数学物理学报, 2025, 45(3): 850-857

三维拓展里奇孤立子的体积增长

陈驰洲,, 郭洪欣,*

温州大学数理学院 浙江温州 325035

Volume Growth for Gradient Steady Solitons of the Extended Ricci Flow

Chen Chizhou,, Guo Hongxin,*

School of Mathematics and Physics, Wenzhou University, Zhejiang Wenzhou 325035

通讯作者: 郭洪欣, Email: guo@wzu.edu.cn

收稿日期: 2024-07-15   修回日期: 2025-01-13  

基金资助: 浙江省自然科学基金(LY22A010007)

Received: 2024-07-15   Revised: 2025-01-13  

Fund supported: Zhejiang Provincial Natural Science Foundation of China(LY22A010007)

作者简介 About authors

陈驰洲,Email:chencz20000224@163.com

摘要

该文研究 3 维拓展里奇流中完备、非紧的稳定梯度孤立子, 证明了在一定的假设条件下, 势函数的等值面的平均曲率关于距离函数是不超过线性增长的. 在此基础上, 证明了它的等值面的面积是不超过线性增长的、次等值集的体积是不超过平方增长的.

关键词： 拓展里奇流; 梯度孤立子; 体积增长

Abstract

In this paper, we derive an estimate on the level surface of the potential function of the complete noncompact gradient steady soliton of extended Ricci flow. We show that the average curvature of the level surface of the potential function grows at most linearly with respect to the distance function under certain conditions. Based on that, we prove that the area of the level surface grows at most linearly and the volume of the sublevel sets grows at most quadratically.

Keywords： extended Ricci flow; gradient soliton; volume growth

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本文引用格式

陈驰洲, 郭洪欣. 三维拓展里奇孤立子的体积增长[J]. 数学物理学报, 2025, 45(3): 850-857

Chen Chizhou, Guo Hongxin. Volume Growth for Gradient Steady Solitons of the Extended Ricci Flow[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(3): 850-857

1 引言

里奇孤立子是里奇流的自相似解, 是近年来的一个研究热点, 围绕它们的几何性质和刚性定理产生了丰硕的成果.作为里奇流的推广, 拓展里奇流 (extended Ricci flow) 由 List[1] 给出定义: 设 $ M $ 是光滑流形, $ g(t) $ 是$ M $ 上一簇黎曼度量, $ u(\cdot, t) $ 是 $ M $ 上的一簇光滑函数, $ \left(M, g, u\right) $ 称为拓展里奇流, 如果它们满足如下发展方程

$\begin{equation} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{\partial }{{\partial t}}g = - 2Rc + 2\alpha {\rm d}u \otimes {\rm d}u,}\\ {\frac{\partial }{{\partial t}}u = \Delta u.} \end{array}} \right.\ \end{equation}$

其中 $ Rc $ 是 $ \left( {{M^n},g} \right) $ 的里奇曲率, $ \alpha : = \frac{{n - 1}}{{n - 2}} $.

为了简化符号, 定义对称 $ 2 $ 张量 $ Sy = Rc - \alpha {\rm d}u \otimes {\rm d}u $, 它的分量形式记为 $ S_{ij} = R_{ij} - \alpha {\partial _i}u{\partial _j}u $, $ Sy $ 的迹是 $ S = g^{ij}S_{ij} $.所以, $ S = R - \alpha {\left| {{\rm d}u} \right|^2} $, 其中 $ R = {g^{ij}}{R_{ij}} $ 是 $ \left( {{M^n},g} \right) $ 的数量曲率.关于方程 (1.1) 的解的局部存在性和长时间存在性, 文献 [1] 已经给出了详细的论证.本文的研究对象是方程 (1.1) 的梯度孤立子, 首先给出它的定义

定义 1.1 设 $ \left( {{M^n},g} \right) $ 是完备非紧的黎曼流形, $ u:M \to \mathbb{R} $ 是光滑函数, 如果存在光滑函数 $ f:M \to \mathbb{R} $ 以及常数 $ \lambda $ 满足方程

