1 引言
本文研究了如下带有强阻尼项和线性弱阻尼项的粘弹性波动方程的初边值问题
(1.1) $\left\{\begin{array}{ll}u_{t t}-\Delta u+\int_{0}^{t} g(t-\tau) \Delta u(\tau) \mathrm{d} \tau-\Delta u_{t}+u_{t}=|u|^{p-2} u, & (x, t) \in \Omega \times(0,+\infty), \\u(x, t)=0, & (x, t) \in \partial \Omega \times(0,+\infty), \\u(x, 0)=u_{0}(x), u_{t}(x, 0)=u_{1}(x), & x \in \Omega,\end{array}\right.$
解的有限时间爆破, 其中 $\Omega$ $\mathbb{R}^n$ $(n\geq 1)$ $\partial\Omega$ $g$ $\Delta$ $n$ $u_0, u_1$ $p$
(1.2) $\begin{array}{l}2<p<\infty, \quad n=1,2 \\2<p \leq \frac{2 n}{n-2}, \quad n \geq 3\end{array}$
系统 (1.1) 描述了弹性梁在轴向力的拉伸或挤压下的动态形变. 其中的未知函数 $u(x,t)$ $\Delta u_t$ $u_t$ $|u|^{p-2}u$ 2 ] 中, Gazzola 和 Squassina 研究了如下波动方程初边值问题
(1.3) $\begin{equation}\label{s3} u_{tt}-\Delta u-\omega\Delta u_t+\mu u_t=|u|^{p-2}u, \end{equation}$
作者应用位势井理论, 得到了在低的初始能级状态下, 解整体存在和不存在的门槛条件, 并且在 $\omega=0$ 19 ] 中研究了方程 (1.3) 的初边值问题在 $\omega>0$ 23 ] 中, 徐润章和杨延冰研究了一类带有色散项和强阻尼项的波动方程解的爆破性质. 作者通过构造恰当的辅助函数, 应用凹函数方法得到了解在高的初始能级状态下在有限时间发生爆破的充分条件. 在方程 (1.3) 中的非线性源项替换为对数源项的情况下, 徐润章等在文献 [10 ] 中在三种不同的能级 (次临界、临界和任意正初始) 状态下研究了带有对数源项的波动方程的初边值问题. 作者证明了弱解的局部存在性, 应用位势井理论, 在次临界能级状态下, 证明了解的整体存在与能量衰减, 并且将次临界能级状态下的所有结果平行的推广到临界能级状态下. 王焰金在文献 [20 ] 中改进了如上结果, 进一步研究了带有线性阻尼和非线性源项的粘弹性波动方程. 作者通过构造了恰当的辅助泛函, 应该凹函数的方法, 结合函数的单调性和一些分析技巧, 得到了解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在文献 [22 ] 中, 徐润章等研究了一类带有色散项、强阻尼项、线性弱阻尼项的粘弹性波动方程的初边值问题. 作者引入了位势井族得到了不变集, 得到了在低的初始能级状态下解整体存在和不存在的门槛条件, 在文献 [20 ] 的启发下, 证明了解在任意正初始能级状态下在有限时间内发生爆破.
在文献 [11 ] 中, Messaoudi 研究了如下形式的波动方程初边值问题
(1.4) $\begin{equation}\label{ss3} u_{tt}-\Delta u+\int_{0}^{t}g(t-\tau)\Delta u(\tau){\rm d}\tau+u_t|u_t|^{m-2}=u|u|^{p-2}, \end{equation}$
证明了当 $p>m$ 12 ] 中推广了这一结果, 得到了在低的初始能量状态下解在有限时间发生爆破的条件. 最近宋海涛在文献 [16 ] 中应用反证法和凹函数的方法得到了问题 (1.4) 的解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在同一方向上, 李倩和贺罗飞在文献 [9 ] 中研究了问题 (1.1), 得到了解在低的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 相关的文献推荐读者还可阅读文献 [1 ,3 ,4 ,6 8,15 ,18 ,21 ].
受上述文献的启发, 本文研究了问题 (1.1) 的解在高初始能级状态下发生爆破的问题. 通过构造恰当的辅助函数, 应用凹函数的方法和一些分析技巧推导出了解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 提高了已有文献 [9 ] 中的结果. 本文做了如下安排, 在第二部分给出了预备知识. 第三部分证明了高能爆破定理.
