设 $H_1$ 和 $H_2$ 是具有内积 $\langle \cdot,\cdot\rangle $ 和范数‖$\cdot$‖的实 Hilbert 空间, $C$ 和 $Q$ 分别为 $H_1$ 和 $H_2$ 的非空闭凸子集, $A:H_1\to H_2$ 为一有界线性算子且 $A \neq 0$.

1994 年, Censor 和 Elfving^[1] 在研究 CT 扫描图像重建的过程中首次提出了有限维 Hilbert 空间中的分裂可行性问题. 分裂可行性问题为寻求一点 $q \in H_1$, 使得

用 SFP$(C,Q,A)$ 表示分裂可行性问题 (1.1) 的解集, 即

分裂可行性问题是不动点理论和最优化理论中的一个重要组成部分, 近年来受到了广泛的关注, 它在信号处理、图像重建、模拟调强放射治疗等方面有着很多的应用.

2002 年, Byrne 等人^[2]提出了 CQ 算法求解分裂可行性问题 (1.1). 对于任意的 $q_1$,$\in$,$C$, 有

其中, $\tau_n\in(0,\frac{2}{\|A\|^2})$, $P_C$ 和 $P_Q$ 分别表示非空闭凸集合 $C$ 和 $Q$ 的度量投影, $A^*$ 是 $A$ 的共轭算子, 即满足 $\langle Ax, y \rangle = \langle x, A^* y \rangle, \forall x \in H_1,y \in H_2 $. 令

则我们可以得到

其中, $\nabla f$ 是 $f$ 的梯度算子. 所以 CQ 算法 (1.2) 可以看作梯度投影算法的特例. 由于这些投影很容易计算出来, 因此这种方法运用十分普遍.

由于步长的选取 $\tau_n$ 依赖算子范数, 但是算子范数计算不易. 为了克服此困难, 2005 年, Yang^[3] 在有限维 Hilbert 空间中提出了可变步长 $\tau_n$, 其定义如下

其中, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \rho_n=\infty$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \rho_n^2<\infty$.

由于可变步长 $ \tau_n$ 的实际应用受限, 2012 年, López 等人^[4]提出了自适应步长 $\tau_n$, 其定义如下

其中, $\{\rho_n\}\subset(0,4)$, $\inf_n \rho_n(4-\rho_n)>0$.

非线性算子的不动点问题和分裂可行性问题两者相互关联, 可以相互转化. 最近, 很多学者将不动点问题和分裂可行性问题结合起来, 提出了求其公共解的迭代算法并得到相应的收敛定理. 目前国内外许多学者对分裂可行性问题与不动点问题的公共元进行了深入研究^[5⇓⇓-8].

2019 年, Qin 等人^[5]提出求解分裂可行性问题和不动点问题的公共解的迭代算法, 并证明了该算法的强收敛性. 具体算法如下

其中, $S:C\to C$ 是非扩张算子, $g:C\to C$ 是 $\kappa$-压缩映射, $\kappa \in (0,1)$.

2024 年, 王元恒等人^[6]将算法 (1.3) 中的非扩张算子推广至拟非扩张算子, 并引入了自适应步长和惯性迭代步, 使算法的收敛速度更快. 具体算法如下

他们证明了在适当条件下, 由算法 (1.4) 生成的序列 $\{q_n\}$ 强收敛到 $q^*\in \text{Fix}(S)\cap \text{SFP}$$(C,Q,A)$.

受上述事实的启发, 本文将算法 (1.4) 中的一个拟非扩张算子推广到有限族拟非扩张算子, 这使得能解决的问题更加广阔, 并提出自适应惯性平行迭代算法, 证明了由该算法生成的序列强收敛到分裂可行性问题与有限族拟非扩张算子不动点问题的公共解, 通过数值实验验证了该算法的收敛速度比算法 (1.4) 的收敛速度更快.

设 $H$ 是具有内积 $\langle \cdot,\cdot\rangle $ 和范数‖$\cdot$‖的实 Hilbert 空间, $D$ 为 $H$ 的非空闭凸子集. 对任意的 $x,y\in H$, 有

定义2.1^[6] 设 $T:H \to H$ 是一个映射, $\text{Fix}(T)$ 为 $T$ 的不动点集, 即 $\text{Fix}(T)=\{x \in H:Tx=x\}$.

