带源项的抛物-抛物高维 Keller-Segel 方程的全局解

带源项的抛物-抛物高维 Keller-Segel 方程的全局解

左文文^,, 周寿明^,^*

重庆师范大学数学科学学院重庆 401331

Global Solutions for the Parabolic-Parabolic Keller-Segel Equation with a Logistic Source Term in High Dimensions

Zuo Wenwen^,, Zhou Shouming^,^*

College of Mathematics Science, Chongqing Normal University, Chongqing 401331

通讯作者: *E-mail: zhoushouming76@163.com

收稿日期: 2024-11-20 修回日期: 2025-03-6

基金资助:

重庆市教育委员会科学技术研究项目(KJZD-M202200501)
重庆市教育委员会科学技术研究项目(KJQN202300544)
重庆师范大学(BWLJ2023005)
重庆市自然科学基金(CSTB2024NSCQ-MSX0922)
重庆市自然科学基金(CSTB2024NSCQ-MSX0801)

Received: 2024-11-20 Revised: 2025-03-6

Fund supported:

Science and Technology Research Program of Chongqing Municipal Educational Commission(KJZD-M202200501)
Science and Technology Research Program of Chongqing Municipal Educational Commission(KJQN202300544)
Chongqing Normal University(BWLJ2023005)
Natural Science Foundation of Chongqing(CSTB2024NSCQ-MSX0922)
Natural Science Foundation of Chongqing(CSTB2024NSCQ-MSX0801)

作者简介 About authors

E-mail:zuowenwen999@163.com

摘要

该文主要围绕带 Logistic 源的抛物-抛物 Keller-Segel 方程的 Cauchy 问题展开研究.$\begin{cases}u_{t}=\Delta u-\nabla \cdot(u \nabla \varphi)+c u^{2}, & x \in \mathbb{R}^{d},\quad t>0, \\ \tau \varphi_{t}=\Delta \varphi+u, & x \in \mathbb{R}^{d},\quad t>0, \\ u(0)=u_{0}, \quad\varphi(0)=\varphi_{0}, & x \in \mathbb{R}^{d},\quad t=0,\end{cases}$

其中常数 $c \in \mathbb{R}$, $ \tau>0$, $ d \geq 2$, 初值 $u_{0} \in \mathcal{P M}^{d-2}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$, $\varphi_{0} \in \mathcal{S}^{\prime}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$. 当 $c=0$ 时, Biler-Boritchev-Brandolese 证明了在扩散参数 $\tau \gg 1$ 的情况下, 对任意大小的初值方程都存在全局解. 运用不动点引理和尺度不变性方法, 在初值 $u_{0}$ 和 $\varphi_{0}$ 满足一定限制条件 (该条件依赖于松弛参数 $\tau$), 得到带平方 Logistic 源的抛物-抛物 Keller-Segel 方程的温和解的全局存在性和唯一性.

关键词： Keller-Segel 方程; 抛物-抛物方程; 无粘极限

Abstract

The research mainly focuses on the Cauchy problem of the parabolic-parabolic Keller-Segel equation with a Logistic source. The equation is as follows$\begin{cases}u_{t}=\Delta u-\nabla \cdot(u \nabla \varphi)+c u^{2}, & x \in \mathbb{R}^{d},\quad t>0, \\ \tau \varphi_{t}=\Delta \varphi+u, & x \in \mathbb{R}^{d},\quad t>0, \\ u(0)=u_{0},\quad \varphi(0)=\varphi_{0}, & x \in \mathbb{R}^{d},\quad t=0.\end{cases}$

where the constants $c \in \mathbb{R}, \tau>0, d \geq 2$, initial values $u_{0} \in \mathcal{P} \mathcal{M}^{d-2}\left(\mathbb{R}^{d}\right), \varphi_{0} \in \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$. When $c=0$, Biler-Boritchev-Brandolese proved that for any initial value equation of arbitrary size, a global solution exists in the case of the diffusion parameter $\tau \gg 1$. Using the fixed point lemma and the method of scale invariance to obtain the existence and uniqueness of mild solutions for the parabolic-parabolic Keller-Segel equation with a square Logistic source, under initial conditions $u_{0}$ and $\varphi_{0}$ have certain restrictive conditions (which depend on the parameter $\tau$).

Keywords： Keller-Segel equations; parabolic equations; inviscid limit

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本文引用格式

左文文, 周寿明. 带源项的抛物-抛物高维 Keller-Segel 方程的全局解[J]. 数学物理学报, 2025, 45(4): 1100-1109

Zuo Wenwen, Zhou Shouming. Global Solutions for the Parabolic-Parabolic Keller-Segel Equation with a Logistic Source Term in High Dimensions[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(4): 1100-1109

1 引言

Keller^[1]和 Segel^[2]在 1970 年提出用于描述生物趋化现象的如下偏微分方程模型

(1.1)$\begin{equation}\left\{\begin{array}{ll}u_t=\Delta u-\chi \nabla \cdot(u \nabla \varphi), & x \in \Omega,\quad t>0, \\ \tau \varphi_t=\Delta \varphi+u-\varphi, & x \in \Omega,\quad t>0, \\ u(\cdot, 0)=u_0, \quad \varphi(\cdot, 0)=\varphi_0,\quad & x \in \Omega,\quad t=0, \end{array} \right.\end{equation}$

其中 $\Omega \in \mathbb{R}^{d}$ 是一个有界光滑区域, $u=u(x, t)$ 代表细胞的密度, $\varphi=\varphi(x, t)$ 代表化学信号物质的的浓度, $\chi \in \mathbb{R}$ 代表趋化敏感度系数, $\tau=1$ 代表弛豫时间参数, $\Delta u$ 和 $\Delta \varphi$ 分别代表细胞自扩散项和化学物质的自扩散, $-\chi \nabla \cdot(u \nabla \varphi)$ 代表趋化敏感度项, 是体现趋化模型最为本质的一项. 当 $d=1$ 时, Osaki 和Yagi^[3]证明了对任意充分光滑的初值, 模型 (1.1) 的解都整体存在且一致有界; 当 $d=2$ 时, Nagai 等^[4]证明了如果初始值量满足 $\left\|u_{0}\right\|_{L^{1}(\Omega)}<4 \pi$, 则模型 (1.1) 的解都整体存在且一致有界; 当 $d \geq 3$ 时, Winkler^[5]证明了如果对于任何 $\delta>0$, 存在 $\varepsilon>0$, 若满足如下条件

$\left\|u_{0}\right\|_{L^{\frac{n}{+2}}(\Omega)}<\varepsilon \quad \text { 和 } \quad\left\|\nabla \varphi_{0}\right\|_{L^{n+\delta}(\Omega)}<\varepsilon,$

则模型 (1.1) 的解都整体存在且一致有界; Cao^[6] 对这一结果进行了改进, 得到了如果有

$\left\|u_{0}\right\|_{L^{\frac{n}{2}}(\Omega)}<\varepsilon \quad \text { 和 } \quad\left\|\nabla \varphi_{0}\right\|_{L^{n}(\Omega)}<\varepsilon,$

则解整体有界.

随着 Keller-Segel 模型的深入研究, 学者们考虑到了更多物理因素的影响, 并提出了同时具有趋化效应和 Logistic 源的 Keller-Segel 模型

(1.2)$\begin{cases}u_t=\Delta u-\chi \operatorname{div}(u \nabla \varphi)+a u-b u^2, & x \in \Omega,\quad t>0, \\ \tau \varphi_t=\Delta \varphi-\alpha \varphi+u, & x \in \Omega,\quad t>0, \\ u(\cdot, 0)=u_0, \quad \varphi(\cdot, 0)=\varphi_0, & x \in \Omega,\quad t=0,\end{cases}$

其中 $u=u(x, t)$ 代表细胞的密度, $\varphi=\varphi(x, t)$ 代表化学信号物质的的浓度, $a \geq 0$ 表示增长率; $b>0$ 表示阻尼系数, 参数 $\chi>0$,$ \tau \geq 0$, $ \alpha \geq 0$. 近些年, 模型 (1.2) $(a \geq 0 $, $b$, $ \chi>0$, $\tau=0$ 和 $\alpha=1)$ 在有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^{d}$ 上取得了许多有意义的研究结果. Tello^[7] 研究了 $d \leq 2$ 或阻尼系数满足 $b>(n-2){\chi} / n$ 时, 对任意初值全局有界解存在且唯一. Michael^[8] 证明了高维情形下同样的阻尼系数条件有全局有界解的存在. Cao^[9] 证明了在有界域内方程的全局解是存在且唯一的. 后来, 在有界凸域上, Winkler^[10] 证明存在 $\mu_0>0$, 若有 $b>\mu_0$ 成立, 则解整体存在且有界;Yang^[11] 证明了存在 $\theta_{0}>0$, 若有 $b>\theta_{0} \chi$ 成立, 则方程的解整体存在; 对三维情形, Tao^[12] 证明了当 $\chi=1, $$ b>23$ 时整体有界弱解的存在性; Xiang^[13] 放宽了对阻尼系数的要求, 只要 $b>9 /(\sqrt{10}-2) \chi$ 时, 就可得到解的整体存在性和有界性. 此外, 当阻尼系数 $b>0$ 任意小时, Lankeit^[14] 中证明了三维空间下带有诺伊曼边界条件的光滑有界凸域上, 存在全局弱解. 针对同一模型, Jin^[15] 研究了二维情形下, 趋化效应与阻尼效应对有界性的影响. 当 $\alpha=a=b=0$, $ \chi=1$ 时, 模型 (1.2) 就是最简单的抛物-抛物 Keller-Segel 方程.

