$p$-adic 动力系统属于非阿基米德动力系统和代数动力系统的研究范围. 非阿基米德动力系统相较于经典的阿基米德动力系统的有许多更加良好的性质和独特的现象, 加之在计算机科学、理论物理学等领域的应用, 近年来逐渐成为研究热点^{[1],[2],[3],[4],[5]}; 代数动力系统主要关心与多项式有关自映射的动力学行为, 其与复动力系统、代数几何、数论等有着深刻联系^{[6],[7],[8],[9]}.

在一定条件下, $p$-adic 动力系统中的极小性蕴含着唯一遍历性 (遍历测度为 Haar 测度) 等许多良好性质^[10]. 因此有关极小性的研究, 一直以来都是 $p$-adic 动力系统中的一个重要课题, 许多学者如 Fan 等人在这方面做了许多重要工作^{[11],[13],[14],[12]}. 2011 年 Fan 和 Liao^[12] 证明了 $\mathbb{Z}_p$ 上的多项式极小分解定理, 即对于一个次数大于等于 $2$ 的多项式而言, 根据各个点在其迭代下的行为可把 $\mathbb{Z}_p$ 分为至多有限个周期点、至多可数个极小分支和吸引域三部分. 需要指出的是, $\mathbb{Z}_p$ 上次数为 $1$ 的多项式 (即仿射) 迭代行为虽不能被极小定理所描述, 但已经于 2007 年被 Fan, Li, Yao 和 Zhou^[13] 完全刻画.

极小分解定理被提出后, 人们做了许多具体的工作^{[15],[16],[17],[18],[19],[20]}. 这些工作主要关心两个问题, 一是给定一类具体的多项式动力系统 $(\mathbb{Z}_p,f)$, 它的全体极小块有哪些; 二是给定素数 $p$, 使得系统 $(\mathbb{Z}_p,f)$ 极小的多项式 $f$ 有哪些.

Furstenberg 等人早年研究了半群动力系统, 做了一系列工作并由此给出了著名的 Szemeredi 定理的一个动力系统版本的证明^{[12],[21],[22],[23]}. 这说明研究半群动力系统是非常有意义的. 关于非阿基米德域上的离散群和相关动力系统的极限集已经有许多研究结果^{[5],[24],[25],[26],[27],[28],[29],[31],[30]}, 例如, Yang 和 Xiao ^[31] 研究了无限个压缩映射生成的满足开平铺条件的半群的极限集的动力学性质. 但是如前所述, 目前关于$\ \mathbb{Z}_p$ 上极小性的进展大多考虑单个映射迭代生成的动力系统, 本文将研究 $\mathbb{Z}_p$ 上仿射半群动力系统的与极小性相关的一些问题.

若 $G$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 上某些仿射在映射复合运算下构成的半群, 则称$\ (\mathbb{Z}_p,G)$ 是一个仿射半群动力系统. 对于 $\mathbb{Z}_p$ 中一点$\ z$ 而言, 其在 $G$ 下的轨道定义为

若 $\mathbb{Z}_p$ 任何一点的轨道都稠密，即对任何的 $z \in \mathbb{Z}_p$, 有 $\overline{orb(z,G)}=\mathbb{Z}_p$, 则称半群系统$\ (\mathbb{Z}_p,G)$ 是极小的. 若 $E \subset \mathbb{Z}_p$ 是一个非空闭子集, 且是 $G$-不变的, 即对于任意的 $z \in E, f \in G$, 有$\ f(z) \in E$, 则 $(E,G)$ 可以视作一个新的动力系统, 称为$\ (\mathbb{Z}_p,G)$ 的一个子动力系统. 若 $(E,G)$ 作为子系统而言是极小的, 则称 $E$ 为 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 的一个极小集 (或极小块).

本文的第一个工作是讨论了 $G$ 是由 $\mathbb{Z}_p$ 上两个交换仿射生成的半群时, $(\mathbb{Z}_p,G)$ 的所有极小块. 具体而言, 对任意的$\ \alpha_i,\beta_i\in\mathbb{Z}_p\ (i=1,2)$, 定义 $f_{\alpha_i,\beta_i}(z)=\alpha_i z+\beta_i$, 令 $G$ 为 $\{f_{\alpha_1,\beta_1},f_{\alpha_2,\beta_2}\}$ 生成的半群, 其中 $f_{\alpha_1,\beta_1}$ 和 $f_{\alpha_2,\beta_2}$ 满足

也就是说

对于任意的 $p,\alpha_i,\beta_i\ (i=1,2)$, 我们完整地刻画了 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 的所有极小块 (详见定理 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 5.1, 5.2). 进一步, 找出了 $\mathbb{Z}_p$ 上所有两个交换生成元的极小仿射半群系统.

定理1.1 $p\geqslant 3$ 时, 由两个交换仿射$\ f_{\alpha_1,\beta_1}$, $f_{\alpha_2,\beta_2}$ 生成的半群系统$\ (\mathbb{Z}_p,G)$ 是极小系统的充要条件是系统$\ (\mathbb{Z}_p,f_{\alpha_1,\beta_1})$ 或$\ (\mathbb{Z}_p,f_{\alpha_2,\beta_2})$ 极小.

定理1.2 $p=2$ 时, 由两个交换仿射$\ f_{\alpha_1,\beta_1}$, $f_{\alpha_2,\beta_2}$ 生成的半群系统$\ (\mathbb{Z}_2,G)$ 是极小系统有且仅有以下四种情况

(1) 系统 $(\mathbb{Z}_2,f_{\alpha_1,\beta_1})$ 或$\ (\mathbb{Z}_2,f_{\alpha_2,\beta_2})$ 极小;

(2) $\alpha_1=-1$, $\alpha_2\in\mathbb{U}_2 \backslash \mathbb{U}_3$, $\beta_1\in\mathbb{U}$, $v_2(\beta_2)=1$;

(3) $\alpha_1=-1$, $-1\neq \alpha_2\in\mathbb{U}_1\backslash\mathbb{U}_2$ 且$\ v_2(1+\alpha_2)=2$, $\beta_i\in\mathbb{U}\ (i=1,2)$;

(4) $\alpha_1\in\mathbb{U}_2\backslash\mathbb{U}_3$, $-1\neq \alpha_2\in\mathbb{U}_1\backslash\mathbb{U}_2$, $v_2(\beta_1)=1$, $\beta_2\in\mathbb{U}$.

这里 $\mathbb{U}:=\{z\in\mathbb{Z}_p: |z|_p=1\},\ \mathbb{U}_n:=1+p^n\mathbb{Z}_p.$

若仿射半群系统 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 是极小的, 则称 $G$ 为 $\mathbb{Z}_p$ 上的一个极小 (仿射) 半群. 设 $f \in G$ 为一仿射, 若动力系统$\ (\mathbb{Z}_p,f)$ 是极小的, 则称 $f \in G$ 为 $\mathbb{Z}_p$ 的一个极小 (仿射) 元. 易见, 包含极小元的半群必然是极小半群. 因此, 我们总是对不包含的极小元的极小仿射半群感兴趣, 这类半群我们称为弱本质极小半群. 此外, 设 $S$ 是一个由若干仿射映射组成的集合, 若由 $S$ 生成的半群 $G$ 是极小的, 并且由 $S$ 的任何真子集生成的半群都不是极小的, 则称集合 $S$ 为本质极小生成集.

本文的第二个工作是研究了 $\mathbb{Z}_p$ 上弱本质极小半群的一些性质. 我们证明 $p\geqslant 3$ 时 $\mathbb{Z}_p$ 上不存在交换的弱本质极小仿射半群 (详见定理 6.2). 需要指出的是, $p=2$ 时这个结论不对. 事实上, 本文第一部分工作中 (定理 1.2) 提供了直接的反例 (详见例 6.1).

给定素数 $p$, 记 $m(p)$ 为 $\mathbb{Z}_p$ 上弱本质极小仿射半群的最少生成元个数, 这源于我们想知道在不同的拓扑下, 至少需要多少仿射运算才可以 "跑遍" 整个空间. 经过研究, 我们得到 $m(2)=2,m(3)=3$ 且对于一般的 $p$ 有 $2 \leqslant m(p) \leqslant p$ (详见例 6.2 和定理 6.4). 同时, 给出了一个本质极小生成集的例子 (详见例 6.2).

设 $p$ 为一素数, 对任意 $n\in\mathbb{Z}\backslash \{0\}$, $n$ 的赋值定义为

$v_p(n)=\max\{r\geqslant 0:p^r|n\}.$ 一般地, 记 $v_p(0)=+\infty$. 对于$\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\ (a,b\in\mathbb{Z})$, $\frac{a}{b}$ 的 $p$-adic 赋值定义为

对于 $x\in\mathbb{Q}$, 定义$\ |x|_p=p^{-v_p(x)}$. 经验证, $\ |\cdot|_p$ 为 $\mathbb{Q}$ 上的非阿基米德绝对值. 对于给定的非阿基米德空间$\ (\mathbb{Q}, |\cdot|_p)$, 构造它的完备化$\ (\mathbb{Z}_p, |\cdot|_p)\ $和$\ (\mathbb{Q}_p, |\cdot|_p)$, 其中$\ \mathbb{Z}_p\ $表示整数集合$\ \mathbb{Z}\ $关于$\ |\cdot|_p\ $的拓扑完备化, $\mathbb{Q}_p\ $表示有理数集合$\ \mathbb{Q}\ $关于$\ |\cdot|_p$ 的拓扑完备化.

对任意的 $a\in\mathbb{Z}_p, r > 0$, 记 $B(a, r)^-:=\{z\in\mathbb{Z}_p: |z - a|_p<r\}$ 为以 $a$ 为球心、半径为 $r$ 的开球, 记 $\overline{B}(a, r):=\{z \in\mathbb{Z}_p : |z - a|_p \leqslant r\}$ 为以 $a$ 为球心、半径为 $r$ 的闭球, 则 $B(a, r)^-$ 和 $\overline{B}(a, r)$ 都是既开又闭集. 并且球内每一个点都是球心, 即, 若 $x\in B(a, r)^-$, 则 $B(a, r)^-= B(x, r)^-$ (对闭球同理). 此外, 若 $\mathbb{Z}_p$ 上球 $B_1$ 和 $B_2$ 有非空交集, 则 $B_1\subset B_2$ 或 $ B_2\subset B_1$.

在保持整数运算的加法和乘法下, $\mathbb{Z}_p\ $为一个整环, 且有唯一极大理想

其单位群为

对于任意自然数$\ n$, 记

不失一般性, 记$\ \mathbb{U}_0=\mathbb{U}$, 那么$\ \mathbb{U}_n\ $为$\ \mathbb{U}\ $的乘法子群.

