正交设计是统计学中一个重要的部分, 主要应用于设计试验, 确定影响试验结果的因素和因素水平. 正交设计主要是用正交表来安排试验, 因此正交表是一种统计工具, 可用于优化试验设计, 减少试验次数, 节省时间和资源^{[1],[2],[3],[4],[5]}, 在因子分析实验中, 通常采用强度为 2 的正交表作为正交主效应设计, 它们对构建其他有用的正交表具有根本的重要性^[6],[7],[8].

目前, 研究人员正致力于开发新的正交表构造方法, 提高正交设计的效率和可靠性, 拓展其在不同领域的应用, 解决实际应用问题, 如密码学^{[9],[10],[11],[12]}、编码理论^{[13],[14],[15]}、计算机试验^{[16],[17],[18],[19],[20],[21]}以及量子信息理论^{[22],[23],[24],[25],[26],[27]}. 此外, 研究人员正在努力开发相关软件和工具, 包括正交设计功能^[28],[29], 使研究人员和工程师更容易使用正交表和正交试验设计^[30],[31].

正交表存在一行重复出现 $m$ 次, 其中 $m\geq2$, 则称该正交表为具有重复行的正交表^[32],[33]. 具有重复行的正交表是一种特殊类型的试验设计, 目前已经得到广泛研究, 旨在通过重复行来提高试验的稳定性和可靠性^[34]. 一般情况下正交表的行是不相同的, 此时每组试验均无重复. 在试验设计中我们更希望使用具有重复行的正交表, 这样我们可以做纯误差估计^[35]. 此外, 它也被应用于数学组合设计、物理学量子纠缠态^[36]和量子纠错码以及计算机科学理论等许多方面. 例如在组合设计中, 类似于 Fisher 不等式的 Plackett-Burman 界, 给出强度为 2 的重复行正交表的期望不等式和相应证明, 并指出强度 $t$ 的重复行正交表所需不等式的一般结果^[37],[38], 而 Ray-Chaudhuri 和 Wilson^[39] 的不等式又对 Fisher 不等式进行了推广. 之后, Wilson^[40],[41] 又通过正交投影的方法, 证明了具有重复块的 $t$- 设计的存在性, 这与重复行的正交表是密切相关. 总的来说, 具有重复行的正交表因为其优良的组合性质和统计性质在不断扩大其应用领域.

具有重复行的最优正交表在某些情况下具有更好的性质^[32],[33], 在 1980 年 Cheng^[42] 开创了这一领域的研究, 证明了强度 2 正交表的普遍最优性. 之后研究人员就开始对其进行各个领域的研究: 在 2007 年 Yu 等^[43]提出了基于 COAs 词型模式的最优性准则来选择最优单阵列; 在 2010 年 El-Zanati 等^[44]提出了一些构造最优正交阵列的方法; 在 2014 年 Lin^[45] 提出了具有重复行的最优正交表还可以应用于区组设计, 有效地减轻干扰变量的影响, 并使分析结果更加可靠; 在 2024 年 Du 等^[46]提出了用 2-数对分布矩阵构造最优正交表的方法; 此外平衡不完全区组设计 (BIBD) 的研究与具有重复行的最优正交表有着密切联系^{[33],[47],[48],[49]}. 虽然具有重复行的最优正交表在各个领域都有广泛的应用^{[50],[51],[52]}, 但是正交表的构造就可以称为 21 世纪的公开问题, 而具有重复行的正交表的构造更加困难, 具有重复行的最优正交表的构造则是难上加难. 目前我们对此类正交表的构造与研究少之又少.

本文还通过对正交表的汉明距离的研究^{[53],[54],[55],[56],[57]}, 将得到的具有重复行的最优正交表进行删除 $x$ 列的操作, 并且通过该操作可以得到对应的 $m$-最优正交表^[32].

本文主要研究通过水平变换和列变换构造具有重复行的最优正交表的方法. 首先介绍了一种由独立列构造饱和正交表的方法, 然后利用通过水平变换和列变换提出了具有重复行的最优正交表和 $m$-最优正交表的构造方法, 最后作为这些方法的应用为使用者提供了具有重复行的最优正交表的无穷类.

首先我们介绍一些本文需要用到的符号、定义.

符号说明

1. $A^{T}$ 表示矩阵 $A$ 的转置.

2. $(s)=(0,1,2,\cdots,s-1)^{T}$, $1_{s}$ 表示 $s\times1$ 的全 1 向量.

3. 如果 $A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{u\times v}$, 则 Kronecker 积 $A\otimes B$ 表示 $A\otimes B=(a_{ij}B)_{mu\times nv}$, 其中 $a_{ij}B$ 表示 $u\times v$ 矩阵且元素为 $a_{ij}b_{rs}(1\leq r\leq u,1\leq s\leq v)$.

4. 如果二整数 $a$ 与 $b$ 用 $m$ 除, 所得的余数相同, 就称 $a$ 与 $b$ 对模 $m$ 同余, 并且记为 $a\equiv b({\rm mod}\ m)$^[58].

5. 对于二整数 $a$ 与 $b$, $\gcd(a,b)=1$ 表示 $a$ 与 $b$ 的最大公约数等于 1.

6. $F_{2}$ 是一个二阶有限域, $F_{2}^{n}$ 是一个 $n$ 维空间.

定义2.1^[59] 一个第 $j$ 列的元素为 $0,1,2,\cdots,q_{j}-1$ 的 $n\times m$ 矩阵 $A=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{m})$, 称为一个强度 2 的正交表, 如果满足以下两个条件

1. 每一列中每个元素出现的次数相同.

2. 在任意两列 $a_{i},a_{j}(1\leq i,j\leq m)$ 中, 每一数对 $(0,0),\cdots,(0,q_{j}-1),(1,0),$ $\cdots,(1,q_{j}-1),$ $\cdots,(q_{j}-1,q_{j}-1)$ 出现的次数相同.

我们用 $L_{n}(q_{1}\cdots q_{m})$ 表示一个正交表. 这里 $n$ 称为试验次数, $m$ 称为因素数, $q_{j}$ 称为第 $j$ 个因素的水平数 $(j=1,2,\cdots,m)$. 本文只研究所有的列具有相同水平的正交表, 即 $q_{1}=q_{2}=\cdots=q_{m}=q$, 记为 $L_{n}(q^{m})$, 若 $n=\lambda q^{2}$ 则 $\lambda$ 为该正交表的指数.

