每隔一段时间会重复出现的现象称为周期现象, 这是自然界中一类常见的现象, 如海水的潮汐现象、钟表上的时针和四季变化现象等等. 但是, 我们发现两个周期函数相加, 未必是周期函数, 如 cos$x+{\rm cos}\pi x$. 在二十世纪二、三十年代, H Bohr 建立了概周期函数的理论. Zheng 等在文献 [29] 中证明了连续周期函数空间是概周期函数空间中的第一纲集. 从而说明了概周期函数要比周期函数 "多得多".关于概周期的相关文献,我们还可以参考文献[2,3,5⇓⇓⇓⇓-9,11].

当微分方程系数为概周期时, 次线性热方程的结果有很多,我们可以参考文献[1,4,12⇓⇓⇓⇓-17,20,21,23,25⇓-27]. 1973 年 Rao 在文献[18]中研究了

其中 $B$是 Banach 空间的有界线性算子, 证明了当 $p>1$时, 对连续的 $S^{p}$ 概周期函数 $f(t)$, 方程 (1:1) 的 $S^{p}$有界解是概周期解. 2017年Xie和Lei在文献 [22] 中研究了满足狄利克雷边界条件的次线性热方程

其中有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$, $\partial \Omega$ 是光滑的, $0<q<1$. 当 $f(x,t)$ 具有概周期性时, 则方程 (1.2) 的 $L^{\infty}(\Omega)$ 全局有界解是概周期解. 2009年Rossi在文献 [19] 中研究了

其中 $Lu=a_{ij}(x,t)\partial_{ij}u +b_{i}(x,t)\partial_{i} u+c(x,t)u$. 结果表明若 $f(x,t)$ 是概周期的, 且 $\lambda_{p}(-L)\geq 0$, $\lambda_{p}$ 是 $-L$ 的周期主特征值, 则方程(1.3)的有界解是概周期解. 2019年Xie和Lei在文献 [23] 研究了在整个实值上半线性抛物方程狄利克雷边界问题

其中有界域 $\Omega\subset \mathbb{R}$, 边界 $\partial \Omega$ 是 $C^{1}$, $g$ 在 $\Omega\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 上是可测函数. 定义函数

作者证明了若 $\sigma(\cdot, t, \cdot)$ 和 $g(\cdot, t, 0)$ 具有概周期性, 在 $g$ 满足一定的条件下, 则方程(1.4)存在概周期解. 而且Xie和Lei还考虑了线性情况

其中 $\lambda\in \mathbb{R}$, 且 $f\in L_{\rm loc}^{2}(\mathbb{R};L^{2}(\Omega))$. 证明了若 $f(x,t)$ 是概周期的, 则方程 (1.5) 的 $L^{2}(\Omega)$ 全局有界解是概周期解.

综上所述, $f(x,t)$是否具有概周期性, 对微分方程是否存在概周期解的影响很大. 在自然科学和社会科学中, 为满足科学研究和实践的需要, 概周期函数理论有一个非常重要的推广, 即 MFréchet^[10,11] 在研究带扰动的概周期运动时提出的渐近概周期函数. 渐近概周期函数是概周期函数加上 $C^0$ 扰动项形成的, 这使得其相似于概周期函数性质的研究更加复杂, 如渐近概周期函数的有界原函数是否是渐近概周期的研究. 然而, 得益于这一扰动项, 渐近概周期函数的适用范畴也更加广泛, 如其和微分方程以及稳定性理论相结合的研究.

受此启发, 在文献[22]的基础上, 若 $f(x,t)$ 的条件更弱, 即 $f(x,t)$ 具有渐近概周期性时, 本文研究了次线性热方程 (1.2) 渐近概周期解的存在唯一性.

我们得到如下主要结果

定理1.1 设 $f(x,t) \in L^{\infty}\left(\Omega \times \mathbb{R}\right)$, $L:=\inf\limits _{\Omega\times \mathbb{R}} f(x, t)>0$, 若 $f(x,t)$ 具有渐近概周期性, 则方程 (1.2) 存在唯一的渐近概周期解.

全文主要分为两部分：第一部分为预备知识和主要引理, 第二部分为主要定理的证明.

定义 2.1^[28] 设 $P\subset \mathbb{R}$, 若存在 $l>0$, 使得对任给的 $a \in \mathbb{R}$, $[a, a+l] \cap P \neq \phi$, 则称 $P$ 是 $\mathbb{R}$上的一个相对稠密子集.

定义 2.2^[28] 假设 $u:\mathbb{R} \to X$ 是连续函数, 若对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $\mathbb{R}$ 中的一个相对稠密子集 $P_{\varepsilon}$ 和一个有界子集 $C_{\varepsilon}$ 满足

则称 $u$ 为渐近概周期函数, 记作 $ u \in AAP(\mathbb{R},X)$.