在全空间情况下, 即 $\Omega=\mathbb{R}^{d}$ 时, 无界域为研究带来了很多额外困难. 尽管如此, Raczynski^[16] 证明了 $d=2$ 时抛物-抛物 Keller-Segel 方程趋化性解的稳定性. 即当考虑系统的一个合适参数 $\tau$ 收敛于零时, 抛物-抛物系统的解收敛于抛物-椭圆系统的解. Biler^[17] 和 Corrias^[18] 在二维情况下证明了当扩散参数 $\tau$ 足够大的情况下, 任意大小的初始数据都可以得到全局解. Biler, Boritchev 和 Brandolese^[19] 改进了早期的结果, 将二维情况扩展到了高维. 由于 Logistic 源项的存在明显破坏了经典 Keller-Segel 模型质量守恒的性质, 这使得加入 Logistic 源项后的原方程极有可能面临爆破的情况. 所以, 本文在 Biler 研究的方程基础上引入带平方项的 Logistic 源, 对此时方程在高维情况下是否仍存在全局解展开研究.

本文主要研究抛物-抛物型 Keller-Segel 方程

(1.3)$\begin{cases}u_t=\Delta u-\nabla \cdot(u \nabla \varphi)+c u^2, & x \in \mathbb{R}^d, \quad t>0, \\ \tau \varphi_t=\Delta \varphi+u, & x \in \mathbb{R}^d, \quad t>0, \\ u(0)=u_0, \quad \varphi(0)=\varphi_0, & x \in \mathbb{R}^d, \quad t=0,\end{cases}$

其中 $\tau>0$. $u=u(x, t) \geq 0$ 为细胞密度, $\varphi$ 为化学物质密度. 源项 $cu^2$ 表示细胞自身的产生或者消亡, 这种非线性项的存在使得模型更能反映出复杂的生物现象和系统行为, 且可能导致模型的解产生爆破或灭绝.

当考虑 $\tau>0$ 的抛物-抛物型 Keller-Segel 方程 (1.3) 时. 本文引入伪测度空间

$\mathcal{P} \mathcal{M}^{a}=\left\{f \in \mathcal{S}^{\prime}\left(\mathbb{R}^{d}\right):\|f\|_{\mathcal{P M}^{a}}=\operatorname{ess} \sup _{\xi \in \mathbb{R}^{d}}|\xi|^{a}|\hat{f}(\xi)|<\infty\right\}.$

其中 $0 \leq a<d$, $u$ 在 $\mathcal{P M}$ 空间中满足尺度变换: $u(x, t) \mapsto \lambda^{2} u\left(\lambda x, \lambda^{2} t\right)$

$\left\|\lambda^{2} u_{0}(\lambda \cdot)\right\|_{\mathcal{P M}^{d-2}}=\left\|u_{0}\right\|_{\mathcal{P M}^{d-2}}.$

另一方面, $\varphi$满足尺度变换: $\varphi(x, t) \mapsto \varphi\left(\lambda x, \lambda^{2} t\right)$.

本文将在尺度不变的空间中构造解

$\mathscr{Y}_{a}=\left\{u \in L_{\text {loc }}^{\infty}\left(0, \infty ; \mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)\right):\|u\|_{\mathscr{Y}_{a}}=\operatorname{ess} \sup _{t>0, \xi \in \mathbb{R}^{d}} t^{1+(a-d) / 2}|\xi|^{a}|\hat{u}(\xi, t)|<\infty\right\}.$

当 $a=d-2$ 时, 空间 $\mathcal{Y}_{d-2}$ 与空间 $\mathcal{X}=L^{\infty}\left(0, \infty ; \mathcal{P} \mathcal{M}^{d-2}\right)$ 一致.

当 $a \neq d-2$ 时, 空间 $\mathscr{Y}_{a}$ 比空间 $M_{a}:=\mathscr{Y}_{a} \cap \mathcal{X}$ 略大.

受上述的结果启发, 本文的目标是: 当 $d \geq 2$ 时, 在适当的尺度不变条件下提供初始数据 $u_{0}$ 和 $\varphi_{0}$ 的大小限制, 使方程在 $\mathcal{P} \mathcal{M}^{d-2}$ 空间中的温和解全局存在.

定理1.1 若存在三个常数 $\kappa_{d}$, $\mu_{d}$, $\tilde{\kappa}_{d}>0$ 使得 $u_{0} \in \mathcal{P M}^{d-2}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$, $ \varphi_{0} \in \mathcal{S}^{\prime}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$ 满足以下条件之一

1. 当 $0<\tau \leq 1$ 时有

(1.4)$\begin{cases}\left\|u_0\right\|_{\mathcal{P M}^{d-2}}<\kappa_d+\mu_d,\quad \sqrt{\tau}\left\|\nabla \varphi_0\right\|_{\mathcal{P M}^{d-1}}<\tilde{\kappa}_d, & d \geq 3, \\ \left\|u_0\right\|_{\mathcal{P M}^0}<\kappa_2+\mu_2, \quad\left|\ln \frac{\tau}{\mathrm{e}}\right| \sqrt{\tau}\left\|u_0\right\|_{\mathcal{P M}^1}<\tilde{\kappa}_2, & d=2.\end{cases}$

2. 当 $\tau \geq 1$, 存在 $0<b \leq 1$

(1.5)$\begin{equation}\left\|u_{0}\right\|_{\mathcal{P M}^{d-2}}<\kappa_{d} b^{3} \tau^{1-b}+\mu_{d} b^{2}, \quad\left\|\nabla \varphi_{0}\right\|_{\mathcal{P M}^{d-1}}<\tilde{\kappa}_{d} b^{2}, \quad d \geq 2.\end{equation}$

则方程 (1.3) 存在全局温和解 $u \in \mathcal{X}$. 并且存在 $a \in[d-2, d)$ 和 $R>0$, 使得该解在开球 $\left\{u \in \mathscr{Y}_{a}:\|u\|_{\mathscr{Y}_{a}}<R\right\}$ 中是唯一的.

注: 参数 $a$ 依赖于 $d $、$ \tau$ 和 $b$. 例如: 当 $0<\tau \leq 1$, $d \geq 2$ 时, 可以取 $a=d-4 / 3$; 当 $\tau \geq 1$, $d \geq 3$ 时, 可以取 $a=d-4 b / 3$. 半径可以做如下选择: 当 (1.4) 式成立时, 可以取 $R=4\left(\kappa_{d}+\mu_{d}\right)$, 当 (1.5) 式成立时, 可以取 $R=4\left(\kappa_{d} b^{3} \tau^{1-b}+\mu_{d} b^{2}\right) $.

特别的, 当方程 (1.3) 中 $c=0$ 时, 由参考文献[19] 可知, 在扩散参数 $\tau$ 足够大的情况下, 任意大小的初始数据都可以得到全局解. 但当加入平方项的 Logistic 源后, 该定理表明: 在扩散参数 $\tau$ 足够大的情况下, 只有当初值 $\left\|u_{0}\right\|_{\mathcal{P M}^{d-2}}<\mu_{d} b^{2}$ 才可以得到全局解.

