数学物理学报, 2025, 45(3): 776-789

一类带 Allee 效应的多尺度反应-扩散系统的波前解

郑焰萍,1, 沈建和,1,2,*

1福建师范大学数学与统计学院 福州 350117

2福建师范大学分析数学及应用教育部重点实验室, 福建省应用数学中心 福州 350117

Traveling Fronts in a Social Tension-Outbursts Multi-Scale Reaction-Diffusion Equation with Allee Effect

Zheng Yanping,1, Shen Jianhe,1,2,*

1School of Mathematics and Statistics, Fujian Normal University, Fuzhou 350117

2Key Laboratory of Analytical Mathematics and Applications (Ministry of Education) and Center of Applied Mathematics of Fujian Province, Fujian Normal University, Fuzhou 350117

通讯作者: E-mail: jhshen@fjnu.edu.cn

收稿日期: 2024-05-8   修回日期: 2024-10-5  

基金资助: 国家自然科学基金(12271096)
2023年度福建省省直单位教育和科研专项项目“陆地生态系统固碳驱动的若干数学问题研究”

Received: 2024-05-8   Revised: 2024-10-5  

Fund supported: NSFC(12271096)
2023 Annual Special Funding Project for Education and Research Departments in Fujian Provinces “Study on Key Mathematical Problems Driven by Carbon Seauestration in Ecosystems”

作者简介 About authors

E-mail:2415440857@qq.com

摘要

该文基于几何奇异摄动理论的降维方法, 结合旋转向量场和相平面分析等工具,研究了一类考虑 Allee 效应的用于描述社会张力-动荡演化多尺度反应-扩散系统的波前解的存在性. 在三种不同的极限假设下,得到了不同的降维方式并基于低维系统的异宿连接, 分别得到上述系统连接不同稳态解的波前解的存在性.

关键词： 几何奇异摄动理论; 旋转向量场; 波前解; 横截性

Abstract

Based on the geometric singular perturbation theory, and combining with the tools of generalized rotating vector field and phase plane analysis, this paper studies the existence of traveling fronts for a class of multi-scale reaction-diffusion system describing social tension-outbursts with Allee effect. Under three different limiting assumptions on scales, we obtain three different dimension-reduction settings to get the low-dimensional systems processing heteroclinic connections. Thus, we obtain the existence of traveling fronts connecting different steady-state solutions of the multi-scale reaction-diffusion system mentioned-above.

Keywords： geometric singular perturbation theory; generalized rotating vector field; traveling fronts; ttransversality

PDF (957KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

郑焰萍, 沈建和. 一类带 Allee 效应的多尺度反应-扩散系统的波前解[J]. 数学物理学报, 2025, 45(3): 776-789

Zheng Yanping, Shen Jianhe. Traveling Fronts in a Social Tension-Outbursts Multi-Scale Reaction-Diffusion Equation with Allee Effect[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(3): 776-789

1 引言和模型

2015 年, Berestycki 等[1]提出用于描述社会张力-动荡演化的常微分方程模型,

$\left\{\begin{array}{l} u_{\tau}=r(v) G(u)-\omega\left(u-u_{b}\right), \\ v_{\tau}=-h(u) v+\theta v_{b}+\sum_{i=1}^{n} A_{i} \delta_{x=x_{i}, t=t_{i}}, \end{array}\right.$

这里$u(\tau)$代表 “社会张力”, $v(\tau)$表示 “动荡水平”, $G(u)=u(1-u)$ 为 logistic 函数, 它代表社会的从众效应; $r(v)=\frac{1}{1+{\rm e}^{-\beta(v-\alpha)}}$ 为 sigmoid 型函数, 它代表开关机制, 即当 $v$ 足够大时, 从众效应才被体现;

$h(u)=\theta(1+u)^{-p}$ 代表 $u$ 对 $v$ 的影响, $h(u)$ 单调递减时为张力增强, 单调递增时为张力抑制, 此处 $h(u)$ 的单调性由未知参数 $p$ 来控制; $\theta$ 指的是单位时间内张力的自然衰减率, $\sum_{i=1}^{n}A_{i}\delta_{x=x_{i},t=t_{i}}$ 指的是外界因素对社会张力的影响.

基于上述 Berestycki 等提出的常微分系统, Bakhshi 等[2]考虑了扩散效应, 提出了如下用于描述社会张力-动荡演化的反应-扩散系统

$\left\{\begin{array}{l} u_{\tau}=d_{1} \Delta u+r(v) G(u)-\omega u, \\ v_{\tau}=d_{2} \Delta v+1-h(u) v, \end{array}\right.$

这里$u=u(\tau,x)$代表 “社会张力”, $v=v(\tau,x)$表示 “动荡水平”, 函数 $G, r, h$ 与上面所述相同. 在扩散系数满足 $0<d_i\ll1, i=1,2$ 或 $0<d_1=O(1), 0<d_2\ll1$ 的假设下, Bakhshi 等[2]利用几何奇异摄动理论, 证明系统 (1.1) 存在连接两个稳态解的波前解.

基于 Bakhshi 等[2]提出的反应-扩散系统, 本文引入 Allee 效应, 即考虑如下反应-扩散系统,

$\left\{\begin{array}{l}u_{\tau}=d_{1} \Delta u+\frac{\Gamma}{1+\mathrm{e}^{-\beta(v-1)}} u(1-u)(u-a)-\omega u, \\v_{\tau}=d_{2} \Delta v+1-(1+u)^{p} v,\end{array}\right.$

这里 $a\in(0,1)$ 为 Allee 效应参数, 其他参数与前面模型相同, 且由于研究张力抑制的情况, 因此 $p>0$. 一方面, 从数学建模的角度看, 相比于 logistic 增长, Allee 效应作为生态学中的一个重要概念, 它可用于 “阈值” 问题的建模, 对于刻画 “社会张力” 的爆发阈值有一定意义, 因此模型的建立应该是更为合理; 另一方面, 从数学理论的角度看, Allee 效应的引入, 使得 (1.2) 式的稳态解的个数比模型 (1.1) 更多且类型难以判断, 这导致模型 (1.2) 波前解的产生更为复杂. 那么, 相比于模型 (1.1), 模型 (1.2) 是否有新的波前解的产生, 是本文研究的主要内容. 模型 (1.2) 的异宿连接, 代表着从不同的稳态之间的迁移.

