在日常生活中, 许多问题都可以看成或者转化成一个带约束的优化问题, 因此约束优化问题的研究受到了学者们的广泛关注. 特别地, 以下不等式约束优化问题引起了学者们的极大兴趣

其中 $X$ 是实局部凸 Hausdorff 拓扑向量空间, $C$ 是 $X$ 中的一个非空闭凸集, $I$ 是任意非空 (可能无限) 指标集, $f,{g_i}:X\rightarrow\mathbb{\overline{R}}:=\mathbb{R}\cup\{+\infty\},i \in I$ 是真函数. 许多学者对问题 $(P)$ 进行了深入研究, 得到了问题 $(P)$ 的最优性条件、鞍点定理、Farkas 型引理、 对偶理论等一系列有意义的结论 (参见文献 [1],[2],[3],[4],[5]). 尽管经典的数学规划理论的核心是求最优化问题的一个局部或全局最优解, 但是从计算的角度来看, 计算出精确最优解通常是不可能的, 即使可能, 计算代价往往也是非常之高. 因此, 约束优化问题的近似解的特征刻画的研究引起了学者们的极大兴趣. 学者们利用上图技巧和函数的次微分性质, 给出了约束优化问题的 $\varepsilon$-最优解 (参见文献 [6],[9],[7],[8],[10])、拟 $\varepsilon$-最优解 (参见文献 [11],[12]) 和拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解 (参见文献 [13],[14],[15]) 的特征刻画. 与此同时, 问题 $(P)$ 的混合型对偶也受到了学者们的广泛关注, 他们利用内点类条件、上图类条件和次微分类条件等, 建立了原问题与其 Wolfe 型^[16],[17]、Mond-Weir 型^{[16],[18],[19]}及混合型^{[15],[20],[21]}对偶问题之间的弱对偶、强对偶和逆对偶等.

注意到, 上述结论大都是在函数具有凸性的假设下得到的, 这些假设极大地限制了约束优化问题在最优设计、优化控制、电力调度等领域中的应用. 事实上, 数学规划中的许多问题都涉及到非凸函数, 例如拟凸规划, 即目标函数和 (或) 约束函数为拟凸函数的数学规划问题. 近年来, 许多学者对拟凸规划, 特别是拟凸规划的全局最优性条件和对偶理论进行了较深入的研究, 得到了一系列有意义的结论 (参看文献 [22],[23],[24],[25],[26],[27],[28]). 特别地, 文献 [23],[24] 利用拟凸函数生成集的概念, 引进合适的约束规范条件, 建立了拟凸规划的最优性条件及其对偶理论等. 然而, 上述文献主要集中在拟凸规划的最优性条件和经典的拉格朗日对偶的研究上. 据我们掌握的文献所知, 很少有学者研究拟凸规划的近似解的特征刻画与混合型对偶理论. 其中, 文献 [20] 在约束函数是下半连续拟凸函数的情形下, 利用拟凸函数生成集的概念和函数的次微分性质, 研究了拟凸规划问题 $(P)$ 的 $\varepsilon $-最优解的特征刻画及混合型对偶理论. 受上述文献的启发, 本文在约束函数是下半连续拟凸函数的情形下, 研究拟凸规划问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解的特征刻画、近似鞍点定理及混合型对偶理论.

设 $X$ 是实局部凸 Hausdorff 拓扑向量空间, $X^\ast$ 是 $X$ 的共轭空间, 赋予弱$^\ast$ 拓扑 $w^\ast(X^\ast,X)$. $\langle x^\ast,x\rangle$ 表示泛函 $x^{\ast}\in X^{\ast}$ 在 $x\in X$ 处的值, 即 $\langle x^\ast, x\rangle=x^\ast(x)$. $\mathbb{B}^*$ 表示 $X^\ast$ 上的闭单位球. 记 $\xi \in X$ 的范数为 $\left\| \xi \right\|$, 定义为

设 $D$ 是 $X$ 中的非空子集, $D$ 的凸包和锥包分别记为 ${\rm co}\,D$ 和 ${\rm cone}\,D$, 分别定义 $D$ 的对偶锥和示性函数为

设 $T$ 是任意 (可能无限) 指标集, 定义 $\mathbb{R}^{(T)}: = \left\{ {\lambda = {{\left( {{\lambda _t}} \right)}_{t \in T}}:\text{只有有限多个 }{\lambda _t} \ne 0} \right\},$ $\mathbb{R}_+^{( T )}$ 表示 $\mathbb{R}^{( T )}$ 上的非负锥, 即

