本文考虑如下形式的 Kirchhoff 型椭圆方程

其中 $ a,b $ 是两个正常数, $ p\in (1,5) $, $ V(x),Q(x):\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} $ 为两个 $ L^\infty(\mathbb{R}^3) $ 函数, $ V(x) $ 通常被称为位势函数. 这类方程实际上对应于经典的 Kirchhoff 方程^[8]在一般形式下的稳态方程. 近年来, 关于形如方程 (1.1) 的 Kirchhoff 型椭圆方程已有许多研究结果, 详见文献[3-5,9,10,12,14-18,20-25]. 由变分法可知, 方程 (1.1) 的非负弱解, 对应于如下能量泛函 $ I_V:H_V\to\mathbb{R} $

的一个临界点, 其中 $ u\in H_V(\mathbb{R}^3)\triangleq\left\{u|u\in H^1(\mathbb{R}^3),\int_{\mathbb{R}^3}V(x)u^2{\rm d}x<+\infty\right\} $. 由强极大值原理可知, 该解实际也是方程 (1.1) 的正解.

当 $ b=0 $ 时, 利用山路引理^[1]很容易得到 $ p\in(1,5) $ 时, 方程 (1.1) 在径向对称空间 $ H_r^1(\mathbb{R}^3)=\{u\in H^1(\mathbb{R}^3)|u(x)=u(|x|)\} $ 中有非平凡解. 而当 $ b>0 $ 时, 由于 Kirchhoff 型非局部项 $ b\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u|^2{\rm d}x $ 的存在, 因此当 $ p\in(1,3) $ 时我们不能证明 (PS) 序列的有界性, 所以无法再按照 $ b=0 $ 时的思路直接利用山路引理来得到方程 (1.1) 的非平凡解.

对于带有扰动因子 $ \varepsilon $ 的 Kirchhoff 型方程

Wu^[22]证明了 $ \varepsilon=1 $ 时方程(1.3) 存在非平凡解, 其中 $ V(x)\ge c_1>0 $, 且对任意给定的 $ M>0 $, $ {\rm meas}\{x\in \mathbb{R}^3|V(x)\le M\}<+\infty $ (其中 $ c_1 $ 为常数, meas 表示 Lebesgue 测度); 非线性项 $ f(x,u) $ 满足 Ambrosetti-Rabinowitz 型的条件^[1] (简称 (AR) 型条件), 即

该条件意味着: 当 $ |u|\to+\infty $ 时 $ F(x,u) $ 关于 $ u $ 超 4 次增长. 且

特别地, 如果 $ f(x,u)=|u|^{p-1}u $, 则条件 $ ({\rm AR}_4) $ 蕴含着 $ p>3 $.

He 和 Zou^[6]利用 Nehari 流形证明了方程(1.3) 有正的基态解, 其中 $ \varepsilon>0 $, 位势函数 $ V(x) $ 满足

$ f(x,u)=f(u)\in C^1(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}) $ 满足上述条件 (AR$_4) $,且在 $ 3<p<5 $ 时, $ \lim_{|s|\to+\infty}\frac{f(s)}{|s|^p}=0 $, $ \frac{f(s)}{s^3} $ 对 $ s>0 $ 严格递增.

如果 $ \varepsilon=1 $, 且 $ f(x,u)=f(u) $, 方程 (1.3) 变为

当 $ p\in(1,3) $ 时, 我们可通过选取特殊的测试函数证明方程 (1.4) 的能量泛函 $ I(u) $ 满足山路引理的几何条件, 进而由山路引理可得 $ I(u) $ 的一个 (PS) 序列, 然而这时却缺乏有效手段来证明该 (PS) 序列的有界性. 为此, 人们试图避开应用山路引理来建立方程 (1.4) 在 $ p\in(1,3) $ 时的解. 如: 对于 $ p\in(2,5) $, $ V(x) $ 分别是常数与 $ L^\infty $ 函数, 且 $ f(u)=|u|^{p-1}u $, Li 和 Ye^[11]引入了一个 Nehari-Pohozaev 型流形, 通过在该流形上求约束极小证明了方程(1.4) 存在正的基态解, 其中 $ V(x) $ 满足条件 $ (V_\infty) $, 以及对几乎所有的 $ x\in \mathbb{R}^3 $ 有

成立. 但文献[11]中的方法不适用于 $ p\in(1,2] $ 的情形.

对于 $ p\in(1,5) $, Ye^[24]在文献[6]和[11]的基础上使用了不同于文献[11]的新流形和新的测试函数证明了当 $ V(x) $ 是常数时方程 (1.4) 存在基态解. 而且当 $ V(x) $ 满足 $ \lim_{|x|\to +\infty}V(x) \triangleq V_\infty>0 $, $ (\nabla V(x),x)\le 0 $, 且在正测子集上有 $ (\nabla V(x),x)<0 $ 时, Ye 还证明了方程 (1.4) 至少存在一个高能量解.

Guo^[4]使用与文献[11]相似的方法证明了方程 (1.4) 存在正的基态解. 但为保证 (PS) 序列有界, 文献[4]要求 $ V(x) $ 满足条件 $ (V_\infty) $ 以及

$ f(s)\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) $ 关于 $ s $ 超线性次临界增长, 且$ \frac{f(s)}{s} $ 在 $ (0,+\infty) $ 上严格递增.

