数学物理学报, 2025, 45(4): 1161-1170

Hardy空间 $H^1(\mathbb{B}_{n})$ 上的 Toeplitz 型算子

温新奇,1,*, 袁程,2

1太原学院数学系 太原 030032

2广东工业大学数学与统计学院 广州 510520

A Toeplitz-Type Operator on Hardy Space $H^1(\mathbb{B}_{n})$

Wen Xinqi,1,*, Yuan Cheng,2

1Department of Mathematics, Taiyuan University, Taiyuan 030032

2School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Technology, Guangzhou 510520

通讯作者: *E-mail: wenxq0605@163.com

收稿日期: 2025-02-14   修回日期: 2025-04-14  

基金资助: 太原学院院级青年科研项目(24TYQN20)

Received: 2025-02-14   Revised: 2025-04-14  

Fund supported: Taiyuan University Youth Research Project(24TYQN20)

作者简介 About authors

E-mail:yuancheng1984@163.com

摘要

该文主要研究了$n$ 维复单位球 $\mathbb{B}_{n}$ 中 Hardy 空间 $H^1(\mathbb{B}_{n})$ 上的 Toeplitz 型算子 $Q_\mu$ 的有界性, 证明了如下结论: 设 $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的正 Borel 测度, $0<p\le1<q<\infty$, 则有以下结论成立

1. 若$\mu$是一个$(1,1)$-型对数Carleson测度, 则$Q_\mu: H^1(\mathbb{B}_{n})\to H^1(\mathbb{B}_{n})$ 是一个有界线性算子;

2. 若$Q_\mu: H^1(\mathbb{B}_{n})\to H^1(\mathbb{B}_{n})$是一个有界线性算子, 则$\mu$是$\mathbb{B}_{n}$上的一个Carleson测度;

3. $Q_\mu: H^p(\mathbb{B}_{n})\to H^q(\mathbb{B}_{n})$是有界线性算子当且仅当$\mu$是一个$(1+\frac1p-\frac1q)$-Carleson测度.

关键词： Hardy 空间; Toeplitz 型算子; Carleson 测度

Abstract

This paper investigates the boundedness of a Toeplitz operator $Q_\mu$ acting on the Hardy space $H^1(\mathbb{B}_{n})$. Let $\mu$ be a positive Borel measure on $\mathbb{B}_{n}$ and $0<p\le1<q<\infty$. The main results are following

1. If $\mu$ is a $(1,1)$-logarithmic Carleson measure, then $Q_\mu: H^1(\mathbb{B}_{n})\to H^1(\mathbb{B}_{n})$ is bounded;

2. If $Q_\mu: H^1(\mathbb{B}_{n})\to H^1(\mathbb{B}_{n})$ is bounded, then $\mu$ is a Carleson measure;

3. $Q_\mu: H^p(\mathbb{B}_{n})\to H^q(\mathbb{B}_{n})$ is bounded if and only if $\mu$ is a $(1+\frac1p-\frac1q)$-Carleson measure.

Keywords： Hardy spaces; Toeplitz-type operators; Carleson measures

PDF (560KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

温新奇, 袁程. Hardy空间 $H^1(\mathbb{B}_{n})$ 上的 Toeplitz 型算子[J]. 数学物理学报, 2025, 45(4): 1161-1170

Wen Xinqi, Yuan Cheng. A Toeplitz-Type Operator on Hardy Space $H^1(\mathbb{B}_{n})$[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(4): 1161-1170

1 背景与主要结论

设 $\mathbb{B}_{n}=\{z\in\mathbb{C}_{n}:|z|<1\}$ 是 $n$ 维复欧氏空间 $\mathbb{C}_{n}$ 中的单位球. $\mathbb{B}_{n}$ 上全纯函数的全体记为 $H(\mathbb{B}_{n})$. $\mathbb{B}_{n}$ 上的正规化 Lebesgue 测度记为 $\text{d} v$, 满足 $v(\mathbb{B}_{n})=1$. 记 $\mathbb{S}_{n}= \partial\mathbb{B}_{n}=\{z\in\mathbb{C}_{n}:|z|=1\}$. $\mathbb{S}_{n}$ 上的正规化 Lebesgue 测度记为 $\text{d} \sigma$, 满足 $\sigma(\mathbb{B}_{n})=1$. 对 $\mathbb{C}_{n}$ 中的两点 $z=(z_1,\cdots, z_n)$ 与 $w=(w_1,\cdots,w_n)$, 记

$\langle z,w\rangle=\sum_{j=1}^n z_j\bar w_j, \quad \hbox{ 以及 }\quad |z|=\sqrt{\langle z,z\rangle}=\sqrt{\sum_{j=1}^n |z_j|^2}.$

若 $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的正 Borel 测度, 定义 Toeplitz 型算子 $Q_\mu$ 如下

$Q_\mu f(z)=\int_{\mathbb{B}_{n}} \frac{f(w)}{(1-\langle z,w\rangle)^n}\,\text{d} \mu(w),\quad z\in\mathbb{B}_{n}.$

设 $0<p<\infty$, $\mathbb{B}_{n}$ 上的 Hardy 空间 $H^p(\mathbb{B}_{n})$ 定义为

$H^p(\mathbb{B}_{n})=\left\{f\in H(\mathbb{B}_{n}): \|f\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})}=\left(\sup_{0<r<1}\int_{\mathbb{S}_{n}}|f(r\zeta)|^p\text{d} \sigma(\zeta)\right)^\frac1p<\infty\right\}.$

容易知道, 当 $p\ge1$ 时, $H^p(\mathbb{B}_{n})$ 构成一个 Banach 空间.

