数学物理学报, 2025, 45(4): 1077-1085

带阻尼Boussinesq方程的一类大初值整体光滑解

朱伟鹏,1,*, 李金禄,2, 吴星,3

1佛山大学数学学院 广东佛山 528000

2赣南师范大学数学与计算机科学学院 江西赣州 341000

3河南农业大学信息与管理科学学院 郑州 450002

Global Smooth Solutions of the Damped Boussinesq Equations with a Class of Large Initial Data

Zhu Weipeng,1,*, Li Jinlu,2, Wu Xing,3

1School of Mathematics, Foshan University, Guangdong Foshan 528000

2School of Mathematics and Computer Sciences, Gannan Normal University, Jiangxi Ganzhou 341000

3College of Information and Management Science, Henan Agricultural University, Zhengzhou, 450002

通讯作者: *E-mail: mathzwp2010@163.com

收稿日期: 2024-02-26   修回日期: 2024-10-15  

基金资助: 国家自然科学基金(12201118)
国家自然科学基金(12161004)
赣鄱俊才支持计划——主要学科学术和技术带头人培养项目(20232BCJ23009)

Received: 2024-02-26   Revised: 2024-10-15  

Fund supported: NSFC(12201118)
NSFC(12161004)
Training Program for Academic and Technical Leaders of Major Disciplines in Ganpo Jun-cai Support Program(20232BCJ23009)

作者简介 About authors

E-mail:lijinlu@gnnu.edu.cn;

ny2008wx@163.com

摘要

无粘性 Boussinesq 方程的全局正则性问题是数学领域的一个公开问题. 为了探究此问题, 该文研究了带阻尼的 Boussinesq 方程, 并分析了阻尼效应对解的正则性的影响. 特别地, 考虑了带阻尼 Boussinesq 方程在一类任意大 $L^\infty$ 范数的初值条件下的全局存在性. 通过带阻尼的 Boussinesq 方程的结构特性和其线性化方程解的指数衰减性质, 得到了全局光滑解的存在唯一性.

关键词： Boussinesq 方程; 整体存在性; 大初值

Abstract

The global regularity problem concerning the inviscid Boussinesq equations remains an open problem. In an attempt to understand this problem, we examine the damped Boussinesq equations and study how damping affects the regularity of solutions. In this paper, we consider the global existence to the damped Boussinesq equations with a class of large initial data, whose $L^\infty$ norm can be arbitrarily large. The idea is splitting the linear Boussinesq equations from the damped Boussinesq equations, the exponentially decaying solution of the former equations together with the structure of the Boussinesq equations help us to obtain the global smooth solutions.

Keywords： Boussinesq equations; global existence; large initial data

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本文引用格式

朱伟鹏, 李金禄, 吴星. 带阻尼Boussinesq方程的一类大初值整体光滑解[J]. 数学物理学报, 2025, 45(4): 1077-1085

Zhu Weipeng, Li Jinlu, Wu Xing. Global Smooth Solutions of the Damped Boussinesq Equations with a Class of Large Initial Data[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(4): 1077-1085

1 引言

本文研究如下带阻尼项的不可压缩 Boussinesq 方程的整体光滑解

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} \partial_tu+u\cdot\nabla u+\nu u+\nabla p=\theta e_d,& x\in \mathbb{R}^d,t>0,\\ \partial_t\theta+u\cdot\nabla \theta +\lambda \theta=0,& x\in \mathbb{R}^d,t>0,\\ \text{div} u=0,& x\in \mathbb{R}^d,t\geq0,\\ (u,\theta)|_{t=0}=(u_0,\theta_0),& x\in \mathbb{R}^d,\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

这里未知向量函数 $u$ 表示速度场, 标量函数 $p$ 和 $\theta$ 分别表示压力和温度. 正常数 $\nu, \lambda$ 表示分别粘性系数和热扩散系数, $e_d=(0, 0,\cdots,0,1)^T$.

Boussinesq 方程能够用来模拟造成冷锋和急流的大规模大气和海洋流动[12,14]. 由于它具有类似于三维不可压缩流中的涡旋拉伸效应, 在数学上受到了广泛关注. 当 $\nu u$ 被 $-\nu \Delta u$ 取代, $\lambda \theta$ 被 $-\lambda \Delta \theta$ 取代时, (1.1) 式变为经典的粘性 Boussinesq 方程. 在零热扩散率 ($\nu >0, \lambda=0$) 或零粘性情况 ($\nu =0, \lambda>0$) 下, 二维整体正则性问题已解决[1,3-5,8-10], 而是否存在三维整体正则解仍是未知的. 当 $\nu=0$ 和 $\lambda=0$ 时, (1.1) 式退化为无粘性 Boussinesq 方程. 由于不存在耗散项, 尽管在局部适定性和正则性准则上取得了进展, 但从一般初值演化是否能得到全局解或者有限时间爆破仍未可知[6,7,11,15-17]. 最近, Tao 和 Zhang[16]利用凸积分方法, 得到了无粘性二维 Boussinesq 方程在时间和空间上均具有紧支撑的 Hölder 连续解.

