记 $S^{n-1}$ 为 $\mathbb{R}^n(n\geq2)$ 中的单位球面, 其上的 Lebesgue 测度用 $\mathrm{d}\sigma=\mathrm{d}\sigma(x')$ 表示. 定义在 $\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{n}$ 上的函数 $\Omega (x,z)\in L^\infty(\mathbb{R}^{n})\times L^s(S^{n-1})$, $(s\geq1)$ 满足

带变量核的参数型 Marcinkiewicz 积分算子 $\mu^{\theta}_{\Omega}$ 定义为

其中

设 $b\in \mathrm{BMO}(\mathbb{R}^{n})$, 带变量核的参数型 Marcinkiewicz 积分交换子 $\mu^{\theta}_{\Omega,b}$ 定义为

其中

设 $b_{i}\in L_{loc}(\mathbb{R}^{n})$,$i=1,2,\cdots,m$, 记 $\vec{b}=(b_1,b_2,\ldots,b_n)$, 变量核 Marcinkiewicz 积分多线性交换子 $ \mu^{\theta}_{\Omega,\vec{b}}$ 定义为

其中

特别地, 当 $b_{1}=b_{2}=\ldots=b_{m}$ 时, (1.5) 式即为变量核 Marcinkiewicz 积分高阶交换子.

2004 年, Ding 等人在文献 [1] 中考虑了带变量核的 Marcinkiewicz 积分算子, 且得到了它的 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ 有界性.

Xue 和 Yabuta^[2] 证明了当 $0<\theta< n$ 时, $\mu^{\theta}_{\Omega}$ 是 $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ 上的有界算子. 2010 年, Tao 等^[3]得到了带变量核的 Marcinkiewicz 积分算子 $\mu_{\Omega}$ 在 Morrey-Herz 空间上的有界性. 文献 [4] 又在以往研究的基础上探讨了当核函数满足 Dini 条件或 Hörmander 条件时, 变量核参数型 Marcinkiewicz 积分 $\mu^{\theta}_{\Omega}$ 分别在 Hardy 空间和弱 Hardy 空间的有界性质. 2012 年 Wang 等^[5]得到了高阶 Marcinkiewicz 积分交换子在变指标 Lebesgue 空间上的有界性. 随后, Shao 和 Tao^[6] 讨论了变量核 Marcinkiewicz 积分与 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^{n})$ 函数生成的交换子在变指标 Morrey 空间上的有界性. 变量核 Marcinkiewicz 积分的研究已取得了丰硕的成果 (参见文献 [7-10] 等).

变指标 Lebesgue 空间最初是由 Orlicz^[11] 引入的, 因其在流体动力学, 图像处理, 非线性弹性力学以及偏微分方程等领域的广泛应用而备受关注^[12-14]. 相比经典 Lebesgue 空间, 变指标 Lebesgue 空间不具有平移不变性, 所以在此类空间上继续使用经典的实变方法研究问题就必然存在着一定的困难. 众所周知, 调和分析中很多经典的算子均可由 Hardy-littlewood 极大函数 $\mathrm{M}$ 来控制. 然而, 在过去的很长一段时间内, 人们却并未得到 $\mathrm{M}$ 在变指标 Lebesgue 空间上的有界性条件, 这就是早期变指标函数空间理论之所以发展缓慢的一个重要原因. 直到 21 世纪初, 这一局面才得到了根本性的改变, 许多学者致力于该问题的研究, 并且取得了很多重要的成就, 详见文献 [15-17] 等.