引理1.1^[20]当 $0<\alpha$, $ \beta<d$, 使 $\alpha+\beta>d$, 则

$|x|^{-\alpha} *|x|^{-\beta}=C(\alpha, \beta, d)|x|^{-(\alpha+\beta)+d},$

其中

$\begin{equation} C(\alpha, \beta, d)=\pi^{d / 2} \frac{\Gamma\left(\frac{d-\alpha}{2}\right) \Gamma\left(\frac{d-\beta}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\alpha+\beta-d}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\alpha}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\beta}{2}\right) \Gamma\left(d-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}.\end{equation}$

引理1.2^[19] 当 $s>0$, $ A>0$, $\delta>0$, $0 \leq b \leq 1$ 和 $\delta_{*}=\delta \wedge 1$ 时, 则

$\int_{0}^{s} \mathrm{e}^{-(s-\sigma) A} \sigma^{-1+\delta} \mathrm{d} \sigma \leq 4 \delta_{*}^{-1} A^{-b} s^{\delta-b}.$

2 定理 1 的证明

通过不动点引理^[16]可知, 首先需要把方程表示为 $u=U_{0}+B(u, u)+L u$ 的形式, 再求得 $U_{0}$ 足够小, 算子 $B$ 和 $L$ 连续, 即可得到方程 (1.3) 的解存在.

2.1 方程求解

对方程 (1.3) 的第二个式子进行傅里叶变换, 可得到

$\hat{\varphi}_{t}=-\tau^{-1}|\xi|^{2} \hat{\varphi}+\tau^{-1} \hat{u},$

进一步运用常数变易法有

(2.1)$\begin{equation}\hat{\varphi}(\xi, t)=\mathrm{e}^{-\tau^{-1} t|\xi|^{2}} \hat{\varphi}_{0}(\xi)+\tau^{-1} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\tau^{-1}(t-s)|\xi|^{2}} \hat{u}(\xi, s) \mathrm{d} s. \end{equation}$

与 $\hat{\varphi}$ 相同的计算方法, 可得到

$\hat{u}(\xi, t)=\mathrm{e}^{-t|\xi|^2} \hat{u}_0(\xi)+\int_0^t-{\rm i} \xi \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^2} \widehat{(u \nabla \varphi)}(\xi, s)+c \widehat{u^2}(\xi, s) \mathrm{d} s.$

利用傅里叶变换的性质$\widehat{(f g)}=(2 \pi)^{-d} \hat{f} * \hat{g},$ 可以得到

$\begin{aligned} \hat{u}(\xi, t)= & \mathrm{e}^{-t|\xi|^2} \hat{u}_0(\xi)+(2 \pi)^{-d} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^d} \xi \eta \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^2} \hat{u}(\xi-\eta, s) \hat{\varphi}(\eta, s) \mathrm{d} \eta \mathrm{d} s \\ & +c(2 \pi)^{-d} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^d} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^2} \hat{u}(\xi-\eta, s) \hat{u}(\eta, s) \mathrm{d} \eta \mathrm{d} s.\end{aligned}$

将(2.1)式代入上式有

$\begin{aligned} \hat{u}(\xi, t)= & \mathrm{e}^{-t|\xi|^{2}} \hat{u}_{0}(\xi)+(2 \pi)^{-d} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{d}} {\rm e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} \xi \eta \hat{u}(\xi-\eta, s) {\rm e}^{-\tau^{-1} s|\eta|^{2}} \hat{\varphi}_{0}(\eta) \mathrm{d} \eta \mathrm{d} s \\ & +(2 \pi)^{-d} \int_{0}^{t} \int_{0}^{s} \int_{\mathbb{R}^{d}} \frac{\xi \eta}{\tau} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{\tau}(s-\sigma)|\eta|^{2}} \hat{u}(\xi-\eta, s) \hat{u}(\eta, \sigma) \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \sigma \mathrm{d} s \\ & +c(2 \pi)^{-d} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{d}} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} \hat{u}(\xi-\eta, s) \hat{u}(\eta, s) \mathrm{d} \eta \mathrm{d} s. \end{aligned}$

进一步, 本文引入依赖于 $\tau>0$ 的线性算子

$ \widehat{L u}(\xi, t)=(2 \pi)^{-d} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^d} {\rm e}^{-(t-s)|\xi|^2} \xi \eta \hat{u}(\xi-\eta, s) {\rm e}^{-\tau^{-1} s|\eta|^2} \hat{\varphi}_0(\eta) \mathrm{d} \eta \mathrm{d} s, $

和同样依赖于 $\tau>0$ 的双线性算子

$\begin{aligned} \widehat{B(u, v)}(\xi, t)= & (2 \pi)^{-d} \int_0^t \int_0^s \int_{\mathbb{R}^d} \frac{\xi \eta}{\tau} \mathrm{e}^{-(t-s) |\xi|^2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{\tau}(s-\sigma) | \eta|^2} \hat{u}(\xi-\eta, s) \hat{v}(\eta, \sigma) \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \sigma \mathrm{d} s \\ & +c(2 \pi)^{-d} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^d} \mathrm{e}^{-(t-s) | \xi|^2} \hat{u}(\xi-\eta, s) \hat{v}(\eta, s) \mathrm{d} \eta \mathrm{d} s. \end{aligned}$

所以可以得到 $u$ 满足方程

$\hat{u}(\xi, t)={\rm e}^{-t|\xi|^2} \hat{u}_0(\xi)+\widehat{B(u, u)}(\xi, t)+\widehat{L u}(\xi, t).$

进一步将方程 (1.3) 的解表示为

(2.2)$\begin{equation} u=U_{0}+B(u, u)+L u. \end{equation}$

其中 $U_{0}(t)={\rm e}^{t \Delta} u_{0}$. 由参考文献[19]可知, $U_{0}$ 有界, 且 $L: \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathscr{Y}_{a}$ 和 $L: \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathcal{X}$ 连续, 下证 $B: \mathscr{Y}_{a} \times \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathscr{Y}_{a}$ 和 $B: \mathscr{Y}_{a} \times \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathcal{X}$ 连续.

2.2 $B$ 的连续性

不妨设 $\|u\|_{\mathscr{Y}_{a}}=\|v\|_{\mathscr{Y}_{a}}=1$. 通过 $\mathscr{Y}_{a}$ 空间的定义, 可以得到

$|\hat{u}(\xi-\eta, s)| \leq s^{-1+\frac{d-a}{2}}|\xi-\eta|^{-a}, \quad |\hat{v}(\eta, \sigma)| \leq \sigma^{-1+\frac{d-a}{2}}|\eta|^{-a}.$

当 $a<d$ 时, 可以得到以下估计

$\begin{aligned} |\hat{B}(u, v)(\xi, t)| \\ \leq&(2 \pi)^{-d} \int_0^t \int_0^s \int_{\mathbb{R}^d} \frac{|\xi|}{\tau} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{\tau}(s-\sigma)|\eta|^2} s^{-1+(d-a) / 2} \sigma^{-1+(d-a) / 2}|\xi-\eta|^{-a}|\eta|^{-a+1} \mathrm{d} \eta \mathrm{d} \sigma \mathrm{d} s \\ &+|c|(2 \pi)^{-d} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^d} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^2} s^{-2+d-a}|\xi-\eta|^{-a}|\eta|^{-a} \mathrm{d} \eta \mathrm{d} s.\end{aligned}$

在上式右边的第一项中应用引理 1.2, 取 $A=|\eta|^{2} / \tau$ 和 $\delta=(d-a) / 2$, $(d-a) *=\min (d-a, 1)$, 可得到

$\begin{aligned}|\hat{B}(u, v)(\xi, t)| \leq & \frac{8}{(2 \pi)^d(d-a)_*} \tau^{b-1} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^d}|\xi| \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^2} s^{-1+d-a-b}|\xi-\eta|^{-a}|\eta|^{-a+1-2 b} \mathrm{d} \eta \mathrm{d} s \\ & +|c|(2 \pi)^{-d} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^d} \mathrm{e}^{(t-s) |\xi|^2} s^{-2+d-a}|\xi-\eta|^{-a}|\eta|^{-a} \mathrm{d} \eta \mathrm{d} s,\end{aligned}$