2 预备知识
在这一部分, 给出一些基本假设和相关引理定理. 首先, 对松弛函数做如下假定
(A) $ g:\mathbb{R}_{+}\rightarrow \mathbb{R}_{+}$
结合文献 [5 ,22 ] 中的方法, 可以推导出如下解的局部存在性定理, 在这里省略了证明.
定理 2.1 假定条件 (1.2) 与 (A) 成立, 设 $(u_0,u_1)\in H_0^1(\Omega)\times L^2(\Omega)$ . 则存在时间 $T>0$ $[T]$
引理 2.1 [9 ] 假定条件 (1.2) 和 (A) 成立. 设 $u$ $ (1.1) $ $E(t)$
(2.1) $\begin{equation}\label{zs1} \frac{ {\rm d}E(t)}{{\rm d}t}\leq-||\nabla u_t||^2_2-||u_t||^2_2\leq0,\quad \forall t\geq0. \end{equation}$
(2.2) $E(t) \leq E(0)-\int_{0}^{t}\left(\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2}+\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2}\right) \mathrm{d} \tau.$
引理 2.2 [17 ] 假定 $0<T\leq \infty$ $\phi(t)$
其中 $\gamma>0$ . 若 $\phi(0)>0$ $\phi'(0)>0$ $T<\infty$ . 事实上存在 $t_*=\frac{\phi(0)}{\gamma\phi'(0)}$ $T\leq t_*$ $t\rightarrow T$ $\phi(t)\rightarrow \infty$ .
3 有限时间爆破
在这一小节给出解的高能爆破定理并给出证明, 证明主要使用了凹函数的方法和一些分析技巧.
定理 3.1 设 $(u_0,u_1)\in H_0^1(\Omega)\times L^2(\Omega)$ $u$ $E(0)>0$
(3.1) $\begin{equation}\label{s1} 2\int_\Omega u_0u_1{\rm d}x+||u_0||^2_2+||\nabla u_0||^2_2>\frac{2p}{\nu}E(0), \end{equation}$
则 $u(t)$ $0<\varepsilon_1, \varepsilon_2<1$ $\lambda_1>0$ $-\Delta$
证 假设 $u(t)$
(3.2) $\begin{equation}\label{f} H(t):=2(u,u_t)+||u||^2_2+||\nabla u||^2_2-\frac{2p}{\nu}E(0), \end{equation}$
其中 $\nu$ $H(t)$ $t$
(3.3) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} H(t)=2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+2\left(u, u_{t t}\right)+2\left(u, u_{t}\right)+2\left(\nabla u, \nabla u_{t}\right)$
方程 (1.1) 两边同乘以 $u$ $\Omega$
(3.4) $\left(u, u_{t t}\right)+\|\nabla u\|_{2}^{2}-\int_{0}^{t} g(t-\tau) \int_{\Omega} \nabla u(t) \nabla u(\tau) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau+\left(\nabla u, \nabla u_{t}\right)+\left(u, u_{t}\right)=\|u\|_{p}^{p}, t \in[0, \infty)$
(3.5) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} H(t)=2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}-2\|\nabla u\|_{2}^{2}+2 \int_{0}^{t} g(t-\tau) \int_{\Omega} \nabla u(t) \nabla u(\tau) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau+2\|u\|_{p}^{p}$
(3.6) $\begin{aligned}& \int_{0}^{t} g(t-\tau) \int_{\Omega} \nabla u(t) \nabla u(\tau) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau \\= & \int_{0}^{t} g(t-\tau)\|\nabla u(t)\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t} g(t-\tau) \int_{\Omega} \nabla u(t)(\nabla u(\tau)-\nabla u(t)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau \\\geq & \int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\|\nabla u\|_{2}^{2}-\frac{p}{2}(g \circ \nabla u)(t)-\frac{1}{2 p} \int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\|\nabla u\|_{2}^{2}\end{aligned}$
将 (3.6) 式代入 (3.5) 式, 结合能量泛函 $E(t)$
(3.7) $\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} H(t) \geq & 2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}-2\left(1-\int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}+2\|u\|_{p}^{p} \\& -p(g \circ \nabla u)(t)-\frac{1}{p} \int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\|\nabla u\|_{2}^{2} \\= & (p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+(p-2)\left(1-\int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\right)\|\nabla u\|_{2}^{2} \\& -\frac{1}{p} \int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(t)\end{aligned}$
(3.8) $\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} H(t) \geq & (p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\left[(p-2) l-\frac{1}{p}(1-l)\right]\|\nabla u\|_{2}^{2} \\& -2 p E(0)+2 p \int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+2 p \int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau.\end{aligned}$