2009 年, Izuki 在文献 [18] 中首先定义了变指标 Herz-Morrey 空间$\mathrm{M\dot{\mathcal{K}}}_{q, p(\cdot)}^{\alpha,\lambda}(\mathbb{R}^n)$, 随后, 他在文献 [19] 中又证明了分数次积分算子在变指标 Herz-Morrey 空间上的有界性. 2012 年, Wang 等^[20]引入了一类变指标 Herz-Hardy 空间, 同时给出了其上的原子刻画. 2015 年, Xu 等^[21]在变指标 Herz-Morrey 空间, 变指标 Herz-Hardy 空间等的基础上引入了一类变指标 Herz-Morrey-Hardy 空间, 并讨论了此类空间上的原子分解等相关性质, 同时也考虑了奇异积分算子在此类空间上的有界性, 文献 [22] 和 [23] 分别研究了变指标消失性广义加权 Morrey 空间和变指标弱 Herz 空间上变量核分数次积分算子及其交换子的有界性. 受以上研究的启发, 本文探讨了变量核参数型 Marcinkiewicz 积分算子及其与 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 函数生成的交换子在非齐次变指标 Herz-Morrey-Hardy 空间上的有界性.

首先给出一些定义与记号.

设 $k\in Z$, 记 $B_k=B(0,2^k)=\{x\in \mathbb{R}^n:|x|\leq 2^k\}$, 及 $C_k=B_k\setminus B_{k-1}$，并记 $\chi_k=\chi_{C_k}$ 为集 $C_k$ 的特征函数.

定义 $\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$ 为所有 $p(\cdot):\mathbb{R}^n\rightarrow(1,\infty)$ 构成的集合且满足

记 $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 为满足以下条件的所有 $p(\cdot)\in\mathcal{P}(\mathbb{R}^n)$ 构成的集合

和

定义 1.1 设 $f$ 是一可测函数, 给定可测函数 $p(\cdot): \mathbb{R}^{n}\rightarrow[1,\infty)$, 对某个 $\eta>0$, 变指标 Lebesgue 空间 $L^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^{n})$ 定义如下

其范数为

容易看出, 若 $p(\cdot)=p$ 为常数, 则 $L^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^{n})$ 为经典的 Lebesgue 空间 $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$.

定义 1.2^[21] 令 $\alpha(\cdot)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n),$$0< q\leq\infty$, $ q(\cdot)\in\mathcal{P}(\mathbb{R}^n),$$0\leq\lambda<\infty$, 且 $N>n+1$. 非齐次变指标 Herz-Morrey-Hardy 空间 $HM\mathcal{K}^{\alpha(\cdot),\lambda}_{q,p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ 定义为

注 1.1 若 $\alpha(\cdot)=\alpha$ 为常数, 则空间$HM\mathcal{K}^{\alpha(\cdot),\lambda}_{q,p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ 变成空间 $HM\mathcal{K}^{\alpha,\lambda}_{q,p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$, 若 $\alpha(\cdot)=\alpha$, $\lambda=0$, 则上述空间为文献 [24] 中所定义的空间, 若 $\alpha(\cdot), p(\cdot)$ 均为常数, 且 $\lambda=0$, 则上述空间即为经典的非齐次 Herz-Hardy 空间, 参见文献 [25].

本文主要结果如下

定理 1.1 设 $0\leq\lambda<\infty$, $0< p_1\leq q_2<\infty$, $n\delta_2\leq\alpha< n\delta_2+\gamma, 0<\gamma\leq1, p(\cdot)\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 且 $\int_{0}^{1}\frac{w_{s}(\delta)}{\delta^{1+\beta}}\mathrm{d}\delta<\infty$, $\Omega\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\times L^s(S^{n-1})$$(s\geq p_{+})$ 满足(1.1) 与 (1.2) 式.

则 $\mu^{\theta}_{\Omega}$ 是从 $\mathrm{HM\mathcal{K}}_{q_1, p(\cdot)}^{\alpha,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 到 $\mathrm{M\mathcal{K}}_{q_1, p(\cdot)}^{\alpha,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 的有界算子.

