艾滋病是一种由人体免疫缺陷病毒 (HIV) 所引起的性传播疾病^[1]. 为了研究 HIV 在宿主体内的感染机制, 数学模型已广泛地被用来研究 HIV 感染动力学问题^[2⇓-4]. 特别需要指出的是之所以现有的抗病毒治疗药物无法彻底清除感染者体内的病毒的一个最主要的原因是潜伏感染细胞的存在. 临床医学研究显示这些静止的记忆细胞不会干扰抗病毒治疗也不会受到免疫反应的影响, 但当它们被相关抗原蛋白激活时, 可以通过裂解释放游离病毒, 从而防止游离病毒被彻底消灭. 这些潜伏细胞在被抗原激活后提供了可持续的病毒资源^[1]. Rong 等人^[5]首次建立由健康靶细胞、潜伏感染细胞、感染细胞和自由病毒所组成的仓室模型来研究潜伏细胞对 HIV 感染进程的影响. 在此基础上, 一系列的工作都已展开^[6⇓-8], 并取得了丰富的理论成果. 事实上, 医学研究^[9]表明: HIV 进入人体后攻击的不仅仅是免疫系统中的靶细胞也会通过血液攻击人体的消化系统等. 这说明空间异质性对 HIV 在宿主体内的感染进程有明显的影响. 关于空间异质性局部扩散 HIV 模型的研究已广泛展开^[10⇓-12]. 虽然以上结果已表明空间异质性对 HIV 在宿主体内的感染有明显影响, 但通过数学模型研究异质环境中非局部扩散和感染年龄对 HIV 感染进程的影响研究很少. 由鉴于此, 在文献 [10] 的基础上, 为了研究在空间异质环境中非局部扩散和感染年龄对 HIV 感染动力学行为的影响, 本文记 $T(t,x),L(t,x),V(t,x)$ 分别为易感细胞、潜伏感染细胞和自由病毒在时间 $t$ 和位置 $x$ 处的密度分布. 变量 $I(a,t,x)$ 表示感染细胞在时间 $t$, 感染年龄为 $a$ 和位置 $x$ 处的密度分布. 由此, 本节建立如下 HIV 潜伏感染模型

模型 (1.1) 具有如下 Dirichlet 边界和初值条件

其中 $\overline{\Omega}$ 和 $\partial\Omega$ 分别表示有界区域 $\Omega$ 的闭包和边界. Dirichlet 边界条件意味着个体永远无法到达有界区域 $\Omega$ 的边界. 模型中参数生物学意义如下: 参数 $\sigma(x)$ 和 $c(x)$ 分别表示细胞和病毒的自然死亡率, $H(x)$ 表示易感细胞的引入率. 系数 $d_T,d_L,d_I,d_V$ 分别表示各仓室的非局部扩散率, $\delta(a,x)$ 表示感染细胞的因病死亡率, 参数 $B(a,x)$ 表示感染细胞的裂解量. 本文考虑细胞-细胞和细胞-病毒两种传播途径^[4], 其感染率分别记为 $\alpha_I(a,x)$ 和 $\alpha_V(x)$. 因此, $T(t,x)\int_{\Omega}\left(\int_0^{\infty}\alpha_I(a,x,y)I(a,t,y){\rm d}a+\alpha_V(x,y)V(t,y)\right){\rm d}y$ 表示在 $t$ 时刻和位置 $x$ 处新增感染细胞的总量. 参数 $\epsilon(x)$ 和 $\eta(x)$ 分别表示潜伏感染细胞的潜伏率和激活率. 模型中的参数都依赖于空间变量 $x$, 以此来刻画空间异质性. 非局部扩散算子 $[\mathcal{L}u](x)$ 具体形式如下

其中 $u(t,x)$ 表示时刻 $t$ 和空间位置 $x$ 处个体的密度分布, $G(x-y)$ 表示个体从位置 $y$ 移动到 $x$ 处的概率分布. 于是 $\int_{\Omega}G(x-y)u(y){\rm d}y$ 表示个体在 $x$ 处的移入率, $\int_{\Omega}G(x-y)u(x){\rm d}y$ 表示个体在 $x$ 处移出率[13].

为了后续对系统 (1.1) 进行动力学分析, 首先我们从生物学角度出发对模型参数给出如下假设

定义2.1 对于系统 (1.1), 假设

(A1) 参数 $H(\cdot),\sigma(\cdot),\eta(\cdot),\epsilon(\cdot),c(\cdot)\in L^{\infty}_+(\overline{\Omega}), \epsilon(\cdot)\le 1$;

(A2) 参数 $\delta(\cdot,\cdot),B(\cdot,\cdot)\in L^{\infty}_+(\mathbb{R}_+,\overline{\Omega})$;

(A3) 感染率 $\alpha_I(a,x,y)$ 和 $\alpha_V(x,y)$ 分别满足

其中 $h\in\mathbb{R}^n$, $\| \cdot\| $ 记为在 $\mathbb{R}^n$ 中一般的 Euclidean 范数. 此外, 存在函数 $\underline{\alpha}_I(a)$ 使得对于任意的 $a\in\mathbb{R}$ 有 $\alpha_I(a,\cdot,\cdot)\ge\underline{\alpha}_I(a)$ 成立, 并且存在区间 $[a_1,a_2]\subset\mathbb{R}_+$ 使得 $\underline{\alpha}_I(a)\ge 0, a\in[a_1,a_2]$;

(A4) 非局部扩散内核函数 $G(x)$ 满足: (i) $G(x)$ 是对称的且 $G(x)\ge 0,x\in\Omega$; (ii) $\int_{\Omega}G(x){\rm d}x=1, G(0)=0$; (iii) $G(x)$ 在 $\overline{\Omega}$ 中是 Lipschitz 连续的.