在 $p$-adic 中指数和对数函数的定义为

下列是 $\mathbb{Z}_p$ 中一些的结果, 后文中我们将会用到.

引理2.1^[13] 对任意的 $z \in \wp^{r_p}$, 有

其中

引理2.2^[13]

(1)

为从$\ \mathbb{U}_1\ $到$\ \mathbb{Z}_p\ $的拓扑群同构.

(2)

为从 $ \mathbb{Z}_2$ 到 $\mathbb{U}_2$ 上的拓扑群同构.

引理2.3^[13]

令$\ n\geq 1\ $为任意整数, $\alpha\in\mathbb{U}_1$.

(1) 若$\ p \geqslant 3$, 则

(2) 当$\ p=2\ $时, 有下列两种情况

(a) 若$\ \alpha \in \mathbb{U}_2$, 则 $\ v_2(\alpha^n-1)=v_2(n)+v_2(\alpha-1)$;

(b) 若$\ \alpha \in \mathbb{U}_1 \backslash \mathbb{U}_2$, 有以下两种情况

(i) 若$\ n\ $是偶数, 则 $\ v_2(\alpha^n-1)=v_2(n)+v_2(\alpha+1)$;

(ii) 若$\ n\ $是奇数, 则$\ v_2(\alpha^n-1)=v_2(n)+v_2(\alpha-1)$.

设 $f_{\alpha,\beta}\ (\alpha,\beta \in \mathbb{Z}_p)$ 为 $\mathbb{Z}_p$ 上的一个仿射变换, 即对任意的 $z \in \mathbb{Z}_p$,有$\ f_{\alpha,\beta}(z)=\alpha z+\beta$. 2007 年, Fan 等人详细讨论了 $(\mathbb{Z}_p,f_{\alpha,\beta})$ 的极小块, 即得到了以下两个定理

定理3.1 ^[13] $p \geqslant 3$ 时, 我们有

(1) 若 $\alpha \in \wp$, 则单点集 $\{\beta /(1-\alpha)\}$ 是 $(\mathbb{Z}_p, f_{\alpha, \beta})$ 唯一的极小块;

(2) 若 $\alpha \in \mathbb{U}$, $v_p(\beta)<v_p(1-\alpha)$, 则 $(\mathbb{Z}_p, f_{\alpha, \beta})$ 有 $p^{v_p(\beta)}\ $ 拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_p, f_{1, 1})$ 的极小块;

(3) 若 $\alpha \in \mathbb{U}$, $v_p(\beta) \geqslant v_p(1-\alpha)$, 则 $(\mathbb{Z}_p, f_{\alpha, \beta})$ 拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}_p, f_{\alpha, 0})$. 此时, 所有的$\ p^n \mathbb{U} \ (n \geqslant 0)$ 是 $f_{\alpha, 0}$- 不变的并且为 $\mathbb{Z}_p$ 的一个划分. 此外, 所有的 $(p^n \mathbb{U}, f_{\alpha, 0}|_{p^n \mathbb{U}})$ 是相互拓扑共轭的. 对于 $(\mathbb{U},f_{\alpha, 0}|_{\mathbb{U}})$, 我们需要讨论以下两种情况

(a) 若 $\alpha=1$, $\mathbb{U}$ 的每一个单点集都为$\ (\mathbb{U}, f_{\alpha, 0}|_{\mathbb{U}})$ 的极小块;

(b) 令 $\alpha \neq 1$, $\ell$ 是使 $\alpha^{\ell} \equiv 1(\bmod \ p)$ 成立的最小的 $\geqslant 1$ 的整数.

(i) 若 $\alpha \in \mathbb{V}$, 则所有的 $\mathbb{V} z \ (z \in \mathbb{U}_1)$ 是 $f_{\alpha, 0}$-不变的并构成 $\mathbb{U}$ 的一个划分. 此外所有的 $(\mathbb{V} z, f_{\alpha, 0}|_{\mathbb{V}z})$ 是相互拓扑共轭的, 并且它有 $(p-1) / \ell$ 个拓扑共轭于 $(\mathbb{Z} / \ell \mathbb{Z}, D)$ 的极小块, 其中 $D$ 的定义为对任意的 $m \in \mathbb{Z}$, $\bar{m}:=m+\ell \mathbb{Z}$, $D(\bar{m}):=\bar{m}+\overline{1}$;

(ii) 若 $\alpha \notin \mathbb{V}$, 则$\ (\mathbb{U}, f_{\alpha, 0} \mid _{\mathbb{U}})$ 有 $ p^{v_p(\alpha^{\ell}-1)-1}(p-1) / \ell$ 个拓扑共轭于$\ ((\mathbb{Z} / \ell \mathbb{Z}) \times$ $ \mathbb{Z}_p, D \times f_{1, 1})$ 的极小块.

定理3.2^[13] $p=2\ $ 时, 我们有

(1) 若 $\alpha \in \wp$, 则单点集 $\{\beta /(1-\alpha)\}$ 是$\ (\mathbb{Z}_2, f_{\alpha, \beta})$ 唯一的极小块;

(2) 若 $\alpha \in \mathbb{U}=\mathbb{U}_1$, $v_2(\beta)<v_2(1-\alpha)$, 则有下列三种情况

(a) 若 $\alpha=-1$, 则点集 $\{z, -z+\beta\}$ 是 $(\mathbb{Z}_2, f_{\alpha, \beta})$ 的极小块;

(b) 若 $\alpha \in \mathbb{U}_2$, 则 $(\mathbb{Z}_2, f_{\alpha, \beta})$ 有 $2^{v_2(\beta)}$ 个拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}_2, f_{1, 1})$ 的极小块;

(c) 若 $-1 \neq \alpha \in \mathbb{U}_1 \backslash \mathbb{U}_2$, 则 $(\mathbb{Z}_2, f_{\alpha, \beta})$ 有$\ 2^{v_2(1+\alpha)-1}$ 个拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}_2, f_{1, 1})\ $ 的极小块.

(3) 若 $\alpha \in \mathbb{U}$, $v_2(\beta) \geqslant v_2(1-\alpha)$, 则 $(\mathbb{Z}_2, f_{\alpha, \beta})$ 拓扑共轭于 $\ (\mathbb{Z}_2, f_{\alpha, 0})$. 所有的 $2^n \mathbb{U}\ (n \geqslant 0)$ 是 $f_{\alpha, 0}$-不变的并构成 $\mathbb{Z}_2$ 的一个划分. 此外, 所有的 $(2^n \mathbb{U}, f_{\alpha, 0}|_{2^n \mathbb{U}})$ 是相互拓扑共轭的. 对于 $(\mathbb{U}, f_{\alpha, 0}|_{\mathbb{U}})$, 我们需要讨论以下四种情况

(a) 若 $\alpha=1$, $\mathbb{U}$ 的每一个单点集都为$\ (\mathbb{U}, f_{\alpha, 0} \mid_{\mathbb{U}})$ 的极小块;

(b) 若 $\alpha=-1$, 则集合 $\{z, -z\}\ (z \in \mathbb{U})$ 为 ($\mathbb{U}, f_{\alpha, 0} \mid_{\mathbb{U}}$) 的极小块;

(c) 若 $\alpha \in \mathbb{U}_2 \backslash\{1\}$, 则 $(\mathbb{U}, f_{\alpha, 0} \mid_{\mathbb{U}})$ 有 $\ 2^{v_2(\alpha-1)-1}$ 个拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}_2, f_{1, 1})$ 的极小块;

(d) 若 $\ -1 \neq \alpha \in \mathbb{U}_1 \backslash \mathbb{U}_2$, 则 $(\mathbb{U}, f_{\alpha, 0} \mid_{\mathbb{U}})$ 有 $2^{v_2(\alpha+1)-1}$ 个拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_2, f_{1, 1})$ 的极小块.

由 (1.1) 式可得 $f_{\alpha_1,\beta_1}$ 和 $f_{\alpha_2,\beta_2}$ 不动点相等, 记为 $\gamma=\beta_1/(1-\alpha_1)=\beta_2/(1-\alpha_2)$. 不失一般性, 若 $\alpha_1=1$ 或 $\alpha_2=1$, 记 $\gamma=\infty$. 本节将讨论不动点 $\gamma\in\mathbb{Z}_p$, $\gamma\in\mathbb{Q}_p\backslash \mathbb{Z}_p$ 和 $\gamma=\infty$ 这三种情况下 $(\mathbb{Z}_p,G)\ (p \geqslant 3)$ 极小块的情况.

首先考虑 $\gamma\in\mathbb{Q}_p\backslash \mathbb{Z}_p$ 的情况. 令$\ k=\min \{v_p(\beta_1), v_p(\beta_2)\}$.

定理4.1 若 $\gamma\in\mathbb{Q}_p\backslash \mathbb{Z}_p$ 时, 则 $ (\mathbb{Z}_p,G)$ 有 $p^k$ 个极小块 $\mathbb{A}_j$, 其中$\ \mathbb{A}_j:=j+p^k \mathbb{Z}_p\ (0\leqslant j<p^k)$.

证 由 $\gamma\in\mathbb{Q}_p\backslash \mathbb{Z}_p$ 知 $\beta_i\neq 0 \ (i=1,2)$, $v_p(1-\alpha_i)\geqslant 1$, i.e. $\alpha_i\in\mathbb{U}_1 \ (i=1,2)$. 对任意的 $z\in\mathbb{Z}_p$, 有

又 $v_p(\alpha_i-1)>v_p(\beta_i) \geqslant k$ 知 $\alpha_iz+\beta_i p^{-k}+(\alpha_i-1)p^{-k}j \in \mathbb{Z}_p$, 则 $\mathbb{A}_j\ (0 \leqslant j<p^k)$ 是 $G$-不变的. 不失一般性, 不妨设 $v_p(\beta_1)=k$, 由定理 3.1(2) 知每一个$(\mathbb{A}_j, f_{\alpha_1,\beta_1}|_{\mathbb{A}_j})$ 是极小的. 注意到, 对任意的 $x \in \mathbb{A}_{j}$, 有 $orb(x,f_{\alpha_1,\beta_1})\subset orb(x,G)$. 故 $(\mathbb{A}_j,G|_{\mathbb{A}_j}) \ (0\leqslant j<p^k)$ 是极小的.

下面考虑 $\gamma=\infty$ 时, $(\mathbb{Z}_p,G)$ 的极小块.

定理4.2 若 $\gamma=\infty$ 时, 则 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 有 $p^k$ 个极小块$\ \mathbb{A}_j$, 其中 $\mathbb{A}_j:=j+p^k \mathbb{Z}_p\ (0\leqslant j<p^k)$.