进一步有

$\begin{aligned} |\hat{B}(u, v)(\xi, t)|= & \frac{8}{(2 \pi)^{d}(d-a)_{*}} \tau^{b-1} \int_{0}^{t}|\xi| \mathrm{e}^{-(t-s) |\xi|^{2}} s^{-1+d-a-b}|\xi-\eta|^{-a} *|\eta|^{-a+1-2 b} \mathrm{ds} \\ & +|c|(2 \pi)^{-d} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} s^{-2+d-a}|\xi-\eta|^{-a} *|\eta|^{-a} \mathrm{d} s.\end{aligned}$

运用引理 1.1, 有

$\begin{aligned}|\hat{B}(u, v)(\xi, t)| \leq & \frac{8 C(a, a-1+2 b, d)}{(2 \pi)^{d}(d-a)_{*}} \tau^{b-1}|\xi|^{-2 a-2 b+2+d} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s) |\xi|^{2}} \mathrm{ s}^{-1+d-a-b} \mathrm{d} s \\ & +|c|(2 \pi)^{-d} C(a, a, d)|\xi|^{-2 a+d} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s) |\xi|^{2}} \mathrm{ s}^{-2+d-a} \mathrm{ds}. \end{aligned}$

再次运用引理 1.2, 取 $A=|\xi|^{2}$, $ \delta_{1}=d-a-b$, $ \delta_{2}=d-a-1$, 对任意的 $0 \leq \gamma_{1} \leq 1$, $0 \leq \gamma_{2} \leq 1$, 可以得到

$|\hat{B}(u, v)(\xi, t)| \leq K_{1} \tau^{b-1} t^{d-a-b-\gamma_{1}}|\xi|^{-2 a-2 b-2 \gamma_{1}+d+2}+K_{2} t^{-1+d-a-\gamma_{2}}|\xi|^{-2 a-2 \gamma_{2}+d},$

其中

$K_{1}=\frac{32 C(a, a-1+2 b, d)}{(2 \pi)^{d}(d-a)_{*}(d-a-b)_{*}},\quad K_{2}=\frac{4|c| C(a, a, d)}{(2 \pi)^{d}(d-a-1)_{*}}.$

首先证明 $B(u, v) \in \mathscr{Y}_{a}$, 则有

$\left\{\begin{array}{l} -2 a-2 b-2 \gamma_{1}+d+2=-a, \\ d-a-b-\gamma_{1}=-1-(a-d) / 2, \\ -2 a-2 \gamma_{2}+d=-a, \\ d-a-\gamma_{2}-1=-1-(a-d) / 2. \end{array}\right.$

这个方程组等价于

$\gamma_{1}=-b+1+(d-a) / 2,\quad \gamma_{2}=\frac{d-a}{2}.$

在上面证明过程中, 运用引理 1.2 时, 需要满足条件: $a<d$ 和 $0 \leq b \leq 1$; 运用引理 1.1 时, 需要满足条件: $0<a<d$, $0<a-1+2 b<d$, $2 a+2 b-1>d$ 和 $2 a>d$; 引理 1.2 的第二次应用要求 $d-a-b>0$, $ d-a-1>0$, $0 \leq \gamma_{1} \leq 1$ 和 $0 \leq \gamma_{2} \leq 1$.

现在证明 $B(u, v) \in \mathcal{X}$, 需对 $\gamma_{1} $、$ \gamma_{2}$ 采取不同选择, 即 $\gamma_{1}=d-a-b$, $ \gamma_{2}=d-a-1$. 这意味着

$\left\{\begin{array}{l} -2 a-2 b-2 \gamma_{1}+d+2=-d+2, \quad d-a-b-\gamma_{1}=0, \\ -2 a-2 \gamma_{2}+d=-d+2, \quad d-a-\gamma_{2}-1=0. \end{array}\right. $

这时候需要新的条件限制: $0 \leq d-a-b \leq 1$ 和 $0 \leq d-a-1 \leq 1$, 同时还需要满足条件 $0<a<d$, $0<a-1+2 b<d$, $2 a+2 b-1>d$, $ 2 a>d$, $d-a-b>0$, $d-a-1>0$ 和 $0 \leq b \leq 1$. 于是, 当 $\tau>0$, $d \geq 4$ 时, 如果 $a$ 和 $b$ 满足

$d-2 b \leq a<d-1,\quad 0<b \leq 1.$

或者当 $d=3$ 时,满足

$3 / 2<a<2, \quad 3-2 b \leq a, \quad 0<b \leq 1.$

则有以下式子成立

(2.3)$\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} \|B(u, v)\|_{\mathscr{Y}_a} \leq\left(K_1 \tau^{b-1}+K_2\right)\|u\|_{\mathscr{Y}_{a}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{a}}, \\ \|B(u, v)\|_{\mathcal{X}} \leq\left(K_1 \tau^{b-1}+K_2\right)\|u\|_{\mathscr{Y}_{a}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{a}}, \end{array} \right. \end{equation}$

其中 $K_{1}=K_{1}(a, b, d)$, $ K_{2}=K_{2}(a, b, d)$ 不依赖于 $\tau$ 、$ u $、$ v$.

由上述证明可知, 当 $d \geq 3$, $ B: \mathscr{Y}_{a} \times \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathscr{Y}_{a}$ 和 $B: \mathscr{Y}_{a} \times \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathcal{X}$ 连续. 下证当 $d=2$ 的情况.

与前面的证明一样, 当 $1<a<2$ 时, 有

$\begin{aligned} |\hat{B}(u, v)(\xi, t)|\leq& \frac{8 C(a, a-1+2 b, 2)}{(2 \pi)^{d}(2-a)_{*}} \tau^{b-1}|\xi|^{-2 a-2 b+4} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} s^{1-a-b} \mathrm{d} s \\ &+|c|(2 \pi)^{-2} C(a, a, d)|\xi|^{-2 a+2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} s^{-a} \mathrm{d} s. \end{aligned}$

令

$\begin{gathered} \hat{B}_{1}(u, v)(\xi, t)=\frac{8 C(a, a-1+2 b, 2)}{(2 \pi)^{d}(2-a)_{*}} \tau^{b-1}|\xi|^{-2 a-2 b+4} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} \mathrm{ s}^{1-a-b} \mathrm{d} s, \\ \hat{B}_{2}(u, v)(\xi, t)=|c|(2 \pi)^{-2} C(a, a, d)|\xi|^{-2 a+2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} s^{-a} \mathrm{d} s. \end{gathered}$

根据参考文献[12], 可知当 $3 / 2-b<a<2-b$, $ 2-2 b \leq a $, $0<b \leq 1$ 时, 有

$\left\|B_{1}(u, v)\right\|_{\mathscr{Y}_{a}} \leq K_{1} \tau^{b-1}\|u\|_{\mathscr{Y}_{a}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{a}}, \quad \left\|B_{1}(u, v)\right\|_{\mathcal{X}} \leq K_{1} \tau^{b-1}\|u\|_{\mathscr{Y}_{a}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{a}}.$

现在先计算 $\hat{B}_{2}(u, v)(\xi, t) \in \mathcal{X}$, 先考虑积分 $\int_0^t \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^2} s^{-a} \mathrm{d} s$.

$\begin{aligned} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} \mathrm{ s}^{-a} \mathrm{d} s & =\int_{0}^{t / 2} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} s^{-a} \mathrm{d} s+\int_{t / 2}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} s^{-a} \mathrm{d} s \\ & \leqslant \mathrm{e}^{-(t / 2)|\xi|^{2}} \int_{0}^{t / 2} s^{-a} \mathrm{d} s+\left(\frac{t}{2}\right)^{-a} \int_{t / 2}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} \mathrm{d} s \\ & =\left(\frac{t}{2}\right)^{-a}\left(\frac{1}{1-a} \cdot\frac{t}{2} \mathrm{e}^{-(t / 2)|\xi|^{2}}+\frac{1-\mathrm{e}^{-(t / 2)|\xi|^{2}}}{|\xi|^{2}}\right). \end{aligned}$

