本文考虑如下高维空间中具有对流项和时空周期系数的部分退化反应扩散系统

在方程 (1.1) 中, $N\geq 1$, 当 $\nu\in (0,1)$ 时, 在空间 $C^{\frac{\nu}{2},\nu}(\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N})$ 中, $D_{1}(t,x)$ 关于$(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$ 是严格正函数; $D_{0}(t,x)=(D_{01}(t,x),\cdots,D_{0N}(t,x))$ 并且 $D_{0i}(t,x)\in C^{\frac{\nu}{2},\nu}(\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}),\, i=1,\cdots N$. 这里假设$D_{1}(t,x)$, $D_{0i}(t,x) \ (i=1,\cdots,N)$, $f(t,x,u_{1},u_{2})$ 和 $g(t,x,u_{1},u_{2})$ 关于时间变量 $t$ 以 $T$ 为周期并关于空间变量以 $L:=(l_{1},l_{2},\cdots,l_{N})$ 为周期, 也就是说

其中 $\omega(t,x,\cdot)=D_{1}(t,x)$, $D_{0i}(t,x)\ (i=1,\cdots,N)$, $f(t,x,u_{1},u_{2})$ 或者 $g(t,x,u_{1},u_{2})$. 假设

(H1) 反应函数 $f,g:\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}\times\Bbb{R}^{2}_{+}\rightarrow \Bbb{R}$, $f(t,x,\mathbf{u})$ 和 $g(t,x,\mathbf{u})$ 关于变量 $(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$ 是 H$\ddot{\rm o}$lder 连续的并且关于变量 $\mathbf{u}$ 是 $C^{2}$, $f(t,x,\mathbf{0})=g(t,x,\mathbf{0})=0$, 函数 $f,g$ 关于 $u_{1}$, $u_{2}$ 的偏导数也是以 $(T,L):=(T,l_{1},l_{2},\cdots,l_{N})$ 为周期并且连续的.

(H2) 对任意的 $(t,x)\in \Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$ 和某个 $\mathbf{M}=(M_{1},M_{2})$, 有 $f(t,x,\mathbf{M})\leq 0$ 和 $g(t,x,\mathbf{M})\leq 0$, 并且对任意的 $\mathbf{u}\in [\mathbf{0},\mathbf{M}]$, 有 $f_{u_{2}}>0$, $g_{u_{1}}>0$.

(H3) $F(t,x,\mathbf{u}):=(f(t,x,\mathbf{u}),g(t,x,\mathbf{u}))$ 在 $[M_{1}]\times[M_{2}]$ 上是严格次其次的.

由文献[16]可知, 底栖-浮游种群模型用于模拟河流中底栖-浮游种群的生长, 并且底栖个体不移动, 因此该模型中没有底栖个体的扩散项. 基于该结果, 系统 (1.1) 作为一个部分退化系统其第二个方程的扩散系数为 0. 事实上, 在一些生态模型中, 某些种群的扩散现象可以被忽略, 如文献[8,10]中的例子. 在某些传染病模型中, 受感染的人群通常会有很弱的移动能力并且扩散可以忽略, 参见文献[3,4]. 对这样的部分退化的反应扩散系统, 其行波解和传播速度的研究吸引了众多关注并已经有了许多研究结果, 如文献[3,5,11,13,15,23-25,27,28]及其中的参考文献. 通过利用上下解结合迭代方法, Fang 等^[5]证明了自治的部分退化合作系统存在行波解. 在一维的周期环境中, 具有单稳反应项的部分退化模型的脉冲波和传播速度也已在文献[20,22]中研究. Fang 等^[6]研究了一维空间中具有对流项和部分退化扩散的时空周期的登革热模型. 当扩散项为非局部扩散时, 文献[1,21]也分别考虑了空间周期和时空周期环境中部分退化的非局部扩散系统的传播性质.

最近, 在高维空间中, Du 等^[2]研究了时空周期单调半流并对时空周期的合作系统证明了传播速度, 渐近射线传播速度和周期行波解的存在性等. 由于系统 (1.1) 的第二个方程没有扩散项, 导致 (1.1) 的解映射是非紧的. 我们不能对系统 (1.1) 应用文献[2]的抽象结果. 因此, 我们将利用传播速度区间和渐近传播射线速度区间来研究高维时空周期媒介中系统 (1.1) 的传播性质.

本文的安排如下. 在第二节中, 我们展示一些准备工作, 如比较原理, 主特征值和整解的存在性等. 在第三节中, 我们考虑传播速度和渐近传播射线速度并证明传播性质的主要结果. 在第四节我们将传播速度的结果应用到高维时空周期媒介中的三个部分退化模型.

在本节, 我们列出了一些符号, 并给出比较原理、时空周期特征值问题和周期整体解的存在性等.令

并且其具有范数 $\|\cdot\|$,

其中 $|\cdot|$ 表示 $\Bbb{R}^{2}$ 中的范数. 则 $(\mathcal{C},\|\cdot\|)$ 是正规空间. 记 $\mathbf{u}=(u_{1},u_{2})\in \mathcal{C}$, $\mathbf{v}=(v_{1},v_{2})\in \mathcal{C}$. 如果$u_{i}(x)\geq v_{i}(x)\, (u_{i}(x)> v_{i}(x))$, $\forall i=1,2$, $x\in\Bbb{R}$, 则记 $\mathbf{u}\geq \mathbf{v}\, (\mathbf{u}\gg \mathbf{v})$. 定义 $\mathcal{C}$ 的正锥为 $\mathcal{C}_{+}=\{\mathbf{u}\in\mathcal{C}:\, \mathbf{u}(x)\geq \mathbf{0},\, \forall x\in\Bbb{R}^{N}\}$.

对任意给定的 $\mathbf{u}_{0}(\cdot)=(u_{10}(\cdot),u_{2}(\cdot))\in \mathcal{C}$, 考虑系统

令 $l_{1}(t)$ 为如下线性方程生成的线性半群

则

令

利用文献[17]中的抽象结果, 系统 (2.1) 存在以 $\mathbf{u}_{0}\in [\mathbf{0},\mathbf{M}]_{\mathcal{C}}$ 为初值的唯一适度解 $\mathbf{u}(t,\cdot;\mathbf{u}_{0})$ 并且 $\mathbf{u}(0,\cdot;\mathbf{u}_{0})=\mathbf{u}_{0}$. 对所有的 $t\geq 0$, 也有 $\mathbf{u}(t,\cdot;\mathbf{u}_{0})\in [\mathbf{0},\mathbf{M}]_{\mathcal{C}}$.

如果

和

我们称 $\mathbf{u}(t,\cdot)=(u_{1}(t,\cdot),u_{2}(t,\cdot))$ 是系统 (2.1) 在 $[0,T)\times\Bbb{R}^{N}$ 的上解 (下解).

因此对系统 (2.1) 有如下比较原理.

引理2.1 假设 $\mathbf{u}^{+}(t,x)\in [\mathbf{0},\mathbf{M}]_{\mathcal{C}}$ 且 $\mathbf{u}^{-}(t,x)\in [\mathbf{0},\mathbf{M}]_{\mathcal{C}}$ 在 $[0,T)\times\Bbb{R}^{N}$ 上分别是系统 (2.1) 的一对上下解. 如果对 $\Bbb{R}^{N}$ 有 $\mathbf{u}^{+}(0,\cdot)\geq \mathbf{u}^{-}(0,\cdot)$, 则在 $[0,T)\times\Bbb{R}^{N}$ 成立 $\mathbf{u}^{+}(t,\cdot)\geq \mathbf{u}^{-}(t,\cdot)$.