Liu 和 Guo^[13]使用了与文献[24]类似的流形和测试函数, 证明了当 $ p\in(1,5) $, $ V(x) $ 为常数, $ f(u) $ 满足

等条件时, 方程 (1.4) 存在正的基态解. 进一步, 如果 $ V(x)\in C(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}) $ 满足 $ \lim_{|x|\to+\infty}V(x)=V_\infty>0 $, 以及

Liu 和 Guo 还证明了方程 (1.4) 存在一个高能量解. 为了保证得到方程(1.4) 的基态解, 文献[4,6,21] 均假设非线性项满足以下条件

Weng, Zhang 和 Zhou^[19]在文献[4,11]的基础上, 通过引入新的技巧, 利用山路引理和 Pohozaev 恒等式证明了方程 (1.4) 在 $ p\in(1,5) $ 时存在一个正的山路解. 其中, 位势函数 $ V(x) $ 仅在 $ p\in (1,3) $ 时要求满足条件

该条件弱于^[11]中的条件 $ (V) $. 文献[19]还证明了方程 (1.4) 存在基态解, 并且当 $ V(x) $ 为常数时方程(1.4) 在 $ H^1(\mathbb{R}^3) $ 上的山路解即为基态解.

本文的目的就是希望将文献[19]关于方程 (1.1) 在 $ Q(x)\equiv 1 $ 的结果推广到 $ Q(x)\not\equiv 1 $ 的一般情形, 即研究如何利用山路引理来证明方程 (1.1) 在 $ Q(x)\not\equiv 1 $ 时对 $ p\in(1,5) $ 有解. 为此, 我们选取带权的 Sobolev 空间

并定义 $ H_V $ 上的范数为 $ \|u\|_V\triangleq\sqrt{\int_{\mathbb{R}^3}(a|\nabla u|^2+V(x)u^2){\rm d}x} $, 显然, $ \|u\|_1 $ ($ V(x)\equiv 1 $) 即为 $ H_r^1(\mathbb{R}^3) $ 上的经典范数. 同时, 定义 $ |\cdot|_p $ 为 $ L^p(\mathbb{R}^3) $ 范数 $ (1<p\le +\infty) $. 为避免复杂的紧性讨论, 我们选择在 $ H_r^1(\mathbb{R}^3) $ 上讨论方程 (1.1), 为此假设 $ V(x) $ 和 $ Q(x) $ 均为径向对称函数. 本文关于 $ V(x) $ 和 $ Q(x) $ 的假设条件如下

$ (V_1) $$ V(x)\in C^1(\mathbb{R}^3)\cap L^\infty(\mathbb{R}^3) $, 存在$ l>0 $, 使得 $ V(x)=V(|x|)\ge l $, $ (\nabla V(x),x)\in L^\infty(\mathbb{R}^3)\cup L^{\frac{3}{2}}(\mathbb{R}^3) $ ;

$ (Q_1) $$ Q(x)\in C^1(\mathbb{R}^3)\cap L^\infty(\mathbb{R}^3) $, 存在$ h>0 $, 使得 $ Q(x)=Q(|x|)\ge h $ ;

$ (Q_2) $$ (\nabla Q(x),x)\in L^\infty(\mathbb{R}^3) $, 且对几乎所有的 $ x\in\mathbb{R}^3 $, 有 $ (p+7)Q(t^2x)+2(\nabla Q(t^2x),t^2x) $

对 $ t>0 $ 严格递增.

由条件 $ (V_1) $ 我们知道范数 $ \|\cdot\|_V $ 与 $ \|\cdot\|_1 $ 实际上是等价的, 从而 $ H_V(\mathbb{R}^3)\hookrightarrow L^p(\mathbb{R}^3)$$(2\le p\le 5) $, 且该嵌入在 $ p\in(2,5) $ 时是紧的. 本文主要结果如下

定理1.1 若条件 $ (V_1), (Q_1) $ 成立, 并且下面的条件 $ (VQ_1) $ 或 $ (VQ_2) $ 任意一个条件成立

$ (VQ_1) $$ \frac{p-1}{3-p}V(x)-(\nabla V(x),x)\ge 0 $, $ p\in (1,3) $, 且 $ (\nabla Q(x),x)\ge 0 $ ;

$ (VQ_2) $$ (\nabla V(x),x)\le 0 $, 且 $ \frac{p-1}{2}Q(x) + (\nabla Q(x),x)\ge 0 $, $ p\in(1,3) $.

则对 $ p\in(1,5) $, 方程 (1.1) 在 $ H_r^1(\mathbb{R}^3) $ 上存在正的山路解.

注1.1 由上述假设条件可知, 我们允许 $ V(x)\equiv l $, 且 $ Q(x) $ 可为任意常数, 并且当 $ V(x) $ 和 $ Q(x) $ 均为常数时, 条件 $ (VQ_1) $ 和 $ (VQ_2) $ 均自然成立. 设 $ f(x,u)=Q(x)|u|^{p-1}u(1<p<5) $, 则 $ F(x,u)=\frac{1}{p+1}Q(x)|u|^{p+1} $. 由于 $ p>1 $, 则有 $ 0\le 2F(x,u)\le (p+1)F(x,u)\le uf(x,u) $ 即上述 $ (AR_2) $ 条件成立. 但是当 $ 1<p<3 $ 时, 有 $ p+1<4 $, 故 $ f(x,u) $ 不满足前面的条件 $ (AR_4) $.

