本文主要研究如下一类具有瞬时和非瞬时脉冲的 $\psi$-Caputo 型分数阶微分方程

其中 $0<\alpha \le 1$, $\lambda>0$, $\mu\in \mathbb{R}$, $^{C}D_{0^{+}}^{\alpha,\psi}$ 和 $^{C}D_{T^{-}}^{\alpha,\psi}$ 分别表示 $\alpha$ 阶左侧和右侧 $\psi$-Caputo 型分数阶导数, $I_{0^{+}}^{1-\alpha,\psi}$ 表示 $1-\alpha$ 阶左侧 $\psi$-Riemann-Liouville 型分数阶积分, $\psi(t)\in C^{1}[T]$ 是一个递增函数, 且 $\psi'(t)\neq 0$, $t\in [T]$, $I_{i}\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $f_{i}\in C((s_{i},t_{i+1}]\times \mathbb{R},\mathbb{R})$, $0=s_{0}<t_{1}<s_{1}<\cdots<s_{n}<t_{n+1}=T$, 瞬时脉冲出现在点 $t_{i}$ 处, 非瞬时脉冲在区间 $(t_{i},s_{i}]$ 上产生,

$\Delta\left({ }^{C} D_{T^{-}}^{\alpha, \psi}\left(I_{0^{+}}^{1-\alpha, \psi} x\right)\right)\left(t_{i}\right)={ }^{C} D_{T^{-}}^{\alpha, \psi}\left(I_{0^{+}}^{1-\alpha, \psi} x\right)\left(t_{i}^{+}\right)-{ }^{C} D_{T^{-}}^{\alpha, \psi}\left(I_{0^{+}}^{1-\alpha, \psi} x\right)\left(t_{i}^{-}\right),$

脉冲现象在自然界和人类社会活动中广泛存在. 根据持续作用时间的不同, 脉冲可分为瞬时脉冲和非瞬时脉冲. 瞬时脉冲由于常被用来描述物理学, 医学和自动控制系统等领域中的瞬时突变现象而备受关注. 利用变分方法研究瞬时脉冲微分方程解的存在性和多重性的工作始于 Tian-Ge^[18] 和 Nieto-O'Regan^[14]. 在此之后, 越来越多的学者关注到这个领域, 并取得丰硕的研究成果, 具体可参见文献 [5,13,17,20,24,28,30]. 然而, 在现实生活中, 并不是所有的现象都能用瞬时脉冲来描述, 比如地震和海啸. 因此, Hernández-O'Regan^[6] 引入了非瞬时脉冲. 最早利用变分方法研究非瞬时脉冲微分方程的是 Bai-Nieto^[2]. 在此之后, 也有许多学者关注到这个领域, 并取得大量的研究成果, 具体可参见文献 [3,8,23,27]. 随着研究的更进一步发现, 在现实生活中, 有些现象是具有瞬时脉冲和非瞬时脉冲的混合过程, 比如静脉注射现象^[21,22], 即人体在注射药物后，血液中的药物浓度会立即增加 (这相当于发生了瞬时脉冲)，但随着药物在体内被不断吸收，血液中的浓度会逐渐降低，这是一个渐进而连续的过程 (这相当于发生了非瞬时脉冲). 因此, Tian-Zhang^[19] 在非瞬时脉冲微分方程的基础上, 引入瞬时脉冲, 从而研究一类同时具有瞬时和非瞬时脉冲的二阶微分方程, 并利用 Ekeland 的变分原理证明至少一个古典解的存在性. 在文献 [19] 的基础上, 近 5 年来, 大量的学者主要集中于利用变分方法研究具有瞬时和非瞬时脉冲的分数阶微分方程. 特别的, Zhang-Liu^[25] 考虑了如下一类具有瞬时和非瞬时脉冲的分数阶微分方程, 通过极小化方法获得至少一个古典解的存在性.

在文献 [25] 的基础上, Zhou-Deng-Wang^[29] 和 Li-Chen-Wu-An^[10] 都考虑了具有瞬时和非瞬时脉冲的 $p$-Laplacian 分数阶微分方程, 并分别通过极小化方法和三临界点定理证明至少一个古典解和至少三个古典解的存在性. 基于上面的研究, Zhang-Ni^[26] 研究了一类带有 Sturm-Liouville 边界条件, 且同时具有瞬时与非瞬时脉冲的 $p$-Laplacian 分数阶微分方程, 通过三临界点定理获得至少三个弱解的存在性.

