 使得

如下命题表明 $\Psi$ 在 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 处关于 $C$ 有强误差界意味着 $\Psi$ 经过 "小 calm" 扰动后关于 $C$ 仍然有强误差界.

命题3.1^{[10,定理 5.6]} 设 $X, Y$ 是赋范空间且 $C\subset Y$ 是闭凸锥. 并设集值映射 $\Psi: X\rightrightarrows Y$, $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 以及 $\tau, \delta \in (0, +\infty)$ 使得 (3.1) 式成立. 再设 $\varepsilon\in (0, \tau)$. 则当单值映射 $f: X\rightarrow Y$ 满足 $f(\bar{x})=0$ 以及 $\|f\|_{\bar{x}}:=\limsup\limits_{x\rightarrow \bar{x}}\frac{\|f(x)-f(\bar{x})\|}{\|x-\bar{x}\|}<\varepsilon$, 都存在 $r\in (0, +\infty)$ 使得

因此, $\Psi+f$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 有强误差界.

如下命题给出了集值映射 $\Psi$ 关于 $C$ 有强误差界的必要条件.

命题3.2 设 $X, Y$ 是赋范空间且 $C\subset Y$ 是闭凸锥. 并设集值映射 $\Psi: X\rightrightarrows Y$, $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 以及 $\tau, \delta \in (0, +\infty)$ 满足 (3.1) 式, 则

所以 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(B_{Y})$ 的有界性是 $\Psi$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 有强误差界的必要条件.

证 任取 $b \in B_{Y}$ 和 $a\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(b)$, 则 $(a, b) \in \widehat{T}(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$. 因此, 存在这些序列 $\{a_{n}\}\subset X$, $\{b_{n}\}\subset Y$ 和 $\{t_{n}\}\subset(0, +\infty)$ 使得

于是, $\label{s4} t_{n}b_{n}\in \Psi(\bar{x}+t_{n}a_{n})+C, \ \forall n\in \mathbb{N}. $ 由此和 (3.1) 式可知, 对于所有充分大的 $n\in \mathbb{N}$ 都有

故 $\tau \|a_{n}\|\leq \|b_{n}\|$. 结合 $(a_{n}, b_{n})\rightarrow (a, b)$ 以及 $b \in B_{Y}$ 并令 $n\rightarrow +\infty$, 我们有 $\tau\|a\|\leq \|b\|\leq 1$. 从而, $\|a\|\leq \frac{1}{\tau}$, 这就证明了 (3.3) 式.

假设集值映射 $\Psi$ 关于序锥 $C$ 的上方图形 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 在 $(\bar{x}, 0)$ 处有弱 Shapiro 性质, 如下定理表明 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(B_{Y})$ 的有界性也是 $\Psi$ 在 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 处关于 $C$ 有强误差界的充分条件.

定理3.1 设 $X, Y$ 是赋范空间, $C\subset Y$ 是闭凸锥且 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是集值映射. 并设 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 在 $(\bar{x}, 0)\in\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 处有弱 Shapiro 性质. 再设 $\eta\in (0, +\infty)$ 使得

则对于任意的 $\tau\in (0, \frac{1}{\eta})$ 都存在 $\delta\in (0, +\infty)$ 使得 (3.1) 式成立. 因此, $\Psi$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 有强误差界.

证 首先证明

根据 (3.4) 式和 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 的正齐性可得

因此, $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(0)\subseteq\bigcap\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\eta}{n} B_{X}=\{0\}.$ 由此和 $0\in\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(0)$ 可得, $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(0)=\{0\}.$ 这表明当 $b=0$ 时 (3.5) 式成立. 下面假定 $b\neq0$. 任取 $a\in\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(b)$, 则根据 (3.4) 式可得

因此, 当 $b\neq0$ 时 (3.5) 式也成立. 任取 $\tau\in (0, \frac{1}{\eta})$, 并取定两个正数 $\varepsilon$ 和 $\varepsilon'$ 使得

根据 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 在 $(\bar{x}, 0)$ 处有弱 Shapiro 性质, 存在 $\delta_{0}\in (0, +\infty)$ 使得当 $(x, y)\in \mathrm{epi}_{C}(\Psi)\cap (B_{X}(\bar{x}, \delta_{0})\times B_{Y}(0, \delta_{0}))$ 都有

任取 $x\in B_{X}(\bar{x}, \frac{(\eta+\varepsilon')\delta_{0}}{1+\eta+\varepsilon'})\setminus \{\bar{x}\}$ 和 $y\in (\Psi(x)+C)\cap B_{Y}(0, \delta_{0})$, 则存在 $(a, b)\in \widehat{T}(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$ 使得

这与范数三角不等式意味着

和

所以,

由此以及 $(a, b)\in \widehat{T}(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$ (即 $b\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(a)$) 和 (3.5) 式可得

即 $(1-2\varepsilon-2\eta\varepsilon)\|x-\bar{x}\|\leq (\eta+2\eta\varepsilon+2\varepsilon)\|y\|.$ 结合 $y\in(\Psi(x)+C)\cap B_{Y}(0, \delta_{0})$ 的任意性, 有

这和 (3.6) 式意味着 $\|x-\bar{x}\|\leq(\eta+\varepsilon')d(0, (\Psi(x)+C)\cap B_{Y}(0, \delta_{0})).$ 另一方面,

所以,

(上面的等式成立因 $x\in B_{X}(\bar{x}, \frac{(\eta+\varepsilon')\delta_{0}}{1+\eta+\varepsilon'})\setminus \{\bar{x}\}$). 由此以及 (3.6) 式可得

这就证明了对于任意的 $\tau\in (0, \frac{1}{\eta})$ 都存在 $\delta=\frac{(\eta+\varepsilon')\delta_{0}}{1+\eta+\varepsilon'}>0$ 使得 (3.1) 式成立.

定理 3.1 可以看成文献 [33] 中命题 6 充分性部分的推广, 那里考虑单值函数的情形. 为了叙述方便, 引入符号 $ \eta(\Psi, \bar{x}, 0, C):= \inf\{\eta>0: \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(B_{Y})\subset \eta B_{X}\}.$ 显然, $\eta(\Psi, \bar{x}, 0, C)<+\infty$ 等价于 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(B_{Y})$ 是有界的.

如下命题给出了 $\eta(\Psi, \bar{x}, 0, C)$ 有上界的充分条件.