$\begin{equation} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {Sy + {\nabla ^2}f + \lambda g = 0,}\\ {\Delta u - {\rm d}u(\nabla f) = 0.} \end{array}} \right.\ \end{equation}$

则称 $ \left( {{M^n},g,u,f,\lambda } \right) $ 为梯度拓展里奇孤立子, 称 $ f $ 为势函数. 其中 $ {\nabla ^2}f $ 是函数 $ f $ 的黑塞矩阵, $ \nabla f $ 是函数 $ f $ 的梯度.对应于 $ \lambda < 0, =0, >0 $ 时, 该孤立子分别称为收缩的、稳定的、扩张的.

关于拓展里奇流的梯度孤立子, 在最近的文献[2] 中, Gomes 和 Hudson 构造了一大类的非平凡的例子. 之前, Ma 和 Huang 也在文献 [3] 中研究了数量曲率的估计.Yang 和 Shen[4]则研究了更广泛的孤立子的体积增长估计. 在本文中, 我们研究 3 维的稳定孤立子. 注意到 Brendle[5,6] 在里奇流中证明的相关结果, 特别地, 假设非紧的稳定梯度孤立子在无穷远处收敛到圆柱的前提下, Brendle 证明了该孤立子是旋转对称的. 在本文中, 我们把 Brendle 发展的部分技巧推广到拓展里奇流中.

稳定的拓展里奇孤立子方程是

$\begin{equation} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {Sy + {\nabla ^2}f = 0,}\\ {\Delta u - {\rm d}u\left( {\nabla f} \right) = 0.} \end{array}} \right.\ \end{equation}$

我们证明的主要定理是

定理 1.1 设 $ \left( M^3,g,u,f \right) $ 是完备的、具有正截面曲率的稳定的梯度拓展里奇孤立子, 满足 $ {S_{ij}} > 0 $ 且 $ f $ 在某点 $ O $ 处取到最大值,进一步假设对任意的 $ \delta > 0 $, 存在相应的紧集 $ E_\delta $, 在 $ M \setminus E_\delta $ 上有

$\Delta S + \delta {\left| {Sy} \right|^2} \ge 0. $

则我们得到如下结果

(1) 势函数等值面的面积是不超过线性增长的;

(2) 势函数次等值集的体积是不超过平方增长的.

在定理中, 我们做出了技术性的假设, 即不等式 (1.4). 注意到这是一个收敛性的定义, 直观地说是在无穷远处, $ \Delta S $ 加上任意小的 $ \delta {\left| {Sy} \right|^2} $ 为正. 对这个假设, 我们做出两个解释, 第一是在里奇流的 $ 3 $ 维稳定梯度孤立子中, 它是非塌缩条件的推论, 见文献[7]; 第二是在高维的情形, 它是在无穷远处收敛到圆柱面这一假设的推论, 见文献 [6].

本文第二部分将给出拓展里奇孤立子的水平面势函数的线性估计. 第三部分, 将给出本文核心内容 $ S = R - \alpha {\left| {{\rm d}u} \right|^2} $ 的上界估计. 第四部分将给出平均曲率的上界估计. 在这些内容的基础上, 我们将给出第五部分中主要内容的证明.

2 势函数的估计

由孤立子方程易得

$S + {\left| {\nabla f} \right|^2} = C.$

通过等比例放缩我们不妨假设上述常数 $ C=1 $.下面我们将给出定理1.1 的相关证明, 我们先证明势函数的增长是线性的.

定理 1.2 (势函数线性增长) 对任意的正数 $ \delta<1 $, 存在一个紧集, 在此紧集之外, 我们有不等式

$\delta r(x) < - f(x) < r(x).$

这里 $ r(x): = d(x,O) $.