如果 $(q-1)m=n-1$, 称 $L_{n}(q^{m})$ 是一个饱和正交表.

定义2.2 ^[2] 表中的列间置换、行间置换、同一列水平记号的置换称为正交表的三种初等变换, 经过初等变换所能得到的一切表称为同构的.

定义2.3 ^[32] 设 $k\geq2,s\geq2,\lambda\geq1$ 为整数. 如果存在一个正交表 $L_{\lambda s^{2}}(s^{k})$, 其中包含一行重复 $m$ 次, 则

如果等式成立, 则该正交表 $L_{\lambda s^{2}}(s^{k})$ 被称为最优的.

如果

则该正交表被称为 $m$-最优正交表.

引理2.1 ^[32] 设 $k\geq2,s\geq2,\lambda\geq1$ 为整数. 如果存在一个最优正交表 $L_{\lambda s^{2}}(s^{k})$, 其中包含一个全 0 行重复 $m$ 次, 则该最优正交表的其他的每一行恰好包含 $\frac{k-1}{s}$ 个 0, 并且 $k\equiv1({\rm mod}\ s)$.

定义2.4 ^[2] 让 $B_{1},\cdots,B_{m}$ 为 $m\times k$ 矩阵 $A$ 的所有行, 且第 $i(i=1,\cdots,k)$ 列的元素来自阶为 $q_{i}(q_{i}\geq2)$ 的集合 $G_{i}=\{0,1,\cdots,q_{i}-1\}$, 则 $A$ 中两行 $B_{u}=(a_{ui},\cdots,a_{uk})$ 和 $B_{v}=(a_{vi},\cdots,a_{vk})$ 的汉明距离 $d(B_{u},B_{v})$ 定义为

如果 $d$ 对于任意两行都是固定的, 则称矩阵 $A$ 有固定的汉明距离.

引理2.2 ^[53] 饱和正交表 $L_{n}(s^{k})$ 有固定的汉明距离$\frac{n}{s}$.

下面我们引入一种运用 $n$ 个独立列构造正交表 $L_{s^{n}}(s^{s^{n-1}+s^{n-2}+\cdots+s+1})=L_{s^{n}}(s^{\frac{s^{n}-1}{s-1}})$ 的方法, 其中 $s\geq2$ 为素数或素数幂, $n\geq2$.

引理2.3 设 $n$ 个独立列为 $a_1=(s)\otimes1_{s^{n-1}},a_2=1_{s}\otimes(s)\otimes1_{s^{n-2}},a_3=1_{s^{2}}\otimes(s)\otimes1_{s^{n-3}},\cdots, a_n=1_{s^{n-1}}\otimes(s)$, 则该正交表的全部列均可由这两个独立列构造, 方法如下

1. 单独的独立列 $a_1$ 为第 1 列

2. $x_{1}a_{1}+a_{2}$ 的全部组合, 共 $s$ 列

3. $x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+a_{3}$ 的全部组合, 共 $s^{2}$ 列

$n.$ $x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+\cdots+x_{n-1}a_{n-1}+a_{n}$, 其中 $0\leq x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}\leq s-1$, 共 $s^{n-1}$ 列.

该方法中的加法按有限域 $GF(s)$ 上的加法进行, 综上, 共 $(s^{n-1}+s^{n-2}+\cdots+s+1)=\frac{s^{n}-1}{s-1}$ 列, 最终可得到期望的正交表

例2.1 当 $s=2$ 时, 可以根据引理 2.3 构造 $L_{4}(2^{3}),L_{8}(2^{7}),L_{16}(2^{15}),\cdots,L_{2^{n}}(2^{2^{n}-1})$; 当 $s=3$ 时, 可以根据引理 2.3 构造 $L_{9}(3^{4}),L_{27}(3^{13}),L_{81}(3^{40}),\cdots,L_{3^{n}}(3^{\frac{3^{n}-1}{2}})$; 当 $s=4$ 时, 可以根据引理 2.3 构造 $L_{16}(4^{5}),L_{64}(4^{21}),\cdots,L_{4^{n}}(4^{\frac{4^{n}-1}{3}})$.

当 $s=2,$ $n=4$ 时,

$a_1=(2)\otimes1_{2^{3}}=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0000000011111111\\ \end{array}\right]^{T}\!,\quad a_2=1_{2}\otimes(2)\otimes1_{2^{2}}=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0000111100001111\\ \end{array}\right]^{T}\!, $ $a_3=1_{2^{2}}\otimes(2)\otimes1_{2}=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0011001100110011\\ \end{array}\right]^{T}\!,\quad a_4=1_{2^{3}}\otimes(2)=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0101010101010101\\ \end{array}\right]^{T}\!, $

因此

当 $s=4,n=2$ 时,

$a_1=(4)\otimes1_{4}=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0000111122223333\\ \end{array}\right]^{T},$ $a_2=1_{4}\otimes(4)=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0123012301230123\\ \end{array}\right]^{T},$

因此

本节主要针对具有重复行的 2 水平的最优正交表的构造. 本节直接通过列变换构造期望的正交表, 并且这些列是需要进行选择的. 首先对引理 2.3 构造的 $s=2$ 的正交表 $L_{2^{n}}(2^{2^{n}-1})$ 中选中的列进行列变换, 将变换后得到的正交表与原正交表组合在一起, 得到期望的具有重复行的最优正交表. 首先给出下面的定理.

定理3.1 存在只重复 2 个全 0 行的最优正交表 $L_{2^{n+1}}(2^{2^{n}-1})$, 其中 $n\geq4$.

证 用引理 2.3 构造出正交表

其中$a_1=(2)\otimes1_{2^{n-1}},a_2=1_{2}\otimes(2)\otimes1_{2^{n-2}},a_3=1_{4}\otimes(2)\otimes1_{2^{n-3}},\cdots, a_n=1_{2^{n-1}}\otimes(2)$. 我们对 $B_1$ 进行列变换, 得到一个新的正交表 $B_2$, 下证

为期望的正交表.