$H^p(\mathbb{B}_{n})$ 上的 Toeplitz 算子的研究是复分析与算子理论中的重要内容,见文献[5,8,9]等. 特别地,Perälä[8]给出了当 $1<p,q<\infty$ 时, $Q_\mu: H^p(\mathbb{B}_{n})\to H^q(\mathbb{B}_{n})$ 的有界性, 紧性,以及 $Q_\mu:H^2(\mathbb{B}_{n})\to H^2(\mathbb{B}_{n})$ 属于 Schatten $p$-类的刻画. 关于有界性, 文献[8]中证明了以下结论

1. 设 $1<p\le q<\infty$, $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的一个正 Borel 测度. 令 $s= 1+\frac1p-\frac1q$. 则 $Q_\mu: H^p(\mathbb{B}_{n})\to H^q(\mathbb{B}_{n})$ 是有界的当且仅当 $\mu$ 是一个 $s$-Carleson 测度;

2. 设 $1<q<p<\infty$, $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的一个正 Borel 测度. 若 $\zeta\in\mathbb{S}_{n}$, $\gamma>1$, 定义

$\Gamma(\zeta)=\Gamma_\gamma(\zeta)=\left\{z\in\mathbb{B}_{n}:|1-\langle z,\zeta\rangle|<\frac\gamma2(1-|z|^2)\right\}$

以及

$\widetilde\mu(\zeta)=\int_{\Gamma(\zeta)}\frac{\text{d}\mu(z)}{(1-|z|^2)^n},\quad \zeta\in \mathbb{S}_{n}.$

令 $r=\frac{pq}{p-q}$, 则 $Q_\mu: H^{p}(\mathbb{B}_{n}) \to H^q(\mathbb{B}_{n})$ 是有界的当且仅当 $\widetilde\mu\in L^r(\mathbb{S}_{n},\text{d}\sigma)$.

注意到文献[8]中的结果不包括 Banach 空间 $H^1(\mathbb{B}_{n})$ 的情形,本文研究 $Q_\mu $ 在 $H^1(\mathbb{B}_{n})$ 上的有界性, 主要结论如下

定理1.1 设 $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的正 Borel 测度.

1. 若 $\mu$ 是一个 $(1,1)$-型对数 Carleson 测度, 则 $Q_\mu: H^1(\mathbb{B}_{n})\to H^1(\mathbb{B}_{n})$ 是一个有界线性算子.

2. 若 $Q_\mu: H^1(\mathbb{B}_{n})\to H^1(\mathbb{B}_{n})$ 是一个有界线性算子, 则 $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的一个 Carleson 测度.

上面提到的对数 Carleson 测度的定义将在下一节给出.

定理1.2 设 $0<p\le1<q<\infty$, 且 $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的正 Borel 测度. 则 $Q_\mu: H^p(\mathbb{B}_{n})\to H^q(\mathbb{B}_{n})$ 是有界线性算子当且仅当 $\mu$ 是一个 $(1+\frac1p-\frac1q)$-Carleson 测度.

定理 1.2 显然是文献[8]中 $Q_\mu:H^p(\mathbb{B}_{n})\to H^q(\mathbb{B}_{n})$ 刻画在 $1<p\le q<\infty$ 情形下的一个直接推广, 但是本文的证明方法有所不同.在文献[p3037]的证明中, 依赖于以下事实: 若 $1<p<\infty$, 令

$ K_z(w)=(1-\langle w,z\rangle)^{-n},$

则

$\left\|K_z\right\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})}\lesssim(1-|z|^2)^{-n(p-1)/p}.$

注意到

$\left\|K_z\right\|_{H^1(\mathbb{B}_{n})}\lesssim \log\frac2{1-|z|^2},$

而当 $0<p<1$ 时

$\left\|K_z\right\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})}\lesssim 1,$

因此文献[8]中的方法不能直接用来证明定理 1.2.本文的证明方法和技巧主要来自参考文献[1,8,9,12,13].

在本文中, 我们约定对于两个数学量 $U$ 和 $V$, 如果存在正绝对常数 $c$ 使得不等式 $ U\le cV$ 成立, 则简记为 $U\lesssim V$ (或 $V\gtrsim U$). 若 $U\lesssim V$ 与 $U\gtrsim V$ 都成立, 则记为 $V\approx U$.

