最优化问题是一个应用性非常强的研究课题, 也是现代科学计算的核心问题之一, 其广泛分布于经济计划、工程设计、运输交通、国防等领域, 受到了产业部门及科研机构的重点关注. 由于许多实际问题都可以看成或者转化为一个约束优化问题, 因此约束优化问题引起了学者们的高度重视. 特别地, 许多学者研究了如下带不等式约束的优化问题

其中 $X$ 是实局部凸 Hausdorff 拓扑向量空间, $C\subseteq X$ 是一个非空闭凸集, $T$ 是一个非空 (可能无限) 指标集, $f, f_t:X\rightarrow\mathbb{\overline{R}}:=\mathbb{R}\cup\{+\infty\}, t\in T$ 是真函数. 学者们利用内点类条件、闭性条件、次微分类条件和上图类条件等, 建立了上述问题的 Farkas 类引理、对偶理论、最优性条件等 (参看文献[1-11]).

注意到, 上述结论都是建立在函数具有凸性和下半连续性的假设下得到的, 这在一定程度上限制了约束优化问题在实际中的运用. 因此, 如何在函数不一定具有下半连续性的情况下建立数学优化问题的对偶理论和最优性条件, 成为了现代优化理论研究中的一个热点和难点问题. 而均匀凸集具有非闭性, 使得均匀凸函数 (即上图为均匀凸集的函数) 比下半连续凸函数更具一般性. 于是有学者开始研究目标函数和 (或) 约束函数为真均匀凸函数的约束优化问题 (参看文献[12-18]). 特别地, Fajardo 等人利用 $c$-共轭函数概念, 引入上图类约束规范条件, 建立了均匀凸优化问题的 Lagrange 强对偶 (参考文献[18]).

注意到, 文献[18]仅研究了均匀凸优化问题的 Lagrange 强对偶. 据掌握的文献看, 目前尚未有学者研究均匀凸优化问题的最优性条件和 Lagrange 全对偶. 受此启发, 本文继续研究目标函数和约束函数均为真均匀凸的约束优化问题. 利用 $c$- 次微分概念, 引入新的次微分类约束规范条件, 建立了上图类和次微分类约束规范条件之间的关系. 利用新的约束规范条件, 等价刻画了均匀凸优化问题的最优性条件以及该问题与其 Lagrange 对偶问题之间的全对偶和稳定全对偶, 推广了前人的相关结论.

设 $X$ 是实局部凸拓扑向量空间, $X^*$ 是 $X$ 的共轭空间, 赋予弱 $^*$ 拓扑 $\omega^*(X^*,X)$. $\langle x^\ast,x\rangle$ 表示泛函 $x^\ast\in X^\ast$ 在点 $x\in X$ 的值, 即 $\langle x^\ast,x\rangle$=$x^\ast(x)$. 设集合 $D$ 是 $X$ 的一个非空子集, 记 $D$ 的闭包, 凸包和锥包分别为 ${\rm cl}\,D$, ${\rm co}\, D$ 和 ${\rm cone}\,D$. 若对任意 $x_0 \notin D$, 存在 $x^*\in X^*$, 使得对所有 $x \in D$ 有 $\langle x^ *,x - x_0\rangle <0 $ 成立, 则称集合 $D$ 是均匀凸集. 包含 $D$ 的最小均匀凸集称之为 $D$ 的均匀凸包, 记为 ${\rm{econv}}{\mkern 1mu} D$ (参看文献[19]). 设 $T$ 是任意 (可能无限) 指标集, ${\mathbb{R}}^{( T )}:=\{ \lambda =( \lambda_t )_{t\in T}\in {\mathbb{R}}^T:\mbox{只有有限多个}\lambda_t \ne 0 \}$, $\mathbb R_+^{( T )}$ 表示 $\mathbb R^{( T )}$ 上的非负锥, 即

令 $\delta_D$ 表示 $D$ 的示性函数, 定义为

设 $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ 是真函数,分别定义 $f$ 的有效定义域, 上图, 共轭函数为