设 $f:X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ 是真凸函数, $f$ 的有效定义域、Fenchel 共轭函数和上图分别定义为

由定义可知, Young-Fenchel 不等式成立

定义函数 $f$ 在点 $x\in{\rm dom}f$ 的次微分为

设 $\varepsilon\geq0$, 函数 $f$ 在点 $x\in{\rm dom}f$ 的 $\varepsilon$-次微分定义为

由定义可知, 对任意的 $\varepsilon\geq0$ 和 $x\in{\rm dom}f$,

特别地, 若 $\varepsilon=0$, 以下 Young 等式成立

由文献 [5] 可知, 对任意的 $\mu> 0,\varepsilon \ge 0,x \in {\rm{dom }}f$,

定义集合 $D$ 在 $x_0$ 处的法锥和 $\varepsilon$-法锥分别为

设 $h:X \to \overline{{\mathbb{R}}}$ 为真函数. 若对任意的 $x,y \in X$ 和 $\alpha \in [0,1]$ 有

则称 $h$ 为拟凸函数. 若 $-h$ 是拟凸函数, 则称函数 $h$ 为拟凹函数. 若 $h$ 既是拟凸函数又是拟凹函数, 则称函数 $h$ 为拟仿射函数. 显然, 凸函数均为拟凸函数, 反之不一定成立. 令 $Q: = \{ k: \mathbb{R}\to \overline{{\mathbb{R}}} :k$ 是下半连续非减函数$\}$. 由文献 [29] 可知, $h$ 为下半连续拟仿射函数当且仅当存在 $k\in Q$ 和 $w\in X^*$ 使得 $h=k\circ w$. 若存在集合 $J$ 使得 $h = {\sup _{j \in J}}{k_j} \circ {w_j}$, 则称集合 $G = \{ ({k_j},{w_j}):j \in J\} \subseteq Q \times {X^*}$ 为 $h$ 的生成集^[30]. 以下引理表明所有下半连续拟凸函数都至少有一个生成集 (见文献 [29]).

引理2.1 函数 $h: X\rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ 是真下半连续拟凸函数当且仅当存在集合 $ \{ ({k_j},{w_j}):j \in J\} \subseteq Q \times {X^*}$ 使得 $h = \mathop {\sup }\limits_{j \in J} {k_j} \circ {w_j}$.

引理2.2 ^[5] 设 $f,g:X \to \overline{{\mathbb{R}}}$ 为真凸函数且满足 ${\rm{dom}}f \cap {\rm{dom}}g \ne \emptyset $. 若存在 $x_0 \in {\rm{dom}}f \cap {\rm{dom}}g$ 使得 $f$ 或 $g$ 在点 $x_0 $ 处连续, 则对任意的 $x \in {\rm{dom}}f \cap {\rm{dom}}g$ 和 $\varepsilon \geq0$,

设 $X$ 是实局部凸 Hausdorff 拓扑向量空间, $C\subseteq X$ 是一个非空闭凸集, $I$ 是任意非空 (可能无限) 指标集, $f:X \to \overline{{\mathbb{R}}}$ 是真凸函数, ${g_i}:X \to \overline{{\mathbb{R}}}, i\in I$ 是真下半连续拟凸函数. 本文主要研究如下拟凸规划问题

的近似最优性条件、近似鞍点定理及混合型对偶.

对任意的 $i \in I$, 令 $\left\{ {({k_{(i,j)}},{w_{(i,j)})}:j \in {J_i}} \right\}$ 是函数 ${g_i}$ 的一个生成集. 设

则 $\mathop {\sup }\limits_{i \in I} {g_i} = \mathop {\sup }\limits_{t \in T} {k_t} \circ {w_t}$, 从而由生成集的定义可知 $\left\{ {({k_t},{w_t}):t \in T} \right\}$ 是拟凸函数 $\mathop {\sup }\limits_{i \in I} {g_i}$ 的一个生成集. 令 $A \ne \emptyset $ 是以下系统的可行解集 $x \in C;\quad {\text{ }}{g_i}\left( x \right) \le 0,\quad \forall i \in I.$

定义非减函数 $k\in Q$ 的次上图逆函数 ${k^{ -1}}$ 为

由文献 [31] 可知若 $k$ 的逆函数存在, 则 $k$ 的逆函数和次上图逆函数相等. 对任意 $t \in T$, 定义 ${f_t}:X \to \overline{{\mathbb{R}}}$ 为

从而

类似文献 [31], 定义系统 $\left\{x \in C;{\text{ }}{g_i}\left( x \right) \le 0, \forall i \in I\right\}$ 的特征锥为

为研究拟凸优化问题 $(P)$ 的近似最优性条件, 我们首先引入以下定义, 其中 ${\left( {Q\mbox{-}EHP} \right)_f}$ 条件可见文献 [23].