因为 $B_1$ 由 $n$ 个独立列构造, $(a_1,a_2,\cdots,a_n)=F_{2}^{n}$ 为全排列, 所以只有 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 的最后一行为全 1 行, 而 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 并上 $(a_1+a_2)$, 得到的 $(n+1)$ 列中不包含全 1 行. 为了得到 $B_2$, 对 $B_1$ 中这不包含全 1 行的 $(n+1)$ 列进行如下列变换 $f=[1234\cdots(n-1)n(n+1)]$, 并且 $f$ 表示长度为 $(n+1)$ 的循环变换, 此时除了全 0 和全 1 向量外, 其他任意一个 $(n+1)$ 维向量变换前后必不相同. 所以 $f$ 保证了上述 $(n+1)$ 列中的非零 $(n+1)$ 元组变换后一定不同, 也就是保证了 $B_2$ 与 $B_1$ 的第 $i$ 行在变换之后不同, $2\leq i\leq2^{n}$.

又因为 $B_1$ 的汉明距离为 $2^{n-1}$, 且 $n\geq4$, 所以去掉 $(n+1)$ 列之后的汉明距离 $2^{n-1}-n-1$ 仍大于 1, 所以 $B_1$ 的另外 $2^{n}-n-2$ 列保持不变且每行都不相同, 因此变换之后的 $B_2$ 的第 $j$ 行与 $B_1$ 的第 $i$ 行不同, $i\neq j$ 且 $2\leq i,j\leq2^{n}$.

综上, 进行该列变换之后两个正交表 $B_1$ 和 $B_2$ 除了全 0 行外没有重复行, 由定义 2.3 可知上述 $L_{2^{n+1}}(2^{2^{n}-1})$ 满足最优正交表的条件, 且只重复两个全 0 行.

注3.1 在 $B_1$ 中选择不包含全 1 行的 $(n+1)$ 列时, 只需选择 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 并上任意偶数个独立列生成的列即可, 如: $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 并上 $(a_1+a_2+a_3+a_4)$; $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 并上 $(a_2+a_3)$ 等.

注3.2 上述定理中的循环变换 $f$ 可以有 $n!$ 种

注3.3 当 $n=3$ 时, 我们通过引理 2.3 构造出的正交表的汉明距离为 4, 不满足定理 3.1 的证明过程, 因此给出推论 3.1 说明 $n=3$ 时的情况.

推论3.1 存在只重复 2 个全 0 行的最优正交表 $L_{16}(2^{7})$.

证 用引理 2.3 构造出正交表

我们对 $B_1$ 进行列变换, 得到一个新的正交表 $B_2$, 使$\left(\begin{array}{c} B_1\\ B_2\\ \end{array}\right)$为期望的正交表. 首先根据定理 3.1 可知, 我们在 $B_1$ 中选择不包含全 1 行的 4 列 $(a_1,a_2,a_3,a_1+a_2)$ 进行如下列变换, 记为 $f=[1234]$. 并且 $f$ 保证了 $B_2$ 与 $B_1$ 的第 $i$ 行在变换之后不同, $2\leq i\leq8$.

又易证此时剩余三列

为全排列, 因此 $B_2$ 的第 $j$ 行与 $B_1$ 的第 $i$ 行不同, $i\neq j,2\leq i,j\leq8$.

综上, 进行该列变换之后两个正交表 $B_1$ 和 $B_2$ 除了全 0 行外没有重复行, 由定义 2.3 可知上述

满足最优正交表的条件, 且只重复两个全 0 行.

注3.4 为了得到 $B_2$, 对上述 $B_1$ 中不包含全 1 行的 4 列进行的列变换可以有如下 6 种

$f$ 取其中之一就能保证 $B_2$ 与 $B_1$ 的第 $i$ 行在变换之后不同.

注3.5 在 $B_1$ 中选择不包含全 1 行的 4 列时, 还可以选择 $(a_1,a_2,a_3,a_1+a_3)$ 或 $(a_1,a_2,a_3,a_2+a_3)$, 此时剩余三列分别为

$(a_1+a_2,a_2+a_3,a_1+a_2+a_3)=\left[\begin{array}{cccccccc} 0&0&1&1&1&1&0&0\\ 0&1&1&0&0&1&1&0\\ 0&1&1&0&1&0&0&1\\ \end{array}\right]^{T},$ $(a_1+a_2,a_1+a_3,a_1+a_2+a_3)=\left[\begin{array}{cccccccc} 0&0&1&1&1&1&0&0\\ 0&1&0&1&1&0&1&0\\ 0&1&1&0&1&0&0&1\\ \end{array}\right]^{T},$

并且均为全排列, 能保证 $B_2$ 的第 $j$ 行与 $B_1$ 的第 $i$ 行在变换之后不同.

定理3.2 存在只重复 $m$ 个全 0 行的最优正交表 $L_{2^{n}m}(2^{2^{n}-1})$, 其中 $n\geq4$, 且 $n+1$ 为奇素数, $m=3,4,\cdots,n+1$.

证 设 $B_1,B_2$ 均仍为定理 3.1 中的由 $n$ 个独立列生成的正交表 $L_{2^{n}}(2^{2^{n}-1})$, 且已知$\left(\begin{array}{c} B_1\\ B_2\\ \end{array}\right)$为只重复两个全 0 行的 $L_{2^{n+1}}(2^{2^{n}-1})$. 下面我们设对 $B_n$ 中不包含全 1 行的这 $(n+1)$ 列进行的列变换为 $[1234\cdots(n-1)n(n+1)]$.

由定理 3.1 可知, 对 $B_2$ 的这 $(n+1)$ 列进行的列变换 $[1234\cdots(n-1)n(n+1)]$ 可得到一个新的正交表, 设为 $B_3$; 同样的, 对 $B_3$ 的这 $(n+1)$ 列进行的列变换 $[1234\cdots(n-1)n(n+1)]$ 可得到一个新的正交表, 设为 $B_4$; 同样的, 对 $B_4$ 的这 $(n+1)$ 列进行的列变换 $[1234\cdots(n-1)n(n+1)]$ 可得到一个新的正交表, 设为 $B_5$; $\cdots$; 最后, 对 $B_n$ 的这 $(n+1)$ 列进行的列变换 $[1234\cdots(n-1)n(n+1)]$ 可得到一个新的正交表, 设为 $B_{n+1}$.