定义 $f$ 在点 $x\in\text{dom}f$ 处的次微分为

若 $f( x )\notin {\mathbb{R}}$, 则记 $\partial f( x )=\emptyset.$若函数 $f$ 的上图 ${\rm{epi}}{\mkern 1mu} f$ 为均匀凸集, 则称函数 $f$ 为均匀凸函数. 定义函数 $f:X\to \overline{\mathbb{R}}$ 的均匀凸包为 (参看文献[19])

对于真函数 $f,g:X\to \overline{\mathbb{R}}$, $f$ 和 $g$ 的下端卷积记作 $f \oplus g$, 定义为

如果存在 $a \in X$ 使得 $( f \oplus g )( x ) = f( a ) + g( x - a)$, 则称函数 $f \oplus g$ 在点 $x$ 精确. 令 $W: =X^ * $$ \times X^ * \times\mathbb{R} $, 耦合函数 $c:X \times W \to \overline{\mathbb{R}}$ 和 $c':W \times X \to \overline{\mathbb{R}} $ 定义为

设 $f: X \to \overline{\mathbb{R}} $, $h: W \to \overline{\mathbb{R}} $, 分别定义 $f$ 的 $c$- 共轭 $f^c: W \to \overline{\mathbb{R}} $ 和 $h$ 的 $c'$-共轭 $h^{c'}: X \to \overline{\mathbb{R}} $ 为 (参看文献[13])

定义2.1^[20] 设函数 $f: X \to \overline{\mathbb{R}} $ 为真函数, $x_0 \in {\rm dom} f$. 若存在 $( x^*,u^*,\alpha ) \in W$ 使得 $\langle x_0,$$u^ * \rangle < \alpha $ 且对任意 $x \in X$ 有

则称向量 $ ( x^*,u^*,\alpha ) \in W$ 是函数 $f$ 在点 $x_0$ 处的 $c$-次梯度. 函数 $f$ 在点 $x_0$ 处的所有 $c$-次梯度组成的集合称为函数 $f$ 在点 $x_0$ 处的 $c$-次微分, 记为 $\partial _cf(x_0)$.

由 $c$-共轭函数的定义可知, 以下不等式成立

同时, 由 $c$-次微分的定义可知, 对任意 ${x} \in {\rm dom}f$ 有

命题2.1 (i) 设 $f,g: X \to \overline{\mathbb{R}} $ 是真函数且 ${\rm dom}f\cap {\rm dom}g\ne \emptyset.$ 若 $f\le g$, 则 $ f^c\ge g^c$, 从而有 ${\rm epi}f^c\subseteq {\rm epi}g^c$.

(ii) 设 $f,g: W \to \overline{\mathbb{R}} $ 是真函数且 ${\rm dom}f\cap {\rm dom}g\ne \emptyset.$ 若 $f\le g$, 则 $ f^{c'}\ge g^{c'}$, 从而有 ${\rm epi}f^{c'}\subseteq {\rm epi}g^{c'}$.

证 (i) 和 (ii) 的证明类似, 为此仅证明(i) 成立. 任取 $( y^*,z^*,\alpha)\in X^*\times X^*\times {\mathbb{R}},$ 由定义可知

因此 $ f^c\ge g^c$. 进一步, 由上图定义可知 $\text{epi}f^c\subseteq \text{epi}g^c$.

命题2.2 设 $f,g: X \to \overline{\mathbb{R}} $ 是真函数且 ${\rm dom}f\cap {\rm dom}g\ne \emptyset,$ 则下列式子成立

证 任取 $ ( y_1^*,z_1^*,\alpha _1,\beta_1 )\in {\rm epi}f^c$, $ ( y_2^*,z_2^*,\alpha_2,\beta_2 )\in {\rm epi}g^c$, 由定义可知, 对任意 $x\in X$ 有

注意到

故有

即对任意 $x\in X$ 有

因此

从而

于是 (2.2) 式成立.