本文结构安排如下: 第 2 节分析了 (1.2) 式稳态解的个数及其类型; 第 3 节在扩散系数 $d_i, i=1,2$ 均很小的假设下, 利用几何奇异摄动理论, 通过降维证明了 (1.2) 式存在连接两个不同稳态解的波前解; 在第 4 节中在扩散系数 $0<d_1=O(1), 0<d_2\ll1$ 的假设下, 基于几何奇异摄动理论降维并结合相平面分析方法, 证明了模型 (1.2) 波前解的存在性.

2 方程 (1.2) 稳态解的个数和类型

令$\Gamma/\omega=\gamma$, 则可将 (1.2) 式改写为

$\begin{equation} \label{a3} \left\{\begin{aligned} u_\tau&=d_1u_{xx}+\omega(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v-1)}}u(1-u)(u-a)-u),\\ v_\tau&=d_2v_{xx}+1-(1+u)^pv. \end{aligned}\right. \end{equation}$

显然, 系统 (2.1) (等价于系统 (1.2)) 的稳态解为如下非线性代数方程组的根,

$\begin{equation} \label{a5} \left\{\begin{aligned} \frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v-1)}}u(1-u)(u-a)-u&=0,\\ 1-(1+u)^pv&=0. \end{aligned}\right. \end{equation}$

引理 2.1 方程组 (2.2) 最多有三个根, 即系统 (1.2) 最多有三个稳态解, 即存在临界参数 $a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 使得

(1) 当 $a<a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 时, (2.2) 式只有一个非退化根 $A(0,1)$, 见图1(a);

图1

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图1   系统 (2) 的稳态解及其鞍结分支


(2) 当 $a=a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 时, (2.2) 式有两个根 $A(0,1)$, $B(\overline{u},\overline{v})$, 其中 $B(\overline{u},\overline{v})$ 为退化根, 此时鞍结分支产生, 见图1(b);

(3) 当 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 时, (2.2) 式有三个非退化根 $A(0,1)$, $B(\overline{u},\overline{v})$, $C(u^*,v^*)$, 见图1(c), 其中 $(\overline{u},\overline{v})$ 和 $(u^*,v^*)$ 为如下超越方程在 $a$ 取不同值情况下的解,

$\begin{equation}\label{a6} \frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta((1+u)^{-p}-1)}}(1-u)(u-a)-1=0, \end{equation}$

见图-1, 而 $a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 由下述的方程组消去 $u$ 后确定,

$\begin{equation} \label{a7} \left\{\begin{aligned} &-\frac{1}{\beta}\ln[\gamma(1-u)(u-a)-1]+1=(1+u)^{-p},\\ &\frac{\gamma(2u-a-1)}{\beta[\gamma(1-u)(u-a)-1]}=-p(1+u)^{-p-1}. \end{aligned}\right. \end{equation}$

证 方程组 (2.2) 的根为如下方程组

$\begin{equation} \label{a500} \left\{\begin{aligned} u&=0,\\ v&=(1+u)^{-p} \end{aligned}\right. \end{equation}$

和

$\begin{equation} \label{a501} \left\{\begin{aligned} &\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v-1)}}(1-u)(u-a)=1,\\ &v=(1+u)^{-p} \end{aligned}\right. \end{equation}$

的根. 由方程 (2.5) 可得稳态解 $A(0,1)$. 对于方程组 (2.6) 的根, 可将第一个方程的 $v$ 用第二个方程代入, 从而得到关于 $u$ 的非线性方程 (2.3). 对方程 (2.3) 进行变形可得方程组 (2.4) 的第一个方程. 接着对方程组 (2.6) 的第一个方程进行变形, 用 $u$ 表示 $v$, 并关于 $u$ 求导, 同时对方程组 (2.6) 的第二个方程关于 $u$ 求导, 令两个的导数相等, 可得方程组 (2.4) 的第二个方程. 在方程组 (2.4) 中消去 $u$ 后, 可以求得方程组 (2.4) 代表的两条曲线相切时参数 $a$ 的临界值 $a^{*}(\beta,\gamma,p)$, 从而引理 1 得证.

注 2.1 由于临界参数 $a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 的显式表达式难以得出, 因此图-1 为固定参数 $\beta, \gamma,p$ 的情况下改变 $a$ 的值而得到的示意图.

本文考虑系统 (1.2)) 有三个稳常态解 $A(0,1)$, $B(\overline{u}_{1},\overline{v}_{1})$ 和 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 时的波前解的连接和存在性问题, 因此以下均假设 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$.

记$f_1(u_1,v_1)=-(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)-u_1), f_2(u_1,v_1)=-(1-(1+u_1)^pv_1).$

考虑如下平面系统

$\begin{equation} \label{a20} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\xi}&=\frac{\omega}{c}f_1(u_1,v_1),\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}\xi}&=\frac{1}{c}f_2(u_1,v_1). \end{aligned}\right. \end{equation}$

引理 2.2 若系统 (2.7) 有三个平衡点 $A(0, 1)$, $B(\overline{u}_{1}, \overline{v}_{1})$, $C(u_{1}^*, v_{1}^*)$, 则点 $A(0, 1)$ 为系统 (2.7) 的不稳定结点; 点 $B(\overline{u}_{1}, \overline{v}_{1})$ 为系统 (2.7) 的鞍点; 若 $u_{1}^*\geq\frac{a+1}{2}$, 则点 $C(u_{1}^*, v_{1}^*)$ 是不稳定的平衡点, 若 $u_{1}^*<\frac{a+1}{2}$, 则 $C(u_{1}^*, v_{1}^*)$ 的类型无法判断.