证 证明可参考文献[17, 推论 5]和文献[22,引理 2.1].

令$X_{p}=\{\mathbf{u}\in C(\Bbb{R}^{N},\Bbb{R}^{2})|\, u_{i}(\cdot+l_{j}e_{j})=u_{i}(\cdot),\quad j=1,\cdots,N,\,i=1,2 \}$

和$X^{+}=\{\mathbf{u}\in X_{p}|\, u_{i}(x)\geq 0,\, \forall x\in\Bbb{R}^{N},\, i=1,2\}.$

为了方便, 设$[\mathbf{0},\mathbf{M}]_{p}=\{\mathbf{u}\in X_{p}|\, \mathbf{0}\leq \mathbf{u}\leq \mathbf{M}\}$.在 $0$ 点处线性化系统 (1.1) 可得

其中 $t>0$ 和 $x\in\Bbb{R}^{N}$. 对任意给定的 $\mu\in\Bbb{R}$, 设 $\overline{u}(t,x)={\rm e}^{-\mu x\cdot \mathbf{e}+\lambda t}\phi(t,x)$, 其中 $\phi(t,x)=(\phi_{1}(t,x),\phi_{2}(t,x))$ 满足

令 $\{\Phi(t,s),\, t\geq s\}$ 是如下线性系统定义在 $X_{p}$ 的发展算子族

定义 $\{\Phi_{\lambda}(t,x),\, t\geq s\}$ 是如下系统的解算子

显然, 对 $t\geq s$, $\Phi_{\lambda}(t,s)={\rm e}^{\lambda(t-s)}\Phi(t,s)$. 定义 $r(\Phi_{\lambda}(t,s))$ 为 $\Phi_{\lambda}(t,s)$ 的谱半径. 记 $\{H_{\lambda}(t,s),\, t\geq s\}$ 是

的发展算子族. 则 $\frac{\partial \phi_{2}}{\partial t}(t,x)=g_{u_{2}}(t,x,0)\phi_{2}$ 的发展算子族是 $\{H_{0}(t,s):\, t\geq s\}$.

对 $\{H_{0}(t,s):\, t\geq s\}$, 定义

设$\eta=-\omega(H_{0})$.引入巴拿赫空间 $X_{1}=C(\Bbb{R}^{N},\Bbb{R})$, 和 $X=X_{1}\times X_{1}$, 其正锥分别为 $X^{+}_{1}=C(\Bbb{R}^{N},\Bbb{R}_{+})$ 和 $X^{+}=X^{+}_{1}\times X^{+}_{1}$. 令

则

定义

为了保证特征值问题 (2.3) 存在主特征值, 假设系统 (1.1) 的系数满足

(H4) 对任意的 $(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$, 当 $\mathbf{u}\in[\mathbf{0},\mathbf{M}]$ 时有 $g_{u_{2}}(t,x,\mathbf{u})<0$. 另外, 存在有界闭集 $\mathcal{D}^{\prime}\subset \mathcal{D}$ 使得当 $x\in\mathcal{D}^{\prime}$ 时有 $\overline{g}_{u_{2}}(x)=\max_{x\in \mathcal{D}}\overline{g}_{u_{2}}(x)$.

值得说明的是假设 (H4) 中的第一部分用于证明系统 (2.1) 的全局动力学, 第二部分则是为了证明如下引理中的 $r(\Phi_{{\overline{\lambda}}}(T,0))\geq 1$ 对某些 $\overline{\lambda}<\eta$ 成立.

定理2.1 假设 (H1)-(H4) 成立. 则对某些 $\overline{\lambda}<\eta$, 有 $r(\Phi_{{\overline{\lambda}}}(T,0))\geq 1$ 并且 $r(\Phi(T,0))$ 是 $\Phi(T,0)$ 的主特征值并存在正的特征向量与之对应. 另外, $\lambda(\mu,\mathbf{e})=\frac{\ln{r(\Phi(T,0))}}{T}$ 是 (2.3) 式的主特征值并且 $\mathbf{\phi}(t,x)\in {\rm Int}(\mathbb{X}^{+})$ 是其对应的正的特征向量.

证 当假设 (H1)-(H3) 成立时, $\Phi(t,s)$ 在空间 $X$ 上对 $t\geq s$ 总是正的. 回顾 $\{H_{0}(t,s):\, t\geq s\}$ 是 $\frac{\partial \phi_{2}}{\partial t}(t,x)=g_{u_{2}}(t,x,0)\phi_{2}$ 的发展算子族.则当 $t\geq 0$ 时有

因此

定义

其中 $\lambda<\eta$ 且

当 $\lambda<\eta$, 方程$\frac{\partial u_{2}}{\partial t}=g_{u_{1}}(t,x,0)u_{1}+g_{u_{2}}(t,x,0)u_{2}+\lambda u_{2}$ 存在唯一的时空周期解 $u_{2}=K_{\lambda}u_{1}$. 定义抛物算子 $L_{1}$ 为

考虑特征值问题$Lw_{1}(t,x)=\lambda w_{1}(t,x)$.设 $\lambda_{1}(\mathbf{e},\mu)$ 是如上特征值问题的主特征值并且 $w_{*}(t,x)$ 是其对应的时空周期特征向量. 令 $\lambda_{1}(\mathbf{e},\mu)=\lambda_{1}$.

下面, 证明存在 $\overline{\lambda}<\eta$ 使得

当 $\lambda_{1}<\eta$ 时, $\overline{g}_{u_{2}}(x)+\lambda_{1}<\lambda_{1}-\eta<0$ 并且 $1-{\rm e}^{\int^{T}_{0}g_{u_{2}}(\tau,x,0){\rm d}\tau+\lambda T}>0$, 这表明对 $x\in \mathcal{D}^{\prime},t\in\Bbb{R}$, 有 $K_{\lambda_{1}}w_{*}(t,x)\geq 0$. 因此, (2.7) 式成立且 $\overline{\lambda}=\lambda_{1}$.接下来考虑当 $\lambda_{1}\geq \eta$ 的情形. 令

则$B_{0}=\max\{b\in\Bbb{R}:\, \overline{w}_{*}(\cdot)-bw_{*}(t,x)\geq 0,\, x\in\mathcal{D},t\in\Bbb{R}\}>0.$

当 $\eta-1\leq \lambda\leq \eta$ 且 $0\leq t\leq T$ 时, 可知 $\int^{t}_{0}(g_{u_{2}}(\tau,\cdot,0)+\lambda\tau){\rm d}\tau$ 是一致有界的. 由假设 (H4),可得 $\eta=-\overline{g}_{u_{2}}(x)$, 其中 $x\in\mathcal{D}^{\prime}$. 则存在正常数 $C_{0}$ 使得

其中 $\eta-1\leq \lambda\leq \eta$, $x\in \mathcal{D}^{\prime}$, $t\in\Bbb{R}$.

令

由 $\eta-1-\lambda_{1}<0$, $\lambda^{\prime}<\eta$, 可得 $\eta-1\leq \overline{\lambda}< \eta$. 利用 (2.8) 式,

其中 $x\in\mathcal{D}^{\prime}$ 且 $t>0$. 因此 (2.7) 式成立.