另一方面, 为了克服大量分数阶微分和积分的定义所引起的不便. Osler^[15] 和 Kilbas-Srivastava-Trujillo^[9] 引入了 $\psi$-Caputo 分数阶微分算子, 之后, Almeida^[1] 丰富了该算子的基本性质, 为其进一步的研究打下基础. 最早利用变分方法结合临界点理论研究具有 $\psi$-Caputo 型分数阶微分方程的是 Khaliq-Mujeeb^[7], 他们研究了如下问题

其中, $^{C}D_{0^{+}}^{\alpha,\psi}$ 和 $^{C}D_{T^{-}}^{\alpha,\psi}$ 分别表示 $0<\alpha\le 1$ 阶左侧和右侧 $\psi$-Caputo 型分数阶导数, $\psi(t):[T]\to \mathbb{R}$ 是一个递增函数, 且 $\psi'(t)\neq 0$, $t\in [T]$, $\nabla G(t,x)$ 表示 $G:[T]\times \mathbb{R}^{N}\to \mathbb{R}$ 的梯度. 通过极小化方法, 他们获得至少一个弱解的存在性. 在文献 [7] 的基础上, Li-Li-Jiang-Feng^[12] 研究了一类含有广义 $p$-Laplacian 算子的 $\psi$-Caputo 型分数阶微分系统, 并通过变分方法获得至少三个弱解的存在性. 最近, Li-Li-Chen-Feng^[11] 研究如下一类具有瞬时和非瞬时脉冲的 $\psi$-Caputo 型分数阶微分方程, 并通过三临界点定理证明至少三个古典解的存在性

其中 $\lambda>0$, $0<\alpha\le 1$, $^{C}D_{0^{+}}^{\alpha,\psi}$ 和 $^{C}D_{T^{-}}^{\alpha,\psi}$ 分别表示左侧和右侧 $\psi$-Caputo 型分数阶导数, $I_{0^{+}}^{1-\alpha,\psi}$ 表示 $1-\alpha$ 阶左侧 $\psi$-Riemann-Liouville 型分数阶积分, $\psi(t)\in C^{1}[T]$ 是一个递增函数, 且 $\psi'(t)\neq 0$, $t\in [T]$, $I_{i}\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$, $f_{i}\in C((s_{i},t_{i+1}]\times \mathbb{R},\mathbb{R})$, $0=s_{0}<t_{1}<s_{1}<\cdots<s_{n}<t_{n+1}=T$, 瞬时脉冲出现在点 $t_{i}$ 处, 非瞬时脉冲在区间 $(t_{i},s_{i}]$ 上产生.

受到以上文献启发, 本文主要研究问题 (1.1), 利用变分方法和两类三临界点定理获得至少三个古典解的存在性. 当 $\mu=1$ 时, 问题 (1.1) 就退化成问题 (1.2). 因此, 本文研究的问题 (1.1) 是问题 (1.2) 的推广形式, 即我们考虑的问题 (1.1) 比 (1.2) 更一般. 问题 (1.2) 获得至少三个古典解的存在性只依赖于参数 $\lambda$，而本文获得至少三个古典解的存在性不仅依赖于参数 $\lambda$，而且也依赖于参数 $\mu$. 换言之, 问题 (1.2) 研究的是当 $\mu=1$ 时，可获得至少三个古典解的存在性，而本文研究的是当 $\mu$ 在一个非空区间上时，获得至少三个古典解的存在性. 实际上, 我们不但在 $\mu$ 位于非负区间上时, 得到至少三个古典解的存在性 (见定理 3.1, 定理 3.2 和定理 3.4，而且也在非正的区间上得到至少三个古典解的存在性 (见定理 3.3 和定理 3.5. 另一方面, 本文所考虑的条件跟问题 (1.2) 不同. 在研究问题 (1.1) 时, 如果继续使用问题 (1.2) 中给出的条件, 则无法应用 Bonanno-Marano^[4] 的三临界点定理 (即本文定理 2.2). 主要原因是无法确定参数 $\mu$ 位于哪个区间, 也就无法验证定理条件 (A1). 为此, 我们必须引入新的条件，否则得不到相对应的结果. 所以, 我们提出了不同的条件来研究问题 (1.1)，并得到了至少三个古典解的结果. 值得注意的是, 在运用定理 2.2 的证明过程中, 确定 $\mu$ 所在的区间是非常重要的一个问题. 另外, 我们不但使用了 Bonanno-Marano 的三临界点定理来研究问题 (1.1) 至少三个古典解的存在性，而且还使用了 Ricceri^[16] 的三临界点定理, 并得到不同的关于三个古典解的结果. 因此, 我们的结论推广了文献 [11] 中的结果. 简单图示如下

下文安排如下; 第 2 节主要给出一些预备知识作为后续定理证明的基础; 第 3 节给出主要定理的证明; 第 4 节给出一些例子来验证我们的主要结果.