(i) 称 $T$ 是非扩张的, 如果对任意的 $ x,y \in H$, 有 $\|Tx-Ty\|\leq \|x-y\|$.

(ii) 称 $T$ 是 $\kappa$-压缩的, 如果存在常数 $\kappa \in (0,1)$, 对任意的 $x,y \in H$, 有 $\|Tx-Ty\|\leq \kappa \|x-y\|$.

(iii) 称 $T$ 是拟非扩张的, 满足 $\text{Fix}(T)\neq \emptyset$, 且对于任意的 $x \in H,u\in \text{Fix}(T)$, 有 $\|Tx-u\|\leq \|x-u\|$. 显然一个存在不动点的非扩张映射是拟非扩张的.

(iv) 称 $T$ 是 $L$-Lipschitz 的, 如果存在非负常数 $L >0 $, 对任意的 $x,y \in H$, 有 $\|Tx-Ty\|\leq L \|x-y\|$.

(v) 称 $T$ 是 $\eta$-强单调的, 如果存在非负常数 $\eta >0$, 对任意的 $x,y \in H$, 有 $\langle Tx-Ty,x-y\rangle\geq \eta \|x-y\|^2$.

定义2.2^[6] 令 $B:H \to H$ 是一个有界线性算子, 算子 $B$ 称为 $\eta$-强正的, $\eta >0$, 如果满足

引理2.1^[9] 对于任意的 $x_i\in H$, $\alpha_i\in [0,1](i=1,2,\cdots,n)$, 有

其中, $\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i=1$.

回顾度量投影算子 $P_D$ 的定义

引理2.2^[6] 对于 $x\in D,y\in H$, 有

(i) $x=P_Dy\Leftrightarrow \langle x-y,z-x\rangle \geq0,\forall z \in D$.

(ii) $\|x-P_Dy\|^2 \leq \|x-y\|^2 - \|y-P_Dy\|^2 $.

(iii) $ \langle P_Dy-y,z-y\rangle \geq \|P_Dy-y\|^2,\forall z \in D$.

由 (i) 易得 (iii) 成立.

引理2.3^[10] 令 ${q_n}$ 是一个非负实数列, 并满足

其中 $\{\Gamma_n\}$ 是区间 $(0,1)$ 中的实数列, $\{\Psi_n\}$ 非负实数列, $\{\Phi_n\}$ 和 $\{\Lambda_n\}$ 是两个实数列, 并满足

(i) $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \Gamma_n=\infty$;

(ii) $\lim\limits_{n \to \infty}\Phi_n=0$;

(iii) 对 $\{n\}$ 任意子列 $\{n_k\}$, 由 $\lim\limits_{k \to \infty}\Psi_{n_{k}}=0$ 可得 $\lim\limits_{k \to \infty} \sup \Lambda_n \leq 0$.

则$\lim\limits_{n \to \infty}q_n=0$.

引理2.4^[6] 令 $f(q):=\dfrac{1}{2}\|(I-P_Q)Aq\|^2$, 则 $\nabla f$ 是 $\|A\|^2$-Lipschitz 连续的.

定义2.3^[11] 令 $T:H \to H$ 是一个非线性算子, 且 $\text{Fix}(T)\neq\emptyset$, $I$ 是恒等算子. 若对任意的 $\{q_n\} \subset H$, 有

那么我们称 $I-T$ 次闭于零点.

引理2.5^[12] 令 $g:H \to H$ 是一个 $\kappa$-压缩映射, $\kappa \in (0,1)$, $B:H \to H$ 是 $\eta$-强正有界线性算子, $\eta >0$, 则对任意满足 $0\leq \xi \kappa<\eta $ 的实数 $\xi $, $B-\xi g $ 是 $(\eta- \xi \kappa)$-强单调的.

引理2.6^[12] 令 $B:H \to H $ 是一个 $\eta$-强正有界线性算子, $\eta >0$, 则对任意 $ 0< \lambda \leq \frac{1}{\|B\|}$, 有 $\|I-\lambda B\|\leq 1-\lambda\eta$.

变分不等式问题表述为: 寻求一点 $y \in D$, 使得

其中, $F:H \to H $ 是一个非线性映射.

引理2.7^[13] 令 $F:H \to H $ 是一个连续的强单调映射, 则变分不等式问题 (2.1) 存在唯一解.