命题3.3 设 $X, Y$ 是赋范空间且 $C\subset Y$ 是闭凸锥. 并设集值映射 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 在 $(\bar{x}, 0)\in \mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 处是 $C$-Clarke 正则的且 $0\in \mathrm{int}(D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(B_{Y^{\ast}}))$. 则

其中 $\Psi$ 在 $(\bar{x}, 0)$ 处关于 $C$ 的 Clarke 协导数 $D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0): Y^{\ast}\rightrightarrows X^{\ast}$ 的定义是

证 任取 $r>0$ 满足 $rB_{X^{\ast}}\subset D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(B_{Y^{\ast}})$, 并任取 $b\in B_{Y}$ 以及 $a\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(b)$. 为了证明 (3.7) 式, 我们只需证明 $\|a\|\leq \frac{1}{r}$. 根据 Hahn-Banach 定理, 存在 $a^{\ast}\in X^{\ast}$ 使得 $\|a^{\ast}\|=1$ 且 $\langle a^{\ast}, a\rangle=\|a\|$. 因此, $ra^{\ast}\in rB_{X^{\ast}}\subset D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(B_{Y^{\ast}})$. 于是, 存在 $b^{\ast}\in B_{Y^{\ast}}$ 使得 $ra^{\ast}\in D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(b^{\ast})$, 即

因为 $\Psi$ 在 $(\bar{x}, 0)$ 处是 $C$-Clarke 正则的且 $a\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(b)$, 所以

这和 (3.8) 式表明 $\langle ra^{\ast}, a\rangle-\langle b^{\ast}, b\rangle\leq 0$. 于是,

因此, 我们证明了 $\|a\|\leq \frac{1}{r}$.

如下命题表明 $\eta(\Psi, \bar{x}, 0, C)$ 和 $d(0,\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(S_{X}))$ 互为倒数.

命题3.4 设 $X, Y$ 是赋范空间且 $C\subset Y$ 是闭凸锥. 并设 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是集值映射且 $(\bar{x}, 0)\in \mathrm{epi}_{C}(\Psi)$. 则

证 为了证明等式 (3.9), 我们先证明

当 $\eta(\Psi, \bar{x}, 0, C)=+\infty$, 则不等式 (3.10) 平凡成立. 现在只需证明 $\eta(\Psi, \bar{x}, 0, C)<+\infty$ 的情形. 任取 $\eta \in (\eta(\Psi, \bar{x}, 0, C), +\infty)$ 以及 $\varepsilon\in (0, +\infty)$. 于是, 由 $\eta(\Psi, \bar{x}, 0, C)$ 的定义知, $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(B_{Y})\subset \eta B_{X}$. 任取 $b\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(S_{X})$, 则存在 $a\in S_{X}$ 使得 $b\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(a)$. 因此, 由 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 的正齐性得到

这和 $a\in S_{X}$ 表明 $\frac{1}{\|b\|+\varepsilon}\leq \eta$. 结合 $b$ 是 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(S_{X})$ 中的任意元, 我们有

令 $(\eta, \varepsilon)\rightarrow (\eta(\Psi, \bar{x}, 0, C), 0)$, 可得不等式 (3.10) 成立.

下面证明不等式 (3.10) 的相反不等式

当 $\beta:=d(0,\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(S_{X}))=0$ 或 $+\infty$, 不等式 (3.11) 平凡成立. 现在证明 $0<\beta<+\infty$ 的情形. 任取 $a\in X\setminus\{0\}$ 以及 $b\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(a)$. 于是, 根据 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 的正齐性得到

这和 $\beta$ 的定义意味着 $\|\frac{b}{\|a\|}\|\geq \beta$. 因此,

任取 $a\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(B_{Y})$, 则存在 $b\in B_{Y}$ 使得 $b\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(a)$. 于是, 由 (3.12) 式可得, $\|a\|\leq \frac{\|b\|}{\beta}\leq \frac{1}{\beta}$. 这表明 $\eta(\Psi, \bar{x}, 0, C)\leq \frac{1}{\beta}$, 即不等式 (3.11) 成立. 综上所得, 我们证明了等式 (3.9).

如下推论 (由命题 3.2 和 3.4 立即得到) 表明 $d(0,\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(S_{X}))>0$ 也是 $\Psi$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 有强误差界的必要条件.

推论3.1 设 $X, Y$ 是赋范空间且 $C\subset Y$ 是闭凸锥. 并设集值映射 $\Psi: X\rightrightarrows Y$, $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 以及 $\tau, \delta \in (0, +\infty)$ 满足 (3.1) 式. 则

注3.1 (1) 当 $\Psi$ 在 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 处关于 $C$ 有强误差界, 由推论 3.1 易得

(2) $\Psi$ 在 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 处关于 $C$ 有强误差界蕴含 $\bar{x}$ 是 $S(\Psi, C)$ 的孤立点, 即存在 $r>0$ 使得 $S(\Psi, C)\cap B_{X}(\bar{x}, r)=\{\bar{x}\}$. 事实上, 设 $\tau, \delta \in (0, +\infty)$ 使得 (3.1) 式成立. 任取 $x\in S(\Psi, C)\cap B_{X}(\bar{x}, \delta)$, 则 $0\in \Psi(x)+C$. 于是, 由 (3.1) 式可得, $\tau\|x-\bar{x}\|\leq d(0, \Psi(x)+C)=0$. 这意味着 $x=\bar{x}$, 所以 $S(\Psi, C)\cap B_{X}(\bar{x}, \delta)=\{\bar{x}\}$. 因此, 我们证明了 $\bar{x}$ 是 $S(\Psi, C)$ 的孤立点.

设 $f: X\rightarrow \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ 为 Banach 空间 $X$ 上的广义实值正常下半连续凸函数, 回顾 $f$ 满足 Slater 条件: 存在 $x_{0} \in X$ 使得 $f(x_{0})<0$. 在凸优化中, 经常使用前述 Slater 条件. 特别地, 如果 Banach 空间 $X$ 上的正常下半连续广义实值凸函数 $f$ 满足 Slater 条件, 那么 $f$ 在其零点 $\bar{x}$ 处有误差界. 但是, 若去掉 $f$ 的凸性假设, 则前述结论不一定成立 (见如下例子).

例4.1 设函数 $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ 如下

显然, $f$ 满足 Slater 条件, 但它在唯一零点处没有误差界. 事实上, 由

可知 $f$ 在 $0$ 处没有误差界, 其中 $[f(x)]_{+}=\max\{f(x), 0\}$.

为了建立向量单值函数关于序锥有误差界及其稳定性的充分和必要条件, Zheng[33] 针对这种函数引入并研究了 Bouligand 切导数和 Clarke 切导数关于序锥的 Slater 条件. 基于类似的原因, 本节考虑集值映射的 Bouligand 切导数和 Clarke 切导数关于序锥的 Slater 条件. 设 $X, Y$ 是赋范空间以及 $C\subset Y$ 是内部非空的闭凸锥. 并设 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是集值映射以及 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$. 我们定义 $\Psi$ 的切导数 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ (或 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$) 关于 $C$ 满足下面 Slater 条件

为了定量地描述上述 Slater 条件, 引入如下符号

和

容易验证, $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ (或 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$) 分别关于 $C$ 满足 Slater 条件当且仅当 $\widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C)>0$ (或 $r(\Psi, \bar{x}, C)>0$). 因为 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(B_{X})$ 总是 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(B_{X})$ 的子集, 所以 $r(\Psi, \bar{x}, C)\leq \widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C).$ 因此, 若 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件, 则 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 也关于 $C$ 满足 Slater 条件.