定义3.1 若

则称系统 $\left\{ {{\delta _C};{g_i}:i \in I} \right\}$ 关于集合 $\left\{ ({k_t},{w_t}):t \in T \right\}$ 满足 ${\left( {Q\mbox{-}EHP} \right)_f}$ 条件.

(ii) 设 $\varepsilon \geqslant 0$, $x \in {\rm{dom}}f \cap A$. 若

则称系统 $\left\{ {{\delta _C};{g_i}:i \in I} \right\}$ 关于集合 $\left\{ ({k_t},{w_t}):t \in T \right\}$ 在点 $x$ 处满足 $(\varepsilon$-$QCQ)_f$ 条件. 若对任意的 $\varepsilon \geqslant 0$ 和 $x \in {\rm{dom}}f \cap A$, (3.2) 式均成立, 则称该系统关于集合 $\left\{ ({k_t},{w_t}):t \in T \right\}$ 满足 ${(QCQ)_f}$ 条件.

下面引理给出了 ${\left( {Q{\text{-}}EHP} \right)_f} $ 条件和 ${(QCQ)_f}$ 条件成立的等价刻画.

引理3.1^[20] 下列命题等价

(i) 系统 $\left\{ {{\delta _C};{g_i}:i \in I} \right\}$ 关于集合$\left\{ {({k_t},{w_t}):t \in T} \right\}$ 满足 ${\left( {Q\mbox{-}EHP} \right)_f}$ 条件.

(ii) 对任意的 ${x^*} \in {X^*}$,

(iii) 系统 $\left\{ {{\delta _C};{g_i}:i \in I} \right\}$ 关于集合$\left\{ {({k_t},{w_t}):t \in T} \right\}$ 满足 ${(QCQ)_f}$ 条件.

为刻画问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解, 我们引入如下定义.

定义3.2 设 $\alpha,\varepsilon \ge 0$ 和 $x_0 \in A$. 若对任意的 $ x \in A$ 有

则称 $x_0$ 为问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解. 当 $\alpha = 0$, 则称 $x_0$ 为问题 $(P)$ 的 $\varepsilon $-最优解.

定理3.1 设 $\alpha,\varepsilon \ge 0$, $x_0\in A $. 假设系统 $\left\{ {{\delta _C};{g_i}:i \in I} \right\}$ 关于集合 $\left\{ {({k_t},{w_t}):t \in T} \right\}$ 在点 $x_0$ 处满足 $(\varepsilon$-$QCQ)_f$ 条件. 则 $x_0$ 是问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解当且仅当存在 ${{\lambda}} \in \mathbb{R}_ + ^{^{\left( T \right)}}$ 和 ${\varepsilon _1},{\varepsilon _2},{\varepsilon _b} \ge 0$ 使得

证 假设 $x_0$ 为问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解. 则由$\varepsilon$-次微分的定义可得

从而由引理 2.2 可知存在 $\widetilde {{\varepsilon}},{\varepsilon _b} \ge 0$ 使得 $\widetilde {{\varepsilon}} + {\varepsilon _b} = \varepsilon$ 且

注意到 ${\partial _{{\varepsilon _b}/\alpha }}(\left\| { \cdot -{x_0}} \right\|)({x_0}) = {\mathbb{B}^*}.$ 从而由 (2.2) 式可得

又系统 $\left\{ {{\delta _C};{g_i}:i \in I} \right\}$ 关于集合 $\left\{ {({k_t},{w_t}):t \in T} \right\}$ 在点 $x_0$ 处满足 $(\varepsilon$-$QCQ)_f$ 条件, 从而存在 ${{\lambda}} \in \mathbb{R}_ + ^{^{\left( T \right)}}$ 和${\varepsilon _1},{\varepsilon _2} \ge 0$ 使得

和 (3.4) 式成立. 注意到, $\widetilde {{\varepsilon}} + {\varepsilon _b} = \varepsilon$, 因此 (3.5) 式成立.