则有

$\begin{aligned} \left\|\hat{B}_{2}(u, v)(\xi, t)\right\|_{\mathcal{X}} & =\mathrm{ess} \sup _{t>0, \xi \in \mathbb{R}^{d}}|c|(2 \pi)^{-2} C(a, a, d)|\xi|^{-2 a+2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} \mathrm{ s}^{-a} \mathrm{d} s \\ & \leq|c|(2 \pi)^{-2} C(a, a, d)|\xi|^{-2 a+2}\left[\left(\frac{t}{2}\right)^{-a}\left(\frac{1}{1-a} \frac{t}{2} \mathrm{e}^{-(t / 2)|\xi|^{2}}\!+\!\frac{1-\mathrm{e}^{-(t / 2)|\xi|^{2}}}{|\xi|^{2}}\right)\right] \\ & =|c|(2 \pi)^{-2} C(a, a, d)\left[\left(\frac{t}{2}|\xi|^{2}\right)^{-a}\left(\frac{1}{1-a} \frac{t}{2}|\xi|^{2} \mathrm{e}^{-(t / 2)|\xi|^{2}}\!+\!1-\mathrm{e}^{-(t / 2)|\xi|^{2}}\right)\right]. \end{aligned}$

令 $\omega=(t / 2)|\xi|^{2}>0$, 则存在一个常数 $K_{3}$, 使得

$\begin{aligned} \left\|\hat{B}_{2}(u, v)(\xi, t)\right\|_{\mathcal{X}} &\leq|c|(2 \pi)^{-2} C(a, a, d)\left[(\omega)^{-a}\left(\frac{1}{1-a} \omega \mathrm{e}^{-\omega}+1-\mathrm{e}^{-\omega}\right)\right] \\ & \leq K_{3}\|u\|_{\mathscr{Y}_{a}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{a}}. \end{aligned}$

下面计算 $\hat{B}_{2}(u, v)(\xi, t) \in \mathscr{Y}_{a}$,

$\begin{aligned} & \left\|\hat{B}_{2}(u, v)(\xi, t)\right\|_{\mathscr{Y}_{a}}\\ & =\mathrm{ess} \sup _{t>0, \xi \in \mathbb{R}^{d}}|c|(2 \pi)^{-2} C(a, a, d) t^{\frac{a}{2}}|\xi|^{a}|\xi|^{-2 a+2} \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-(t-s)|\xi|^{2}} s^{-a} \mathrm{d} s \\ & \leq|c|(2 \pi)^{-2} C(a, a, d) 2^{\frac{a}{2}}\left(\frac{t}{2}|\xi|^{2}\right)^{-\frac{a}{2}}\left[\left(\frac{1}{1-a} \frac{t}{2}|\xi|^{2} \mathrm{e}^{-(t / 2)|\xi|^{2}}+1-\mathrm{e}^{-(t / 2)|\xi|^{2}}\right)\right]. \end{aligned}$

令 $\psi=(t / 2)|\xi|^{2}>0$, 则存在一个常数 $K_{4}$, 使得

$\begin{aligned} \left\|\hat{B}_{2}(u, v)(\xi, t)\right\|_{\mathscr{Y}_{a}} & \leq|c|(2 \pi)^{-2} C(a, a, d)\left[(\psi)^{-\frac{a}{2}}\left(\frac{1}{1-a} \psi \mathrm{e}^{-\psi}+1-\mathrm{e}^{\psi}\right)\right] \\ & \leq K_{4}\|u\|_{\mathscr{Y}_{a}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{a}}. \end{aligned}$

综上, 当 $d=2$, $\tau>0$ 时, 如果 $a$ 和 $b$ 满足$3 / 2-b<a<2$, $2-2 b \leq a$, $1<a$, and $0<b \leq 1$, 则有

(2.4)$\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} \|\hat{B}(u, v)(\xi, t)\|_{\mathscr{Y}_{a}} \leq\left(K_1 \tau^{b-1}+K_3\right)\|u\|_{\mathscr{Y}_{a}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{a}}, \\ \|\hat{B}(u, v)(\xi, t)\|_{\mathcal{X}} \leq\left(K_1 \tau^{b-1}+K_4\right)\|u\|_{\mathscr{Y}_a}\|v\|_{\mathscr{Y}_{a}}, \end{array} \right. \end{equation}$

故当 $d=2$ 时, $B: \mathscr{Y}_{a} \times \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathscr{Y}_{a}$ 和 $B: \mathscr{Y}_{a} \times \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathcal{X}$ 连续.

2.3解的存在性与唯一性

相对于 $\tau$, 从渐近的角度来说, 参数 $b$ 有如下两种选择

(1) 当 $\tau \gg 1$ 时, $b \rightarrow 0(a \rightarrow d)$;

(2) 当 $0<\tau \ll 1$ 时, $b=1$.

当 $b \rightarrow 0$ 和 $a \rightarrow d$ 时, 回顾(1.6)式, 可以得到

$C(a, a-1+2 b, d) \approx \Gamma\left(\frac{d-a}{2}\right) \approx \frac{1}{d-a},\quad C(a, a, d) \approx \Gamma\left(\frac{d-a}{2}\right) \approx \frac{1}{d-a}.$

故

$\left\{\begin{array}{l} K_{1}(a, b, d)=\frac{32 C(a, a-1+2 b, d)}{(2 \pi)^{d}(d-a)_{*}(d-a-b)_{*}} \approx \frac{1}{(d-a)^{2}(d-a-b)}, \\ K_{2}(a, b, d)=\frac{4|c| C(a, a, d)}{(2 \pi)^{d}(d-a-1)_{*}} \approx \frac{1}{(d-a)(d-a-b)}. \end{array}\right.$

当 $d \geq 2$ 和 $0<b \leq 1$ 时, 可以对 $a$ 进行选择. 例如: $a=d-4 / 3 b$. 然后得到

$K_{1}\left(d-\frac{4}{3} b, b, d\right) \approx b^{-3},\quad K_{2}\left(d-\frac{4}{3} b, b, d\right) \approx b^{-2}, \quad \text { 当 } b \searrow 0.$

当 $0<b \leq 1$ 和 $b$ 远离 0 的邻域时, $K_{1}(d-4 / 3 b, b, d)$ 和 $K_{2}(d-4 / 3 b, b, d)$ 有界. 因此, 从估计 (2.3) 和 (2.4) 式中得到,

(2.5)$\begin{equation} \|B(u, v)\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3} b}} \leq \frac{1}{16 \kappa_{d}} b^{-3} \tau^{b-1}\|u\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}}+\frac{1}{16 \mu_{d}} b^{-2}\|u\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}}, \end{equation}$

其中, $\kappa_{d}$ 是常数, 只取决于维数 $d$.

当 $d \geq 3$, $0<\tau \leq 1$, $b=1$ 时. 则 $a=d-4 / 3$, 由 (2.5) 式, 有

$\|B(u, v)\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}} \lesssim \frac{1}{16 \kappa_{d}}\|u\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}}+\frac{1}{16 \mu_{d}}\|u\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}},$

其中符号 $\lesssim $ 表示: 当 $ A\lesssim B $ 时, 意味着存在一个常数 $c>0$ 只依赖于空间维数, 使得 $A \leq c B$. 当 $A \lesssim B$ 和 $B \lesssim A$ 时, 就有 $A \approx B$. 通过参考文献[19], 存在常数 $\tilde{\kappa}_{d}$ 有

$\|L\|_{\mathcal{L}\left(\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}\right)} \leq \frac{\sqrt{\tau}\left\|\nabla \varphi_{0}\right\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}}}{2 \tilde{\kappa}_{d}},$

结合定理 1.1 的条件 (1.4), 有

$\|L\|_{\mathcal{L}\left(\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}\right)} \leq \frac{1}{2}.$

根据参考文献[19]并结合定理 1.1 的条件 (1.4) 可知

$\left\|U_{0}\right\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}} \leq\left\|u_{0}\right\|_{\mathcal{P M}^{d-2}}<\kappa_{d}+\mu_{d}.$

其刚好满足

$\left\|U_{0}\right\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}}} \leqslant \frac{(1-\ell)^{2}}{4 K}=\frac{\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}}{4 \times\left(\frac{1}{16 \kappa_{d}}+\frac{1}{16 \mu_{d}}\right)}=\kappa_{d}+\mu_{d}.$

于是根据不动点引理有

$R=\frac{1-\ell}{2 K}=\frac{1-\frac{1}{2}}{2 \times\left(\frac{1}{16 \kappa_{d}}+\frac{1}{16 \mu_{d}}\right)}=4\left(\kappa_{d}+\mu_{d}\right).$

则方程 (1.3) 在空间 $\mathscr{Y}_{d-4 / 3}$ 中存在全局温和解, 且该解在以 0 为圆心, 半径为 $4\left(\kappa_{d}+\mu_{d}\right)$ 的开球中是唯一定义的.