定义泛函空间 $\mathbb{Y}=L^2(\Omega),\mathbb{Z}=\mathbb{R}\times L^1(\mathbb{R}_+,\mathbb{Y}), \mathbb{X}=\mathbb{Y}\times\mathbb{Y}\times\mathbb{Z}\times\mathbb{Y}$, 其范数为 $\| \psi\| _{\mathbb{Y}}=\left[\int_{\Omega}\psi^2(y){\rm d}y\right]^{1/2},\| \zeta\| _{\mathbb{Z}}=|\zeta_1|+\int_0^{\infty}\left[\int_{\Omega}\zeta^2_2(a,y){\rm d}y\right]^{1/2}{\rm d}a,\psi\in\mathbb{Y},(\zeta_1,\zeta_2)^T\in\mathbb{Z}$. $\| \phi\| _{\mathbb{X}}=\| \phi_1\| _{\mathbb{Y}}+\| \phi_2\| _{\mathbb{Y}}+\| \phi_3\| _{\mathbb{Z}}+\| \phi_4\| _{\mathbb{Y}},\phi=(\phi_1,\phi_2,\phi_3)^T\in\mathbb{X}$. 空间 $\mathbb{X},\mathbb{Y},\mathbb{Z}$ 的正锥分别记为 $\mathbb{X}_+,\mathbb{Y}_+,\mathbb{Z}_+$. 此外, 定义 $\mathbb{Z}_0=\{0\}\times L^1(\mathbb{R}_+,\mathbb{Y})$. 空间 $\mathbb{X}$ 的子空间 $\mathbb{X}_0:=\mathbb{Y}\times\mathbb{Y}\times\mathbb{Z}_0\times\mathbb{Y}$, 其正锥记为 $\mathbb{Z}_{0+}=\mathbb{Z}\cap\mathbb{Z}_+,\mathbb{X}_{0+}=\mathbb{X}_0\cap\mathbb{X}_+$. 接下来, 定义线性算子 $\mathcal{A}_T:D(\mathcal{A}_T)\to\mathbb{Y},\mathcal{A}_L:D(\mathcal{A}_L)\to\mathbb{Y},$$\mathcal{A}_V:D(\mathcal{A}_V)\to\mathbb{Y}$ 如下

定义线性算子 $\mathcal{A}_I:D(\mathcal{A}_I)\to\mathbb{Z}$ 如下

其中 $D(\mathcal{A}_I)=\{\psi_I\in\mathbb{Z}|\partial_a\psi_I(a,\cdot)\in L^2(\mathbb{R}_+),\psi(\cdot,x)=0,x\in\partial\Omega\}$. 这样, 记算子 $\mathcal{A}: D(\mathcal{A})\to\mathbb{X}$ 如下

$D(\mathcal{A})=D(\mathcal{A}_T)\times D(\mathcal{A}_L)\times D(\mathcal{A}_I)\times D(\mathcal{A}_V)$. 再定义如下非线性算子 $\mathcal{F}:D(\mathcal{A})\to\mathbb{X}$

$\psi\in\mathbb{X}_0$. 令 $w(t)=(T(t,\cdot),L(t,\cdot),(0,I(t,\cdot,\cdot),V(t,\cdot)^T$, 则系统 (1.1) 可以改写为如下抽象 Cauchy 问题

为了研究系统(2.2) 解的存在性, 首先引入足够小的关于系统(2.2) 的扰动系统如下

其中 E 是单位算子. 根据文献 [14,定理 3.1] 可知如下结论

引理2.1 算子 $\mathcal{A}$ 如 (2.1) 中定义, 则 $\mathcal{A}-\frac{1}{\zeta}$ 是闭线性算子且 $\overline{D(\mathcal{A})}=\mathbb{X}_0$. 此外, 对所有 $\lambda>-\zeta_0-\frac{1}{\zeta}$, $\mathcal{A}-\frac{1}{\zeta}$ 满足 Hille-Yosida 估计

其中 $\zeta_0$ 是具有 Dirichlet 边界条件的算子-$\mathcal{L}$ 的主特征值且满足

根据 Fr$\acute{\rm e}$chet 可微定义, 易得如下结论

引理2.2 如果 $\phi\in\mathbb{X}_0$, 那么非线性算子 $\mathcal{F}=(\mathcal{F}_T,\mathcal{F}_L,(\mathcal{F}_I,0),\mathcal{F}_V)$ 是 Fr$\acute{\rm e}$chet 可微的.

证 引理的证明过程是标准的. 具体可参见文献 [14,引理 3.2] 的证明过程, 故在此我们省略证明过程.

结合引理2.1, 2.2 以及文献 [15,命题 4.16], 可得系统(2.2) 解的局部存在性结论.