本文给出如下假设

(B$_1$) $T_i:H_1 \to H_1$ 是拟非扩张算子, 且 $I-T_i$ 次闭于零点, 其中 $i=1,2,\cdots,N$.

(B$_2$) $g:C\to C$ 是 $\kappa$-压缩映射, $\kappa \in (0,1)$.

(B$_3$) $\{\alpha_{n}^{i}\}\subset (0,1)$, $ 0<\lim\limits_{n \to \infty} \inf \alpha_{n}^{i} < \lim\limits_{n \to \infty} \sup \alpha_{n}^{i} <1$, $i=1,2,\cdots,N$.

(B$_4$) $\bigcap\limits_{i=1}^{N} \text{Fix}(T_i) \cap \text{SFP}(C,Q,A)\neq \emptyset$.

(B$_5$) $B:H_1 \to H_1$ 是一个 $\eta$-强正有界线性算子, $\eta >0$.

(B$_6$) $\{\alpha_{n}^{0}\}\subset (0,1)$, $\lim\limits_{n \to \infty}\alpha_{n}^{0}=0$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \alpha_{n}^{0}=\infty$.

(B$_7$) $\epsilon_n>0$, $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\epsilon_n}{\alpha_{n}^{0}}=0$.

(B$_8$) $\sum\limits_{i=0}^{N}\alpha_{n}^{i}< 1$.

(B$_9$) $\{\rho_n\}\subset(0,4)$, $\inf_n \rho_n(4-\rho_n)>0$.

定义泛函 $f:H_1\to \text{R}$ 为

则有

算法3.1 选取 $q_0,q_1 \in H_1$, $\mu \geq 0$, $\xi >0$, 使得 $0\leq \xi\kappa <\eta$.

${\bf 步骤一}$ 计算

其中

${\bf 步骤二}$ 若 $ \nabla f(\omega_n)=0$, 则停止迭代; 否则, 计算

其中

${\bf 步骤三}$ 令 $n:=n+1$, 返回步骤一.

引理3.1 假设条件 (B$_1)-$(B$_9$) 成立, 序列 $\{q_n\}$ 由算法 3.1 生成, 则 $\{q_n\}$ 有界.

证 首先, 令 $\lambda_n=\frac{\alpha_{n}^{0}}{1-\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{n}^{i}}$, $y_n=\lambda_n\xi g(q_n)+(I-\lambda_nB)(\omega_n-\tau_n\nabla f(\omega_n))$, 则 $q_{n+1}=P_C(\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{n}^{i}T_i\omega_n+(1-\sum\limits_{i=1}^{N}\alpha_{n}^{i})y_n)$. 由 $\{\alpha_{n}^{0}\}$, $\{\epsilon_n\}$ 和 $\{\alpha_{n}^{i}\}(1\leq i \leq N)$ 的条件, 可得 $\{\lambda_n\} \subset(0,1) $ 且 $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\epsilon_n}{\lambda_n}=0$.

任取 $p\in \bigcap\limits_{i=1}^{N} \text{Fix}(T_i) \cap \text{SFP}(C,Q,A)$, 由引理 2.6 和 $y_n$ 表达式, 可得

根据共轭算子的性质和引理2.2, 由 $p\in \text{SFP}(C,Q,A)$ 可得

因此

由 (3.1), (3.3) 式和 $q_{n+1}$ 的迭代式, 我们可以得到

根据 $\omega_n$ 和 $\mu_n$ 的定义, 可得

将 (3.5) 式代入 (3.4) 式, 可得

由条件 (B$_7)$ 可知, 存在一个常数 $M$, 使得 $ \frac{\epsilon_n}{\alpha_{n}^{0}}\leq M$, 则有

由数学归纳法可得

因此, 序列 $\{q_n\}$ 是有界的.