(3.9) $\int_{0}^{\infty} g(\tau) \mathrm{d} \tau<\frac{\frac{p}{2}-1}{\frac{p}{2}-1+\frac{1}{2 p}}, \quad p>2$
(3.10) $\alpha:=(p-2) l-\frac{1}{p}(1-l)>0$
(3.11) $\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} H(t) & \geq(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0) \\& \geq(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha \varepsilon_{1}\|\nabla u\|_{2}^{2}+\alpha\left(1-\varepsilon_{1}\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0) \\& \geq(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha \varepsilon_{1} \lambda_{1}\|u\|_{2}^{2}+\alpha\left(1-\varepsilon_{1}\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0) \\& \geq(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \lambda_{1}\|u\|_{2}^{2}+\alpha \varepsilon_{1}\left(1-\varepsilon_{2}\right) \lambda_{1}\|u\|_{2}^{2}+\alpha\left(1-\varepsilon_{1}\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0)\end{aligned}$
其中 $0<\varepsilon_1, \varepsilon_2<1$ $\lambda_1>0$ $-\Delta$
(3.12) $\begin{equation}\label{f9} (p+2)||u_t||^2_2+\alpha\varepsilon_1\varepsilon_2\lambda_1|| u||^2_2\geq2\sqrt{(p+2)\alpha\varepsilon_1\varepsilon_2\lambda_1}|(u_t,u)|. \end{equation}$
(3.13) $\begin{aligned}H^{\prime}(t) & \geq 2 \sqrt{(p+2) \alpha \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \lambda_{1}}\left|\left(u_{t}, u\right)\right|+\alpha \varepsilon_{1}\left(1-\varepsilon_{2}\right) \lambda_{1}\|u\|_{2}^{2}+\alpha\left(1-\varepsilon_{1}\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0) \\& \geq \nu\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)\left[2\left|\left(u_{t}, u\right)\right|+\|u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2}-\frac{2 p}{\nu\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)} E(0)\right] \\& \geq \nu\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)\left[2\left(u_{t}, u\right)+\|u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2}-\frac{2 p}{\nu\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)} E(0)\right].\end{aligned}$
(3.14) $\begin{equation}\label{s} \nu(\varepsilon_1,\varepsilon_2):=\min\{\sqrt{(p+2)\alpha\varepsilon_1\varepsilon_2\lambda_1}, \alpha\varepsilon_1(1-\varepsilon_2)\lambda_1, \alpha(1-\varepsilon_1)\}. \end{equation}$
(3.15) $\begin{equation}\label{s2} \nu=\sup_{0<\varepsilon_1,\varepsilon_2<1}\nu(\varepsilon_1,\varepsilon_2), \end{equation}$
(3.16) $H^{\prime}(t) \geq \nu\left(2\left(u_{t}, u\right)+\|u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2}-\frac{2 p}{\nu} E(0)\right)=\nu H(t),$
即$H(t)\geq H(0){\rm e}^{\nu t},\quad t\geq0.$
由假定条件 (3.1) 可知 $H(0)>0$
再次使用 Cauchy 不等式可知当 $t\rightarrow+\infty$
(3.17) $\begin{equation} ||u_t||^2_2+||u||^2_2+||\nabla u||^2_2\rightarrow+\infty. \end{equation}$
(3.18) $\begin{equation} ||u_t||^2_2+(1+\frac{1}{\lambda_1})||\nabla u||^2_2\rightarrow+\infty. \end{equation}$
为应用引理 2.2, 对 $\forall T_0>0$
(3.19) $\phi(t):=\|u\|_{2}^{2}+\int_{0}^{t}\left(\|u(\tau)\|_{2}^{2}+\|\nabla u(\tau)\|_{2}^{2}\right) \mathrm{d} \tau+\left(T_{0}-t\right)\left[\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}+\left\|\nabla u_{0}\right\|_{2}^{2}\right]$
其中 $T_0>0$ $\forall t\in[0,T_0)$ $\phi(t)>0$ . 对 $\phi$ $t$
(3.20) $\begin{aligned}\phi^{\prime}(t) & =2\left(u, u_{t}\right)+\|u\|_{2}^{2}+\|\nabla u\|_{2}^{2}-\left[\left\|u_{0}\right\|_{2}^{2}+\left\|\nabla u_{0}\right\|_{2}^{2}\right] \\& =2\left(u, u_{t}\right)+2 \int_{0}^{t}\left[\left(u(\tau), u_{\tau}(\tau)\right)+\left(\nabla u(\tau), \nabla u_{\tau}(\tau)\right)\right] \mathrm{d} \tau.\end{aligned}$
对 $\phi$ $t$