证 由 $\gamma=\infty$ 知 $\alpha_1=1$, $\alpha_2=1$. 不妨设$\ \beta_1\leqslant \beta_2$, 则

故 $(\mathbb{A}_j,G|_{\mathbb{A}_j}) \ (0\leqslant j<p^k)$ 是极小的.

最后考虑 $\gamma\in\mathbb{Z}_p$ 时, $(\mathbb{Z}_p,G)$ 的极小块. 当 $\gamma\in\mathbb{Z}_p$ 时, 对任意的 $z\in\mathbb{Z}_p$, 定义$\ \varphi(z)=z+\gamma$. 易知 $\varphi$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 上的自同胚. 由于

故 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}_p,G')$, 其中 $ G'=\{f_{\alpha_1,0}^m \circ f_{\alpha_2,0}^n: m,n \in \mathbb{N}\}.$ 下面只需考虑 $(\mathbb{Z}_p,G')$.

定理4.3 若 $\alpha_1\in \wp$ ($\alpha_2 \in \wp$, resp.), 则单点集 $\{0\}$ 是 $(\mathbb{Z}_p, G')$ 的唯一的极小块.

证 注意到 $f_{\alpha_i,0}(0)=0 $, 故单点集 $\{0\}$ 是 $G'$-不变的, 从而是极小的. 同时, 由于 $\alpha_1 \in \wp$, 则 $f_{\alpha_1,0}$ 是压缩的, 则对任意的$\ z \in \mathbb{Z}_p$, 有 $0 \in \overline{orb(z,f_{\alpha_1,0})}$, 故$\ 0 \in \overline{orb(z,G')}$, 所以 $\{0\}$ 是 $(\mathbb{Z}_p,G')$ 的唯一极小块.

当 $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{U}$ 时, 不难注意到$\ p^n\mathbb{U}\ (n\geqslant 0)$ 是 $G'$-不变的且构成 $\mathbb{Z}_p$ 的一个划分. 定义 $f_n(z)=p^{-n}z\ (\forall z\in p^n\mathbb{U},\ n\geqslant 0)$, 则 $f_n$ 是 $p^n\mathbb{U}$ 到 $\mathbb{U}$ 的同胚且与 $G'$ 中映射都交换, 故 $(p^n \mathbb{U},G'|_{\mathbb{U}})$ 是相互拓扑共轭的. 因此我们只需要讨论 $(\mathbb{U},G'|_{\mathbb{U}})$ 的极小块.

由于 $\mathbb{U}=\mathbb{V}\cdot \mathbb{U}_1$. 对于$\ \alpha_1,\alpha_2,z \in \mathbb{U}$, 存在 $v_1,v_2, z_{\mathbb{V}} \in \mathbb{V}$, $u_1,u_2,z_{\mathbb{U}} \in \mathbb{U}_1$ 使得 $\ \alpha_i=v_i u_i \ (i=1,2)$ 且 $z=z_{\mathbb{V}}z_\mathbb{U}$, 对任意的$\ x\in \mathbb{V}$, $y\in \mathbb{U}_1$, $z\in \mathbb{U}$, 定义 $ f_{v_i}(x)=v_i x$, $f_{u_i}(y)=u_i y$, $g(z)=(z_{\mathbb{V}},z_{\mathbb{U}})$, 则

则 $(\mathbb{U},G^{'}|_\mathbb{U})$, 拓扑共轭于 $(\mathbb{V} \times \mathbb{U}_1,<f_{v_1}\times f_{u_1},f_{v_2} \times f_{u_2}>)$. 所以下面分别考虑 $(\mathbb{V}, <f_{v_1},f_{v_2}>)$ 和$\ (\mathbb{U}_1,<f_{u_1},f_{u_2}>)$.

令 $\ell_i$ 是使 $v_i^{\ell_i}=1\ (i=1,2)$ 成立的最小的 $\geqslant 1$ 的整数, $s_i=\frac{p-1}{\ell_i}$, $d=\gcd (s_1,s_2)$. 关于$\ (\mathbb{V}, <f_{v_1},f_{v_2}>)$ 有下面引理成立.

引理4.1 $(\mathbb{V},<f_{v_1},f_{v_2}>)$ 有 $d$ 个拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z},<D_1,D_2>)$ 的极小块, 其中 $D_1$ 和 $D_2$ 的定义分别为对任意的 $m\in\mathbb{Z}$, $\overline{m}=m+\frac{p-1}{d}\mathbb{Z}$, $D_1(\overline{m})=\overline{m}+\overline{s_1/d}$, $D_2(\overline{m})=\overline{m}+\overline{s_2/d}$.

证 由 $\mathbb{V}$ 同构于 $\mathbb{F}_p^{\times}$ 知 $\ell_i$ 也是使得$\ \alpha_i^{\ell_i}\equiv 1(\bmod\ {p})$ 成立的 $\geqslant 1$ 的最小整数. 因为乘法群 $\mathbb{V}$ 是 $p-1$ 阶循环群, 所以 $\ell_i$ 整除$\ p-1$ 并且能找到 $\mathbb{V}$ 的一个生成元 $\theta$ 使得 $v_i=\theta^{s_i}$ 成立, 其中 $s_i:=\frac{p-1}{\ell_i} \ (i=1,2)$.

对于任意的 $m\in \mathbb{Z}$, 定义 $\omega (m):=\theta^m$, 那么$\ \omega :\mathbb{Z}\to \mathbb{V}$ 是从加法群 $\mathbb{Z}$ 到乘法群$\ \mathbb{V}$ 的一个满同态. 易知 $\omega$ 的核为$\ \ker(\omega)=(p-1)\mathbb{Z}$, 由此导出一个从$\ \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{V}$ 的一个同构 $\varpi$, 这里 $\varpi$ 的定义为 $\forall m\in \mathbb{Z}$, $\widetilde{m}:=m+(p-1)\mathbb{Z}$, $\omega(\widetilde{m}):=\theta^m$. 因此, $(\mathbb{V},f_{v_i})$ 拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z},D_{s_i}) \ (i=1,2)$, 这里 $\forall m\in \mathbb{Z}$, $D_{s_i}(\widetilde{m}):=\widetilde{m}+\widetilde{s_i}, $. 故$\ (\mathbb{V},<f_{v_1},f_{v_2}>)$ 拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z},<D_{s_1},D_{s_2}>)$.

下面我们分析 $(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z},<D_{s_1},D_{s_2}>)$. 对任意的 $\widetilde{x}\in\mathbb{Z}/(p-1)$, $\widetilde{x}$ 在 $<D_{s_1},D_{s_2}>$ 下的轨道为

由裴蜀定理, 存在 $u,v \in \mathbb{Z}$ 使得 $us_1+vs_2=gcd(s_1,s_2)=:d$, 所以能找到 $u',v'\in \mathbb{N}$ 使得$\ \widetilde{u's_1}+\widetilde{v's_2}=\widetilde{d}$, 从而 $ orb(\widetilde{x},<D_{s_1},D_{s_2}>)\supseteq \widetilde{x}+<\widetilde{d}>$. 又 $ \widetilde{x}+<\widetilde{d}>\supseteq orb(\widetilde{x},<D_{s_1},D_{s_2}>)$ 是显然的, 所以 $ orb(\widetilde{x},<D_{s_1},D_{s_2}>)=\widetilde{x}+<\widetilde{d}>$. 令$ \ \mathbb{H}=<\widetilde{d}>$ 是由 $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ 中的元素 $\widetilde{d}$ 生成的子群. 对于任意的 $m\in \mathbb{Z}$, 定义 $ \varrho(m):=\widetilde{dm}$, 则 $\varrho$ 是从 $\mathbb{Z}$ 到 $ \mathbb{H}$ 的一个满的群同态. 易知 $\varrho$ 的核为 $ ker(\varrho)=\frac{p-1}{d}\mathbb{Z}$, 其中 $\frac{p-1}{d}$ 是 $ \widetilde{d}$ 在 $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ 中的加法阶, 那么 $ \frac{p-1}{d}$ 也是 $\widetilde{d}$ 在 $\mathbb{H}$ 的加法阶, 从而 $ \varrho$ 诱导出从 $\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z}$ 到 $\mathbb{H}$ 的一个同构映射 $\widetilde{\varrho}$, 这里 $\widetilde{\varrho}$ 的定义为 $\forall m, \ \overline{m}:=m+\frac{p-1}{d}\mathbb{Z}$, $\widetilde{\varrho}( \overline{m})=\widetilde{dm}$.

对任意的整数 $j \ (0\leqslant j<d)$, 令 $ \mathbb{H}_j:=\widetilde{j}+\mathbb{H}$, 则 $\mathbb{H}_j$ 是 $ <D_{s_1},D_{s_2}>$-不变的并且构成 $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$ 的一个划分. 此外, 对任意的 $m\in \mathbb{Z}$,

则 $(\mathbb{H}_j,D_{s_1}|_{\mathbb{H}_j})$ 拓扑共轭于 $ (\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z},D_1)$, 其中 $ D_1(\overline{m}):=\overline{m}+\overline{s_1/d}$. 同理, $ (\mathbb{H}_j,D_{s_2}|_{\mathbb{H}_j})$ 拓扑共轭于 $ (\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z},D_2)$, 其中 $ D_2(\overline{m}):=\overline{m}+\overline{s_2/d}$. 故 $ (\mathbb{H}_j,<D_{s_1},D_{s_2}>)$ 拓扑共轭于$(\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z},<D_1,D_2>)$. 由于 $s_1/d$ 和 $ s_2/d$ 是互素的, 则 $(\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z},<D_1,D_2>)$ 是极小的. 因此 $(\mathbb{V},<f_{v_1},f_{v_2}>)$ 有 $d$ 个拓扑共轭于 $ (\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z},<D_1,D_2>)$ 的极小块.

由引理 2.2 知

为从 $\mathbb{U}_1$ 到 $\mathbb{Z}_p$ 的同胚群同构, 记

令 $k'=\min\{v_p(\hat{\beta_1}),v_p(\hat{\beta_2})\}$, 关于 $(\mathbb{U}_1,G'|_{\mathbb{U}})$ 的极小块有下面命题成立.