证 直接计算可得

$\begin{equation} \label{a22} \left\{\begin{aligned} f_{1u_{1}}&=-(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}(1-u_1)(u_1-a)-1)+\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}[u_1(u_1-a)-(1-u_1)u_1],\\ f_{1v_{1}}&=-\frac{\gamma\beta {\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}{(1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)})^{2}}u_1(1-u_1)(u_1-a),\\ f_{2u_{1}}&=p(1+u_1)^{p-1}v_1,\\ f_{2v_{1}}&=(1+u_1)^p, \end{aligned}\right. \end{equation}$

则其雅可比矩阵的特征值为

$\begin{equation}\label{a21} \lambda_{1,2}=\frac{1}{2c}(f_{2v_{1}}+\omega f_{1u_{1}}\pm\sqrt{(f_{2v_{1}}-\omega f_{1u_{1}})^{2}+4\omega f_{1v_{1}}f_{2u_{1}}}). \end{equation}$

因此, 系统 (2.7) 在点 $A(0,1)$ 的特征值为 $\lambda_{1}(A)=\frac{1}{c}, \lambda_{2}(A)=\frac{\omega(a\gamma+2)}{2c}$, 则点 $A(0,1)$ 为一个不稳定结点.

根据引理 2.1, $B(\overline{u}_{1},\overline{v}_{1})$ 和 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 满足

$\begin{equation} \label{a23} \left\{\begin{aligned} \frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}(1-u_{1})(u_{1}-a)-1&=0,\\ 1-(1+u_{1})^pv_{1}&=0. \end{aligned}\right. \end{equation}$

对于第一个方程, 可将方程改写为

$\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}=\frac{1}{(1-u_{1})(u_{1}-a)}$,

即

$v_{1}=-\frac{1}{\beta}\ln[\gamma(1-u_{1})(u_{1}-a)-1]+1$.

方程两边同时对 $u_{1}$ 求导可得,

$\frac{\text{d}v_1}{\text{d}u_{1}}=\frac{\gamma(2u_{1}-a-1)}{\beta[\gamma(1-u_{1})(u_{1}-a)-1]}$.

对于第二个方程, 可将方程改写为

$v_{1}=(1+u_{1})^{-p}$.

方程两边同时对 $u_{1}$ 求导可得,

$\frac{\text{d}v_1}{\text{d}u_{1}}=-p(1+u_{1})^{-p-1}$.

从引理 2.1 中的图1, 比较两曲线在 $B(\overline{u}_{1},\overline{v}_{1})$ 和 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 的斜率可知

$\frac{\gamma\left(2 \bar{u}_{1}-a-1\right)}{\beta\left[\gamma\left(1-\bar{u}_{1}\right)\left(\bar{u}_{1}-a\right)-1\right]}<-p\left(1+\bar{u}_{1}\right)^{-p-1}$

以及

$\frac{\gamma\left(2 u_{1}^{*}-a-1\right)}{\beta\left[\gamma\left(1-u_{1}^{*}\right)\left(u_{1}^{*}-a\right)-1\right]}>-p\left(1+u_{1}^{*}\right)^{-p-1}.$

因此, 对于点 $B(\overline{u}_{1},\overline{v}_{1})$, 代入得

$\begin{equation} \label{a26} \left\{\begin{aligned} f_{1u_{1}}(B)&=\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(\overline{v}_1-1)}}\overline{u}_1(2\overline{u}_1-a-1),\\ f_{1v_{1}}(B)&=-\frac{\overline{u}_1\beta {\rm e}^{-\beta(\overline{v}_1-1)}}{1+{\rm e}^{-\beta(\overline{v}_1-1)}},\\ f_{2u_{1}}(B)&=p(1+\overline{u}_1)^{p-1}\overline{v}_1,\\ f_{2v_{1}}(B)&=(1+\overline{u}_1)^p, \end{aligned}\right. \end{equation}$

故有

$\begin{aligned}f_{1 u_{1}}(B) f_{2 v_{1}}(B)-f_{1 v_{1}}(B) f_{2 u_{1}}(B) &=\frac{\bar{u}_{1}\left(1+\bar{u}_{1}\right)^{p-1}}{1+\mathrm{e}^{-\beta\left(\bar{v}_{1}-1\right)}}\left[\gamma\left(2 \bar{u}_{1}-a-1\right)\left(1+\bar{u}_{1}\right)+\beta \mathrm{e}^{-\beta\left(\bar{v}_{1}-1\right)} p \bar{v}_{1}\right] \\&<0\end{aligned}$

因此, 点$B(\overline{u}_{1},\overline{v}_{1})$是鞍点.

对于点 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$, 可类似计算得$f_{1u_{1}}(C)f_{2v_{1}}(C)-f_{1v_{1}}(C)f_{2u_{1}}(C)>0$, 即$C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 不可能是鞍点.

此时, 需要再判断 $\omega f_{1u_{1}}(C)+f_{2v_{1}}(C)$ 的符合. 计算可得

(1) 若 $u_{1}^*\geq\frac{a+1}{2}$, 则 $\omega f_{1u_{1}}(C)+f_{2v_{1}}(C)>0$, 因此 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 是不稳定的平衡点;

(2) 若 $u_{1}^*<\frac{a+1}{2}$, 则 $\omega f_{1u_{1}}(C)+f_{2v_{1}}(C)$ 大小与 $\omega$ 取值有关, 此时无法判断 $C(u_{1}^*,v_{1}^*)$ 的类型.

3 当 $0<d_1, d_2\ll1$ 时方程 (1.2) 波前解的存在性

引入行波坐标 $\xi=x-c\tau$, 其中 $c$ 为传播速度, 可得系统 (1.2) 对应的行波系统

$\begin{equation} \label{a10} \left\{\begin{aligned} 0&=d_1u_{\xi\xi}+cu_\xi+\omega(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v-1)}}u(1-u)(u-a)-u),\\ 0&=d_2v_{\xi\xi}+cv_\xi+1-(1+u)^pv. \end{aligned}\right. \end{equation}$

因 $0<d_1, d_2\ll1$, 故可令 $d_1=\epsilon$, $d_2=\mu d_1$, 其中 $0<\mu=O(1)$, $0<\epsilon\ll 1$, 则

$\begin{equation} \label{a12} \left\{\begin{aligned} 0&=\epsilon u_{\xi\xi}+cu_\xi+\omega(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v-1)}}u(1-u)(u-a)-u),\\ 0&=\mu \epsilon v_{\xi\xi}+cv_\xi+1-(1+u)^pv. \end{aligned}\right. \end{equation}$