(3.21) $\begin{aligned}\phi^{\prime \prime}(t) & =2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+2\left(u, u_{t t}\right)+2\left(u, u_{t}\right)+2\left(\nabla u, \nabla u_{t}\right) \\& =2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}-2\|\nabla u\|_{2}^{2}+2 \int_{0}^{t} g(t-\tau) \int_{\Omega} \nabla u(t) \nabla u(\tau) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau+2\|u\|_{p}^{p}\end{aligned}$
将 (3.6) 式代入 (3.21) 式, 并应用 $E(t)$
(3.22) $\begin{aligned}\phi^{\prime \prime}(t) & \geq 2\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}-2\left(1-\int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\right)\|\nabla u\|_{2}^{2}-p(g \circ \nabla u)(t)-\frac{1}{p} \int_{0}^{t} g(\tau) \mathrm{d} \tau\|\nabla u\|_{2}^{2}+2\|u\|_{p}^{p} \\& =(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\left[(p-2) l-\frac{1}{p}(1-l)\right]\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(t)\end{aligned}$
(3.23) $\phi^{\prime \prime}(t) \geq(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha\|\nabla u\|_{2}^{2}-2 p E(0)+2 p\left[\int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau\right]$
由 (3.18) 式, 可知当 $t\rightarrow+\infty$
(3.24) $\begin{equation} (p+2)||u_t||^2_2+\alpha||\nabla u||^2_2-2pE(0)\rightarrow+\infty. \end{equation}$
则存在 $0<\epsilon<1, \xi>0, T_*>0$
(3.25) $\begin{equation} \min\{\epsilon(p+2), 2p\}>4+\xi, \end{equation}$
(3.26) $\begin{equation} (p+2)||u_t||^2_2+\alpha||\nabla u||^2_2-2pE(0)>\epsilon\Big[(p+2)||u_t||^2_2+\alpha||\nabla u||^2_2\Big], \quad t>T_*. \end{equation}$
则由 (3.25) 式和 (3.26) 式, 可得
(3.27) $\begin{aligned}\phi^{\prime \prime}(t) & >\epsilon\left[(p+2)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\alpha\|\nabla u\|_{2}^{2}\right]+2 p \int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+2 p \int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau \\& >(4+\xi)\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+2 p \int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+2 p \int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau \\& >(4+\xi)\left[\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau\right], \quad t>T_{*}\end{aligned}$
显然有 $\phi''(t)>0$ . 设 $\phi''(t)\geq(4+\xi)A_1$ $\phi(t)\geq A_2$ $A_3:=\frac{1}{2}\phi'(t)$
(3.28) $\begin{array}{l}A_{1}:=\left\|u_{t}\right\|_{2}^{2}+\int_{0}^{t}\left\|u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t}\left\|\nabla u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau, \\A_{2}:=\|u\|_{2}^{2}+\int_{0}^{t}\|u(\tau)\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t}\|\nabla u(\tau)\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau.\end{array}$
因为对任意的 $\theta\in \mathbb{R}$
(3.29) $A_{2} \theta^{2}-2 A_{3} \theta+A_{1}=\int_{\Omega}\left(\theta u-u_{t}\right)^{2} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{t}\left\|\theta u-u_{\tau}\right\|_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t} \| \theta|\nabla u|-\left|\nabla u_{\tau}\right|| |_{2}^{2} \mathrm{~d} \tau \geq 0$
则二次函数根的判别式 $A^2_3-A_1A_2\leq0.$
(3.30) $\begin{equation} \phi''(t)\phi(t)-\frac{4+\xi}{4}(\phi'(t))^2\geq0,\quad t\in[T_*, T_0]. \end{equation}$
这与假定 $u(t)$
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General decay and blow-up of solution for a quasilinear viscoelastic problem with nonlinear source
2010
A blow-up result for a system of coupled viscoelastic equations with arbitrary positive initial energy
1
2021
... 证明了当 $p>m$ 12 ] 中推广了这一结果, 得到了在低的初始能量状态下解在有限时间发生爆破的条件. 最近宋海涛在文献 [16 ] 中应用反证法和凹函数的方法得到了问题 (1.4) 的解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在同一方向上, 李倩和贺罗飞在文献 [9 ] 中研究了问题 (1.1), 得到了解在低的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 相关的文献推荐读者还可阅读文献 [1 ,3 ,4 ,6 8 ,15 ,18 ,21 ]. ...