本节先介绍分数阶微积分的一些定义以及下文需要用到的一些引理和定理.

定义 2.1^[1,9] 令 $-\infty<a<b<+\infty$, $t\in [a,b]$, $\alpha>0$, $u(t)$ 可积, $\psi(t)\in C^{1}[a,b]$ 递增, 且 $\psi'(t)\neq 0$. 函数 $u(t)$ 的左侧和右侧 $\psi$-Riemann-Liouville 分数阶积分分别定义如下

函数 $u(t)$ 的左侧和右侧 $\psi$-Riemann-Liouville 分数阶导数分别定义如下

其中, 当 $\alpha\notin \mathbb{N}$ 时, $n=[\alpha]+1$; 当 $\alpha\in \mathbb{N}$ 时, $n=\alpha$. 特别的, 当 $0<\alpha<1$ 时,

定义 2.2^[1,9] 令 $-\infty<a<b<+\infty$, $\alpha>0$, $u(t), \psi(t)\in C^{n}[a,b]$ 使得 $\psi$ 递增, 且 $\psi'(t)\neq 0$. 函数 $u(t)$ 的左侧和右侧 $\psi$-Caputo 分数阶导数分别定义如下

其中, 当 $\alpha\notin \mathbb{N}$ 时, $n=[\alpha]+1$; 当 $\alpha\in \mathbb{N}$ 时, $n=\alpha$. 特别的, 当 $0<\alpha<1$ 时,

值得注意的是, 当 $\psi(t)=t$ 时, 左侧和右侧的 $\psi$-Caputo 分数阶导数就退化为相对应的左侧和右侧的 Caputo 分数阶导数.

定义 2.3^[1] 如果 $u(t)\in C^{n}[a,b]$, $-\infty<a<b<+\infty$, $\alpha>0$, 那么

其中, 当 $\alpha\notin \mathbb{N}$ 时, $n=[\alpha]+1$; 当 $\alpha\in \mathbb{N}$ 时, $n=\alpha$.

注 2.1[引理3] 当 $0<\alpha<1$ 时, 由定义 2.3 和边界条件 $x(0)=x(T)=0$ 可知,

定义 $\psi$-Caputo 分数阶导数空间 $E_{0}^{\alpha,\psi}=\overline{C_{0}^{\infty}([T],\mathbb{R})}$ 的范数如下

显然, 空间 $E_{0}^{\alpha,\psi}$ 是一个自反可分的 Banach 空间 (见文献 [7]). 为了方便起见, 令 $X=E_{0}^{\alpha,\psi}$.

引理 2.1[引理2] 对任意的 $x\in X$, $\frac{1}{2}<\alpha\le1$, 我们有

其中 $M=\frac{(\psi(T)-\psi(0))^{\alpha-\frac{1}{2}}}{\Gamma(\alpha)(2(\alpha-1)+1)^{\frac{1}{2}}}$.

引理 2.2 若 $x\in X$ 是问题 (1.1) 的弱解，则对任意的 $y\in X$, 下式成立

证 类似文献 [引理 5] 的做法，可证该引理成立, 证明过程这里省略.

定义泛函 $J:X \to \mathbb{R}$ 如下

其中 $F_{i}(t,x)=\int_{0}^{x}f_{i}(t,s){\rm d}s$. 由 $f_{i}$ 和 $I_{i}$ 的连续性可知, $J\in C^{1}(X,\mathbb{R})$ 且

显然, $J$ 的临界点就是问题 (1.1) 的弱解.

引理 2.3 若 $x\in X$ 是问题 (1.1) 的弱解, 则 $x$ 是问题 (1.1) 的古典解.

证 与文献 [定理 2] 的证明类似, 我们可得引理 2.3 成立, 证明过程这里省略.