取任意两个正交表 $B_i,B_j$, $1\leq i<j\leq n+1$, 通过上述构造过程我们可知 $B_j$ 是由 $B_i$ 的这 $(n+1)$ 列进行 $(j-i)$ 次列变换 $[1234\cdots(n-1)n(n+1)]$ 得到的, 即 $B_i$ 到 $B_j$ 的列变换可写为 $[1234\cdots(n-1)n(n+1)]^{j-i}$, 又因为 $(n+1)$ 为奇素数, 所以 $[1234\cdots(n-1)n(n+1)]^{j-i}$ 是一个距离为 $(j-i)$, 长度为 $(n+1)$ 的循环变换, 且属于注 3.2 中 $n!$ 种变换之一.

综上, $B_1$ 到 $B_{n+1}$ 这 $(n+1)$ 个正交表 $L_{2^{n}}(2^{2^{n}-1})$ 两两之间都只重复一个全 0 行.

所以由定义 2.3 可知

为期望的正交表, 其中 $m=3,4,\cdots,n+1$.

例3.1 最优正交表 $L_{16m}(2^{15})$ 的构造, 其中$m=1,2,3,4,5$.

首先, 用引理 2.3 构造正交表 $B_1$, 选定 $B_1$ 中不包含全 $1$ 行的 $5$ 列为 12348 列, 进行列变化 [12345], 得到新的正交表 $B_2$

根据定理 3.1 可知 $B_1,B_2$ 之间除了全 0 行外没有重复行, 组合在一起可以得到一个新的最优正交表

其中只重复 2 个全 0 行.

根据定理 3.2 可以得到 $B_3,B_4,B_5$

因此 $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$ 任意 $m$ 个组合在一起可以得到一个新的最优正交表, 其中只重复 $m$ 个全 0 行, 如

其中只重复 5 个全 0 行.

上一节我们构造了具有重复行的 2 水平最优正交表, 本节我们将构造具有重复行的 $s$ 水平最优正交表. 首先构造最优正交表 $L_{s^{2}m}(s^{s+1})$, 先对引理 2.3 中 $n=2,s\geq3$ 时构造的正交表 $L_{s^{2}}(s^{s+1})$ 里面的独立列 $a_{1}$ 进行水平变换, 再对整个正交表进行列变换, 然后将变换前后的正交表组合在一起, 构成一个只重复 $m$ 个全 0 行的最优正交表.

其次构造 $L_{2s^{n}}(s^{\frac{s^{n}-1}{s-1}})$, 用引理 2.3 中 $n\geq3,s\geq3$ 时构造的正交表 $L_{s^{n}}(s^{\frac{s^{n}-1}{s-1}})$ 通过列变换构造期望的只重复 2 个全 0 行的最优正交表, 与上述构造方法不同的是, 该方法不用进行水平变换, 而是只需要进行列变换, 当然这些列也是需要进行选择的. 并且本节所有的定理要求 $s$ 为素数或素数幂, 首先给出下面的定理.

定理4.1 存在只重复 $m$ 个全 0 行的最优正交表 $L_{s^{2}m}(s^{s+1})$, 其中 $m=1,2,\cdots,s+1$ 且 $s\geq4$, $s$ 为素数或素数幂.

证 用引理 2.3 构造出正交表

其中 $a_1=(s)\otimes1_{s},a_2=1_{s}\otimes(s)$.

将 $B_1$ 的第一列作水平变换: $(1,2,\cdots,s-1)$ 变为 $(2,3,\cdots,s-1,1)$ 得到一个新的正交表, 设为 $B=(a,a_{2},a_{1}+a_{2},\cdots,(s-1)a_{1}+a_{2})=(a,b_{1},b_{2},\cdots,b_{s})$. 再将 $B$ 的第一列分别与后面 $s$ 列位置互换得到 $s$ 个新的表, 设为 $B_2,B_3,\cdots,B_{s+1}$. 因为符号变换与列变换都是正交表的同构变换, 不改变其正交性, 所以 $B_2,B_3,\cdots,B_{s+1}$ 仍是正交表. 下证 $L_{s^{2}m}(s^{s+1})=\left(\begin{array}{c} B_1\\ \vdots\\ B_m\\ \end{array}\right)$ 为期望的正交表.

首先证明 $B_1$ 与 $B_2$ 的交集只有全 0 行.

将 $B_1$ 分为两块, 第一块为前 $s$ 行, 第二块为后 $(s^{2}-s)$ 行, 因为 $B_2$ 是 $B_1$ 交换前两列得到的, 所以 $B_2$ 的前 $s$ 行也是 $B_1$ 交换前两列得到的. 明显 $B_1$ 的前 $s$ 行与 $B_2$ 的前 $s$ 行除全 0 行外都不相同, 因为 $B_1$ 前 $s$ 行的 0 列与 $B_2$ 前 $s$ 行的 0 列所在的位置不同.

因为 $B_1$ 的指数为 1, 所以后 $(s^{2}-s)$ 行的第三、四列的数对都不相同, 且在两种变换之后保持不变, 因此 $B_1$ 的第 $i$ 行与 $B_2$ 的第 $j$ 行不相同, 其中 $i\neq j$ 且 $s+1\leq i,j\leq s^{2}$. 因此只要证明 $B_1$ 与 $B_2$ 后 $(s^{2}-s)$ 行第一、二列的第 $i$ 行的数对在两种变换之后一定不同, 则后 $(s^{2}-s)$ 行的 $(s+1)$ 元组都不相同. 设 $B_1$ 中后 $(s^{2}-s)$ 行第一、二列第 $i$ 行数对为 $(a_i',b_{1i})$, 在 $B$ 中变为 $(a_i,b_{1i})$, 且 $a_i\neq a_i'$, 在 $B_2$ 中变为 $(b_{1i},a_i)$, 若 $(a_i',b_{1i})=(b_{1i},a_i)$, 需要 $a_i'=b_{1i}=a_i$, 矛盾.

$B_1$ 与 $B_i$ 的证明类似 $B_1$ 与 $B_2$, 其中 $3\leq i\leq m$.

再证 $B_2$ 与 $B_3$ 的交集只有全 0 行.

将 $B_2,B_3$ 分为两块, 第一块为前 $s$ 行, 第二块为后 $(s^{2}-s)$ 行, 明显 $B_2$ 与 $B_3$ 的第一块除全 0 行外都不相同.