General decay and blow-up of solutions for a nonlinear viscoelastic wave equation with strong damping
3
2018
... 证明了当 $p>m$ 12 ] 中推广了这一结果, 得到了在低的初始能量状态下解在有限时间发生爆破的条件. 最近宋海涛在文献 [16 ] 中应用反证法和凹函数的方法得到了问题 (1.4) 的解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在同一方向上, 李倩和贺罗飞在文献 [9 ] 中研究了问题 (1.1), 得到了解在低的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 相关的文献推荐读者还可阅读文献 [1 ,3 ,4 ,6 8 ,15 ,18 ,21 ]. ...
... 受上述文献的启发, 本文研究了问题 (1.1) 的解在高初始能级状态下发生爆破的问题. 通过构造恰当的辅助函数, 应用凹函数的方法和一些分析技巧推导出了解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 提高了已有文献 [9 ] 中的结果. 本文做了如下安排, 在第二部分给出了预备知识. 第三部分证明了高能爆破定理. ...
... 引理 2.1 [9 ] 假定条件 (1.2) 和 (A) 成立. 设 $u$ $ (1.1) $ $E(t)$
Global well-posedness of nonlinear wave equation with weak and strong damping terms and logarithmic source term
1
2020
... 作者应用位势井理论, 得到了在低的初始能级状态下, 解整体存在和不存在的门槛条件, 并且在 $\omega=0$ 19 ] 中研究了方程 (1.3) 的初边值问题在 $\omega>0$ 23 ] 中, 徐润章和杨延冰研究了一类带有色散项和强阻尼项的波动方程解的爆破性质. 作者通过构造恰当的辅助函数, 应用凹函数方法得到了解在高的初始能级状态下在有限时间发生爆破的充分条件. 在方程 (1.3) 中的非线性源项替换为对数源项的情况下, 徐润章等在文献 [10 ] 中在三种不同的能级 (次临界、临界和任意正初始) 状态下研究了带有对数源项的波动方程的初边值问题. 作者证明了弱解的局部存在性, 应用位势井理论, 在次临界能级状态下, 证明了解的整体存在与能量衰减, 并且将次临界能级状态下的所有结果平行的推广到临界能级状态下. 王焰金在文献 [20 ] 中改进了如上结果, 进一步研究了带有线性阻尼和非线性源项的粘弹性波动方程. 作者通过构造了恰当的辅助泛函, 应该凹函数的方法, 结合函数的单调性和一些分析技巧, 得到了解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在文献 [22 ] 中, 徐润章等研究了一类带有色散项、强阻尼项、线性弱阻尼项的粘弹性波动方程的初边值问题. 作者引入了位势井族得到了不变集, 得到了在低的初始能级状态下解整体存在和不存在的门槛条件, 在文献 [20 ] 的启发下, 证明了解在任意正初始能级状态下在有限时间内发生爆破. ...
Blow up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation
1
2003
... 在文献 [11 ] 中, Messaoudi 研究了如下形式的波动方程初边值问题 ...
Blow up of positive initial energy solution of a nonlinear viscoelastic hyperbolic equation
1
2006
... 证明了当 $p>m$ 12 ] 中推广了这一结果, 得到了在低的初始能量状态下解在有限时间发生爆破的条件. 最近宋海涛在文献 [16 ] 中应用反证法和凹函数的方法得到了问题 (1.4) 的解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在同一方向上, 李倩和贺罗飞在文献 [9 ] 中研究了问题 (1.1), 得到了解在低的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 相关的文献推荐读者还可阅读文献 [1 ,3 ,4 ,6 8 ,15 ,18 ,21 ]. ...
