积分几何起源于几何概率的研究, 其发展也始终与几何概率相联系. 一般认为, 最早的几何概率问题是 Buffon 提出并解决的投针问题: 在平面上放置间隔为 $D$ 的平行线网, 将长度为 $l\left( l\le D \right)$ 的线段（小针）随机地投掷到平面上, 小针与平行线网相遇的概率 $p=\frac{2l}{\pi D}$. 近年来, Buffon 投针问题得到了较为广泛的研究与推广, 参见文献 [1],[2],[3],[4],[5],[6], 但这些推广仅限于 2 维和 3 维情形下复杂网格的 Buffon 投针问题的推广. 文献 [7],[8],[9],[10] 将这类几何概率问题推广到了 $n$ 维, 其中文献 [7],[8],[9] 讨论了超平面偶与凸体相交的几何概率, 文献 [10] 则针对线性子空间束, 他们都给出了一种求此类问题的方法.

本文工作之一就是将这类几何概率问题推广到任意维线性子空间束, 一般公式是复杂的, 本文着重讨论了其中一种最特殊情形, 即对 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 线性子空间束 $\left( {{L}_{{{r}_{1}}}},{{L}_{{{r}_{2}}}}, \cdots, {{L}_{{{r}_{h}}}} \right)$ 的维数做了如下限制: ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}\ge n+1,{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+{{r}_{3}}\ge 2n+1,\cdots,{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h}}\ge (h-1)n+1$.

文献 [11] 则提出了 "凸集汇聚概率" 这一概念的三维情形, 文献 [12] 把这个结果推广到和一个固定凸集 ${{K}_{0}}$ 相交的柱和带, 并提出 "求和一个凸集 ${{K}_{0}}$ 相交的 $n$ 条随机直线构成一个殆把（即存在一个半径为 $r$ 而和所有直线有公共点的球存在）的概率" 这一课题.

本文所作的另外一个工作就是在不规定球在 ${{K}_{0}}$ 里的位置的条件下, 讨论了和一个凸集 ${{K}_{0}}$ 相交的 $h$ 条任意维随机平面构成一个殆把的概率.

定义 2.1 设 $A$ 为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中的点集, 若对于任意的 $x,y\in A$ 及 $0\le \lambda \le 1$, 都有 $\lambda x+\left( 1-\lambda \right)y\in A$, 则称 $A$ 为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中的凸集.

定义 2.2 具有非空内点的紧凸集称为凸体, 凸体 $K$ 的边界 $\partial K$ 称为凸曲面, ${{\mathcal{K}}^{n}}$ 表示 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中所有凸体的集合.

定义 2.3^[11] 设 $K$ 为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中凸集, $O$ 为定点. ${{L}_{n-r\left[ O \right]}}$ 表示过 $O$ 点的任一 $\left( n-r \right)$ 维平面. 过 $K$ 的每点作垂直于 ${{L}_{n-r\left[ O \right]}}$ 的 $r$ 维平面, 这些 $r$ 维平面与 ${{L}_{n-r\left[ O \right]}}$ 的交点构成凸集 ${{{K}'}_{n-r,}}$, 体积记为 $V\left( {{{{K}'}}_{n-r}} \right)$. 记

定义 2.4^[11] ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中凸集 $K$ 的均质积分 ${{W}_{r}}\left( K \right)$ 规定如下

特别地, ${{W}_{0}}\left( K \right)={{I}_{0}}\left( K \right)=V\left( K \right), {{W}_{n}}\left( K \right)=\frac{{{O}_{n-1}}}{n}$, 式中 ${{O}_{r}}$ 表示 $r$ 维单位球面的面积, ${{O}_{r}}=\frac{2{{\pi }^{{\left( r+1 \right)}/{2}\;}}}{\Gamma \left( \frac{r+1}{2} \right)}$, 并且有关系式 $r{{O}_{r+1}}=2\pi {{O}_{r-1}}$.