引理 2.4^[7] 令 $\frac{1}{2}<\alpha\le 1$, 假定在空间 $X$ 中的任意序列 $\{x_{k}\}$ 弱收敛到 $x$, 则在空间 $C[T]$ 中, 当 $k\to \infty$ 时, $x_{k}\to x$, i.e. $\|x_{k}-x\|_{\infty}\to 0$.

定理 2.1^[16] 设 $X$ 是一个可分自反的 Banach 空间，$\Gamma_{X}$ 是由 $X$ 上泛函构成的集合且满足如下性质：若序列 $\{x_{k}\}$ 在 $X$ 中弱收敛到 $x$，且 $\liminf\limits_{k\to\infty}J_{1}(x_{k})\le J_{1}(x)$，则序列 $\{x_{k}\}$ 存在强收敛到 $x$ 的子列. 设 $J_{1}: X\to \mathbb{R}$ 是一个强制的、弱下半连续的 $C^{1}$ 泛函, 在 $X$ 的有界子集上都是有界的, 属于 $\Gamma_{X}$, 并且在 $X$ 的对偶空间 $X^{*}$ 上存在连续的逆 $(J_{1}')^{-1}$；$J_{3}: X\to \mathbb{R}$ 是一个 $C^{1}$ 泛函, 并且它的导数是紧的. 假设存在 $J_{1}$ 的一个严格局部最小值 $x_{0}$ 使得 $J_{1}(x_{0})=J_{3}(x_{0})=0$.令

且 $\rho_{1}<\rho_{2}$. 那么对每个区间 $[\theta_{1},\theta_{2}]\subset (\frac{1}{\rho_{2}},\frac{1}{\rho_{1}})$ (规定 $\frac{1}{0}=+\infty$, $\frac{1}{+\infty}=0$), 都存在一个 $R>0$ 满足：对每个 $\lambda\in [\theta_{1},\theta_{2}]$ 和任意一个导数为紧算子的 $C^{1}$ 泛函 $J_{2}:X\to\mathbb{R}$, 存在 $\xi>0$ 使得, 对任意的 $\mu\in [\xi]$, 方程 $J'_{1}(x)-\mu J'_{2}(x)-\lambda J'_{3}(x)=0$ 在 $X$ 中至少存在三个解且每个解的范数都小于 $R$.

定理 2.2^[4] 假设 $X$ 是可分自反的实 Banach 空间; 设 $J_{1}:X\to \mathbb{R}$ 是强制的, 弱下半连续的且连续 G$\hat{\text{a}}$teaux 可微的泛函, 它的导数存在一个连续的逆; 设 $J_{4}:X\to \mathbb{R}$ 是弱上半连续的且连续 G$\hat{\text{a}}$teaux 可微的泛函, 它的 G$\hat{\text{a}}$teaux 导数是紧的. 假设存在 $r\in \mathbb{R}$ 以及 $x_{0}, x_{1}\in X$ 满足 $J_{1}(x_{0})<r<J_{1}(x_{1})$ 和 $J_{4}(x_{0})=0$ 使得

(A1) $\sup\limits_{J_{1}(x)\le r}J_{4}(x)<(r-J_{1}(x_{0}))\frac{J_{4}(x_{1})}{J_{1}(x_{1})-J_{1}(x_{0})}$.

(A2) 对于任意的 $\lambda\in \Lambda_{r}:=\left[\frac{J_{1}(x_{1})-J_{1}(x_{0})}{J_{4}(x_{1})},\frac{r-J_{1}(x_{0})}{\sup\limits_{J_{1}(x)\le r}J_{4}(x)}\right]$, 泛函 $J_{1}-\lambda J_{4}$ 是强制的.

那么, 对于任意的 $\lambda \in \Lambda_{r}$, 泛函 $J_{1}-\lambda J_{4}$ 在 $X$ 中至少存在三个不同的临界点.

在本节, 我们主要利用变分方法和两类三临界点定理证明问题 (1.1) 解的多重性.