定理3.1 假设条件 (B$_1)-$(B$_9$) 成立, 序列 $\{q_n\}$ 由算法 (3.1) 生成, 则 $\{q_n\}$ 强收敛到 $q^*\in \bigcap\limits_{i=1}^{N} \text{Fix}(T_i) \cap \text{SFP}(C,Q,A)$, 其中 $q^*$ 是下列变分不等式的唯一解

证 由 $\mu_n$ 的表达式, 可得

由引理 2.6, $y_n$ 的表达式和 (3.3) 式, 可得

其中 $M_1\geq \sup\limits_{n \in\mathbb{N}}\{ {\eta}^2\|\omega_n-q^{*}\|^2+\|\xi g(q_n)-Bq^{*}\|^2+2\|B\|\|\omega_n-q^{*}\|\|\xi g(q_n)-Bq^{*}\|\}$ 是一个常数. 将 (3.5), (3.7) 式代入 (3.8) 式中, 可得

根据引理 2.1, 可得

因此

通过 (3.7), (3.9) 和 (3.11) 式, 可得

另一方面, 我们可以得到

其中 $M_2\geq 2\sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \{\|\xi g(q_n)-B(\omega_n-\tau_n\nabla f(\omega_n))\|\|y_n-q^*\|\}$ 是一个常数.

将 (3.13)式代入 (3.10) 式, 可得

将 (3.2) 式代入 (3.14) 式, 可得

将 (3.7) 式代入 (3.15) 式, 可得

令 $\Gamma_n =2\alpha_{n}^{0}(\eta -\xi\kappa)$,

则 (3.12) 和 (3.16) 式可以被表示为

由条件 $\left( B_2\right) $, $\left( B_6\right) $, $\left( B_7\right) $ 可知 $\lim \limits_{n \to \infty}\Gamma_n =0$, $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\Gamma_n=\infty$, $\lim \limits_{n \to \infty}\Phi_n = 0$.

接下来证明对 $\{n\}$ 的任意子列 $\{n_k\}$, 由 $\lim \limits_{k \to \infty}\Psi_{n_k} =0$, 可得 $\lim \limits_{k \to \infty}\sup \Lambda_{n_k}\leq0$. 假设子列 $\{n_k\} \subset \{n\} $, 满足 $\lim \limits_{k \to \infty}\Psi_{n_k} =0$. 由 $\{\alpha_{n}^{0}\}$, $\{\rho_n\}$ 和 $\{\alpha_{n}^{i}\}(1\leq i \leq N)$ 的条件, 我们可以得出

选取 $\{q_{n_k}\}$ 的子列 $\{q_{n_{k_j}}\}$, 使得

由引理 3.1 知 $\{q_n\}$ 有界. 不失一般性, 假设 $q_{n_{k_j}}\rightharpoonup z^{\prime} $. 由 $\omega_n$ 的表达式, 有

即 $\|q_{n_k}-\omega_{n_k}\| \rightarrow 0$. 因此, $\omega_{n_{k_j}}\rightharpoonup z^{\prime} $. 由 $\tau_n$ 的表达式和 (3.17) 式, 可得

于是

结合 (3.18), (3.19) 和 (3.20) 式, 可得

通过上式, 结合 $I-T_i(i=1,2 \cdots N)$ 次闭于零点, 得出 $z^{\prime} \in \text{Fix}(T_i)(i=1,2,3,\cdots,N)$. 因此, $z^{\prime} \in \bigcap\limits_{i=1}^{N}\text{Fix}(T_i)$.

由引理 2.4知 $\{\|\nabla f(\omega_n)\|\}$ 有界. 根据 (3.17) 式, 有 $f(\omega_{n_k})\rightarrow 0 (k\rightarrow \infty)$. 利用 $\|\cdot\|^2$ 的弱下半连续性可得, $0\leq f(z^{\prime})\leq \lim \limits_{j \to \infty} \inf f(\omega_{n_{k_j}})=0$, 所以 $f(z^{\prime})=0 $. 由 $f$ 的表达式可得 $Az^{\prime} \in Q$, 因为 $C$ 是非空闭凸集合, 所以$z^{\prime} \in C$. 因此 $z^{\prime} \in \text{SFP}(C,Q,A) $.

综上, $z^{\prime} \in \bigcap\limits_{i=1}^{N}\text{Fix}(T_i)\cap \text{SFP}(C,Q,A)$, 根据 (3.6) 式可得

由 $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{\epsilon_n}{\lambda_n}=0$, 条件 $(B_6)$, $(B_7)$ 可知

即通过 (3.21) 式可得 $\lim \limits_{k \to \infty} \sup \Lambda_{n_k} \leq 0 $.