定义 2.5^{[7],[10],[11],[13],[14]} 设 $\Sigma $ 为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中 ${{C}^{2}}$ 类超曲面, ${{\chi }_{1}},{{\chi }_{2}},\cdots,{{\chi }_{n-1}}$ 是 $\Sigma $ 的 $n-1$ 个主曲率. $\Sigma $ 的第 $r$ 个平均曲率积分定义为

其中, $\text{d}\sigma $ 表示 $\Sigma $ 的面积元, $\left\{\chi_{i_1},\chi_{i_2},\cdots,\chi_{i_r}\right\}$ 为主曲率的第 $r$ 阶初等对称函数.

平均曲率积分也可用主曲率半径定义如下

其中, ${{R}_{i}}={1}/{{{\chi }_{i}}}\; \left( i=1, \cdots, n-1 \right)$ 称为 $\Sigma $ 的主曲率半径, $\text{d}{{u}_{n-1}}$ 表示曲面的球面象的面积元, 并且有 ${{\chi }_{1}}\cdots {{\chi }_{n-1}}\text{d}\sigma =\text{d}{{u}_{n-1}}$.

定义 2.6^[11] 设 $K$ 为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中凸集, 以 $K$ 中每一点为球心, 以常数 $r$ 为半径作 $n$ 维闭球体, 这些球体的并集称为 $K$ 的距离为 $r$ 的外平行凸集, 记为 ${{K}_{r}}$, 即 ${{K}_{r}}:=\{\cup B_{r}^{n}(p):p\in K\}$. 类似地, 若 $r$ 不大于 $\partial K$ 的曲率半径的最小值, 则内平行凸集可以定义为与 $\partial K$ 内切的半径为 $r$ 的 $n$ 维球, 沿 $\partial K$ 滚动一周, 其球心所围成的集合, 即 ${{K}_{-r}}:=\{\cup p:B_{r}^{(n)}(p)\subset K\}\left( r\le \min \left\{ {{R}_{i}}, i=1,2,\cdots,n-1 \right\} \right)$.

注2.1^[11],[13] ${{R}_{k}}\left( {{x}_{1}},\cdots,{{x}_{n}} \right)=\sum\limits_{1\le {{i}_{1}}<\cdots <{{i}_{k}}\le n}{{{x}_{{{i}_{1}}}}}\cdots {{x}_{{{i}_{k}}}}$, $1\le k\le n$ 表示 $k$ 阶初等对称函数, 特别地, ${{R}_{0}}\left( {{x}_{1}},\cdots,{{x}_{n}} \right)=1$, ${{R}_{1}}\left( {{x}_{1}},\cdots,{{x}_{n}} \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$, ${{R}_{n}}\left( {{x}_{1}},\cdots,{{x}_{n}} \right)=\prod\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$.

注2.2 平均曲率积分与均质积分有如下关系式^{[11],[13],[14]}

其中, ${{W}_{r+1}}\left( K \right)$ 对于任意凸集都是确定的, 而 ${{M}_{r}}\left( \partial K \right)$ 的定义 (2.4) 式则只有当 $\partial K\in {{C}^{2}}$ 时才有意义, 但是我们可以取 (2.5) 式作为平均曲率积分的定义.

注2.3 本文需要用到的几何量

它表示 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中旋转群上的完全积分, 其中 ${{\omega }_{n}}=\frac{{{O}_{n-1}}}{n}=\frac{2{{\pi }^{{n}/{2}\;}}}{n\Gamma \left( \frac{n}{2} \right)}$.

规定 ${{C}_{0n}}=1$.

其中, $\binom{\mu} {{{\lambda }_{0}},\cdots,{{\lambda }_{h}}}=\frac{\mu !}{{{\lambda }_{0}}!\cdots {{\lambda }_{h}}!}$.