注1.2 通过对比条件 $ (VQ_1) $ 和 $ (VQ_2) $ 不难发现, 为得到方程 (1.1) 的山路解, 当 $ V(x) $ 的条件减弱时, $ Q(x) $ 的条件则需加强.

我们称 $ u\in H_r^1(\mathbb{R}^3) $ 是方程 (1.1) 的基态解, 是指对方程 (1.1) 的任意弱解 $ w $, 均有 $ I_V(u)\le I_V(w) $, 即 $ u=\inf\{u\in H_r^1(\mathbb{R}^3)|I_V'(u)=0\} $.

定理1.2 若定理 1.1 的条件成立, 则对 $ p\in(1,5) $, 方程 (1.1) 在 $ H_r^1(\mathbb{R}^3) $ 上存在一个基态解.

若 $ Q(x)\equiv1 $, 且条件 $ (V_1), (VQ_1) $ 成立, 定理 1.2 就是文献[19,定理 1.2]. 若 $ Q(x)\not\equiv1 $, 我们尚不清楚此处得到的基态解是否与定理 1.1 的山路解相同, 但对于 $ V(x)\equiv1 $, 我们有以下结果.

定理1.3 若 $ V(x)\equiv1 $, 条件 $ (Q_1), (Q_2) $ 成立, 且条件 $ (VQ_1) $ 或 $ (VQ_2) $ 成立, 则对 $ p\in(1,5) $, 方程 (1.1) 在 $ H_r^1(\mathbb{R}^3) $ 上的山路解即为基态解.

注1.3 现给出两个满足定理 1.1 条件和一个满足定理的 1.3 条件例子.

例1 对 $ V_0\ge l>0 $, 设 $ V(x) = V_0+\frac{k}{1+|x|^\sigma} $, 则有$ (\nabla V(x),x) = -\frac{\sigma k|x|^\sigma}{(1+|x|^\sigma)^2} $, 其中 $ \sigma=\frac{p-1}{3-p} $, $ p\in(1,3) $, $ k\in\mathbb{R} $. 显然, $ V(x)=V(|x|)\in C^1(\mathbb{R}^3)\cap L^\infty(\mathbb{R}^3) $, $ (\nabla V(x),x)\in L^\infty(\mathbb{R}^3) $. 且

令 $ t=1+r^\sigma $, 则 $ r=(t-1)^{\frac{1}{\sigma}} $, $ t\in[1,+\infty) $,

由于 $ \frac{(t-1)^{\frac{3}{2}}}{t^3}\le \frac{t^{\frac{3}{2}}}{t^3} = \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} $, 故积分$ \int_{0}^{+\infty}\frac{r^{\frac{3\sigma}{2}}}{(1+r^\sigma)^3}\cdot r^2{\rm d}r $ 有限, 进而 $ (\nabla V(x),x)\in L^{\frac{3}{2}}(\mathbb{R}^3) $.

当 $ k\ge0 $ 时, 显然 $ V(x)>V_0\ge l>0 $, $ (\nabla V(x),x)\le 0 $, 此时 $ V(x) $ 满足条件 $ (V_1) $ 及 $ (VQ_1) $ 中关于 $ V(x) $ 的条件. 由于 $ V(x)\ge \underset{|x|\to +\infty}{\lim}V(x)=V_0 $, 故不满足条件 $ (V_\infty) $.

当 $ k<0 $, $ V_0\ge l-k $ 时, 此时有 $ (\nabla V(x),x)>0 $. 由于 $ V(x)=V_0+\frac{k}{1+|x|^\sigma}\ge l $, 故 $ V(x) $ 满足条件 $ (V_1) $. 又

故 $ \frac{p-1}{3-p}V(x)-(\nabla V(x),x)\ge 0 $, 此时 $ V(x) $ 满足条件 $ (VQ_1) $ 中关于 $ V(x) $ 的条件. 现取 $ V_0=l-k $, 则

当 $ p\in(2,3) $, $ |x|^\sigma>\frac{2(p-2)}{3-p} $ 时, 有$ V(x)-(\nabla V(x),x)<0 $, 故 $ V(x) $ 不满足条件 $ (V) $, 类似可得 $ V(x) $ 不满足条件 $ (V_\mu) $. 当 $ \sigma\in(0,2) $ 时, 即 $ p\in(0,\frac{7}{3}) $ 时, 不存在 $ A<a $, 使得 $ |(\nabla V(x), x)|\le \frac{A}{2|x|^2} $, 故此时不满足条件 $ (V_a) $.

令 $ Q(x) = 2 - \frac{1}{1+|x|}> 0 $, 则 $ (\nabla Q(x),x) = \frac{|x|}{(1+|x|)^2}\ge 0 $. 显然, $ Q(x)=Q(|x|)\ge 1>0 $, $ Q(x)\in C^1(\mathbb{R}^3)\cap L^\infty(\mathbb{R}^3) $, 且 $ (\nabla Q(x),x)\in L^\infty(\mathbb{R}^3) $. 故 $ Q(x) $ 满足条件 $ (Q_1) $ 和 $ (VQ_1) $ 中关于 $ Q(x) $ 的条件.