下面证明 $r({\rm e}^{\overline{\lambda}T}\Phi(T,0))\geq 1$. 为了这个目的, 对任意的 $t>0$, 定义空间周期函数 $w_{0}(t,\cdot):\Bbb{R}^{N}\rightarrow\Bbb{R}$ 为

令 $v_{0}(t,x)=K_{\overline{\lambda}}w_{0}(t,x)$. 记 $\phi(t,x):=(w_{0}(t,x),v_{0}(t,x))$. 设 $\phi_{0}(x)=\phi(0,x)$ 且 $\overline{\mathbf{u}}(t,\cdot;\phi_{0})=(\overline{u}_{1}(t,x),\overline{u}_{2}(t,x))$. 则由 (2.7) 式和 $\overline{\mathbf{u}}(t,\cdot;\phi_{0})$ 可得

比较原理表明对任意的 $x\in\Bbb{R}^{N}$ 和 $t>0$, 有${\rm e}^{\overline{\lambda}t}\Phi(t,0)\phi_{0}\geq \overline{u}(t,x;\phi_{0})=\phi(t,x)$.因为对 $t>0$ 有 ${\rm e}^{\overline{\lambda}t}\Phi(t,0)\phi_{0}\in X^{+}$, 则 ${\rm e}^{\overline{\lambda}T}\Phi(T,0)\phi_{0}\geq \phi_{0}(x)$ 且 $r({\rm e}^{\overline{\lambda}T}\Phi(T,0))\geq 1$. 利用文献[12,定理 2.16]可得 (2.3) 式存在主特征值.

对任意 $\mathbf{u}_{0}\in [\mathbf{0},\mathbf{M}]_{p}$, 设系统 (2.1) 以 $\mathbf{u}(0,x;\mathbf{u}_{0})=\mathbf{u}_{0}$ 为初值的解为 $\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0})$. 令 $\lambda_{0}=\lambda(0,\mathbf{e})$.

定理2.2 假设 (H1)-(H4) 成立. 如果 $\lambda_{0}>0$, 则 (2.1) 式存在唯一的正的时空周期稳态解 $\mathbf{u}^{*}(t,x)$ 并且对任意的 $\mathbf{u}_{0}\in[\mathbf{0},\mathbf{M}]_{p}\backslash \{\mathbf{0}\}$, 其满足 $\lim_{t\rightarrow\infty}\|\mathbf{u}(t,\cdot;\mathbf{u}_{0})-\mathbf{u}^{*}(t,\cdot)\|=0$.

证 首先定义系统 (2.1) 的解映射为 $Q_{t}(\mathbf{u}_{0}):=\mathbf{u}(t,\cdot;\mathbf{u}_{0})$, $t\geq 0$. 由引理 2.1, 解映射 $Q_{t}$在$[\mathbf{0},\mathbf{M}]_{p}$ 上是强单调的. 从假设(H2)-(H3), 可知在 $[\mathbf{0},\mathbf{M}]$ 上, 系统 (2.1) 是合作的并且反应项 $(f(t,x,\mathbf{u}),g(t,x,\mathbf{u}))$ 也是严格次其次的. 因此对每个 $t>0$, 对所有 $\alpha\in (0,1)$, $\mathbf{u}_{0}\in [\mathbf{0},\mathbf{M}]_{p}$ 和 $\mathbf{u}_{0}\gg \mathbf{0}$, 可得 $Q_{t}(\alpha \mathbf{u}_{0})>\alpha Q_{t}(\mathbf{u_{0}})$, 这表明 $Q_{t}$ 在 $[\mathbf{0},\mathbf{M}]_{p}$ 上是严格次其次的. 由假设 (H4), 对某些 $r_{0}>0$, $(t,x)\in \Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$ 和 $\mathbf{u}\in [\mathbf{0},\mathbf{M}]$, $g_{u_{2}}(t,x,\mathbf{u})\leq r_{0}$. 则对任意的 $\mathbf{u}_{0}\in[\mathbf{0},\mathbf{M}]_{p}$ 和 $n_{k}\rightarrow\infty$, 可选取一个子列 $n_{k_{j}}\rightarrow\infty$ 使得当 $j\rightarrow\infty$ 时 $Q^{n_{k_{j}}}_{T}(\mathbf{u}_{0})$ 在 $[\mathbf{0},\mathbf{M}]_{p}$ 中收敛. 这表明 $\gamma^{+}(\mathbf{u}_{0})=\{Q^{n}_{T}\mathbf{u}_{0}:n\geq 0\}$ 是渐近紧的. 因此, 利用文献[22,定理 2.4]或文献[12,定理 3.10]中类似证明过程, 可得定理结果.

接下来我们分别研究系统 (1.1) 在类波前初值和紧支撑初值情形下的传播性质. 假设 (H1)-(H4) 成立且 $\lambda_{0}>0$.

对任意给定的单位向量 $\mathbf{e}\in S^{N-1}$, 引入了系统 (1.1) 在方向 $\mathbf{e}$ 上传播速度区间 $[c_{\inf}(\mathbf{e}),$$c_{\sup}(\mathbf{e})]$ 并且证明传播速度区间与传播速度的相关性质. 当实数 $x\cdot \mathbf{e}$ 足够大, 将其表示为 $ x\cdot \mathbf{e}\gg 1$. 定义

令$C_{\inf}(\mathbf{e})=\{c\in\Bbb{R}|\limsup_{t\rightarrow\infty,x\cdot \mathbf{e}\leq ct}|\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0})-\mathbf{u}^{*}(t,x)|=0,\quad\forall \mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}_{+}(\mathbf{e})\}$

和$C_{\sup}(\mathbf{e})=\{c\in\Bbb{R}|\limsup_{t\rightarrow\infty,x\cdot \mathbf{e}\geq ct}|\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0})|=0,\quad\forall \mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}_{+}(\mathbf{e})\}.$

定义3.1 定义

则系统 (1.1) 在方向 $\mathbf{e}$ 上的传播速度区间为 $[c_{\inf}(\mathbf{e}),c_{\sup}(\mathbf{e})]$.

值得注意的是 $c_{\inf}(\mathbf{e})\leq c_{\sup}(\mathbf{e})$, $C_{\sup}(\mathbf{e})$和$C_{\inf}(\mathbf{e})$ 都是非空的. 区间 $[c_{\inf}(\mathbf{e}),c_{\sup}(\mathbf{e})]$ 有定义且 $-\infty\leq c_{\inf}(\mathbf{e})\leq c_{\sup}(\mathbf{e})\leq +\infty$. 由于空间非齐次的出现, 我们需要研究如下空间平移的系统, 也就是, 对任意的 $z\in\Bbb{R}^{N}$, 考虑

相似地, 对任意的初值 $\mathbf{u}_{0}\in [\mathbf{0},\mathbf{M}]_{\mathcal{C}}$, 系统 (3.1) 以 $\mathbf{u}_{0}$ 为初值的唯一解为 $\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0},z)$, 其中 $\mathbf{u}(0,x;\mathbf{u}_{0},z)=\mathbf{u}_{0}$. 特别地, $\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0},0)=\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0})$.

引理3.1 对每个 $\mathbf{e}\in S^{N-1}$, 可得

(1) 当存在 $\mathbf{u}^{+}\in \mathcal{C}_{+}(\mathbf{e})$ 满足

则可得 $c\geq c_{\sup}(\mathbf{e})$;

(2) 当 $c>c_{\sup}(\mathbf{e})$, 则对任意 $\mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}_{+}(\mathbf{e})$,

(3) 当存在 $\mathbf{u}^{+}\in C_{+}(\mathbf{e})$ 满足

则可得 $c\leq c_{\inf}(\mathbf{e})$;

(4) 如果 $c<c_{\inf}(\mathbf{e})$, 则对任意 $\mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}_{+}(\mathbf{e})$,

证 引理的证明类似于文献[9,引理 3.4-3.5]中的讨论.