当 $d \geq 3$, $ \tau \geq 1$, $0<\mathrm{b} \leq 1$ 时, 则 $a=d-4 / 3 b$, 由 (2.3) 式, 有

$\|B(u, v)\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}} } \leq \frac{1}{16 \kappa_{d}} b^{-3} \tau^{b-1}\|u\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3} b}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3} b}}+\frac{1}{16 \mu_{d}} b^{-2}\|u\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3} b}}\|v\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3} b}}.$

通过估计式参考文献[19], 有

$\|L\|_{\mathcal{L}\left(\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3} b}\right)} \leq \frac{\left\|\nabla \varphi_{0}\right\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3} b}}}{2 \tilde{\kappa}_{d} b^{2}},$

结合定理 1.1 的条件 (1.5), 有

$\|L\|_{\mathcal{L}\left(\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3}b}\right)} \leq \frac{1}{2}.$

根据参考文献[19]并结合定理 1.1 的条件 (1.5) 可知

$\left\|U_{0}\right\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3} b}} \leq\left\|u_{0}\right\|_{\mathcal{P M}^{d-2}}<\kappa_{d} b^{3} \tau^{1-b}+\mu_{d} b^{2}.$

其刚好满足

$\left\|U_{0}\right\|_{\mathscr{Y}_{d-\frac{4}{3} b}} \leqslant \frac{(1-\ell)^{2}}{4 K}=\frac{\left(1-\frac{1}{2}\right)^{2}}{4 \times\left(\frac{1}{16 \kappa_{d}} b^{-3} \tau^{1-b}+\frac{1}{16 \mu_{d}} b^{-2}\right)}=\kappa_{d} b^{3} \tau^{1-b}+\mu_{d} b^{2}.$

于是根据不动点引理有

$R=\frac{1-\ell}{2 K}=\frac{1-\frac{1}{2}}{2 \times \frac{1}{16 \kappa_{d}} b^{-3} \tau^{b-1}}=4\left(\kappa_{d} b^{3} \tau^{1-b}+\mu_{d} b^{2}\right).$

则方程 (1.3) 在空间 $\mathscr{Y}_{d-4 / 3 b}$ 中存在全局温和解, 且该解在以 0 为圆心, 半径为 $4(\kappa_{d} b^{3} \tau^{1-b}$$+\mu_{d} b^{2})$ 的开球中唯一. 因为在 $u=U_{0}+B(u, u)+L u$ 中, 右边的每一项在任何情况下都属于 $\mathcal{X}$, 故上述的解也在 $\mathcal{X}$ 中.

3 结论

根据上述证明可知: 当 $d \geq 2 $, $ \tau>0$ 时, 如果有定理 1.1 的条件成立, 则可以得到方程 (1.3) 有一个全局温和解 $u \in \mathcal{X}$, 且存在 $a \in[d-2, d)$ 和 $R>0$, 使得这个解在开球 $\left\{u \in \mathscr{Y}_a:\|u\|_{\mathscr{Y}_a}<R\right\}$ 中是唯一的.

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文献年度倒序

文中引用次数倒序

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Initiation of slime mold aggregation viewed as an instability

1970

... Keller^[1]和 Segel^[2]在 1970 年提出用于描述生物趋化现象的如下偏微分方程模型 ...

Model for chemotaxis

1971

... Keller^[1]和 Segel^[2]在 1970 年提出用于描述生物趋化现象的如下偏微分方程模型 ...

Finite dimensional attractor for one-dimensional Keller-Segel equations

2001

... 其中

$\Omega \in \mathbb{R}^{d}$

是一个有界光滑区域,

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$\chi \in \mathbb{R}$

代表趋化敏感度系数,

$\tau=1$

代表弛豫时间参数,

$\Delta u$

和

$\Delta \varphi$

分别代表细胞自扩散项和化学物质的自扩散,

$-\chi \nabla \cdot(u \nabla \varphi)$

代表趋化敏感度项, 是体现趋化模型最为本质的一项. 当

$d=1$

时, Osaki 和Yagi^[3]证明了对任意充分光滑的初值, 模型 (1.1) 的解都整体存在且一致有界; 当

$d=2$

时, Nagai 等^[4]证明了如果初始值量满足

$\left\|u_{0}\right\|_{L^{1}(\Omega)}<4 \pi$

, 则模型 (1.1) 的解都整体存在且一致有界; 当

$d \geq 3$

时, Winkler^[5]证明了如果对于任何

$\delta>0$

, 存在

$\varepsilon>0$

, 若满足如下条件 ...

Application of the trudinger-moser inequah. ty to a parabolic system of chemotaxis

1997

... 其中

$\Omega \in \mathbb{R}^{d}$

是一个有界光滑区域,

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$\chi \in \mathbb{R}$

代表趋化敏感度系数,

$\tau=1$

代表弛豫时间参数,

$\Delta u$

和

$\Delta \varphi$

分别代表细胞自扩散项和化学物质的自扩散,

$-\chi \nabla \cdot(u \nabla \varphi)$

代表趋化敏感度项, 是体现趋化模型最为本质的一项. 当

$d=1$

时, Osaki 和Yagi^[3]证明了对任意充分光滑的初值, 模型 (1.1) 的解都整体存在且一致有界; 当

$d=2$

时, Nagai 等^[4]证明了如果初始值量满足

$\left\|u_{0}\right\|_{L^{1}(\Omega)}<4 \pi$

, 则模型 (1.1) 的解都整体存在且一致有界; 当

$d \geq 3$

时, Winkler^[5]证明了如果对于任何

$\delta>0$

, 存在

$\varepsilon>0$

, 若满足如下条件 ...

Does a 'volume-filling effect' always prevent chemotactic collapse?

2010

... 其中

$\Omega \in \mathbb{R}^{d}$

是一个有界光滑区域,

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$\chi \in \mathbb{R}$

代表趋化敏感度系数,

$\tau=1$

代表弛豫时间参数,

$\Delta u$

和

$\Delta \varphi$

分别代表细胞自扩散项和化学物质的自扩散,

$-\chi \nabla \cdot(u \nabla \varphi)$

代表趋化敏感度项, 是体现趋化模型最为本质的一项. 当

$d=1$

时, Osaki 和Yagi^[3]证明了对任意充分光滑的初值, 模型 (1.1) 的解都整体存在且一致有界; 当

$d=2$

时, Nagai 等^[4]证明了如果初始值量满足

$\left\|u_{0}\right\|_{L^{1}(\Omega)}<4 \pi$

, 则模型 (1.1) 的解都整体存在且一致有界; 当

$d \geq 3$

时, Winkler^[5]证明了如果对于任何

$\delta>0$

, 存在

$\varepsilon>0$

, 若满足如下条件 ...

... 则模型 (1.1) 的解都整体存在且一致有界; Cao^[6] 对这一结果进行了改进, 得到了如果有 ...

A chemotaxis system with logistic source

2007

... 其中

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$a \geq 0$

表示增长率;

$b>0$

表示阻尼系数, 参数

$\chi>0$

$ \tau \geq 0$

$ \alpha \geq 0$

. 近些年, 模型 (1.2)

$(a \geq 0 $

$b$

$ \chi>0$

$\tau=0$

和

$\alpha=1)$

在有界域

$\Omega \subset \mathbb{R}^{d}$

上取得了许多有意义的研究结果. Tello^[7] 研究了

$d \leq 2$

或阻尼系数满足

$b>(n-2){\chi} / n$

时, 对任意初值全局有界解存在且唯一. Michael^[8] 证明了高维情形下同样的阻尼系数条件有全局有界解的存在. Cao^[9] 证明了在有界域内方程的全局解是存在且唯一的. 后来, 在有界凸域上, Winkler^[10] 证明存在

$\mu_0>0$

, 若有

$b>\mu_0$

成立, 则解整体存在且有界;Yang^[11] 证明了存在

$\theta_{0}>0$

, 若有

$b>\theta_{0} \chi$

成立, 则方程的解整体存在; 对三维情形, Tao^[12] 证明了当

$\chi=1, $

$ b>23$

时整体有界弱解的存在性; Xiang^[13] 放宽了对阻尼系数的要求, 只要

$b>9 /(\sqrt{10}-2) \chi$

时, 就可得到解的整体存在性和有界性. 此外, 当阻尼系数

$b>0$

任意小时, Lankeit^[14] 中证明了三维空间下带有诺伊曼边界条件的光滑有界凸域上, 存在全局弱解. 针对同一模型, Jin^[15] 研究了二维情形下, 趋化效应与阻尼效应对有界性的影响. 当

$\alpha=a=b=0$

$ \chi=1$

时, 模型 (1.2) 就是最简单的抛物-抛物 Keller-Segel 方程. ...