引理4.2 $(\mathbb{U}_1,G'|_{\mathbb{U}})$ 有 $p^{k'}$ 个拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_p,<f_{1,p^{-k'}\hat{\beta_1}},f_{1,p^{-k'}\hat{\beta_2}}>)\ $的极小块. 若 $v_p(\hat{\beta_1})\leqslant v_p(\hat{\beta_2})\ (v_p(\hat{\beta_1}) > v_p(\hat{\beta_2}) $, resp.), 则$\ (\mathbb{Z}_p,<f_{1,p^{-k'}\hat{\beta_1}},f_{1,p^{-k'}\hat{\beta_2}}>)$ 拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_p,<f_{1,1},f_{1,(\hat{\beta_1})^{-1}\hat{\beta_2}}>)\ ((\mathbb{Z}_p,<f_{1,1},f_{1,(\hat{\beta_2})^{-1}\hat{\beta_1}}>)$, resp.).

证 由 (4.3) 式可得 $u_i=(1+p)^{\hat{\beta_i}}\ (i=1,2)$. 对任意的$\ z\in \mathbb{Z}_p$, 有

因此 $(\mathbb{U}_1,<f_{u_1},f_{u_2}>)$ 拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_p,<f_{1,\hat{\beta_1}},f_{1, \hat{\beta_2}}>)$. 由引理 2.1 知

由于 $v_i^{\ell_i}=1(i=1,2)$, 则 $\alpha_i^{\ell_i}=u_i^{\ell_i}$. 又$\ \ell_i$ 整除 $p-1$, 则 $\ell_i$ 与 $p$ 互素. 由引理 2.3 有

因此由上述已经讨论过的 $\gamma\in\mathbb{Q}_p\backslash\mathbb{Z}_p$, 则系统 $(\mathbb{Z}_p,<f_{1,\hat{\beta_1}},f_{1,\hat{\beta_2}}>)$ 有$\ p^{k'}$ 拓扑共轭于$\ (\mathbb{A}_j,<f_{1,\hat{\beta_1}},f_{1,\hat{\beta_2}}>) \ (0\leqslant j<p^{k'})$ 的极小块, 其中 $\mathbb{A}_j:=j+p^{k'}\mathbb{Z}_p \ (0 \leqslant j<p^{k'})$.

下面分析系统$\ (\mathbb{A}_j,<f_{1,\hat{\beta_1}},f_{1,\hat{\beta_2}}>) \ (0\leqslant j<p^{k'})$. 对任意的 $z\in \mathbb{Z}_p$, 有

则 $(\mathbb{A}_j,<f_{1,\hat{\beta_1}},f_{1,\hat{\beta_2}}>) \ (0\leqslant j<p^{k'})$ 拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_p,<f_{1,p^{-k'}\hat{\beta_1}},f_{1,p^{-k'}\hat{\beta_2}}>)$. 不失一般性, 不妨设 $v_p(\hat{\beta_1})\leqslant v_p(\hat{\beta_2})$, 则对任意的 $z\in \mathbb{Z}_p$, 有

和

故$\ (\mathbb{Z}_p,<f_{1,p{-k'}\hat{\beta_1}},f_{1,p{-k'}\hat{\beta_2}}>)\ $ 拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_p,<f_{1,1},f_{1,(\hat{\beta_1})^{-1}\hat{\beta_2}}>)$.

结合引理 4.1 和引理 4.2, 得到$\ (\mathbb{U},G^{'}|_\mathbb{U})$ 的极小块.

定理4.4 $(\mathbb{U},G'|_{\mathbb{U}})$ 有 $p^{k'}d$ 个拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_p, <D_1 \times f_{1,p^{-k'}\hat{\beta_1}},D_2\times f_{1,p^{-k'}\hat{\beta_2}}>)$ 的极小块. 若 $v_p(\hat{\beta_1}) \leqslant v_p(\hat{\beta_2})$ $(v_p(\hat{\beta_2}) > v_p(\hat{\beta_1})$, resp.), 则$\ (\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_p, <D_1 \times f_{1,p^{-k'}\hat{\beta_1}}, D_2\times f_{1,p^{-k'}\hat{\beta_2}}>)$ 拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_p, <D_1 \times f_{1,1},D_2 \times f_{1,(\hat{\beta_1})^{-1} \hat{\beta_2}}>)$ $((\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_p, <D_1 \times f_{1,\hat{\beta_1} (\hat{\beta_2})^{-1}},D_2 \times f_{1,1}>)$, resp.) 极小块.

证 若 $v_p(\hat{\beta_1}) \leqslant v_p(\hat{\beta_2})$, 则$\ (\mathbb{U},G^{'}|_\mathbb{U})$ 拓扑共轭于 $(\mathbb{V} \times \mathbb{U}_1,<f_{v_1}\times f_{u_1},f_{v_2} \times f_{u_2}>)$. 故即证$\ (\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_p, <D_1 \times f_{1,1},D_2 \times f_{1,(\hat{\beta_1})^{-1} \hat{\beta_2}}>)$ 是极小的. 固定 $x\in \mathbb{Z}$, $y\in \mathbb{Z}_p$, 对任意的整数$\ m_1,m_2,k_1,k_2 \ (m_1,m_2 \geqslant 0 $, $0\leqslant k_1,k_2<\frac{p-1}{d})$, 有

由于 $m_1$, $m_2$ 是任意的且 $(p-1)/d$ 与 $p$ 互素, 则序列$\ (m_1(p-1)/d+(m_2(p-1)/d)+(\hat{\beta_1})^{-1}\hat{\beta_2})_{m_1\geqslant 0,m_2\geqslant 0}$ 在 $\mathbb{Z}_p$ 中稠密. 又 $s_1/d$ 与 $s_2/d$ 互素, 则

故乘积系统 $(\mathbb{Z}/\frac{p-1}{d}\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_p,<D_1\times f_{1,1},D_2 \times f_{1,(\hat{\beta_1})^{-1}\hat{\beta_2}}>)$ 是极小的.

由定理 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 可得定理 1.1 成立.

本节中我们将讨论 $p=2$ 时 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 的极小块. 类似地, 我们先考虑 $\gamma\in\mathbb{Q}_2\backslash \mathbb{Z}_2$ 的情况. 当$\ \alpha_1=-1,\ \alpha_2=-1$ 时, $\beta_1=\beta_2$, 这时的结果已被定理 3.2 所描述, 因此只需要考虑 $\alpha_1,\alpha_2$ 不全为 $-1$ 的情况.

定理5.1 若 $\gamma\in\mathbb{Q}_2\backslash \mathbb{Z}_2$, 则我们需要讨论以下五种情况

(1) 若 $\alpha_1\in\mathbb{U}_2,\alpha_2\in\mathbb{U}_2$, 则$\ (\mathbb{Z}_2,G)$ 有 $2^{\min\{v_2(\beta_1),v_2(\beta_2)\}}$ 个极小块;

(2) 若 $-1\neq \alpha_1 \in \mathbb{U}_1\backslash\mathbb{U}_2, -1\neq \alpha_2 \in \mathbb{U}_1\backslash \mathbb{U}_2$, 令$\ \ell =\min\{v_2(1+\alpha_1)-1,v_2(1+\alpha_2)-1\}$, 则$\ (\mathbb{Z}_2,G)$ 有 $2^{\ell}$ 个极小块 $\mathbb{B}_j,$ 其中 $\mathbb{B}_j:=(j+2^{\ell+1}\mathbb{Z}_2)\cup ((-j+1)+2^{\ell+1}\mathbb{Z}_2) \ (1\leqslant j \leqslant 2^{\ell})$;

(3) 若 $\alpha_1=-1,\alpha_2\in\mathbb{U}_2$, 则 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 有 $2^{v_2(\beta_2)-1}$ 个极小块为 $\mathbb{A}_j\cup \mathbb{A}_j' \ (0\leqslant j<2^{v_2(\beta_2)})$, 其中 $\mathbb{A}_j:=j+2^{v_2(\beta_2)}\mathbb{Z}_2, \ \mathbb{A}_j'=(-j+\beta_1)+2^{v_2(\beta_2)}\mathbb{Z}_2 \ (0\leqslant j<2^{v_2(\beta_2)})$;

(4) 若 $\alpha_1=-1,-1\neq \alpha_2\in\mathbb{U}_1\backslash \mathbb{U}_2$, 令 $v_2(1+\alpha_2)=\ell+1$, $(\mathbb{Z}_2,G)$ 有$\ 2^{\ell-1}$ 个拓扑共轭于 $\mathbb{C}_j \cup \mathbb{C}_j'$ 的极小块, 其中$\ \mathbb{C}_j:=(j+2^{\ell+1}\mathbb{Z}_2)\cup(-j+1+2^{\ell+1}\mathbb{Z}_2), \mathbb{C}_j':=(-j+\beta_2^{-1}\beta_1+2^{\ell+1}\mathbb{Z}_2)\cup(j+1-\beta_1\beta_2^{-1}+2^{l+1}\mathbb{Z}_2)\ (0\leqslant j<2^{\ell+1})$;

(5) 若$\ \alpha_1\in\mathbb{U}_2, -1\neq \alpha_2\in\mathbb{U}_1\backslash\mathbb{U}_2$, 则我们需要讨论以下两种情况

(a) 当$\ v_2(\beta_1)\geqslant v_2(\alpha_2+1)$ 时, $\ (\mathbb{Z}_2, G)\ $ 有 $2^{\ell}$ 个拓扑共轭于$\ \mathbb{C}_j \ (0\leq j<2^{\ell})$ 的极小块;

(b) 当 $v_2(\beta_1)< v_2(\alpha_2+1)$ 时, $(\mathbb{Z}_2, G)$ 有$\ 2^{v_2(\beta_1)-1}$ 个拓扑共轭于 $\ \mathbb{D}_j \cup \mathbb{D}_j'\ (0\leq j<2^{v_2(\beta_1)-1})$ 的极小块, 其中 $\mathbb{D}_j:=j+2^{v_2(\beta_1)}\mathbb{Z}_2, \ \mathbb{D}_j':=(-j+1)+2^{v_2(\beta_1)}\mathbb{Z}_2 $.