例2 令 $ V(x)=\frac{1}{1+|x|^3}+l\ge l $, 则 $ V(x)=V(|x|)\in C^1(\mathbb{R}^3)\cap L^\infty(\mathbb{R}^3) $, $ (\nabla V(x),x)=-\frac{3|x|^3}{(1+|x|^3)^2}<0 $, 类似例 1 可得 $ (\nabla V(x),x)\in L^\infty(\mathbb{R}^3)\cup L^{\frac{3}{2}}(\mathbb{R}^3) $. 因此 $ V(x) $ 满足条件 $ (V_1) $ 和 $ (VQ_2) $ 中关于 $ V(x) $ 的条件.

令$Q(x) = Q_1 + \frac{k}{1+|x|},\quad x\in\mathbb{R}^3,$

其中 $ Q_1>0 $, $ k\in[\frac{1-p}{2}Q_1,(p-1)Q_1] $, $ p\in(1,3) $, 则有 $ Q(x)\in C^1(\mathbb{R}^3)\cap L^\infty(\mathbb{R}^3) $, $ Q(x)=Q(|x|)\ge\not\equiv 0 $, $ (\nabla Q(x),x) = -\frac{k|x|}{(1+|x|)^2}\in L^\infty(\mathbb{R}^3) $.

当 $ k\ge 0 $ 时,

当 $ k<0 $ 时,

故 $ Q(x) $ 满足条件 $ (Q_1) $ 和 $ (VQ_2) $ 中 $ Q(x) $ 的条件.

例3 令 $ Q(x)=2-\frac{1}{1+|x|} $, 则 $ (\nabla Q(x),x)=\frac{|x|}{(1+|x|)^2} $. 由例 1 可知 $ Q(x) $ 满足条件 $ (Q_1) $. 现用 $ t^2x $ 代替 $ x $, 其中 $ t>0 $, 求导计算可得

故 $ Q(x) $ 满足条件 $ (Q_2) $.

引理2.1 ([11,引理 2.1]) 假设 $ V(x) $ 满足条件 $ (V_1) $, $ Q(x) $ 满足条件 $ (Q_1) $. 若 $ u\in H_r^1(\mathbb{R}^3) $ 是方程 (1.1) 的弱解, 则有如下的 Pohozaev 恒等式成立

引理2.2 对泛函 $ I_V $, 若 $ p\in(1,5) $, $ V(x) $ 满足条件 $ (V_1) $, $ Q(x) $ 满足条件 $ (Q_1) $, 则

(i) 存在 $ \alpha>0 $, $ \rho>0 $, 使得对任何 $ u\in H_V(\mathbb{R}^3) $, 有 $ I_V(u)|_{\|u\|_V=\rho}\ge \alpha>0 $ ;

(ii) 对 (i) 中的 $ \rho>0 $, 存在 $ e\in H_V(\mathbb{R}^3) $, $ \|e\|_V>\rho $, 使得 $ I_V(e)<0 $.

证 (i) 由 Sobolev 不等式和 H$ \ddot{\rm o} $lder 不等式可知, 存在充分小的 $ \rho>0 $, $ \alpha>0 $, 使得对满足 $ \|u\|_V=\rho $ 的 $ u\in H_V(\mathbb{R}^3) $, 有

(ii) 取 $ u\in H_V(\mathbb{R}^3)\setminus \{0\} $, $ t>0 $, 令 $ u_t=tu(t^{-2}x) $, 则有

由于 $ p\in(1,5) $, $ p+7>8 $, 由条件 $ (Q_1) $ 可知, 对几乎所有的 $ x\in\mathbb{R}^3 $, 当 $ t\to +\infty $ 时,

故当 $ t\to +\infty $ 时, 有 $ I_V(u_t)\to-\infty $. 现取充分大的 $ t_0>0 $, 使得 $ \|u_{t_0}\|_V>\rho $, 令 $ e=u_{t_0} $, 则有 $ I_V(e)<0 $.

现定义

其中 $ \Gamma=\{\gamma(t)\in C([0, 1],H_V(\mathbb{R}^3))|\gamma(0)=0,I_V(\gamma(1))<0\},c\ge \alpha>0 $.

对于参数 $ \lambda>0 $, 我们定义泛函

其中 $ u\in H_V(\mathbb{R}^3) $, 且 $ I_\lambda(u) $ 的临界点是如下方程的正解

关于泛函 $ I_\lambda $ 我们有

引理2.3 若 $ p\in(1,5) $, $ V(x) $ 满足条件 $ (V_1) $, $ Q(x) $ 满足条件 $ (Q_1) $, 则

(i) 对所有的 $ \lambda\in[\frac{1}{2},1] $, 存在与 $ \lambda $ 无关的 $ \alpha_0>0 $, $ \rho_0>0 $, $ e\in H_V(\mathbb{R}^3) $, 且 $ \|e\|_V>\rho_0 $, 使得

(ii) 令 $ \Gamma=\{\gamma\in C([0, 1],H_V(\mathbb{R}^3))|\gamma(0)=0,I_\lambda(\gamma(1))<0\} $, 则对所有的 $ \lambda\in[\frac{1}{2},1] $,

进一步, $ 0<\alpha_0\le c_\lambda\le c_{\frac{1}{2}} $, 该不等式不依赖于 $ \lambda $.