如下命题给出了 $\Psi$ 是光滑单值映射时 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件的充要条件.

命题4.1 设 $X, Y$ 是赋范空间, $C\subset Y$ 是闭凸锥且 $\mathrm{int}(C)\neq \emptyset$. 并设 $\bar{x}\in X$ 是光滑函数 $h: X\rightarrow Y$ 的零点. 则 $\widehat{D}_{C}h(\bar{x}, 0)$ (或 $D_{C}h(\bar{x}, 0)$) 关于 $C$ 满足 Slater 条件当且仅当存在 $a\in X$ 使得 $h'(\bar{x})(a)<_{C}0$.

证 由 $h$ 的光滑性可得 $\widehat{D}_{C}h(\bar{x}, 0)=D_{C}h(\bar{x}, 0)$, 所以我们仅证明 $\widehat{D}_{C}h(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件. 先证必要性. 根据 Slater 条件, 存在 $(a, b)\in X\times Y$ 使得 $b\in \widehat{D}_{C}h(\bar{x}, 0)(a)\cap-\mathrm{int}(C)$. 由此可得, $(a, b)\in \widehat{T}(\mathrm{epi}_{C}(h), (\bar{x}, 0))$. 因此, 存在序列 $\{t_{n}\}\subset (0, +\infty)$ 和 $\{(a_{n}, b_{n})\}\subset X\times Y$ 使得

于是, $t_{n}b_{n}\in h(\bar{x}+t_{n}a_{n})+C,~ \forall n\in \mathbb{N}.$ 结合 $h(\bar{x})=0$ 以及 $C$ 是锥, 立即得到

由此以及 $h$ 的光滑性和 $C$ 的闭性可得, $b-h'(\bar{x})(a)\in C,$ 从而 $h'(\bar{x})(a)\in b-C\subset-\mathrm{int}(C)-C=-\mathrm{int}(C).$ 这意味着 $h'(\bar{x})(a)<_{C}0$, 从而证明了必要性.

下面证明充分性. 设 $a\in X$ 满足 $h'(\bar{x})(a)<_{C}0$, 即 $h'(\bar{x})(a)\in-\mathrm{int}(C)$. 取定数列 $\tau_{n}\rightarrow 0^{+}$, 则根据 $h$ 的光滑性可得

对于每个 $n\in \mathbb{N}$, 记 $b_{n}:=\frac{h(\bar{x}+\tau_{n}a)}{\tau_{n}}$, 从而 $h(\bar{x}+\tau_{n}a)=\tau_{n}b_{n}$. 这表明 $(\bar{x}, 0)+\tau_{n}(a, b_{n})\in \mathrm{epi}_{C}(h),~ \forall n\in \mathbb{N}.$ 由此以及 $(a, b_{n})\rightarrow (a, h'(\bar{x})(a))$ 可得, $(a, h'(\bar{x})(a))\in \widehat{T}(\mathrm{epi}_{C}(h), (\bar{x}, 0))$. 结合 $h'(\bar{x})(a)\in-\mathrm{int}(C)$, 我们有 $h'(\bar{x})(a)\in \widehat{D}_{C}h(\bar{x}, 0)(a)\cap-\mathrm{int}(C)$. 这意味着 $\widehat{D}_{C}h(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件, 从而证明了充分性.

如下命题给出了 $\Psi$ 是 $C$-凸集值映射时 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件的充要条件.

命题4.2 设 $X, Y$ 是赋范空间, $C\subset Y$ 是闭凸锥且 $\mathrm{int}(C)\neq \emptyset$. 并设 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是 $C$-凸集值映射且 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$. 则 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ (或 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$) 关于 $C$ 满足 Slater 条件当且仅当存在 $y\in \Psi(X)$ 使得 $y<_{C}0$.

证 根据 $\Psi$ 的 $C$-凸性易知, $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)=D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$, 从而此时这两种 Slater 条件是一样的. 我们先证充分性. 若存在 $y\in \Psi(X)$ 使得 $y<_{C}0$, 则 $y\in-\mathrm{int}(C)$ 且存在 $x\in X$ 使得 $y\in \Psi(x)$. 结合 $(\bar{x}, 0)\in \mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 以及 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 的凸性, 我们有

因此, $y\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(x-\bar{x})\cap-\mathrm{int}(C)$. 这意味着 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件, 从而证明了充分性.

下面证明必要性. 若 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(X)\cap-\mathrm{int}(C)\neq \emptyset$, 则存在 $a_{0}\in X$ 和 $b_{0}\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(a_{0})$ 使得

由此可得, $(a_{0}, b_{0})\in \widehat{T}(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$. 于是, 存在序列 $t_{n}\rightarrow 0^{+}$ 和 $(a_{n}, b_{n})\rightarrow (a_{0}, b_{0})$ 使得

即

因此, 存在序列 $\{e_{n}\}\subset C$ 使得

根据 $b_{n}\rightarrow b_{0}$ 以及 $b_{0}\in -\mathrm{int}(C)$, 可取出充分大的 $n_{0}\in \mathbb{N}$ 使得 $b_{n_{0}}\in -\mathrm{int}(C)$, 从而 $t_{n_{0}}b_{n_{0}}\in -\mathrm{int}(C)$. 由此以及 $e_{n_{0}}\in C$ 可得

这和 (4.3) 式表明 $t_{n_{0}}b_{n_{0}}-e_{n_{0}}\in \Psi(\bar{x}+t_{n_{0}}a_{n_{0}})\cap-\mathrm{int}(C)$. 因此, 我们证明了必要性.

设 $Y$ 是赋范空间且 $C\subset Y$ 是闭凸锥, 引入集合

如下命题提供了 $\Psi$ 是一般集值映射时 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件的充分条件.

命题4.3 设 $X, Y$ 是赋范空间, $C\subset Y$ 是闭凸锥且 $\mathrm{int}(C)\neq \emptyset$. 并设集值映射 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 和 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 满足 $0\notin D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(\mathcal{I}_{C^{+}})$. 则 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 和 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 都关于 $C$ 满足 Slater 条件.