证 (1) 的证明与定理 4.1 的证明是类似的, 故省略;

(2) 由定理 3.2 可知 $(\mathbb{Z}_2,f_{\alpha_i,\beta_i}) \ (i=1,2)$ 的极小块为 $ \mathbb{B}_{j_i}:=(j_i+2^{\ell_i+1}\mathbb{Z}_2)\cup((-j_i+1)+2^{\ell_i+1}\mathbb{Z}_2), $ 其中 $v_2(1+\alpha_i)=\ell_i+1,1\leqslant j_i\leqslant 2^{\ell_i} \ (i=1,2)$. 令 $\ell=\min\{\ell_1,\ell_2\}$, 类似定理 4.1 的证明知 $(\mathbb{Z}_2,G)$ 有 $2^{\ell}$ 个极小块 $\mathbb{B}_j$, 其中$\ \mathbb{B}_j:=(j+2^{\ell+1}\mathbb{Z}_2)\cup ((-j+1)+2^{\ell+1}\mathbb{Z}_2) \ (1\leqslant j \leqslant 2^{\ell})$;

(3) 注意到 $\gamma\in\mathbb{Q}_p\backslash \mathbb{Z}_p$, 从而$\ v_2(\beta_1)=0$. 由 (1.1) 知 $v_2(\beta_2)=v_2(1-\alpha_2)-1$. 由于 $\alpha_2 \in \mathbb{U}_2$, 故 $v_2(\beta_2) \geqslant 1$.对任意的$\ z\in\mathbb{A}_j\cup \mathbb{A}_j'\ (0\leqslant j<2^{v_2(\beta_2)})$, 不妨设 $z\in\mathbb{A}_j$, 则有$\ z=j+2^{v_2(\beta_2)}s\ (s \in \mathbb{Z}_2)$. 由定理 3.2 知$\ f_{\alpha_2,\beta_2}(z) \in \mathbb{A}_j$ 并且

故 $\mathbb{A}_{j} \cup \mathbb{A}_j'$ 是 $G$-不变的.

下面证明对任意的 $z\in\mathbb{A}_j\cup \mathbb{A}_j'$, $\overline{orb(z,G)}=\mathbb{A}_j\cup\mathbb{A}_j'$. 不妨设$\ z\in\mathbb{A}_j$, 由定理 3.2 知:$\ \overline{orb(z,f_{\alpha_2,\beta_2})}=\mathbb{A}_j$. 又有$\ \overline{orb(z,f_{\alpha_2,\beta_2})}\subset \overline{orb(z,G)}$, 故$\ \mathbb{A}_j\subset \overline{orb(z,G)}$. 又$\ f_{\alpha_1,\beta_1}(z)\in\mathbb{A}_j'$, 类似地, $ \overline{orb(f_{\alpha_1,\beta_1}(z),f_{\alpha_2,\beta_2})}\subset \overline{orb(z,G)}$, 即 $\mathbb{A}_j'\subset \overline{orb(z,G)}$. 由于$\mathbb{A}_j \cup \mathbb{A}_j'$ 为闭的 $G$-不变集, 我们有 $ \overline{orb(z,G)}=\mathbb{A}_j\cup \mathbb{A}_j'. $ 因此, $\mathbb{A}_j\cup \mathbb{A}_j'$ 是 $(\mathbb{Z}_2,G)$ 的极小块.

下面我们说明 $\mathbb{A}_j \cap \mathbb{A}_j'=\varnothing$, 从而这样的极小块恰好有 $2^{v_2(\beta_2)-1}$ 个. 注意到 $\mathbb{A}_j$ 与$\ \mathbb{A}_j'$ 为半径相同的两个球, 由超度量性, 我们仅需要验证$\ |j-(\beta_1-j)|_2>|\beta_2|_2$, 即 $v_2(-2j+\beta_1)<v_2(\beta_2)$. 而由于$\ v_2(\beta_1)=0$, 故$\ v_2(-2j+\beta_1)=0<1 \leqslant v_2(\beta_2)$, 结论成立;

(4) 由于 $\alpha_2 \in \mathbb{U}_1 \backslash \mathbb{U}_2$ 且$\ \gamma\in\mathbb{Q}_p\backslash \mathbb{Z}_p$, 故 $v_2(\beta_2)=0$, 从而 $\beta_2^{-1} \in \mathbb{Z}_2$. 同时, $f_{\beta_2,0}^{-1} \circ f_{\alpha_1,\beta_1} \circ f_{\beta_2,0}=f_{\alpha_1,\beta_1 \beta_2^{-1}},\ \ f_{\beta_2,0}^{-1} \circ f_{\alpha_2,\beta_2} \circ f_{\beta_2,0}=f_{\alpha_2,1}$. 故 $(\mathbb{Z}_2,G)$ 拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_2,G")$, 这里 $G"=<f_{\alpha_1,\beta_1 \beta_2^{-1}},f_{\alpha_2,1}>$. 因此我们考虑 $(\mathbb{Z}_2,G")$ 的极小块即可.

由于 $\alpha_1=-1$, 有 $f_{\alpha_1,\beta_1 \beta_2^{-1}}^2=\text{id}_{\mathbb{Z}_2}$, 故对于任意 $z \in \mathbb{Z}_p$, 有

从而

根据定理 3.2 知,

(5) 由 (4) 知 $v_2(\beta_2)=0$ 且 $(\mathbb{Z}_2,G)$ 拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_2,G")$. 又 $\alpha_1\in\mathbb{U}_2,\ v_2(\beta_1\beta_2^{-1})=v_2(\beta_1)<v_2(1-\alpha_1)$, 则由定理 3.2 知 $(\mathbb{Z}_2,f_{\alpha_1,\beta_1\beta_2^{-1}})$ 的极小块为$\ \mathbb{A}_j:=j+\beta_1\mathbb{Z}_2=j+2^{v_2(\beta_1)}\mathbb{Z}_2\ (0\leqslant j<2^{v_2(\beta_1)})$. 由定理 3.2 知$\ (\mathbb{Z}_2,f_{\alpha_2,1})$ 的极小块为 $\mathbb{C}_j\ (0\leqslant j<2^{\ell})$. 下面对 $(\mathbb{Z}_2,G")$ 的极小块进行讨论

(a) 当 $v_2(\beta_1)\geqslant v_2(\alpha_2+1)$ 时, 称$\ (\mathbb{Z}_2,G")$ 的极小块为 $\mathbb{C}_j\ (0\leqslant j<2^{\ell})$. 不妨设 $z=j+2^{\ell+1}s\in j+2^{\ell+1}\mathbb{Z}_2\ (s\in\mathbb{Z}_2)$. 由定理 3.2 知 $f_{\alpha_2,1}(z)\in\mathbb{C}_j$, 根据$\ v_2(\alpha_1-1)>v_2(\beta_1)\geqslant v_2(\alpha_2+1)=l+1$, 有

故 $\mathbb{C}_j$ 是 $G"$-不变的. 下面证明对任意的 $z\in\mathbb{C}_j$, $\ \overline{orb(z,G")}=\mathbb{C}_j$. 不妨设 $z\in j+2^{\ell+1}\mathbb{Z}_2$. 由定理 3.2 知$\ \overline{orb(z,f_{\alpha_2,1})}=\mathbb{C}_j$, 又因$\ \mathbb{C}_j\subset\overline{orb(z,G")}$ 且 $\mathbb{C}_j$ 是 $G"$-不变的, 故 $\overline{orb(z,G")}=\mathbb{C}_j$;

(b) 当 $v_2(\beta_1)<v_2(\alpha_2+1)$ 时, 称 $(\mathbb{Z}_2,G")$ 的极小块为 $\mathbb{D}_j\cup\mathbb{D}_j'\ (0\leqslant j<2^{v_2(\beta_1)-1})$. 不妨设 $z\in \mathbb{D}_j$, 则有$\ z=j+2^{v_2(\beta_1)}s\ (s\in\mathbb{Z}_2)$. 由于 $v_2(\alpha_2+1)\leqslant v_2(\beta_1)<v_2(\alpha_1-1)$, 则

将 $\alpha_2$ 写作

其中 $\alpha_2'\in\mathbb{Z}_2,\widetilde{\alpha_2}\in\mathbb{U}_1$,$\ \ell\geqslant 1$ 为任意整数. 特别地, $v_2(1+\alpha_2)=\ell+1$. 由于$\ v_2(1+\alpha_2)>v_2(\beta_1)$, 则

故 $\mathbb{D}_j\cup\mathbb{D}_j'$ 是 $G"$-不变的. 下面证明对任意的$\ z\in\mathbb{D}_j\cup\mathbb{D}_j'$, $\overline{orb(z,G")}=\mathbb{ D}_j\cup\mathbb{D}_j'$. 不妨设 $z\in\mathbb{D}_j$, 由定理 3.2 知: $\overline{orb(z,f_{\alpha_1,\beta_1\beta_2^{-1}})}=\mathbb{D}_j$. 又有 $\overline{orb(z,f_{\alpha_1,\beta_1\beta_2^{-1}})}\subset \overline{orb(z,G")}$, 故 $\mathbb{D}_j\subset \overline{orb(z,G")}$. 又 $f_{\alpha_2,1}(z)\in\mathbb{D}_j'$, 类似地, $ \overline{orb(f_{\alpha_2,1}(z),f_{\alpha_1,\beta_1\beta_2^{-1}})}\subset \overline{orb(z,G")}$, 即 $\mathbb{D}_j'\subset \overline{orb(z,G")}$. 由于 $\mathbb{D}_j \cup \mathbb{D}_j'$ 为闭的$\ G"$-不变集, 我们有

考虑 $\gamma=\infty$ 时, $p=2$ 与 $p\geqslant 3$ 的结果一样.

最后讨论 $\gamma\in\mathbb{Z}_2$. 设 $\alpha_1,\alpha_2 \neq 1$. 此时 $(\mathbb{Z}_2, G)$ 拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}_2, G')$, 其中$\ G'=\{f_{\alpha_1,0}^m \circ f_{\alpha_2,0}^n:m,n\in \mathbb{N} \}$. 当$\ \alpha_1\in \wp$ ($\alpha_2 \in \wp$, resp.) 时, $p=2$ 与 $p\geqslant 3$ 的结果一样. 当 $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{U}$ 时, 类似于 $p\geqslant 3$ 的情况, 只需考虑 $(\mathbb{U},G'|_{\mathbb{U}})$ 的极小块. 对于 $(\mathbb{U},G'|_{\mathbb{U}})$ 知

其中 $\mathbb{W}=\{-1,1\}.$ 对于 $\alpha_1,\alpha_2,z \in \mathbb{U}$, 存在 $w_1,w_2, z_{\mathbb{W}} \in \mathbb{W}$, $\gamma_1,\gamma_2,z_2 \in \mathbb{U}_1$ 使得 $\alpha_i=w_i \gamma_i\ (i=1,2)$ 并且$\ z=z_{\mathbb{W}}z_2$, 对任意的 $x\in \mathbb{W}$, $y\in \mathbb{U}_2$, 定义 $f_{w_i}(x)=w_i x$, $f_{\gamma_i}(y)=\gamma_i y$, 则$\ (\mathbb{U},G^{'}|_\mathbb{U})$ 拓扑共轭于 $(\mathbb{W} \times \mathbb{U}_2,<f_{w_1}\times f_{\gamma_1},f_{w_2} \times f_{\gamma_2}>)$. 下面分别考虑$\ (\mathbb{W}, <f_{w_1},f_{w_2}>)$ 和$\ (\mathbb{U}_2,<f_{\gamma_1},f_{\gamma_2}>).$

由引理 2.2 知

为从 $\mathbb{Z}_2$ 到 $\mathbb{U}_2$ 上的拓扑同构. 记

令 $k"=\min\{v_2(\hat{\theta_1}),v_2(\hat{\theta_2})\}$.

