本文主要应用Abelian 积分的相关理论来研究一类单摆方程的Poincaré 分支. 考虑如下类单摆方程的扰动方程

其中$\epsilon$ 是一个小参数, $Q_{n,m}(x)$ 具有如下形式

即$Q_{n,m}(x)$ 是$n$ 次三角多项式.

系统(1.1)可以看作如下平面哈密顿系统的扰动系统

其首次积分为

系统(1.1)的Poincaré 分支问题可以看作弱化 Hilbert $16$ 问题在三角函数情形下的拓展.

由于$\sin(ix),\cos(ix)$ 是周期为$2\pi$ 的函数, 为此系统 (1.1)可以看成是柱面$[-\pi,\pi]\times\mathbb{R}$ 上的微分系统.

注意到, 当 $h\in(0,2)$, 水平线集 $\{\gamma_h\}=\{(x,y):H(x,y)=h\}$ 是围绕原点的闭轨线族. 当 $h\in(2,+\infty)$ 时, 其相应的水平线集具有两个连通分支.我们把落在区域 $y>0$ 的水平线记为 $\gamma^+_h$, 落在区域 $y<0$ 的水平线记为 $\gamma^-_h$. 对于 $h\in(0,2)$ 的区域,

通常称为振荡区域, 我们将用 $R^0$ 来表示. 对于 $h\in(2,+\infty)$ 和 $\pm y>0$ 的区域 $\mathrm{R}^{\pm}$, 两者共同构成所谓的旋转区域.

2016 年 Gasull 等人在文献 [3] 中的考虑了如下类单摆方程

其中$Q_{n,m}(x)$ 是 $n(n\geq 1)$ 次三角多项式. 根据Poincaré-Pontryagin 定理可知其震荡区域分支出的极限环个数等于如下

Abelian 积分

在$(0,2)$ 上的零点个数. Gasull 等人在其主要定理$\mathbf{B}(b)$ 中宣称有如下结论

定理 1.1 当$m_1=m_2$ 为奇数时,$M^0(h)$ 至多可产生$n$ 个零点 (计重数), 并且这个界是可达的.

注 1.1 注意到, 当$m_1=m_2=2k$ 时, 我们有$y^{2k}=(h-1+\cos(x))^k$. 容易验证

也就是说我们只要考虑奇数的情形即可.

Gasull 等人在其文章第三部分的引理3.6 中应用到了如下积分

其中$P$ 是$d$ 次多项式, $p,v\in \mathbb{N}_+$, $\gamma_h\subseteq \{y^2/2+1-\cos(x)=h,h\in (0,2)\}$.容易验证该积分发散, 因而引理 3.6 后续部分的证明是无效的.事实上

其中$\mu(h)$ 满足 $1-\cos(\mu(h))=h$. 而当 $x\rightarrow 0$ 时, 有

根据柯西判别法可知$I(h)$ 发散.

根据以上讨论, 我们期望能给定理1.1 一个正确的证明. 因为, 对一般情形的处理尚没有有效的处理方法, 对此我们将问题锁定在一些特殊的情形, 如

$n=2,m=2s+1$ 的情形. 此时系统(1.1)具有如下形式

$M^0(h)$ 所对应的 Abelian 积分具有形式

其中$h\in (0,2)$. 易知

由$y=\sqrt{h-1+\cos(x)}=\sqrt{h-1+\cos(-x)}$, 可得

从而

下面定理是本文的主要定理.

定理 1.2$M^0(h)$ 在$(0,2)$ 上至多可产生 $2$ 个零点 (计重数).

注 1.2 根据定理 [4,定理 2.2 或定理 2.3]知, 定理1.2 意味着系统 (1.5) 至多可从振荡区域 $R^0$ 的紧致子区域中分支出 2 个极限环 (计重数).

文中主要结构安排如下: 第一章我们主要介绍问题的研究背景以及主要定理; 第二章介绍了相关的概念以及基本引理;

第三部分是利用第二部分的基本引理来证明我们的主要定理.

本章主要介绍一些基本概念及定理.