证 (i) 显然, 当 $ \lambda\le 1 $ 时, $ I_\lambda(u)\ge I_\lambda(u)|_{\lambda=1}=I_V $. 则由引理 2.2 可知存在与 $ \lambda $ 无关的 $ \alpha_0 $ 和 $ \rho_0 $, 使得对所有满足 $ \|u\|_V=\rho_0 $ 的 $ u\in H_V(\mathbb{R}^3) $, 有 $ I_\lambda(u)\ge I_\lambda(u)|_{\lambda=1}\ge \alpha_0>0 $;

对 $ t>0 $, 令 $ u_t=tu(t^{-2}x) $, 对 $ \lambda\ge\frac{1}{2} $, 类似于引理 2.2(ii) 的证明, 有

由 $ p+7>8 $ 以及条件 $ (Q_1) $ 可得, 存在充分大的 $ t_0>0 $, 有 $ e_0\triangleq u_{t_0}\in H_V(\mathbb{R}^3) $, $ \|e_0\|_V>\rho_0 $, 使得 $ I_\lambda(\gamma(1))<0 $, 其中 $ \gamma(1)=e_0 $.

(ii) 对于(2.5)定义的 $ c_\lambda $, 由 (i) 可知, 对所有的 $ \lambda\in[\frac{1}{2},1] $, 因 $ I_\lambda(0)=0 $, $ I_\lambda(\gamma(1))<0 $, 故

进一步, 由 $ I_\lambda $ 和 $ c_\lambda $ 的定义不难发现, $ c_\lambda\le c_\frac{1}{2} $.

引理2.4 ([7,定理 2.3]) $ (X, \|\cdot\|) $ 是一个 Banach 空间, $ T\subset\mathbb{R}^+ $. 对于一族 $ X $ 上的 $ C^1 $ 泛函

其中 $ B(u)\ge 0 $, 且对于 $ \|u\|\to +\infty $, 要么 $ A(u)\to+\infty $, 要么 $ B(u)\to+\infty $. 假设存在 $ v_1,v_2\in X $ 使得

其中

则对几乎所有的 $ \lambda \in T $, 存在一个序列 $ \{w_n\}\subset X $, 使得

(i) 序列 $ \{w_n\} $ 有界;

(ii) $ I_\lambda(w_n)\to c_\lambda $;

(iii) $ I'_\lambda(w_n)\to 0 $;

(iv) 映射 $ \lambda\to c_\lambda $ 左连续.

定理2.1 对 $ p\in(1,5) $, 假设 $ V(x) $ 满足条件 $ (V_1) $, $ Q(x) $ 满足条件 $ (Q_1) $, 则存在一个序列 $ \{\lambda_j\}\subset[\frac{1}{2},1] $, 且 $ j\to+\infty $, $ \lambda_j\to 1^- $, 使得对每个 $ \lambda_j $, 方程 (2.4) 在 $ \lambda=\lambda_j $ 时有一个正的山路解 $ u_j\in H_V(\mathbb{R}^3)$.

证 取 $ X=H_V(\mathbb{R}^3) $, $ T=[\frac{1}{2},1] $,

显然, 当 $ \|u\|_V\to+\infty $ 时, $ A(u)\to+\infty $. 由 ($ Q_1 $) 可得 $ B(u)\ge 0 $, 泛函 $ I_\lambda(u)=A(u)-\lambda B(u) $. 记 $ v_1=0 $, $ v_2=e $, 则由引理 2.4 可知存在 $ \{\lambda_j\}\subset[\frac{1}{2},1] $, $ \lambda_j\to 1^- $, 使得对每个 $ \lambda_j $, 存在泛函 $ I_{\lambda_j} $ 的有界 $ (PS)_{c_{\lambda_j}} $ 序列 $ \{u_n^j\}\subset H_V(\mathbb{R}^3) $, i.e.

由文献[2]可知, 当 $ p\in (1,5) $ 时, $ H_V(\mathbb{R}^3) $ 紧嵌入 $ L^p(\mathbb{R}^3) $, 而 $ \{u^j_n\} $ 在 $ H_V(\mathbb{R}^3) $ 中关于 $ n $ 一致有界, 故存在 $ u_j\in H_V(\mathbb{R}^3) $ 及常数 $ K_j\ge 0 $, 使得

由于 $ \langle I_{\lambda_j}'(u_n^j),u_n^j\rangle \to 0 $, 即

令$T_n^j\triangleq a\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_n^j|^2{\rm d}x +\int_{\mathbb{R}^3}V(x)(u_n^j)^2{\rm d}x +bK_j\int_{\mathbb{R}^3}| \nabla u_n^j|^2{\rm d}x -\lambda_j\int_{\mathbb{R}^3}Q(x)| u_n^{j+}|^{p+1}{\rm d}x. $

由 (2.10), (2.11) 式可得

另一方面, $ \langle I_{\lambda_j}'(u_n^j),u_j\rangle \to 0 $, 即

类似可得

由 (2.8) 与 (2.9) 式得,

且 $ T_n^j-T_j = \|u_n^j\|_V^2-\|u_j\|_V^2 $

由于在 $ L^q(\mathbb{R}^3) $ 中有强收敛 $ (u_n^j)^+\stackrel{n}{\longrightarrow}(u_j)^+ $, 从而 $ \int_{\mathbb{R}^3}Q(x)|u_n^{j+}|^{p+1}{\rm d}x\stackrel{n}{\longrightarrow}\int_{\mathbb{R}^3}Q(x)|u_j^+|^{p+1}{\rm d}x,$