定理2.1 若假设 2.1 成立, 则系统(2.2) 存在唯一的解如下

定理2.2 对于系统(2.2), 以下结论是成立的

(1) 如果 $w_0\in\mathbb{X}_0$, 那么 $w(t)\in\mathbb{R}^4_+,t\in\mathbb{R}_+$;

(2) 如果假设 2.1 成立, 那么(2.5) 式中的 $T_0\to\infty$, 即系统(2.2) 的解是全局存在的且系统(2.2) 生成解半流 $\Phi(t):=(T(t,\cdot),L(t,\cdot),I(t,\cdot,\cdot),V(t,\cdot);w_0),t\ge 0$.

证 首先证明结论 (1). 假定 $T(t,\cdot)=0$, 则从系统 (1.1) 第一个方程中可得 $\partial T(t,\cdot)/\partial t|_{t=t_0}=H(\cdot)>0$. 从而可得 $T(t,\cdot)>0,t\in\mathbb{R}_+$. 利用特征线法对系统 (1.1) 第三个方程求解可得

其中 $\Pi(0,a)[\phi](\cdot)=\exp\{-\int_0^a(\sigma(\cdot)+\delta(s,\cdot)){\rm d}s\}{\rm e}^{d_I\mathcal{L}a}[\phi](\cdot)$. 继而可得

其中 $H_1(t)=\int_{\Omega}\int_0^{\infty}\alpha_I(a+t,\cdot,y)\Pi(a,a+t)[I_0](a){\rm d}a{\rm d}y, H_2(t)=\int_0^{\infty}B(a+t,\cdot)\Pi(a,a+t)[I_0](a){\rm d}a$. 我们断言对于任意的 $t\in\mathbb{R}_+, L(t,\cdot),I(t,0,\cdot), V(t,\cdot)$ 都是非负的. 假设不成立, 我们定义 $t_0=\min\{t_I,t_L,t_V\}$, 其中 $t_I=\inf\limits_{t\in[0,T_0),x\in\Omega}\{I(t,0,x)=0\},t_L=\inf\limits_{t\in[0,T_0),x\in\Omega}\{L(t,x)=0\},t_V=\inf\limits_{t\in[0,T_0),x\in\Omega}\{V(t,x)=0\}$. 假设 $t_0=t_I$, 则有 $I(t_0,0,x)=0,L(t_0,x)>0,V(t_0,x)>0$ 以及 $I(t,0,x)>0,L(t,x)>0,V(t,x)>0,t\in[0,t_0),x\in\Omega$. 由假设 2.1 以及 $T(t,x)$ 的正性可知 $I(t_0,0,x)>0,x\in\Omega$, 这与假设矛盾. 如果 $t_0=t_L$, 那么 $I(t_0,0,x)>0,V(t_0,x)>0,L(t_0,x)=0,$$ \partial L(t_0,x)/\partial t|_{t=t_0}<0$ 以及 $I(t,0,x)>0,L(t,x)>0,V(t,x)>0, (t,x)\in[0,t_0)\times\Omega$. 由系统 (1.1) 中 $L(t,x)$ 方程可知 $\partial L(t,\cdot)/\partial t|_{t=t_0}>0$, 这与假设矛盾. 如果 $t_0=t_V$, 那么 $I(t_0,0,x)>0,V(t_0,x)=0,L(t_0,x)>0, \partial V(t_0,x)/\partial t|_{t=t_0}<0$ 以及 $I(t,0,x)>0,L(t,x)>0,$$V(t,x)>0,$$ (t,x)\in[0,t_0)\times\Omega$. 由系统 (1.1) 最后一个方程可知 $\partial V(t,\cdot)/\partial t|_{t=t_0}>0$, 这也与假设矛盾. 因此, 系统 (1.1) 解的非负性得证. 接下来, 证明结论 (2). 为此, 定义 $\tilde{T}(t)=$$\int_{\Omega}T(t,x){\rm d}x,\tilde{I}(t)=\int_{\Omega}\int_0^{\infty}I(a,t,x){\rm d}a{\rm d}x, \tilde{V}(t)=\int_{\Omega}V(t,x){\rm d}x,\tilde{L}(t)=\int_{\Omega}L(t,x){\rm d}x$. 由系统 (1.1) 可得

这意味着 $\tilde{T}(t)+\tilde{L}(t)+\tilde{I}(t)\le \tilde{T}_0+\tilde{L}_0+\tilde{I}_0+\overline{H}|\Omega|/\underline{\sigma}:=P$, 其中 $\overline{H}=\max\limits_{x\in\Omega}\{H(x)\},\underline{\sigma}=\min\limits_{x\in\Omega}\{\sigma(x)\}$. 从而可得 $\tilde{L}(t)\le \frac{\overline{\epsilon}\overline{H}|\Omega|}{\underline{\sigma}(\underline{\delta}+\underline{\sigma}}(\overline{\alpha}_I+\overline{\alpha}_V)\frac{\overline{H}|\Omega|}{\underline{\sigma}}$, $\tilde{V}(t)\le \overline{B}P/\underline{\sigma}\underline{c}$, 其中 $\overline{B}={\rm ess}\sup\limits_{(a,x)\in\mathbb{Z}}$$B(a,x)$. 再由 $T(t,x)$ 方程以及其正性可得 $T(t,x)\le T_0(x)+\frac{\overline{H}}{\underline{\sigma}+d_T\zeta_0}:=P_T$. 最后, 证明 $L(t,x), I(0,t,x)$ 的有界性. 由 $T(t,x)$ 的一致有界性可得