当系统有阻尼项 $\nu u$ 和 $\lambda \theta$ 时, Adhikari 等人[2]证明了初值满足如下条件

$\|\nabla u_0\|_{\dot{B}_{\infty, 1}^0}<\min\{\frac{\nu}{2C}, \frac{\lambda}{C}\}, \qquad \|\nabla \theta_0\|_{\dot{B}_{\infty, 1}^0}<\frac{\nu}{2C}\|\nabla u_0\|_{\dot{B}_{\infty, 1}^0},$

其中 $\dot{B}_{\infty, 1}^0$ 为齐次 Besov 空间, 二维系统 (1.1) 存在唯一的整体小解. 假设初值 $\|\nabla \times u_0\|_{\dot{B}_{\infty, 1}^0}$ 和 $\|\nabla \ \theta_0\|_{\dot{B}_{\infty, 1}^0}$ 适当的小, Wu 等人[18] 进一步改进了结果, 且该结果不仅适用于二维还适用于 $d$ 维, $d\geq 3$.我们感兴趣的是, 在没有小性假设的条件下, 系统 (1.1) 是否具有整体解? 如果无法直接得到整体解, 那么获得一类大初值的整体解将会对于理解该问题有所帮助. 在文献[19]中, Zhai 证明了具有大初始垂直速度分量的带阻尼 Boussinesq 系统的整体适定性. 在本文中, 我们用不同的方法构造了一类大初始速度的整体解. 令 $(U,\Theta)$ 为如下 "线性化带阻尼 Boussinesq 方程" 的解,

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} \partial _t U+\nu U+\nabla p=\Theta e_d,\\ \partial_t \Theta+\lambda\Theta=0,\\ \text{div} U=0,\\ (U,\Theta)|_{t=0}=(U_0,\Theta_{0}).\end{array}\right.\end{eqnarray*}$

(1.2) 式中的第二个方程是关于 $\Theta$ 的一个简单的线性方程, 其解为 $\Theta={\rm e}^{-\lambda t}\Theta_0$. 如果我们借助涡量 $W=\nabla\times U$ 改写方程 (1.2), 则 $W$ 满足

$\begin{eqnarray*}&&2D: \partial_tW+\nu W=\partial_1\Theta,\quad 3D: \partial_tW+\nu W=(\partial_2\Theta, -\partial_1\Theta, 0)^T. \end{eqnarray*}$

因此 $W$ 和 $\Theta$ 都有明确的指数衰减表达式, 从而 $U$ 也有明确的指数衰减表达式. 利用 $U$ 和 $\Theta$ 的指数衰减性质, 我们得到了系统 (1.1) 的一类大初值整体解。

我们首先回顾一下 Besov 空间的定义. 选择一个径向对称, 非负光滑且径向递减的函数 $\chi: {\mathbb R}^d\to [0, 1]$ 使得它的支撑集为 $\{\xi\in \mathbb{R}^d:|\xi|\leq \frac43\}$ 且当 $|\xi|\leq \frac34$ 时 $\chi\equiv 1$. 令 $\varphi(\xi)=\chi(\frac{\xi}{2})-\chi(\xi)$, 则 $\varphi$ 的支撑集为环 $\{\xi\in\mathbb{R}^d:\frac 34\leq|\xi|\leq \frac83\}$ 且当 $\frac43\leq |\xi|\leq \frac32$ 时 $\varphi\equiv 1$. 对于 $u \in \mathcal{S}'$, $q\in {\mathbb Z}$, 定义 Littlewood-Paley 算子: $\dot{\Delta}_q{u}=\mathcal{F}^{-1}(\varphi(2^{-q}\cdot)\mathcal{F}u)$. 当 $q\geq 0$ 时, ${\Delta}_q{u}=\dot{\Delta}_q{u}$, 当 $q\leq -2$ 时, ${\Delta}_q{u}=0$, 当 $q= -1$ 时, $\Delta_{-1}u=\mathcal{F}^{-1}(\chi \mathcal{F}u)$, 并且定义 $S_q{u}=\mathcal{F}^{-1}\big(\chi(2^{-q}\xi)\mathcal{F}u\big)$. 这里 ${\mathcal{F}}(f)$ 或者 $\widehat{f}$ 表示 $f$ 的傅里叶变换.

向量值函数 $u:{\mathbb R}^d\to {\mathbb R}^d$ 在 Besov 空间 $B^s_{p,r}$ 和 $\dot B^s_{p,r}$ 的定义为

$\begin{align*} \|u\|_{B^s_{p,r}}\triangleq \big\|(2^{js}\|\Delta_j{u}\|_{L^p})_{j\in {\mathbb Z}}\big\|_{\ell^r}<+\infty,\quad \|u\|_{\dot{B}^s_{p,r}}\triangleq \big\|(2^{js}\|\dot{\Delta}_j{u}\|_{L^p})_{j\in {\mathbb Z}}\big\|_{\ell^r}<+\infty. \end{align*}$

显然, 如果 $\mathrm{supp} \ \hat{u}\in \{\xi:\frac43\leq |\xi|\leq \frac32\}$, 则$\|u\|_{L^p}=\|u\|_{B^s_{p,r}}=\|u\|_{\dot{B}^s_{p,r}}.$

我们的主要结果如下.