当 $i$ 行取自第二块时, 设 $B_2$ 的第 $i$ 行前三列为 $(b_i,a_i,c_i)$, $B_3$ 的第 $i$ 行前三列为 $(c_i,b_i,a_i)$, 若 $(b_i,a_i,c_i)=(c_i,b_i,a_i)$, 需要 $a_i=b_i=c_i$, 这种情况只会在第一块中出现, 矛盾, 因此 $B_2$ 的第 $i$ 行与 $B_3$ 的第 $i$ 行不同.

当 $i$ 行 $j$ 行都取自第二块, 且 $i\neq j$ 时, 设 $B_2$ 的第 $i$ 行前五列为 $(b_i,a_i,c_i,d_i,e_i)$, $B_3$ 的第 $j$ 行前五列为 $(c_j,b_j,a_j,d_j,e_j)$, 若 $(b_i,a_i,c_i,d_i,e_i)=(c_j,b_j,a_j,d_j,e_j)$, 需要 $(d_i,e_i)=(d_j,e_j)$, 而 $\lambda=1$, 矛盾.

$B_i$ 与 $B_j$ 的证明类似 $B_2$ 与 $B_3$, 其中 $i\neq j$, 且 $2\leq i,j\leq m$.

综上, $B_1,B_2,\cdots,B_{s+1}$ 除了全 0 行外没有别的重复行, 由定义 2.3 可知这 $(s+1)$ 个正交表任意 $m$ 个可以组合成期望的最优正交表

其中 $m=1,2,\cdots,s+1$, 得证.

注4.1 具有重复行的最优正交表 "只重复 $m$ 个全 0 行" 是指该正交表除了全 0 行外没有别的重复行. 当 $s=3$ 时, 我们通过引理 2.3 构造出的正交表只有 4 列, 不满足定理 4.1 的证明过程, 因此给出推论 4.1 说明 $s=3$ 时的情况.

推论4.1 存在只重复 $m$ 个全 0 行的最优正交表 $L_{9m}(3^{4})$, 其中 $m=1,2,3,4$.

证 用引理 2.3 构造出正交表

将 $B_1$ 的第一列作水平变换: (1,2) 变为 (2,1) 得到一个新的正交表, 设为

再将 $B$ 的第一列分别与后面 3 列位置互换得到 3 个新的正交表, 设为 $B_2,B_3,B_4$

下证 $\left(\begin{array}{c} B_1\\ \vdots\\ B_m\\ \end{array}\right)$ 为期望的正交表, 其中 $m=1,2,3,4$.

$B_1$ 与 $B_2$, $B_1$ 与 $B_3$, $B_1$ 与 $B_4$ 之间只重复全 0 行, 证明过程与定理 4.1 类似.

下证 $B_2$ 与 $B_3$ 的交集只有全 0 行.

将 $B_2,B_3$ 分为三块, 第一块为前三行, 第二块为中间三行, 第三块为后三行, 明显 $B_2$ 与 $B_3$ 的前三行除 $(0000)$ 外都不相同. 当 $i$ 行取自第二块或者第三块时, 证明过程与定理 4.1 类似.

当 $i$ 行 $j$ 行取自第二块或者第三块中的同一块, 且 $i\neq j$ 时, 设 $B_2$ 的第 $i$ 行为 $(b_i,a_i,c_i,d_i)$, $B_3$ 的第 $j$ 行为 $(c_j,b_j,a_j,d_j)$, 若 $(b_i,a_i,c_i,d_i)=(c_j,b_j,a_j,d_j)$, 需要 $d_i=d_j$, 而 $i$ 行 $j$ 行取自同一块, 矛盾. 而当 $B_2$ 的第 $i$ 行与 $B_3$ 的第 $j$ 行取自第二块或者第三块中的不同块, 且 $i\neq j$ 时, 设 $B_2$ 的第 $i$ 行为 $(b_i,a_i,c_i,d_i)$, $B_3$ 的第 $j$ 行为 $(c_j,b_j,a_j,d_j)$, 若 $(b_i,a_i,c_i,d_i)=(c_j,b_j,a_j,d_j)$, 有 $b_i=c_j,a_i=b_j,c_i=a_j,d_i=d_j$, 因为 $a_i\neq a_j$, 设 $b_i=c_j=\alpha,d_i=d_j=\beta,a_i=1,a_j=2$, 所以 $B_2$ 第 $i$ 行对应 $B_1$ 中的 $(a_j,b_i,c_i,d_i)=(2,\alpha,2,\beta)$, $B_3$ 第 $j$ 行对应 $B_1$ 中的 $(a_i,b_j,c_j,d_j)=(1,1,\alpha,\beta)$, 而第二、三块中一行最多两个 1 或 2, 且最多只有一个 0, 矛盾, 因此 $B_2$ 的第 $i$ 行与 $B_3$ 的第 $j$ 行不同.

$B_2$ 与 $B_4$, $B_3$ 与 $B_4$ 的证明类似 $B_2$ 与 $B_3$.

综上, $B_1,B_2,B_3,B_4$ 除了全 0 行外没有别的重复行, 由定义 2.3 可知这四个正交表任意 $m$ 个可以组合成期望的最优正交表 $L_{9m}(3^{4})$, 其中 $m=1,2,3,4$, 得证.

推论4.2 让 $s\geq4$ 为素数或素数幂, 对每一个 $m=1,2,\cdots,s+1$ 都存在 $s-2$ 个最优正交表 $L_{s^{2}m}(s^{s+1})$, 其中每个都只重复 $m$ 个全 0 行, 任意两个有 $s^{2}+s(m-1)$ 个相同行.

证 用引理 2.3 构造出正交表

$L_{s^{2}}(s^{s+1})=(a_{1},a_{2},a_{1}+a_{2},\cdots,(s-1)a_{1}+a_{2})=B_1,$ 其中 $a_1=(s)\otimes1_{s},a_2=1_{s}\otimes(s)$.

对 $B_1$ 的第一列中水平 $(1,2,\cdots,s-1)$ 分别作水平变换为 $(2,3,\cdots,s-1,1),(3,4,\cdots,s-1,1,2),\cdots,(s-1,1,2,\cdots,s-3,s-2)$ 得到 $s-2$ 个新的正交表, 记为 $C_1,C_2,\cdots,C_{s-2}$. 将 $C_1$ 的第一列分别与后面 $s$ 列位置互换得到 $s$ 个新的正交表, 设为 $B_2,B_3,\cdots,B_{s+1}$, 根据定理 4.1 可得

为一个最优正交表.