定理 3.1 假设存在非负常数 $k_{i}$, $i=0, 1,\cdots,n$ 和一个函数 $w(t)\in X \backslash\{0\}$, 使得

(H1) $\max\left\{\limsup\limits_{|x|\to 0}\frac{F_{i}(t,x)}{|x|^{2}},\limsup\limits_{|x|\to \infty}\frac{F_{i}(t,x)}{|x|^{2}}\right\}\le k_{i}, \quad i=0,1,\cdots,n.$

(H2) $(\psi(T)-\psi(0))\max\limits_{0\le i\le n}\{k_{i}\}M^{2} <\frac{\sum_{i=0}^{n}\int_{s_{i}}^{t_{i+1}}F_{i}(t,w(t))\psi'(t){\rm d}t}{\|w\|^{2}}.$

那么, 对每个区间 $[\theta_{1},\theta_{2}]\subset \left(\frac{1}{\rho_{2}},\frac{1}{\rho_{1}}\right)$ ($\rho_{1}$ 和 $\rho_{2}$ 的定义见定理 2.1), 存在 $R>0$ 满足: 对任意的 $\lambda\in [\theta_{1},\theta_{2}]$, 存在一个 $\xi>0$ 使得对每个 $\mu\in [\xi]$, 问题 (1.1) 在空间 $X$ 中至少存在三个古典解 $x_{i}$, 且 $\|x_{i}\|<R$, $i=1, 2, 3.$

证 定义泛函 $J_{1}, J_{2}, J_{3}:X\to \mathbb{R}$ 如下

其中 $F_{i}(t,x)=\int_{0}^{x}f_{i}(t,s){\rm d}s$. 显然 $J=J_{1}-\mu J_{2}-\lambda J_{3}$.

由文献 [11] 可知, $J_{1}$ 是一个强制的, 序列弱下半连续的 $C^{1}$ 泛函, 并且在 $X^{*}$ 中存在一个连续逆, 同时, $J_{2}$, $J_{3}$ 的导数是紧算子. 显然, $J_{1}$ 属于 $\Gamma_{X}$. 假设 $\kappa$ 是 $X$ 中有界子集的界, 即 $\|x\|\le \kappa$, 则由 (3.1) 式可知, $J_{1}(x)=\frac{1}{2}\|x\|^{2}\le \frac{1}{2}\kappa^{2}.$

因此, $J_{1}$ 在 $X$ 的每个有界子集上都是有界泛函. 另外, $J_{1}$ 存在一个严格的局部最小值 $0$, 使得 $J_{1}(0)=J_{3}(0)=0$.

另一方面, 根据 (H1) 可知, 存在 $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}>0$, 使得

由 $F_{i}, i=0,1,\cdots,n$ 的连续性可知, $F_{i}(t,x(t))$ 在 $[\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}]$ 上有界. 因此, 我们可以选择 $r>0$ 和 $\sigma>2$, 使得

令 $k^{*}= \max\limits_{0\le i\le n}\{k_{i}\}$, 由 (3.3) 式和引理 2.1 可知,

因此,

另外, 如果 $|x|\le\varepsilon_{2}$, 那么 $\int_{s_{i}}^{t_{i+1}}F_{i}(t,x(t))\psi'(t){\rm d}t\le h_{i}$, 其中 $h_{i}>0$, $i=0,1,\cdots,n$. 由 (3.2) 式可知

结合 (3.4) 和 (3.5) 式, 有

更进一步, 由 (H2) 可知,

因此, 由定理 2.1 和引理 2.3 可知, 对每个区间 $[\theta_{1},\theta_{2}]\subset (\frac{1}{\rho_{2}},\frac{1}{\rho_{1}})$, 存在 $R>0$ 满足: 对任意的 $\lambda\in [\theta_{1},\theta_{2}]$, 存在 $\xi>0$ 使得, 对每个 $\mu\in [\xi]$, 问题 (1.1) 在 $X$ 中至少存在三个古典解 $x_{i}$ 且 $\|x_{i}\|<R$, $i=1, 2, 3.$

定理 3.2 假设如下条件成立

(H3) 存在正常数 $K_{0}, K_{1},\cdots, K_{n}$, $L_{1}, L_{2},\cdots, L_{n}$, $\beta, l_{1}, l_{2},\cdots, l_{n}$ 且 $\beta, l_{i}<2$, $i=1,2,\cdots,n$, 使得对所有的 $t\in [T]$, $x \in \mathbb{R}$,

其中, $Z_{i}(x)$ 定义在 (3.7) 式中.

(H4) 存在 $r>0$ 和 $\tilde{x}\in X$ 使得

并且下面的不等式成立

那么, 对任意的 $\lambda\in \Lambda_{r}=(A_{l},A_{r})$, 存在

使得, 对每一个 $\mu\in [0,\gamma)$, 问题 (1.1) 至少存在三个古典解.