考虑如下位势系统

其相应的首次积分为$H(x,y)=y^2+\Psi(x)$, 其中$\Psi(x)$ 是开区间$(\mu,\nu)$ 上的解析函数.假设存在$a\in (\mu,\nu)$ 使得如下条件成立

在条件$({\rm H}_1)$ 下, 容易验证$(a,0)$ 是系统(2.1) 的中心. 记$h_{a}=H(a,0)$, 不失一般性可设 $\Psi(\mu)=\Psi(\nu)=h_{s}$.由$({\rm H}_1)$ 可知$h_{s}>h_{a}$. 记$\{\gamma_h\}$ 是水平集曲线族$\{(x,y)| H(x,y)=h,h_{a}<h<h_{s}\}$.

对任意的 $h\in(h_{a},h_{s})$, 用$\mu(h),\nu(h)$ 分别表示$\gamma_{h}$ 和$x$ 轴的左右两个交点的横坐标,则有 $\mu<\mu(h)<a<\nu(h)<\nu$ (见图 1).此外, 根据条件$({\rm H}_1)$ 可知, 对任意的 $x\in (a,\nu(h))$,都存在一个一一映射$x\mapsto \sigma(x)\in (\mu(h),a)$ 使得 $\Psi(x)=\Psi(\sigma(x))$.

考虑具有两个生成元的Abelian 积分

其中 $ \gamma_h(h_a<h<h_s)$ 是围绕着中心 $(a,0)$ 的闭曲线族,$ f_1(x)$ 和 $ f_2(x)$ 是 $(\mu, \nu)$ 上的解析函数且 $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$.

定义两个函数

值得指出, 这些$F_k$完全由系统和积分决定, 而且可以显示表出. 假设有

令

其中 $ x \in (a, \nu)$.

1996 年, 李承治和张芷芬基于判别函数$\xi(x)$ 单调的情形, 给出了 Abelian 积分比式$\frac{I_2(h)}{I_1(h)}$ 单调的判别准则 (见文献 [6, 定理 1]).此后, 在文献 [2] 中, Grau 等人将文献[6] 中的结果一般化, 给出判别$n$ 个生成元构成Chebyshev 性质的一个结果.这里称一个由$f_1, f_2, \cdots, f_{n}$ 生成的$n$ 维线性空间具有Chebyshev 性质,即$f_1, f_2, \cdots, f_{n}$ 的任意非平凡线性组合至多只有$n-1$ 个零点 (计重数).

本文主要考虑的是具有三个生成元的Abelian 积分. 为此, 考虑如下具有三个生成元的 Abelian 积分

其中$\gamma_h(h_a<h<h_s)$ 是围绕着中心$(a,0)$ 的闭曲线族, 函数$f_i(x)$, $i=1,2,3$ 都是$(\mu, \nu)$ 上的解析函数且$\alpha,\beta$ 和$\gamma$ 为任意实参数.

按定义(2.3), 给出三个函数

在假设 (${\rm H}_2$), 下记

对上述判别函数, 刘长剑和肖冬梅在文献[7] 给出如下$\mathrm{Abelian}$ 积分判别法.

引理 2.1 假设$({\rm H}_1)$ 和$({\rm H}_2)$ 都成立. 此外, 有如下条件成立

$({\bf H_3})$ 对任意的$x\in (a, \nu)$ 有$F_1'(x)>0$;

$({\bf H_4})$$\xi'(x)$ 和$\left(\frac{\eta'(x)}{\xi'(x)}\right)'$ 在$x\in (a, \nu)$ 上没有零点.

则对任意的$\alpha,\beta$ 和$\gamma$, $\mathrm{Abelian}$ 积分(2.5) 在开区间$(h_a, h_s)$ 上至多只有两个零点.