命题2.3 设 $f,g: X \to \overline{\mathbb{R}} $ 是真函数且 ${\rm dom}f\cap {\rm dom}g\ne \emptyset $, 则下列式子成立

证 任取 $ ( u_1^*,v_1^*,\omega_1 )\in \partial _cf (x_0), (u_2^*,v_2^*,\omega_2 )\in \partial _cg (x_0),$ 由 $c$-次微分定义得 $ \langle x_0,v_1^* \rangle <\omega_1, \langle x_0,v_2^* \rangle <\omega_2,$ 且对任意 $x\in X$ 有

显然, $ \langle x_0,v_1^*+v_2^* \rangle <\omega_1+\omega_2,$ 因此

由 (2.1) 式知

故有

因此由命题 2.2 得

所以

又

故有 $\langle x,v_1^*+v_2^* \rangle <\omega_1+\omega_2,$ 否则 $+\infty \le \langle x_0,u_1^*+u_2^* \rangle - ( f+g )(x_0)$ 矛盾. 因而

于是, 由 (2.3)-(2.6) 式可得

即 $ ( u_1^*+u_2^*,v_1^*+v_2^*,\omega_1+\omega_2 )\in \partial _c ( f+g ) (x_0).$

命题2.4 设 $f,g:X\to \overline{\mathbb{R}}$ 是真函数且 ${\rm{dom}}{\mkern 1mu} f \cap {\rm{dom}}{\mkern 1mu} g \ne \emptyset $. 若

则对任意 $x \in {\rm{dom}}{\mkern 1mu} f \cap {\rm{dom}}{\mkern 1mu} g$ 有

证 假设 (2.7) 式成立. 任取 $x_0 \in {\rm{dom}}{\mkern 1mu} f \cap {\rm{dom}}{\mkern 1mu} g$, $ ( u^*,v^*,\omega )\in \partial _c ( f+g ) (x_0)$, 由 (2.1) 式和 $c$-次微分定义得

因此

故存在 $ ( u_1^*,v_1^*,\omega_1,\beta_1 )\in \text{epi}f^c$ 和 $ ( u_2^*,v_2^*,\omega_2,\beta_2 )\in \text{epi}g^c$ 使得

同时, 由 $c$-共轭函数定义可知, 对任意 $x\in X$ 有

因此

从而, 由耦合函数定义可得

故

又由 (2.9) 式有

故$\beta_1=\langle x_0,u_1^*\rangle -f(x_0), \beta_2=\langle x_0,u_2^* \rangle -g(x_0).$因此对任意 $x\in X$ 有

由定义可知, $( u_1^*,v_1^*,\omega_1 )\in \partial _cf(x_0), ( u_2^*,v_2^*, \omega_2)\in \partial _cg (x_0).$ 因此

从而$\partial _c( f+g )(x_0)\subseteq \partial _cf(x_0)+\partial _cg(x_0).$

于是, 由命题 2.3 即可得 (2.7) 式成立.

设 $p \in X^ * $, 考虑如下带线性扰动的均匀凸优化问题

其中 $X$ 是实局部拓扑向量空间, 函数 $f,f_t: X \to \overline{\mathbb{R}} $ 是定义在 $X$ 上的真均匀凸函数, $C$ 是 $X$ 中的非空均匀凸子集, $T$ 是任意指标集. 为简便, 记 $( P_0 )$ 为 $(P)$. 设 $\{\delta _C;f_t:t \in T\}$ 表示问题 $(P)$ 的无限均匀凸不等式系统$x\in C;f_t(x)\leq 0,t\in T,$$A$ 为该不等式系统的解集, 即

为研究问题 $(P)$ 的最优性条件和全对偶, 我们首先引入适当的约束规范条件. 设 $x\in X$, 记 $T( x ):=\{ t\in T:f_t( x )=0 \}$

由命题 2.1 和命题 2.3 可知

定义3.1 称系统 $\{\delta _C;f_t:t \in T\}$

(i) 在 $x\in A$ 处满足 $(ECQ)$ 条件, 若

(ii) 在 $x\in A$ 处满足 $( WECQ )$ 条件, 若

(iii) 在 $x\in {\rm dom}f\cap A$ 处满足 $( ECQ )_f$ 条件, 若

(iv) 在 $x\in {\rm dom}f\cap A$ 处满足 $( WECQ )_f$ 条件, 若

(v) 满足 $(ECQ)$ ($(WECQ)$, $(ECQ)_f$, $( WECQ )_f$) 条件, 若该系统在任意 $x\in A$ ($x\in A$, $x\in {\rm dom}f\cap A$, $x\in {\rm dom}f\cap A$) 处都满足 $(ECQ)$ ( $(WECQ)$, $(ECQ)_f$, $( WECQ )_f$ ) 条件.