本章主要介绍本文所得出的结论, 共 6 个定理, 2 个推论. 其中, 定理 3.1 和定理 3.2 给出了约束条件下线性子空间束与凸体相交时的有关测度, 定理 3.3 给出上述条件下线性子空间束与凸体相交时的几何概率, 可由定理 3.1, 3.2 直接推出; 定理 3.4 给出一个球作为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中的平坦凸体时的均质积分, 定理 3.5 在定理 3.4 的基础上进一步讨论了 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中的平面与 $n$ 维球体作直积的均质积分; 定理 3.6 讨论了随机平面与凸体相交时汇聚的概率, 推论 3.1, 3.2 在定理 3.6 的基础上分别给出一维空间中点的汇聚概率和二维情形下点的汇聚概率.

定理3.1 设 $K\in {{\mathcal{K}}^{n}}$, $\left( {{L}_{{{r}_{1}}}},{{L}_{{{r}_{2}}}}, \cdots, {{L}_{{{r}_{h}}}} \right)$ 为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中与 $K$ 相交的线性子空间束, 且维数满足 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}\ge n+1,{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+{{r}_{3}}\ge 2n+1,\cdots,{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h-1}}\ge (h-2)n+1$. 则此线性子空间束的交与 $K$ 相交的测度 $m$ 为

(1) 当 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h}}\ge (h-1)n+1$ 时,

其中, ${{C}_{in}}=\frac{{{O}_{n-2}}{{O}_{n-3}}\cdots {{O}_{n-i}}}{(n-i){{O}_{i-2}}\cdots {{O}_{0}}}$.

(2) 当 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h}}=\left( h-1 \right)n$ 时,

(3) 当 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h}}<\left( h-1 \right)n$ 时,

定理3.2 设 $K\in {{\mathcal{K}}^{n}}$, $\left( {{L}_{{{r}_{1}}}},{{L}_{{{r}_{2}}}}, \cdots, {{L}_{{{r}_{h}}}} \right)$ 为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中与 $K$ 相交的线性子空间束, 且维数满足 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}\ge n+1,{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+{{r}_{3}}\ge 2n+1,\cdots,{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h-1}}\ge (h-2)n+1$, 则此线性子空间束与 $K$ 相交的测度 $m_1$ 为

定理3.3 设 $K\in {{\mathcal{K}}^{n}}$, $\left( {{L}_{{{r}_{1}}}},{{L}_{{{r}_{2}}}}, \cdots, {{L}_{{{r}_{h}}}} \right)$ 为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中与 $K$ 相交的线性子空间束, 且维数满足 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}\ge n+1,{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+{{r}_{3}}\ge 2n+1,\cdots,{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h-1}}\ge (h-2)n+1$, 则此线性子空间束的交与 $K$ 相交的概率 $p$ 为

(1) 当 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h}}\ge (h-1)n+1$ 时,

(2) 当 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h}}=\left( h-1 \right)n$ 时,

(3) 当 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h}}<\left( h-1 \right)n$ 时,

定理3.4 设 ${{B}_{R}}^{\left( l \right)}$ 是 $l$ 维平面 ${{L}_{l}}\subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ 中半径为 $R$ 的球体, 当把它作为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中平坦凸体时, 其均质积分为

定理3.5 设 $B_R^{(l)}$ 是 $l$ 维平面 ${{L}_{l}}\subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ 中半径为 $R$ 的球体, 当把它作为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中平坦凸体时, 与其距离为 $r$ 的外平行凸集的均质积分为

定理3.6 设 $K\in {{\mathcal{K}}^{n}}$, ${{L}_{{{r}_{i}}}}\left( i=1,2,\cdots,h \right)$ 为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中维数为 ${{r}_{i}}$ 的随机平面, 若 ${{L}_{{{r}_{1}}}},{{L}_{{{r}_{2}}}},\cdots,$ ${{L}_{{{r}_{h}}}}$ 都与 $K$ 相交, 且维数满足 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h}}\ge (h-1)n+1$, 则其能构成一个 "殆把" (存在一个半径为 $r$ 而和所有平面有公共点的球) 的概率为