于是有 $L(t,x)\le L_0(x)+P_T\left(\frac{\overline{\alpha}_I\overline{H}|\Omega|}{\underline{\sigma}}+\frac{\overline{\alpha}_V\overline{B}\overline{H}|\Omega|}{\underline{\sigma}\underline{c}}\right):=P_L,$ 继而可得 $I(0,t,x)\le P_T(1-\underline{\epsilon})\left(\frac{\overline{\alpha}_I\overline{H}|\Omega|}{\underline{\sigma}}+\frac{\overline{\alpha}_V\overline{B}\overline{H}|\Omega|}{\underline{\sigma}\underline{c}}\right)+\overline{\eta}P_L$. 由 (2.6) 式可知 $I(a,t,x)\in\mathbb{Z}_0, (a,t,x)\in\mathbb{R}_+\times(0,T_0)\times\overline{\Omega}$. 因此, 定义 $\hat{I}=\sup\limits_{(t,x)\in(0,T_0)\times\overline{\Omega}}\int_0^{\infty}I(t,a,x){\rm d}a$. 再由 $V(t,x)$ 方程可知 $V(t,x)\le V_0(x)+\frac{\overline{B}\hat{I}}{\underline{c}+d_V\zeta_0}$, 其中 $\zeta_0$ 如 (2.4) 式所示. 综上所述, 系统 (1.1) 的解都是最终有界的. 再由定理 2.1 中解的局部存在性结论可知系统 (1.1) 的解是全局存在的, 即 $T_0\to\infty$ 且系统 (1.1) 生成解半流 $\Phi:\mathbb{X}_0\to\mathbb{X},\Phi(t):=(T(t,\cdot),L(t,\cdot),I(t,\cdot,\cdot),V(t,\cdot);w_0),t\ge 0$. 定理证毕.

根据定理2.2 可知下列集合是系统 (1.1) 解半流 $\Phi(t)$ 的正向不变集

接下来, 我们只讨论初值从 $\mathcal{D}$ 中出发的系统 (1.1) 解的动力学行为.

此节中, 我们利用更新方程的方法来推导模型 (1.1) 的基本再生数泛函表达式并研究系统 (1.1) 的阈值动力学行为. 为此, 我们首先给出如下引理

引理3.1^{[13,引理 2.3]}非局部扩散方程

有唯一的正解 $T^0(\cdot)=-(d_T\mathcal{L}-\sigma(\cdot)E)^{-1}[H](\cdot)$ 且 $T^0(\cdot)$ 是 Lipschitz 连续的.

注意到引理 3.1 的结论保证了系统 (1.1) 一直存在唯一的无感染平衡态 $E_0(\cdot)=(T^0(\cdot),0,$$0,0)$. 在 $E_0$ 处对系统 (1.1) 进行线性化得到如下线性系统 (只含感染仓室)

假设系统 (3.1) 有指数形式的变量分离解 $L(t,x)=\psi_2(x){\rm e}^{\lambda t},I(a,t,x)=\psi_3(a,x){\rm e}^{\lambda t},V(t,x)=\psi_4(x){\rm e}^{\lambda t},x\in\Omega$, 其中 $(\psi_2,\psi_3,\psi_4)$ 是关于特征值 $\lambda$ 的特征向量. 于是可得

其中 $E$ 是单位算子. 求解系统 (3.2) 第三个方程可得

从而可得

将 $\psi_2,\psi_3,\psi_4$ 带入到系统 (3.2) 中 $\psi_3(0,x)$ 的表达式中可得

于是, 定义算子 $\mathcal{L}_0:\mathbb{Y}\to\mathbb{Y}$ 如下

求解系统 (3.1) 第二个方程可得

假设 $L(0,x)=V(0,x)=0$, 利用常数变易法可求解系统 (3.1) 中 $L(t,x)$ 和 $V(t,x)$ 表达式如下

将 (3.4) 式中的 $L(t,x)$ 和 $V(t,x)$ 表达式带入到系统 (3.1) 的 $I(a,t,x)$ 中可得

其中

显然 (3.5) 式是系统 (1.1) 的更新方程. 由文献[16] 第 9.2 节定义如下下一代再生算子 $\mathcal{R}:\mathbb{Y}\to\mathbb{Y}$

引理3.2 若假设 2.1 成立, 则下一代再生算子 $\mathcal{R}$ 是紧的且是非支撑的.