证 我们先证明

事实上, 若不然, 则存在 $y^{\ast}_{0}\in Y^{\ast}\setminus\{0\}$ 使得

取定 $(\bar{a}, \bar{b})\in T(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$, 再任取 $e' \in C$, 容易验证

这与 (4.5) 式表明对于每个 $n\in \mathbb{N}$ 都有 $\langle -y^{\ast}_{0}, \bar{b}+ne'\rangle\leq 0$, 即 $\langle -y^{\ast}_{0}, e'\rangle\leq \frac{1}{n}\langle y^{\ast}_{0}, \bar{b}\rangle$. 令 $n\rightarrow \infty$, 可得 $\langle -y^{\ast}_{0}, e'\rangle\leq 0$. 结合 $e' \in C$ 的任意性可知, $y^{\ast}_{0}\in C^{+}$, 从而 $\frac{y^{\ast}_{0}}{\|y^{\ast}_{0}\|}\in \mathcal{I}_{C^{+}}$. 由此以及 (4.5) 式可得, $0\in D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(\mathcal{I}_{C^{+}})$, 这与假设矛盾, 故 (4.4) 式成立. 任取非零的 $e\in \mathrm{int}(C)$, 则存在 $r>0$ 使得 $e+rB_{Y}\subset C$, 并记 $C^{+}_{e}:=\{y^{\ast}\in C^{+}: \langle y^{\ast}, e\rangle=1\}.$ 则 $C^{+}_{e}$ 是弱$^{\ast}$闭凸集, 且对于每个 $y^{\ast} \in C^{+}_{e}$ 都有 $0\leq \inf\{\langle y^{\ast}, y\rangle: y\in e+rB_{Y}\}=1-r\|y^{\ast}\|.$ 于是, $\|y^{\ast}\|\leq \frac{1}{r}$, 故 $C^{+}_{e}$ 是 $\frac{1}{r}B_{Y^{\ast}}$ 中的弱$^{\ast}$闭凸集. 因为 $B_{Y^{\ast}}$ 是 $Y^{\ast}$ 中的弱$^{\ast}$紧集, 所以 $C^{+}_{e}$ 是弱$^{\ast}$紧凸集. 接下来我们证明 $D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(C^{+}_{e})$ 是弱$^{\ast}$闭凸集. 事实上, 根据 $N(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$ 和 $C^{+}_{e}$ 都是凸集, 容易验证 $D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(C^{+}_{e})$ 也是凸集. 从而, 只需验证 $D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(C^{+}_{e})$ 是弱$^{\ast}$闭集. 为此, 任取 $x^{\ast}\in \mathrm{cl}^{\ast}(D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(C^{+}_{e}))$, 则存在 $N(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$ 中的网 $\{(x_{\alpha}^{\ast}, -y_{\alpha}^{\ast})\}_{\alpha\in D}$ 使得 $\{y_{\alpha}^{\ast}\}_{\alpha\in D}\subseteq C^{+}_{e}$ 以及 $\{x_{\alpha}^{\ast}\}_{\alpha\in D}$ 弱$^{\ast}$收敛于 $x^{\ast}$. 由于 $C^{+}_{e}$ 是弱$^{\ast}$紧集, 则网 $\{y_{\alpha}^{\ast}\}_{\alpha\in D}$ 有子网弱$^{\ast}$收敛于 $C^{+}_{e}$ 中某一点. 为了书写方便, 我们设网 $\{y_{\alpha}^{\ast}\}_{\alpha\in D}$ 弱$^{\ast}$收敛于 $y^{\ast}\in C^{+}_{e}$. 这与 $N(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$ 是弱$^{\ast}$闭集表明 $(x^{\ast}, -y^{\ast})\in N(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$, 从而 $x^{\ast}\in D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(y^{\ast}) \subset D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(C^{+}_{e}).$ 因此, 我们证明了 $D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(C^{+}_{e})$ 是弱$^{\ast}$闭集. 在 $X^{\ast}$ 中装备弱$^{\ast}$拓扑 $w^{\ast}$, 则 $D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(C^{+}_{e})$ 是局部凸拓扑向量空间 $(X^{\ast}, w^{\ast})$ 中的闭凸集. 这样, 根据 $0\notin D^{\ast}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(C^{+}_{e})$ (因 (4.4) 式) 和分离性定理, 存在 $a\in (X^{\ast}, w^{\ast})^{\ast}=X$ 使得

这和 $C^{+}_{e}$ 的定义蕴含

任取 $(a^{\ast}, b^{\ast})\in N(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$, 我们断言

事实上, 先假定 $b^{\ast}=0$, 则对于任意的 $t\geq 0$ 都有 $(ta^{\ast}, 0)\in N(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0)),$ 从而,

因此,

这和 (4.6) 式蕴含 $\langle a^{\ast}, a\rangle\geq 0$, 从而证明了在 $b^{\ast}=0$ 的情形下 (4.8) 式成立. 下面假定 $b^{\ast}\neq0$. 取定 $(a_{0}, b_{0})\in T(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$, 并任取 $v\in C$ 以及 $n\in \mathbb{N}$, 则 $(a_{0}, b_{0}+nv)\in T(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$. 因此, $\langle a^{\ast}, a_{0}\rangle+\langle b^{\ast}, b_{0}+nv\rangle\leq 0,$ 即 $\langle b^{\ast}, v\rangle\leq -\frac{1}{n} (\langle a^{\ast}, a_{0}\rangle+\langle b^{\ast}, b_{0}\rangle)$. 令 $n\rightarrow +\infty$, 立即得到 $\langle b^{\ast}, v\rangle\leq 0$. 这和 $v\in C$ 的任意性意味着 $b^{\ast}\in -C^{+}$. 由此以及 $e+rB_{Y}\subset C$ 可得

于是, $\langle -b^{\ast}, e\rangle\geq r\|b^{\ast}\|>0$. 因此,

由此和 (4.7) 式可得, 在 $b^{\ast}\neq0$ 的情形下 (4.8) 式也成立. 根据 (4.8) 式易得, $(-a, -\tau e)\in T(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$. 这意味着 $-\tau e\in D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(-a)$, 即 $- e\in D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(-\frac{a}{\tau})$. 结合 $e\in \mathrm{int}(C)\setminus\{0\}$ 的任意性, 我们有 $-\mathrm{int}(C)\subset D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(X)$, 这就证明了 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件.

如下命题表明集值映射 $\Psi$ 的 Bouligand 切导数关于 $C$ 的 Slater 条件在 $\Psi$ 经 "小 calm" 扰动时总是稳定的.

命题4.4 设 $X, Y$ 是赋范空间, $C\subset Y$ 是内部非空的闭凸锥, $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是集值映射且 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$. 并设 $\eta\in (0,1)$ 以及 $f: X\rightarrow Y$ 满足 $f(\bar{x})=0$ 和 $\|f\|_{\bar{x}}\leq (1-\eta)\widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C)$. 则 $\widehat{r}(\Psi+f, \bar{x}, C)\geq \eta\widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C)$. 因此, 若 $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件, 则存在 $\delta\in(0, +\infty)$ 使得每当 $f$ 满足 $f(\bar{x})=0$ 和 $\|f\|_{\bar{x}}<\delta$ 都有 $\widehat{D}_{C}(\Psi+f)(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件.