定理1.1 令 $d=2, 3$. 假设初值满足条件 ${\rm{div}}u_0=0$ 和 $u_0=U_0+v_0 \mbox{和} \theta_0=\Theta_0+\vartheta_0$这里

$\begin{eqnarray*} \mathrm{supp} \ \hat{U}_0(\xi), \ \hat{\Theta}_0(\xi) \subset\mathcal{C}:=\Big\{\xi \big| \ \frac43\leq |\xi|\leq \frac32\Big\}.\end{eqnarray*}$

定义

$\begin{align*} E_0=\int^{\infty}_{0}(\|U\cdot\nabla U\|_{H^3}+\|U\cdot\nabla\Theta\|_{H^3})\text{d} t, \quad F_0=\int^{\infty}_{0}\|(U, \Theta)\|_{L^\infty}\text{d} t. \end{align*}$

如果存在一个充分小的正常数 $\delta$, 和通用常数 $C$ 使得下式成立

$\begin{align*} \Big(\|v_0\|^2_{H^3}+\|\vartheta_0\|^2_{H^3}+E_0\Big)\cdot\exp\Big( CF_0+CE_0\Big)\leq \delta, \end{align*}$

则系统 (1.1) 存在唯一的整体解.

推论1.1 当 $d=2$ 时, 令 $v_0=\vartheta_0=0$ 和

$\begin{eqnarray*} &U_0=\nabla^{\bot}a_0= \begin{pmatrix} \partial_2a_0 \\ -\partial_1a_0 \end{pmatrix},\qquad \Theta_0=a_0, \end{eqnarray*}$

这里

$\begin{align*} \mathrm{supp} \ \hat{a}_0(\xi)\subset\mathcal{\widetilde{C}}:=\Big\{\xi \big| \ |\xi_1-\xi_2|\leq \varepsilon, \ \frac43\leq |\xi|\leq \frac32\Big\}. \end{align*}$

则 (1.4)式左边部分满足

$\begin{align*} & \quad \Big(\|v_0\|^2_{H^3}+\|\vartheta_0\|^2_{H^3}+E_0\Big)\cdot\exp\Big( CF_0+CE_0\Big)\\ & \leq C\varepsilon\|a_0\|_{L^2}\|\hat{a}_0\|_{L^1}\mathrm{exp} \Big({C\varepsilon\|a_0\|_{L^2}\|\hat{a}_0\|_{L^1}+C\|\hat{a}_0\|_{L^1}}\Big). \end{align*}$

当 $d=3$ 时, 令 $v_0=\vartheta_0=0$ 和

$\begin{eqnarray*} & U_0= \begin{pmatrix} \partial_2a_0 \\ -\partial_1a_0, \\ 0 \end{pmatrix},\qquad \Theta_0=a_0, \end{eqnarray*}$

这里

$\begin{align*} \mathrm{supp} \ \hat{a}_0(\xi)\subset\mathcal{\widetilde{C}}_0:=\Big\{\xi \big| \ |\xi_1-\xi_2|\leq \varepsilon, \ \frac{41}{30}\leq |\xi_h|\leq \frac{22}{15}, \ \varepsilon^2\leq |\xi_3|\leq 2\varepsilon^2\Big\}. \end{align*}$

则 (1.4)式左边部分满足

$\begin{align*} & \quad \Big(\|v_0\|^2_{H^3}+\|\vartheta_0\|^2_{H^3}+E_0\Big)\cdot\exp\Big( CF_0+CE_0\Big)\\ & \leq C\varepsilon^2\|a_0\|_{L^2}\|\hat{a}_0\|_{L^1}\mathrm{exp}\Big({C\varepsilon^2\|a_0\|_{L^2}\|\hat{a}_0\|_{L^1}+C\|\hat{a}_0\|_{L^1}}\Big). \end{align*}$

注1.1 当 $d=2$ 时, 设

$\begin{align*} a_0(x_1,x_2)=\varepsilon^{-1}\big(\log\log\frac1\varepsilon\big)^{\frac12} \chi(x_1,x_2), \end{align*}$

这里光滑函数 $\chi$ 满足 $\hat{\chi}(-\xi_1,-\xi_2)=\hat{\chi}(\xi_1,\xi_2)$,

$\begin{align*} \mathrm{supp} \hat{\chi}\subset \mathcal{\widetilde{C}},\quad \hat{\chi}(\xi)\in[0, 1]\quad\mbox{且} \quad \hat{\chi}(\xi)=1 \quad\mbox{当} \quad \xi\in\mathcal{\widetilde{C}}_1, \end{align*}$

其中

$\begin{align*} \mathcal{\widetilde{C}}_1\triangleq\Big\{\xi\in\mathbb{R}^2: \ |\xi_1-\xi_2|\leq \frac12\varepsilon,\ \frac{25}{18}\leq |\xi|\leq \frac{13}{9}\Big\}. \end{align*}$