故

由范数的弱下半连续可知

而 $ K_j\ge0 $, 故由 (2.12) 式得

故在 $ H_V(\mathbb{R}^3) $ 中 $ u_n^{j+}\stackrel{n}{\to}u_j^+ $. 于是由 (2.6) 与 (2.7) 式可得

这表明 $ u_j\not\equiv0 $ 是方程 (2.4) 在 $ H_V(\mathbb{R}^3) $ 上的一个山路解. 进一步, 由于 $ \langle I_V'(u_j), u_j^-\rangle =0 $, 所以 $ u_j^-\equiv 0 $, 故 $ u_j\ge 0 $, 从而由强极大值原理可知 $ u_j>0 $.

本节将对定理 1.1-1.3 进行证明.

引理3.1 假设 $ V(x) $ 满足条件 $ (V_1) $, $ Q(x) $ 满足条件 $ (Q_1) $, 设 $ u_j\in H_V(\mathbb{R}^3) $ 是由方程 (2.4) 在 $ \lambda=\lambda_j $ 时的一个正解, 其中 $ j\in \mathbb{N} $. 如果条件 $ (VQ_1) $ 或 $ (VQ_2) $ 任意一个条件成立, 则序列 $ \{u_j\}\in H_V(\mathbb{R}^3) $ 关于指标 $ j $ 一致有界.

证 由定理 2.1 知

其中 $ c_{\lambda_j} $ 由引理 2.4 给出, 且 $ c_{\lambda_j}\le c_{\frac{1}{2}} $. 则由 $ I_\lambda $ 的定义, $ I_\lambda(u_j)=c_{\lambda_j},\langle I_\lambda'(u_j),u_j\rangle =0 $ 以及引理 2.1, 有

下证序列 $ \{u_j\} $ 在 $ H_r^1(\mathbb{R}^3) $ 中关于指标 $ j $ 一致有界. 为此, 我们分两种情况讨论

(1) 当 $ p\in[3,5) $ 时, 此时 $ p+1\ge 4 $, $ \frac{1}{p+1}\le \frac{1}{4} $. 通过计算 $ (3.1)-(3.2)\times \frac{1}{p+1} $ 可得

此时对每个 $ j\in\mathbb{N} $, $ \|u_j\|_V $ 是有界的, 即序列 $ \{u_j\} $ 有界;

(2) 当 $ p\in(1,3) $ 时, 此时不好直接证明序列 $ \{u_j\} $ 在$ H_r^1(\mathbb{R}^3) $ 中关于指标 $ j $ 一致有界. 我们将分别证明 $ \{\int_{\mathbb{R}^3}| \nabla u_j|^2{\rm d}x\} $ 和 $ \{\int_{\mathbb{R}^3}V(x)u_j^2{\rm d}x\} $ 的有界性进而得到 $ \{u_j\} $ 在 $ H_r^1(\mathbb{R}^3) $ 中有界. 具体证明如下

首先证明 $ \{\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_j|^2{\rm d}x\} $ 有界.当条件 $ (VQ_1) $ 成立时, 通过计算 $ (3.1)\times (20-4p) - (3.2)\times 2 + (3.3)\times (2p-6) $ 可得

由条件 $ (VQ_1) $ 以及 $ p<3 $ 可得

故 $ \{\int_{\mathbb{R}^3}| \nabla u_j|^2{\rm d}x\} $ 关于指标 $ j $ 一致有界.

当条件 $ (VQ_2) $ 成立时, 通过计算 $ (3.1)\times 8-(3.2)-(3.3)\times 2 $ 可得

则由条件 $ (VQ_2) $ 可得

故 $ \{\int_{\mathbb{R}^3}| \nabla u_j|^2{\rm d}x\} $ 关于指标 $ j $ 一致有界.

综上, 如果条件 $ (VQ_1) $ 或 $ (VQ_2) $ 任意一个条件成立, 则 $ \{\int_{\mathbb{R}^3}| \nabla u_j|^2{\rm d}x\} $ 关于指标 $ j $ 一致有界.

下证 $ \{\int_{\mathbb{R}^3}V(x)u_j^2{\rm d}x\} $ 有界. 用反证法, 现假设 $ \int_{\mathbb{R}^3}V(x)u_j^2{\rm d}x\stackrel{j}{\to}+\infty $, 不妨设对所有的 $ j\in \mathbb{N} $, 有 $ \int_{\mathbb{R}^3}V(x)u_j^2{\rm d}x>0 $, 记

则对 (3.1) 式和 (3.2) 式的两边分别除以 $ \int_{\mathbb{R}^3}V(x)u_j^2{\rm d}x $, 可得

由于 $ \{\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_j|^2{\rm d}x\} $ 和 $ \{c_{\lambda_j}\} $ 有界且 $ \int_{\mathbb{R}^3}V(x)u_j^2{\rm d}x\stackrel{j}{\to}+\infty $, 则有

其中 $ o(1)\stackrel{j}{\to}0 $. 由于 $ p>1 $, 显然 (3.4) 式与 (3.5) 式矛盾, 故 $ \{\int_{\mathbb{R}^3}V(x)u_j^2{\rm d}x\} $ 有界. 因此, 当 $ p\in(1,3) $ 时, 序列 $ \{u_j\} $ 在 $ H_V(\mathbb{R}^3) $ 上关于指标 $ j $ 一致有界.