证 当 $\widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C)=0$, 结论平凡成立. 下设 $\widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C)>0.$ 任取 $\eta'\in (0, \eta)$, 则由已知条件 $\|f\|_{\bar{x}}\leq (1-\eta)\widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C)$ 可取定 $\overline{r}\in (0, \widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C))$ 和 $\beta\in (0, 1)$ 使得 $\|f\|_{\bar{x}}< \beta(1-\eta')\overline{r}$. 于是, 存在 $\delta\in (0, +\infty)$ 使得

任取实数 $r\in(\overline{r},\; \widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C))$, 则存在 $a\in B_{X}$ 以及 $b\in \widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(a)$ 使得

这表明 $(a, b)\in \widehat{T}(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$, 从而存在序列 $\{(a_{n}, b_{n}, t_{n})\}$$\subseteq X\times Y\times (0, +\infty)$ 使得

因此, 存在 $v_{n}\in \Psi(\bar{x}+t_{n}a_{n})$ 和 $e_{n}\in C$ 使得

不失一般性, 不妨设对于所有 $n\in \mathbb{N}$ 都有 $\bar{x}+t_{n}a_{n}\in B_{X}(\bar{x}, \delta)$. 于是, 根据 (4.9) 式可得

这与 (4.11) 式意味着对于每个 $n\in \mathbb{N}$ 都有

结合 $\beta\in (0,1)$ 以及 $\|a_{n}\|\rightarrow \|a\|\leq 1$, 不妨设对于每个 $n\in \mathbb{N}$ 都有

即

因此, 对于每个 $n\in \mathbb{N}$ 都有

由此以及 $y_{n}\in B_{Y}(0, (1-\eta')r)$ 和 $-t_{n}B_{Y}(0, (1-\eta')r)=-t_{n}(1-\eta')B_{Y}(b, r)+t_{n}(1-\eta')b$ 可得

结合(4.10)式, $v_{n}\in \Psi(\bar{x}+t_{n}a_{n})$ 和 $e_{n}\in C$, 得到

即

这和 $ (a_{n}, b_{n}, t_{n})\rightarrow(a, b, 0)$ 蕴含 $(a, \eta'b)\in \widehat{T}(\mathrm{epi}_{C}(\Psi+f), (\bar{x}, 0))$. 因此, $\eta'b\in \widehat{D}_{C}(\Psi+f)(\bar{x}, 0)(a)\subset \widehat{D}_{C}(\Psi+f)(\bar{x}, 0)(B_{X})$. 结合 $B_{Y}(\eta'b, \eta'r)=\eta'B_{Y}(b, r)\subset -C$, 我们有 $\eta'r\leq \widehat{r}(\Psi+f, \bar{x}, C)$. 令 $(r, \eta')\rightarrow (\widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C), \eta)$, 可得 $\eta\widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C)\leq \widehat{r}(\Psi+f, \bar{x}, C)$.

注4.1 当 $\Psi$ 是单值映射时, 命题 4.4 为文献 [33] 中定理 3 的 calm 扰动部分.

设 $X, Y$ 是赋范空间且 $C\subset Y$ 是闭凸锥. 若集值映射 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 在 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 处关于 $C$ 有误差界且 $\bar{x}$ 是 $S(\Psi, C)$ 的孤立点 (即 $\Psi$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 有强误差界), 则 $\Psi$ 经所有 "小 calm" 扰动也关于 $C$ 有误差界. 本节考虑 $\bar{x}$ 不一定是 $S(\Psi, C)$ 孤立点的情形.

利用 Clarke 切导数关于 $C$ 的 Slater 条件, 下面给出 $\Psi$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 有误差界的充分条件.

定理5.1 设 $X, Y$ 是 Banach 空间, $C\subset Y$ 是闭凸锥且 $\mathrm{int}(C)\neq \emptyset$. 并设集值映射 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 关于 $C$ 的上方图形 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 是闭集以及 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$. 若 $\Psi$ 的 Clarke 切导数 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件, 则 $\Psi$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 有误差界.

证 因 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件, 故 $r(\Psi, \bar{x}, C)>0$. 任取实数 $r\in (0, r(\Psi, \bar{x}, C))$. 为了证明 $\Psi$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 有误差界, 只要证明

事实上, 若不然, 则 $r>\mathrm{Er}(\Psi, \bar{x}, C)$. 于是, 根据 $\mathrm{Er}(\Psi, \bar{x}, C)$ 的定义, 存在序列 $\{\bar{x}_{n}\}\subseteq X$ 使得

因此,

且对于每个 $n\in \mathbb{N}$ 都存在 $\bar{y}_{n}\in \Psi(\bar{x}_{n})$ 和 $\bar{e}_{n}\in C$ 使得

定义函数 $\varphi: X\times Y\rightarrow \mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ 如下:

其中 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 的指示函数 $\delta_{\mathrm{epi}_{C}(\Psi)}$ 的定义是

则 $\varphi$ 是下半连续函数 (因 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 是 Banach 空间 $X\times Y$ 中的闭集), 且

这和引理 2.2 意味着对于每个 $n\in \mathbb{N}$ 都存在 $(x_{n}, y_{n})\in \mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 使得

和

其中 $(x,y)\in X\times Y$ 的范数 $\|(x, y)\|_{n}:=\|x\|+\sqrt{L_{n}}\|y\|.$ 因此,

于是, 根据 (5.2), (5.3) 式和 $L_{n}$ 的定义得到

因为 $r\in (0, r(\Psi, \bar{x}, C))$, 所以可取定 $r'\in (r, r(\Psi, \bar{x}, C))$. 于是, 存在 $a_{0}\in B_{X}$ 和 $b_{0}\in Y$ 使得

我们断言: 对于每个 $n\in \mathbb{N}$ 都有 $y_{n}\neq 0$. 事实上, 若不然, 则存在 $n_{0}\in \mathbb{N}$ 使得 $y_{n_{0}}= 0$. 由此以及 $(x_{n_{0}}, y_{n_{0}})\in \mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 可得, $x_{n_{0}}\in S(\Psi, C)$, 这与 (5.5) 式矛盾. 因此, 可选取数列 $\{t_{n}\}$ 满足

这和 (5.5) 式表明 $t_{n}\rightarrow 0^{+}$. 由此以及 (5.5) 式和 $(a_{0}, b_{0})\in T(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$ (因 (5.6) 式中的属于关系), 存在收敛于 $(a_{0}, b_{0})$ 的序列 $\{(a_{n}, b_{n})\}\subseteq X\times Y$ 使得

不失一般性, 不妨设对于每个 $n\in \mathbb{N}$ 都有 $b_{n}\in B_{Y}(b_{0}, r')$. 这样, 在 $(0, r')$ 内存在收敛于 $r'$ 的数列 $\{r_{n}\}$ 使得对于每个 $n\in \mathbb{N}$ 都有 $b_{n}+r_{n}B_{Y}\subset B_{Y}(b_{0}, r')$. 因此, 对于每个 $n\in \mathbb{N}$ 都有

任取 $n\in \mathbb{N}$. 上面的属于关系和 (5.6) 式中的包含关系意味着 $v_{n}\in y_{n}+t_{n}b_{n}+C$. 由此以及 (5.8) 式可得, $(x_{n}+t_{n}a_{n}, v_{n})\in \mathrm{epi}_{C}(\Psi)$. 因此, 根据 (5.4) 式得到

另一方面, (5.7) 式和 $r_{n}$ 的取法表明 $t_{n}r_{n}<t_{n}r'<\|y_{n}\|$. 因此,

由此和 (5.9) 式得到

于是, $r_{n}\leq r(\|a_{n}\|+\sqrt{L_{n}}r_{n}).$ 结合 $\lim_{n\rightarrow \infty}(r_{n}, a_{n}, \sqrt{L_{n}})=(r', a_{0}, 0)$ 与 $a_{0}\in B_{X}$ 并令 $n\rightarrow \infty$, 我们有 $r'\leq r\|a_{0}\|\leq r$, 这与 $r'\in (r, r(\Psi, \bar{x}, C))$ 矛盾. 因此, 我们证明了(5.1) 式.