则 (1.4)式左边部分小于等于

$\begin{align*} C \varepsilon^{\frac12}\big(\log\log \frac1\varepsilon \big)\exp\big(C\log\log \frac1\varepsilon\big). \end{align*}$

事实上,

$\begin{align*} \|\hat{a}_0\|_{L^1}\approx \Big(\log\log\frac1\varepsilon\Big)^\frac12\quad\mbox{和}\quad\|{a}_0\|_{L^2}\approx \varepsilon^{-\frac12}\Big(\log\log\frac1\varepsilon\Big)^\frac12. \end{align*}$

因此, 可以选取 $\varepsilon$ 足够小, 使得 (1.4)式左边部分任意小, 从而使得 (1.4)式成立, 从而系统 (1.1) 存在唯一的整体解. 并且, 我们还可以得到

$\|u_0\|_{L^\infty}\gtrsim \big(\log\log \frac1\varepsilon\big)^\frac12,\qquad \|\theta_0\|_{L^\infty}\gtrsim \big(\log\log \frac1\varepsilon\big)^\frac12,$

这意味着初值的 $L^\infty$ 范数可以很大.

注1.2 当 $d=3$ 时, 设

$a_0(x_1,x_2,x_3)=\varepsilon^{-3}(\log\log\frac1\varepsilon)^{\frac12} \chi(x_1,x_2)\phi(x_3).$

这里光滑函数 $\chi,\phi$ 满足

$\begin{align*} \mathrm{supp} \hat{\chi}\in \mathcal{\widetilde{C}},\quad \hat{\chi}(\xi)\in[0, 1]\quad\mbox{且} \quad \hat{\chi}(\xi)=1 \quad\mbox{当} \quad \xi\in\mathcal{\widetilde{C}}_1 \end{align*}$

和

$\begin{align*} \mathrm{supp} \hat{\phi}(\xi') \in [\varepsilon^2,2\varepsilon^2],\quad \hat{\phi}(\xi') \in [0, 1]\quad\mbox{且} \quad \hat{\phi}(\xi)=1 \quad\mbox{当} \quad \xi'\in\Big[\frac54\varepsilon^2,\frac74\varepsilon^2\Big]. \end{align*}$

则 (1.4)式左边部分能被下式控制

$\begin{align*} C\varepsilon^{\frac12}\big(\log\log \frac1\varepsilon\big)\exp\big(C\log\log \frac1\varepsilon\big). \end{align*}$

因此, 可以选取 $\varepsilon$ 足够小, 使得 (1.4)式成立, 从而系统 (1.1) 存在唯一的整体解. 并且, 我们还可以得到

$\|u_0\|_{L^\infty}\gtrsim \big(\log\log \frac1\varepsilon\big)^\frac12,\qquad \|\theta_0\|_{L^\infty}\gtrsim \big(\log\log \frac1\varepsilon\big)^\frac12,$

这意味着初值的 $L^\infty$ 范数可以很大.

符号: 令 $\beta=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)\in \mathbb{N}^3$ 和 $D^{\beta}=\partial^{|\beta|}/\partial^{\beta_1}_{x_1}\partial^{\beta_2}_{x_2}\partial^{\beta_3}_{x_3}$, 这里 $|\beta|=\beta_1+\beta_2+\beta_3$. 简单起见, $a\leq Cb$ 简写成 $a\lesssim b$, 这里 $C$ 为正常数. $[A,B]$ 表示交换子算符 $AB-BA$, 这里 $A$ 和 $B$ 是 Banach 空间 $X$ 上的任意一对算子. 我们还定义 $\|f_1,\cdots,f_n\|_{X}\triangleq\|f_1\|_{X}+\cdots+\|f_n\|_{X}$.

2 定理 1.1 的证明

本节我们给出定理 1.1 的证明.

定理1.1的证明 定义 $v=u-U$ 和 $\vartheta=\theta-\Theta$, 由 (1.1) 和 (1.2) 式可得

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} \partial_tv+v\cdot\nabla v+U\cdot\nabla v+v\cdot\nabla U+\nu v+\nabla p'-\vartheta e_d=-U\cdot\nabla U,\\ \partial_t\vartheta+v\cdot\nabla \vartheta+U\cdot\nabla\vartheta+v\cdot\nabla\Theta+\lambda \vartheta=-U\cdot\nabla\Theta,\\ \text{div} v=0,\\ (v,c)|_{t=0}=(v_0,c_0).\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

将 $D^\beta$ 分别作用于 $(2.1)_1$ 和 $(2.1)_2$ 式并分别与 $\sigma D^\beta v$ 和 $D^\beta \vartheta$ 作内积. 接着两者相加并再关于 $|\beta|\leq 3$ 求和可得

$\begin{align*} \frac12\frac{\text{d}}{\text{d} t}\Big(\sigma \|v\|^2_{H^3}+\|\vartheta\|^2_{H^3}\Big)+\sigma \nu\| v\|^2_{H^3}+\lambda\|\vartheta\|^2_{H^3}-\sigma(\vartheta, v_d)_{H^3}\triangleq\sum^{4}_{i=1}I_i, \end{align*}$