2 一些预备引理

我们首先给出 Carleson 测度和对数 Carleson 测度的定义,这些定义源自文献[2,12].设 $\zeta\in\mathbb{S}_{n}$, $0<\delta \le1$, 令 $B_\delta(\zeta)=\left\{z\in\mathbb{B}_{n}:|1-\langle z,\zeta\rangle|<\delta\right\}$. 若 $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上非负 Borel 测度, 对于非负实数 $t,s$, 满足 $t+s>0$, 如果有不等式

$\begin{align*} \sup\left\{\left(\log\frac2\delta\right)^t \frac{\mu(B_\delta(\zeta))}{\delta^{ns}}:\zeta\in\mathbb{S}_{n},0<\delta\le1 \right\}<\infty \end{align*}$

成立, 则我们称 $\mu$ 是一个 $(t,s)$-型对数 Carleson 测度. 若 $s>0$, 则 $(0,s)$-型对数 Carleson 测度便简称为 $s$-Carleson 测度,而 $1$-Carleson 测度则简称为 Carleson 测度.关于 Carleson 测度有以下经典的结论 (其证明可见于文献[14,定理 5.9]).

引理2.1 设 $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的正 Borel 测度, $0<p<\infty$. 则 $\mu$ 是一个 Carleson 测度当且仅当等式

$\int_{\mathbb{B}_{n}}|f(z)|^p\text{d}\mu(z)\lesssim \|f\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})}^p$

对于任意的 $f\in H^p(\mathbb{B}_{n})$ 都成立.

更一般地, 有下面的 Carleson-Duren 定理, 其证明可见于文献[7].

引理2.2 设 $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的正 Borel 测度, $0<p\le q<\infty$. 则不等式

$\int_{\mathbb{B}_{n}}|f(z)|^q\text{d}\mu(z)\lesssim \left\|f\right\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})}^q$

对任意的 $f\in H^p(\mathbb{B}_{n})$ 都成立当且仅当 $\mu$ 是一个 $q/p$-Carleson 测度.

下面的引理源自文献[6,引理 3.2], 其证明亦可见于文献[11].

引理2.3 设 $t\ge0$, $s>0$, $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的正 Borel 测度. 则 $\mu$ 是一个 $(t,s)$-型对数 Carleson 测度当且仅当不等式

$\begin{align*} \sup_{w\in\mathbb{B}_{n}}\left(\log\frac2{1-|w|^2}\right)^t\int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1- |w|^2)^\alpha}{|1-\langle z,w\rangle|^{\alpha+ns}}\,\text{d} \mu(z)<\infty \end{align*}$

对某个 (或所有的) $\alpha>0$ 成立. 特别地, $\mu$ 是一个 $s$-Carleson 测度当且仅当

$\begin{align*} \sup_{w\in\mathbb{B}_{n}} \int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1- |w|^2)^\alpha}{|1-\langle z,w\rangle|^{\alpha+ns}}\,\text{d} \mu(z)<\infty. \end{align*}$

设 $f\in H^p(\mathbb{B}_{n})$. 众所周知, $f$ 在 $\mathbb{S}_{n}$ 上几乎处处存在径向极限, 即

$\begin{align*} f(\zeta)=\lim_{r\to 1^-}f(r\zeta),\quad \hbox{a.e.}\quad \zeta\in\mathbb{S}_{n}. \end{align*}$

设 $a\in\mathbb{B}_{n}$. 对于 $z\in\mathbb{B}_{n}$, 令

$\begin{equation*} \varphi_a(z)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{a-\frac{\langle z, a\rangle a}{ |a|^2} - \sqrt{1-|a|^2}(z-\frac{\langle z, a\rangle a}{ |a|^2})}{1-\langle z,a\rangle},\ & { 若 }\ a\ne 0,\\ & -z, \ & { 若 } \ a=0. \end{aligned} \right. \end{equation*}$

我们将用到以下基本事实, 其证明可见于文献[10,14].

1. 若 $a,z\in\mathbb{B}_{n}$, 则有 $\varphi_a(\varphi_a(z))=z$, $\varphi_a(a)=0$.

2. 对于任意的 $a,z\in\mathbb{B}_{n}$, 有等式

$1-|\varphi_a(z)|^2=\frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\langle z,a\rangle|^2}$

成立.

3. 对于任意的 $a,z,w\in\mathbb{B}_{n}$, 有等式

$1-\langle\varphi_a(z),\varphi_a(w)\rangle=\frac{(1-|a|^2)(1-\langle z,w\rangle)}{(1-\langle z,a\rangle)(1-\langle a,w\rangle)}$

成立.

显然, (2.1) 式是 (2.2) 式的特殊情形, 在这里将它们分别列出, 是为了后面证明的叙述方便.