证 首先证明算子 $\mathcal{R}$ 的紧性. 假设 $K\subset \mathcal{D}$ 是 $\mathbb{Y}$ 中一个有界集, 则对任意的 $\phi\in K$, 存在 $M>0$ 使得 $|\phi|\le M$. 同时注意到 $T^0(\cdot)=-(d_T\mathcal{L}-\sigma(\cdot)E)^{-1}[H](\cdot)=\int_0^{\infty}{\rm e}^{-d_T\mathcal{L}+\sigma(\cdot)t}H(\cdot){\rm d}t\le\frac{\overline{H}}{d_T\zeta_0+\underline{\sigma}}:=M_T$, 这意味着 $T^0(\cdot)$ 是一致有界的. 由此可得

因此算子 $\mathcal{R}$ 是一致有界的. 为了证明紧性, 还需证明算子 $\mathcal{R}$ 是等度连续的. 利用 Minkowski 和 Cauchy-Schwariz 不等式, 可知对足够小的 $h$ 有

显然由假设 2.1 可知算子 $\mathcal{R}$ 是等度连续的. 再根据 Kolmogorov-Riesz 定理可得算子 $\mathcal{R}$ 是紧的. 接下来证明算子 $\mathcal{R}$ 是非支撑的. 为此, 定义正的泛函 $f$ 如下

由假设 2.1 可知 $f$ 是严格正的. 注意到算子 $\mathcal{R}$ 的定义可知 $\mathcal{R}[\phi]\ge\langle f,\phi\rangle e,e\in\mathbb{Y}_+\setminus\{0\}$, 从而有 $\mathbb{R}^n[\phi]\ge\langle f.\phi\rangle^n e,n\in\mathbb{N}_+$. 因此, 对任意 $\phi\in\mathbb{Y}_+\setminus\{0\}, f\in\mathbb{Y}^*_+\setminus\{0\}$, 有 $\langle f,\mathcal{R}^n[\phi]\rangle>0$ 成立, 其中 $\mathbb{Y}^*_+$ 是空间 $\mathbb{Y}_+$ 的共轭空间. 由此根据文献 [17] 可知算子 $\mathbb{R}$ 是非支撑的. 引理证毕.

结合引理 3.2 和 Kerin-Rutman 定理可知算子 $\mathcal{R}$ 有一个具有正特征向量 $\phi\in\mathbb{Y}_+\setminus\{0\}$ 的正特征值. 根据基本再生数定义可知

由于模型的复杂性我们无法给出 (3.6) 式中 $R_0$ 的具体表达式. 下面我们讨论一些特殊情况下 $R_0$ 的表达式.

$\textbf{情形 1}$ 如果模型 (1.1) 中所有参数都是空间无关的, 即在考虑空间同质情形下模型 (1.1) 总存在唯一的无感染平衡点 $E^1_0=(T^0_1,0,0,0)=(H/\sigma,0,0,0)$. 于是模型基本再生数 $R_0$ 的表达式如下

其中 $\bar{\Pi}_0(0,a)=\exp\{-\int_0^a(\sigma+\delta(s)){\rm d}s\}$.

$\textbf{情形 2}$ 如果 $d_T=d_L=d_I=0$, 那么模型 (1.1) 总存在唯一的无感染平衡态 $E^2_0=$$(T^0_2(\cdot),0,0,0)=(H(\cdot)/\sigma(\cdot),0,0,0)$. 定义线性算子 $\mathbb{A}_I:\mathbb{Y}\to\mathbb{Y}:= \mathbb{A}_I[\phi](x)=T^0_2(x)\int_{\Omega}\int_0^{\infty}\alpha_I$$(a,x,y)\Pi(a,y)[\phi](y){\rm d}a{\rm d}y$, 其中 $\phi(a,x)=\exp\{-\int_0^a(\sigma(x)+\delta(s,x)){\rm d}s\}, (a,x)\in\mathbb{R}_+\times\overline{\Omega}$. 根据文献[18,定理 2.1] 中结论可知模型 (1.1) 的基本再生数 $R_0$ 的显示表达式如下

其中 $Q(x)=T^0_2(x)(1-\epsilon(x)+\epsilon(x)\eta(x)(-\mathcal{A}_L)^{-1})\int_0^{\infty}\int_{\Omega}B(a,x)(E-\mathbb{A}_I)^{-1}\alpha_V(x,y)\Pi(a,x)\phi(y){\rm d}y\\{\rm d}a \phi(x){\rm d}x$, $E$ 是在 $\mathbb{Y}$ 中的单位算子.

$\textbf{情形 3}$ 如果 $d_V=0$, 那么下一代再生算子可改写为

因此, $R_0=r(\mathcal{R})$. 定义 $s(\mathcal{L})$ 为算子 $\mathcal{L}$ 的谱界, $s(\mathcal{L})=\sup\{Re\lambda,\lambda\in\sigma(\mathcal{L})\}$, 其中 $\sigma(\mathcal{L})$ 是算子 $\mathcal{L}$ 的谱集. 于是我们得到 $r(\mathcal{R})-1$ 和 $s(\mathcal{L}_0)$ 之间的关系如下

引理3.3$r(\mathcal{R})-1$ 和 $s(\mathcal{L}_0)$ 具有相同的符号.

定理3.1 如果 $R_0<1$, 那么无感染平衡态 $E_0=(T^0(\cdot),0,0,0)$ 是全局渐近稳定的.