注3.1 (i) 由 (3.1) 式, 定义 3.1 中的 (3.2), (3.3), (3.4) 和 (3.5) 式分别等价于

(ii) 由 (3.1) 式可得 $(ECQ)\Rightarrow ( WECQ ),\quad (ECQ)_f\Rightarrow ( WECQ )_f;$

(iii) 定义 ${\mathbb{R}}^p$ 到 ${\mathbb{R}}^{|J|}$ 上的投射 ${\rm Proj}_p^{J}: {\mathbb{R}}^p \rightarrow {\mathbb{R}}^{|J|}$为 ${\rm Proj}_p^{J}(x):=(x_j)_{j\in J}, $其中 $p\in \mathbb{N} $, $\emptyset \neq J \subsetneqq \{1,\cdots,p\}$.设 $u^* \in X^ *$, $\alpha \in {\mathbb{R}}$, 定义$H_{u^ *,\alpha }^ < := \{x \in X:\langle x,u^ * \rangle < \alpha \}.$由文献[20,21]可知

且有 $\partial f (x)={\rm Proj}_3^{{1}}\partial_c f (x)$, 其中 $x\in{\rm{dom}}f$. 因此, 将 (3.2)-(3.5) 式中左右两边同时作 ${\mathbb{R}}^3$ 到 ${\mathbb{R}}$ 上的投射, 则定义 3.1 中的 $(ECQ)$ ($(WECQ)$, $(ECQ)_f$, $( WECQ )_f$) 条件即转化为文献[10]中的 $(BCQ)$ ($(WBCQ)_0$, $(BCQ)_f$, $( WBCQ )_f$) 条件.

定理3.1 设 $p\in X^*$, $ x_0\in {\rm dom}f\cap A.$ 以下命题等价

(i) $x_0$ 是问题 $(P_p)$ 的最优解;

(ii) 对任意 $\alpha > 0,$$( 0,0,\alpha ) \in \partial _c( f + p + \delta _A )(x_0)$;

(iii) 对任意 $\alpha > 0,$$( - p,0,\alpha ) \in \partial _c( f+\delta _A )(x_0)$.

证 $(\rm i) \Rightarrow (\rm ii)$ 设 $x_0$ 是问题 $(P_p)$ 的最优解, 则对任意 $x \in X$, $\alpha > 0$ 有

因此, $( 0,0,\alpha ) \in \partial _c( f + p + \delta _A)(x_0)$.

$(\rm ii) \Rightarrow (\rm iii)$ 假设 (ii) 成立. 任取 $\alpha > 0$ 使得 $( 0,0,\alpha )\in \partial _c( f + p + \delta _A )(x_0)$,则对任意 $x \in X$ 有$( f + p + \delta _A)(x) - (f + p + \delta _A)(x_0)\ge 0.$故对任意 $x \in X$ 有

因此, $(- p,0,\alpha) \in \partial _c( f + \delta _A)(x_0)$.

$(\rm iii) \Rightarrow (\rm i)$ 假设 (iii) 成立. 任取 $\alpha > 0$ 使得 $( - p,0,\alpha) \in \partial _c( f+\delta _A )(x_0)$, 则对任意 $x \in X$ 有

即对任意 $x \in A$ 有 $(f+p)(x) - (f+p)(x_0) \ge 0,$因此 $x_0$ 是问题 $(P_p)$ 的最优解.

由定理 3.1 可知下面推论成立.

推论3.1 设 $ x_0\in {\rm dom}f\cap A$. 则 $x_0$ 是问题 $(P)$ 的最优解当且仅当对任意 $\alpha > 0$ 有 $( 0,0,\alpha) \in \partial _c( f + \delta _A)(x_0)$.

引理3.1^[20] 设函数 $f:X \to \overline{\mathbb{R}} $ 为真函数, 则对任意 $x_0 \in {\rm{dom}}{\mkern 1mu} f$ 有 $\partial _cf(x_0) \subseteq {\rm{dom}}{\mkern 1mu} f^c$.