将系统 (3.2) 写为一阶系统的形式

$\begin{equation} \label{a13} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\xi}&=u_2,\\ \epsilon\frac{\text{d}u_2}{\text{d}\xi}&=-cu_2-\omega(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)-u_1),\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}\xi}&=v_2,\\ \mu\epsilon\frac{\text{d}v_2}{\text{d}\xi}&=-cv_2-1+(1+u_1)^pv_1. \end{aligned}\right. \end{equation}$

我们称系统 (3.3) 为慢系统. 引入快变量 $\zeta=\xi/\epsilon$ 可得对应的快系统

$\begin{equation} \label{a14} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\zeta}&=\epsilon u_2,\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}\zeta}&=-cu_2-\omega(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)-u_1),\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}\zeta}&=\epsilon v_2,\\ \mu\frac{\text{d}v_2}{\text{d}\zeta}&=-cv_2-1+(1+u_1)^pv_1. \end{aligned}\right. \end{equation}$

在快系统 (3.4) 令 $\epsilon=0$, 可得层系统

$\begin{equation} \label{a17} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\zeta}&=0,\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}\zeta}&=-cu_2-\omega(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)-u_1),\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}\zeta}&=0,\\ \mu\frac{\text{d}v_2}{\text{d}\zeta}&=-cv_2-1+(1+u_1)^pv_1, \end{aligned}\right. \end{equation}$

其平衡点集合为

$\begin{equation}\label{a15} M_0=\{(u_1,u_2,v_1,v_2)|u_2=-\frac{\omega}{c}(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)-u_1),v_2=\frac{1}{c}(-1+(1+u_1)^pv_1)\}, \end{equation}$

它是四维空间中的二维临界流形.

系统 (3.5) 在 $M_0$ 的每一点线性化系统有两个 $0$ 特征值以及两个 $-c$ 特征值, 由此可知 $M_0$ 是法向双曲且吸引的.

在临界流形 $M_0$ 上, 慢-极限动力学由如下平面系统控制

$\begin{equation} \label{a16} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\xi}&=-\frac{\omega}{c}(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)-u_1),\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}\xi}&=\frac{1}{c}(-1+(1+u_1)^pv_1). \end{aligned}\right. \end{equation}$

根据 Fenichel's 不变流形定理[3,4], 存在 $M_0$ 的个 $\epsilon-$ 阶扰动 $M_\epsilon$, $M_\epsilon$

上的慢流是 $M_0$ 上极限慢流的 $\epsilon$-阶扰动.

根据引理 2.2, 我们只考虑 $u_{1}^*\geq\frac{a+1}{2}$ 的情况. 为降维的需要, 我们分别讨论 $\omega\ll 1$ 和 $\omega\gg1$ 两种情形.

情形 1 $\omega\ll 1$.

对系统 (3.7), 令 $\eta=\omega\xi$, 则有

$\begin{equation} \label{a28} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\eta}&=-\frac{1}{c}(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)-u_1),\\ \omega\frac{\text{d}v_1}{\text{d}\eta}&=\frac{1}{c}(-1+(1+u_1)^pv_1), \end{aligned}\right. \end{equation}$

这里 $v_1$ 和 $u_1$ 分别为快、慢变量. 在系统 (3.7) 和 (3.8) 中分别令 $\omega=0$, 可得

$\begin{equation} \label{a29} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\xi}&=0,\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}\xi}&=\frac{1}{c}(-1+(1+u_1)^pv_1) \end{aligned}\right. \end{equation}$

以及

$\begin{equation} \label{a30} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\eta}&=-\frac{1}{c}(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)-u_1),\\ 0&=\frac{1}{c}(-1+(1+u_1)^pv_1). \end{aligned}\right. \end{equation}$

因此, 系统 (3.7) 的临界集为

$\begin{equation}\label{a31} \{(u_1,v_1)|v_1=\frac{1}{(1+u_1)^p}\}, \end{equation}$

其上的极限慢流为

$\frac{\mathrm{d} u_{1}}{\mathrm{~d} \eta}=-\frac{1}{c} u_{1}\left(\frac{\gamma}{1+\mathrm{e}^{-\beta\left(\frac{1}{\left(1+u_{1}\right)^{p}}-1\right)}}\left(1-u_{1}\right)\left(u_{1}-a\right)-1\right),$

它有三个平衡点, 分别为 $\overline{A}=0$、$\overline{B}=\overline{u}_1$ 以及 $\overline{C}=u_{1}^*$.

系统 (3.12) 在点 $\overline{A}$ 的线性化方程有一个正的特征值 $\frac{\gamma a+2}{2c}$, 在点 $\overline{B}$ 有一个负的特征值, 在点 $\overline{C}$ 有一个正的特征值, 因此 $\overline{A}$ 和 $\overline{C}$ 为不稳定平衡点, $\overline{B}$ 为稳定平衡点. 因此, 一维的临界曲线 (3.12) 上存在从 $\overline{A}$ 到 $\overline{B}$ 的异宿连接以及从 $\overline{C}$ 到 $\overline{B}$ 的异宿连接.

对于系统 (3.9), 它关于 (3.11) 式任意一点 $(u_1,v_1)$ 的线性化矩阵有一个正的特征值 $\frac{1}{c}(1+u_1)^p$ 和一个 $0$ 特征值, 因此集合 (3.11) 是法向双曲且排斥的. 由于临界流形 (3.11) 是法向双曲的, 根据 Fenichel 不变流形理论[3,4], 当 $\omega$ 充分小时, 系统 (3.7) 中存在慢流形, 它也是法向排斥的, 并且是系统 (3.9) 临界流形的 $\omega-$ 阶扰动, 其表达式如下

$\begin{equation}\label{a33} \ v_{1}=\frac{1}{(1+u_1)^p}+O(\omega). \end{equation}$

其上的流由 (3.12) 式的 $\omega-$ 阶扰动给出, 即

$\frac{\mathrm{d} u_{1}}{\mathrm{~d} \eta}=-\frac{1}{c} u_{1}\left(\frac{\gamma}{1+\mathrm{e}^{-\beta\left(\frac{1}{\left(1+u_{1}\right)^{p}}-1\right)}}\left(1-u_{1}\right)\left(u_{1}-a\right)-1\right)+O(\omega).$

显然, 当 $\omega$ 充分小时, 不稳定平衡点 $\overline{A}, \overline{C}$ 和稳定平衡点 $\overline{B}$ 经扰动成为系统 (3.14) 的平衡点且它们之间的异宿连接保持, 该异宿连接具有横截性.