证 首先证明 $E_0$ 的局部渐近稳定性. 为此, 首先得到系统 (1.1) 在无感染平衡态 $E_0$ 处的特征方程如下

其中 $\psi$ 是关于特征值 $\lambda$ 的特征向量. 选取关于算子 $\mathcal{R}^*$ 的特征函数 $\phi\in\mathbb{Y}^*$ ($\mathcal{R}^*$ 是算子 $\mathcal{R}$ 的伴随算子, $\mathbb{Y}^*$ 是空间 $\mathbb{Y}$ 的对偶空间). 因此, $\langle \psi,\phi\rangle=\langle\widetilde{\mathcal{R}}[\psi](\lambda),\phi\rangle$. 入股 $\lambda\in\mathbb{R}$, 由算子 $\mathcal{R}$ 的正性可得 $\langle\widetilde{\mathcal{R}}[\psi](\lambda),\phi\rangle$ 关于 $\lambda$ 是单调递减的. 因此, 如果 $\lambda\ge0$, 那么 $\langle \psi,\phi\rangle=\langle\widetilde{\mathcal{R}}[\psi](\lambda),\phi\rangle\le \langle\widetilde{\mathcal{R}}[\psi](0),\phi\rangle=\langle\psi,\mathcal{R}^*[\phi]\rangle=R_0\langle \psi,\phi\rangle$. 当 $R_0<1$, 这显然不成立. 如果 $R_0<1,$$\lambda<0$, 假设特征方程 $\langle \psi,\phi\rangle=\langle\widetilde{\mathcal{R}}[\psi](\lambda),\phi\rangle$ 有特征根 $\lambda=\alpha+i\beta, \alpha\ge 0$. 假如 $R_0<1$, 则 $\langle\psi,\phi\rangle=|\langle\widetilde{\mathcal{R}}[\psi](\lambda),\phi\rangle|\le |\langle\widetilde{\mathcal{R}}[\alpha](\lambda),\phi\rangle|\le\langle\widetilde{\mathcal{R}}[\psi](0),\phi\rangle=R_0\langle\psi,\phi\rangle<\langle\psi,\phi\rangle$. 这显然是矛盾的. 因此, 如果 $R_0<1$, 那么 $Re\lambda=\alpha<0$. 因此可知当 $R_0<1$ 时无感染平衡态是局部渐近稳定的. 接下来证明 $E_0$ 的全局吸引性. 由系统 (1.1) 中 $T(t,x)$ 方程可知存在两个正常数 $t_0$ 和 $\theta$ 使得当 $t>t_0$ 时有 $T(t,x)\le T^0(x)+\theta$ 恒成立. 由此, 可得

考虑如下比较系统

由 $E_0$ 的渐近稳定性可知系统 (3.7) 有解 $(c_1{\rm e}^{\lambda_{\theta}t}\psi_1(\cdot),c_2{\rm e}^{\lambda_{\theta}t}\psi_2(a,\cdot),c_3{\rm e}^{\lambda_{\theta}t}\psi_3(\cdot))$, 其中 $(\psi_1,\psi_2,$$\psi_3)$ 是关于特征值 $\lambda_{\theta}$ 的特征向量. 由比较原理可得 $(L,I,V)\le (c_1{\rm e}^{\lambda_{\theta}t}\psi_1(\cdot),c_2{\rm e}^{\lambda_{\theta}t}\psi_2(a,\cdot),$$ c_3{\rm e}^{\lambda_{\theta}t}\psi_3(\cdot))$, 其中 $c_j(j=1,2,3)$ 足够大. 如果 $R_0<1$, 那么有 $\lambda_{\theta}<0$. 因此当 $t\to\infty$ 时有 $(L,I,V)\to(0,0,0)$. 此外, 易得 $\lim\limits_{t\to\infty}T(t,\cdot)=T^0(\cdot)$. 由此可知 $E_0$ 是全局吸引的. 综上, 可证 $E_0$ 是全局渐近稳定的. 定理证毕.

在上一节, 我们讨论了如果 $R_0>1$, 那么系统 (1.1) 的无感染平衡态 $E_0$ 是不稳定的, 这意味着系统 (1.1) 可能存在感染平衡态或者感染平衡态是持久存在的. 在本节中, 我们利用 Krasoselskii 不动点定理^[19]来证明系统 (1.1) 非平凡解的存在性. 记系统 (1.1) 的感染平衡态 $E^*=(T^*(x),L^*(x),I^*(a,x),V^*(x))$, 其满足下列状态方程

求解系统 (4.1) 可得

将 (4.2) 式代入到 $I^*(0,x)$ 表达式并写成下列不动点问题

其中

对于不动点问题 (4.3), 我们有如下结论

引理4.1 如果假设 2.1 成立, 那么算子 $\Psi$ 是正的和紧的.

证 由引理2.1 可知 $-[d_V\mathcal{L}-c(x)]^{-1}$ 是预解正的. 因此, 如果 $I^*(0,x)>0$, 那么有 $P_V[I^*](0,x)=-[d_V\mathcal{L}-c(x)]^{-1}\int_0^{\infty}B(a,x)\Pi(0,a)[I^*](0,x){\rm e}^{-\int_0^a(\sigma(x)+\delta(s,x)){\rm d}s}{\rm d}a>0$. 由系统 (4.1) 第一个方程可得

由引理2.1 可知 $-[d_T\mathcal{L}-\sigma(x)]^{-1}$ 是预解正的. 因此如果 $I^*(0,x)>0$, 那么可知 $T^*(x)>0,$$x\in\Omega$, 继而可得 $P_T[I^*](0,\cdot)>0$. 类似引理 3.2 中的证明, 易知当 $h\to 0$ 时算子 $\Psi$ 满足 $\| \Psi[\psi](x+h)-\Psi[\psi](x)\| _{\mathbb{Y}}\to 0$ (等度连续). 于是由 Kolmogorov 紧性定理[17]可知算子 $\Psi:\mathbb{Y}\to\mathbb{Y}$ 是紧的. 引理证毕.