注5.1 由定理 5.1 的证明可知

受文献 [16] 中实值函数误差界半径的启发, 我们考虑为集值映射定义误差界半径 (误差界稳定性的定量刻画). 设 $X, Y$ 是赋范空间, $C\subset Y$ 是闭凸锥, 引入集合

用 $\theta(X, Y)$ 表示所有从 $X$ 到 $Y$ 的单值函数构成的集合. 给定 $\varepsilon\in [0, +\infty)$, $\Psi\in \overline{\Theta}_{C}(X, Y)$ 以及 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$, 引入集合

并用 $\Upsilon_{\mathrm{Er}}(\Psi, \bar{x}, C)$ 表示 $\Psi$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 的误差界半径, 其定义是

如下定理给出了集值映射误差界半径的一个下界估计.

定理5.2 设 $X, Y$ 是 Banach 空间, $C\subset Y$ 是闭凸锥且 $\mathrm{int}(C)\neq \emptyset$. 并设 $\Psi\in \overline{\Theta}_{C}(X, Y)$ 以及 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$. 则

证 当 $\widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C)=0$, 则 (5.11) 式平凡成立. 接下来我们只需证明 $\widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C)>0$ 的情形. 任取 $\varepsilon\in (0, \widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C))$, 则存在 $\eta\in (0, 1)$ 使得 $\varepsilon=(1-\eta)\widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C)$. 任取 $f\in \mathrm{Ptb}(\Psi, \bar{x}, C, \varepsilon)$, 则 $\Psi+f$ 在 $(\bar{x}, 0)$ 处是 $C$-Clarke 正则的, 从而 $\widehat{D}_{C}(\Psi+f)(\bar{x}, 0)=D_{C}(\Psi+f)(\bar{x}, 0)$. 于是, 根据命题4.4 得到

这和 (5.10) 式蕴含

于是, 由 $f\in \mathrm{Ptb}(\Psi, \bar{x}, C, \varepsilon)$ 的任意性和 $\Upsilon_{\mathrm{Er}}(\Psi, \bar{x}, C)$ 的定义可知, $\Upsilon_{\mathrm{Er}}(\Psi, \bar{x}, C)\geq \varepsilon.$ 结合 $\varepsilon\in (0, \widehat{r}(\Psi, \bar{x}, C))$ 的任意性, 立即得到 (5.11) 式成立.

由定理 5.2 立即可得下面的推论.

推论5.1 设 $X, Y$ 是 Banach 空间, $C\subset Y$ 是闭凸锥且 $\mathrm{int}(C)\neq \emptyset$. 并设 $\Psi\in \overline{\Theta}_{C}(X, Y)$ 以及 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$. 若 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件, 则 $\label{s33} \Upsilon_{\mathrm{Er}}(\Psi, \bar{x}, C)> 0. $ 因此, 当 $\Psi$ 经 "小 calm 和正则的" 扰动时, $\Psi$ 在 $\bar{x}$ 处关于 $C$ 仍然有误差界.

为了讨论集值映射关于序锥有稳定误差界的必要条件, 先给出如下引理.

引理5.1 设 $X, Y$ 是赋范空间, $C\subset Y$ 是闭凸锥, $x^{\ast}\in X^{\ast}$ 且 $\bar{e}\in C$. 并设 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是集值映射且 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$. 定义集值映射

则如下等式

和

都成立.

证 因等式 (5.12) 的证明是类似的, 故仅证明等式 (5.13). 先证明

设 $(a, b)\in T(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$. 任取序列 $t_{n}\rightarrow 0^{+}$ 和 $(x_{n}, y_{n}) \buildrel {\mathrm{epi}_{C}(\Phi)}\over\longrightarrow (\bar{x}, 0)$. 于是, 根据 $\Phi$ 和 $\mathrm{epi}_{C}(\Phi)$ 的定义可得

即

因此,

这与 $(a, b)\in T(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0))$ 表明在 $X\times Y$ 中存在序列 $\{(a_{n}, b_{n})\}$ 使得

于是,

对于每个 $n\in \mathbb{N}$, 记 $v_{n}:=(\langle x^{\ast}, x_{n}+t_{n}a_{n}-\bar{x}\rangle^{2}-\langle x^{\ast}, x_{n}-\bar{x}\rangle^{2})\bar{e}$. 因此,

即

因为

所以 $\left(a_{n}, b_{n}+\frac{v_{n}}{t_{n}}\right)\rightarrow (a, b)$. 综上所得, $(a, b)\in T(\mathrm{epi}_{C}(\Phi), (\bar{x}, 0))$, 这就证明了 (5.14) 式.

因可以类似地证明 (5.14) 式的相反包含关系, 故略去其证明. 这样, 可得等式 (5.13) 成立.

在 $\Psi$ 是复合凸的情况下, 如下定理表明推论5.1的逆命题也成立.

定理5.3 设 $X, Y, Z$ 是 Banach 空间且 $C\subset Y$ 是内部非空的闭凸锥. 并设 $h:\ X\rightarrow Z$ 是光滑函数且 $\Phi\in \overline{\Theta}_{C}(Z, Y)$ 是 $C$-凸集值映射. 再设 $\Psi:=\Phi \circ h.$ 若 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 不是 $S(\Psi, C)$ 的孤立点且 $h$ 在 $\bar{x}$ 处的导数 $h'(\bar{x})$ 是满射, 则 $\Upsilon_{\mathrm{Er}}(\Psi, \bar{x}, C)> 0$ 的充分必要条件是 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件.