定理 1.2 设 $b\in\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$, $0\leq\lambda<\infty$, $0< p_1\leq q_2<\infty$, $n\delta_2\leq\alpha< n\delta_2+\gamma, 0<\gamma\leq1, p(\cdot)\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ 且 $\int_{0}^{1}\frac{w_{s}(\delta)}{\delta^{1+\beta}}\mathrm{d}\delta<\infty$, $\Omega\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})\times L^s(S^{n-1})$$(s\geq p_{+})$ 满足(1.1) 与 (1.2) 式. 则 $\mu^{\theta}_{\Omega,b}$ 是从 $\mathrm{HM\mathcal{K}}_{q_1, p(\cdot)}^{\alpha,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 到 $\mathrm{M\mathcal{K}}_{q_1, p(\cdot)}^{\alpha,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 的有界算子.

注 1.2 对于 (1.5) 式所定义的多线性交换子 $\mu^{\theta}_{\Omega,\vec{b}}$ 也有类似于定理 1.2 的结论成立, 证明方法相似, 在此不再赘述.

证明定理, 需要以下引理

引理 2.1^[15] 设$p(\cdot), p_{1}(\cdot), p_{2}(\cdot)\in\mathcal{P}({\mathbb{R}}^{n}).$ 对任意的 $f\in L^{p_{1}(\cdot)}({\mathbb{R}}^{n}), g\in L^{p_{2}(\cdot)}({\mathbb{R}}^{n})$, 若$1/ p(\cdot)=1/p_{1}(\cdot)+1/p_{2}(\cdot),$ 则

其中

引理 2.2^[15] 设 $p(\cdot)\in\mathcal{P}({\mathbb{R}}^{n})$ 且 $s> p_+$, 定义 $\tilde{q}(\cdot)$ 为 $1/p(\cdot)=1/s+1/\tilde{q}(\cdot),$ 对任意的可测函数 $f$ 和 $g$, 存在一个常数 $C>0$, 成立

引理 2.3^[19] 设$p(\cdot)\in\mathcal{B}({\mathbb{R}}^{n}), $ 则存在常数$C>0,$ 使得对任意的球 $B\subset{\mathbb{R}}^{n}$, 成立

引理 2.4^[26] 设$p(\cdot)\in\mathcal{B}({\mathbb{R}}^{n}),$ 则存在常数$\delta_{1},\delta_{2}$ 和 $C>0,$ 使得对所有的球 $B\subset{\mathbb{R}}^{n}$ 及可测集 $S\subset B$, 成立

引理 2.5^[21] 令 $0< q<\infty$, $p(\cdot)\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),$$0\leq\lambda<\infty$, $\alpha(\cdot)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 满足 (1.6) 和 (1.7) 式, $2\lambda\leq\alpha(\cdot), n\delta_{2}\leq\alpha(0),\alpha_{\infty}<\infty$, 其中 $\delta_{2}$ 同引理 2.4 中. $f\in HM\mathcal{K}^{\alpha(\cdot),\lambda}_{q,p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ 当且仅当存在 $\mathrm{supp} a_{k}\subset B_{k}$ 的限制型中心 $(\alpha(\cdot),p(\cdot))$-原子 $a_{k}$ 和常数 $\lambda_{k}$, $\sup_{L\in\mathbb{Z}}2^{-L\lambda}\sum_{k=0}^{L}|\lambda_{k}|^{q}<\infty$, 使得 $f=\sum_{k=0}^{\infty}\lambda_{k}a_{k}$ 在分布意义下成立, 且

其中下确界是对 $f$ 的所有上述分解而取.

引理 2.6^[19] 设$p(\cdot)\in\mathcal{B}({\mathbb{R}}^{n}), $ 则对任意的球 (方体) $B\subset{\mathbb{R}}^{n}$, 成立

其中

引理 2.7^[27] 设 $0\leq\sigma< n$, $s>1$, $\Omega(x,z)$ 满足 $L^{s}-$Dini 条件. 如果存在一个常数 $a_{0}>0$ 使得 $|y|< a_{0}R$, 则成立以下不等式

定理 1.1的证明 设 $f\in\mathrm{HM\mathcal{K}}_{q_1, p(\cdot)}^{\alpha,\lambda}(\mathbb{R}^n)$. 由引理 2.5, 对每个 $j\in\mathbb{Z}$, 在分布意义下有