A blow up result for viscoelastic equations with arbitrary positive initial energy
2011
Saddle points and instability on nonlinear hyperbolic equation
1975
Global nonexistence of positive initial energy solution for a viscoelastic wave
1
2015
... 证明了当 $p>m$ 12 ] 中推广了这一结果, 得到了在低的初始能量状态下解在有限时间发生爆破的条件. 最近宋海涛在文献 [16 ] 中应用反证法和凹函数的方法得到了问题 (1.4) 的解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在同一方向上, 李倩和贺罗飞在文献 [9 ] 中研究了问题 (1.1), 得到了解在低的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 相关的文献推荐读者还可阅读文献 [1 ,3 ,4 ,6 8 ,15 ,18 ,21 ]. ...
Blow up of arbitrarily positive initial energy solution for a viscoelastic wave euqation
1
2015
... 证明了当 $p>m$ 12 ] 中推广了这一结果, 得到了在低的初始能量状态下解在有限时间发生爆破的条件. 最近宋海涛在文献 [16 ] 中应用反证法和凹函数的方法得到了问题 (1.4) 的解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在同一方向上, 李倩和贺罗飞在文献 [9 ] 中研究了问题 (1.1), 得到了解在低的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 相关的文献推荐读者还可阅读文献 [1 ,3 ,4 ,6 8 ,15 ,18 ,21 ]. ...
Blow up of solution of a nonlinear viscoelastic wave equation
1
2010
... 引理 2.2 [17 ] 假定 $0<T\leq \infty$ $\phi(t)$
Blow up of solution of a nonlinear viscoelastic wave equation
1
2010
... 引理 2.2 [17 ] 假定 $0<T\leq \infty$ $\phi(t)$
任意正初始能量状态下半线性波动方程解的有限时间爆破
1
2017
... 证明了当 $p>m$ 12 ] 中推广了这一结果, 得到了在低的初始能量状态下解在有限时间发生爆破的条件. 最近宋海涛在文献 [16 ] 中应用反证法和凹函数的方法得到了问题 (1.4) 的解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在同一方向上, 李倩和贺罗飞在文献 [9 ] 中研究了问题 (1.1), 得到了解在低的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 相关的文献推荐读者还可阅读文献 [1 ,3 ,4 ,6 8 ,15 ,18 ,21 ]. ...
任意正初始能量状态下半线性波动方程解的有限时间爆破
1
2017
... 证明了当 $p>m$ 12 ] 中推广了这一结果, 得到了在低的初始能量状态下解在有限时间发生爆破的条件. 最近宋海涛在文献 [16 ] 中应用反证法和凹函数的方法得到了问题 (1.4) 的解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在同一方向上, 李倩和贺罗飞在文献 [9 ] 中研究了问题 (1.1), 得到了解在低的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 相关的文献推荐读者还可阅读文献 [1 ,3 ,4 ,6 8 ,15 ,18 ,21 ]. ...
A global nonexistence theorem for viscoelastic equations with arbitrary positive initial energy
1
2009
... 作者应用位势井理论, 得到了在低的初始能级状态下, 解整体存在和不存在的门槛条件, 并且在 $\omega=0$ 19 ] 中研究了方程 (1.3) 的初边值问题在 $\omega>0$ 23 ] 中, 徐润章和杨延冰研究了一类带有色散项和强阻尼项的波动方程解的爆破性质. 作者通过构造恰当的辅助函数, 应用凹函数方法得到了解在高的初始能级状态下在有限时间发生爆破的充分条件. 在方程 (1.3) 中的非线性源项替换为对数源项的情况下, 徐润章等在文献 [10 ] 中在三种不同的能级 (次临界、临界和任意正初始) 状态下研究了带有对数源项的波动方程的初边值问题. 作者证明了弱解的局部存在性, 应用位势井理论, 在次临界能级状态下, 证明了解的整体存在与能量衰减, 并且将次临界能级状态下的所有结果平行的推广到临界能级状态下. 王焰金在文献 [20 ] 中改进了如上结果, 进一步研究了带有线性阻尼和非线性源项的粘弹性波动方程. 作者通过构造了恰当的辅助泛函, 应该凹函数的方法, 结合函数的单调性和一些分析技巧, 得到了解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在文献 [22 ] 中, 徐润章等研究了一类带有色散项、强阻尼项、线性弱阻尼项的粘弹性波动方程的初边值问题. 作者引入了位势井族得到了不变集, 得到了在低的初始能级状态下解整体存在和不存在的门槛条件, 在文献 [20 ] 的启发下, 证明了解在任意正初始能级状态下在有限时间内发生爆破. ...