引理3.2 (1) 令 $c\in\Bbb{R}$ 且 $\mathbf{u}_{0}\in [\mathbf{0},\mathbf{u}^{*}]_{\mathcal{C}}$, 其中 $\mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}_{+}(\mathbf{e})$ 给定. 当存在常数 $\delta_{0}>0$ 满足

则对每个 $c^{\prime}<c$, 有

(2) 令 $c\in\Bbb{R}$ 和 $\mathbf{u}_{0}\in [\mathbf{0},\mathbf{u}^{*}]_{\mathcal{C}}$. 当存在常数 $\delta_{0}>0$ 满足

则对每个 $c^{\prime}<c$, 有

证 引理的证明类似于文献[9,引理 3.2]和文献[22,引理 3.4]中的讨论.

引理3.3 $[c_{\inf}(\mathbf{e}),c_{\sup}(\mathbf{e})]$ 是一个有限区间.

证 为了证明 $[c_{\inf}(\mathbf{e}),c_{\sup}(\mathbf{e})]$ 是一个有限区间, 我们将用比较原理构造一对传播速度区间 $[c_{\inf}(\mathbf{e}),c_{\sup}(\mathbf{e})]$ 对应的上界和下界. 令 $\eta(s)=\frac{1}{2}(1+\tanh{\frac{s}{2}})$. 则 $\eta^{\prime}(s)=\eta(s)(1-\eta(s))$, 其中 $s\in\Bbb{R}$. 对每个向量 $\mathbf{u}^{-}\ll \mathbf{0}$, $x\in\Bbb{R}^{N}$ 和 $t\in\Bbb{R}$, 假设 $f(t,x,\mathbf{u}^{-})\geq0$ 和 $g(t,x,\mathbf{u}^{-})\geq 0$. 定义

其中 $\alpha^{\pm}=(\alpha^{\pm}_{1},\alpha^{\pm}_{2})$ 是一个给定的常向量, 其满足 $u^{-}_{i}\leq \alpha^{-}_{i}<0\ll \alpha^{+}_{i}<\inf_{x\in\Bbb{R}^{N}}u^{*}_{i}(0,x)$$(i=1,2)$. 利用类似于文献[20,引理 3.1]的方法, 可以找到一个常数 $C_{0}>0$ 使得 $\mathbf{w}^{+}(t,x;z)$ 对每个 $C\geq C_{0}$ 和 $z\in\Bbb{R}^{N}$ 是系统 (3.1) 的一个上解. 则存在 $\widetilde{\mathbf{u}}^{+}(\cdot)\in \mathcal{C}_{+}(\mathbf{e})$ 使得

由比较原理可得

由于 $\eta(\infty)=1$, 则对每个 $C_{1}>C_{0}$, 有

则

利用引理 3.1(1), 可得 $c_{\sup}(\mathbf{e})\leq C_{1}$.

现在, 构造区间 $[c_{\inf}(\mathbf{e}),c_{\sup}(\mathbf{e})]$ 的一个下界. 定义

其中 $\alpha^{\pm}=(\alpha^{\pm}_{1},\alpha^{\pm}_{2})$ 是一个给定的常数向量并满足 $u^{-}_{i}\leq \alpha^{-}_{i}<0\ll \alpha^{+}_{i}<\inf_{x\in\Bbb{R}^{N}}u^{*}_{i}(0,x)$$(i=1,2)$. 类似地, 存在常数 $C_{0}>0$ 使得 $\mathbf{v}^{-}(t,x;z)$ 对每个 $C>C_{0}$ 和 $z\in\Bbb{R}$ 是系统 (3.1) 的一个下解. 注意到对每个 $x,z\in\Bbb{R}^{N}$, 存在 $\widetilde{\mathbf{u}}^{+}(\cdot)\in \mathcal{C}_{+}(\mathbf{e})$ 使得

利用比较原理, 可得

由 $\eta(-\infty)=0$, 则对每个 $C_{2}<-C_{0}$, 可得

其中 $t>0$, $x,z\in\Bbb{R}^{N}$. 由于 $\widetilde{\mathbf{u}}^{+}(x)\leq \mathbf{u}^{*}(0,x)$, 则

其中 $t>0$, $x,z\in\Bbb{R}^{N}$. 于是有 $\limsup_{x\cdot e\leq C_{2}t,t\rightarrow\infty}|\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}^{+},z)-\mathbf{u}^{*}(t,x+z)|=0$.由引理 3.1(3) 可得, $c_{\inf}(e)\geq C_{2}$. 因此, $[c_{\inf}(e),c_{\sup}(e)]$ 是一个有限区间.

定理3.1 (传播速度区间的传播特征)

(1) 当 $\mathbf{u}_{0}\in [\mathbf{0},\mathbf{u}^{*}]_{\mathcal{C}}$, 对所有 $x\in\Bbb{R}^{N}$ 满足 $\mathbf{u}_{0}\ll \mathbf{u}^{*}_{\inf}$ 且当$|x\cdot\mathbf{e}|\gg1$ 时, $\mathbf{u}_{0}(x)=\mathbf{0}$, 则对任意的 $c>c_{\sup}(\mathbf{e})$, 有

(2) 令 $\mathbf{e}\in S^{N-1}$ 并且 $0<c<\min\{c_{\inf}(\mathbf{e}),c_{\inf}(-\mathbf{e})\}$. 对任意 $\sigma>0$, 存在 $r_{\sigma}>0$ 使得对任意 $\mathbf{u}_{0}\in [\mathbf{0},\mathbf{u}^{*}]_{\mathcal{C}}$ 满足 $\mathbf{u}_{0}(x)\geq \sigma$, $|x\cdot \mathbf{e}|\leq r_{\sigma}$ 时, 有

证 (1) 令 $\mathbf{u}_{0}$ 满足上述条件, 则存在 $\mathbf{u}^{\pm}_{0}(x)\in \mathcal{C}_{+}(\pm\mathbf{e})$ 使得 $\mathbf{u}_{0}(\cdot)\leq \mathbf{u}^{\pm}_{0}(\cdot)$. 由引理 3.1, 对每个 $c>c_{\sup}(\mathbf{e})$,

对 $z\in\Bbb{R}^{N}$ 一致成立. 由比较原理,

因此

(2) 给定 $\mathbf{e}\in S^{N-1}$, 假设 $0<c<c(\mathbf{e})$. 选取 $0<\sigma<\min_{i=1,2}\{u^{*}_{i,\inf}\}$. 定义一个非负函数 $\widetilde{u}_{i}^{\sigma}(\cdot)\in C(\Bbb{R},\Bbb{R})$ 满足

令 $u_{i}^{\sigma,\pm\mathbf{e}}(x)=\widetilde{u}_{i}^{\sigma}(x\cdot(\pm\mathbf{e}))$ 和 $\mathbf{u}^{\sigma,\pm\mathbf{e}}(x)=(u_{1}^{\sigma,\pm\mathbf{e}}(x),u_{2}^{\sigma,\pm\mathbf{e}}(x))$. 结合 $c_{\inf}(\pm\mathbf{e})$ 的定义, 可得