定义 $BMOA$ 空间为

$BMOA=\left\{f\in H^2(\mathbb{B}_{n}): \left\|f\right\|_{BMOA}= \sup_{a\in\mathbb{B}_{n}} \left\|f\circ\varphi_a -f(a)\right\|_{H^2(\mathbb{B}_{n})}<\infty \right\}.$

由 John-Nirenberg[4]的经典结论可知,对任意的 $0<p<\infty$

$\left\|f\right\|_{BMOA}\approx \sup_{a\in\mathbb{B}_{n}} \left\|f\circ\varphi_a -f(a)\right\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})}.$

以下引理源自文献[14,定理 5.13].

引理2.4 设 $f\in H^1(\mathbb{B}_{n})$, $g\in BMOA$. 在积分配对

$\langle f,g\rangle_{H^2}=\lim_{r\to 1^-}\int_{\mathbb{S}_{n}} f(r\zeta)\overline{g(\zeta)}\,\text{d} \sigma(\zeta)$

之下,

$\left(H^1(\mathbb{B}_{n})\right)^\ast \cong BMOA.$

以下引理引自文献[12,13].

引理2.5 设 $0<p<\infty$, $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的正 Borel 测度. 则以下条件等价

1. $\mu$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的 $(p,1)$-型对数 Carleson 测度.

2. 对任意的 $f\in BMOA$, 不等式

$\begin{align*} \sup_{a\in\mathbb{B}_{n}} \int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle z,a\rangle|^{2n}}|f(z)|^p \text{d} \mu(z)\lesssim \left\|f\right\|_{BMOA}^p \end{align*}$

成立.

3. 对任意的 $0<q<\infty$, $f\in BMOA$ 以及 $g\in H^q(\mathbb{B}_{n})$, 不等式

$\int_{\mathbb{B}_{n}}|f(z)|^p |g(z)|^q\text{d}\mu(z)\lesssim \left\|f\right\|_{BMOA}^p \left\|g\right\|_{H^q(\mathbb{B}_{n})}^q$

成立.

证 证明方法来自文献[13], 为了文章的完整性和方便读者, 我们这里也给一个简略的证明.

先设第一条成立, 即 $\mu$ 是 $(p,1)$-型对数 Carleson 测度. 根据引理 2.3, 有不等式

$\sup_{a\in\mathbb{B}_{n}}\left(\log\frac2{1-|a|^2}\right)^p\int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1- |a|^2)^n}{|1-\langle z,a\rangle|^{2n}}\,\text{d} \mu(z)<\infty$

成立. 同时, 注意到 $(p,1)$-型对数 Carleson 测度一定是 Carleson 测度, 所以

$\sup_{b\in\mathbb{B}_{n}} \int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1- |b|^2)^n}{|1-\langle z,b\rangle|^{2n}}\,\text{d} \mu(z)<\infty$

也成立. 任取 $a\in\mathbb{B}_{n}$, 令

$\text{d}\nu_a(w)=\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle \varphi_a(w),a\rangle|^{2n}}\,\text{d}\mu(\varphi_a(w)).$

我们首先验证 $\nu_a$ 是 $\mathbb{B}_{n}$ 上的 Carleson 测度. 为此, 根据引理 2.3, 我们需要验证

$\sup_{\eta\in\mathbb{B}_{n}}\int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|\eta|^2)^n}{|1-\langle w,\eta\rangle|^{2n}}\,\text{d}\nu_a(w)<\infty.$

注意到 $\varphi_a:\mathbb{B}_{n}\to\mathbb{B}_{n}$ 是满射, 则对任意 $\eta\in\mathbb{B}_{n}$, 必存在 $\xi\in\mathbb{B}_{n}$ 使得 $\varphi_a(\xi)=\eta$ 且 $\varphi_a(\eta)=\xi$.做变量替换 $u=\varphi_a(w)$, 利用等式 (2.1) 与 (2.2) 直接计算可得

$\begin{align*} \int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|\eta|^2)^n}{|1-\langle w,\eta\rangle|^{2n}}\,\text{d}\nu_a(w) &= \int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|\eta|^2)^n}{|1-\langle w,\eta\rangle|^{2n}}\cdot\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle \varphi_a(w),a\rangle|^{2n}}\,\text{d}\mu(\varphi_a(w))\\ &=\int_{\mathbb{B}_{n}} \frac{(1-|\varphi_a(\xi)|^2)^n}{|1-\langle \varphi_a(u),\varphi_a(\xi)\rangle|^{2n}}\cdot\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle u,a\rangle|^{2n}}\,\text{d}\mu(u)\\ &= \int_{\mathbb{B}_{n}} \frac{(1-|\xi|^2)^n}{|1-\langle u,\xi\rangle|^{2n}}\,\text{d}\mu(u). \end{align*}$