下面我们将说明引理2.1 的方法不能有效的解决主要定理. 事实上当系统(1.5) 中的$m=1$ 时,其对应的Abelian 积分具有形式

其中$\{\gamma_h\}=\{(x,y):H(x,y)=y^2/2+1-\cos(x)=h,h\in(0,2)\}$ 是围绕原点的闭轨线族. 注意到, 不管$1,\cos(x)$ 和$\cos(2x)$ 哪个作为$f_1(x)$,都无法保证$F_1(x)$ 和$F_1'(x)$ 在区间$(0,\pi)$ 上同时大于零. 此外, 根据文献 [1,性质 2.8]知对具有三个生成元的Abelian 积分Chebyshev 性质判别法,引理2.1 的判别法是优于 Grau 等人的判别法. 因此, 有必要尝试用新的方法来处理该问题.

在$\xi(x)$ 在$(a,\nu)$ 上不单调的情形下, 孙杨剑和刘长剑对Abelian 积分(2.2) 给出了如下判别法 (见文献[8]).

引理 2.2 假设条件$({\rm H}_1)$ 和$({\rm H}_2)$ 成立, 并且满足如下条件

$({\bf H_5})$$\xi'(x)$ 在区间$(a, \nu)$ 上有唯一变号零点$x^*$;

$({\bf H_6})$ 当$x\in (x^*, \nu)$ 时, 有$(\Psi(x)F_1(x))'>0$.

则对任意的$\alpha,\beta\in \mathbb{R}$, $\mathrm{Abelian}$ 积分(2.2) 在$(h_a,\ h_s)$ 上至多两个零点 (计重数).

基于刘长剑和肖冬梅在文献[7] 中的想法结合引理2.2, 对于Abelian 积分(2.5) 我们有如下结果.

定理 2.1 假设$({\rm H_1})$ 和$({\rm H}_2)$ 都成立. 此外, 有如下条件成立

$(\bar{\bf H_3})$ 对任意的$x\in (a, \nu)$ 有$(\Psi(x)F_1(x))'>0$;

$({\bf H_4})$$\xi'(x)$ 和$\left(\frac{\eta'(x)}{\xi'(x)}\right)'$ 在$x\in (a, \nu)$ 上没有零点.

则对任意的$\alpha,\beta$ 和$\gamma$, $\mathrm{Abelian}$ 积分(2.5) 在开区间$(h_a,\ h_s)$ 上至多只有两个零点.

证 令

从而(2.2) 式中的$I(h)$ 变为

如果$\zeta'(x)$ 在区间$(a, \nu)$ 上没有零点, 根据文献 [定理1] 可知, $I(h)$ 在$(h_a,\ h_s)$ 上至多只有一个零点. 下面我们只需讨论$\zeta'(x)$ 在区间$(a, \nu)$ 上至少有一个零点的情形.

由$\xi'(x)\neq 0$ 和$\left(\frac{\eta'(x)}{\xi'(x)}\right)'\neq 0$, 可知对任意的$\beta\in \mathbb{R}$ 有$\zeta'(x)$ 在区间$(a, \nu)$ 上至多只有一个零点.根据以上讨论, 我们只要考虑$\zeta'(x)$ 在区间$(a, \nu)$ 上恰有有一个零点的情形. 记$\zeta'(x)$ 在区间$(a, \nu)$ 上零点为$x^*(\beta)$, 则根据 $({\rm H}_5)$ 可知, 当$x\in (x^*(\beta),\nu)$ 时有$(\Psi(x)F_1(x))'>0$. 根据引理 2.2, 可得$I(h)=\alpha I_1(h)+I_2(h)$ 在开区间$(h_a,\ h_s)$ 上至多只有两个零点.

注 2.1 由$\Psi'(x)>0$ 和$\Psi(a)=0$, 可知定理2.1 的条件$(\bar{\rm H}_3)$ 要弱于引理2.1 中的条件$({\rm H}_3)$.这意味着定理2.1 要优于引理2.1.

本章主要任务是借助定理2.1 对定理1.2 给出一个完整的证明.