一致于 $z\in\Bbb{R}^{N}$. 任意选取 $0<\widetilde{c}<c$. 令 $B>0$. 记 $\widetilde{u}_{iB}^{\sigma}(r)\in C(\Bbb{R},\Bbb{R})$ 满足 $\widetilde{u}_{iB}^{\sigma}(r)\geq 0$ 和

令 $u^{\sigma,\pm\mathbf{e}}_{iB}(x)=\widetilde{u}^{\sigma}_{iB}(x\cdot(\pm\mathbf{e}))$ 和 $\mathbf{u}^{\sigma,\pm\mathbf{e}}_{B}(x)=(u^{\sigma,\pm\mathbf{e}}_{1B}(x),u^{\sigma,\pm\mathbf{e}}_{2B}(x))$. 因此当 $B\rightarrow\infty$ 时,

由上可得, 存在 $\beta T>\frac{1}{c-\widetilde{c}}$ 和 $B_{0}>0$ 使得对 $B\geq B_{0}$ 成立

其中 $0\leq x\cdot(\pm\mathbf{e})\leq c\beta T$ 且 $\|x\|\leq 2c\beta T$, $z\in\Bbb{R}^{N}$. 对任意的 $x\in\Bbb{R}^{N}$ 满足 $0\leq x\cdot(\pm\mathbf{e})\leq c\beta T$, 存在一个向量 $\xi$ 使得 $\mathbf{e}\cdot\xi=0$ 和 $\|x-\xi\|\leq 2c\beta T$成立. 则

其中 $0\leq x\cdot (\pm \mathbf{e})\leq cT$ 和 $z\in\Bbb{R}^{N}$. 选取 $r_{\sigma}>0$ 使得 $r_{\sigma}>B_{0}+1$. 假设 $\mathbf{u}_{0}\geq \mathbf{0}$ 满足 $\mathbf{u}_{0}(x)\geq \sigma \mathbf{1}$, 其中 $|x\cdot\mathbf{e}|\leq r_{\sigma}$. 则

利用 (3.3) 式, 对 $-r_{\sigma}-c\beta T+1\leq x\cdot\mathbf{e}\leq r_{\sigma}+c\beta T-1$ 有 $\mathbf{u}(\beta T,x;\mathbf{u}_{0},z)\geq \sigma \mathbf{1}$. 由于 $\beta T\geq \frac{1}{c-\widetilde{c}}$, 则

因此,

则对任意 $0<c^{\prime}<\widetilde{c}$, 利用引理 3.2, 可得

一致于 $z\in\Bbb{R}^{N}$. 由于 $c$ 满足 $0<c^{\prime}<\widetilde{c}<\min\{c_{\inf}(\mathbf{e}),c_{\inf}(-\mathbf{e})\}$ 以及$c^{\prime}, \widetilde{c}$ 的任意性, 可得 (3.2) 式成立.

定理3.2 假设 (H1)-(H4) 成立. 则有

(1) 对每个 $\mathbf{e}\in S^{N-1}$, 有

并且系统 (1.1) 在 $\mathbf{e}$ 方向的传播速度为 $c(\mathbf{e})$;

(2) 对每个 $\mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}_{+}(\mathbf{e})$ 和 $c<c(\mathbf{e})$,

(3) 对任意的 $\mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}_{+}(\mathbf{e})$ 和 $c>c(\mathbf{e})$,

证 回顾 $\phi(t,x)$ 是系统 (2.8) 的特征函数并且 $\lambda(\mu,\mathbf{e})$ 是对应的主特征值. 令 $\widetilde{c}=\frac{\lambda(\mu,\mathbf{e})}{\mu}$. 对任意的 $\mu,\rho>0$, $\rho {\rm e}^{-\mu(x\cdot \mathbf{e}-\widetilde{c}^{\prime}t)}\phi(t,x)$ 是系统 (2.1) 的解. 对每个 $\mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}_{+}(\mathbf{e})$, 选取 $\widetilde{\rho}>0$ 充分大使得 $\mathbf{u}^{*}_{\inf}\geq \widetilde{\rho} {\rm e}^{-\mu x\cdot \mathbf{e}}\phi(0,x)\geq \mathbf{u}_{0}$. 则由比较原理可得

因此, 对每个 $c>\widetilde{c}$, $\limsup_{t\rightarrow\infty,x\cdot \mathbf{e}\geq ct}|\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0})|=0$ 和 $c_{\sup}(\mathbf{e})\leq \frac{\lambda(\mu,\mathbf{e})}{\mu}$. 则

设 $F(t,x,\mathbf{u})=(f(t,x,\mathbf{u}),g(t,x,\mathbf{u}))$.则 $F(t,x,\mathbf{u})$ 在 $\mathbf{0}$ 的线性矩阵为

并且

注意到 $D_{u}F(t,x,\mathbf{0})$中$f_{u_{1}}(t,x,\mathbf{0})$ 和 $g_{u_{2}}(t,x,\mathbf{0})$ 对每个$(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$ 是正的, 则存在常数 $\alpha>0$ 使得 $D_{u}F(t,x,\mathbf{0})+\alpha I$ 是严格正的. 对任意的 $\varepsilon\in (0,1)$, 存在一个常数 $\delta>0$ 使得

其中 $\mathbf{u}\in [\mathbf{0},\mathbf{\delta}]$, 并且 $\beta=\min\{\min_{(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}}\{D_{u}F(t,x,\mathbf{0})+\alpha I\}_{ij}\}$. 由 $|\mathbf{u}|\leq \frac{1}{\beta}\{(D_{u}F(t,x,\mathbf{0})+\alpha I)\mathbf{u}\}_{i}$, 对$\mathbf{u}\in [\mathbf{0},\mathbf{\delta}\mathbf{1}]$, 可得

利用文献[20]中类似的讨论并适当修改 (也可以参考文献[18]), 可证得

令 $\varepsilon \rightarrow 0$, 有 $c_{\inf}(\mathbf{e})\geq \inf_{\mu>0}\frac{\lambda(\mu,\mathbf{e})}{\mu}$. 结合(3.4)式, 可得$c_{\sup}(\mathbf{e})=c_{\inf}(\mathbf{e})$. 则系统 (1.1) 的传播速度是 $c(\mathbf{e})=\inf_{\mu>0}\frac{\lambda(\mu,\mathbf{e})}{\mu}$. 则 (2) 和 (3) 的结论可由 (1) 和引理 3.3 得到.

本小节, 对 $\mathbf{u}_{0}\in [\mathbf{0},\mathbf{u}^{*}]$, 当 ${\rm supp}(\mathbf{u})$ 是非空并且紧时, 考虑 $\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0})$ 的传播性质.

定义

对每个 $\eta\in S^{N-1}$, 令

和

定义3.2 定义

则称 $[w_{\inf}(\eta),w_{\sup}(\eta)]$ 是系统 (1.1) 在方向 $\mathbf{\eta}\in S^{N-1}$ 的渐近传播射线速度区间.

引入系统 (1.1) 的渐近传播上下集合如下.

定义3.3 令 $W\in\Bbb{R}^{N}$ 具有非空内部并且是闭集.

(1) 当任意的 $\mathbf{u}_{0}\in C^{c}_{+}$, 任意的闭集 $W^{\prime}$ 满足 $W^{\prime}\cap W=\emptyset$ 时, 可得

则称 $W$ 为系统 (1.1) 的渐近传播上集合;

(2) 当任意的 $\mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}^{c}_{+}$, 任意闭集 $W^{\prime\prime}\subset int(W)$ 时, 可得

则称 $W$ 为系统 (1.1) 的渐近传播下集合.