这里

$\begin{align*}&I_1=-\sigma\sum_{0<|\beta|\leq 3}\int_{\mathbb{R}^3}[D^{\beta},v\cdot] \nabla v\cdot D^\beta v\text{d} x -\sum_{0<|\beta|\leq 3}\int_{\mathbb{R}^3}[D^{\beta},v\cdot] \nabla \vartheta\cdot D^\beta \vartheta\text{d} x, \\&I_2=-\sigma\sum_{0<|\beta|\leq 3}\int_{\mathbb{R}^3}D^{\beta}(U\cdot \nabla v)\cdot D^\beta v\text{d} x-\sum_{0<|\beta|\leq 3}\int_{\mathbb{R}^3}D^{\beta}(U\cdot \nabla \vartheta)\cdot D^\beta \vartheta\text{d} x, \\&I_3=-\sigma\sum_{0\leq|\beta|\leq 3}\int_{\mathbb{R}^3}D^{\beta}(v\cdot \nabla U)\cdot D^{\beta}v\text{d} x-\sum_{0\leq|\beta|\leq 3}\int_{\mathbb{R}^3}D^{\beta}(v\cdot \nabla \Theta)\cdot D^{\beta}\vartheta\text{d} x, \\&I_{4}=-\sigma\sum_{0\leq |\beta|\leq 3}\int_{\mathbb{R}^3}D^{\beta}(U\cdot\nabla U)\cdot D^{\beta}v\text{d} x-\sum_{0\leq |\beta|\leq 3}\int_{\mathbb{R}^3}D^{\beta}(U\cdot\nabla\Theta)\cdot D^{\beta}\vartheta\text{d} x.\end{align*}$

下边我们分别估计上边的每一项.由交换子估计 (见文献[13]),

$\begin{align*} \sum_{|\alpha|\leq m}\|[D^{\alpha},\mathbf{g}]\mathbf{f}\|_{L^2}\leq C(\|\mathbf{f}\|_{H^{m-1}}\|\nabla \mathbf{g}\|_{L^\infty}+\|\mathbf{f}\|_{L^\infty}\|\mathbf{g}\|_{H^m}), \end{align*}$

可得

$\begin{align*} I_1\leq& \sigma\sum_{0<|\beta|\leq 3}\|[D^{\beta},v\cdot] \nabla v\|_{L^2}\|\nabla v\|_{H^2}+\sum_{0<|\beta|\leq 3}\|[D^{\beta},v\cdot]\nabla \vartheta\|_{L^2}\|\nabla\vartheta\|_{H^2}\nonumber\\ \leq& C\|\nabla v\|_{L^\infty}\|v\|_{H^3}\|\nabla v\|_{H^2}+C(\|\nabla v\|_{L^\infty}\|\nabla \vartheta\|_{H^2}+\|v\|_{H^3}\|\nabla \vartheta\|_{L^\infty})\|\nabla \vartheta\|_{H^2}\nonumber\\ \leq& C\|v\|_{H^3}\Big(\|\nabla v\|^2_{H^2}+\|\nabla \vartheta\|^2_{H^2}\Big)\leq C\|v\|_{H^3}\Big(\|v\|^2_{H^3}+\|\vartheta\|^2_{H^3}\Big). \end{align*}$

应用 Leibniz 公式和交换子估计有,

$\begin{align*} \sum_{|\beta|\leq 3}\|[D^{\beta},\mathbf{g}]\mathbf{f}\|_{L^2}\leq C(\|\nabla \mathbf{g}\|_{L^\infty}+\|\nabla^3 \mathbf{g}\|_{L^\infty})\|\mathbf{f}\|_{H^2}, \end{align*}$

从而

$\begin{align*} I_2\leq& \sigma\sum_{0<|\beta|\leq 3}\|[D^{\beta},U\cdot] \nabla v\|_{L^2}\|\nabla v\|_{H^2}+\sum_{0<|\beta|\leq 3}\|[D^{\beta},U\cdot] \nabla \vartheta\|_{L^2}\|\nabla \vartheta\|_{H^2}\nonumber\\ \leq& C\Big(\|\nabla U\|_{L^\infty}+\|\nabla^3 U\|_{L^\infty}\Big)\Big(\|v\|^2_{H^3}+\|\vartheta\|^2_{H^3}\Big)\leq C\|U\|_{L^\infty}\Big(\|v\|^2_{H^3}+\|\vartheta\|^2_{H^3}\Big),\end{align*}$

这里我们用到 $\mathrm{supp} \ \hat{U}(\xi), \ \mathrm{supp} \ \hat{\Theta}(\xi) \subset \mathrm{supp} \ \hat{U}_0(\xi) \cup \mathrm{supp} \ \hat{\Theta}_0(\xi) \subset\mathcal{C}$ (请查看第三节 $U$ 和 $\Theta$ 的表达式).由 Leibniz 公式和 Hölder's 不等式可得,