同理, 由 $C_2$ 可得第二个最优正交表

对 $C_3,C_4,\cdots,C_{s-2}$ 做同样的操作, 可以得到最优正交表 $A_3,A_4,\cdots,A_{s-2}$.

下证这 $s-2$ 个最优正交表 $A_1,A_2,\cdots,A_{s-2}$ 中任意两个有 $s^{2}+s(m-1)$ 个相同行.

我们不妨只证 $A_{1},A_{2}$ 满足要求, 明显 $A_{1},A_{2}$ 的前 $s^{2}$ 行是重复的.

再证 $B_{2}$ 与 $B_{2}'$ 除前 $s$ 行没有相同行. 将 $B_2,B_{2}'$ 分为两块, 第一块为前 $s$ 行, 第二块为后 $(s^{2}-s)$ 行, 根据定理 4.1 可知 $B_{2}$ 与 $B_{2}'$ 前 $s$ 行一定是相同的. 当 $i$ 行 $j$ 行取自第二块时, 因为 $B_{2}$ 与 $B_{2}'$ 的第二列相同位置的水平数一定不同, 所以 $B_{2}$ 的第 $i$ 行和 $B_{2}'$ 的第 $i$ 行一定不同. 又因为 $B_{2}$ 与 $B_{2}'$ 都是饱和正交表, 根据引理 2.2 可知他们的汉明距离都为 $s$, 因此除第二列外 $B_{2}$ 的第 $i$ 行和 $B_{2}'$ 的第 $j$ 行一定不同. 因此, $B_{2}$ 与 $B_{2}'$ 除前 $s$ 行外没有相同行, 同理 $B_{i}$ 与 $B_{i}'$ 的证明类似 $B_{2}$ 与 $B_{2}'$, 其中 $3\leq i\leq m$.

最后证 $B_{2}$ 与 $B_{3}'$ 的交集只有全 0 行. 将 $B_2,B_3'$ 分为两块, 第一块为前 $s$ 行, 第二块为后 $(s^{2}-s)$ 行, 明显 $B_2$ 与 $B_3'$ 的第一块除全 0 行外都不相同. 当 $i$ 行取自第二块时, 设 $B_2$ 的第 $i$ 行前三列为 $(b_i,a_{i1},c_i)$, $B_3'$ 的第 $i$ 行前三列为 $(c_i,b_i,a_{i2})$, 若 $(b_i,a_{i1},c_i)=(c_i,b_i,a_{i2})$, 需要 $a_{i1}=a_{i2}$, 而 $A_{1},A_{2}$ 是对 $B_1$ 的第一列中元素作了不同的水平变换, 所以矛盾, 因此 $B_2$ 的第 $i$ 行与 $B_3'$ 的第 $i$ 行不同. 当 $i$ 行 $j$ 行都取自第二块, 且 $i\neq j$ 时, 设 $B_2$ 的第 $i$ 行前五列为 $(b_i,a_{i1},c_i,d_i,e_i)$, $B_3'$ 的第 $j$ 行前五列为 $(c_j,b_j,a_{j1},d_j,e_j)$, 若 $(b_i,a_{i1},c_i,d_i,e_i)=(c_j,b_j,a_{j1},d_j,e_j)$, 需要 $(d_i,e_i)=(d_j,e_j)$, 而 $B_{2}$ 与 $B_{3}'$ 的指数 $\lambda=1$, 矛盾. 因此, $B_{2}$ 与 $B_{3}'$ 的交集只有全 0 行, 同理 $B_i$ 与 $B_j'$ 的证明类似 $B_2$ 与 $B_3'$, 其中 $i\neq j$, 且 $2\leq i,j\leq m$.

综上, $A_{1},A_{2}$ 中有 $s^{2}+s(m-1)$ 个相同行.

例4.1 最优正交表 $L_{16m}(4^{5})$ 的构造, 其中 $m=1,2,3,4,5$.

首先, 用引理 2.3 构造正交表 $B_1$, 将 $B_1$ 的第一列作水平变换, $(1,2,3)$ 变为 $(2,3,1)$ 得到一个新的正交表, 设为 $B$

再将 $B$ 的第一列分别与后面 4 列位置互换得到 4 个新的正交表, 分别为

$B_2=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0123012301230123\\ 0000222233331111\\ 0123103223013210\\ 0123230132101032\\ 0123321010322301\\ \end{array}\right]^{T}, \ \ B_3=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0123103223013210\\ 0123012301230123\\ 0000222233331111\\ 0123230132101032\\ 0123321010322301\\ \end{array}\right]^{T},$ $B_4=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0123230132101032\\ 0123012301230123\\ 0123103223013210\\ 0000222233331111\\ 0123321010322301\\ \end{array}\right]^{T}, \ \ B_5=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0123321010322301\\ 0123012301230123\\ 0123103223013210\\ 0123230132101032\\ 0000222233331111\\ \end{array}\right]^{T}.$

上述 $B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$ 任意 $m$ 个组合在一起可以得到一个最优正交表 $L_{16m}(4^{5})$, 其中只重复 $m$ 个全 0 行, 如

其中只重复 5 个全 0 行.

同理, 根据推论 4.2, 若将 $B_1$ 的第一列 $(1,2,3)$ 作水平变换变为 $(3,1,2)$, 则最终可以得到一个新的最优正交表

其中只重复 5 个全 0 行, 根据推论 4.2 可知 $A_{1},A_{2}$ 有 32 个重复行, 分别为第 1-20 行, 第 33-36 行, 第 49-52 行, 第 65-68 行.

定理4.2 存在只重复 2 个全 0 行的最优正交表 $L_{2s^{n}}(s^{\frac{s^{n}-1}{s-1}})$, 其中 $n\geq3,s\geq3$, $s$ 为素数或素数幂.

证 让 $B_1$ 是引理 2.3 中 $n$ 个独立列构造的正交表. 我们将对 $B_1$ 进行列变换, 得到一个新的正交表 $B_2$, 使

为期望的正交表.