由 (2.7) 式可得

$\sup_{\eta\in\mathbb{B}_{n}}\int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|\eta|^2)^n}{|1-\langle w,\eta\rangle|^{2n}}\,\text{d}\nu_a(w)=\sup_{\xi\in\mathbb{B}_{n}}\int_{\mathbb{B}_{n}} \frac{(1-|\xi|^2)^n}{|1-\langle u,\xi\rangle|^{2n}}\,\text{d}\mu(u)<\infty.$

这就证明了 (2.8) 式, 即对任意的 $ a\in\mathbb{B}_{n}$, $\nu_a$ 是一个 Carleson 测度. 由引理 2.1 可知, 对任意的 $g\in H^p(\mathbb{B}_{n})$, 不等式

$\int_{\mathbb{B}_{n}}|g(w)|^p\text{d}\nu_a(w)\lesssim\left\|g\right\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})}^p$

成立. 因此, 若 $f\in BMOA$, 根据 (2.9) 与 (2.3) 式可得

$\begin{align*} \int_{\mathbb{B}_{n}}|f(z)-f(a)|^p\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle z,a\rangle|^{2n}}\, \text{d}\mu(z)&= \int_{\mathbb{B}_{n}}|f(\varphi_a(w))-f(a)|^p\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle \varphi_a(w),a\rangle|^{2n}}\, \text{d}\mu(\varphi_a(w)) \notag\\ &= \int_{\mathbb{B}_{n}}|f(\varphi_a(w))-f(a)|^p \, \text{d}\nu_a(w) \notag\\ &\lesssim \left\|f\circ\varphi_a-f(a)\right\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})}^p \notag\\ &\le\left\|f\right\|_{BMOA}^p. \end{align*}$

另外, 若 $f\in BMOA$, 易知

$|f(a)|\lesssim \left(\log\frac2{1-|a|^2}\right)\|f\|_{BMOA}.$

由不等式 (2.10), (2.11), (2.6) 可得

$\begin{align*} \int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle z,a\rangle|^{2n}}|f(z)|^p \text{d} \mu(z)&\le 2^p \int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle z,a\rangle|^{2n}}\left(|f(z)-f(a)|^p+|f(a)|^p\right) \text{d} \mu(z)\\ &\lesssim\int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle z,a\rangle|^{2n}} |f(z)-f(a)|^p \text{d} \mu(z)\\ &\quad+ \int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle z,a\rangle|^{2n}} | f(a)|^p \text{d} \mu(z)\\ &\lesssim \left\|f\right\|_{BMOA}^p+ \left\|f\right\|_{BMOA}^p \left(\log\frac2{1-|a|^2}\right)^p \int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle z,a\rangle|^{2n}} \text{d} \mu(z)\\ &\lesssim \left\|f\right\|_{BMOA}^p. \end{align*}$

上述不等式对任意的 $a\in\mathbb{B}_{n}$ 都成立, 这就证明了第二条.

现在我们证明第一条与第二条等价, 还需证明第二条能推出第一条.设第二条成立, 若 $\zeta\in\mathbb{S}_{n}$, $0<r\le1$, 取 $a=(1-r)\zeta$ 以及

$f_a(z)=\log\frac2{1-\langle z,a\rangle}.$

容易验证 $f_a\in BMOA$,

$\sup_{a\in\mathbb{B}_{n}}\left\|f_a\right\|_{BMOA}\lesssim1 $

以及若 $z\in B_r(\zeta)$, 有

$|f_a(z)|\approx\log\frac2r.$

同时, 由于 $a=(1-r)\zeta$, 当 $z\in B_r(\zeta)$ 时, 易知

$1-|a|^2\approx|1-\langle z,a\rangle|\approx r.$

根据不等式 (2.4) 可得

$\begin{align*} \left(\log\frac2r\right)^p\frac{\mu(B_r(\zeta))}{r^n}&\approx \int_{B_r(\zeta)}|f_a(z)|^p\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle z,a\rangle|^{2n}}\,\text{d}\mu(z)\\ &\le \int_{\mathbb{B}_{n}}|f_a(z)|^p\frac{(1-|a|^2)^n}{|1-\langle z,a\rangle|^{2n}}\,\text{d}\mu(z)\\ &\lesssim\left\|f_a\right\|_{BMOA}^p\lesssim1. \end{align*}$

这个不等式对任意的 $\zeta\in\mathbb{S}_{n}$ 及 $0<r\le1$ 都成立, 这就证明了 $\mu$ 是一个 $(p,1)$-型对数 Carleson 测度, 即第一条成立.

我们证明第三条与第二条等价. 对任意 $f\in BMOA$, 不妨设 $\|f\|_{BMOA}\ne0$. 令

$\text{d}\mu_f(z)=\frac{|f(z)|^p}{\|f\|^p_{BMOA}}\,\text{d}\mu(z).$

由引理 2.1 与引理 2.3 可知, 不等式 (2.5) 与 (2.4) 均等价于 $\mu_f$ 是一个 Carleson 测度. 这就证明了结论.

以下的引理来自文献[3].