其中 $\lambda_{j}\geq0$, $a_j$ 是支在 $B_j$ 上的二进制中心 $(\alpha,p(\cdot))$- 原子, 且

由 $0< p_1/q_2\leq 1$ 可得

首先估计 $\mathrm{E}_2$. 注意到 $j\geq k-1$, $x\in C_{k}$, 再由 $\mu^{\theta}_{\Omega}$ 的 $L^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ 有界性 (参见文献 [6,引理 2.4]) 可得

当 $0< p_1\leq 1$ 时, 有

当 $1< p_1\leq\infty$ 时, 利用 Hölder 不等式有

其次估计 $\mathrm{E}_{1}$. 由于

注意到 $x\in C_{k}, y\in C_{j}, j\leq k-2$, 因此 $|x-y|\sim|x|\sim 2^{k}$,

从而

对 $\mathrm{E}_{12}$, 与 $\mathrm{E}_{1}$ 的估计相似, 注意到 $|x-y|\sim|x|$, 由 Minkowski 不等式得

再由 $a_j$ 的消失性及 Minkowski 不等式有

注意到 $1/ p(\cdot)=1/ s+1/\tilde{q}(\cdot),$ 由引理 2.2 知

首先由引理 2.6 可得

另一方面, 根据引理 2.7 有

因此, 由引理 2.1, 引理 2.3 和引理 2.4 可得

从而

当 $0< p_1\leq 1$ 时, 由于 $\gamma+n\delta_{2}-\alpha>0$, 于是

当 $1< p_1<\infty$ 时, 应用 Hölder 不等式, 可得

综合以上对 $\mathrm{E}_1$ 与 $\mathrm{E}_2$ 的估计, 定理 1.1 得证.

定理 1.2 的证明 类似于定理 1.1 的证明, 设 $b\in\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$, $f\in\mathrm{HM\mathcal{K}}_{q_1, p(\cdot)}^{\alpha,\lambda}(\mathbb{R}^n)$. 由引理 2.5 知, 对每个 $j\in\mathbb{Z}$, 在分布意义下成立

其中 $\lambda_{j}\geq0$, $a_j$ 是支在 $B_j$ 上的二进制中心 $(\alpha,p(\cdot))$-原子, 且

由于 $0< p_1/q_2\leq 1$, 所以

对于 $\mathrm{F}_2$. 由 $\mu^{\theta}_{\Omega,b}$ 的 $L^{p(\cdot)}(\mathbb{R}^n)$ 有界性 (参见文献 [6,引理 2.4]) 可得

当 $0< p_1\leq 1$ 时, 有

当 $1< p_1\leq\infty$ 时, 应用 Hölder 不等式, 有

现在估计 $\mathrm{F}_{1}$. 首先

接下来, 对 $\mathrm{F_{11}}$ 和 $\mathrm{F_{12}}$ 分别进行估计. 注意到 $x\in C_{k}, y\in C_{j}, j\leq k-2$. 因此 $|x-y|\sim|x|\sim 2^{k}$,

从而

对 $\mathrm{F}_{12}$, 与 $\mathrm{F}_{11}$ 的估计相似, 注意到 $|x-y|\sim|x|$, 由 Minkowski 不等式得

再由 $a_j$ 的消失性以及 Minkowski 不等式, 有

注意到 $1/ p(\cdot)=1/ s+1/\tilde{q}(\cdot),$$s>p_+$, 由引理 2.1 和引理 2.7 知

一方面, 由引理 2.6 有

另一方面, 由于

所以

类似于 $\mathrm{G_{1}}$ 的估计, 对于 $\mathrm{G_{2}}$, 有

从而

故

当 $0< p_1\leq 1$ 时, 由于 $\gamma+n\delta_{2}-\alpha>0$, 因此

当 $1< p_1<\infty$ 时, 应用 Hölder 不等式, 有

定理 1.2 证毕.