如果 $\mathbb{R}^n$ 上的局部可积函数 $f$ 满足

其中 $B$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中的球,

则称 $f$ 属于有界平均振荡空间 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$.

$\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 在调和分析以及复分析、泛函分析、偏微分方程等相关领域中起着至关重要的作用. 近年来, 积分算子的交换子一直是调和分析研究的热点, 其中一个重要的原因是交换子的有界性可以用来刻画 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 等一些重要的函数空间. 早在 1976 年, Coifman 等人^[5]就研究了 Calderón-Zygmund 奇异积分算子 $T$ 的交换子

并且通过交换子 $T_b$ 在 Lebesgue 空间上的有界性给出了 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 的一个等价刻画

进一步地, $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 也可以由 $T_b$ 在其它函数空间上的有界性来刻画, 例如文献[6,25]中给出了其在 Morrey 空间上的有界性刻画. 此外, Hardy-Littlewood 极大算子、分数次积分算子等调和分析中的其它重要算子的交换子也可以用来刻画 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$, 具体可参见文献[2,3,7,17,19,22,23].

在 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 的定义中, 若将 $\mathbb{R}^n$ 中的球 $B$ 换成以原点为球心、以 $r$ 为半径的球 $B(0,r)$, 就得到了中心有界平均振荡空间 $\mathrm{CBMO}_p(\mathbb{R}^n)$, 其定义为

其中

这里 $1\leq p<\infty$. $\mathrm{CBMO}_p(\mathbb{R}^n)$ 可以看作是 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 的中心情形, 然而这两个空间的性质却截然不同. John 和 Nirenberg^[13] 证明了 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 函数满足 John-Nirenberg 不等式, 这表明两范数 $\|\cdot\| _{\mathrm{BMO}}$ 与 $\|\cdot\|_{\mathrm{BMO}_p}$ 是等价的. 这里的 $\mathrm{BMO}_p(\mathbb{R}^n)$ 包含 $\mathbb{R}^n$ 上满足

的全体可测函数 $f$. 但是 John-Nirenberg 不等式对 $\mathrm{CBMO}_p(\mathbb{R}^n)$ 函数却不成立, 也就是说, $\mathrm{CBMO}_p(\mathbb{R}^n)$ 依赖于 $p$. 尽管如此, 仍可以通过算子交换子的有界性给出 $\mathrm{CBMO}_p({\mathbb{R}^n})$ 的一些刻画. 注意到 $\mathrm{CBMO}_p({\mathbb{R}^n})$ 定义中的球均以原点为中心, 故而我们考虑的交换子也应为中心型算子的交换子. 下面给出 Hardy 算子及其对偶算子的定义, 它们是最基本的两个中心型算子.

设 $f$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的局部可积函数, $n$ 维 Hardy 算子 $H$ (见文献[4,8]) 定义为

$H$ 的对偶算子 $H^*$ 定义如下

对于一些合适的函数 $g$, $H$ 与 $H^*$ 满足如下关系式

设 $b$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的局部可积函数. $n$ 维 Hardy 型算子 $H$ 与 $H^*$ 的交换子分别定义为

和

众所周知, Hardy 型算子在调和分析及其相关领域的研究中有着广泛的应用价值. 文献[11,16]给出了关于 Hardy 型算子研究较为全面的综述. 文献[14,15]最先研究了交换子 $H_b$ 和 $H^*_b$ 的有界性, 并且指出 $H_b$ 和 $H^*_b$ 与奇异积分算子的交换子是截然不同的, 这是因为 $H_b$ 和 $H^*_b$ 的有界性可以用来刻画中心型函数空间. 2007 年, 傅尊伟等人^[9]得到了 $\mathrm{CBMO} _{\max(p,p')}({\mathbb{R}^n})$ 的等价刻画