$\begin{align*} I_3\leq& \sigma\|v\cdot \nabla U\|_{H^3}\|v\|_{H^3}+\|v\cdot \nabla \Theta\|_{H^3}\|\vartheta\|_{H^3}\nonumber\\ \leq& C\Big(\|\nabla (U, \Theta)\|_{L^\infty}+\|\nabla^4 (U, \Theta)\|_{L^\infty}\Big)\Big(\|v\|^2_{H^3}+\|\vartheta\|^2_{H^3}\Big)\nonumber\\ \leq& C\|(U, \Theta)\|_{L^\infty}\Big(\|v\|^2_{H^3}+\|\vartheta\|^2_{H^3}\Big). \end{align*}$

利用 Hölder 不等式和 Young 不等式可得,

$\begin{align*} I_{4}& \leq C(\|U\cdot\nabla U\|_{H^3}+\|U\cdot\nabla\Theta\|_{H^3})(\|v\|_{H^3}+\|\vartheta\|_{H^3})\nonumber \\&\leq C\|(U\cdot\nabla U, U\cdot\nabla\Theta)\|_{H^3}+C\|(U\cdot\nabla U, U\cdot\nabla\Theta)\|_{H^3}(\|v\|^2_{H^3}+\|\vartheta\|^2_{H^3}). \end{align*}$

将 (2.4)-(2.7) 式代入 (2.2) 式可得

$\begin{align*} &\quad \frac{\text{d}}{\text{d} t}\Big(\sigma \|v\|^2_{H^3}+\|\vartheta\|^2_{H^3}\Big)+\sigma \nu\| v\|^2_{H^3}+\lambda\|\vartheta\|^2_{H^3}-\sigma (\vartheta,v_d)_{H^3}\nonumber\\& \lesssim \|v\|_{H^3}\Big(\|v\|^2_{H^3}+\|\vartheta\|^2_{H^3}\Big) +\Big(\|(U, \Theta)\|_{L^\infty}+\|(U\cdot\nabla U, U\cdot\nabla\Theta)\|_{H^3}\Big)\Big(\|v\|^2_{H^3}+\|\vartheta\|^2_{H^3}\Big)\nonumber\\ &\quad+\|(U\cdot\nabla U, U\cdot\nabla\Theta)\|_{H^3}. \end{align*}$

由$\sigma (\vartheta,v_d)_{H^3}\leq C\sigma ^{\frac32}\|v\|^2_{H^3}+C\sigma ^{\frac12}\|\vartheta\|^2_{H^3},$可知, 我们能够取 $\sigma $ 足够小使得下式成立

$\begin{align*} \sigma \nu\| v\|^2_{H^3}+\lambda\|\vartheta\|^2_{H^3}-\sigma (\vartheta,v_d)_{H^3} \approx \sigma \nu\| v\|^2_{H^3}+\lambda\|\vartheta\|^2_{H^3}. \end{align*}$

简单起见, 定义

$\begin{align*} A(t)=\sigma \|v\|^2_{H^3}+\|\vartheta\|^2_{H^3}, \qquad B(t)=\sigma\nu\| v\|^2_{H^3}+\lambda\|\vartheta\|^2_{H^3}, \end{align*}$

则 (2.8) 式能够重写成

$\begin{align*} \frac{\text{d}}{\text{d} t}A(t)+B(t)&\leq CA^{\frac12}(t)B(t)+C\Big(\|(U, \Theta)\|_{L^\infty}+\|(U\cdot\nabla U, U\cdot\nabla\Theta)\|_{H^3}\Big)A(t)\nonumber\\ &\quad+C\|(U\cdot\nabla U, U\cdot\nabla\Theta)\|_{H^3}. \end{align*}$

现在, 我们定义

$\Gamma \triangleq \sup \left\{t \in\left[0, T^*\right): \sup _{\tau \in[0, t]} A(\tau) \leq \eta\right\}$

这里 $\eta$ 是一个足够小的正常数, 它将在后边被定义. 假设 $\Gamma<T^*$. 对任意 $t\in[\Gamma]$, 由 (2.9) 式可得

$\begin{align*} \frac{\text{d}}{\text{d} t}A(t)+B(t)&\leq C\Big(\|(U, \Theta)\|_{L^\infty}+\|(U\cdot\nabla U, U\cdot\nabla\Theta)\|_{H^3}\Big)A(t) +C\|(U\cdot\nabla U, U\cdot\nabla\Theta)\|_{H^3}, \end{align*}$

结合假设条件 (1.4)可得

$\begin{align*} A(t)\leq & C\Big(\|v_0\|^2_{H^3}+\|\vartheta_0\|^2_{H^3}+E_0\Big)\cdot\exp\Big( CE_0+CF_0\Big)\leq C\delta. \end{align*}$

令 $\eta=2C\delta$, 则对于任意的 $t\leq \Gamma$ 有 $\sup_{\tau\in[t]}A(\tau)\leq \frac\eta2$. 因此如果 $\Gamma<T^*$, 由解的连续性, 存在 $0<\epsilon\ll1$ 使得当 $t\leq \Gamma+\epsilon<T^*$ 时, $\sup_{\tau\in[t]}A(\tau)\leq \eta$, 这与 $\Gamma$ 的定义矛盾. 因此可以推断 $\Gamma=T^*$ 并且对任意的 $t\in(0,T^*)$ 有

$\begin{align*}\sup_{\tau\in[t]}\Big(\|v(\tau)\|^2_{H^3}+\|\vartheta(\tau)\|^2_{H^3}\Big)&\leq C<\infty,\end{align*}$

这意味着 $T^*=+\infty$. 定理 1.1 证毕.