进一步地, 根据 Fenichel 不变流形理论[3,4],当 $\epsilon$ 充分小时, 四维相空间中存在连接平衡点 $(0,0,1,0)$ 和 $(\overline{u}_{1},0,\overline{v}_{1},0)$ 以及平衡点 $(u^*,0,v^*,0)$ 和 $(\overline{u}_{1},0,\overline{v}_{1},0)$ 异宿轨道.

定理 3.1 设 $\gamma, c, \beta, p, a>0$ 且 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$, 那么当 $0<\epsilon\ll\omega\ll1$ 时, 系统 (3.4) 存在连接 $(0,0,1,0)$ 和 $(\overline{u},0,\overline{v},0)$ 以及连接 $(u^{*},0,v^{*},0)$ 和 $(\overline{u},0,\overline{v},0)$ 的异宿轨道, 即系统 (1.2) 存在连接 $A(0,1)$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 以及 $C(u^{*},v^{*})$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 的波前解.

情形 2 $\omega \gg 1$.

令 $\delta=\frac{1}{\omega}$, 则 $0<\delta\ll1$, 从而系统 (3.7) 可以写为

$\begin{equation} \label{a35} \left\{\begin{aligned} \delta\frac{\text{d}u_1}{\text{d}\xi}&=-\frac{1}{c}(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)-u_1),\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}\xi}&=\frac{1}{c}(-1+(1+u_1)^pv_1), \end{aligned}\right. \end{equation}$

此时 $u_1$ 和 $v_1$ 分别为快、慢变量.

令 $z=\xi/\delta$, 则与系统 (3.15) 拓扑等价的快系统为

$\begin{equation} \label{a36} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}z}&=-\frac{1}{c}u_1(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}(1-u_1)(u_1-a)-1),\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}z}&=\frac{\delta}{c}(-1+(1+u_1)^pv_1). \end{aligned}\right. \end{equation}$

在系统 (3.16) 和 (3.15) 中分别令 $\delta=0$ 可得对应的层系统

$\begin{equation} \label{a37} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}z}&=-\frac{1}{c}u_1(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}(1-u_1)(u_1-a)-1),\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}z}&=0 \end{aligned}\right. \end{equation}$

和退化系统

$\begin{equation} \label{a150} \left\{\begin{aligned} &0=-\frac{1}{c}(\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)-u_1),\\ &\frac{\text{d}v_1}{\text{d}\xi}=\frac{1}{c}(-1+(1+u_1)^pv_1). \end{aligned}\right. \end{equation}$

此时的临界曲线由直线 $S^{1}_{0}=\{(u_1,v_1):u_1=0\}$ 以及曲线 $S^{2}_{0}=\{(u_1,v_1):\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_1-1)}}(1-u_1)(u_1-a)-1=0\}$ 组成.直接验证可知: $S^{1}_{0}$ 为法向排斥; $S^{2}_{0}$ 在 $u_{1}<\frac{a+1}{2}$ 法向吸引, 在 $u_{1}>\frac{a+1}{2}$ 法向排斥. $S^{1}_{0}$ 和 $S^{2}_{0}$ 上退化系统分别为

$\frac{\mathrm{d} v_{1}}{\mathrm{~d} z}=-\frac{\delta}{c}\left(1-v_{1}\right)$

和

$\frac{\mathrm{d} v_{1}}{\mathrm{~d} z}=\frac{\delta}{c}\left(-1+\left(1+u_{1}\left(v_{1}\right)\right)^{p} v_{1}\right).$

对于系统 (3.19), 其平衡点 $v_1=1$ 是排斥的. 因此, 当 $\delta$ 足够小时, $S^{1}_{0}$的不稳定流形扰动为 $(0,1)$ 的二维不稳定流形. 对于系统 (3.20), 其平衡点 $v_1=\overline{v_1}$ 和 $v_1=v^{*}_1$ 都是不稳定的. 因此, 对于足够小的 $\delta$, $u_{1}<\frac{a+1}{2}$ 的临界流形 $S^{2}_{0}$ 的不稳定流形扰动为 $(\overline{u_1},\overline{v_1})$ 的二维不稳定流形, $S^{2}_{0}$ 在 $u_{1}>\frac{a+1}{2}$ 的不稳定流形扰动为 $(u^{*}_1,v^{*}_1)$ 的二维不稳定流形. 因此, 对于足够小的 $\delta$, $(\overline{u_1},\overline{v_1})$ 的稳定流形和 $(0,1)$ 的不稳定流形相交, $(u^{*}_1,v^{*}_1)$ 的不稳定流形和 $(\overline{u_1},\overline{v_1})$ 的稳定流形相交, 形成系统 (3.16) 的异宿轨道. 从而, 根据 Fenichel 不变流形理论[3,4], 四维相空间中存在连接平衡点 $(0,0,1,0)$ 和 $(\overline{u}_{1},0,\overline{v}_{1},0)$ 以及平衡点 $(u^*,0,v^*,0)$ 和 $(\overline{u}_{1},0,\overline{v}_{1},0)$ 异宿轨道.

定理 3.2 设 $\gamma, c, \beta, p, a>0$ 且 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$, 那么当 $0<\epsilon\ll\frac{1}{\omega}\ll1$ 时, 系统 (3.4) 存在连接 $(0,0,1,0)$ 和$(\overline{u},0,\overline{v},0)$ 的异宿轨道以及连接 $(u^{*},0,v^{*},0)$ 和 $(\overline{u},0,\overline{v},0)$ 的异宿轨道, 即方程 (1.2) 存在连接 $A(0,1)$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 以及 $C(u^{*},v^{*})$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 的波前解.