注 2.1 本文主要结果中研究的空间为 $L^{\alpha}(\Omega)$, 其中 $\alpha>\frac{1}{1-q}$.

对于

给出上述方程弱解的定义之前, 我们先定义映射 $u:[T]\to H_{0}^{1}(\Omega)$

换句话说, 不把 $u$ 看成 $(x,t)$ 的函数, 而是看成 $t$ 到 $x$ 的函数空间 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 上的映射 $u$. 下面给出弱解的定义

定义 2.3^[8] 如果 $u$ 满足

(i) $u\in L^{2}(0,T;H_{0}^{1}(\Omega)),\ \frac{\partial u}{\partial t}\in L^{2}(0,T;H^{-1}(\Omega))$;

(ii) 对任意 $v\in H_{0}^{1}(\Omega)$, 对 ${\rm a.e.}\ t\in [T]$, 有

并且 $[u(0)](x)=g(x)$, 则称 $u$ 是方程(2.1)的弱解.

引理 2.1^[8] 若 $h(x,t)\in L^{2}(0,T;L^{2}(\Omega)),\ g(x)\in L^{2}(\Omega)$, 则方程(2.1)存在唯一弱解 $u(x,t)$, 并且 $u(x,t)$ 满足以下估计

其中 $C$ 仅依赖于 $\Omega,\ T$.

我们首先考虑如下时间变量在有限区间上的非线性问题

其中, $ g(x)\in L^2(\Omega)$ 在后面的证明中待定.

引理 2.2 若 $f(x,t)\in L^{\infty}(\Omega \times \mathbb{R})$, $L:=\inf \limits_{\Omega\times \mathbb{R}}f(x,t)>0$, 则方程 (2.2)存在弱解.

证 (i) 记开球 $ B_{r}(0):=\{x\in\mathbb{R}^{N}|\ |x|<r\}$. 选择充分大 $r>0$, 使得 $\Omega \subset\subset B_{r}(0)$. $\lambda_{1}, \lambda_{r1}$ 分别是 Laplace 算子 $-\Delta$在 $\Omega$ 与 $B_{r}(0)$ 上的第一特征值, 其对应的特征函数分别是 $\psi_{1}(x),\ \psi_{r1}(x)$. 并且 $\sup \limits _{x\in \Omega}|\psi_{1}(x)|=\sup \limits _{x\in \Omega}|\psi_{r1}(x)|=1$, 由强极值原理可知 $\gamma:=\inf\limits _{x\in \Omega}|\psi_{r1}(x)|>0$. 构造以下函数

其中

直接计算, 得到了以下结果

并且

令 $u_{0}=N(x)$, $h(x,t)=f(x,t)u_{0}^{q}$, 由于 $f(x,t)\in L^{\infty}(Q_{-\infty}^{+\infty})$, 可得 $f(x,t)u_{0}^{q}\in L^{2}(0,T;L^{2}(\Omega))$. 取 $g(x)=N(x)$, 由于 $\sup \limits _{x\in \Omega}|N(x)|\le \eta_{2}$, 因此 $N(x)\in L^{2}(\Omega)$. 由引理 2.1, 方程(2.1)存在唯一弱解 $u_{1}(x,t)$, 并且

相同地, 令 $h(x,t)=f(x,t)u_{1}^{q}$, 由 (2.6) 式可得 $f(x,t)u_{1}^{q}\in L^{2}(0,T;L^{2}(\Omega))$, 再次应用引理 2.1, 方程 (2.1) 存在唯一弱解 $u_{2}(x,t)$, 且使得 $f(x,t)u_{2}^{q}\in L^{2}(0,T;L^{2}(\Omega))$. 以此方式迭代, 得到 $\{u_{n}\}_{n=1}^{+\infty}$ 满足

即对于所有 $n=1, 2, \cdots, $ 对任意 $v\in H_{0}^{1}(\Omega)$, 有

(ii) 下面证明, 对 ${\rm a.e.}\ t\in [T]$, 有

先证明

由 (2.3), (2.8) 式可知, 对任意 $v\in H_{0}^{1}(\Omega)$, 有

两式相减, 取 $v:=\big(u_{0}-[u_{1}(t)](x)\big)^{+}\in H_{0}^{1}(\Omega)$ 有

由于

因此

可得

将上式在 $[T]$ 上对 $t$ 积分得

因此, 对 ${\rm a.e.}\ t\in [T]$, 有

特别地

假设对 ${\rm a.e.}$$t\in [T]$, 成立

由 (2.8)式可知, 对任意 $v\in H_{0}^{1}(\Omega)$, 有

两式相减, 并取 $v=\big([u_{n}(t)](x)-[u_{n-1}(t)](x)\big)^{+}\in H_{0}^{1}(\Omega)$, 有

同前面处理方法类似可得, 对 ${\rm a.e.}\ t\in[T]$, 有

以及

由数学归纳法可知 (2.9)式成立.