对传播速度区间 $[c_{\inf}(\mathbf{e}),c_{\sup}(\mathbf{e})]$, $c_{\sup}(\mathbf{e})$ 是上界部分并且 $c_{\inf}(\mathbf{e})$ 是下界部分. 对每个给定的 $\eta\in S^{N-1}$, 定义

对每个 $\mathbf{e}\in S^{N-1}$, 令

引理3.4 对所有 $\mathbf{e}\in S^{N-1}$, 当 $c_{\inf}(\mathbf{e})>0$, 则对任意的 $\eta\in S^{N-1}$ 有 $w_{\sup}(\eta)\leq w^{*}_{+}(\eta)$. 另外, 当 $W^{+}$ 有界时, 系统 (1.1) 的渐近传播上集合是 $W^{+}$.

证 由$w^{*}_{+}(\eta)=\inf_{\mathbf{e}\cdot\mathbf{\eta}>0}\frac{c_{\sup}(\mathbf{e})}{\mathbf{e}\cdot\mathbf{\eta}}$, 当 $c>w^{*}_{+}(\eta)$, 存在 $\mathbf{e}_{0}\in S^{N-1}$ 使得

令 $c_{0}:=c\mathbf{e}_{0}\cdot\mathbf{\eta}$. 则 $c_{0}>c_{\sup}(\mathbf{e}_{0})$. 令 $c_{1}\in (c_{\sup}(\mathbf{e}_{0}),c_{0})$ 并固定. 当 $x$ 有界并且 $t$ 比较大时, 可得$(x+ct\eta)\cdot\mathbf{e}_{0}=x\cdot\mathbf{e}_{0}+c_{0}t\geq c_{1}t$. 由 $c_{\sup}(\mathbf{e})$ 的定义, 可得

利用定理 3.1 (1), 对 $\mathbf{e}=\mathbf{e}_{0}$ 和 $c=c_{1}$, 可得$\limsup_{t\rightarrow\infty}\mathbf{u}(t,x+ct\eta;\mathbf{u}_{0})=0$局部一致于 $x\in\Bbb{R}^{N}$, 其中 $\mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}^{c}_{+}$. 因此, 结合$w_{\sup}(\eta)$ 的定义, 可得 $w_{\sup}(\eta)\leq w^{*}_{+}(\eta)$.

选取一个闭集 $W^{\prime}$ 满足 $W^{\prime}\cap W^{+}=\emptyset$. 利用 Helly 定理和文献[26,定理 2.2], 存在 $\delta\in (0,1)$ 和一个有单位向量的有限集 $\mathbf{e}_{1},\cdots.\mathbf{e}_{l}\in S^{N-1}$ 使得交集 $W^{\prime}\cap \{x:\, x\cdot \mathbf{e}_{j}\leq (c_{\sup}(\mathbf{e}_{j})+\delta)t,\, j=1,\cdots,l\}$ 是空的. 则 $x\in tW^{\prime}$, 这表明对 $t>0$, 有 $x\cdot \mathbf{e}_{j}\leq (c_{\sup}(\mathbf{e}_{j})+\delta)t$. 由定理 3.1 可得

因此, $W^{+}$ 是一个渐近传播上集合.

引理3.5 当对所有 $\mathbf{e}\in S^{N-1}$, $c_{\inf}(\mathbf{e})>0$ 时, 对任意的 $\eta\in S^{N-1}$ 可得 $w_{\inf}(\eta)\geq w^{*}_{-}(\eta)$, 并且系统 (1.1) 的渐近传播下集合为 $W^{-}$.

证 对任意的 $0\leq c<w^{*}_{-}(\eta)$, 存在正常数 $c_{2}$ 使得 $c<c_{2}<w^{*}_{-}(\eta)$. 令 $W^{\prime\prime}\subset {\rm int}(W^{-})$ 满足 $c_{2}\eta\in W^{\prime\prime}$, 则 $c_{2}t\eta\in tW^{\prime\prime}$. 则当 $x$ 有界并且 $t$ 充分大时, 可得 $x+ct\eta\in tW^{\prime\prime}$. 因此

由 $w_{\inf}(\eta)$ 的定义可得 $w^{*}_{-}(\eta)\leq w_{\inf}(\eta)$.

由于 $c_{\inf}(\mathbf{e})>0$, 选取包含内点 $0$ 的集合 $W^{\prime\prime}\subset {\rm int}(W^{-})$. 事实上, $W^{\prime\prime}$ 是一个有界闭子集并且它还具有均匀正曲率张量的平滑边界. 则对 $\mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}^{c}_{+}$, 类似于文献[26,定理 2.3], 当 $n$ 充分大, 对所有的 $x\in nW^{\prime\prime}$, 有 $\mathbf{u}(nT,x;\mathbf{u}_{0})\geq \delta\mathbf{1}$. 则由引理 3.2,

因此 $W^{-}$ 是渐近传播下集.

对任意的 $ {\mu}\in\Bbb{R}^{N}$, 令 $\widetilde{\lambda}( {\mu})$ 是如下系统在空间 ${\rm Int}(\mathbb{X}^{+})$ 上的主特征值

定理3.3 假设 (H1)-(H4) 成立. 令 $c(\mathbf{e})$ 是定理 3.2 中给定的传播速度. 对所有的 $\mathbf{e}\in S^{N-1}$, 当 $c(\mathbf{e})>0$ 时, 可得

(1) 对每个 $\eta\in S^{N-1}$, 有 $w_{\inf}(\eta)=w_{\sup}(\eta)$. 沿着 $\eta$ 方向, 系统 (1.1) 存在渐近传播射线速度 $w^{*}(\eta)$ 并且其对应的 Freidlin-Gartner 公式为

另外, 系统 (1.1) 的渐近传播集合是

(2) 对任意给定的 $\eta\in S^{N-1}$ 和任意的 $\mathbf{u}_{0}\in \mathcal{C}^{c}_{+}$, 当 $c>w^{*}(\eta)$ 时, 可得

并且对所有 $0\leq c<w^{*}(\eta)$,可得 $\limsup_{t\rightarrow\infty}|\mathbf{u}(t,x+ct\eta;\mathbf{u}_{0})-\mathbf{u}^{*}(t,x)|=0$ 关于 $x\in\Bbb{R}^{N}$ 局部一致成立.

证 由定理 3.2, 沿着方向 $\mathbf{e}$, $c(\mathbf{e})=c_{\sup}(\mathbf{e})=c_{\inf}(\mathbf{e})$ 是系统 (1.1) 的传播速度. 由定义 3.2, 可知对任意 $\eta\in S^{N-1}$ 有 $w_{\inf}(\eta)\leq w_{\sup}(\eta)$. 当 $c(\mathbf{e})>0$ 时, 由引理 3.4-3.5, 对任意的 $\eta\in S^{N-1}$, 可得

由于 $c_{\sup}(\mathbf{e})=c_{\inf}(\mathbf{e})$, 则对每个 $\eta\in S^{N-1}$, 有

则沿着方向 $\eta$, $w^{*}(\eta)=\inf_{\mathbf{e}\cdot\eta>0}\frac{c(\mathbf{e})}{\mathbf{e}\cdot \eta}$ 是系统 (1.1) 的渐近传播射线速度. 同样可知 $W$ 是系统 (1.1) 的渐近传播集合.再次利用定理 3.2,可得

由 $w^{*}(\eta)$ 的定义,

另外, $w^{*}(\eta)$ 的传播性质 (2) 可直接从渐近传播射线速度区间的定义得到.