Chemotaxis with logistic source: very weak global solutions and their boundedness properties

2008

... 其中

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$a \geq 0$

表示增长率;

$b>0$

表示阻尼系数, 参数

$\chi>0$

$ \tau \geq 0$

$ \alpha \geq 0$

. 近些年, 模型 (1.2)

$(a \geq 0 $

$b$

$ \chi>0$

$\tau=0$

和

$\alpha=1)$

在有界域

$\Omega \subset \mathbb{R}^{d}$

上取得了许多有意义的研究结果. Tello^[7] 研究了

$d \leq 2$

或阻尼系数满足

$b>(n-2){\chi} / n$

$\mu_0>0$

, 若有

$b>\mu_0$

成立, 则解整体存在且有界;Yang^[11] 证明了存在

$\theta_{0}>0$

, 若有

$b>\theta_{0} \chi$

成立, 则方程的解整体存在; 对三维情形, Tao^[12] 证明了当

$\chi=1, $

$ b>23$

时整体有界弱解的存在性; Xiang^[13] 放宽了对阻尼系数的要求, 只要

$b>9 /(\sqrt{10}-2) \chi$

时, 就可得到解的整体存在性和有界性. 此外, 当阻尼系数

$b>0$

$\alpha=a=b=0$

$ \chi=1$

时, 模型 (1.2) 就是最简单的抛物-抛物 Keller-Segel 方程. ...

Boundedness of solutions to a quasilinear parabolic-elliptic Keller-Segel system with logistic source

2015

... 其中

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$a \geq 0$

表示增长率;

$b>0$

表示阻尼系数, 参数

$\chi>0$

$ \tau \geq 0$

$ \alpha \geq 0$

. 近些年, 模型 (1.2)

$(a \geq 0 $

$b$

$ \chi>0$

$\tau=0$

和

$\alpha=1)$

在有界域

$\Omega \subset \mathbb{R}^{d}$

上取得了许多有意义的研究结果. Tello^[7] 研究了

$d \leq 2$

或阻尼系数满足

$b>(n-2){\chi} / n$

$\mu_0>0$

, 若有

$b>\mu_0$

成立, 则解整体存在且有界;Yang^[11] 证明了存在

$\theta_{0}>0$

, 若有

$b>\theta_{0} \chi$

成立, 则方程的解整体存在; 对三维情形, Tao^[12] 证明了当

$\chi=1, $

$ b>23$

时整体有界弱解的存在性; Xiang^[13] 放宽了对阻尼系数的要求, 只要

$b>9 /(\sqrt{10}-2) \chi$

时, 就可得到解的整体存在性和有界性. 此外, 当阻尼系数

$b>0$

$\alpha=a=b=0$

$ \chi=1$

时, 模型 (1.2) 就是最简单的抛物-抛物 Keller-Segel 方程. ...

Boundedness in the higher-dimensional parabolic-parabolic chemotaxis system with logistic source

2010

... 其中

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$a \geq 0$

表示增长率;

$b>0$

表示阻尼系数, 参数

$\chi>0$

$ \tau \geq 0$

$ \alpha \geq 0$

. 近些年, 模型 (1.2)

$(a \geq 0 $

$b$

$ \chi>0$

$\tau=0$

和

$\alpha=1)$

在有界域

$\Omega \subset \mathbb{R}^{d}$

上取得了许多有意义的研究结果. Tello^[7] 研究了

$d \leq 2$

或阻尼系数满足

$b>(n-2){\chi} / n$

$\mu_0>0$

, 若有

$b>\mu_0$

成立, 则解整体存在且有界;Yang^[11] 证明了存在

$\theta_{0}>0$

, 若有

$b>\theta_{0} \chi$

成立, 则方程的解整体存在; 对三维情形, Tao^[12] 证明了当

$\chi=1, $

$ b>23$

时整体有界弱解的存在性; Xiang^[13] 放宽了对阻尼系数的要求, 只要

$b>9 /(\sqrt{10}-2) \chi$

时, 就可得到解的整体存在性和有界性. 此外, 当阻尼系数

$b>0$

$\alpha=a=b=0$

$ \chi=1$

时, 模型 (1.2) 就是最简单的抛物-抛物 Keller-Segel 方程. ...

Boundedness in a quasilinear fully parabolic Keller-Segel system of higher dimension with logistic source

2015

... 其中

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$a \geq 0$

表示增长率;

$b>0$

表示阻尼系数, 参数

$\chi>0$

$ \tau \geq 0$

$ \alpha \geq 0$

. 近些年, 模型 (1.2)

$(a \geq 0 $

$b$

$ \chi>0$

$\tau=0$

和

$\alpha=1)$

在有界域

$\Omega \subset \mathbb{R}^{d}$

上取得了许多有意义的研究结果. Tello^[7] 研究了

$d \leq 2$

或阻尼系数满足

$b>(n-2){\chi} / n$

$\mu_0>0$

, 若有

$b>\mu_0$

成立, 则解整体存在且有界;Yang^[11] 证明了存在

$\theta_{0}>0$

, 若有

$b>\theta_{0} \chi$

成立, 则方程的解整体存在; 对三维情形, Tao^[12] 证明了当

$\chi=1, $

$ b>23$

时整体有界弱解的存在性; Xiang^[13] 放宽了对阻尼系数的要求, 只要

$b>9 /(\sqrt{10}-2) \chi$

时, 就可得到解的整体存在性和有界性. 此外, 当阻尼系数

$b>0$

$\alpha=a=b=0$

$ \chi=1$

时, 模型 (1.2) 就是最简单的抛物-抛物 Keller-Segel 方程. ...

Boundedness and decay enforced by quadratic degradation in a three-dimensional chemotaxis-fluid system

2015

... 其中

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$a \geq 0$

表示增长率;

$b>0$

表示阻尼系数, 参数

$\chi>0$

$ \tau \geq 0$

$ \alpha \geq 0$

. 近些年, 模型 (1.2)

$(a \geq 0 $

$b$

$ \chi>0$

$\tau=0$

和

$\alpha=1)$

在有界域

$\Omega \subset \mathbb{R}^{d}$

上取得了许多有意义的研究结果. Tello^[7] 研究了

$d \leq 2$

或阻尼系数满足

$b>(n-2){\chi} / n$

$\mu_0>0$

, 若有

$b>\mu_0$

成立, 则解整体存在且有界;Yang^[11] 证明了存在

$\theta_{0}>0$

, 若有

$b>\theta_{0} \chi$

成立, 则方程的解整体存在; 对三维情形, Tao^[12] 证明了当

$\chi=1, $

$ b>23$

时整体有界弱解的存在性; Xiang^[13] 放宽了对阻尼系数的要求, 只要

$b>9 /(\sqrt{10}-2) \chi$

时, 就可得到解的整体存在性和有界性. 此外, 当阻尼系数

$b>0$

$\alpha=a=b=0$

$ \chi=1$

时, 模型 (1.2) 就是最简单的抛物-抛物 Keller-Segel 方程. ...

... 根据参考文献[12], 可知当

$3 / 2-b<a<2-b$

$ 2-2 b \leq a $

$0<b \leq 1$

时, 有 ...

How strong a logistic damping can prevent blow-up for the minimal Keller-Segel chemotaxis system?

2018

... 其中

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$a \geq 0$

表示增长率;

$b>0$

表示阻尼系数, 参数

$\chi>0$

$ \tau \geq 0$

$ \alpha \geq 0$

. 近些年, 模型 (1.2)

$(a \geq 0 $

$b$

$ \chi>0$

$\tau=0$

和

$\alpha=1)$

在有界域

$\Omega \subset \mathbb{R}^{d}$

上取得了许多有意义的研究结果. Tello^[7] 研究了

$d \leq 2$

或阻尼系数满足

$b>(n-2){\chi} / n$

$\mu_0>0$

, 若有

$b>\mu_0$

成立, 则解整体存在且有界;Yang^[11] 证明了存在

$\theta_{0}>0$

, 若有

$b>\theta_{0} \chi$

成立, 则方程的解整体存在; 对三维情形, Tao^[12] 证明了当

$\chi=1, $

$ b>23$

时整体有界弱解的存在性; Xiang^[13] 放宽了对阻尼系数的要求, 只要

$b>9 /(\sqrt{10}-2) \chi$

时, 就可得到解的整体存在性和有界性. 此外, 当阻尼系数

$b>0$

$\alpha=a=b=0$

$ \chi=1$

时, 模型 (1.2) 就是最简单的抛物-抛物 Keller-Segel 方程. ...