引理2.6 给定 $f\in H^1(\mathbb{B}_{n})$, 一定存在 $f_j, g_j\in H^2(\mathbb{B}_{n})$, $j=1,2,\cdots$, 使得

$f=\sum_{j=1}^\infty f_jg_j,$

且

$\sum_{j=1}^\infty \|f_j\|_{H^2(\mathbb{B}_{n})}\|g_j\|_{H^2(\mathbb{B}_{n})}\lesssim \|f\|_{H^1(\mathbb{B}_{n})}.$

3 定理的证明

3.1 定理 1.1 的证明

(1) 设 $\mu$ 是一个 $(1,1)$-型对数 Carleson 测度,我们需要证明 $Q_\mu:H^1(\mathbb{B}_{n})\to H^1(\mathbb{B}_{n})$ 是有界的. 由闭图像定理,任取 $f\in H^1(\mathbb{B}_{n})$, 只需验证 $Q_\mu f\in H^1(\mathbb{B}_{n})$. 为此,根据引理 2.4, 只需证明对任意的 $g\in BMOA$,

$\left|\langle Q_\mu f,g\rangle_{H^2}\right|<\infty.$

直接计算, 并用 Fubini 定理交换积分次序可得

$\begin{align*} \langle Q_\mu f,g\rangle_{H^2}&= \lim_{r\to 1^-}\int_{\mathbb{S}_{n}} Q_\mu f(r\zeta)\overline{g(\zeta)}\,\text{d} \sigma(\zeta)\\ &=\lim_{r\to 1^-}\int_{\mathbb{S}_{n}} \int_{\mathbb{B}_{n}} \frac{f(w)\text{d} \mu(w)}{(1-\langle r\zeta,w\rangle)^n}\overline{g(\zeta)}\,\text{d} \sigma(\zeta)\\ &=\lim_{r\to 1^-}\int_{\mathbb{S}_{n}} \int_{\mathbb{B}_{n}} \frac{f(w)\text{d} \mu(w)}{(1-\langle \zeta,rw\rangle)^n}\overline{g(\zeta)}\,\text{d} \sigma(\zeta)\\ &=\lim_{r\to 1^-} \int_{\mathbb{B}_{n}} f(w)\int_{\mathbb{S}_{n}}\frac{1}{(1-\langle \zeta,rw\rangle)^n}\overline{g(\zeta)}\,\text{d} \sigma(\zeta) \text{d} \mu(w)\\ &=\lim_{r\to 1^-} \int_{\mathbb{B}_{n}} f(w)\overline{\int_{\mathbb{S}_{n}}\frac{g(\zeta)}{(1-\langle rw,\zeta \rangle)^n} \,\text{d} \sigma(\zeta)}\, \text{d} \mu(w). \end{align*}$

由于 $g\in BMOA$, 根据 Cauchy 积分公式可得

$\int_{\mathbb{S}_{n}}\frac{g(\zeta)}{(1-\langle rw,\zeta \rangle)^n} \,\text{d} \sigma(\zeta)=g(rw).$

由此可推出

$\langle Q_\mu f,g\rangle_{H^2}= \lim_{r\to 1^-} \int_{\mathbb{B}_{n}} f(w)\overline{g(rw)}\, \text{d} \mu(w)= \int_{\mathbb{B}_{n}} f(w)\overline{g( w)}\, \text{d} \mu(w).$

注意到 $f\in H^1(\mathbb{B}_{n})$, 根据引理 2.6, 存在 $f_j,g_j, j=1,2\cdots$, 使得 (2.12) 式成立. 因此有

$\begin{align*} \left|\langle Q_\mu f,g\rangle_{H^2}\right|=\left|\int_{\mathbb{B}_{n}} \sum_{j=1}^\infty f_j(w)g_j(w) \overline{g( w)}\, \text{d} \mu(w)\right|\le \sum_{j=1}^\infty \int_{\mathbb{B}_{n}}| f_j(w)g_j(w) {g( w)}| \text{d} \mu(w). \end{align*}$

由 Hölder 不等式及 (2.5) 式

$\begin{align*} \int_{\mathbb{B}_{n}}| f_j(w)g_j(w) {g( w)}| \text{d} \mu(w)&\le \left(\int_{\mathbb{B}_{n}}| f_j(w)|^2 |{g( w)}| \text{d} \mu(w)\right)^\frac12 \left(\int_{\mathbb{B}_{n}}| g_j(w)|^2 |{g( w)}| \text{d} \mu(w)\right)^\frac12\\ &\lesssim \left\|g\right\|_{BMOA}\left\|f_j\right\|_{H^2(\mathbb{B}_{n})} \left\|g_j\right\|_{H^2(\mathbb{B}_{n})}. \end{align*}$

再由 (2.13) 式可得

$\left|\langle Q_\mu f,g\rangle_{H^2}\right|\lesssim \sum_{j=1}^\infty \left\|g\right\|_{BMOA}\left\|f_j\right\|_{H^2(\mathbb{B}_{n})} \left\|g_j\right\|_{H^2(\mathbb{B}_{n})}\lesssim \left\|g\right\|_{BMOA}\left\|f \right\|_{H^1(\mathbb{B}_{n})}<\infty.$

这就证明了 (3.1) 式.