证 由 $\Phi\in \overline{\Theta}_{C}(Z, Y)$ 以及 $h$ 的连续性易得, $\Psi\in \overline{\Theta}_{C}(X, Y)$. 这样, 充分性部分就是推论 5.1, 所以只需证明必要性部分. 为此, 假设 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 不满足 Slater 条件, 即

于是, 我们只需证明 $\Upsilon_{\mathrm{Er}}(\Psi, \bar{x}, C)=0$. 首先证明

构造函数 $\varphi: X\times Y\rightarrow Z\times Y$ 如下

则 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)=\varphi^{-1}(\mathrm{epi}_{C}(\Phi))$, $\varphi$ 是光滑的, 且 $\varphi$ 在 $(x, y)\in X\times Y$ 处的导数 $\varphi'(x, y)$ 满足

因为 $h'(\bar{x})(X)=Z$, 所以 $\varphi'(\bar{x}, 0)(X\times Y)=Z\times Y$. 于是, 根据 $\mathrm{epi}_{C}(\Phi)$ 是 $Z\times Y$ 中的闭凸集以及文献[34,引理 3.5]可得

任取 $x\in X$ 以及 $y\in \Psi(x)=(\Phi\circ h)(x)$, 则由 $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 和 $\Phi$ 的 $C$-凸性可知

这样, 根据 (5.18) 式立即得到 $(h(x)-h(\bar{x}), y)\!\in\! \varphi'(\bar{x}, 0)(T(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0)))$. 由此以及(5.17) 式, 存在 $a\in X$ 使得 $h(x)-h(\bar{x})=h'(\bar{x})(a)\;\hbox{且}\; (a,y)\in T(\mathrm{epi}_{C}(\Psi), (\bar{x}, 0)).$ 于是, $y\in D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(a)\subset D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)(X)$. 这和 (5.15) 式表明 $y\notin -\mathrm{int}(C)$. 结合 $y$ 在 $\Psi(X)$ 中的任意性, 立即得到 (5.16) 式成立.取定非零的 $\bar{e}\in \mathrm{int}(C)$, 则根据 $C+\mathrm{int}(C)=\mathrm{int}(C)$ 和 (5.16) 式可得

我们断言 $\widehat{T}(S(\Psi, C), \bar{x})\neq \{0\}$. 暂且承认此结论, 在 $\widehat{T}(S(\Psi, C), \bar{x})$ 中取出范数为 $1$ 的元素 $u$. 于是, 存在序列 $\{(u_{n}, t_{n})\}\subseteq X\times (0, +\infty)$ 使得

由 Hahn-Banach 定理, 存在 $x^{\ast}\in X^{\ast}$ 使得 $\|x^{\ast}\|=1$ 且 $\langle x^{\ast}, u\rangle=1.$ 因此, $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\langle x^{\ast}, u_{n}\rangle=1.$ 定义函数 $f(x):=\langle x^{\ast}, x-\bar{x}\rangle^{2}\bar{e},~ \forall x\in X.$ 则 $f(\bar{x})=0$ 且 $\|f\|_{\bar{x}}=0$. 此外, 由引理 5.1 和 (5.18) 式可得, $\Psi+f$ 在 $(\bar{x}, 0)$ 处是 $C$-Clarke 正则的. 因此, 为了证明 $\Upsilon_{\mathrm{Er}}(\Psi, \bar{x}, C)=0$, 我们只要证明 $\mathrm{Er}(\Psi+f, \bar{x}, C)= 0$. 为此, 根据 $f$ 的定义和 (5.20) 式中的属于关系可得

接下来证明

其中 $\ker(x^{\ast}):=\{x\in X:\ \langle x^{\ast}, x\rangle=0\}$. 事实上, 任取 $x\in X\setminus \ker(x^{\ast})$, 先证明

为了证明 (5.23) 式, 任取 $w\in \ker(x^{\ast})$, 则由 $\|x^{\ast}\|=1$ 可得

因此, (5.23) 式成立. 下面证明 (5.23) 式的相反不等关系

因为 $\|x^{\ast}\|=\sup\limits_{w\in S_{X}}|\langle x^{\ast}, w\rangle|$, 所以存在序列 $\{w_{n}\}\subset S_{X}$ 使得

根据 $x-\frac{\langle x^{\ast}, x\rangle }{\langle x^{\ast}, w_{n}\rangle}w_{n}\in \ker(x^{\ast})$ 得到

令 $n\rightarrow +\infty$, 立即得到 (5.24) 式成立. 这样, 我们证明了 (5.22) 式. 任取 $x'\in S(\Psi+f, C)$, 则由 $f$ 的定义可得, $0\in \Psi(x')+\langle x^{\ast}, x'-\bar{x}\rangle^{2}\bar{e}+C$. 这和 (5.19) 式意味着 $\langle x^{\ast}, x'-\bar{x}\rangle=0$, 即 $x'\in \bar{x}+\ker(x^{\ast})$, 所以 $S(\Psi+f, C)\subseteq \bar{x}+\ker(x^{\ast}).$ 根据此包含关系和 (5.22) 式可得

由此以及 (5.21) 式可得

这就证明了 $\mathrm{Er}(\Psi+f, \bar{x}, C)=0$. 最后, 还需证明 $\widehat{T}(S(\Psi, C), \bar{x})\neq \{0\}$. 为此, 我们采用反证法. 假设 $\widehat{T}(S(\Psi, C), \bar{x})= \{0\}$. 因为 $S(\Psi, C)=h^{-1}(S(\Phi, C))$ 且 $S(\Phi, C)$ 是凸集, 所以由 $h$ 的光滑性和 $h'(\bar{x})$ 是满射可以推出

因此, $h'(\bar{x})^{-1}(\widehat{T}(S(\Phi, C), h(\bar{x})))=\{0\}$. 这表明

由此容易看出, $h'(\bar{x})$ 是单射且 $S(\Phi, C)=\{h(\bar{x})\}$ (还因 $S(\Phi, C)$ 的凸性). 由此以及 $h'(\bar{x})$ 是满射可得, $h$ 在 $\bar{x}$ 处局部同胚, 从而 $\bar{x}$ 是 $S(\Psi, C)=h^{-1}(h (\bar{x}))$ 的孤立点, 这与已知条件 $\bar{x}$ 不是 $S(\Psi, C)$ 的孤立点矛盾.

设 $\Psi$ 和 $\bar{x}$ 满足定理 5.3 的假设条件, 但去掉 $\bar{x}$ 是 $S(\Psi, C)$ 非孤立点的假设条件. 一方面, 由 (5.18) 式可得, $\widehat{D}_{C}\Psi(\bar{x}, 0)=D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$. 另一方面, 根据文献 [30,命题 3.8] 可得, $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 在 $(\bar{x}, 0)\in\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 处有 $C$-Shapiro 性质, 从而 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 在 $(\bar{x}, 0)$ 处有弱 Shapiro 性质. 由此以及命题 3.2, 定理 3.1, 5.3 立即得到下面的推论.

推论5.2 设 $X, Y, Z$ 是 Banach 空间, $C\subset Y$ 是闭凸锥且 $\mathrm{int}(C)\neq \emptyset$. 并设 $\Psi:=\Phi\circ h $, $\bar{x}\in S(\Psi, C)$ 且 $h'(\bar{x})(X)=Z$, 其中 $h:\ X\rightarrow Z$ 是光滑函数且 $\Phi\in \overline{\Theta}_{C}(Z, Y)$ 是 $C$-凸集值映射. 则 $\Upsilon_{\mathrm{Er}}(\Psi, \bar{x}, C)> 0$ 当且仅当 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件和 $D_{C}\Psi(\bar{x}, 0)^{-1}(B_{Y})$ 有界二者之一成立.

推论 5.2 为文献[命题 5] 的推广.