证 定义泛函 $J_{4}:X\to \mathbb{R}$ 如下

其中 $Z_{i}(x)=\int_{0}^{x}I_{i}(s){\rm d}s$. 显然, $J=J_{1}-\lambda J_{4}$. 由定理 3.1 的证明可知, $J_{1}$ 是一个序列弱下半连续，强制的, 连续 G$\hat{\text{a}}$teaux 可微的泛函, 且它的导数在 $X^{*}$ 中存在一个连续逆. 易证 $J_{4}$ 是一个序列弱上半连续, 连续 G$\hat{\text{a}}$teaux 可微的泛函, 且它的导数是紧的. 接下来，我们主要验证定理 2.2 的两个条件成立.

令 $x\in X$ 且 $J_{1}(x)\le r$, 则由 (3.1) 式和引理 2.1 可知, $J_{1}(x)=\frac{1}{2}\|x\|^{2}\ge\frac{1}{2M^{2}}\|x\|_{\infty}^{2}$. 因此

鉴于 $\lambda>0$, $\mu \ge0$, 有

如果 $\max\limits_{|x|\le \sqrt{2M^{2}r} }\sum_{i=1}^{n}Z_{i}(x)=0$, 那么由 $\lambda <A_{r}$ 可知

如果 $\max\limits_{|x|\le \sqrt{2M^{2}r}}\sum_{i=1}^{n}Z_{i}(x)>0$, 根据 $\mu \in [0,\gamma)$, 可得不等式 (3.8) 成立.

另一方面, 再根据 $\mu<\gamma$, 可知

结合 (3.8) 和 (3.9) 式可得

因此, 定理 2.2 的条件 (A1) 成立. 最后, 我们验证条件 (A2) 也成立. 对任意的 $x\in X$, 由条件 (H3) 和 (2.1) 式可知

因为 $\beta<2$ 和 $l_{i}<2$, $i=1,2,\cdots,n,$ 所以 $\lim\limits_{\|x\|\to +\infty} J_{1}(x)-\lambda J_{4}(x)=+\infty$, i.e., 泛函 $J_{1}-\lambda J_{4}$ 是强制的. 因此, 由定理 2.2 可知, 泛函 $J_{1}-\lambda J_{4}$ 在 $X$ 中至少存在三个不同的临界点, 即问题 (1.1) 至少存在三个不同的古典解.

我们注意到参数 $\mu$ 在定理 3.2 中是正的. 实际上, 如果我们考虑 $\mu$ 是负的情况，那么可以得到如下结果.

定理 3.3 假设如下条件成立

(H3)' 存在正常数 $K_{0}, K_{1},\cdots, K_{n}$, $L_{1}, L_{2},\cdots, L_{n}$, $\beta, l_{1}, l_{2},\cdots, l_{n}$ 且 $\beta, l_{i}<2$, $i=1,2,\cdots,n$, 使得对所有的 $t\in [T]$, $x\in \mathbb{R}$,

(H4)' 存在 $r>0$ 和 $\tilde{x}\in X$ 使得

并且 (3.6) 式成立.

那么, 对每一个 $\lambda\in \Lambda_{r}=(A_{l},A_{r})$, 存在

使得, 对任意的 $\mu\in (\gamma^{*},0]$, 问题 (1.1) 至少存在三个古典解.

证 与定理 3.2 的证明类似, 因为 $\lambda>0$, $\mu\in (\gamma^{*},0]$, 有

如果 $\max\limits_{|x|\le \sqrt{2M^{2}r} }\sum_{i=1}^{n}\left(-Z_{i}(x)\right)=0$, 那么由 $\lambda <A_{r}$ 可知, 上式成立. 如果 $\max\limits_{|x|\le \sqrt{2M^{2}r}}$$\sum_{i=1}^{n}\left(-Z_{i}(x)\right)>0$, 根据 $\mu\in (\gamma^{*},0]$, 可知上式亦成立.

另一方面, 由 $\mu\in (\gamma^{*},0]$ 可得

经过简单计算可知

现在, 我们证明 $J_{1}-\lambda J_{4}$ 对每个 $\lambda\in \Lambda_{r}=(A_{l},A_{r})$ 是强制的. 由条件 (H3)' 可知,

由于 $\beta<2$ 和 $l_{i}<2$, $i=1,2,\cdots,n,$ 泛函 $J_{1}-\lambda J_{4}$ 是强制的. 因此, 问题 (1.1) 至少存在三个古典解.