因为 $B_1$ 由 $n$ 个独立列构造, $(a_1,a_2,\cdots,a_n)=F_{s}^{n}$ 为全排列, 所以 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 中存在 $(1,1,\cdots,1),(2,2,\cdots,2),\cdots,(s-1,s-1,\cdots,s-1)$, 而 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 并上 $(a _1+a_2)$, 得到的 $(n+1)$ 列中一定不包含上述水平全部相同的行. 类似于定理 3.1 的证明, 对 $B_1$ 中这 $(n+1)$ 列进行列变换 $f=[1234\cdots(n-1)n(n+1)]$ 得到 $B_2$, 并且 $B_2$ 与 $B_1$ 的第 $i$ 行在变换之后不同, $2\leq i\leq s^{n}$.

又因为 $B_1$ 的汉明距离为 $s^{n-1}$, 且 $s\geq3,n\geq3$, 所以去掉 $(n+1)$ 列之后的汉明距离 $s^{n-1}-n-1$ 仍大于 1, 所以 $B_1$ 的另外 $s^{\frac{s^{n}-1}{s-1}}-n-1$ 列保持不变且每行都不相同, 因此变换之后的 $B_2$ 的第 $j$ 行与 $B_1$ 的第 $i$ 行不同, $i\neq j,2\leq i,j\leq s^{n}$.

综上, 进行该列变换之后两个正交表 $B_1$ 和 $B_2$ 除了全 0 行外没有重复行, 由定义 2.3 可知上述 $L_{2s^{n}}(s^{\frac{s^{n}-1}{s-1}})$ 满足最优正交表的条件, 且只重复两个全 0 行.

注4.2 在 $B_1$ 中选择不包含 $(1,1,\cdots,1),(2,2,\cdots,2),\cdots,(s-1,s-1,\cdots,s-1)$ 的 $(n+1)$ 列时, 只需选择 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 并上任意两个独立列生成的列即可, 如: $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 并上 $(a_2+a_3)$ 等.

注4.3 根据定理 3.1 可知, 为了得到 $B_2$, 对上述 $B_1$ 中选定的列进行的列变换也可以有同注 3.2 的 $n!$ 种变换, $f$ 取其中之一就能保证 $B_2$ 与 $B_1$ 的的第 $i$ 行在变换之后不同.

例4.2 最优正交表 $L_{54}(3^{13})$ 的构造, 其中只重复两个全 0 行.

根据定理 4.2 可以得到正交表 $B_1$ 和 $B_2$

就是只重复 2 个全 0 行的最优正交表.

本节研究 $m$-最优正交表的构造, 在前两节构造的最优正交表的基础之上通过删除一些列, 获得 $m$-最优正交表. 虽然删列这个操作很简单, 但是具体删除多少列, 删除哪些列, 才能得到 $m$-最优正交表, 是我们本节重点讨论的问题. 首先给出下面的定理.

定理5.1 对于 $n\geq4$, 且 $(n+1)$ 为奇素数; $m=1,2,\cdots,n+1$, 存在只重复 $m$ 个全 0 行的 $m$-最优正交表 $L_{2^{n}m}(2^{2^{n}-1-x})$, 其中 $0\leq x<\frac{2^{n}}{m+1}$, $x$ 为整数.

证 根据定理 3.2 我们可以得到最优正交表

其中 $B_2,\cdots,B_m$ 是由 $B_1$ 中不包含全 1 行的 $(n+1)$ 列进行列变换得到的, 而剩余 $2^{n}-n-2$ 列保持不变, 因此如果删除的 $x$ 列不包含进行列变换的 $(n+1)$ 列, 那么 $B_i$ 和 $B_j$ 删除这 $x$ 列后的第 $a$ 行也不同, $i\neq j$ 且 $1\leq i,j\leq m$; $2\leq a\leq2^{n}$.

由定义 2.3 可知, 一个正交表 $L_{\lambda s^{2}}(s^{k})$ 满足 $m$-最优正交表的条件为 $m=\left\lfloor\frac{\lambda s^{2}}{k(s-1)+1}\right\rfloor$, 因此从最优正交表 $L_{2^{n}m}(2^{2^{n}-1})$ 中删除 $x$ 列得到的正交表 $L_{2^{n}m}(2^{2^{n}-1-x})$ 是一个 $m$-最优正交表需要满足 $m=\left\lfloor\frac{2^{n}m}{2^{n}-x}\right\rfloor$, 即

由引理 2.2 可知 $B_1,\cdots,B_m$ 的汉明距离为 $2^{n-1}$. 当 $n\geq4$ 且 $(n+1)$ 为奇素数时, 在删除 $x$ 列后的汉明距离总是大于等于 1, 即 $2^{n-1}-x\geq1$, 因此删除 $x$ 列后的 $B_i$ 的第 $a$ 行与 $B_j$ 的第 $b$ 行不同, $i\neq j$ 且 $1\leq i,j\leq m$; $a\neq b$ 且 $2\leq a,b\leq2^{n}$.

综上, 最优正交表 $L_{2^{n}m}(2^{2^{n}-1})$ 删除 $x$ 列(不包含进行列变换的 $(n+1)$ 列)之后得到的 $L_{2^{n}m}(2^{2^{n}-1-x})$ 是期望的正交表.

注5.1 原正交表有 $2^{n}-1$ 列, 可以删除的列总共有 $2^{n}-n-2$ 列, 而当 $m=1$ 时, $\frac{2^{n}}{m+1}=2^{n-1}$ 最大, 但是 $n\geq4$, $2^{n}-n-2$ 总是大于 $2^{n-1}$, 因此不存在列不够删除的情况.