证 根据假设 $ {S_{ij}} > 0 $, 所以有 $ S > 0 $, 而且 $ \left( {{M^3},g,u,f} \right) $ 上的数量曲率 $ R $ 也是正的, 根据文献 [8,定理 3.5] 可知, 当 $ x \to \infty $ 时, $ R(x) \to 0 $. 而 $ R: = S + \alpha {\left| {{\rm d}u} \right|^2} $ 以及 $ S > 0 $, 可知当 $ x \to \infty $ 时, $ S(x) \to 0 $, 则存在点 $ O $, 使得 $ S $ 取到它的最大值. 我们称 $ O $ 为原点. 由文献 [9,引理 2.1]可知, $ \nabla S = 2Sy(\nabla f, \cdot ) $, 我们有

$2Sy(\nabla f,\nabla f)(O) = \left\langle {\nabla S(O),\nabla f(O)} \right\rangle = 0.$

然后根据 $ S_{ij} > 0 $, 我们可知 $ \nabla f(O) = 0 $. 由 (1.3) 式可知 $ {\nabla ^2}f < 0 $, 所以我们知道 $ O $ 是势函数 $ f $ 的唯一的最大点, 并且不失一般性地假设 $ S(O) = 1 $ 以及 $ f(O) = 0 $.

我们有 $ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left| {\nabla f} \right| = 1 $. 假设 $ \beta (\sigma ) $ 是向量场 $ \nu : = - \frac{{\nabla f}}{{\left| {\nabla f} \right|}} $ 的极大积分曲线, 则有

$\frac{\rm d}{{{\rm d}\lambda }}f(\beta (\sigma )) = \nabla f(\beta (\sigma )) \cdot \dot \beta (\sigma ) = \nabla f \cdot \frac{{\nabla f}}{{{{\left| {\nabla f} \right|}^2}}} = 1.$

由此可知 $ - f $ 是线性增长的. 所以对任意的常数 $ \delta $ 满足 $ 0 < \delta < 1 $ 时, 存在一个紧集, 在此紧集之外, 我们有

$\delta r(x) < - f(x) < r(x).$

这里我们得到势函数是线性增长的.

3 $ S $ 的上界估计

本节将给出 $ S $ 的线性估计的一个上界, 我们将利用以下不等式

由文献[1,(3.6) 式], 我们可得方程

$\frac{{{\rm d}S}}{{{\rm d}t}} = \Delta S + 2{\left| {Sy} \right|^2} + 2\alpha {\left| {\Delta u} \right|^2}.$

由文献 [9,引理2.1] 可知,

$\nabla S = 2Sy(\nabla f, \cdot ).$

由 (1.3) 式可知

$Sy + {\nabla ^2}f = 0.$

对该式求散度得

${\rm div}(Sy) = \frac{1}{2}{\rm d}S - \alpha \Delta u{\rm d}u.$

则

$\begin{aligned} \Delta S &= 2{\rm div}(Sy)(\nabla f) + 2\left\langle {Sy,{\nabla ^2}f} \right\rangle \\ &=\left\langle {\nabla S,\nabla f} \right\rangle - 2\alpha \left\langle {\Delta u\nabla u,\nabla f} \right\rangle - 2{{\left| {Sy} \right|}^2}. \end{aligned}$

由 (1.3) 式和 (3.1) 式以及 (3.2) 式可得

$\left\langle {\nabla S,\nabla f} \right\rangle = \frac{{{\rm d}S}}{{{\rm d}t}} = \Delta S + 2{\left| {Sy} \right|^2} + 2\alpha {\left| {\Delta u} \right|^2}.$

在 (3.3) 式中由不等式 (1.4) 取 $ \delta = 1 $ 可得不等式

$\left\langle {\nabla S,\nabla f} \right\rangle = \frac{{{\rm d}S}}{{{\rm d}t}} = \Delta S + 2{\left| {Sy} \right|^2} + 2\alpha {\left| {\Delta u} \right|^2} \ge \Delta S + 2{\left| {Sy} \right|^2} \ge {\left| {Sy} \right|^2} \ge \frac{1}{3}{S^2}.$

这里得到的不等式, 将在下面定理的证明里用到.