综上, 当 $ p\in(1,5) $ 时, 序列 $ \{u_j\} $ 在 $ H_V(\mathbb{R}^3) $ 上有界.

定理1.1的证明 由定理 2.1 和引理 3.1 可知, 存在 $ \{\lambda_j\}\subset[\frac{1}{2},1] $ 满足 $ j\to\infty $ 时 $ \lambda_j\to 1^- $, 以及有界序列 $ \{u_j\}\subset H_V(\mathbb{R}^3) $, 使得

由于 $ \{u_j\} $ 在 $ H_V(\mathbb{R}^3) $ 中有界, $ H_V(\mathbb{R}^3)\hookrightarrow L^q(\mathbb{R}^3) $ 在 $ q\in(1,5) $ 时是紧嵌入, 则存在 $ u_0\in H_V(\mathbb{R}^3) $, 使得

由 (3.6) 式可得 $ u_j(x)=u_j^+(x) $, $ \langle I_{\lambda_j}'(u_j),u_j\rangle =0 $, $ \langle I_{\lambda_j}'(u_j),u_0\rangle =0 $, 即

由于 $ \{\int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_j|^2{\rm d}x\} $ 在 $ \mathbb{R}^+ $ 上有界, 不妨设 $ \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_j|^2{\rm d}x\stackrel{j}{\to }K\ge 0 $. 则类似于定理 2.1 的证明, 我们有

结合 (3.7)-(3.11) 式, 有

则由 (3.10) 式和 (3.12) 式可得, $ \|u_j\|_V^2\stackrel{j}{\to }\|u_0\|_V^2 $, $ \lambda_j\stackrel{j}{\to }1 $. 由 (3.9) 式可得

因此在 $ H_V(\mathbb{R}^3) $ 中 $ u_j\stackrel{j}{\to}u_0 $. 进一步, 由引理 2.2 和2.4(iv), 有

进而 $ u\in H_V(\mathbb{R}^3) $ 是 $ \lambda_j=1 $ 时方程 (2.4) 的一个非平凡山路解, 即方程 (1.1) 的一个非平凡山路解. 再由强极大值原理可知 $ u_0 $ 是方程 (1.1) 的正解.

定理 1.1 告诉我们方程 (1.1) 有正的山路解, 而且当 $ Q(x)\equiv 1 $ 时, 文献[19]证明了方程 (1.1) 有基态解. 下面我们将对 $ Q(x)\not\equiv 1 $ 时方程 (1.1) 的基态解存在性进行证明. 令方程 (1.1) 所有弱解的集合为 $ \mathcal{N}\triangleq\{u\in H_V(\mathbb{R}^3)\setminus \{0\}| I_V'(u)=0\}.$

定理1.2的证明 由定理 1.1 可知 $ u_0\in \mathcal{N} $, 故 $ \mathcal{N}\not=\emptyset $, 并且 $ I_V $ 在 $ \mathcal{N} $ 上非负. 因为, 若 $ u\in \mathcal{N} $, 则 $ I_V'(u)=0 $. 故有

下面我们分为两种情形证明 $ I_V|_\mathcal{N}\ge 0 $.

(1) $ p\in(1,3) $ 时, 如果条件 $ (VQ_1) $ 成立, 由于 $ p<3 $, 通过计算 $ (3.13)\times (20-4p) - (3.14)\times 2 +(3.15)\times (2p-6) $ 可得

如果条件 $ (VQ_2) $ 成立, 通过计算 $ (3.13)\times 8-(3.14)-(3.15)\times 2 $ 可得

(2) $ p\in[3,5) $ 时, 通过计算 $ (3.13)-(3.14)\times \frac{1}{p+1} $ 可得

故 $ I_V|_\mathcal{N}\ge 0 $.

现定义

显然, $ m\ge 0 $. 现证明 $ m $ 可达, 即存在 $ u_1\in \mathcal{N} $, 使得 $ I_V(u_1)=m $, 从而 $ u_1\in H_V(\mathbb{R}^3) $ 是方程(1.1) 的基态解. 设 $ \{u_n\}\subset\mathcal{N} $ 是 $ m $ 的极小化序列, 即

则 $ \{u_n\} $ 满足 (3.13)-(3.15) 式, 类似于引理 3.1 的证明可证 $ \{u_n\} $ 在 $ H_V(\mathbb{R}^3) $ 中有界. 因此存在 $ u_1\in H_V(\mathbb{R}^3) $, 使得

类似于定理 1.1 的证明, 由 $ \langle I_V'(u_n),u_n\rangle =0 $, $ \langle I_V'(u_n),u_1\rangle =0 $ 得 $ \{u_n\} $ 在 $ H_V(\mathbb{R}^3) $ 中强收敛于 $ u_1 $, 进而

下证 $ u_1\not\equiv0,\ m>0 $. 事实上由于 $ u_n\in\mathcal{N} $, 则存在与$ n $ 无关的 $ \tau>0 $, 使得 $ \|u_n\|\ge \tau $, 因此 $ u_1\not\equiv0 $, 且$ \int_{\mathbb{R}^3}|\nabla u_1|^2{\rm d}x\not=0 $. 由 $ m $ 的定义可知, $ m\not\equiv0 $, 因此 $ u_1 $ 是方程 (1.1) 的基态解.