现在, 我们将前面的理论结果应用到高维空间中具有时空周期系数的底栖-浮游种群模型、人-环境-人传染病模型和登革热传播模型.

考虑如下底栖-浮游种群模型

其中 $u_{1}(t,x)$ 和 $u_{2}(t,x)$ 分别是浮游种群和底栖种群在 $(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$ 处的密度. 事实上, 模型 (4.1) 来自 Lutscher, Lewis 和 McCauley^[16], 在该文献中作者研究了在一维情况下, 具有分段常系数函数的退化模型 (4.1) 的河岸栖息地种群的持续性和传播. 在本文中, 假设所有的系数 $a(t,x),f(t,x), p(t,x)$ 和 $k(t,x)$ 在 $(t,x)$ 上是正的周期函数.

令

则对所有的 $(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$, $f(t,x,0,0)=g(t,x,0,0)=0$. 存在正向量 $(M_{1},M_{2})\in\Bbb{R}^{2}$ 使得 $f(t,x,M_{1},M_{2})\leq 0$ 和 $g(t,x,M_{1},M_{2})\leq 0$. 由模型可知 $(f(t,x,u_{1},u_{2}),g(t,x,u_{1},u_{2}))$ 在区间 $[M_{1}]\times[M_{2}]$ 上是严格次其次的. 在平凡平衡点 $(0,0)$ 处线性化系统 (4.1) 可得

从 (4.2) 式可得 $f_{u_{2}}(t,x,u_{1},u_{2})=k(t,x)\geq0$ 并且$g_{u_{1}}(t,x,u_{1},u_{2})=p(t,x)\geq0$. 因此系统 (4.1) 满足假设 (H1)-(H3). 令 $b(t,x):=f(t,x)-p(t,x)$ 和 $\overline{b}(x)=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}b(t,x){\rm d}t$. 则假设

(A1) $b(t,x)<0$ 并且存在集合 $D^{\prime}\subset D$ 对$x\in D^{\prime}$ 满足 $\overline{b}(x)=\max_{x\in \mathcal{D}}\overline{b}(x)$, 其中 $D^{\prime}$ 是有界闭集.

从假设 (A1) 可知, 当 $(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$时有$f(t,x)<p(t,x)$. 这表明底栖种群的生长速度低于其交换速度. 则 (A1) 表明假设 (H4) 成立. 令 $\lambda(\mu,\mathbf{e})$ 是如下系统的主特征值

假设 $\lambda(0,\mathbf{e})>0$, 则从定理 3.2-3.3 可得, 系统 (4.1) 沿着方向 $\mathbf{e}\in S^{N-1}$ 存在一个传播速度 $c(e)=\inf_{\mu>0}\frac{\lambda(\mu,\mathbf{e})}{\mu}$. 进一步, 沿着方向 $\eta\in S^{N-1}$, (4.1) 存在一个渐近传播射线速度 $w^{*}(\eta)=\inf_{\mathbf{e}\cdot\eta>0}\frac{c(\mathbf{e})}{\mathbf{e}\cdot\eta}$.

考虑如下人-环境-人传染病模型

其中 $u_{1}(t,x)$ 表示感染源的密度, $u_{2}(t,x)$ 表示感染人群的密度. 由于忽略了感染人群的微小移动, 模型 (4.3) 的第二个方程没有扩散项. 这里 $d, a_{11}, a_{12}$ 和 $a_{22}$ 是正常数. 时空周期函数 $g(t,x,u_{1})$ 用于刻画感染剂浓度对人群的感染力度. 如果 $g(t,x,u_{1})=g(t,u_{1})$ 并且 $g(t,u_{1})$ 是时间周期函数, 在文献[14] 作者利用一般的单调周期半流方法研究模型 (4.3) 的传播速度和行波解.

假设

(B1) $g(t,x,u)\in C^{1}(\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}\times\Bbb{R}^{+},\Bbb{R}^{+})$, $g(t,x,0)=0$; 当 $(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$ 且 $u>0$ 时, 有 $\frac{\partial g}{\partial u}(t,x,u)>0$, 对某些正常数 $M$, 有 $\max_{(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}}g(t,x,M)/M\leq a_{22}\frac{a_{11}}{a_{12}}$.

(B2) 对每个 $(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$, 当 $s\in (0,1)$ 和 $u>0$ 时, $g(t,x,su)>sg(t,x,u)$.

则 $\overline{\mathbf{u}}=(M,\frac{a_{11}^{2}}{a_{12}}M)$ 是模型 (4.1) 的一个上解. 假设 (B1)-(B2) 表明模型 (4.3) 满足假设 (H1)-(H3). 由于 $a_{2}>0$, 则假设 (H4) 自然成立. 令 $\gamma(\mu,\mathbf{e})$ 是如下系统的主特征值

假设 $\gamma(0,\mathbf{e})>0$. 由定理 2.2, (4.3) 存在一个正的时空周期解 $\mathbf{u}^{*}(t,x)$. 另外, $\mathbf{u}^{*}(t,x)$ 在空间 $[\mathbf{0},\overline{\mathbf{u}}]_{\mathcal{C}}$ 上是全局渐近稳定的. 定理 3.2-3.3 表明沿着方向 $\eta\in S^{N-1}$, $c(\mathbf{e})=\inf_{\mu>0}\frac{\gamma(\mu,\mathbf{e})}{\mu}$ 并且 $w^{*}(\eta)=\inf_{\mathbf{e}\cdot\eta>0}\frac{c(\mathbf{e})}{\mathbf{e}\cdot\eta}$ 是系统(4.3) 的渐近传播射线速度. 对任意的 $\mathbf{u}_{0}\in [\mathbf{0},\overline{\mathbf{u}}]_{\mathcal{C}}$, 设系统 (4.3) 以$\mathbf{u}(0,x;\mathbf{u}_{0})=\mathbf{u}_{0}$ 为初值的解为 $\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0})$. 定义 $Q_{t}(\mathbf{u}_{0}):=\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0})$. 设 $\overline{\mathcal{D}}$ 是 $\mathcal{D}$ 的闭包. 对任意有界集 $U\subset [\mathbf{0},\overline{\mathbf{u}}]_{\mathcal{C}}$, 设 $U_{\overline{\mathcal{D}}}=C(\overline{\mathcal{D}},\Bbb{R}^{2})\cap U$.