引理5.1 系统$\ (\mathbb{W}, <f_{w_1}, f_{w_2}>)$ 和$\ (\mathbb{U}_2, <f_{\gamma_1}, f_{\gamma_2}>)$ 的极小块如下

(1) 当 $w_1, w_2=1$ 时, $(\mathbb{W}, <f_{w_1},f_{w_2}>)$ 的极小块为 $\{1\}$ 和 $\{-1\}$; 当 $w_1,w_2$ 中至少有一个为 $-1$ 时, $(\mathbb{W}, <f_{w_1},f_{w_2}>)$ 的极小块为 $\mathbb{W}$;

(2) $(\mathbb{U}_2,G'|_{\mathbb{U}})$ 有 $2^{k"}$ 个拓扑共轭于$ \ (\mathbb{Z}_2,<f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_1}},f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_2}}>)$ 的极小块. 若 $v_2(\hat{\theta_1}) \leqslant v_2(\hat{\theta_2}) \ (v_2(\hat{\theta_1})>v_2(\hat{\theta_2}) $, resp.), 则$\ (\mathbb{Z}_2,<f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_1}},f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_2}}>)$ 拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_2,<f_{1,1},f_{1,(\hat{\theta_1})^{-1}\hat{\theta_2}}$ $>) \ ((\mathbb{Z}_2,<f_{1,1},f_{1,(\hat{\theta_2})^{-1}\hat{\theta_1}}>)$, resp.).

证 (1) 当 $w_1, w_2=1$ 时, $(\mathbb{W}, <f_{w_1},f_{w_2}>)$ 即为$\ (\mathbb{W}, f_{1})$, 则 $(\mathbb{W}, <f_{w_1},f_{w_2}>)$ 的极小块为$\ \{1\}$ 和 $\{-1\}$. 当 $w_1,w_2$ 中至少有一个为 $-1$ 时, $(\mathbb{W}, <f_{w_1},f_{w_2}>)$ 即为 $(\mathbb{W}, f_{-1})$, 则 $(\mathbb{W}, <f_{w_1},f_{w_2}>)$ 的极小块为 $\mathbb{W}$;

(2) 由 (5.1) 式可知 $\gamma_i=5^{\hat{\theta_i}}\ (i=1,2)$. 对任意的 $z\in \mathbb{Z}_2$, 有

因此 $(\mathbb{U}_2,<f_{\gamma_1},f_{\gamma_2}>)$ 拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_p,<f_{1,\hat{\theta_1}},f_{1, \hat{\theta_2}}>)$. 根据引理 2.1 知

类似于引理 4.2 的证明, 结论成立.

由上述引理得到 $(\mathbb{U},G')$ 的极小块.

定理5.2 系统$\ (\mathbb{U}, G')$ 的极小块分为以下两种情况

(1) 当 $w_1, w_2=1$ 时, $(\mathbb{U},G')$ 有 $2^{k"+1}$ 个拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}_2,< f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_1}}, f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_2}}>)$ 的极小块. 若 $v_2(\hat{\theta_1}) \leqslant v_2(\hat{\theta_2})\ (v_2(\hat{\theta_1}) > v_2(\hat{\theta_2}) $, resp.), 则$\ (\mathbb{Z}_2,<f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_1}},f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_2}}>)$ 拓扑共轭于$\ (\mathbb{Z}_2,<f_{1,1},f_{1,(\hat{\theta_1})^{-1}\hat{\theta_2}}>)\ ((\mathbb{Z}_2,<f_{1,1},f_{1,(\hat{\theta_2})^{-1}\hat{\theta_1}}>)$, resp.);

(2) 当 $w_1,w_2$ 中至少有一个为 $-1$ 时, $(\mathbb{U},G')$ 有$\ 2^{k"}$ 个拓扑共轭于 $(\mathbb{W}\times \mathbb{Z}_2,< f_{-1}\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_1}},f_{-1}\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_2}}>)$ 的极小块. 若 $v_2(\hat{\theta_1}) \leqslant v_2(\hat{\theta_2})\ (v_2(\hat{\theta_1}) > v_2(\hat{\theta_2}) $, resp.), 则 $(\mathbb{W}\times \mathbb{Z}_2,< f_{-1}\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_1}},f_{-1}\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_2}}>)$ 拓扑共轭于 $(\mathbb{W}\times \mathbb{Z}_2,< f_{-1}\times f_{1,1},f_{-1}\times f_{1,\hat{\theta_1}^{-1}\hat{\theta_2}}>)\ ((\mathbb{W}\times \mathbb{Z}_2,< f_{-1}\times f_{1,1},f_{-1}\times f_{1,\hat{\theta_1}\hat{\theta_2}^{-1}}>)$, resp.).

证 (1) 根据引理 5.1 可知当 $w_1, w_2=1$ 时, $(\mathbb{U},G')$ 有 $2^{k"}$ 个拓扑共轭于 $(\{1\}\times \mathbb{Z}_2,< f_1\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_1}},f_1\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_2}}>)$ 和 $2^{k"}$ 个拓扑共轭于 $(\{-1\}\times \mathbb{Z}_2,< f_1\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_1}},f_1\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_2}}>)$. 对任意的 $z\in\mathbb{Z}_2$, 定义

分别为 $\mathbb{Z}_2$ 到 $\{1\}\times \mathbb{Z}_2$ 上和 $\mathbb{Z}_2$ 到 $\{-1\}\times \mathbb{Z}_2$ 上的拓扑同胚, 且

故 $(\{1\}\times \mathbb{Z}_2,< f_1\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_1}},f_1\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_2}}>)$ 和 $(\{-1\}\times \mathbb{Z}_2,< f_1\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_1}},f_1\times f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_2}}>)$ 都拓扑共轭于 $(\mathbb{Z}_2,< f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_1}},f_{1,2^{-k"}\hat{\theta_2}}>)$;

(2) 当 $w_1,w_2$ 中至少有一个为 $-1$ 且$\ v_2(\hat{\theta_1})\leqslant v_2(\hat{\theta_2})$ 时, 由引理 5.1 可知 $(\mathbb{U},G')$ 拓扑共轭于 $(\mathbb{W}\times \mathbb{Z}_2,<f_{-1}\times f_{1,1},f_{-1}\times f_{1,(\hat{\theta_1})^{-1}\hat{\theta_2}}>)$. 由定理 3.2 知, $(\mathbb{W}\times \mathbb{Z}_2,f_{-1}\times f_{1,1})$ 是极小的, 故$\ (\mathbb{W}\times \mathbb{Z}_2,<f_{-1}\times f_{1,1},f_{-1}\times f_{1,(\hat{\theta_1})^{-1}\hat{\theta_2}}>)$ 是极小的.

由定理 5.1, 5.2 可得定理 1.2 成立.

我们知道, $\mathbb{Z}_p$ 上的极小单仿射迭代系统已经完全被描述. 一个自然的问题是确定 $\mathbb{Z}_p$ 上的所有仿射极小半群系统. 容易看到, 由于非弱本质极小半群系统至少包含一个极小元 (由定理 3.1 和 3.2 描述), 则非弱本质极小半群系统上的情况往往是平凡的.

在本节中, 我们将给出 $\mathbb{Z}_p$ 上弱本质极小半群的一些基本性质.

引理6.1 设 $f(z)=\alpha z+\beta\ (\alpha, \beta \in \mathbb{Z}_p)$ 为$\ \mathbb{Z}_p$ 上一个仿射. $p\mathbb{Z}_p$ 是 $(\mathbb{Z}_p,f)$ 的一个不变集当且仅当 $|\beta|_p<1$.

证 假定 $|\beta|_p<1$. 设 $z \in p\mathbb{Z}_p$, 即 $|z| <1$. 根据强三角不等式, 有

即 $f(z) \in p\mathbb{Z}_p$. 故 $p \mathbb{Z}_p$ 是系统$\ (\mathbb{Z}_p,f)$ 的一个不变集.

若 $|\beta|_p=1$, 则 $|f(0)|_p=|\beta|_p=1$, 即 $f(0) \notin p \mathbb{Z}_p$. 因此, $p \mathbb{Z}_p$ 不是 $(\mathbb{Z}_p,f)$ 的不变集.

推论6.1 设 $\{f_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 到自身的一族仿射, 这里 $\Lambda$ 为指标集. 设 $G$ 为这族仿射在映射复合运算下生成的半群, 即 $G=<f_\lambda:\lambda \in \Lambda>$. 若对于任意的 $\lambda \in \Lambda$ 而言 $f_{\lambda}:z \mapsto \alpha_{\lambda}z+\beta_{\lambda}$ 满足 $|\beta_{\lambda}|_p<1$, 那么$\ (\mathbb{Z}_p,G)$ 不是极小半群系统.

证 引理 6.1 告诉我们, 对于每个 $f_{\lambda}$ 而言, 有$\ f_{\lambda}(p\mathbb{Z}_p) \subset p \mathbb{Z}_p$. 即 $p \mathbb{Z}_p\ $是 $G$ 的每一个生成元的闭不变集, 从而是整个半群系统的闭不变集. 由于动力系统 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 有一个非空真闭不变集 $p \mathbb{Z}_p$, 从而必然不是极小半群系统.

注6.1 推论 6.1 证明关键的地方在于, 引理 6.1 中给出的不变集 $p \mathbb{Z}_p$ 不依赖于具体的参数 $\alpha,\beta$, 这使得它能成为多个仿射 (半群生成元) 的公共不变集, 从而是整个半群的不变集. 需要指出的是, $\mathbb{Z}_p$ 上存在生成元都是非极小的仿射半群, 它仍然包含极小元. 例如 $p =3$ 时, 考虑 $f_1(z)=2z+2, f_2(z)=z/2$. 显然, $f_2 \circ f_1(z)=z+1$. 根据定理 $3.1$ 知, $f_1,f_2$ 都是非极小的, 但是 $f_2 \circ f_1$ 是极小的. 这说明, 生成元不含极小元只是整个半群不含极小元的一个必要条件.

引理6.2 设 $p \geqslant 3$. $f$ 为 $\mathbb{Z}_p$ 上一个仿射, 其不动点记为$\ \gamma$. 若 $\gamma \notin \mathbb{Z}_p$ 且系统$\ (\mathbb{Z}_p,f)$ 不是极小的, 那么 $f$ 满足引理 6.1 中的条件, 从而 $p\mathbb{Z}_p$ 是半群系统 $(\mathbb{Z}_p,f)$ 的一个不变集.