定理3.2 设 $p\in X^\ast$, $\alpha>0$. 若 $(-p,0,\alpha) \in \partial _cf(x_0) + \partial _c\delta _A(x_0)$, 则 ${x_0}$ 是问题 $(P_p)$ 的最优解. 反之, 若 $(f+\delta _A)^c( -p,0,\alpha )=( f^c\oplus \delta _A^c)( -p,0,\alpha)$ 且 $f^c\oplus \delta _A^c$ 在点 $( -p,0,\alpha )$ 精确, 则逆命题亦成立.

证 假设 $(-p,0,\alpha) \in \partial _cf(x_0) + \partial _c\delta _A(x_0)$, 故存在 $( u^*,v^*,\alpha _1) \in \partial _cf(x_0)$ 使得 $( - u^*-p, - v^*,\alpha - \alpha _1) \in \partial _c\delta _A(x_0).$ 由 $c$-次微分定义, 对任意 $x \in X$ 有下列不等式成立

其中 $\langle x_0,v^*\rangle < \alpha _1,\langle x_0, - v^*\rangle < \alpha - \alpha _1.$任取 $x \in {\rm{dom}}{\mkern 1mu} f \cap A$. 由引理 3.1 可知, $( u^*,v^*,\alpha _1 ) \in {\rm{dom}}{\mkern 1mu} f^c,$$( - u^*-p, - v^*,\alpha - \alpha _1) \in \text{dom}\delta _{A}^{c}$,故有 $\langle x,v^* \rangle < \alpha _1,\langle x,-v^* \rangle < \alpha - \alpha _1.$ 因此, 不等式 (3.10), (3.11) 可以化为

即

整理得$(f + p)(x) \ge(f + p)(x_0),\quad \forall x\in A.$因此 $x_0$ 是问题 $(P_p)$ 的最优解.

反之, 设 $x_0$ 为问题 $(P_p)$ 的最优解, 则

由于 $(f+\delta _A)^c(-p,0,\alpha)=(f^c\oplus \delta _A^c)(-p,0,\alpha)$ 且 $f^c\oplus \delta _A^c$ 在点 $( -p,0,\alpha )$ 精确, 故存在 $u^*,v^* \in X^*,\alpha _1 \in {\mathbb{R}}$ 满足 $\langle x_0,v^*\rangle < \alpha - \alpha _1,\langle x_0, - v^*\rangle < \alpha _1,$

因此

故有

从而 $( u^*,v^*,\alpha - \alpha _1) \in \partial _cf(x_0),( - u^*-p, - v^*,\alpha _1) \in \partial _c\delta _A(x_0).$ 于是 $( -p,0,\alpha) \in \partial _cf(x_0) + \partial _c\delta _A(x_0).$

由定理 3.2 可知以下推论成立.

推论3.2 设 $\alpha>0$. 若 $(0,0,\alpha) \in \partial _cf(x_0)+ \partial _c\delta _A(x_0)$, 则 ${x_0}$ 是问题 $(P)$ 的最优解. 反之, 若 $(f+\delta _A)^c( 0,0,\alpha )=( f^c\oplus \delta _A^c)( 0,0,\alpha )$ 且 $f^c\oplus \delta _A^c$ 在点 $( 0,0,\alpha )$ 精确, 则逆命题亦成立.

定理3.3 设 $p\in X^\ast$, $x_0 \in {\rm{dom}}{\mkern 1mu} f \cap A$. 若系统 $\{ \delta _C;f_t:t \in T\}$ 在 $x_0$ 处满足 $( ECQ )_f$ 条件, 则 $x_0$ 是问题 $(P_p)$ 的最优解当且仅当存在 $\overline\lambda =(\overline\lambda_t)_{t\in T}\in {\mathbb{R}}_ + ^{(T)}$ 使得对任意 $\alpha > 0$ 有

证 设 $x_0$ 是问题 $(P_p)$ 的最优解. 由定理 3.1 可知, 对任意 $\alpha > 0$ 有

又因为系统 $\{ \delta _C;f_t:t \in T\}$ 在 $x_0$ 处满足 $( ECQ )_f$ 条件, 故有

因此存在 $\overline\lambda =(\overline\lambda_t)_{t\in T}\in {\mathbb{R}}_ + ^{(T)}$ 使得对任意 $\alpha > 0,$ (3.12) 式成立.