总结起来, 当 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$ 时, 系统 (2.1) 存在三个稳态解. 利用几何奇异摄动理论的降维方法, 我们在 $0<\epsilon\ll\omega\ll1$ 和 $0<\epsilon\ll\frac{1}{\omega}\ll1$ 两种不同的极限状态下, 分别证明了连接 $A(0,1)$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 以及 $C(u^{*},v^{*})$ 和 $B(\overline{u},\overline{v})$ 的 (2.1) 式的波前解的 存在性. 值得指出的是: 上述两种不同的极限的波前解的连接机制有区别的.

4 当 $0<d_1=O(1)$,$0<d_2\ll1$ 时方程 (1.2) 波前解的存在性

因 $0<d_1=O(1)$, $0<d_2\ll1$, 故令 $d_1=1,d_2=\epsilon \ll 1$, 代入系统 (3.1) 得

$\begin{equation} \label{a41} \left\{\begin{aligned} 0&=u_{\xi\xi}+cu_{\xi}+\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v-1)}}u(1-u)(u-a)-u,\\ 0&=\epsilon v_{\xi\xi}+cv_{\xi}+\frac{1}{\omega}(1-(1+u)^{p}v). \end{aligned}\right. \end{equation}$

将系统 (4.1) 写为一阶系统的形式

$\begin{equation} \label{a42} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\xi}&=u_{2},\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}\xi}&=u_{1}-cu_{2}-\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a),\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}\xi}&=v_{2},\\ \epsilon \frac{\text{d}v_2}{\text{d}\xi}&=-cv_{2}+\frac{1}{\omega}((1+u_{1})^{p}v_{1}-1). \end{aligned}\right. \end{equation}$

称系统 (4.2) 为慢系统, 令 $\zeta=\xi/\epsilon$, 对应的快系统为

$\begin{equation} \label{a43} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\zeta}&=\epsilon u_{2},\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}\zeta}&=\epsilon (u_{1}-cu_{2}-\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)),\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}\zeta}&=\epsilon v_{2},\\ \frac{\text{d}v_2}{\text{d}\zeta}&=-cv_{2}+\frac{1}{\omega}((1+u_{1})^{p}v_{1}-1). \end{aligned}\right. \end{equation}$

不同于第三节, 本节的系统 (4.2) 和 (4.3) 的快慢变量的维数分别为 1 维和 3 维.

对于快慢系统 (4.2) 和 (4.3), 其三维的临界流形为

$\begin{equation}\label{a44} M_{\epsilon=0,\omega}=\{(u_1,u_2,v_1,v_2)| v_2=\frac{1}{\omega c}(-1+(1+u_1)^pv_1)\}, \end{equation}$

它为如下层系统的平衡点的集合

$\begin{equation} \label{a47} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\zeta}&=0,\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}\zeta}&=0,\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}\zeta}&=0,\\ \frac{\text{d}v_2}{\text{d}\zeta}&=-cv_2+\frac{1}{\omega}((1+u_1)^pv_1-1). \end{aligned}\right. \end{equation}$

系统 (4.5) 在 $M_{\epsilon=0,\omega}$ 上任一点的线性化系统有三个 $0$ 特征值以及一个 $-c$ 特征值, 由此可知 $M_{\epsilon=0,\omega}$ 是法向双曲且吸引的. 由 Fenichel 不变流形定理[3,4], 对于足够小的 $\epsilon>0$, 存在法向吸引的不变流形 $M_{\epsilon,\omega}$, 它是 $M_{\epsilon=0,\omega}$的$O(\epsilon)$-阶扰动

$M_{\epsilon, \omega}=\left\{\left(u_{1}, u_{2}, v_{1}, v_{2}\right) \left\lvert\, v_{2}=\frac{1}{\omega c}\left(-1+\left(1+u_{1}\right)^{p} v_{1}\right)+O(\epsilon)\right.\right\}$

在不变流形 $M_{\epsilon,\omega}$ 上, 系统 (4.3) 产生的慢流由如下方程控制

$\begin{equation} \label{a49} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\xi}&= u_{2}\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}\xi}&= u_{1}-cu_{2}-\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)\\ \omega\frac{\text{d}v_1}{\text{d}\xi}&=\frac{1}{c}((1+u_{1})^{p}v_{1}-1)+O(\epsilon). \end{aligned}\right. \end{equation}$

系统 (4.7) 的极限即为如下退化系统

$\begin{equation} \label{a45} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\xi}&= u_{2},\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}\xi}&= u_{1}-cu_{2}-\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a),\\ \omega\frac{\text{d}v_1}{\text{d}\xi}&=\frac{1}{c}((1+u_{1})^{p}v_{1}-1). \end{aligned}\right. \end{equation}$

显然, 若 $0<\omega\ll1$ ($\epsilon\ll\omega$), 那么 (4.8) 式亦为快慢系统. 这意味着 (4.3) 和 (4.2) 式为三尺度系统.

令 $z=\xi/\omega$, 则系统 (4.8) 的快形式为

$\begin{equation} \label{a46} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}z}&=\omega u_{2},\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}z}&=\omega(u_{1}-cu_{2}-\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)),\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}z}&=\frac{1}{c}((1+u_{1})^{p}v_{1}-1). \end{aligned}\right. \end{equation}$

对于系统 (4.9), 令 $\omega=0$ 可得如下对应的层系统

$\begin{equation} \label{a51} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}z}&=0,\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}z}&=0,\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}z}&=\frac{1}{c}((1+u_{1})^{p}v_{1}-1), \end{aligned}\right. \end{equation}$

其中, 临界流形

$\begin{equation}\label{a50} M_{\epsilon=0,\omega=0}=\{(u_1,u_2,v_1)| v_1=\frac{1}{(1+u_1)^p)}\} \end{equation}$

系统 (4.10) 在 $M_{\epsilon=0,\omega=0}$ 上的任意点 $(\widetilde{u_1},\widetilde{v_1})$ 线性化后系统有两个 $0$ 特征值和一个正特征值 $\frac{1}{c}(1+\widetilde{u_1})^p$, 因此 $M_{\epsilon=0,\omega=0}$ 是排斥的.