证 若 $\gamma=\infty$, 则 $f(z)=z+\beta\ (\beta \in \mathbb{Z}_p)$. 由于仿射系统 $(\mathbb{Z}_p,f)$ 不是极小的, 根据定理 3.1 知, $\ |\beta|_p<1$, 满足引理 6.1 中的条件.

若 $\gamma \in \mathbb{Q}_p\backslash\mathbb{Z}_p$, 设 $f(z)=\alpha z +\beta\ (\alpha, \beta \in \mathbb{Z}_p)$. 此时, $\gamma=\frac{\beta}{1-\alpha} \notin \mathbb{Z}_p$, 即 $|\beta|_p>|1-\alpha|_p$. 若 $|\beta|_p=1$, 则 $|1-\alpha|_p<1$, 即 $\alpha \in p\mathbb{Z}_p=p^{r_p}\mathbb{Z}_p$, 根据定理 3.1 知, 系统$\ (\mathbb{Z}_p,f)$ 是极小的, 与条件矛盾. 故 $|\beta|_p<1$, 亦满足引理 6.1 中的条件.

进一步, 根据引理 6.1, $|\beta|_p<1$ 意味着 $p\mathbb{Z}_p$ 是 $(\mathbb{Z}_p,f)$ 的不变集.

定理6.1 若仿射半群系统 $(\mathbb{Z}_p, G)$ 为一个弱本质极小半群, 则 $G$ 的任意一组生成元中必然包含一个元素 $f$ 满足 $|f(0)|_p=1$. 特别地, $p \geqslant 3$ 时, 本质极小半群的任意一组生成元中必然有一个元素在$\ \mathbb{Z}_p$ 中有不动点.

证 由推论 6.1 和引理6.2 可直接看出.

定理6.2 设 $p \geqslant 3$ 且仿射半群动力系统 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 是弱本质极小的, 则 $G$ 是非交换的.

证 设 $f_1(z)=\alpha_1 z+\beta_1, f_2(z)=\alpha_2 z +\beta_2$. 我们有

故可知, $f_1$ 与 $f_2$ 交换的充分必要条件是

若 $\alpha_1,\alpha_2 \neq 1$, 则由式 6.1 可知, $f_1\ $与 $f_2$ 有公共的不动点; 若 $\alpha_1=\alpha_2=1$, 二者亦有公共不动点 $\infty$; 若 $\alpha_1=1, \alpha_2 \neq 1$, 则由式 6.1 知 $\beta_1=0$, 此时,$\ f_1$ 是恒等映射.

也就是说, 两个非恒等仿射彼此交换的条件是有公共的不动点.

现假设 $G$ 中仿射映射是彼此交换的, 不妨设 $G$ 是不含恒等映射的. 此时, $G$ 中任意两个仿射都有公共的不动点, 故 $G$ 中元素有相同不动点. 设不动点为$\gamma$. 根据定理 6.1, 我们有 $\gamma \in \mathbb{Z}_p$. 这意味着 $\{\gamma\}$ 是一个极小集, 则 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 不是极小的, 这与其弱本质极小矛盾, 从而 $G$ 是非交换的.

值得注意的是, $p=2$ 时上述命题并不成立, 即 $\mathbb{Z}_2$ 上存在交换的弱本质极小半群系统. 下面举例说明这件事情.

例6.1 设 $f_1(z)=-z-1$ 和 $f_2(z)=5 z+2$ 为 $\mathbb{Z}_2$ 上的仿射. 不难看出 $f_1, f_2$ 是交换的, 即 $f_1 \circ f_2=f_2 \circ f_1$. 同时, 我们注意到 $f_1^2=I d$ 是恒同映射. 故 $f_1, f_2$ 生成的半群是交换的, 且其有如下形式

根据定理 3.2, 我们知道 $f_1$ 和 $f_2$ 都不是极小元, 这同时意味着任意的 $f_2^n$ 亦不是极小元. 下面我们说明任意的 $f_1 \circ f_2^n$ 都不是极小元. 由于

这里 $s_n \in \mathbb{Z}_2$. 但注意到 $-5^n \notin\left(1+2^2 \mathbb{Z}_2\right)$, 这是因为 $5^n+1 \equiv 1^n+1 \equiv 2 \bmod 4$. 因此 $f_1 \circ f_2^n$ 不是极小元. 这说明半群 $G$ 中不包含极小元.

由定理 1.2 可知 $(\mathbb{Z}_2,G)$ 是极小的, 从而是弱本质极小的.

定理 6.2 告诉我们: $\mathbb{Z}_3$ 上不存在交换的弱本质极小仿射半群系统, 例 6.1 说明了 $\mathbb{Z}_2$ 上存在交换的弱本质极小仿射半群系统. 一些自然的问题是 $p \geqslant 3$ 时, $\mathbb{Z}_p$ 上弱本质极小仿射半群系统是否存在?$\mathbb{Z}_2$ 上非交换的弱本质极小仿射半群系统是否存在? 一个平凡的看法是, 对于 $\mathbb{Z}_p$ 中每一点 $z$, 考虑映射到 $z$ 上处的常值映射, 这显然是一个仿射. 将 $\mathbb{Z}_p$ 中的点遍历, 考虑这样生成的半群, 那么显然这就是一个弱本质极小的仿射半群. 可以看到的是, 这个半群的生成元个数特别大 (不可数个), 我们当然可以利用 $\mathbb{Z}_p$ 的可分性, 在可数稠密子集上构造常值仿射, 从而将生成元可数降为可数个, 但这仍然不是那么令人满意. 我们想问, $p \geqslant 3$ 时 $\mathbb{Z}_p$ 上存在有限生成的弱本质极小的仿射半群系统吗? $\mathbb{Z}_2$ 上非交换的存在有限生成的非交换弱本质极小半群系统吗?

下面我们将研究 $\mathbb{Z}_p$ 一类特殊的仿射半群, 作为推论我们将得到, $\ \mathbb{Z}_p$ 上存在生成元个数为 $p$ 的弱本质极小仿射半群系统. 需要指出的是, 这一节的许多想法来源于 Yang 和 Xiao 在 2020 年发表的一篇论文^[31], 这篇论文中的部分结果对于我们构造 $\mathbb{Z}_p$ 上的有限生成的本质极小仿射半群系统有非常大的启发.

设 $X$ 是一个度量空间, 对于映射 $f:X \to X$ 而言, 若存在常数 $C<1$ 使得对于任意 $x,y \in X$ 都满足 $d(Tx,Ty) \leqslant Cd(x,y)$, 则称 $f$ 是$\ X$ 上的一个压缩映射. 可直接计算得到, $\mathbb{Z}_p$ 上的仿射$\ f(z)=\alpha z +\beta$ 为压缩映射当且仅当 $|\alpha|_p<1$ (或 $\alpha$ 不可逆). 由于 $\mathbb{Z}_p$ 是一个完备空间, 故压缩仿射在 $\mathbb{Z}_p$ 总是有唯一的不动点, 这也意味着压缩仿射总不是极小作用.

引理6.3 $\mathbb{Z}_p$ 到自身的一族压缩仿射生成的半群动力系统没有极小元.

证 我们仅需注意到压缩映射的复合仍是压缩映射, 这意味半群中的仿射都是压缩的, 因此没有极小元.

引理6.4 设 $f(z)=\alpha z+\beta$ 为 $\mathbb{Z}_p$ 上的一个仿射, 令 $B \subset \mathbb{Z}_p$ 是一个半径为 $r>0$ 的开球, 那么 $f(B)$ 和$\ f^{-1}(B)$ 分别是半径为 $r|\alpha|_p$ 和 $r|\alpha|_p^{-1}$ 的开球. 特别地, 当 $f$ 为压缩仿射时, $f^{-1}(B)$ 的半径至少为 $pr$.

证 设 $x \in B$, 根据超度量性可知, $B=B(x,r)$. 下证$\ f(B)=B(f(x),r|\alpha|_p)$.

对任意的 $z\in B$, 可知 $|x-z|_p<r$. 故

故 $f(z) \in B(f(x),r|\alpha|_p)$, 即 $f(B) \subset B(f(x),r|\alpha|_p).$

反之, 若 $z \notin B$, 可知 $|x-z|_p\geqslant r$. 故

故 $f(z) \notin B(f(x),r|\alpha|_p)$, 即 $ B(f(x),r|\alpha|_p) \subset f(B).$ 从而 $f(B)=B(f(x),r|\alpha|_p)$, 即 $f(B)$ 是半径为 $r|\alpha|_p$ 的开球.

同理可得 $f^{-1}(B)$ 是一个半径为 $r|\alpha|^{-1}_p$ 的开球. 当 $f$ 为压缩映射时, $|\alpha|_p<1$, 由 $p$-adic 范数的定义有 $|\alpha|_p \leqslant 1/p$, 故结论成立.

基于以上事实, 可得以下结论.

定理6.3 $\{f_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 到自身的一族压缩仿射, 设 $G$ 为这族仿射在映射复合运算下生成的半群, 则系统$\ (\mathbb{Z}_p,G)$ 是极小系统的充要条件是 $\cup_{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda}(\mathbb{Z}_p)$ 在 $\mathbb{Z}_p$ 中稠密.

证 必要性. 假设 $\cup_{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda}(\mathbb{Z}_p)$ 不在 $\mathbb{Z}_p$ 中稠密. 注意到, 任何一点的轨道必然位于 $\cup_{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda}(\mathbb{Z}_p)$, 这是因为 $G$ 的元素是 $\{f_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ 中有限个映射的复合. 从而, 任意一点的轨道都不可能在 $\mathbb{Z}_p$ 中稠密, 这意味着 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 不是极小的.