反之, 假设存在 $\overline\lambda =(\overline\lambda_t)_{t\in T}\in {\mathbb{R}}_ + ^{(T)}$ 使得对任意 $\alpha > 0$ 有 (3.12) 式成立, 则

从而由定理 3.1 可知, $x_0$ 是问题 $(P_p)$ 的最优解.

注3.2 由注 3.1(iii) 可知, 将 (3.4) 式中左右两边同时作 ${\mathbb{R}}^3$ 到 ${\mathbb{R}}$ 上的投射, 则定义 3.1 中的 $(ECQ)_f$ 条件转化为文献[10]中的 $(BCQ)_f$ 条件, 因此由定理 3.3 即可得文献[10,定理 4.1].

令 $p\in X^*$, 定义问题 $( P_p )$ 的 Lagrange 对偶问题为

$v(P_p)$ 和 $S(P_p)$ 分别表示问题 $(P_p)$ 的最优值和解集, 定义为

类似地, 分别定义问题 $(D_p)$ 的最优值 $v( D_p)$ 和解集 $S( D_p )$ 为

为简便, 若 $p=0$, 则分别记 $v(D_0)$, $v( P_0 )$, $S( P_0 )$, $v( D_0 )$, $S( D_0 )$ 为 $v(D)$, $v( P )$, $S( P )$, $v( D )$, $S( D )$.

本节主要研究问题 $(P)$ 与问题 $(D)$ 之间的稳定全对偶, 为此, 先给出如下定义 (可参看文献[10]).

定义4.1 (i) 若 $v(D)\leq v(P)$, 则称问题 $(P)$ 与问题 $(D)$ 之间的弱对偶成立;

(ii) 若 $v(D)= v(P)$ 且 $S(D)\ne \emptyset $, 则称问题 $(P)$ 与问题 $(D)$ 之间的强对偶成立;

(iii) 若对任意 $p\in X^*$, 问题 $(P_p)$ 与问题 $(D_p)$ 之间的强对偶成立, 则称问题 $(P)$ 与问题 $(D)$ 之间的稳定强对偶成立;

(iv) 若 $S(P)\ne \emptyset $ 时, 问题 $(P)$ 与问题 $(D)$ 之间的强对偶成立, 则称问题 $(P)$ 与问题 $(D)$ 之间的全对偶成立;

(v) 若对任意 $p\in X^*$, 问题 $(P_p)$ 与问题 $(D_p)$ 之间的全对偶成立, 则称问题 $(P)$ 与问题 $(D)$ 之间的稳定全对偶成立.

定理4.1 系统 $\{\delta _C;f_t:t \in T \}$ 满足 $(WECQ)_f$ 条件当且仅当问题 $(P)$ 与问题 $(D)$ 之间的稳定全对偶成立, 即对任意 $p\in X^*$ 有

证 假设系统 $\{\delta _C;f_t:t \in T\}$ 满足 $( WECQ )_f$ 条件. 设 $p\in X^\ast$, $x_0\in S(P_p)$, 由定理 3.1 知,对任意 $\alpha > 0$,$( - p,0,\alpha ) \in \partial _c( f+\delta _A )(x_0).$又系统 $\{ \delta _C;f_t:t \in T\}$ 在 $x_0$ 处满足 $( WECQ )_f$ 条件, 故存在 $\overline\lambda =(\overline\lambda_t)_{t\in T}\in {\mathbb{R}}_ + ^{(T)}$ 使得 $\sum\limits_{t\in T}\overline\lambda_tf_t(x_0)=0$ 且 $( - p,0,\alpha ) \in \partial _c( f + \delta _C + \sum\limits_{t\in T}\overline\lambda_tf_t )(x_0)$, 后者等价于

因此, 对任意 $x\in X$

即对任意 $x\in C$

故

注意到, 问题 $(P_p)$ 与问题 $(D_p)$ 之间的弱对偶成立. 因此, $\overline\lambda \in S(D_p )$ 且 $v(P_p)=v(D_p)$. 故 (4.1) 式成立.