此外, 他们^[9]还通过 $H_b$ 和 $H^*_b$ 在 Herz 空间上的有界性给出了中心有界平均振荡空间的一些刻画. 随后, 赵发友和陆善镇^[29]利用 $H_b$ 和 $H^*_b$ 的 $L^p({\mathbb{R}^n})\to L^q({\mathbb{R}^n})$ 有界性建立了 $\mathrm{CBMO}_{\max(q,p'),\lambda}({\mathbb{R}^n})$ 的等价刻画, 这里 $0\leq \lambda<1/n, \lambda=1/p-1/q$ 且 $1<p,q<\infty$. 事实上, $H_b$ 和 $H^*_b$ 在其它函数空间上的有界性也可以用来刻画中心有界平均振荡型函数空间. 例如, 石少广和陆善镇^[21]将文献[9]中算子交换子的有界性结果推广到中心 Morrey 空间, 并通过 $H_b$ 和 $H^*_b$ 在中心 Morrey 空间上的有界性得出了 $\mathrm{CBMO} _{\max(p,p')}({\mathbb{R}^n})$ 的如下刻画

其中 $-1/p<\lambda<0$, $1<p<\infty$. 更多关于 Hardy 型算子交换子的有界性刻画可参见文献[10,12,20,27-29].

最近, 算子交换子的弱有界性也被用来刻画有界平均振荡型函数空间. 例如, 文献[25]中证明了 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 可以由 Calderón-Zygmund 算子的交换子在 Lebesgue 空间和 Morrey 空间上的弱有界性来刻画. 鉴于此, 考虑算子交换子的弱有界性是有意义的. 2017 年, 王定怀和周疆^[24]引入了弱中心有界平均振荡空间 $\mathrm{WCBMO}_p(\mathbb{R}^n)$. 设 $1<p<\infty$, 如果

则称 $f$ 属于弱中心有界平均振荡空间 $\mathrm{WCBMO}_p(\mathbb{R}^n)$.为方便起见, 记 $\mathrm{W}_p(\mathbb{R}^n):=\mathrm{WCBMO}_p$$(\mathbb{R}^n)$. 当 $1<p<\infty$ 时, 显然有 $\mathrm{CBMO}_p(\mathbb{R}^n)\subseteq \mathrm{W}_p(\mathbb{R}^n)$. 文献[24]中证明了 $\mathrm{W}_{p_2}(\mathbb{R}^n)\subsetneq\mathrm{W}_{p_1}(\mathbb{R}^n)$, 其中 $1<p_1<p_2<\infty$. 如果将 $\mathrm{W}_p(\mathbb{R}^n)$ 的定义中以原点为中心、以 $r$ 为半径的球 $B(0,r)$ 替换为 $\mathbb{R}^n$ 中的任意球, 就得到了文献[24]中所定义的弱有界平均振荡空间 $\mathrm{WBMO}_p(\mathbb{R}^n)$.不难看出, $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)\subseteq \mathrm{WBMO}_p(\mathbb{R}^n)$, 其中 $1<p<\infty$. 实际上, 文献[24]进一步证明了 $\mathrm{WBMO} _p(\mathbb{R}^n)$ 与 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 是等价的, 这表明 $\mathrm{WBMO}_p(\mathbb{R}^n)$ 与 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$ 的交换子刻画是等价的. 然而, 作者在文献[24]中证明了 Hardy 型算子交换子在 Lebesgue 空间上的弱有界性可以用来刻画 $\mathrm{W}_p(\mathbb{R}^n)$ 的某些子空间, 这也侧面说明 $\mathrm{W} _p(\mathbb{R}^n)$ 与 $\mathrm{CBMO}_p(\mathbb{R}^n)$ 不是等价的.