其中, $r\in \left[ 0,{{r}_{K}} \right]$(${{r}_{K}}$ 是 $K$ 中包含的最大球的半径), 且

这里 $\sum_{{\lambda_{0},\cdots,\lambda_{n}}}^{{n*\left[n-\max\left\{r_{i}\right\}\right]}}$ 表示 $\sum\limits_{j=0}^{n}{{{\lambda }_{j}}}=n,{{\lambda }_{j}}\le n-\max \left\{ {{r}_{i}} \right\}, j=1, \cdots,n$, 而对 $\lambda_{0}$ 没有进一步限制.

推论 3.1 在定理 3.5 的基础上, 如果不对随机平面的维数作任何限制, 在 ${{\mathbb{R}}^{1}}$ 中, ${{r}_{i}}=0$ 即随机平面全为点时, 点的汇聚概率为

其中, ${{W}_{0}}\left( K \right)=s,{{W}_{1}}\left( K \right)=\frac{C\left( K \right)}{2\pi }, C\left( K \right)=4\pi \chi \left( K \right).$

推论 3.2 同样在定理 3.5 的前提条件下, 若不对随机平面的维数作限制, 在 ${{\mathbb{R}}^{2}}$ 中, ${{r}_{i}}=0$ 时点的汇聚概率为

其中, ${{W}_{0}}(K)=f\left( K \right), {{W}_{1}}(K)=l\left( K \right), {{W}_{2}}(K)=\frac{1}{4}C\left( K \right), C\left( K \right)=4\pi \chi \left( K \right)$.

定理 3.1 的证明需要用到引理 4.1-4.3.

引理4.1^{[7],[8],[9],[10]} 设 $K\in {{\mathcal{K}}^{n}}$, $\left( {{L}_{p}},{{L}_{q}},{{L}_{s}} \right)$ 为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中与 $K$ 相交的线性子空间束, 且维数满足 $p+q\ge n$, 则此线性子空间束的交与 $K$ 相交的测度 ${{m}_{2}}$ 为

(1) 当 $p+q\ge n+1$ 时,

a) 当 $p+q+s\ge 2n+1$ 时,

b) 当 $p+q+s=2n$ 时,

c) 当 $p+q+s<2n$ 时,

(2) 当 $p+q=n$ 时,

其中, $T_{i}^{n}=\frac{{{O}_{n-2}}{{O}_{n-3}}\cdots {{O}_{n-i-1}}}{(n-i){{O}_{i-1}}{{O}_{i-2}}\cdots {{O}_{0}}}$.

引理4.2^[11],[14] 设 ${{K}^{r}}$ 是 $r$ 维平面 ${{L}_{r}}\subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ 中凸体, 并假定其边界 $\partial {{K}^{r}}\in {{C}^{2}}$. 当我们把 $\partial {{K}^{r}}$ 视为 ${{L}_{r}}$ 中凸曲面时, 以 $M_{q}^{(r)}(\partial {{K}^{r}})$ 表示其平均曲率积分. 当我们把 ${{K}^{r}}$ 看作是 ${{\mathbb{R}}^{n}}\left( n>r \right)$ 中的平坦凸体时, $\partial {{K}^{r}}$ 的平均曲率积分则以 $M_{q}^{(n)}(\partial {{K}^{r}})$ 记之, 其中, $q=0,1, \cdots,r-1$, 二者关系如下

(1) 当 $q\ge n-r$ 时,

(2) 当 $q=n-r-1$ 时,

(3) 当 $q<n-r-1$ 时,

引理4.3^[11] 平均曲率积分 $M_{q}^{(r)}(\partial \left( {{L}_{r}}\cap K \right))$ 在集 $\left\{ {{L}_{r}}:{{L}_{r}}\cap K\ne \varnothing \right\}$ 上的积分为

引理4.4^[11] 设 ${{L}_{r}}$ 为${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中 $r$ 维平面, ${{\sigma }_{r}}\left( {{L}_{r}}\cap K \right)$ 表示 ${{L}_{r}}\cap K$ 的 $r$ 维体积, 有积分公式

下面证明定理 3.1.