定理 3.1 ($ S $ 的上界估计) 当 $ r\left( x \right) $ 足够大时, 存在一个正常数 $ C $ 和一个紧集, 使得在这个紧集之外, 有

$S(x) \le \frac{C}{{r(x)}}.$

证 由不等式 (3.4), 对于足够大的 $ r\left( x \right) $, 我们有

$\left\langle {\nabla f,\nabla S} \right\rangle \ge \frac{1}{3}{S^2}.$

因为 $ \beta (\sigma ) $ 是 $ - \frac{{\nabla f}}{{{{\left| {\nabla f} \right|}^2}}} $ 的积分曲线, 由 (2.1) 式可知当 $ x \to \infty $ 时, $ \left| {\nabla f} \right| \to 1 $, 所以在一个紧集 $ U $ 之外, 我们会有

$\frac{{{\rm d}S\left( {\beta (\sigma )} \right)}}{{{\rm d}\sigma }} = - \frac{1}{{{{\left| {\nabla f} \right|}^2}}}\left\langle {\nabla f,\nabla S} \right\rangle \le - \frac{1}{2}\left\langle {\nabla f,\nabla S} \right\rangle \le - \frac{1}{6}{S^2}.$

从这个微分不等式中我们得到了 $ S\left( {\beta (\sigma )} \right) $ 关于$ \sigma $ 的 $ \frac{1}{\sigma } $ 阶的上估计. 因为 $ \sigma $ 可以确实可以达到 $ - f $ 的值, 并且和距离 $ r $ 相等, 所以我们可以得到 $ S(x) $ 关于 $ r $ 的相同类型的上界. 下面我们将严格论证这一结论.

假设 $ {{\rm{S}}_0} $ 是紧集 $ U $ 之外的一个大球面, 并且对任意的点 $ x $, 有一条通过点 $ x $ 的极大积分曲线 $ \beta $, 使得 $ \beta (\sigma ) = x $. 设点 $ {x_0} $ 是积分曲线 $ \beta $ 和球面 $ {{\rm{S}}_0} $ 的交点, 并且有 $ \beta ({\sigma _0}) = {x_0} $. 从不等式 (3.6) 我们有

$\frac{1}{{S(x)}} - \frac{1}{{S({x_0})}} \ge \frac{{\sigma - {\sigma _0}}}{6}.$

设 $ {c_0}: = \max \left\{ {S(\bar x):\bar x \in {{\rm{S}}_0}} \right\} $. 则有

$\frac{1}{{S(x)}} \ge \frac{{\sigma - {\sigma _0}}}{6} + \frac{1}{{{c_0}}}.$

同时因为 $ \beta $ 是 $ - \frac{{\nabla f}}{{{{\left| {\nabla f} \right|}^2}}} $ 的积分曲线, 所以有

$ - f(x) - \left( { - f({x_0})} \right) = \int_{{\sigma _0}}^\sigma {\frac{\rm d}{{{\rm d}\eta }}\left( { - f\left( {\beta (\eta )} \right)} \right){\rm d}\eta } = \int_{{\sigma _0}}^\sigma {1{\rm d}\eta } = \sigma - {\sigma _0}.$

设 $ {c_1}: = \max \left\{ { - f(\bar x):\bar x \in {{\rm{S}}_0}} \right\} $. 则有

$\sigma - {\sigma _0} \ge - f(x) - {c_1}.$

通过结合前面不等式 (3.7) 和 (3.9), 会得到

$\frac{1}{{S(x)}} \ge \frac{{ - f(x)}}{6} - \frac{{{c_1}}}{6} + \frac{1}{{{c_0}}}.$

因为 $ - f $ 是线性增长的, 所以存在两个常数 $ c > 0 $ 以及 $ c': = - \frac{{{c_1}}}{6} + \frac{1}{{{c_0}}} $ 使得

$\frac{1}{{S(x)}} \ge cr(x) + c'.$

所以当 $ r $ 足够大时, 我们可以选择适当的正常数 $ C> 0 $ 使得

$S(x) \le \frac{C}{{r(x)}}.$

这样我们就证明了 $ S $ 线性估计的一个上界.