定理 3.4 假设条件 (H3) 成立, 并且存在常数 $r>0$ 和 $s_{n}=\psi^{-1}(\psi(0)+\psi(T)-\psi(t_{1}))$, 使得

和

以及下面的不等式成立

那么, 对每个 $\lambda\in \widetilde{\Lambda_{r}}=(\widetilde{A_{l}},\widetilde{A_{r}})$, 存在

使得, 对任意的 $\mu\in [0,\widetilde{\gamma})$, 问题 (1.1) 至少存在三个古典解.

证 我们主要还是利用定理 2.2 来证明该定理成立. 定义函数 $\vartheta:[T]\to \mathbb{R}$ 如下

可得

和

因此,

由 (3.10) 式可知, $J_{1}(\vartheta)>r$. 另外, 由于 $\lambda>0$ 和 $\mu\ge 0$, 有

若$\max\limits_{|x|\le \sqrt{2M^{2}r}} \sum_{i=1}^{n}Z_{i}(x)=0$, 则由 $\lambda<\widetilde{A_{r}}$ 可知

若$\max\limits_{|x|\le \sqrt{2M^{2}r}} \sum_{i=1}^{n}Z_{i}(x)>0$, 考虑到 $\mu \in [0,\widetilde{\gamma})$, 上式亦成立.

另一方面, 根据 (3.11) 式, 可得

所以,

若 $\max\limits_{x\in [\psi(t_{1})-\psi(0)]}\sum_{i=1}^{n}(-Z_{i}(x))=0$, 则由 $\lambda>\widetilde{A_{l}}$ 可知, 上式成立. 若 $\max\limits_{x\in [\psi(t_{1})-\psi(0)]}$$ \sum_{i=1}^{n}(-Z_{i}(x))>0$, 则由 $\mu<\widetilde{\gamma}$ 可知, 上式也成立. 因此

鉴于 (3.13) 和 (3.14) 式, 有

这意味着条件 (A1) 成立. 条件 (A2) 的证明与定理 3.2 类似, 这里省略. 因此, 由定理 2.2 可得, 问题 (1.1) 至少存在三个古典解.

类似的, 当 $\mu$ 是负的情况下，我们可得如下结果.

定理 3.5 假设条件 (H3)$'$ 成立, 并且存在常数 $r>0$ 和 $s_{n}=\psi^{-1}(\psi(0)+\psi(T)-\psi(t_{1}))$, 使得 (3.10), (3.11) 和 (3.12) 成立. 那么, 对每个 $\lambda\in \widetilde{\Lambda_{r}}$, 存在

使得, 对任意的 $\mu\in (\widetilde{\gamma}^{*},0]$, 问题 (1.1) 至少存在三个古典解.

证 由于 $\lambda>0$ 和 $\mu\le 0$, 我们有

假设 $\max\limits_{|x|\le \sqrt{2M^{2}r}}\sum_{i=1}^{n}(-Z_{i}(x))=0$, 则由 $\lambda<\widetilde{A_{r}}$ 可知, 上式成立. 假设 $\max\limits_{|x|\le \sqrt{2M^{2}r}}$$\sum_{i=1}^{n}(-Z_{i}(x))>0$, 则由 $\mu \in (\widetilde{\gamma}^{*},0]$ 可知, 上式同样成立.

另一方面,

假设 $\min\limits_{x\in [\psi(t_{1})-\psi(0)]}\sum_{i=1}^{n}(-Z_{i}(x))=0$, 则由 $\lambda>\widetilde{A_{l}}$ 可知, 上式成立. 假设 $\min\limits_{x\in [\psi(t_{1})-\psi(0)]}$$\sum_{i=1}^{n}(-Z_{i}(x))<0$, 则由 $\mu>\widetilde{\gamma}^{*}$ 可知, 上式同样成立. 所以,

剩余的证明与定理 3.3 类似, 这里我们省略. 因此, 问题 (1.1) 至少存在三个古典解.