综上, 由引理 2.3 知 $\lim \limits_{n \to \infty} \|q_n-q^*\|=0 $, 即算法 3.1 产生的迭代序列 $\{q_n\}$ 强收敛到 $q^*$.

注3.1 本文所得的结果改进和推广了文献 [6] 的相关结论, 将文献 [6] 中关于一个拟非扩张算子的不动点问题推广到有限族拟非扩张算子的公共不动点问题. 当 $N=1$ 时, 本文的算法 3.1 可变成文献 [6] 中的算法 2.

本节数值实验是在 MATLAB-R2022a 和 Windows11 中运行; 用 "Alg1" 表示本文的算法 3.1, 用 "Alg2" 表示文献 [6] 的算法 2, 用 "$n$" 表示算法的迭代次数, 用 "$\|q_n-q^*\|$" 表示第 $n$ 步的误差值, 用 "Iter" 表示迭代步数, 用 "Time" 表示所需时间. 在本文 Alg1 中, 考虑 $N=1,2,3,4$ 的情况, 当 $N=1$ 时, 本文的 Alg1 可变成文献 [6] 的 Alg2.

例4.1 令 $H_1=H_2=C=\mathbb{R}^5$, $Q=\{kb:k \in \mathbb{R}\}$, 其中 $b$ 为 $ \mathbb{R}^5$ 中的固定非零向量. 令

对任意的 $x \in \mathbb{R}^5$, 有

令

易知, $T_i(i=1,2,3,4)$ 是拟非扩张算子, 且 $q^*=[\frac{1}{16},\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{2},1]^T$ 是 $T_i(i=1,2,3,4)$ 的唯一不动点, 则 $q^* \in \bigcap\limits_{i=1}^{4}\text{Fix}(T_i)$. 根据 $q^* \in C$, $Aq^*=[\frac{43}{16},2,\frac{19}{16}, \frac{51}{8},\frac{41}{8}]=b\in Q$, 则 $q^* \in \text{SFP}(C,Q,A)$. 综上, $q^* \in \bigcap\limits_{i=1}^{4}\text{Fix}(T_i)\cap \text{SFP}(C,Q,A)$.

在 Alg1 和 Alg2 中, 取初始值 $q_0=q_1=[1,1,1,1,1]^T$, $g(x)=\frac{1}{5}x$, $\alpha_{n}^{0} =\frac{1}{10n}$, $B=I$, $\rho_n=3+\frac{1}{n+1}$, $\xi =1$, $\mu =1$, $\epsilon_n=\frac{1}{n^2}$.

考虑 $N=1$ 的情况, 在 Alg2 中, 取拟非扩张算子为 $S=T_1$; 系数取 $\alpha_{n}^{1} =0.3$;

考虑 $N=2$ 的情况, 在 Alg1 中, 取拟非扩张算子为例 4.1 中定义的 $T_1$ 和 $T_2$; 系数取 $\alpha_{n}^{1} =0.3$, $\alpha_{n}^{2} =0.1$;

考虑 $N=3$ 的情况, 在 Alg1 中, 取拟非扩张算子为例 4.1 中定义的 $T_1$, $T_2$ 和 $T_3$; 系数取 $\alpha_{n}^{1} =0.3$, $\alpha_{n}^{2} =0.1$, $\alpha_{n}^{3} =0.1$;

考虑 $N=4$ 的情况, 在 Alg1 中, 取拟非扩张算子为例 4.1 中定义的 $T_1$, $T_2$, $T_3$ 和 $T_4$; 系数取 $\alpha_{n}^{1} =0.3$, $\alpha_{n}^{2} =0.1$, $\alpha_{n}^{3} =0.1$, $\alpha_{n}^{4} =0.1$;

数值实验结果见表 1, 图 1 和表 2.

注4.1 从表 1 可以看出, 本文的 Alg1 随着迭代步数的增长, 序列 $\{q_n\}$ 更接近于精确解 $q^*$, 也可以观察到误差更接近到 0, 因此, 可以得出我们的算法是可行的. 通过 Alg1 和 Alg2 的误差值对比, 本文的 Alg1 在相同迭代次数的前提下, 误差值更小; 从图 1 和表 2 可以看出, 本文的 Alg1 比文献 [6] 中 Alg2 的收敛速度更快, 从而验证了本文所提出算法的优越性.