4 势函数等值面的平均曲率的上界估计

第三部分给出了本文的核心内容, 证明了 $ S $ 的一个上界估计. 本节将由第三部分的结论继续推导出平均曲率的一个上界估计.由前文可见, $ f $ 的最大值是 0, 所以我们按习惯考查 $ -f $ 的等值面.设 $ \Sigma (\sigma ): = \left\{ x|-f\left( x \right) = \sigma \right\} $. 设 $ \nu : = - \frac{{\nabla f}}{{\left| {\nabla f} \right|}} $ 是单位外法向量场, $ \Sigma (\sigma ) $ 上的第二基本形式 $ h\left( {X,Y} \right): = \left\langle {{\nabla _X}\nu,Y} \right\rangle $, $ X,Y \in T \Sigma $. 我们用 $ H(\sigma ) $ 来表示势函数水平集的平均曲率, 即 $ H(\sigma ) $ 是第二基本形式 $ h $ 的迹. 根据第二基本形式的定义和(1.3) 式, 有

$h = - \frac{{{\nabla ^2}f}}{{\left| {\nabla f} \right|}} = \frac{{Sy}}{{\left| {\nabla f} \right|}}.$

为了简化符号我们用 $ H $ 来取代 $ H(\sigma ) $, 因为 $ H = \sum\limits_{i = 1}^n {h({e_i},{e_i})} $, 所以有

$H = \frac{{S - Sy(\nu,\nu )}}{{\left| {\nabla f} \right|}}.$

定理 4.1 (平均曲率的上界估计) 当 $ r\left( x \right) $ 足够大时, 存在正常数 $ C $ 和一个紧集, 使得在这个紧集之外有,

$H \le \frac{C}{{r(x)}}.$

证 有

$Sy(\nu,\nu ) = \frac{1}{{{{\left| {\nabla f} \right|}^2}}}Sy(\nabla f,\nabla f) = \frac{1}{{2{{\left| {\nabla f} \right|}^2}}}\left\langle {\nabla S,\nabla f} \right\rangle.$

根据文献 [10,(3.7) 式], 因为 $ {S_{ij}} > 0 $, 则会有

${\left| {\nabla S} \right|^2} \le 4{S^2}{\left| {\nabla f} \right|^2}.$

以及当 $ \left| {\nabla f} \right| \to 1 $ 时, 得

$\left| {\left\langle {\nabla S,\nabla f} \right\rangle } \right| \le \left| {\nabla S} \right|\left| {\nabla f} \right| \le 2S{\left| {\nabla f} \right|^2} \le 2S \le \frac{C}{r}.$

所以当 $ r\left( x \right) $ 足够大时, 有

$\left| {Sy(\nu,\nu )} \right| \le \frac{C}{r}.$

再根据等式 (4.1) 和不等式 (3.5), 得

$H \le \frac{C}{{r(x)}}.$

这样我们就证明了平均曲率是线性估计的一个上界.

推论 4.1 存在一个紧集, 在此紧集之外, 有

$H \le \frac{C}{{ \sigma }}.$

证 因为 $ - f $ 是关于 $ r\left( x \right) $ 呈线性衰减的, 结合不等式(4.2), 马上可以得到不等式 (4.3).

5 势函数等值面的面积估计和次等值集的体积估计

本节我们将给出定理 1.1 的证明. 我们把 $ -f $ 的等值面 $ \Sigma(\sigma ) $ 的面积记为 $ {A_\sigma } $, 把它的次等值集 $ \cup_{\tau\le\sigma}\Sigma(\tau) $ 的体积记为 $ {V_\sigma} $. 我们就可以把定理1.1 转化成定理 5.1. 下面将给出定理 5.1 的证明.