接下来证明对所有 $n=1, 2, \cdots$, 对 ${\rm a.e.}\ t\in [T]$, 有

当 $n=0$ 时, 由 (2.5) 式可知上式成立, 假设 $[u_{n-1}(t)](x)\leq M(x)$, ${\rm a.e.}$ 于 $\Omega$, 由 (2.4) 式和 (2.11) 式, 取 $v:=\big([u_{n}(t)](x)-M(x)\big)$ 有

与之前处理 (2.10) 式方法相同, 对 ${\rm a.e.}\ t\in [T]$, 有

以及

由 (2.12), (2.9)式得, 对 ${\rm a.e.}\ t\in (0,T)$, 包含端点 $t=0$ 与 $t=T$, 有

因此存在函数 $u^{(0)}$, 对 ${\rm a.e.}\ t\in [T]$, 有

由 Lebesgue 控制收敛定理可知

直接计算可知, $\{u_{n}\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $L^{2}(0,T;H_{0}^{1}(\Omega))$ 中有界, $\{\frac{\partial u_{n}}{\partial t}\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $L^{2}(0,T;H^{-1}(\Omega))$ 中有界, 于是存在子列 $\{u_{n_{k}}\}_{k=1}^{+\infty}$ 使得

(iii) 下面证明 $u^{(0)}$ 满足定义 2.3中的积分等式. 由弱解定义知, 对任意 $v\in H_{0}^{1}(\Omega)$ 有

任取 $\varphi(t)\in C_{0}^{\infty}(0,T)$, 用 $\varphi(t)$ 乘以上式, 然后在 $[T]$ 上关于 $t$积分得

使用 (2.14), (2.15) 和 (2.16)式可知当 $k\to \infty$时, 有

由 $\varphi(t)$ 的任意性, 以及 $C_{0}^{\infty}(0,T)$ 在 $L^{2}(0,T)$ 中的稠密性可知

(iv) 下证 $[u^{(0)}(0)](x)=N(x)$. 任取 $\varphi(t)\in C^{1}(0,T)$, 并且 $\varphi(T)=0$. 在(2.18)式两边同乘 $\varphi(t)$, 并在 $[T]$ 上对 $t$积分有

同理由 (2.17)式可得

由 (2.15)式可得

由(2.19), (2.20)式以及 $\varphi(0)v$ 的任意性可知 $ [u^{(0)}(0)](x)=N(x). $

接下来我们将 $u^{(0)}$ 延拓至 $\Omega\times[T,2T]$ 上. 实际上, 我们需考虑非线性问题

记 $u^{(T)}(x,t)=u(x,t+T)$, $f^{(T)}(x,t)=f(x,t+T)$, 将上述问题重新表述为

比较问题 (2.2), 区别仅在初值条件的性质有差异, 由于 $N(x)\leq [u^{(0)}(T)](x)\leq M(x)$, ${\rm a.e.}$ 于 $\Omega$, 由引理 2.2, 可以得到问题 (2.21) 的弱解. 因此以同样地方式, $u^{(0)}$ 可以延拓至 $\Omega\times[3T]$ 上, 由于该延拓过程与 $T$ 的大小无关, 故这样的延拓可以无限次地进行下去, 进而推得 $u^{(0)}$ 可以延拓至 $\Omega\times \mathbb{R}$. 因此, 我们得到如下引理

引理 2.3 若 $f(x,t)\in L^{\infty}(\Omega \times R)$, $L:=\inf\limits_{\Omega\times R}f(x,t)>0$, 则方程 (1.2) 存在弱解 $u\in L^{\infty}$$\big(-\infty,+\infty;L^{\infty}(\Omega)\big)\cap C\big((-\infty,+\infty);L^{2}(\Omega)\big)\cap L_{\rm loc}^{2}\big(-\infty,+\infty;H_{0}^{1}(\Omega)\big)$.

引理 2.4 方程 (1.2) 至多存在一个弱解.