3 推论 1.1 的证明

这一节将给出推论 1.1 的证明.

情形1 $d=2$. $W=\nabla\times U$ 满足

$\begin{align*} \partial_tW+\nu W=\partial_1\Theta =\partial_1\Theta_0{\rm e}^{-\lambda t}, \quad W|_{t=0}=W_0=\nabla\times U_0. \end{align*}$

直接计算可得

$\begin{align*} W= \begin{cases} {\rm e}^{-\nu t}W_0+\frac{1}{\nu-\lambda}\partial_1\Theta_0({\rm e}^{-\lambda t}-{\rm e}^{-\nu t}), \quad \nu\neq \lambda,\\ {\rm e}^{-\nu t}W_0+t{\rm e}^{-\nu t}\partial_1\Theta_0,\quad \nu= \lambda. \end{cases} \end{align*}$

因此,

$\begin{align*} U=(-\Delta)^{-1}\nabla^{\bot}W= \begin{cases} {\rm e}^{-\nu t}U_0+\frac{1}{\nu-\lambda}\partial_1(-\Delta)^{-1}\nabla^{\bot}\Theta_0({\rm e}^{-\lambda t}-{\rm e}^{-\nu t}), \quad \nu\neq \lambda,\\ {\rm e}^{-\nu t}U_0+t{\rm e}^{-\nu t}\partial_1(-\Delta)^{-1}\nabla^{\bot}\Theta_0,\quad \nu= \lambda, \end{cases} \end{align*}$

这里 $\nabla^{\bot}=(\partial_2,-\partial_1)^T$.

引理3.1 令 $d=2$. 给定足够小的正数 $\varepsilon$, 在定理 1.1 的假设条件下, 下边估计式成立

$\begin{align*} E_0\leq C\varepsilon\|a_0\|_{L^2}\|\hat{a}_0\|_{L^1}, \qquad F_0\leq C\|\hat{a}_0\|_{L^1}.\end{align*}$

引理3.1的证明 从 $U$ 和 $\Theta$ 的表达式可得

$\begin{align*} U\cdot\nabla \Theta= \begin{cases} {\rm e}^{-(\nu+\lambda) t}U_0\cdot\nabla\Theta_0+\frac{1}{\nu-\lambda}({\rm e}^{-2\lambda t}-{\rm e}^{-(\nu+\lambda) t})\partial_1(-\Delta)^{-1}\nabla^{\bot}\Theta_0\cdot\nabla\Theta_0, \;\nu\neq \lambda,\\ {\rm e}^{-2\nu t}U_0\cdot\nabla\Theta_0+t{\rm e}^{-2\nu t}\partial_1(-\Delta)^{-1}\nabla^{\bot}\Theta_0\cdot\nabla \Theta_0, \;\nu=\lambda. \end{cases} \end{align*}$

注意到 $U_0\cdot \nabla\Theta_0=0$ 和

$\begin{align*} \partial_1(-\Delta)^{-1}\nabla^{\bot}\Theta_0\cdot \nabla\Theta_0&=(\partial_2-\partial_1)\partial_1(-\Delta)^{-1}a_0\partial_1a_0 +\partial^2_1(-\Delta)^{-1}a_0(\partial_1-\partial_2)a_0. \end{align*}$

利用经典的 Kato-Ponce 乘积估计可得

$\begin{align*} \|\partial_1(-\Delta)^{-1}\nabla^{\bot}\Theta_0\cdot \nabla\Theta_0\|_{H^3}\leq C \|(\partial_2-\partial_1)a_0\|_{L^\infty}\|a_0\|_{L^2}\leq C\varepsilon\|a_0\|_{L^2}\|\hat{a}_0\|_{L^1}, \end{align*}$

这意味着$\|U\cdot\nabla \Theta\|_{H^3}\leq C{\rm e}^{-\lambda t}\varepsilon\|a_0\|_{L^2}\|\hat{a}_0\|_{L^1}.$同理可得$\|U\cdot\nabla U\|_{H^3}\leq C{\rm e}^{-\min\{\nu,\lambda\} t}\varepsilon\|a_0\|_{L^2}$$\|\hat{a}_0\|_{L^1}.$因此, 引理 3.1 得证.