第 5 节处理了集值映射局部误差界的稳定性, 而理论和实际应用通常需要考虑全局误差界的稳定性. 1994 年, Luo 和 Tseng^[20] 率先研究了欧几里得空间中锥线性不等式经扰动时全局误差界的稳定性. 2005 年, Zheng 和 Ng^[35] 又将 Luo 和 Tseng 的结果推广到 Banach 空间中锥线性不等式的情形. 作为第 5 节集值映射局部误差界稳定性的应用, 本节考虑凸过程全局误差界的稳定性.

设 $X, Y$ 是赋范空间, 回顾集值映射 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是凸过程 (convex process)^[1]: $\Psi$ 的图 $\mathrm{gph}(\Psi)$ 是凸锥. 显然, 每个线性算子都是凸过程. 容易验证, 集值映射 $\Psi$ 是凸过程当且仅当

以及

设 $C\subset Y$ 是内部非空的闭凸锥且 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是凸过程. 如果 $\Psi(X)\cap -\mathrm{int}(C)\neq \emptyset$, 我们说凸过程 $\Psi$ 关于序锥 $C$ 满足 Slater 条件. 引入符号

容易验证, $\Psi$ 关于 $C$ 满足 Slater 条件当且仅当 $\gamma(\Psi, C)>0$. 回顾凸过程 $\Psi$ 关于序锥 $C$ 有全局误差界: 存在 $\tau\in(0, +\infty)$ 使得

如下命题给出了凸过程自身和其切导数关于序锥满足 Slater 条件的一些简单事实.

命题6.1 设 $X, Y$ 是赋范空间, $C\subset Y$ 是内部非空的闭凸锥且 $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是凸过程, 则

证 根据 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)=\mathrm{gph}(\Psi)+\{0\}\times C$ 是凸锥, 我们有

因此, $D_{C}\Psi(0, 0)(B_{X})\supseteq \Psi(B_{X}).$ 由此以及 (4.2), (6.1) 式可得, $r(\Psi, 0, C)\geq \gamma(\Psi, C)$. 设 $u\in S(\Psi, C)$, 下面只需证明

因为 $(u,0)\in \mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 以及 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 是凸锥, 所以

因此, $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)-(u,0)\supseteq \mathrm{epi}_{C}(\Psi)$. 这表明

(第一个包含关系成立因为 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 是凸集, 最后一个等式成立因为 $\mathrm{epi}_{C}(\Psi)$ 是凸锥). 因此, $D_{C}\Psi(u, 0)(B_{X})\supseteq D_{C}\Psi(0, 0)(B_{X}).$ 这和 (4.2) 式意味着 (6.2) 式成立.

下面给出凸过程经 "小" 连续线性算子扰动时其切导数关于序锥的 Slater 条件有稳定性.

命题6.2 设 $X, Y$ 是赋范空间, $C\subset Y$ 是内部非空的闭凸锥, $\Psi: X\rightrightarrows Y$ 是凸过程且 $\gamma(\Psi, C)>0$. 并设 $\eta\in (0, 1)$. 则当 $T\in \mathcal{L}(X, Y)$ 满足 $\|T\|\leq (1-\eta)\gamma(\Psi, C)$, 有

其中 $\mathcal{L}(X, Y)$ 表示所有从 $X$ 到 $Y$ 的连续线性算子构成的空间.

证 设 $T\in \mathcal{L}(X, Y)$ 满足 $\|T\|\leq (1-\eta)\gamma(\Psi, C)$, 任取 $u\in S(\Psi+T, C)$. 由于 $\Psi$ 是凸过程且 $T$ 是连续线性算子, 所以 $\Psi+T$ 也是凸过程. 这和命题6.1 意味着

另一方面, 根据命题4.4 以及 $\|T\|_{0}=\|T\|\leq (1-\eta)\gamma(\Psi, C)\leq (1-\eta)r(\Psi, 0, C),$ 我们有 $r(\Psi+T, 0, C)\geq \eta r(\Psi, 0, C).$ 因此, 由 (6.4) 式和命题6.1 立即得到 (6.3) 式成立.

如下定理表明凸过程自身满足 Slater 条件是该凸过程关于序锥有稳定全局误差界的充分条件.

定理6.1 设 $X, Y$ 是 Banach 空间, $C\subset Y$ 是内部非空的闭凸锥, $\Psi\in \overline{\Theta}_{C}(X, Y)$ 是凸过程且 $\gamma(\Psi, C)>0$. 并设 $\eta\in (0, 1)$. 则每当 $T\in \mathcal{L}(X, Y)$ 满足 $\|T\|\leq (1-\eta)\gamma(\Psi, C)$, 就有

因此, 当 $\Psi$ 经 "小" 连续线性算子扰动, 其关于 $C$ 的全局误差界是稳定的.

证 设 $T\in \mathcal{L}(X, Y)$ 满足 $\|T\|\leq (1-\eta)\gamma(\Psi, C)$, 任取 $x\in X\setminus S(\Psi+T, C)$ 以及 $\lambda\in (0, 1)$. 一方面, 由 $\Psi\in \overline{\Theta}_{C}(X, Y)$ 以及 $T$ 的连续性易得, $\Psi+T\in \overline{\Theta}_{C}(X, Y)$. 这意味着 $S(\Psi+T, C)$ 是闭集. 另一方面, 根据 $\Psi+T$ 是凸过程容易验证, $S(\Psi+T, C)$ 是凸集. 这样, 由引理 2.1, 存在 $u\in S(\Psi+T, C)$ 使得

任取 $t\in (0, 1)$, 下面证明

事实上, 由 $T(S(\Psi+T, C), u)$ 是凸锥以及 (6.6) 式可得

根据 $S(\Psi+T, C)$ 的凸性, 我们有

所以,

于是,

这和 (6.8) 式意味着 (6.7) 式成立. 由 $\|T\|\leq (1-\eta)\gamma(\Psi, C)$ 以及命题 6.2 可得, $r(\Psi+T, u, C)\geq \eta \gamma(\Psi, C)$. 任取 $\tau\in (0, \eta \gamma(\Psi, C))$, 则根据 (5.10) 式存在 $\delta \in (0, +\infty)$ 使得

下面取定充分小的 $t\in (0, 1)$ 使得 $u+t(x-u)\in B_{X}(u, \delta)$. 于是,

因为 $\Psi+T$ 是凸过程且 $C$ 是闭凸锥, 所以

(最后一个等式成立因 $u\in S(\Psi+T, C)$). 这样, 由 (6.7), (6.9) 式立即得到 $\lambda\tau \|x-u\|\leq d(0, (\Psi+T)(x)+C).$ 由此以及 $u\in S(\Psi+T, C)$ 可得 $\lambda \tau d(x, S(\Psi+T, C))\leq d(0, (\Psi+T)(x)+C).$ 令 $\lambda\rightarrow 1^{-}$ 以及 $\tau\rightarrow \eta \gamma(\Psi, C)^{-}$, 立即得到 (6.5) 式成立.