Eventual smoothness and asymptotics in a three-dimensional chemotaxis system with logistic source

2015

... 其中

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$a \geq 0$

表示增长率;

$b>0$

表示阻尼系数, 参数

$\chi>0$

$ \tau \geq 0$

$ \alpha \geq 0$

. 近些年, 模型 (1.2)

$(a \geq 0 $

$b$

$ \chi>0$

$\tau=0$

和

$\alpha=1)$

在有界域

$\Omega \subset \mathbb{R}^{d}$

上取得了许多有意义的研究结果. Tello^[7] 研究了

$d \leq 2$

或阻尼系数满足

$b>(n-2){\chi} / n$

$\mu_0>0$

, 若有

$b>\mu_0$

成立, 则解整体存在且有界;Yang^[11] 证明了存在

$\theta_{0}>0$

, 若有

$b>\theta_{0} \chi$

成立, 则方程的解整体存在; 对三维情形, Tao^[12] 证明了当

$\chi=1, $

$ b>23$

时整体有界弱解的存在性; Xiang^[13] 放宽了对阻尼系数的要求, 只要

$b>9 /(\sqrt{10}-2) \chi$

时, 就可得到解的整体存在性和有界性. 此外, 当阻尼系数

$b>0$

$\alpha=a=b=0$

$ \chi=1$

时, 模型 (1.2) 就是最简单的抛物-抛物 Keller-Segel 方程. ...

Chemotaxis effect vs. logistic damping on boundedness in the 2-D minimal Keller-Segel model

2018

... 其中

$u=u(x, t)$

代表细胞的密度,

$\varphi=\varphi(x, t)$

代表化学信号物质的的浓度,

$a \geq 0$

表示增长率;

$b>0$

表示阻尼系数, 参数

$\chi>0$

$ \tau \geq 0$

$ \alpha \geq 0$

. 近些年, 模型 (1.2)

$(a \geq 0 $

$b$

$ \chi>0$

$\tau=0$

和

$\alpha=1)$

在有界域

$\Omega \subset \mathbb{R}^{d}$

上取得了许多有意义的研究结果. Tello^[7] 研究了

$d \leq 2$

或阻尼系数满足

$b>(n-2){\chi} / n$

$\mu_0>0$

, 若有

$b>\mu_0$

成立, 则解整体存在且有界;Yang^[11] 证明了存在

$\theta_{0}>0$

, 若有

$b>\theta_{0} \chi$

成立, 则方程的解整体存在; 对三维情形, Tao^[12] 证明了当

$\chi=1, $

$ b>23$

时整体有界弱解的存在性; Xiang^[13] 放宽了对阻尼系数的要求, 只要

$b>9 /(\sqrt{10}-2) \chi$

时, 就可得到解的整体存在性和有界性. 此外, 当阻尼系数

$b>0$

$\alpha=a=b=0$

$ \chi=1$

时, 模型 (1.2) 就是最简单的抛物-抛物 Keller-Segel 方程. ...

Stability property of the two-dimensional Keller-Segel model

2009

... 在全空间情况下, 即

$\Omega=\mathbb{R}^{d}$

时, 无界域为研究带来了很多额外困难. 尽管如此, Raczynski^[16] 证明了

$d=2$

时抛物-抛物 Keller-Segel 方程趋化性解的稳定性. 即当考虑系统的一个合适参数

$\tau$

收敛于零时, 抛物-抛物系统的解收敛于抛物-椭圆系统的解. Biler^[17] 和 Corrias^[18] 在二维情况下证明了当扩散参数

$\tau$

足够大的情况下, 任意大小的初始数据都可以得到全局解. Biler, Boritchev 和 Brandolese^[19] 改进了早期的结果, 将二维情况扩展到了高维. 由于 Logistic 源项的存在明显破坏了经典 Keller-Segel 模型质量守恒的性质, 这使得加入 Logistic 源项后的原方程极有可能面临爆破的情况. 所以, 本文在 Biler 研究的方程基础上引入带平方项的 Logistic 源, 对此时方程在高维情况下是否仍存在全局解展开研究. ...

... 通过不动点引理^[16]可知, 首先需要把方程表示为

$u=U_{0}+B(u, u)+L u$

的形式, 再求得

$U_{0}$

足够小, 算子

$B$

和

$L$

连续, 即可得到方程 (1.3) 的解存在. ...

... 在全空间情况下, 即

$\Omega=\mathbb{R}^{d}$

时, 无界域为研究带来了很多额外困难. 尽管如此, Raczynski^[16] 证明了

$d=2$

时抛物-抛物 Keller-Segel 方程趋化性解的稳定性. 即当考虑系统的一个合适参数

$\tau$

收敛于零时, 抛物-抛物系统的解收敛于抛物-椭圆系统的解. Biler^[17] 和 Corrias^[18] 在二维情况下证明了当扩散参数

$\tau$

Existence, uniqueness and asymptotic behavior of the solutions to the fully parabolic Keller-Segel system in the plane

2014

... 在全空间情况下, 即

$\Omega=\mathbb{R}^{d}$

时, 无界域为研究带来了很多额外困难. 尽管如此, Raczynski^[16] 证明了

$d=2$

时抛物-抛物 Keller-Segel 方程趋化性解的稳定性. 即当考虑系统的一个合适参数

$\tau$

收敛于零时, 抛物-抛物系统的解收敛于抛物-椭圆系统的解. Biler^[17] 和 Corrias^[18] 在二维情况下证明了当扩散参数

$\tau$

Large global solutions of the parabolic-parabolic Keller-Segel system in higher dimensions

2023

... 在全空间情况下, 即

$\Omega=\mathbb{R}^{d}$

时, 无界域为研究带来了很多额外困难. 尽管如此, Raczynski^[16] 证明了

$d=2$

时抛物-抛物 Keller-Segel 方程趋化性解的稳定性. 即当考虑系统的一个合适参数

$\tau$

收敛于零时, 抛物-抛物系统的解收敛于抛物-椭圆系统的解. Biler^[17] 和 Corrias^[18] 在二维情况下证明了当扩散参数

$\tau$

... 特别的, 当方程 (1.3) 中

$c=0$

时, 由参考文献[19] 可知, 在扩散参数

$\tau$

足够大的情况下, 任意大小的初始数据都可以得到全局解. 但当加入平方项的 Logistic 源后, 该定理表明: 在扩散参数

$\tau$

足够大的情况下, 只有当初值

$\left\|u_{0}\right\|_{\mathcal{P M}^{d-2}}<\mu_{d} b^{2}$

才可以得到全局解. ...

... 引理1.2^[19] 当

$s>0$

$ A>0$

$\delta>0$

$0 \leq b \leq 1$

和

$\delta_{*}=\delta \wedge 1$

时, 则 ...

... 其中

$U_{0}(t)={\rm e}^{t \Delta} u_{0}$

. 由参考文献[19]可知,

$U_{0}$

有界, 且

$L: \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathscr{Y}_{a}$

和

$L: \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathcal{X}$

连续, 下证

$B: \mathscr{Y}_{a} \times \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathscr{Y}_{a}$

和

$B: \mathscr{Y}_{a} \times \mathscr{Y}_{a} \rightarrow \mathcal{X}$

连续. ...

... 其中符号

$\lesssim $

表示: 当

$ A\lesssim B $

时, 意味着存在一个常数

$c>0$

只依赖于空间维数, 使得

$A \leq c B$

. 当

$A \lesssim B$

和

$B \lesssim A$

时, 就有

$A \approx B$

. 通过参考文献[19], 存在常数

$\tilde{\kappa}_{d}$

有 ...

... 根据参考文献[19]并结合定理 1.1 的条件 (1.4) 可知 ...

... 通过估计式参考文献[19], 有 ...

... 根据参考文献[19]并结合定理 1.1 的条件 (1.5) 可知 ...

Global regular and singular solutions for a model of gravitating particles

2004

... 引理1.1^[20]当

$0<\alpha$

$ \beta<d$

, 使

$\alpha+\beta>d$

, 则 ...

〈

〉