证 反证, 若 $u$ 与 $\bar{u}$均是方程 (1.2) 的弱解, 记

对于 $\alpha>\frac{1}{1-q}$, 有

注意到

由 Cauchy 不等式知

因此

结合 (2.22), (2.23) 式知

由Poincaré不等式得

其中 $C_{0}>0$ 仅与 $N,\ \Omega$ 相关

现证唯一性. 假设 $u\neq\bar{u}$, 不妨设 $u\geq \bar{u}$, 则存在 $(x,t_{0})\in \Omega \times \mathbb{R} $, 使得 $u(x,t_{0})>\bar{u}(x,t_{0})$, 则

考虑常微分方程

解得

由常微分比较原理可得

与 $\|\omega(\cdot,t)\|_{L^{\alpha}(\Omega)}^{\alpha}$ 的有界性不一致, 则 $u=\bar{u}$.

下面寻找方程 (1.2) 的渐近概周期解, 由渐近概周期的定义, 需证明对任意 $\varepsilon>0$, 存在有界子集 $C_{\varepsilon}$, 使得 $P_{\varepsilon}=\{\tau\in \mathbb{R}|\sup\limits _{t \in \mathbb{R} \backslash C_{\varepsilon}}\|u(\cdot,t+\tau)-u(\cdot,t)\|_{L^{\alpha}(\Omega)}<\varepsilon, \ \ t,\ t+\tau\in \mathbb{R}\backslash C_{\varepsilon}\}$ 在 $\mathbb{R}$ 中相对稠密, 再由 $f(x,t)$ 的渐近概周期性导出弱解 $u(x,t)$的渐近概周期性, 为此, 设 $G\subset \mathbb{R}$ 有界, 下面需要构造估计 $\sup\limits _{t \in \mathbb{R} \backslash G}\|u( \cdot,t+\tau)-u( \cdot,t)\|_{L^{\alpha}(\Omega)} \leq C\sup\limits _{t \in \mathbb{R} \backslash G }\|f( \cdot,t+\tau)-f(\cdot,t)\|_{L^{\alpha}(\Omega)}.$

定理1.1的证明 设 $u(x,t)$ 是方程 (1.2) 的弱解, 记 $v(x, t)=u(x, t+\tau)$, 其中 $\tau$ 是参量, $v(x,t)$是下面方程的弱解

令

对于 $\alpha>\frac{1}{1-q}$, 有

取 $\mathbb{R}$ 中任意有界子集 $G$, 记

类似于(2.22)和 (2.23)式, 有

于是

记 $ C_{1}=\frac{4(-q \alpha+\alpha-1)}{C_{0} \alpha(1-q)},\ C_{2}=\alpha(1-q)$, 则

下面证明

我们使用反证法. 假设上式不成立, 则存在 $ t_{0} \in \mathbb{R} \setminus G$, 使得

考虑常微分方程

记 $\delta_{0}=-C_{1}y^{\frac{1}{\alpha}}(t_{0})+C_{2}F_{\tau,G}$, 由(3.2)式有

解得

当 $t \leq t_{0}$ 时, 由常微分比较原理有

所以 $ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \leq \delta_{0} \cdot y^{\frac{\alpha-1}{\alpha}}.\nonumber $ 对上式两边在 $(t,t_{0})$ 上积分, 有

得到

则

即

这与 $\|\xi(\cdot,t)\|_{L^{\alpha}(\Omega)}^{\alpha}$ 的有界性矛盾, (3.1)式得证. 由微分中值定理有

因此有

令 $C^{\prime}=\frac{\eta_{2}^{q}}{1-q}\cdot \frac{C_{2}}{C_{1}}>0$, 即得到

若 $f(x,t)$ 是渐近概周期函数, 由定义 2.2, 对于任意 $\varepsilon>0$, 存在有界集 $C_\frac{\varepsilon} {C^{\prime}}\subset \mathbb{R}$, 使得 $P_{\frac{\varepsilon} {C^{\prime}}}$ 在 $\mathbb{R}$ 中相对稠密, 其中

记 $\bar{C_{\varepsilon}}=G=C_{\frac{\varepsilon} {C^{\prime}}}$, 令

对于任意 $\tau\in P_{\frac{\varepsilon} {C^{\prime}}}$, 有 $t$, $t+\tau\in \mathbb{R}\setminus\bar{C}_{\varepsilon}$, 并且有

因此 $P_{\frac{\varepsilon}{C^{\prime}}}\subset \bar{P}_{\varepsilon}$, 由于 $P_{\frac{\varepsilon}{C^{\prime}}}$ 在 $\mathbb{R}$中相对稠密, 则 $\bar{P}_{\varepsilon}$也在 $\mathbb{R}$ 中相对稠密, 即 $u$ 是渐近概周期解.

注 3.1 当 $f$ 具有渐近概周期性时, 我们证明了方程 (1.2) 弱解是渐近概周期解. 又因为方程 (1.2) 的弱解是唯一的, 则得到的方程 (1.2) 的渐近概周期解也是唯一的.