反之, 假设存在 ${{\lambda}} \in \mathbb{R}_ + ^{^{\left( T \right)}}\text { 和 }{\varepsilon _1},{\varepsilon _2},{\varepsilon _b} \ge 0$ 使得 (3.4)-(3.5) 式成立, 则存在 $u \in {N_{{\varepsilon _2}}}(x_0;C)$ 使得

因此存在 $v \in {\partial _{{\varepsilon _1}}}f(x_0)$ 和 $b \in {\mathbb{B}^*}$ 使得

注意到, $u \in {N_{{\varepsilon _2}}}(x_0;C)$, $v \in {\partial _{{\varepsilon _1}}}f(x_0)$, 故由 $\varepsilon$-次微分的定义可知,

从而, 由 (3.6)-(3.9) 式可知, 对任意的 $y\in C$,

于是, 由 (3.5) 式可知, 对任意的 $y \in C$,

故 $x_0$ 是问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解.

推论3.1 设 $\alpha,\varepsilon \ge 0$, $x_0\in A $. 假设系统 $\left\{ {{\delta _C};{g_i}:i \in I} \right\}$ 关于集合 $\left\{ {({k_t},{w_t}):t \in T} \right\}$ 满足 ${\left( {Q\mbox{-}EHP} \right)_f}$ 条件. 则 $x_0$ 是问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解当且仅当存在 ${{\lambda}} \in \mathbb{R}_ + ^{^{\left( T \right)}}$ 和 ${\varepsilon _1},{\varepsilon _2},{\varepsilon _b} \ge 0$ 使得 (3.4)-(3.5) 成立.

本节主要研究问题 $(P)$ 的 $\varepsilon$-对偶与 $\varepsilon$-鞍点定理. 为此, 定义问题 $(P)$ 的 $\rm{Lagrange}$ 函数 $L $ 为

记 $\varphi (\lambda ): = \mathop {\inf }\limits_{y\in C} L(y,\lambda ), \lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}.$ 定义问题 $(P)$ 的 Lagrange 对偶问题为

定义4.1 设 $\varepsilon\geq0$, $\overline\lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}$. 若对任意的 $\lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}$ 有

则称 $\overline \lambda$ 是问题 $(D)$ 的 $\varepsilon$-最优解.

定理4.1 设 $\varepsilon\geq0 $, $x_0 \in A.$ 若存在 $\lambda \in \mathbb{R}_ + ^{^{\left( T \right)}}$ 使得 $f({x_0}) -\varepsilon \le \varphi (\lambda )$, 则 $x_0$ 是问题 $(P)$ 的 $\varepsilon$-最优解.

证 设 $\varepsilon\geq0 $, $x_0 \in A.$ 若存在 $\lambda \in \mathbb{R}_ + ^{^{\left( T \right)}}$ 使得 $f({x_0}) -\varepsilon \le \varphi (\lambda )$, 则

从而对任意的 $y \in C$,

设 $y \in A$, 则对任意的 $t \in T$, $\langle {w_t},y\rangle -k_t^{ -1}(0) \le 0$. 结合 (4.1) 式可知对任意的 $ y \in A$ 有

故 $x_0$ 是问题 $(P)$ 的 $\varepsilon$-最优解.

定理4.2 设 $\varepsilon\geq0$. 假设系统 $\left\{ {{\delta _C};{g_i}:i \in I} \right\}$ 关于集合 $\left\{ {({k_t},{w_t}):t \in T} \right\}$ 在点 $x_0$ 处满足 $(\varepsilon$-$QCQ)_f$ 条件. 若 $x_0$ 是问题 $(P)$ 的 $\varepsilon$-最优解, 则存在 $\overline \lambda \in \mathbb{R}_ + ^{^{\left( T \right)}}$ 使得 $\overline \lambda$ 是问题 $(D)$ 的 $\varepsilon$-最优解.

证 设 $x_0$ 是问题 $(P)$ 的 $\varepsilon$-最优解, 从而由 $\varepsilon$-次微分的定义可得

又系统 $\left\{ {{\delta _C};{g_i}:i \in I} \right\}$ 关于集合 $\left\{ {({k_t},{w_t}):t \in T} \right\}$ 在点 $x_0$ 处满足 $(\varepsilon$-$QCQ)_f$ 条件, 从而存在 $\overline \lambda \in \mathbb{R}_ + ^{^{\left( T \right)}}$, ${\varepsilon _1},{\varepsilon _2} \ge 0,$ $\overline u \in {\partial _{{\varepsilon _1}}}f(x_0)$ 和 $\overline d\in {N_{{\varepsilon _2}}}(x_0;C)$ 使得

再由 (2.1) 式可知

结合 (4.2)-(4.5) 式及 Young-Fenchel 不等式可知, 对任意的 $y \in C$,

即对任意的 $y \in C$,

因此,

另一方面, 记集合 $S(P)$ 是问题 $(P)$ 的 $\varepsilon$-最优解集. 由于 $S(P) \subset A \subset C$, 从而

故对任意的 $y \in S(P)$ 和 $\lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}$,

由 ${x_0} \in S(P)$ 可知对任意的 $\lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}$, $\varphi (\lambda ) \le f(x_0).$ 从而由 (4.7) 式可知对任意的 $\lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}$,

因此, $\overline \lambda $ 是问题 $(D)$ 的 $\varepsilon$-最优解.