情形2 $d=3$. $W=\nabla\times U$ 满足

$\begin{align*} \partial_tW+\nu W=(\partial_2\Theta,-\partial_1\Theta,0)^\mathrm{T} =(\partial_2\Theta_0,-\partial_1\Theta_0,0)^\mathrm{T}{\rm e}^{-\lambda t}, \quad W_{t=0}=W_0=\nabla\times U_0. \end{align*}$

直接计算可得

$\begin{align*} W= \begin{cases} {\rm e}^{-\nu t}W_0+\frac{1}{\nu-\lambda}(\partial_2\Theta_0,-\partial_1\Theta_0,0)^\mathrm{T} ({\rm e}^{-\lambda t}-{\rm e}^{-\nu t}), \quad \nu\neq \lambda,\\ {\rm e}^{-\nu t}W_0+t{\rm e}^{-\nu t}(\partial_2\Theta_0,-\partial_1\Theta_0,0)^\mathrm{T},\quad \nu= \lambda. \end{cases} \end{align*}$

因此,

$\begin{align*} U&=(-\Delta)^{-1}\nabla\times W \\&= \begin{cases} {\rm e}^{-\nu t}U_0+\frac{1}{\nu-\lambda}(-\Delta)^{-1} \big(\partial_1\partial_3\Theta_0,\partial_2\partial_3\Theta_0,-(\partial^2_1+\partial^2_2)\Theta_0\big)^\mathrm{T}({\rm e}^{-\lambda t}-{\rm e}^{-\nu t}), \quad \nu\neq \lambda,\\ {\rm e}^{-\nu t}U_0+t{\rm e}^{-\nu t}(-\Delta)^{-1}\big(\partial_1\partial_3\Theta_0,\partial_2\partial_3\Theta_0,-(\partial^2_1+\partial^2_2)\Theta_0\big)^\mathrm{T},\quad \nu= \lambda. \end{cases} \end{align*}$

引理3.2 令 $d=3$. 给定足够小的正数 $\varepsilon$, 在定理 1.1 的假设条件下, 下边估计式成立

$\begin{align*}E_0\leq C\varepsilon^2\|a_0\|_{L^2}\|\hat{a}_0\|_{L^1}, \qquad F_0\leq C\|\hat{a}_0\|_{L^1}.\end{align*}$

引理3.2的证明 对于 $U\cdot \nabla \Theta$ 这一项, 当 $\nu\neq \lambda$ 时, 有

$\begin{align*} U\cdot \nabla \Theta&= {\rm e}^{-(\nu+\lambda) t}U_0\cdot \nabla\Theta_0+\frac{1}{\nu-\lambda}({\rm e}^{-2\lambda t}-{\rm e}^{-(\nu+\lambda) t})(-\Delta)^{-1}\\ & \cdot\big(\partial_1\partial_3\Theta_0,\partial_2\partial_3\Theta_0,-(\partial^2_1+\partial^2_2)\Theta_0\big)^\mathrm{T}\cdot \nabla\Theta_0. \end{align*}$

当 $\nu=\lambda$ 时, 有

$U\cdot \nabla \Theta={\rm e}^{-2\nu t}U_0\cdot \nabla\Theta_0+t{\rm e}^{-2\nu t}(-\Delta)^{-1}\big(\partial_1\partial_3\Theta_0,\partial_2\partial_3\Theta_0,-(\partial^2_1+\partial^2_2)\Theta_0\big)^\mathrm{T}\cdot \nabla \Theta_0.$

注意到 $U_0\cdot \nabla\Theta_0=0$ 和

$\begin{align*} &\quad (-\Delta)^{-1}\big(\partial_1\partial_3\Theta_0,\partial_2\partial_3\Theta_0,-(\partial^2_1+\partial^2_2)\Theta_0\big)^\mathrm{T}\cdot \nabla \Theta_0 \\&=(-\Delta)^{-1}\partial_1\partial_3\Theta_0\partial_1\Theta_0+(-\Delta)^{-1}\partial_2\partial_3\Theta_0\partial_2\Theta_0 -(-\Delta)^{-1}(\partial^2_1+\partial^2_2)\Theta_0\partial_3\Theta_0. \end{align*}$

利用经典的 Kato-Ponce 乘积估计可得

$\begin{align*} & \quad \|(-\Delta)^{-1}\big(\partial_1\partial_3\Theta_0,\partial_2\partial_3\Theta_0,-(\partial^2_1+\partial^2_2)\Theta_0\big)^\mathrm{T}\cdot \nabla \Theta_0\|_{H^3} \\&\leq C \|\partial_3a_0\|_{L^\infty}\|a_0\|_{L^2}\leq C\varepsilon^2\|a_0\|_{L^2}\|\hat{a}_0\|_{L^1}, \end{align*}$

由此可得

$\begin{align*} \|U\cdot \nabla \Theta\|_{H^3}\leq C{\rm e}^{-\lambda t}\varepsilon^2\|a_0\|_{L^2}\|\hat{a}_0\|_{L^1}. \end{align*}$

同理可得

$\begin{align*} \|U\cdot \nabla U\|_{H^3}\leq C{\rm e}^{-\min\{\nu,\lambda\} t}\varepsilon^2\|a_0\|_{L^2}\|\hat{a}_0\|_{L^1}. \end{align*}$

因此, 引理 3.2 得证.

由引理 3.1 和引理 3.2 可以直接得到推论 1.1.

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