最后对定理 1.3 中 $ V(x)\equiv1 $ 的特殊情况进行讨论, 即考虑如下方程

此时 $ H_V(\mathbb{R}^3)=H_r^1(\mathbb{R}^3) $. 定理 1.3 将证明上述情况下定理 1.1 得到的山路解即为基态解. 该情况下, 能量泛函 $ I_V=I_1 $ 可写成

则有结论: 如果 $ u\in H_r^1(\mathbb{R}^3)\setminus\{0\} $ 满足 $ I_1'(u)=0 $, 则 $ u $ 是方程(3.16) 的一个弱解. $ u $ 满足 Pohozaev 恒等式

现定义

其中,

引理3.2 对任意给定的 $ u\in H_r^1(\mathbb{R}^3)\setminus \{0\} $, $ t>0 $, 令$ u_t\triangleq tu(t^{-2}x) $. 如果条件 $ (Q_2) $ 成立, 则存在唯一的 $ \bar{t} $, 使得 $ u_{\bar{t}}\in \mathcal{M} $, $ I_1(u_{\bar{t}})=\underset{t>0}{\max}I_1(u_t) $.

证 对任意给定的 $ u\in H_r^1(\mathbb{R}^3)\setminus \{0\} $,

令 $ f(t)\triangleq I_1(u_t) $, 则由 $ I_V $ 的山路结构可知, 当 $ t>0 $ 充分小时, $ f(t)>0 $ ; $ t>0 $ 充分大时, $ f(t)<0 $, 从而至少存在 $ \bar{t} $, 使得 $ f'(\bar{t})=0 $. 由 (3.19) 式和 (3.20) 式, 有 $ G(u_t)=tf'(t)\ (t>0) $, 且 $ G(u_t)=0\Leftrightarrow f'(t)=0 $.

下证 $ \bar{t}>0 $ 是 $ f(t) $ 的唯一最大值点. 假设存在 $ \widetilde{t}>0 $ 也是 $ f(t) $ 的最大值点, 即 $ f'(\widetilde{t})=0 $, $ G(u_{\widetilde{t}})=0 $, 不妨设 $ \bar{t}>\widetilde{t}>0 $, 则由条件 $ (Q_2) $ 有

矛盾, 故 $ \bar{t}>0 $ 唯一, 且 $ f(\bar{t})=\underset{t>0}{\max}f(t) $. 由于 $ G(u_{\bar{t}})=0 $, 所以 $ u_{\bar{t}}\in \mathcal{M} $.

对于引理 3.2 给出的 $ u_t $, 令

由 $ I_1(u) $, $ G(u) $ 的定义, 可得

故对 $ u\in\mathcal{M} $, 有 $ I_1(u)\ge 0 $.

令

定理1.3的证明 由 (2.2) 式和定理 1.1 知,

其中 $ u_0 $ 是方程(3.16) 的山路解,

下证 $ c_1=c_2=c_3 $. 由 (3.20) 式知, 存在充分大的 $ t_0>0 $ 使得 $ I_1(u_{t_0})<0 $. 令 $ \bar{\gamma}(t):=u_{t_0t} $, 则显然 $ \bar{\gamma}(0)=0 $, $ I_1(\bar{\gamma}(1))<0 $, 故 $ \bar{\gamma}\in\Gamma $, 且

因此 $ c_2\ge c_1 $.

另一方面, 由 Sobolev 嵌入定理、H$\ddot{\rm o}$lder 不等式及条件 $ (Q_1) $ 和$ (Q_2) $ 可知, 存在 $ \alpha_1>0 $, $ C>0 $, 以及充分小的 $ \rho_1>0 $, 使得 $ \|u\|_1=\rho_1 $ 时

由 (3.22) 式, 可得当 $ I_1(u)<0 $ 时 $ G(u)<0 $, 故对任意给定的 $ \gamma\in \Gamma $, $ G(\gamma(0))=0 $, $ G(\gamma(1))<0 $, 这意味着 $ \gamma $ 穿过了 $ \mathcal{M} $. 因此

不等号两端对 $ \gamma $ 取下确界得

由引理 3.2, 对 $ u\in\mathcal{M}\subset H_r^1(\mathbb{R}^3) $, 存在唯一的 $ \bar{t}>0 $, 使得 $ u_{\bar{t}}\in\mathcal{M} $, $ I_1(u_{\bar{t}})=\underset{t>0}{\max}I_1(u_t) $. 由于 $ u_t|_{t=1}=u(x)\in\mathcal{M} $ 以及 $ \bar{t}>0 $ 的唯一性, 有 $ \bar{t}=1 $. 故

综上, $ c_3\le c_1\le c_2\le c_3 $, 故 $ c_1=c_2=c_3 $. 最后只需证 $ I_1(u_0)=c_1=m $, 其中

由于 $ I_1'(u_0)=0 $, 所以有 $ c_1=I_1(u_0)\ge m $. 另一方面, $ u_0\in\mathcal{M} $, 则

故 $ c_1=m $.