(2) 现在设 $Q_\mu: H^1(\mathbb{B}_{n})\to H^1(\mathbb{B}_{n})$ 是有界线性算子, 则任取 $f\in H^1(\mathbb{B}_{n})$, 必有 $Q_\mu f\in H^1(\mathbb{B}_{n})$. 由引理 2.4, 对任意的 $g\in BMOA$, 必有

$\left|\langle Q_\mu f,g\rangle_{H^2}\right| <\infty.$

现取

$\begin{align*} f_w(z)=\frac{(1-|w|^2)^n}{(1-\langle z,w\rangle)^{2n}},\quad \hbox{及}\quad g_w(z)=\frac{(1-|w|^2)^{2n}}{(1-\langle z,w\rangle)^{2n}}, \quad w,z\in\mathbb{B}_{n}. \end{align*}$

易验证 $\|f_{w}\|_{H^1(\mathbb{B}_{n})}\lesssim 1$ 及 $\|g_{w}\|_{BMOA}\lesssim 1$. 直接计算可得

$\begin{align*} \langle Q_\mu f_w,g_w\rangle_{H^2} =\int_{\mathbb{B}_{n}} f_w(z)\overline{g_w(z)}\,\text{d}\mu(z)=\int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|w|^2)^{3n}}{|1-\langle z,w\rangle|^{4n}}\text{d}\mu(z). \end{align*}$

因此

$\begin{align*} \sup_{w\in\mathbb{B}_{n}}\int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|w|^2)^{3n}}{|1-\langle z,w\rangle|^{4n}}\text{d}\mu(z)\le\sup_{w\in\mathbb{B}_{n}} \left|\langle Q_\mu f_w,g_w\rangle_{H^2}\right| <\infty. \end{align*}$

利用引理 2.3 可知, $\mu$ 是一个 Carleson 测度.

3.2 定理 1.2 的证明

先证充分性. 设 $\mu$ 是一个 $(1+\frac1p-\frac1q)$-Carleson 测度. 为证 $Q_\mu: H^p(\mathbb{B}_{n})\to H^q(\mathbb{B}_{n})$ 是有界线性算子, 只需任取 $f\in H^p(\mathbb{B}_{n})$, 证明以下不等式

$\left\|Q_\mu f\right\|_{H^q(\mathbb{B}_{n})}\lesssim \left\|f\right\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})}.$

注意到 $q>1$,取 $q'=\frac q{q-1}$.

$\begin{align*} \left\|Q_\mu f\right\|_{H^q(\mathbb{B}_{n})}&=\sup_{\|g\|_{ H^{q'}(\mathbb{B}_{n})}=1}\left|\langle Q_\mu f, g\rangle_{H^2}\right|\\ &=\sup_{\|g\|_{ H^{q'}(\mathbb{B}_{n})}=1}\left|\int_{\mathbb{B}_{n}} f(z)\overline{g(z)}\text{d}\mu(z)\right|\le \sup_{\|g\|_{ H^{q'}(\mathbb{B}_{n})}=1}\int_{\mathbb{B}_{n}} \left| f(z) {g(z)}\right|\text{d}\mu(z). \end{align*}$

记 $\tau=p(1+\frac1p-\frac1q)$, 易知 $\tau>1$. 令 $\tau'=\frac\tau{\tau-1}$. 由 Hölder 不等式可得

$\begin{align*} \int_{\mathbb{B}_{n}} \left| f(z) {g(z)}\right|\text{d}\mu(z)\le\left(\int_{\mathbb{B}_{n}}|f(z)|^\tau\text{d}\mu(z)\right)^\frac1\tau \left(\int_{\mathbb{B}_{n}}|g(z)|^{\tau'}\text{d}\mu(z)\right)^{\frac1{\tau'}}. \end{align*}$

注意到

$\frac{\tau'}{p'}=1+\frac1p-\frac1q=\frac\tau p,$

而 $\mu$ 是一个 $\tau$-Carleson 测度, 可由引理 2.2 可得出

$\left(\int_{\mathbb{B}_{n}}|f(z)|^\tau\text{d}\mu(z)\right)^\frac1\tau \lesssim \|f\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})}$

及

$\begin{align*} \left(\int_{\mathbb{B}_{n}}|g(z)|^{\tau'}\text{d}\mu(z)\right)^{\frac1{\tau'}} \lesssim \|g\|_{H^{q'}(\mathbb{B}_{n})}. \end{align*}$

因此

$\begin{align*} \left\|Q_\mu f\right\|_{H^q(\mathbb{B}_{n})}& \le \sup_{\|g\|_{ H^{q'}(\mathbb{B}_{n})}=1}\int_{\mathbb{B}_{n}} \left| f(z) {g(z)}\right|\text{d}\mu(z)\\ &\lesssim \sup_{\|g\|_{ H^{q'}(\mathbb{B}_{n})}=1} \|f\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})} \|g\|_{H^{q'}(\mathbb{B}_{n})}= \|f\|_{H^q(\mathbb{B}_{n})}. \end{align*}$

这就证明了 (3.2) 式, 即充分性得证.