下面给出问题 $(P)$ 的近似鞍点的定义.

定义4.2 设 $\varepsilon\geq0 $, $({x_0},\overline\lambda ) \in C\times\mathbb{R}_ + ^{(T)}.$ 若对任意的 $(y,\lambda ) \in C \times \mathbb{R}_ + ^{(T)}$ 有

则称 $({x_0},\overline\lambda )$ 是 $\rm{Lagrange}$ 函数 $ L $ 的$\varepsilon$-鞍点.

定理4.3 设 $\varepsilon\geq0$ 且 ${x_0} \in A$. 假设系统 $\left\{ {{\delta _C};{g_i}:i \in I} \right\}$ 关于集合 $\left\{ {({k_t},{w_t}):t \in T} \right\}$ 在点 $x_0$ 处满足 $(\varepsilon$-$QCQ)_f$ 条件. 若 $x_0$ 是问题$(P)$ 的 $\varepsilon$-最优解, 则存在 $\overline \lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}$ 使得 $({x_0},\overline\lambda )$ 是 $\rm{Lagrange}$ 函数 $ L $ 的 $\varepsilon$-鞍点.

证 设 $x_0$ 是问题 $(P)$ 的 $\varepsilon$-最优解. 由定理 4.2 的证明可知存在 $\overline \lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}$ 使得对任意的 $y \in C$, (4.6) 式成立. 故有

由于 ${x_0} \in A$, 故对任意的 $t \in T$, $\langle {w_t},{x_0}\rangle -k_t^{ -1}(0) \le 0$. 因此由 (4.9) 式可得,

再由 (4.6) 式有

从而由 (4.10) 式可知 (4.8) 式成立, 即 $({x_0},\overline\lambda )$ 是 Lagrange 函数 $ L $ 的 $\varepsilon$-鞍点.

定理4.4 设 $\varepsilon\geq0$, $({x_0},\overline\lambda ) \in C\times \mathbb{R}_ + ^{(T)}.$ 若 $({x_0},\overline\lambda )$ 是 $\rm{Lagrange}$ 函数 $L $ 的 ${\frac{\varepsilon }{2}}$-鞍点, 则 $x_0$ 和 $\overline \lambda $ 分别是问题 $(P)$ 和问题 $(D)$ 的 $\varepsilon$-最优解.

证 假设 $({x_0},\overline\lambda )\in C \times \mathbb{R}_ + ^{(T)}$ 是Lagrange 函数 $L $ 的 ${\frac{\varepsilon }{2}}$-鞍点, 则对任意的$(y,\lambda ) \in C \times \mathbb{R}_ + ^{(T)}$ 有

从而对任意的 $(y,\lambda ) \in C \times \mathbb{R}_ + ^{(T)}$,

设 $y \in A$, 则对任意的 $t \in T$, $\langle {w_t},y\rangle -k_t^{ -1}(0) \le 0$, 结合 (4.11) 式可知对任意的 $(y,\lambda ) \in A \times \mathbb{R}_ + ^{(T)}$,

特别地, 取 $\lambda=0,$ 则有

故 $x_0$ 是问题$(P)$ 的 $\varepsilon$-最优解. 另一方面, 由 $x_0 \in C$ 可知对任意的 $\lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}$,

结合 (4.11) 式可知对任意的 $\lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}$,

因此,

从而 $\overline \lambda $ 是问题 $(D)$ 的 $\varepsilon$-最优解.

为研究问题 $(P)$ 的混合型对偶, 我们首先定义问题 $(P)$ 的混合型 Lagrange 函数 $\overline L: C\times \mathbb{R}_+^{(T)}\times \mathbb{R}_{\rm{ + }}^{(T)}\rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ 为

由此, 定义问题 $(P)$ 的混合型对偶问题为

其中 $\alpha,\varepsilon\ge 0$. 记问题 $(\mathbb{D})$ 的可行集为 $F(\mathbb{D})$.