如前所述, 一些算子的交换子在除 Lebesgue 空间外的其它函数空间上的有界性与弱有界性也可以用来刻画 $\mathrm{BMO}(\mathbb{R}^n)$. 一个自然的问题是 Hardy 型算子交换子在其它函数空间上的弱有界性是否可以用来刻画一些重要的函数空间. 本文对该问题给出了肯定的回答. 具体来说, 在一定条件下, 我们给出了 $H_b$ 和 $H^*_b$ 在中心 Morrey 空间上弱有界性的等价刻画. 我们的工作部分地推广了文献[24]中的结果.在本文中, 字母 $C$ 表示与主要变量无关的常数, 在不同的地方取值可能不同.

首先, 我们来回顾文献[9]中所给出的 $\mathrm{CBMO}_p(\mathbb{R}^n)$ 的包含关系

引理2.1 若 $1\leq p<q<\infty$, 则有 $\mathrm{CBMO}_q(\mathbb{R}^n)\subsetneq\mathrm{CBMO}_p(\mathbb{R}^n)$.

早在 1938 年, Morrey^[18]就引入了 Morrey 空间. 随后, Morrey 空间被广泛用于研究非线性椭圆型方程解的正则性. Alvarez等^[1]在 2000 年定义了中心 Morrey 空间 $\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$

其中

$1<p<\infty$, 且 $-1/p\leq\lambda<0$.

类似地, 弱中心 Morrey 空间 $W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 包含 $\mathbb{R}^n$ 上所有满足

的可测函数 $f$, 这里 $1<p<\infty$, 且 $-1/p\leq\lambda<0$.

接下来给出中心 Morrey 空间与弱中心 Morrey 空间之间的包含关系.

引理2.2 设 $1<r<q<p<\infty$, 并且 $-1/p\leq\lambda<0$. 弱中心 Morrey 空间 $W\dot{M}^{q,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 包含在中心 Morrey 空间 $\dot{M}^{r,\lambda}(\mathbb{R}^n)$中, 且有

上述引理的证明可仿照文献[26,命题 2.1,推论 2.3]的证明过程给出, 我们省略其细节.

设 $B_{k}=\{x\in \mathbb{R}^n:|x|\leq 2^k\}$, $C_k=B_{k}\setminus B_{k-1}$, 其中 $k\in \mathbb{Z}$. 傅尊伟等人^[9]对 $\mathrm{CBMO} _1(\mathbb{R}^n)$ 函数建立了如下较为精确的估计

引理2.3 设 $b\in \mathrm{CBMO}_1(\mathbb{R}^n)$. 则对任意 $i,k\in\mathbb{Z}$, 均有

本文的主要结果可表述如下

定理3.1 设 $1<p<\infty$, $-1/p\leq\lambda<0$, 并且 $1/p+1/{p'}=1$.

$\mathrm{(a)}$ 若 $b\in \mathrm{CBMO}_{p'}(\mathbb{R}^n)\cap \mathrm{W}_{p}(\mathbb{R}^n)$, 则 $H_{b}$ 和 $H^{*}_{b}$ 均从 $ \dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 到 $ W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 有界;

$\mathrm{(b)}$ 若 $H_{b}$ 和 $H^{*}_{b}$ 都是从 $ \dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 到 $ W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 有界的, 则 $b\in \mathrm{W}_{p}(\mathbb{R}^n)$;

$\mathrm{(c)}$ 设 $p>2$. 若 $H_{b}$ 和 $H^{*}_{b}$ 都是从 $ \dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 到 $ W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 有界的, 则 $b\in \mathrm{CBMO}_{p'}(\mathbb{R}^n)\cap \mathrm{W}_{p}(\mathbb{R}^n)$.