现在来证必要性. 设 $Q_\mu:H^p(\mathbb{B}_{n})\to H^q(\mathbb{B}_{n})$ 是有界线性算子, 则任取 $f\in H^p(\mathbb{B}_{n})$ 和 $g\in H^{q'}(\mathbb{B}_{n})$ 都有

$\left|\langle Q_\mu f,g\rangle_{H^2}\right| <\infty.$

令 $s>\frac1p$, 并取

$\begin{align*} f_w(z)=\frac{(1-|w|^2)^{sn-\frac qp}}{(1-\langle z,w\rangle)^{sn}},\quad \hbox{及}\quad g_w(z)=\frac{(1-|w|^2)^{sn-\frac n{q'}}}{(1-\langle z,w\rangle)^{sn}}, \quad w,z\in\mathbb{B}_{n}. \end{align*}$

如前所述, 可验证 $\|f_w\|_{H^p(\mathbb{B}_{n})}\lesssim 1$ 及 $\|g_w\|_{H^{q'}(\mathbb{B}_{n})}\lesssim 1$.

由此可得

$\begin{align*} \sup_{w\in\mathbb{B}_{n}}\int_{\mathbb{B}_{n}}\frac{(1-|w|^2)^{2sn-\frac np-\frac n{p'}}}{|1-\langle z,w\rangle|^{2sn}}\text{d}\mu(z)\le\sup_{w\in\mathbb{B}_{n}} \left|\langle Q_\mu f_w,g_w\rangle_{H^2}\right| <\infty. \end{align*}$

根据引理 2.3, $\mu$ 是一个 $(\frac1p+\frac1{q'})$-Carleson 测度. 注意到

$\frac1p+\frac1{q'}=1+\frac1p-\frac1q,$

这就证明了必要性.

致谢

感谢审稿人所提宝贵意见.

参考文献

Bonami A, Grellier S, Sehba B F.

Boundedness of Hankel operators on $H^1(\mathbb{B}_{n})$

C R Math Acad Sci Paris. 2007, 3.4(12): 749-752

[本文引用: 1]

Carleson L.

Interpolations by bounded analytic functions and the corona problem

Ann Math, 1962, 76(2): 547-559

[本文引用: 1]

Coifman R R, Rochberg R, Weiss G.

Factorization theorems for Hardy spaces in several variables

Ann Math, 1976, 1.3(3): 611-635

[本文引用: 1]

John F, Nirenberg L.

On functions of bounded mean oscillation

Comm Pure Appl Math, 1961, 14: 415-426

[本文引用: 1]

Luecking D H.

Trace ideal criteria for Toeplitz operators

J Funct Anal, 1987, 73(2): 345-368

[本文引用: 1]

Ortega J M, Fábrega J.

Pointwise multipliers and decomposition theorems in $F^{\infty,q}_s$

Math Ann, 2004, 3.9(2): 247-277

[本文引用: 1]

Pau J.

Integration operators between Hardy spaces on the unit ball of $\mathbb{C}_{n}$

J Funct Anal, 2016, 2.0(1): 134-176

[本文引用: 1]

Pau J, Perälä A.

A Toeplitz-type operator on Hardy spaces in the unit ball

Trans Amer Math Soc, 2020, 3.3(5): 3031-3062

[本文引用: 7]

Peng R, Fan Y Q.

Toeplitz operators from Hardy spaces to weighted Bergman spaces in the unit ball of $\mathbb{C}_{n}$

Acta Math Sci, 2022, 42B(1): 349-363

[本文引用: 2]

Rudin W. Function Theory in the Unit Ball of $\mathbb{C}_{n}$. New York: Springer, 1980

[本文引用: 1]

Yuan C, Tong C.

A note on Carleson measures for Besov-Sobolev spaces in the unit ball

Bull Malays Math Sci Soc, 2019, 42(3): 1161-1172

[本文引用: 1]

Zhao R.

On logarithmic Carleson measures

Acta Sci Math, 2003, 69: 605-618

[本文引用: 3]

Zhao R.

On Carleson measures

Univ Joensuu Dept Phys Math Rep Ser, 2007, 12: 57-78

[本文引用: 3]

Zhu K. Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball. New York: Springer, 2005

[本文引用: 3]

/

〈 〉

版权所有 © 《数学物理学报》杂志社
地址： 武汉市71010号信箱(430071)　电话: 027-87199206(中文版)　027-87199087(英文版)
E-mail: actams@apm.ac.cn
本系统由北京玛格泰克科技发展有限公司设计开发