$M_{\epsilon=0,\omega=0}$ 上的慢极限动力学为

$\begin{equation} \label{a52} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\xi}&= u_{2},\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}\xi}&= u_{1}-cu_{2}-\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a), \end{aligned}\right. \end{equation}$

它等价于

$\begin{equation}\label{a53} 0=\frac{\text{d}^{2}u_1}{\text{d}\xi^{2}}+c\frac{\text{d}u_1}{\text{d}\xi}-u_{1}+\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(\frac{1}{(1+u_1)^{p}}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a). \end{equation}$

显然, 系统 (4.13) 为如下反应-扩散方程对应的行波方程

$\begin{equation}\label{a54} u_t=u_{xx}-u+\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(\frac{1}{(1+u)^{p}}-1)}}u(1-u)(u-a). \end{equation}$

引理 4.1[7] 考虑方程 $u_t=u_{xx}+f(u)$, 其中 $t, x\in R$ 分别为时空变量., 若 $f\in C^{1}[0,1],$$f(0)=f(1)=0,f'(0)<0,f'(1)<0$ 且 $f$ 在 $(0, 1)$ 只有一个零点, 则该方程存在唯一波前解 $u=q(x-ct)$ (即唯一的 $c$ 值) 满足

$\begin{equation} q(-\infty)=0,\,\, q(\infty)=1.\notag \end{equation}$

类似于引理 4.1 的证明, 可得下述推论.

推论 4.1 对于方程 $u_t=u_{xx}+f(u),x, u\in R$, 设 $f\in C^{1}[L], l\in R^{+},f(0)=f(L)=0,f'(0)<0, f'(L)<0$, $f$ 在 $(0, L)$ 只有一个零点. 则方程存在唯一一个波前解 $u=q(x-ct)$ (即唯一的 $c$ 值) 满足

$\begin{equation} q(-\infty)=0,\,\, q(\infty)=L.\notag \end{equation}$

对于方程 (4.14) 来说, 有

$\begin{equation} f(u)=-u(1-\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(\frac{1}{(1+u)^{p}}-1)}}(1-u)(u-a)).\notag \end{equation}$

显然, $f(0)=f(u^*)=0$. 同时, 经过计算可得

$\begin{equation} f'(0)=-(1-\frac{\gamma}{2}(-a))=-(1+\frac{\gamma a}{2})<0.\notag \end{equation}$

另由不等式 (2.12) 及 $u_1=u$ 计算可得

$\begin{align} f'(u^*)&=u^*(\frac{\gamma(-2u^*+a+1)}{1+{\rm e}^{-\beta(\frac{1}{(1+u^*)^{p}}-1)}}-(1-u^*)(u^*-a)\frac{\beta p\gamma {\rm e}^{-\beta(\frac{1}{(1+u^*)^{p}}-1)}}{(1+{\rm e}^{-\beta(\frac{1}{(1+u^*)^{p}}-1)})^{2}}\frac{1}{(1+u^*)^{p+1}}),\notag\\ &=u^*(\frac{\gamma(-2u^*+a+1)}{1+{\rm e}^{-\beta(\frac{1}{(1+u^*)^{p}}-1)}}-\frac{{\rm e}^{-\beta(\frac{1}{(1+u^*)^{p}}-1)}\beta p}{1+{\rm e}^{-\beta(\frac{1}{(1+u^*)^{p}}-1)}}\frac{1}{(1+u^*)^{p+1}})\notag\\ &<0.\notag \end{align}$

即可得 $f'(0)<0,f'(u^{*})<0$. 则由推论 4.1 可知方程 (4.14) 存在唯一一个波前解 $u=q(x-ct)$ (即唯一的 $c$ 值) 满足 $q(-\infty)=0, q(\infty)=u^{*}.$

另一方面, 当 $c=0$ 时, 层系统 (4.12) 退化为

$\begin{equation} \label{a55} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}\xi}&= u_{2},\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}\xi}&= u_{1}-\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a), \end{aligned}\right. \end{equation}$

它有三个平衡点, 其中 $(0, 0)$ 和 $(u_1^*, 0)$ 为鞍点, $(\bar{u}_1,0)$ 为中心. 显然, 系统 (4.15) 为哈密顿系统, 它的哈密顿函数为

$H(u_1, u_2)=\frac{u_2^2}{2}+G(u),$

其中 $G(u_1)$ 为 $g(u_1)=-u_{1}+\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)$ 的原函数. 根据 $G(0)$ 与 $G(u_1^*)$ 的大小关小 (即不同的 $a$ 值), 系统 (4.15) 全局相图如图2 所示, 这里我们总假定 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$.

图2

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图2   层系统 (55) 在不同的参数条件下的全局相图.


然而, 如果 $c$ 从 $c=0$ 开始增加, 此时层系统 (4.12) 加入了耗散项 $-cu_{2}$, 在耗散项作用下, 我们得到如下结论.

命题 4.1 层系统 (4.12) 对应的向量场关于 $c$ 形成广义旋转向量场, 其轨道随 $c$ 的增加顺时针旋转.

证 层系统 (4.12) 的轨道切线的斜率为

$\begin{align*} {\rm tan}(\theta(u_{1},u_{2},c))&=\frac{u_{1}-cu_{2}-\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)}{u_{2}},\\ &=-c+\frac{u_{1}-\frac{\gamma}{1+{\rm e}^{-\beta(v_{1}-1)}}u_1(1-u_1)(u_1-a)}{u_{2}}. \end{align*}$

此式对 $c$ 求导得到

$\begin{equation*} \sec^{2}\theta\frac{\partial\theta}{\partial c}(u_{1},u_{2},c)=-1<0, \end{equation*}$

即除了在有限个数的 $\theta$ 值外, 有

$\begin{equation*} \frac{\partial}{\partial c}(\theta(u_{1},u_{2},c))<0. \end{equation*}$

这说明系统 (4.15) 对应的向量场除了在有限条直线 (这些直线不是系统的轨道) 外, 向量场严格旋转. 因此, 对应的向量场形成一个广义旋转向量场. 系统 (4.15) 的任何轨道的切向量除了可能在有限个数的点外, 都随 $c$ 的增加而顺时针旋转.