定义5.1 设 $\alpha,\varepsilon \ge 0$, $(y_0,\bar{\lambda},\bar{\mu})\in F(\mathbb{D})$. 若对任意的 $(y,\lambda,\mu)\in F(\mathbb{D})$ 有

则称 $(y_0,\bar{\lambda},\bar{\mu})$ 是问题 $(\mathbb{D})$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解.

定理5.1 设 $\alpha,\varepsilon \ge 0$. 对任意 $x\in A$ 和 $(y,\lambda,\mu)\in F(\mathbb{D})$, 以下不等式成立

证 任取 $x\in A\mbox{ 和 }(y,\lambda,\mu)\in F(\mathbb{D})$, 则存在${\varepsilon _1},{\varepsilon _2},{\varepsilon _b} \ge 0$ 使得

由 (5.2) 式可知存在 $u \in {\partial _{{\varepsilon _1}}}f(y), v \in {N_{{\varepsilon _2}}}(y;C)$ 和 $b \in {\mathbb{B}^*}$ 使得

再由 $\varepsilon$-次微分的定义可知

故由 (5.2)-(5.7) 式可得

因此 (5.1) 式成立.

定理5.2 设 $\alpha,\varepsilon \ge 0$, $x_0 \in A.$ 假设系统 $\left\{ {{\delta _C};{g_i}:i \in I} \right\}$ 关于集合 $\left\{ {({k_t},{w_t}):t \in T} \right\}$ 在点 $x_0$ 处满足 $(\varepsilon$-$QCQ)_f$ 条件. 若 $x_0$ 是问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解, 则存在 $\overline \lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}$ 使得 $(x_0,\overline \lambda,0)$ 和 $(x_0,0,\overline \lambda )$ 是问题 $(\mathbb{D})$ 的拟 $(\alpha,2\varepsilon )$-最优解.

证 设 $x_0$ 是问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解. 由定理 3.1 可知存在 $\overline \lambda \in \mathbb{R}_ + ^{(T)}$, ${\varepsilon _1},{\varepsilon _2},{\varepsilon _b} \ge 0$ 使得

由 $\langle {w_{{t}}},{\rm{ }} x_0\rangle -k_{{t}}^{ -1}(0) \le 0$ 可知 ${\varepsilon _1} + {\varepsilon _2} + {\varepsilon _b}\le \varepsilon$. 从而结合 (5.8) 式可知 $(x_0,\overline \lambda,0)$ 是问题 $(\mathbb{D})$ 的可行解. 因此, 由定理 5.1 可得对任意的 $(y,\lambda,\mu ) \in F(\mathbb{D})$,

故 $(x_0,\overline \lambda,0)$ 是问题 $(\mathbb{D})$ 的拟 $(\alpha,2\varepsilon )$-最优解. 类似可证 $(x_0,0,\overline \lambda )$ 也是问题 $(\mathbb{D})$ 的拟 $(\alpha,2\varepsilon )$-最优解.

定理5.3 设 $\alpha,\varepsilon \ge 0$, $(x_0,\overline \lambda,0)$ 或 $(x_0,0,\overline \lambda ) \in F(\mathbb{D})$ 满足 ${{\overline \lambda _{{t}}}} (\langle {w_{{t}}},{\rm{ }} x_0 \rangle -k_{{t}}^{ -1}(0)) = 0,\ t\in T.$ 若 ${x_0} \in A,$ 则 ${x_0}$ 是问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解.

证 设 ${x_0} \in A$. 由 $(x_0,\overline \lambda,0)$ 或 $(x_0,0,\overline \lambda ) \in F(\mathbb{D})$ 可知, 存在 ${\varepsilon _1},{\varepsilon _2},{\varepsilon _b} \ge 0$, $u \in {\partial _{{\varepsilon _1}}}f({x_0})$, $v \in {\partial _{{\varepsilon _2}}}{\delta _C}({x_0})$ 和 $b \in {\mathbb{B}^*}$ 使得

假设 $x_0$ 不是问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解, 则存在$\bar{x}\in A$ 使得

由 $\varepsilon$-次微分定义可得

因此, 由 (5.9) 式及 ${{\overline \lambda _{{t}}}} (\langle {w_{{t}}},{\rm{ }} x_0 \rangle -{k_{{t}}}^{ -1}(0)) = 0,\ t\in T$ 可知

这与 (5.10) 式矛盾. 因此, ${x_0}$ 是问题 $(P)$ 的拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解.