反之, 假设问题 $(P)$ 与问题 $(D)$ 之间的稳定全对偶成立. 任取 $x_0\in {\rm dom} f\cap A$, $( -p,u^*,\alpha ) \in \partial _c ( f+\delta _A )(x_0)$, 由 $c$-次微分定义知 $\langle x_0,u^* \rangle <\alpha$ 且对任意 $x\in {\rm{dom}}{\mkern 1mu} f \cap A$ 有

注意到, $c( x_0,( -p,u^*,\alpha ) )=\langle -p, x_0\rangle$ 且上式左边为有限值. 为使 (4.2) 式成立, $c( x,( -p,u^*,\alpha ) )$ 也必为有限值, 故有 $\langle x,u^ * \rangle < \alpha$ 且 $c(x,( -p,u^*,\alpha ) )=\langle -p, x\rangle$. 因此, 对任意 $x\in \text{dom}f\cap A$ 有

即 $x_0\in S(P_p)$. 由 (4.1) 式, 存在 $\overline\lambda =(\overline\lambda_t)_{t\in T}\in {\mathbb{R}}_ + ^{(T)}$ 使得

故 $\sum\limits_{t\in T}\overline\lambda_tf_t(x_0) \ge 0$. 又 $x_0 \in A$ 且 $\overline\lambda \in {\mathbb{R}}_ + ^{(T)}$, 所以 $\sum\limits_{t\in T}\overline\lambda_tf_t(x_0) \le 0$. 因此 $\sum\limits_{t\in T}\overline\lambda_tf_t(x_0) = 0$ 且

即对任意 $x\in X$ 有

当 $x\in \text{dom}f\cap A$ 时, 由上式有

当 $x\notin \text{dom}f\cap A$ 时, (4.4) 式显然成立. 因此, 对任意 $x\in X$, (4.4) 式成立. 故由 $c$-次微分定义知

因此

从而, 由注 3.1 可知, 系统 $\{\delta _C;f_t:t \in T\}$ 在点 $x_0$ 处满足 $( WECQ )_f$ 条件. 由 $x_0\in {\rm dom}f\cap A$ 的任意性, 故系统 $\{\delta _C;f_t:t \in T\}$ 满足 $( WECQ )_f$ 条件.

由定理 4.1 可知以下推论成立.

推论4.1 假设系统 $\{\delta _C;f_t:t \in T\}$ 满足 $(WECQ)_f$ 条件, 则问题 $(P)$ 与问题 $(D)$ 之间的全对偶成立, 即

推论4.2 系统 $\{\delta _C;f_t:t \in T\}$ 满足 $( WECQ )$ 条件当且仅当对任意在 $A$ 上取得最小值的 $p \in X^*$ 有

定理4.2 设 $\alpha>0$, $p\in X^\ast$, $x_0\in S(P_p)$ 且系统 $\{\delta _C;f_t:t \in T\}$ 在 $x_0$ 点满足 $( WECQ )$ 条件. 若 $(f+\delta _A)^c( -p,0,\alpha )=( f^c\oplus \delta _A^c )( -p,0,\alpha )$ 且 $f^c\oplus \delta _A^c$ 在点 $( -p,0,\alpha )$ 精确, 则有

证 假设 $(f+\delta _A)^c( -p,0,\alpha )=( f^c\oplus \delta _A^c )( -p,0,\alpha )$ 且 $f^c\oplus \delta _A^c$ 在点 $( -p,0,\alpha )$ 精确, 则由定理 3.2 可知, $( -p,0,\alpha) \in \partial _cf(x_0) + \partial _c\delta _A(x_0)$. 又系统 $\{ \delta _C;f_t:t \in T\}$ 在 $x_0$ 点满足 $( WECQ )$ 条件, 故有

从而, 由命题 2.3 可知

于是, 由定理 4.1 的证明可知结论成立.

注4.1 由注 3.1(iii) 可知, 将 (3.5) 式中左右两边同时作 ${\mathbb{R}}^3$ 到 ${\mathbb{R}}$ 上的投射, 则定义 3.1 中的 $(WECQ)_f$ 条件转化为文献[10]中的 $(WBCQ)_f$ 条件, 因此由定理 4.1 即可得文献[10,定理 5.2].