针对图-2(b), 我们定义系统 (4.12) 平衡点 $(0,0)$ 的不稳定流形 $\Gamma_{0}^{u}$ (位于第一象限) 和平衡点 $(u^{*},0)$ 的稳定流形$\Gamma_{u^{*}}^{s}$ (位于第一象限) 之间的距离函数为

$\begin{equation}\label{a56} d(c,a)=h_{1}(c,a)-h_{2}(c,a), \end{equation}$

其中 $h_{i}(c,a), i=1,2$ 分别为 $\Gamma_{0}^{u}$ 和 $\Gamma_{u^{*}}^{s}$ 与截线的交点. 显然, 根据图-2(b) 知 $d(0,a)>0$. 又根据命题 1, 系统 (4.12) 对应的向量场 形成广义旋转向量场, 其轨道随 $c$ 的增加而顺时针旋转, 因此 $d(c,a)$ 随 $c$ 单调递减, 即

$\begin{equation}\label{a57} \frac{\partial d(c,a)}{\partial c}<0, (c>0). \end{equation}$

因此, 从几何上讲, $(0,0)$ 的不稳定流形 $\Gamma_{0}^{u}$ (位于第一象限) 和 $(u^{*},0)$ 的稳定流形 $\Gamma_{u^{*}}^{s}$ (位于第一象限) 越来越接近. 进一步地, 根据推论 1, 存在 $c=c^{*}(a)$, 使得 $\Gamma_{0}^{u}$ 和 $\Gamma_{u^{*}}^{s}$ 重合, 即存在连接平衡点 $(0,0)$ 和 $(u^{*},0)$ 的异宿轨道, 且根据 (4.17) 知该异宿轨道是横截连接的.

图3

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图3   平衡点 $(0,0)$ 的不稳定流形与平衡点 $(u^{*},0)$ 的稳定流形在 $u_1$-$u_2$ 平面第一象限的三种不同的相对位置.


将系统 (4.9) 在点 $(0,0,1)$ 线性化有

$\begin{equation} \label{a58} \left\{\begin{aligned} \frac{\text{d}u_1}{\text{d}z}&=\omega u_{2}\\ \frac{\text{d}u_2}{\text{d}z}&=\omega(1+\frac{a\gamma}{2})u_{1}-\omega cu_{2}\\ \frac{\text{d}v_1}{\text{d}z}&=\frac{p}{c}u_{1}+\frac{1}{c}v_{1}. \end{aligned}\right. \end{equation}$

直接计算可知: 系统 (4.9) 在点 $(0,0,1)$ 线性化后有两个正特征值分别为$\frac{1}{c}$ 和 {\scriptsize{$\frac{-\omega c+\sqrt{\omega^{2}c^{2}+\omega^{2}(4+2a\gamma)}}{2}$}} 以及一个负特征值 {\scriptsize{$\frac{-\omega c-\sqrt{\omega^{2}c^{2}+\omega^{2}(4+2a\gamma)}}{2}$}}; 而对于点 $(u^{*},0,v^{*})$ 来说, 可以通过快慢结构分析可得, 则系统 (4.9) 在点 $(u^{*},0,v^{*})$ 线性化后, 有两个负特征值以及一个正特征值. 因此通过维数计算可得, 点 $(0,0,1)$ 的二维不稳定流形与点 $(u^{*},0,v^{*})$ 的二维稳定流形在三维空间中横截相交, 即存在从点 $(0,0,1)$ 到点 $(u^{*},0,v^{*})$ 的异宿轨道, 且它们的相交是横截的, 从而此异宿轨道在足够小的扰动 $\epsilon$ 下也存在, 即

定理 4.1 设 $\gamma, c, \beta, p, a>0$ 且 $a>a^{*}(\beta,\gamma,p)$, 那么当 $0<\epsilon\ll\omega\ll1$ 时, 存在某个 $c^{*}(a)$ 使得系统 (1.2) 存在连接 $A(0,1)$ 和 $C(u^{*},v^{*})$ 的波前解.

值得指出的是: 定理 1-3 的波前解的连接机制均是不一样的.

参考文献

Berestycki H, Nadal J P, Rodíguez N.

A model of riots dynamics: shocks, diffusion and thresholds

Networks Heterogeneous Media, 2017, 10(3): 443-475

[本文引用: 1]

Bakhshi M, Ghazaryan A, Manukian V, Rodriguez N.

Traveling wave solutions in a model for social outbursts in a tension-inhibitive regime

Studies in Applied Mathematics, 2021, 147(2): 650-674

[本文引用: 3]

Fenichel N.

Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations

J Differential Equations, 1979, 31(1): 53-98

[本文引用: 5]

Jones C.

Geontetric singular perturbation theory//Dynamical systems (Montecatini Terme, 1994), volume 1609 of Lecture Notes in Math

Berlin: Springer, 1995: 44-118

[本文引用: 5]

Perko L M.

Rotated vector fields

J Differential Equations, 1993, 103(1): 127-145

Shen J H, Zhang X.

Traveling pulses in a coupled FitzHugh-Nagumo equation

Physica D: Nonlinear Phenomena, 2021, 418(1): 1-11

叶其孝, 李正元, 王明新, 吴雅萍. 反应扩散方程引论 (第二版). 北京: 科学出版社, 2011

[本文引用: 1]

Ye Q X, Li Z Y, Wang M X, Wu Y P. Introduction to Reaction Diffusion Equations (Second edition). Beijing: Science Press, 2011

[本文引用: 1]

Zhang X.

Homoclinic, heteroclinic and periodic orbits of singularly perturbed systems

Science China Mathematics, 2019, 62: 1687-1704

Berestycki H, Rossi L, Rodríguez N.

Periodic cycles of social outbursts of activity

J Differential Equations, 2018, 264: 163-196

Kuehn C. Multiple Time Scale Dynamics. Austria: Applied Mathematical Sciences, 2015

/

〈 〉

版权所有 © 《数学物理学报》杂志社
地址： 武汉市71010号信箱(430071)　电话: 027-87199206(中文版)　027-87199087(英文版)
E-mail: actams@apm.ac.cn
本系统由北京玛格泰克科技发展有限公司设计开发