定理 5.1 存在一个正常数 $ C $ 和一个紧集, 在这个紧集之外, 会有

(1) $ {A_\sigma } $ 是不超过线性增长的: $ {A_\sigma } \le C \cdot \sigma $;

(2) $ {V_\sigma } $ 是不超过平方增长的: $ {V_\sigma } \le C \cdot {\sigma ^2} $.

证 等值面 $ X $ 是 $ M $ 的超曲面, 它的演化方程为

$\frac{{\partial X}}{{\partial \sigma }} = - \frac{1}{{\left| {\nabla f} \right|}}\nu.$

$ X $ 的面积 $ {A_\sigma } $ 满足

$\frac{{{\rm d}{A_\sigma }}}{{{\rm d}\sigma }} = - \int_\Sigma {\frac{H}{{\left| {\nabla f} \right|}}{\rm d}\mu }.$

假设点 $ x $ 离点 $ O $ 足够远, 结合不等式 (4.3) 和等式(5.1)}, 有

$\frac{{d{A_\sigma }}}{{{\rm d}\sigma }} \le \frac{{{C_1} \cdot {A_\sigma }}}{\sigma }.$

进一步有

${A_\sigma } \le {C_2} \cdot \sigma.$

这样我们就证明了 $ {A_\sigma } $ 是不超过线性增长的.

下面将证明 $ {V_\sigma } $ 是不超过平方增长的. 由定义 (1.3) 可知 $ {\nabla _i}{\nabla _j}f = {S_{ij}} > 0 $, 再结合(2.1) 式可知

$\frac{{{\rm d}S(\beta (\sigma ))}}{{{\rm d}\sigma }} = \nabla S \cdot \dot \beta (\sigma ) = - 2{S_{ij}}{\nabla _i}f \cdot {\dot \beta _j}(\sigma ) = - \frac{{2{\nabla _i}{\nabla _j}f \cdot {\nabla _i}f \cdot {\nabla _j}f}}{{{{\left| {\nabla f} \right|}^2}}} < 0.$

这意味着 $ S $ 沿着积分曲线是递减的, 同样也就意味着 $ \left| {\nabla f} \right| $ 沿着积分曲线是递增的, 即存在一个正常数 $ \delta > 0 $, 使得 $ 1 - \delta \le {\left| {\nabla f} \right|^2} < 1 $. 这样我们会有

${A_\sigma } < \int_\Sigma {\frac{1}{{\left| {\nabla f} \right|}} {\rm d}\mu } \le \frac{{{A_\sigma }}}{{1 - \delta }}.$

而体积的增长率根据余面积公式有

$\frac{{{\rm d}{V_\sigma }}}{{{\rm d}\sigma }} = - \int_\Sigma {\frac{1}{{\left| {\nabla f} \right|}}{\rm d}\mu }.$

结合 (5.5)} 式和不等式 (5.2) 以及 (5.4) 式, 有

${V_\sigma } \le {C_2} \cdot {\sigma ^2}.$

这样我们就证明了 $ {V_\sigma } $ 是不超过平方增长的.

这样就证明了定理 1.1 中的所有结论.

6 关于下界的讨论

我们的主要定理, 证明了等值面的面积不超过线性增长. 一个自然的问题是, 它增长速度的下界是什么?

在里奇流中, 利用

$\left| {\nabla R} \right| \le C{R^2}$

(即 Perelman 在文献 [11,(1.3) 式]), Brendle[5] 和本文第二作者[7]证明了里奇孤立子的与定理 1.1 中相对应的下界估计.但是在拓展里奇流中, 我们还没有相应于 (6.1) 的不等式成立. 如果在拓展里奇孤立子中同样有 $ \left| {\nabla S} \right| \le C{S^2} $ 不等式成立, 则可以假设有一条从 $ O $ 点出发的法向测地线 $ \gamma $, 有

$\left\langle {\nabla S,\dot \gamma } \right\rangle \ge - \left| {\nabla S} \right|\left| {\dot \gamma } \right| \ge - C{S^2},$