例 4.1 取 $\alpha=0.75$, $\psi(t)={\rm e}^{t}$, 考虑如下问题

其中 $0=s_{0}<t_{1}=\frac{1}{3}<s_{1}=\ln(e+1-{\rm e}^{\frac{1}{3}})<t_{2}=1$. 选取函数 $F_{i}(t,x)={\rm e}^{-|x|}x^{3}$ 和

显然, $F_{i}(t,0)=0$ 且 $F_{i}(t,x)$ 关于 $x$ 是 $C^{1}$ 泛函. 由计算可知, $\limsup\limits_{|x|\to \infty}\frac{F_{i}(t,x)}{|x|^{2}}=\limsup\limits_{|x|\to 0}\frac{F_{i}(t,x)}{|x|^{2}}$$=0$ 并且 $\frac{1}{2}\|w\|^{2}\thickapprox0.4659$. 令 $k^{*}=0.0045$, 我们可以验证 $\frac{\int_{0}^{\frac{1}{3}}F_{i}(t,w(t))\psi'(t){\rm d}t+\int_{\ln({\rm e}+1-{\rm e}^{\frac{1}{3}})}^{1}F_{i}(t,w(t))\psi'(t){\rm d}t}{\frac{1}{2}\|w\|^{2}}\thickapprox0.0192>(\psi(T)-\psi(0))k^{*}M^{2}= 0.0135.$因此, 定理 3.1 的所有条件都满足. 根据定理 3.1, 对每个区间 $[\theta_{1}, \theta_{2}]\subset(52.0833,74.0741)$, 存在 $R>0$ 满足: 对每个 $\lambda\in [\theta_{1}, \theta_{2}]$, 存在 $\xi>0$ 使得, 对任意的 $\mu\in[\xi]$, 问题 (4.1) 至少存在三个古典解，且其范数小于 $R$.

例 4.2 令 $\alpha=0.6$, $\psi(t)=27t^{3}$, $0=s_{0}<t_{1}=\frac{1}{5}<s_{1}=\frac{1}{3}<t_{2}=\frac{\sqrt[3]{26}}{3}<s_{2}=\frac{80}{81}<t_{3}=1.$ 所以,

选取

其中 $\tau(x)$ 在 $[\ell]$ 是一个递增且可微的函数, 满足

$\tau(0)=0,\tau'(0)=0,\tau(1)=1,\tau(\ell)=18(1+\ell^{\frac{4}{3}})$, $\tau'(\ell)=24\sqrt[3]{\ell}$ 和 $\ell=\left(\frac{32}{2M^{2}\varrho(\alpha)}\right)^{\frac{1}{3-2\alpha}}\approx1.0478$.

选取另一个函数

$\tilde{x}(t)=\ell\left\{\begin{array}{ll}27 t^{3}, &t \in\left[0, \frac{1}{3}\right), \\1, &t \in\left[\frac{1}{3}, \frac{\sqrt[3]{26}}{3}\right], \\27-27 t^{3}, &t \in\left(\frac{\sqrt[3]{26}}{3}, 1\right].\end{array}\right.$

显然, $\tilde{x}\in X$. 通过计算可知, $J_{1}(\tilde{x})=\varrho(\alpha)\ell^{3-2\alpha}$. 此外, 条件 (H4) 中的 (3.6) 式可采取如下形式

显然,

这意味着 (3.6) 式成立. 令 $r=\frac{\varrho(\alpha)\ell^{3-2\alpha}}{32}$ 和 $I_{i}(x)=-x^{\frac{1}{2}}$, 那么 $Z_{i}(x)= -\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}.$ 因此, 条件 (H3) 和 (H4) 成立. 根据定理 3.2, 对任意的

存在

使得, 对每个 $\mu\in [0,\gamma)$, 问题 (1.1) 至少存在三个古典解.

本文主要通过 Bonanno-Marano 和 Ricceri 的三临界点定理证明一类具有瞬时和非瞬时脉冲的 $\psi$-Caputo 型分数阶微分方程至少三个古典解的存在性. 我们考虑的问题 (1.1) 是文献 [11] 所研究问题 (1.2) 的推广形式. 相对于问题 (1.2), 我们提出不同的条件来研究问题 (1.1), 并且还使用不同于文献 [11] 的临界点定理 (即 Ricceri 的三临界点定理) 来证明问题 (1.1) 至少具有三个古典解. 我们改进和扩展了文献 [11] 的结果. 值得注意的是，通过选取不同的函数 $\psi(t)$, $\psi$-Caputo 分数阶积分和导数可以退化为一些我们所熟知的分数阶算子定义，如 Riemann-Liouville, Caputo 和 Hadamard 等，这意味着相关经典分数阶算子的存在性结果也被推广.