定理4.1 若算子 $\Psi$ 如 (4.3) 式中定义, 那么算子 $\Psi$ 在 $\mathbb{Y}_+\setminus\{0\}$ 中有一个正的不动点.

证 注意到 $\Psi(0)=0,\Psi'(0)=\mathcal{R}$, 根据引理 4.1 可知算子 $\Psi$ 满足文献[16,命题 10.33] 中条件 (1) 和 (2). 再由 Krein-Rutman 定理可得 $R_0>1$ 是具有正特征向量 $\phi$ 的算子 $\mathcal{R}$ 的正特征值且算子 $\mathcal{R}$ 没有关于特征值为 1 的特征向量. 因此, 命题 10.33 中条件 (3) 和 (4) 同样也满足. 于是文献 [16,命题 10.33] 的结论可知算子 $\Psi$ 在 $\mathbb{Y}_+\setminus\{0\}$ 中至少存在一个非平凡的不动点. 定理证毕.

接下来我们讨论 $d_V=0$ 情形下系统 (1.1) 的正平衡态的渐近性质. 该情形下系统的正平衡态满足下列方程

其中 $W(x)=T(x)\int_{\Omega}\int_0^{\infty}\left[\alpha_I(a,x,y)+\frac{\alpha_V(x,y)B(a,y)}{c(y)}\right]I(a,y){\rm d}a{\rm d}y$. 为了方便后续讨论, 令 $\eta^0(d,\zeta)$ 是如下特征问题的主特征值

其中 $d>0,\zeta,\xi\in L^2(\mathbb{R}_+,\mathbb{Y})$. 显然主特征值 $\eta^0(d,\zeta)$ 关于 $d$ 和 $\zeta$ 是连续的. 求解 (4.5) 可得 $\psi(x)=\int_{\Omega}\int_0^{\infty}\zeta(a,x,y)G(a,y)[\psi](y){\rm d}a{\rm d}y,x\in\Omega$, 其中 $G(a,x)[\phi](x)=\exp\{-\int_0^a(\eta+\xi(\tau,x)){\rm d}\tau\}{\rm e}^{d\mathcal{L}_a}[\phi](x),\psi(x)=\phi(0,x)$. 继而有

其中 $\psi$ 是关于 $\eta^0(d,\zeta)$ 的特征函数, $G_0(a,\cdot)[\phi](\cdot)={\rm e}^{-\int_0^a\xi(\tau,\cdot){\rm d}\tau}{\rm e}^{d\mathcal{L}_a}[\phi](\cdot)$. 由文献[14,定理 2.8]可知 $\eta^0(d,\zeta)$ 关于 $d$ 是减函数且

其中 $\Pi_{\xi}(0,a)[\phi](y)=\exp\{-\int_0^a\xi(s,y){\rm d}s\}$. 此外, 如果存在 $\zeta_1>\zeta_2$ 使得对某些 $x\in\overline{\Omega}$ 有 $\eta^0(d,\zeta_1)>\eta^0(d,\zeta_2)$, 那么 $\eta^0(d,\zeta)$ 关于 $\zeta$ 是单增的.

令

是下列特征问题

的主特征值. 定义

于是可得如下引理

引理4.2$\eta^0_T$ 和 $r(\widetilde{\mathcal{R}}_{\eta=0})-1$ 具有相同的符号.

引理4.3 令 $\eta^0_T$ 如 (4.6) 中定义, 则下列非线性问题

具有如下性质:

(1) 如果 $\eta^0_T<0$, 那么系统 (4.7) 存在唯一的平凡解;

(2) 如果 $\eta^0_T>0$, 那么系统 (4.7) 存在不依赖时间 $t$ 的正解.

证 首先证明结论 (1). 假设结论 (1)不成立, 则系统 (4.7) 在 $\eta^0_T<0$ 时存在正解. 对系统 (4.7) 求解可得

如果 $\eta^0<0$, 由引理 4.2 可知 $\widetilde{R}_{\eta=0}[\phi]<1$, 从而可得 $\phi(0,x)=0$. 这与假设矛盾. 因此假设不成立. 结论 (1) 得证. 接下来, 证明 (2). 对任意的 $\phi\in\mathbb{Y}_+,x\in\Omega$. 令

显然对任意的 $\phi\in\mathbb{Y}$, 有 $\mathcal{R}^I[\phi]\le\widetilde{\mathcal{R}}_{\eta=0}[\phi]$ 成立. 由引理 4.1 可知非线性算子 $\mathcal{R}^I$ 是紧的和非支撑的. 再根据定理 4.1 结论可知算子$\mathcal{R}^I$ 在 $\mathbb{Y}_+\setminus\{0\}$ 中至少存在一个正不动点. 引理证毕.