所以

$\dot \gamma \left( {\frac{1}{S}} \right) = - \frac{{\dot \gamma \left( S \right)}}{{{S^2}}} = - \frac{{\left\langle {\dot \gamma,\nabla S} \right\rangle }}{{{S^2}}} \le C.$

因此

$\frac{1}{{S\left( {\gamma (r)} \right)}} \le \frac{1}{{S\left( {\gamma (0)} \right)}} + Cr = 1 + Cr.$

最后有

$S\left( {\gamma (r)} \right) \ge \frac{1}{{1 + Cr}}.$

对于足够大的 $ r $, 通过选择适当的常数 $ {C_1} $, 可以将上述公式改写为

$S(x) \ge \frac{{{C_1}}}{{r(x)}}.$

那么, 前面的不等式 (3.5) 就同时有上界和下界估计

$\frac{{{C_1}}}{{r(x)}} \le S(x) \le \frac{{{C_2}}}{{r(x)}}.$

由

$\left| {\left\langle {\nabla S,\nabla f} \right\rangle } \right| \le \left| {\nabla S} \right|\left| {\nabla f} \right| \le C{S^2} \le \frac{C}{{{r^2}}}.$

则不等式 (4.2) 也有下界估计

$\frac{{{C_1}}}{{r(x)}} \le H \le \frac{{{C_2}}}{{r(x)}},$

以及

$\frac{{{C_1}}}{{ \sigma }} \le H \le \frac{{{C_2}}}{{ \sigma }}.$

最终, 关于等值面和次等值集我们有

(1) $ {C_1} \cdot \sigma \le {A_\sigma } \le {C_2} \cdot \sigma $;

(2) $ {C_1} \cdot {\sigma ^2} \le {V_\sigma } \le {C_2} \cdot {\sigma ^2} $.

即势函数等值面的面积是线性增长的以及势函数次等值集的体积是平方增长的.

致谢

我们非常感谢审稿人的认真审稿和高度专业的意见, 我们根据评审意见修改了原稿中多处的疏漏与错误.

参考文献

List B.

Evolution of an extended Ricci flow system

Communications in Analysis and Geometry, 2008, 16(5): 1007-1048

[本文引用: 3]

Gomes J N V, Hudson M.

Mean curvature flow in an extended Ricci flow background

J Geom Anal, 2023, 33(10): 339-367

[本文引用: 1]

Ma B, Huang G.

Lower bounds for the scalar curvature of noncompact gradient solitons of List's flow

Arch Math (Basel), 2013, 100(6): 593-599

[本文引用: 1]

Yang F, Shen J F.

Volume growth for gradient shrinking solitons of Ricci-harmonic flow

Sci China Math, 2012, 55(6): 1221-1228

[本文引用: 1]

Brendle S.

Rotational symmetry of self-similar solutions to the Ricci flow

Invent Math, 2013, 194(3): 731-764

[本文引用: 2]

Brendle S.

Rotational symmetry of Ricci solitons in higher dimensions

J Differential Geom, 2014, 97(2): 191-214

[本文引用: 2]

Guo H.

Area growth rate of the level surface of the potential function on a 3-dimensional steady gradient Ricci soliton

Proc Amer Math Soc, 2009, 137(6): 2093-2097

[本文引用: 2]

Chu S C.

Geometry of 3-dimensional gradient Ricci solitons with positive curvature

Comm Anal Geom, 2005, 13(3): 129-150

[本文引用: 1]

Guo H X, Philipowski R, Thalmaier A.

On gradient solitons of the Ricci-harmonic flow

Acta Math Sin Engl Ser, 2015, 31(11): 1798-1804

[本文引用: 2]

Wu G, Zhang S.

Volume growth of shrinking gradient Ricci-Harmonic soliton

Results Math, 2017, 72: 205-223

[本文引用: 1]

Perelman G. Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv:math.DG/0303109

[本文引用: 1]

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