证 ${{L}_{{{r}_{1}}}}\cap \cdots \cap {{L}_{{{r}_{h}}}}$ 与 $K$ 相交的测度 $m$ 为

下面只讨论 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}\ge n+1,{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+{{r}_{3}}\ge 2n+1,\cdots,{{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h-1}}\ge (h-2)n+1$ 的情况来计算积分, 我们采用数学归纳法, 由引理 4.1 知, 在 $i=1,2,3$ 时成立, 假设 $i=h-1$ 时 ${{L}_{{{r}_{1}}}}\cap \cdots \cap {{L}_{{{r}_{h-1}}}}$ 与 $K$ 相交时测度 ${{m}_{3}}$ 成立, 即满足

当 $i=h$ 时,

下面分三种情况来讨论

(1) 当 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h}}\ge \left( h-1 \right)n+1$ 时,

由引理 4.2 得

由引理 4.3 得

将 (4.11)-(4.14) 式代入 (4.10) 式, (3.1) 式得证.

(2) 当 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h}}=\left( h-1 \right)n$ 时, 由 (4.6) 式得

由引理 4.4 得

将 (4.15), (4.16) 式代入 (4.12) 式, (3.2) 式得证.

(3) 当 ${{r}_{1}}+{{r}_{2}}+\cdots +{{r}_{h}}<\left( h-1 \right)n$ 时, 由引理 4.2 得

将 (4.17) 式代入 (4.12) 式, (3.3) 式得证. 综合 (1) (2) (3), 定理 3.1 得证.

引理4.5^[11] 设 $K\in {{\mathcal{K}}^{n}}$, ${{L}_{r}}$ 为 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中 $r$ 维平面, 则 ${{L}_{r}}$ 与 $K$ 相交的测度为

下面利用引理 4.5 来证明定理 3.2.

证 由引理 4.5 得

定理 3.2 得证.

定理 3.4 的证明需要用到引理 4.6.

引理4.6^[11] 半径为 $R$ 的球体的均质积分为

下面证明定理 3.4.

证 根据引理 4.2, 可分为两种情况来讨论 (1) 当 $\mu -1\ge n-l$ 时,

由引理 4.6 得

将 (4.22) 式 代入 (4.21) 式即可.

(2) 当 $\mu -1=n-l-1$ 即 $\mu =n-l$ 时, 根据引理 4.6 可得

(3) 当 $\mu <n-l$ 时,

情况 (1) 和 (2) 可以统一起来, 定理 3.4 得证.

引理4.7^[11] 平行凸集的均质积分公式为

其中 $i=0,1,\cdots,n$.

下面利用引理 4.7 来证明定理 3.5.

证 我们把两个集合的直积写成 Minkowski 和的形式, 有

由引理 4.7 得

根据定理 3.4 得

将 (4.28) 式代入 (4.27) 式, 为保证指标 $j$ 有意义, 取 $j=\max (0,n-l-\mu )$, 定理 3.5 得证.

定理 3.6 的证明需要用到引理 4.8-4.10.

引理4.8^{[12],[15],[16],[17]} ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中凸集 $A$ 的均质积分还可以定义如下

其中, $\chi $ 是 Euler-Poincaŕe 示性数, 若 $A\cap {{E}_{i}}=\varnothing $, 则 $\chi \left( A\cap {{E}_{i}} \right)=0$, 否则 $\chi \left( A\cap {{E}_{i}} \right)=1$. 这里 $\text{d}{{E}_{i}}=\text{d}{{\bar{E}}_{i}}\wedge \text{d}{{\tilde{E}}_{i}}$, $\text{d}{{\bar{E}}_{i}}$ 是与 ${{E}_{i}}$ 完全正交的平面 ${{E}_{n-i}}$ 中的点密度, $\text{d}{{\tilde{E}}_{i}}$ 表示旋转群的密度.