充分性. 现假设 $\cup_{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda}(\mathbb{Z}_p)$ 在 $\mathbb{Z}_p$ 中稠密. 任取 $x, z \in \mathbb{Z}_p$, $r>0$. 由 $\cup_{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda}(\mathbb{Z}_p)$ 的稠密性, 知 $\cup_{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda}(\mathbb{Z}_p) \cap B(x,r) \neq \varnothing$, 从而必然存在$\ f_1 \in \{f_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ 使得$\ f_{1}(\mathbb{Z}_p) \cap B(x,r) \neq \varnothing$. 由引理 6.4 知道, $f_1(\mathbb{Z}_p)$ 是一个开球, 由超度量性可知二者有包含关系. 若 $f_1(\mathbb{Z}_p) \subset B(x,r)$, 则有 $f_1(z) \in B(x,r)$; 若 $B(x,r) \subset f_1(\mathbb{Z}_p)$, 考虑$\ f^{-1}(B(x,r))$, 由引理 6.4 知, 这是一个半径至少为 $pr$ 的开球. 类似地, 由 $\cup_{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda}(\mathbb{Z}_p)$ 的稠密性 $(B(x,r))$ 知, 必然存在 $f_2$ (可以与 $f_1$ 重复) 使得 $f_2(\mathbb{Z}_p)\cap f^{-1}_1(B(x,r)) \neq \varnothing$. 同样地, 若 $f_2(\mathbb{Z}_p) \subset f^{-1}_1(B(x,r))$, 则 $f_1\circ f_2(z) \in B(x,r)$; 若 $f^{-1}_1(B(x,r)) \subset f_2(\mathbb{Z}_p)$, 则继续考虑 $(f_1\circ f_2)^{-1}(B(x,r))$, 这是一个半径至少是 $p^2r$ 的开球, 类似可找到 $f_3$. 经过有限步之后, 这样的球半径应该达到 $1$, 从而必然对某个 $k$ 有 $f_1 \circ f_2\circ \cdots \circ f_k(z) \in B(x,r)$. 由 $r>0$ 的任意性知, $x$ 在 $\overline{orb(z,G)}$ 中; 再由 $x \in \mathbb{Z}_p$ 的任意性知, $\mathbb{Z}_p=\overline{orb(z,G)}$; 最后由 $z \in \mathbb{Z}_p$ 的任意性知系统 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 是极小的.

推论6.2 $\mathbb{Z}_p$ 上 $p-1$ 个压缩仿射生成的半群系统必然不是极小的.

证 设 $f_i(z)=\alpha_i z +\beta_i\ (i=1,2,\cdots,p-1)$ 为 $\mathbb{Z}_p $ 上的压缩仿射, 则有 $|\alpha|_p<1$, 故有 $|\alpha|_p \leqslant 1/p$. 故根据引理 6.4, $f_i(\mathbb{Z}_p)$ 是一个半径最多为 $1/p$ 的球. 换言之, 存在 $0 \leqslant j \leqslant p-1$ 使得$\ f_i(\mathbb{Z}_p) \subset j+p\mathbb{Z}_p$. 这样只需 $p-1$ 个半径为$\ 1/p$ 的球就可以覆盖 $\cup_{i=1}^{p-1}f_i(\mathbb{Z}_p)$, 故必然存在 $0 \leqslant s \leqslant p-1$ 使得 $(s+p\mathbb{Z}_p) \cap \cup_{i=1}^{p-1}f_i(\mathbb{Z}_p)= \varnothing$. 从而$\ \cup_{i=1}^{p-1}f_i(\mathbb{Z}_p)$ 不是稠密的, 故由定理 6.3 知系统不极小.

事实上, 我们确实可以在 $\mathbb{Z}_p$ 上构造 $p$ 个压缩仿射生成的极小半群系统, 根据引理 6.3 知这个系统是弱本质极小的, 这就回答了本节开头所提到的问题.

例6.2 对于 $0 \leqslant i \leqslant p-1$, $z\in\mathbb{Z}_p$, 定义 $f_i(z)=pz+i$. 令

注意到, 由引理 6.4 知, $f_i(\mathbb{Z}_p)$ 是一个半径为 $1/p\ $的球, 而 $f_i(0)=i$, 故 $f_i({\mathbb{Z}_p})=i+p\mathbb{Z}_p$. 从而, 我们有

根据定理 6.3 知, 系统 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 是极小的并且是弱本质极小的, $S$ 是本质极小生成集.

显然, 上述 $f_i$ 之间两两不交换. 特别地, $p=2$ 时, $f_0(z)=2z$ 与$\ f_1(z)=2z+1$ 是非交换的.

根据上面的结果, 我们可以断言, $\mathbb{Z}_2$ 上存在两个生成元的交换或者不交换的弱本质极小仿射半群系统, 而 $p \geqslant 3$ 时, 不存在交换的弱本质极小仿射半群系统, 存在 $p$ 个生成元的非交换的弱本质极小仿射半群系统. $\ p=2$ 时, 显然 $2$ 已经是 $\mathbb{Z}_2$ 上弱本质极小仿射半群生成元个数的最小值了, 但对于 $p \geqslant 3$ 的情况, $\mathbb{Z}_p$ 上是否存在生成元个数少于 $p$ 的弱本质极小仿射半群呢? 本节我们将证明, $\mathbb{Z}_3$ 上不存在生成元个数小于 $3$ 的弱本质极小仿射半群.

引理6.5 设 $f_1(z)=\alpha_1 z$ 和 $f_2(z)=\alpha_2 z+ \beta$ 为 $\mathbb{Z}_3$ 上两个仿射, 且 $\alpha_1,\alpha_2 \in 2+3\mathbb{Z}_3$, $|\beta|_3=1$, 那么半群 $G=<f_1,f_2>$ 必然包含极小元. 特别的, 仿射半群系统$\ (\mathbb{Z}_p,G)$ 不是弱本质极小的.

证 注意到, 此时我们有 $f_2 \circ f_1(z)=(\alpha_2 \alpha_1) z+\beta.$ 而$\ \alpha_1, \alpha_2 \in 2+3\mathbb{Z}_3$ 意味着 $\alpha_1 \equiv 2 \bmod 3, \alpha_2 \equiv 2 \bmod 3$. 从而 $\alpha_1 \alpha_2 \equiv 1 \bmod 3$, 即 $\alpha_1 \alpha_2 \in 1+3\mathbb{Z}_3$. 结合$\ |\beta|_3=1$, 由定理 3.1 知, $f_2 \circ f_1 \in G$ 是极小元. 从而根据弱本质极小的定义可知, 系统 $(\mathbb{Z}_p,G)$ 不是弱本质极小的.

定理6.4 $\mathbb{Z}_3$ 上不存在两个生成元的弱本质极小仿射半群系统.

证 设 $f_1(z)=\alpha_1 z +\beta_1$ 和 $f_2(z)=\alpha_2 z+\beta_2$ 为$\ \mathbb{Z}_3$ 上两个仿射, $G=<f_1, f_2>$ 为二者生成的半群. 若$\ |\beta_1|_3<1,|\beta_2|_3<1$, 则由定理 6.1 知, 系统$\ (\mathbb{Z}_3,G)$ 不是弱本质极小的. 现不妨假设 $|\beta_1|_3=1$. 若$\ \alpha_1 \in 1+3\mathbb{Z}_3$, 则 $f_1$ 是极小的, 那么系统$\ (\mathbb{Z}_3,G)$ 不是弱本质极小的. 因此, 假设 $\alpha_1 \notin 1+3\mathbb{Z}_3$, 此时, $f_1$ 的不动点在 $\mathbb{Z}_3$ 中, 即$\ \beta_1/(1-\alpha_1) \in \mathbb{Z}_3$. 令映射 $\phi:\mathbb{Z}_3 \to \mathbb{Z}_3$ 为

则 $\phi$ 是 $\mathbb{Z}_3$ 上的自同胚映射, 定义

则系统 $(\mathbb{Z}_3,G)$ 共轭于 $(\mathbb{Z}_3,H)$, 这里 $H=<T_1,T_2>$. 因此, 我们仅需说明 $(\mathbb{Z}_3,H)$ 不是弱本质极小的. 倘若 $|\beta|<1$, 根据定理 6.1 知, $(\mathbb{Z}_3,H)$ 不是弱本质极小的. 因此, 我们总是假定 $|\beta|_3=1$, 同样地, 若 $\alpha_2 \in 1+3\mathbb{Z}_3$, 则 $T_2$ 是极小元, 此时系统 $(\mathbb{Z}_3,H)$ 不是弱本质极小的. 因此, 下面讨论 $\alpha_1,\alpha_2 \notin 1+3\mathbb{Z}_3, |\beta|_3=1$ 的情况.

情况1 若 $\alpha_1, \alpha_2 \in 3\mathbb{Z}_3$, 则$\ T_1,T_2$ 都是压缩仿射, 根据推论 6.2 知, $(\mathbb{Z}_3,H)$ 不是极小的, 故不是弱本质极小的.

情况2 若 $\alpha_1, \alpha_2 \in 2+3\mathbb{Z}_3$, 结合 $|\beta|_3=1$, 由引理 6.5 知, $(\mathbb{Z}_3,H)$ 不是弱本质极小的.

情况3 若 $\alpha_1\in 3\mathbb{Z}_3, \alpha_2 \in 2+3\mathbb{Z}_3.$ 不妨设 $\beta \in 1+3\mathbb{Z}_3$. 考虑集合

对于任意的 $z \in \mathbb{E}$, 有 $T_1(z)=\alpha_1 z \in 3 \mathbb{Z}_3 \subset \mathbb{E}$, 故 $\mathbb{E}$ 是 $T_1$ 不变的. 若 $z \in 3\mathbb{Z}_3$, 我们有

即 $T_2(z) \in 1+3\mathbb{Z}_3$, 也就是说, $T_2(3\mathbb{Z}_3) \subset 1+3\mathbb{Z}_3$. 同理, 我们有 $T_2(1+3\mathbb{Z}_3) \subset 3\mathbb{Z}_3$, 故有 $T_2(\mathbb{E}) \subset \mathbb{E}$. 于是$\ \mathbb{E}$ 是系统 $(\mathbb{Z}_3,H)$ 的非空真闭不变集, 从而$\ (\mathbb{Z}_3,H)$ 不是极小的, 故不是弱本质极小的.

情况4 若 $\alpha_1\in 2+3\mathbb{Z}_3, \alpha_2 \in 3\mathbb{Z}_3.$ 不妨设 $\beta \in 1+3\mathbb{Z}_3$. 考察集合

类似于情况 3 的过程, 可以验证 $\mathbb{F}$ 是系统$\ (\mathbb{Z}_3,H)$ 的非空真闭不变集, 从而系统 $(\mathbb{Z}_3,H)$ 不是弱本质极小的.

综上所述, $\mathbb{Z}_3$ 上不存在两个生成元的弱本质极小仿射半群系统.

对于素数 $p \geqslant 2$, 令 $m(p)$ 表示 $\mathbb{Z}_p$ 上弱本质极小仿射半群系统的最少生成元个数, 那么显然 $m(p) \geqslant 2$, 且根据定理 6.4, 我们知道, 对于任意的素数 $p$ 有 $m(p) \leqslant p$ 并且$\ m(2)=2,\ m(3)=3$. 一些有意思的问题是: $m(p)<p$ 的情况是否可能发生? 如果可能, $m(p)$ 的取值有什么规律?