引理 3.1 若$\mathrm{Abelian}$ 积分

在开区间$(h_a,\ h_s)$ 上至多只有$k$ 个零点(计重数), 其中$\gamma_h(h_a<h<h_s)$ 是围绕着中心$(a,0)$ 的闭曲线族,函数$f_i(x)$, $i=1,2,\cdot\cdot\cdot,n$ 都是$(\mu, \nu)$ 上的解析函数且$\alpha_i\in \mathbb{R}$. 则对任意的正奇数$m$,$\mathrm{Abelian}$ 积分

在开区间$(h_a,\ h_s)$ 上至多只有$k$ 个零点 (计重数).

证 我们采用归纳法来证明该结论.

当$m=1$ 时, 由题干条件可知结论成立;

当$m=2q-1(q\geq 1)$ 时, 假设结论成立;

则当$m=2q+1$ 时. 由$y^2/2+\Psi(x)=h$, 可知$\frac{\partial y}{\partial h}=\frac{1}{y}$, 进而根据含参量积分求导法则可得

从而, 根据文献 [4,引理2.3] 知

在开区间$(h_a,\ h_s)$ 上至多只有$k+1$ 个零点 (计重数).

下证$I(h)$ 至多只有$k$ 个零点 (计重数). 如若不然,$I(h)$ 在$(h_a,\ h_s)$ 上有$k+1$ 个零点 (计重数), 设为

由文献 [4,引理2.3]证明知, 函数$I'(h)$ 在区间$(h_1,h_{k+1})$ 中必有$k$ 个零点 (计重数).注意到 $\lim_{h\rightarrow h_a}I(h)=0$, 根据罗尔中值定理可知 $I'(h)$ 在开区间$(h_a,\ h_1)$ 上至少有$1$ 个零点, 故它在区间$(h_a,\ h_s)$ 有$k+1$ 个零点 (计重数),矛盾.

综上可知, 对任意的正奇数 $m$, Abelian 积分

在开区间$(h_a,\ h_s)$ 上至多只有$k$ 个零点 (计重数).

得证.

我们采用第二章的记号,$\Psi(x)=1-\cos(x)$, $a=0,\mu=-\pi,\nu=\pi,\sigma(x)=-x,f_1(x)=1,f_2(x)=\cos(x),h\in(0,2)$ 以及$\mu(h)=\arccos(1-h)$.

定理 1.2 的证明

证 由引理 3.1 可知我们只要证明$m=1$ 的情形即可. 由定理2.1,只要依次验证$({\rm H}_2),({\rm H}_3),({\rm H}_4)$ 成立即可.

$\bullet \textbf{(1)}$ 验证条件 $({\rm H}_2)$.

易得当$x\in (0,\pi)$ 时, 有$F_1(x)=\frac{2}{\sin(x)}>0$,

$\bullet \textbf{(2)}$ 验证条件 $({\rm H}_3)$.

由$x\in (0,\pi)$, 可知

故

$\bullet \textbf{(3)}$ 验证条件 $({\rm H}_4)$.

易知 $F_1(x)=\frac{2}{\sin(x)}>0$, $F_2(x)=2\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ 和 $F_3(x)=2\frac{\cos(2x)}{\sin(x)}$.由 $\xi(x)=\frac{F_2(x)}{F_1(x)}$, 可知当$x\in (0,\pi)$ 时有$\xi'(x)=-\sin(x)\neq 0$.又因$\eta'(x)=-2\sin(2x)$, 故当$x\in (0,\pi)$ 时有

综合以上讨论结合定理2.1 可知$M^0(h)$ 在$(0,2)$ 上至多可产生 $2$ 个零点 (计重数).

本文主要讨论的是二次三角多项式的情形, 并没有对三次及以上的三角多项式给出相关结果. 这里有必要说明是采取的方法有所限制,我们的方法只能处理具有三个生成元的情形. 事实上具有三个以上生成元的Abelian 积分Chebyshev 性质判别法我们已经建立 (已投稿), 但用该方法处理Gasull 的这个问题的可行性和 Grau 等人的判别法是一样的. 这表明, 对该问题的完整解决需要用到其它方法. 本文主要结果与文献[9,定理5.1]的结论$(3)$ 有直接关系 (2 个环可以出现).