我们先来验证两种定义的一致性.

固定 $\text{d}{{\tilde{E}}_{i}}$, 先对 $\text{d}{{\bar{E}}_{i}}$ 积分即得 $V\left( {{{{K}'}}_{n-i}} \right)$, 再对 $\text{d}{{\tilde{E}}_{i}}$ 积分, 并将 (2.1) 式代入即得 (2.2) 式.

引理4.9^[15],[17] 设在 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 里有固定凸集 ${{K}_{0}}$ 和一个与 ${{K}_{0}}$ 相交的动凸集 ${{K}_{1}}$, $\text{d}{{K}_{1}}$ 表示 ${{K}_{1}}$ 的运动密度, 其均质积分的中值为

其中, $\mu =0,1,\cdots,n$, ${{D}_{\lambda,\mu }}=\binom{\mu}{\lambda}\frac{{{\omega }_{n-\lambda }}{{\omega }_{\mu }}{{\omega }_{n+\lambda -\mu }}}{{{\omega }_{\lambda }}{{\omega }_{n-\mu }}{{\omega }_{\mu -\lambda }}}$, 积分域为 ${{K}_{0}}\cap {{K}_{1}}\ne \varnothing $.

引理4.10^[17] 设在 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 里有固定凸集 ${{K}_{0}}$ 以及 $h$ 个和 ${{K}_{0}}$ 相交的凸集 ${{K}_{1}},{{K}_{2}},\cdots,{{K}_{h}}$, 其均质积分的中值为

其中, $\sum\limits_{{{\lambda }_{0}},\cdots,{{\lambda }_{h}}}^{\mu }{{}}$ 表示 ${{\lambda }_{i}}\ge 0\left( i=0,1,\cdots,h \right)$ 并且满足 ${{\lambda }_{0}}+{{\lambda }_{1}}+\cdots +{{\lambda }_{h}}=\mu $.

引理 4.10 可由引理 4.9 推出. 由 (4.31) 式, 我们有

一直迭代下去, 得

其中, ${{\sigma }_{i}}=\sum\limits_{p=1}^{i}{{{\lambda }_{p}}}, {{\sigma }_{0}}=0$. (4.34) 式经过化简后即得 (4.32) 式.

下面证明定理 3.6.

证 我们假设 ${{\rho }_{r_i}}$ 存在, ${{\rho }_{r_i}}$ 定义为

其中, $n=1,2,\cdots; {{r}_{i}}=1,2,\cdots n$. 通过表征 ${{\rho }_{r_i}}$, 我们只要求这样的球存在, 而不规定它在 $K$ 中的位置.

我们要求的概率可以表述为

因为随机平面的维数限制在 ${{L}_{{{r}_{1}}}}+{{L}_{{{r}_{2}}}}+\cdots + {{L}_{{{r}_{h}}}}\ge \left( h-1 \right)n+1$, 如果运用定理 3.1, 一般公式是复杂的, 我们可以适当扩充平面的维数, 使其在 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中汇聚. 具体做法如下: 令

因此所求概率为

由引理 4.8 可得

再由引理 4.9, 4.10 可得

分子为

分母为

(4.41) 式与 (4.42) 式相除, 取极限, 即得 (3.10) 式, 定理 3.6 得证.

本文虽然仅给出了特殊条件下 $h$ 个线性子空间与凸体相交的几何概率, 但却给出了一种求此类问题的方法. 此外, 本文讨论了维数限制条件下凸集的汇聚概率, 但所用证明方法是对平面的维数进行扩充, 能否直接用定理 3.1-3.3 来解决凸集的汇聚概率有待进一步研究.