引理4.1 设 $\alpha$ 是 $\mathcal{C}$ 中有界集合非紧的 Kuratowski 测度. 对每个 $U\in [\mathbf{0},\overline{\mathbf{u}}]_{\mathcal{C}}$, 可得

证 方程

生成一个半群 $T_{1}(t)$ 并设 $T_{2}(t)u_{20}={\rm e}^{-a_{22}}u_{20}(x)$. 则 $(T_{1}(t),T_{2}(t))$ 是一个线性半群. 从模型 (4.3) 的第二个方程可得

其中 $\mathbf{u}_{0}(x)=(u_{01}(x),u_{02}(x))\in [\mathbf{0},\overline{\mathbf{u}}]_{\mathcal{C}}$. 定义 $S(t)\mathbf{u}_{0}=(0,T_{2}(t)u_{02})$ 和

则$Q_{t}(\mathbf{u}_{0})=S(t)\mathbf{u}_{0}+V(t)\mathbf{u}_{0}\quad \text{对 }\mathbf{u}_{0}(x)\in [\mathbf{0},\overline{\mathbf{u}}]_{\mathcal{C}}, t\geq 0.$

由于 $\|(S(t)\mathbf{u}_{0})_{\overline{\mathcal{D}}}\|_{\overline{\mathcal{D}}}\leq {\rm e}^{-a_{22}t}\|\mathbf{u}_{0}\|_{\overline{\mathcal{D}}}$, 则$\alpha((S(t)U)_{\overline{\mathcal{D}}})\leq {\rm e}^{-a_{22}t}\alpha(U_{\overline{\mathcal{D}}})$.这里 $\|\cdot\|_{\overline{\mathcal{D}}}$ 是$C(\overline{\mathcal{D}},\Bbb{R}^{2})$ 的最大模范数.注意到 $T_{1}(t)$ 对每个 $t>0$ 是一个紧算子, 因此 $(V(t)U)_{\overline{\mathcal{D}}}$ 在$C(\overline{\mathcal{D}},\Bbb{R}^{2})$ 上是预紧的. 则 $\alpha((V(t)U)_{\overline{\mathcal{D}}})=0$. 因此,

定理4.1 假设 (B1)-(B2) 和 $\gamma(0,\mathbf{e})>0$. 对任意的 $c\geq c(\mathbf{e})$, (4.3) 式存在连接平衡点 $\mathbf{u}^{*}(t,x)$ 到 $\mathbf{0}$ 的周期行波解 $\mathbf{U}(t,x,x\cdot \mathbf{e}-ct)$. 另外, 当 $c<c(\mathbf{e})$ 时系统没有连接平衡点 $\mathbf{u}^{*}(t,x)$ 到 $\mathbf{0}$ 的行波解.

证 由假设 (B1)-(B2), 可知 $\{Q_{t}\}_{t\geq 0}$ 在 $[\mathbf{0},\overline{\mathbf{u}}]_{\mathcal{C}}$ 上是单调周期半流. 利用引理 4.1, $\{Q_{t}\}_{t\geq 0}$ 在 $U_{\overline{\mathcal{D}}}$ 上满足 Kuratowski 非紧性. 利用 Du 等人在文献[2,注 2.9]的结果, 可知 Kuratowski 非紧性可以代替紧性假设 (A6). 则文献[2]中的假设 (A1)-(A6) 对单调周期半流 $\{Q_{t}\}_{t\geq 0}$ 成立. 对任意的 $c\geq c(\mathbf{e})$, 由文献[2,定理 2.4]可知, 系统 (4.3) 存在连接平衡点 $\mathbf{u}^{*}(t,x)$ 到 $\mathbf{0}$ 的周期行波解 $\mathbf{U}(t,x,x\cdot \mathbf{e}-ct)$. 行波解的不存在性也可以同时得到.

在高维周期媒介中考虑如下登革热传播模型

其中 $u_{1}(t,x)$ 是有翼埃及伊蚊 (成熟雌性蚊子) 的空间密度并且 $u_{2}(t,x)$ 表示水生蚊子的密度. 众所周知, 登革热是一种媒介传播的传染病, 通过伊蚊的叮咬传播给人类. 系统 (4.4) 用于模拟伊蚊的传播动态, 其中种群分为有翼/成熟雌性蚊子和水生种群 (如卵、幼虫和蛹) (见文献[19]). Takahashi 等人在文献[19]中讨论了当 (4.4) 式为正常系数时, 通过精细的数值分析来计算行波和入侵/扩散速度. 最近, 在时空周期环境中, Fang 等^[6]通过利用文献[7]中关于单调半流的抽象结果证明了模型 (4.4) 在一维情形的传播速度和行波解.

从文献[7]可知, 系数函数 $k_{1}(t,x)$ 和 $k_{2}(t,x)$ 满足如下技术性假设

(C1) $k_{1}(t,x)$ 和 $k_{2}(t,x)$ 满足不等式

令

则对所有的 $(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}$, $f(t,x,0,0)=g(t,x,0,0)=0$. 由假设 (C1), 存在正常数向量$(M_{1},M_{2})=(\max_{(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}}k_{1}(t,x),\max_{(t,x)\in\Bbb{R}\times\Bbb{R}^{N}}k_{2}(t,x))$ 使得 $f(t,x,M_{1},M_{2})\leq 0$ 和 $g(t,x,M_{1},M_{2})\leq 0$ 成立. 注意到 $(f(t,x,u_{1},u_{2}),g(t,x,u_{1},u_{2}))$ 在 $[M_{1}]\times[M_{2}]$ 是严格次其次的. 模型 (4.4) 在 $0$ 处的线性化方程为

由 (4.5) 式, 可得 $f_{u_{2}}(t,x,u_{1},u_{2})=\gamma(t,x)\geq0$ 和 $g_{u_{1}}(t,x,u_{1},u_{2})=\alpha(t,x)\geq0$. 则系统 (4.1) 满足 (H1)-(H3). 令 $\overline{d}_{2}(x)=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}d_{2}(t,x){\rm d}t$, $\overline{\gamma}(x)=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\gamma(t,x){\rm d}t$ 和 $M=\max_{x\in \mathcal{D}}\{\overline{d}_{2}(x)+\overline{\gamma}(x)\}$. 为了得到主特征值的存在性, 假设

(C2) 存在有界闭集 $D^{\prime}\subset D$ 使得对 $x\in D^{\prime}$ 有 $\overline{d}_{2}(x)+\overline{\gamma}(x)=M$.

当 $d_{2}(t,x)=d_{2}(t)$ 并且 $\gamma(t,x)=\gamma(t)$, 条件 (C2) 是自动成立的. 由于 $g_{u_{2}}(t,x,0,0)=-(d_{2}(t,x)$$+\gamma(t,x))<0$, 则 (C2) 表明 (H4) 成立. 令 $\lambda(\mu,\mathbf{e})$ 是如下系统的主特征值

假设 $\lambda(0,\mathbf{e})>0$. 定理 2.2 表明 (4.4) 存在存在正的全局渐近稳定的周期解 $\mathbf{u}^{*}(t,x)$. 则沿着方向 $\eta\in S^{N-1}$, 系统 (4.4) 存在传播速度 $c(\mathbf{e})=\inf_{\mu>0}\frac{\lambda(\mu,\mathbf{e})}{\mu}$ 和渐近传播射线速度 $w^{*}(\eta)=\inf_{\mathbf{e}\cdot\eta>0}\frac{c(\mathbf{e})}{\mathbf{e}\cdot\eta}$. 对每个 $[\mathbf{0},\mathbf{k}(\cdot,0)]_{\mathcal{C}}$, 令 (4.4) 以 $\mathbf{u}(0,x;\mathbf{u}_{0})=\mathbf{u}_{0}$ 为初值的解为 $\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0})$. 定义$Q_{t}(\mathbf{u}_{0}):=\mathbf{u}(t,x;\mathbf{u}_{0})$, 则其为 $[\mathbf{0},\mathbf{k}(\cdot,0)]_{\mathcal{C}}$ 上的单调周期半流. 由文献[6,引理 4.2], $\{Q_{t}\}_{t\geq 0}$ 在 $U_{\overline{\mathcal{D}}}$ 上满足 Kuratowski 非紧性. 则类似于定理4.1, 并利用文献[2,定理 2.4], 对任意 $c\geq c(\mathbf{e})$, 系统 (4.4) 存在连接 $\mathbf{u}^{*}(t,x)$ 和 $\mathbf{0}$ 的周期行波解 $\mathbf{U}(t,x,x\cdot \mathbf{e}-ct)$.