例5.1 在定理 5.1 中让 $n=4$ 我们可以获得 $m$-最优正交表 $L_{16m}(2^{15-x})$, 其中 $m=1,2,3,4,5$; $0\leq x<\frac{16}{m+1}$ 且 $x$ 为整数, 如 $m=1,x=7$ 和 $m=5,x=2$ 时可以得到如下 $m$-最优正交表 $L_{16}(2^{8}),L_{80}(2^{13})$

$L_{80}(2^{13})=$ ${ \left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0000000011111111&0000111100001111&0000111111110000&0011001100110011&0101010101010101\\ 0000111100001111&0000111111110000&0011001100110011&0101010101010101&0000000011111111\\ 0000111111110000&0011001100110011&0101010101010101&0000000011111111&0000111100001111\\ 0011001100110011&0101010101010101&0000000011111111&0000111100001111&0000111111110000\\ 0011001111001100&0011001111001100&0011001111001100&0011001111001100&0011001111001100\\ 0011110000111100&0011110000111100&0011110000111100&0011110000111100&0011110000111100\\ 0011110011000011&0011110011000011&0011110011000011&0011110011000011&0011110011000011\\ 0101010101010101&0000000011111111&0000111100001111&0000111111110000&0011001100110011\\ 0101010110101010&0101010110101010&0101010110101010&0101010110101010&0101010110101010\\ 0101101001011010&0101101001011010&0101101001011010&0101101001011010&0101101001011010\\ 0101101010100101&0101101010100101&0101101010100101&0101101010100101&0101101010100101\\ 0110011001100110&0110011001100110&0110011001100110&0110011001100110&0110011001100110\\ 0110011010011001&0110011010011001&0110011010011001&0110011010011001&0110011010011001\\ \end{array}\right]^{T}.}$

引理5.1 当 $s\geq3,n\geq3$ 时, $\frac{s^{n}-1}{s-1}-n-1$ 总是大于 $\frac{s^{n}}{3(s-1)}$.

证 首先我们对不等式 $\frac{s^{n}-1}{s-1}-n-1>\frac{s^{n}}{3(s-1)}$ 进行化简得到 $2s^{n}-3ns-3s+3n>0$. 令 $f(s,n)=2s^{n}-3ns-3s+3n>0.$

我们计算 $f$ 对 $s$ 和 $n$ 的偏导数

先分析 $\frac{\partial f}{\partial s}=2ns^{n-1}-3n-3$. 当 $s\geq3,n\geq3$ 时, $2ns^{n-1}$ 是一个正数且迅速增长, 而 $-3n-3$ 是一个负数, 且对于大的 $s$ 和 $n$, 其增长速度远远小于 $2ns^{n-1}$. 因此 $\frac{\partial f}{\partial s}$ 在 $s\geq3,n\geq3$ 的范围内是正数.

再分析 $\frac{\partial f}{\partial n}=2s^{n}\ln s-3s+3$. 当 $s\geq3,n\geq3$ 时, $2s^{n}\ln s$ 是一个正数且迅速增长, 而 $-3s+3$ 是一个负数, 且对于大的 $s$ 和 $n$, 其增长速度远远小于 $2s^{n}\ln s$. 因此 $\frac{\partial f}{\partial n}$ 在 $s\geq3,n\geq3$ 的范围内也是正数.

因为 $\frac{\partial f}{\partial n}>0$ 且 $\frac{\partial f}{\partial s}>0$, 这表明 $f(s,n)$ 随着 $s$ 和 $n$ 的增长而单调递增. 另外我们还需要检查边界条件来确保 $f(s,n)$ 在 $s\geq3,n\geq3$ 时为正

由于 $f(s,n)$ 在 $s\geq3,n\geq3$ 的范围内单调递增且在边界条件下为正, 可以推断 $f(s,n)>0$ 在 $s\geq3,n\geq3$ 时总是成立, 因此不等式 $2s^{n}-3ns-3s+3n>0$ 总是成立, 即 $\frac{s^{n}-1}{s-1}-n-1>\frac{s^{n}}{3(s-1)}$ 得证.

定理5.2 让 $s\geq3$ 是素数或素数幂, $n\geq3$, 存在只重复 2 个全 0 行的 $m$-最优正交表 $L_{2s^{n}}(s^{\frac{s^{n}-1}{s-1}-x})$, 其中 $0\leq x<\frac{s^{n}}{3(s-1)}$, $x$ 为整数.

证 根据定理 4.2 我们可以得到最优正交表

其中 $B_2$ 是由 $B_1$ 进行列变换得到的, 如果删除的 $x$ 列不包含进行列变换的 $(n+1)$ 列, 那么 $B_1$ 和 $B_2$ 删除这 $x$ 列后的第 $i$ 行仍不同, $2\leq i\leq s^{n}$.

由定义 2.3 可知, 从最优正交表 $L_{2s^{n}}(s^{\frac{s^{n}-1}{s-1}})$ 中删除 $x$ 列得到的正交表 $L_{2s^{n}}(s^{\frac{s^{n}-1}{s-1}-x})$ 是一个 $m$- 最优正交表需要满足

即

由引理 2.2 可知 $B_1,B_2$ 的汉明距离为 $s^{n-1}$, 所以在删除 $x$ 列后的汉明距离总是大于 1, 即 $s^{n-1}-x>1$, 因此删除 $x$ 列后的 $B_1$ 的第 $i$ 行与 $B_2$ 的第 $j$ 行不同, $i\neq j$ 且 $2\leq i,j\leq s^{n}$.

最后, 根据引理 5.1 可知 $B_1,B_2$ 中可以删除的 $\frac{s^{n}-1}{s-1}-n-1$ 列总是大于 $\frac{s^{n}}{3(s-1)}$, 因此不会存在列不够删除的情况. 最优正交表 $L_{2s^{n}}(s^{\frac{s^{n}-1}{s-1}})$ 删除 $x$ 列(不包含进行列变换的 $(n+1)$ 列)之后得到的 $L_{2s^{n}}(s^{\frac{s^{n}-1}{s-1}-x})$ 是期望的正交表.

注5.2 由于定理 4.1 中构造最优正交表的方法是先进行水平变换再进行所有列的置换, 我们无法确定在删除的 $x$ 列后是否只有全 0 行重复, 因此不讨论此时对应的 $m$-最优正交表.

例5.2 当 $s=3,n=3$ 时, 由定理 5.2 可以得到 $m$-最优正交表

其中只重复 2 个全 0 行.

本文主要研究各种具有重复行的强度 2 的最优正交表的构造, 通过水平变换和列变换得到具有重复行的 2 水平的最优正交表、具有重复行的 $s$ 水平的最优正交表和具有重复行的 $m$-最优正交表的构造方法, 为试验设计提供了大量优秀的正交表. 由于本文构造的均为强度 2 的最优正交表, 今后, 可以基于这些构造方法, 尝试构造具有重复行的更高强度的最优正交表.