Global well-posedness of coupled parabolic systems
2
2020
... 作者应用位势井理论, 得到了在低的初始能级状态下, 解整体存在和不存在的门槛条件, 并且在 $\omega=0$ 19 ] 中研究了方程 (1.3) 的初边值问题在 $\omega>0$ 23 ] 中, 徐润章和杨延冰研究了一类带有色散项和强阻尼项的波动方程解的爆破性质. 作者通过构造恰当的辅助函数, 应用凹函数方法得到了解在高的初始能级状态下在有限时间发生爆破的充分条件. 在方程 (1.3) 中的非线性源项替换为对数源项的情况下, 徐润章等在文献 [10 ] 中在三种不同的能级 (次临界、临界和任意正初始) 状态下研究了带有对数源项的波动方程的初边值问题. 作者证明了弱解的局部存在性, 应用位势井理论, 在次临界能级状态下, 证明了解的整体存在与能量衰减, 并且将次临界能级状态下的所有结果平行的推广到临界能级状态下. 王焰金在文献 [20 ] 中改进了如上结果, 进一步研究了带有线性阻尼和非线性源项的粘弹性波动方程. 作者通过构造了恰当的辅助泛函, 应该凹函数的方法, 结合函数的单调性和一些分析技巧, 得到了解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在文献 [22 ] 中, 徐润章等研究了一类带有色散项、强阻尼项、线性弱阻尼项的粘弹性波动方程的初边值问题. 作者引入了位势井族得到了不变集, 得到了在低的初始能级状态下解整体存在和不存在的门槛条件, 在文献 [20 ] 的启发下, 证明了解在任意正初始能级状态下在有限时间内发生爆破. ...
... ] 中, 徐润章等研究了一类带有色散项、强阻尼项、线性弱阻尼项的粘弹性波动方程的初边值问题. 作者引入了位势井族得到了不变集, 得到了在低的初始能级状态下解整体存在和不存在的门槛条件, 在文献 [20 ] 的启发下, 证明了解在任意正初始能级状态下在有限时间内发生爆破. ...
Global well-posedness for strongly damped viscoelastic wave equation
1
2013
... 证明了当 $p>m$ 12 ] 中推广了这一结果, 得到了在低的初始能量状态下解在有限时间发生爆破的条件. 最近宋海涛在文献 [16 ] 中应用反证法和凹函数的方法得到了问题 (1.4) 的解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在同一方向上, 李倩和贺罗飞在文献 [9 ] 中研究了问题 (1.1), 得到了解在低的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 相关的文献推荐读者还可阅读文献 [1 ,3 ,4 ,6 8 ,15 ,18 ,21 ]. ...
Finite time blow up for the nonlinear fourth-order dispersive-dissipative wave equation at high energy level
2
2012
... 作者应用位势井理论, 得到了在低的初始能级状态下, 解整体存在和不存在的门槛条件, 并且在 $\omega=0$ 19 ] 中研究了方程 (1.3) 的初边值问题在 $\omega>0$ 23 ] 中, 徐润章和杨延冰研究了一类带有色散项和强阻尼项的波动方程解的爆破性质. 作者通过构造恰当的辅助函数, 应用凹函数方法得到了解在高的初始能级状态下在有限时间发生爆破的充分条件. 在方程 (1.3) 中的非线性源项替换为对数源项的情况下, 徐润章等在文献 [10 ] 中在三种不同的能级 (次临界、临界和任意正初始) 状态下研究了带有对数源项的波动方程的初边值问题. 作者证明了弱解的局部存在性, 应用位势井理论, 在次临界能级状态下, 证明了解的整体存在与能量衰减, 并且将次临界能级状态下的所有结果平行的推广到临界能级状态下. 王焰金在文献 [20 ] 中改进了如上结果, 进一步研究了带有线性阻尼和非线性源项的粘弹性波动方程. 作者通过构造了恰当的辅助泛函, 应该凹函数的方法, 结合函数的单调性和一些分析技巧, 得到了解在高的初始能级状态下发生爆破的充分条件. 在文献 [22 ] 中, 徐润章等研究了一类带有色散项、强阻尼项、线性弱阻尼项的粘弹性波动方程的初边值问题. 作者引入了位势井族得到了不变集, 得到了在低的初始能级状态下解整体存在和不存在的门槛条件, 在文献 [20 ] 的启发下, 证明了解在任意正初始能级状态下在有限时间内发生爆破. ...
... 结合文献 [5 ,22 ] 中的方法, 可以推导出如下解的局部存在性定理, 在这里省略了证明. ...