定理4.2 令 $\eta^0_T$ 如 (4.6) 式中定义, 则下列结论成立

(1) 如果 $\eta^0_T<0$, 那么存在 $d^*_T>0,d^*_L>0$, 当 $d_T<d^*_T,d_L<d^*_L$ 时, 使得 (4.4) 式存在唯一的平凡解;

(2) 如果 $\eta^0_T>0$, 那么存在 $d^*_T>0,d^*_L>0$, 当 $d_T<d^*_T,d_L<d^*_L$ 时, (4.4) 式至少存在一个不依赖时间 $t$ 的正平衡态. 此外, 当 $d_T\to 0,d_L\to 0$ 时, 有 $(T(x),L(x),I(a,x),V(x))\to(T^*(x),L^*(x),\Pi_0(0,a)[I^*](0,x),V^*(x))$ 对 $x\in\Omega$ 一致成立, 其中

以及 $I^*(0,x)$ 是系统 (4.7) 的正解.

证 首先证明结论 (1). 注意到

是下列算子

的主特征值. 定理 3.1 的结论确保如果 $\eta^0<0$, 那么当 $d_T\to 0$ 时有 $T(t,\cdot)\to\frac{H(\cdot)}{\sigma(\cdot)}$ 成立. 因而当 $d_T\to 0,d_L\to 0$ 时

此外如果 $\eta^0_T<0$, 那么存在 $d^*_T,d^*_L$ 使得当 $d_T<d^*_T,d_L<d^*_L$ 时有 $r(\widetilde{\mathcal{R}}_{\eta=0})<1$ 成立. 由定理 3.1 可知当 $d_T<d^*_T,d_L<d^*_L$ 时 (4.4) 式没有正平衡态. 接下来证明结论 (2). 如果 $\eta^0_T>0$, 那么存在 $d_{T_*}>0,d_{L_*}>0$ 使得对任意的 $d_T<d_{T_*},d_L<d_{L_*}$ 有 $r(\widetilde{\mathcal{R}}_{\eta=0})>1$ 成立. 由定理 4.1 可知当 $d_T<d_{T_*},d_L<d_{L_*}$ 系统 (1.1) 存在一正解. 再由系统 (4.4) 的第一个方程可得 $-d_T[\mathcal{L}T]\le H(\cdot)-\underline{\sigma}T(\cdot)$. 因此有 $\| T\| _1\le\overline{H}/\underline{\sigma}$. 对系统 (1.1) 第二、三个方程关于 $x$ 求解可得 $\| I\| _{\mathbb{Z}}\le(1-\underline{\epsilon})\| H\| _1+\frac{\overline{\eta\epsilon}\| H\| _1}{\underline{\sigma}+\underline{\eta}},\| L\| _1\le\frac{\| H\| _1\overline{\epsilon}}{\underline{\sigma}+\underline{\eta}} $. 这说明 $T,L,I$ 是一致有界的, 从而 $V$ 也是一致有界的. 故存在序列 $\{d_{Tk}\},\{d_{Lk}\}$ 使得当 $d_{Tk}\to 0,d_{Lk}\to 0(k\to\infty)$ 时系统 (4.4) 的正解在 $L^p(\Omega)\times W^{2,p}(\mathbb{R}_+,\mathbb{Y})$ 中满足 $(T_k,L_k,I_k,V_k)$ 弱收敛于 $(T^*,L^*,I^*,V^*)$. 在 $C(\Omega)$ 中, $(T_k,L_k,I_k,V_k)$ 收敛于 $(T^*,L^*,I^*,V^*)$, 其中 $T^*,L^*$ 和 $V^*$ 如 (4.8) 式中所示以及 $I^*(0,x)$ 是系统 (4.7) 的一正解. 定理证毕.

本文构建了一类具有年龄结构和异质空间非局部扩散 HIV 潜伏感染动力学模型去研究个体扩散、感染年龄和空间异质环境对 HIV 在宿主体内感染进程的影响. 首先讨论了解的全局存在性、系统的耗散性和系统的正向不变集; 通过构建模型的一般更新方程得到模型下一代再生算子 $\mathcal{R}$, 继而根据下一代再生算子定义推导出模型的基本再生数 $R_0$ 的泛函表达式. 特别地, 由于模型的复杂性, 无法给出基本再生数的具体表达式. 因此, 在三种不同情形下给出模型基本再生数 $R_0$ 的具体表达式. 其次, 讨论了系统解关于阈值 $R_0$ 的动力学行为. 具体地, 当 $R_0>1$ 时, 无病平衡态是全局稳定的, 当 $R_0>1$ 时系统存在正平衡态. 最后, 为了研究正平衡态的渐近性质, 考虑 $d_V=0$ 情形下模型正平衡态的相关性质. 具体地, 如果 $\eta^0_T>0$, 那么存在 $d^*_T>0,d^*_L>0$, 当 $d_T<d^*_T,d_L<d^*_L$ 时 (4.4) 至少存在一个不依赖时间 $t$ 的正平衡态. 此外, 当 $d_T\to 0,d_L\to 0$ 时有 $(T(x),L(x),I(a,x),V(x))\to(T^*(x),L^*(x),\Pi_0(0,a)[I^*](0,x),V^*(x))$ 对 $x\in\Omega$ 一致成立. 值得提出的是, 本文所用的方法也可推广到研究其他具有年龄空间结构和非局部扩散的传染病模型中. 本文的不足之处在于并未考虑药物治疗和 HIV 筛查手段所带来的影响. 此外, 由于模型的特殊性, 我们无法利用现有的耗散系统的排斥理论和比较原理来证明系统的持久性. 这些都是我们未来工作内容的重点.