证 $\rm(a)$ 对于固定的球 $B=B(0,r)\subseteq \mathbb{R}^n$, 不失一般性, 假设存在某个 $k_0 \in \mathbb{Z}$, 使得 $B(0,r)=B_{k_0}$. 定义 $\chi_k=\chi_{C_k}$, 并记

对于 $f\in \dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 以及任意 $\alpha>0$, 有

注意到 $1/p+1/{p'}=1$, 利用 Hölder 不等式可得

由引理 2.1, $b\in \mathrm{CBMO}_{p'}(\mathbb{R}^n)\subseteq\mathrm{CBMO}_1(\mathbb{R}^n)$. 结合引理 2.3 可知

对于 $I_{21}$, 有

对于 $I_{22}$, 由引理 2.1 可得

鉴于对 $I_1$, $I_{21}$ 以及 $I_{22}$ 的估计, 仅需证明

由于 $1<p<\infty$, 通过简单计算可得

因此对任意 $B(0,r)\subseteq \mathbb{R}^n$, $r>0$, 有

用相同的方法可以证得 $H^*_b$ 也是从 $\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 到 $W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 有界的.

$\rm(b)$ 设 $H_b$ 和 $H^*_b$ 都是从 $ \dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 到 $ W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 有界的, 接下来证明

对于 $B:=B(0,r)$, 且 $x\in B$, 有

其中, $f_0(x)=|x|^n r^{-n}\chi_B(x)$. 显然有 $f_0\leq \chi_B$. 基于 $H_b$ 和 $H^*_b$ 从 $ \dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 到 $ W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 的有界性, 对任意 $\alpha>0$, 都有

这表明

对任意 $B:=B(0,r)$, $r>0$ 都成立, 即

且有

$\rm(c)$ 当 $p>2$ 时, 将进一步证明由 $H_b$ 和 $H^*_b$ 从 $ \dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 到 $ W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 的有界性可以推出

$b\in \mathrm{CBMO}_{p'}(\mathbb{R}^n)\cap \mathrm{W}_{p}(\mathbb{R}^n)$.

显然, 只需验证 $b\in \mathrm{CBMO}_{p'}(\mathbb{R}^n)$. 由 $H_b$ 和 $H^*_b$ 从 $ \dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 到 $ W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 的有界性可得: 对任意 $B:=B(0,r)$, $r>0$, 有

由 $p>2$ 可知 $p'<p$; 对 $J_1$, 由引理 2.2 可得

对 $J_2$, 有

其中 $f_0$ 与 $\rm(b)$ 的证明中定义的函数相同.

结合 $J_1$ 与 $J_2$ 的估计可得

并且

由定理 3.1 可以给出如下推论.

推论3.1 设 $2<p<\infty$, $-1/p\leq\lambda<0$, 并且 $1/p+1/{p'}=1$. 则 $b\in \mathrm{W}_{p}(\mathbb{R}^n)$ 当且仅当 $H_{b}$ 和 $H^{*}_{b}$ 都是从 $ \dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 到 $ W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 有界的.

证 由定理 3.1 的 (a) 和 (c) 可知: $b\in \mathrm{CBMO}_{p'}(\mathbb{R}^n)\cap \mathrm{W}_{p}(\mathbb{R}^n)$ 当且仅当 $H_{b}$ 和 $H^{*}_{b}$ 都是从 $ \dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n) $ 到 $ W\dot{M}^{p,\lambda}(\mathbb{R}^n)$ 有界的. 注意到文献[24,命题 4.2]指出当 $p>2$ 时 $ \mathrm{W}_{p}(\mathbb{R}^n)\subseteq\mathrm{CBMO}_{p'}(\mathbb{R}^n)$, 结论得证.

当 $\lambda=-1/p$ 时, 推论 3.1 退化为如下结果.

推论3.2 设 $2<p<\infty$, 且 $1/p+1/p'=1$. 则 $b\in \mathrm{W}_{p}(\mathbb{R}^n)$ 当且仅当 $H_{b}$ 和 $H^{*}_{b}$ 均从 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 到 $L^{p,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 有界.

注3.1 推论 3.2 即为文献[24,推论 5.2]. 事实上, 文献[24,定理 5.1]完整地给出了当 $1<p<\infty$ 时 $H_{b}$ 和 $H^{*}_{b}$ 从 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 到 $L^{p,\infty}(\mathbb{R}^n)$ 的有界性刻画.