数学物理学报, 2025, 45(4): 1354-1372

基于模型不确定性有违约风险的混合养老金问题

姜福蕾, 董华,*

曲阜师范大学统计与数据科学学院 山东曲阜 273165

On the Hybrid Pension with Model Uncertainty and Default Risk

Jiang Fulei, Dong Hua,*

School of Statistics and Data Science, Qufu Normal University, Shandong Qufu 273165

通讯作者: *E-mail: sddh1978@126.com

收稿日期: 2023-04-29   修回日期: 2025-01-26  

基金资助: 山东省自然科学基金(ZR2023MA093)

Received: 2023-04-29   Revised: 2025-01-26  

Fund supported: NSF of Shandong Province(ZR2023MA093)

摘要

该文在违约风险下研究了基于模型不确定性的连续时间集体混合型养老金计划的最优投资和最优缴款--给付调整策略. 假设养老基金允许投资于由无风险资产和价格服从 4/2 随机波动率模型的股票以及违约债券组成的金融市场. 该文的目标是在 CARA 效用函数基础上最大化盈余和缴款--给付调整额的贴现值或当盈余和缴款--给付调整额为负时将其贴现值最小化. 利用随机最优控制方法, 分别推导出违约前和违约后情况下的鲁棒最优策略和相应值函数. 最后通过数值分析展示了模型参数和金融市场参数对最优策略的影响.

关键词： 混合型养老金; 4/2 随机波动率模型; 违约风险; 模型不确定性

Abstract

This paper considers the optimal investment and optimal contribution-benefit adjustment strategies of a continuous time collective hybrid pension plan with model uncertainty and default risk. We assume that pension funds are invested in a risk-free asset, a defaultable bond and a stock satisfied 4/2 random volatility model. The objective is to maximize the discount value of surplus and contribution-benefit adjustment amount or minimize the discount value when surplus and contribution-benefit adjustment amount are negative based on the CARA utility function. Firstly, applying stochastic optimal control approach, we establish the Hamilton-Jacobi-Bellman equations for both the pre-default case and the post-default case, respectively. Then, we derive the closed-from solutions for robust optimal strategies and corresponding value functions. Finally, numerical analyses illustrate the influence of model parameters and financial market parameters on optimal control problems.

Keywords： hybrid pension; 4/2 stochastic volatility model; default risk; model uncertainty

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本文引用格式

姜福蕾, 董华. 基于模型不确定性有违约风险的混合养老金问题[J]. 数学物理学报, 2025, 45(4): 1354-1372

Jiang Fulei, Dong Hua. On the Hybrid Pension with Model Uncertainty and Default Risk[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(4): 1354-1372

1 引言

随着人口老龄化程度的加深, 养老金问题已成为社会热点. 目前各国根据缴费和给付方式的不同将养老金计划分为确定给付 (Defined Benefit, DB) 型和确定缴费 (Defined Contribution, DC) 型. DB 型养老金计划为员工提供稳定的退休收益, 但金融风险由养老金计划受托人承担. 而在 DC 型养老金计划框架中, 员工的缴款是预先确定的, 退休收益取决于养老基金的投资表现, 由此可见 DC 型养老金计划完全将财务风险外化, 并由计划参与者承担. 随着预期寿命的增加和人口结构的转变, 让养老金计划受托人或参与者一方独立承担所有风险的方案愈显不合理. 基于此背景下, 各国陆续开始研究与发展兼具 DB 型计划与 DC 型计划优点的混合型养老金计划. 这种混合型养老金计划旨在可持续、稳定和负担的起的基础上为计划参与者提供更好的退休保障, 并在所有的参与者和不同年龄群体之间分担风险. Turner等[15]总结了混合型养老金计划的四种典型方案: 荷兰的混合型 DB 计划 (Hybrid DB Plans), 瑞典的非金融 DC 计划 (Nonfinancial DC Plan), 美国、加拿大和日本的现金余额计划 (Cash Balance Plans) 以及德国的李斯特计划 (Riester Plans). Gollier[8]提出并证明了混合型养老金计划可以更好地实现代际风险分担, 这种风险分担方式除了提高时间分散化的主要收益外, 还允许养老基金更好地利用股权溢价带来的高额收益.Wang 等[19]提出一种连续时间框架下的集体混合型养老金计划模型, 在这种混合型养老金计划模型中, 缴款和退休给付水平都根据计划的绩效进行调整, 并在所有的参与者和不同年龄群体间分担风险. Wang等[20]和 Wang 等[21]也在目标收益型养老金计划模型下分别考虑了连续时间的投资和代际风险分担模式以及损失厌恶条件下的最优投资和收益支付策略.此外, Cui 等[4],Khorasanee[12], He 等[10]和王奕等[26]等文献中都有关于混合型养老金计划的研究.

近期, 学者们加大了对违约债券的研究, 根据中国人民银行发布的《中国金融稳定报告 (2023)》 中数据显示1(1数据来源: 《中国金融稳定报告 (2023)》. http://www.pbc.gov.cn/goutongjiaoliu/113456/113469/5177895/index.html.), 截止 2022 年末, 我国债券型基金占比 28.73% 高于股票型基金占比的 9.53%, 因此考虑养老金基金在可违约债券上的投资也是很有必要的. 目前也有学者在混合养老金计划框架中引入了对违约风险的研究. 如 Wang等[18]在目标收益型养老金计划的模型中考虑了违约风险并分别推导出了违约前和违约后的最优投资和收益支付策略.张欣茹等[27]在考虑违约风险和工资是随机的情况下研究了目标收益型养老金计划的鲁棒最优投资和收益支付调整策略.

在以上的研究中考虑的是 Black-Scholes 模型和 Heston 随机波动率模型, 但 Black-Scholes 模型假设的不变波动率无法刻画期权市场中的波动聚集和波动率

"微笑" 两个典型特征, 而且 Heston 模型被校准到真实数据时, Feller 条件往往得不到满足. 因此 Heston[11] 提出了进一步克服 Heston 模型局限性的 3/2 随机波动率模型, 其中它的瞬时波动率由 Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 过程的倒数刻画. 继而, 为了更好地模拟风险资产的价格变化,Grasselli[9] 引入了一种包含 Heston 模型和 3/2 模型的双因子 4/2 随机波动率模型. 该模型的两因子之间虽然密切相关, 但在解释隐含波动率方面展现出不同的性质, 因而可以更好地描绘金融市场的复杂多变. 由于 4/2 随机波动率模型能够更准确地刻画金融市场隐含波动率曲面的演变, 这个新模型已经被广泛应用于衍生品的定价和校准, 如 Cui 等[5]和 Zhu 等[25]. 其次也有很多学者将其应用于保险的投资组合问题. Cheng 等[3]一文推导出了 4/2 随机波动率模型下的最优投资策略并进行了全面的实证分析. Zhang[24]研究了4/2 随机波动率模型下包含股票错误定价的均值-方差动态最优投资策略. Wang 等[22]在 4/2 随机波动率模型下利用一类抛物偏微分方程研究了均值-方差再保险投资问题.

本文在 Wang 等[19]提出的具有代际风险分担的混合型养老金模型的基础上, 引入了价格服从 4/2 随机波动率模型的股票和违约债券来描述金融市场, 考虑了模型不确定性下的混合型养老金的最优投资和缴款--给付调整策略. 本文的目标是在 CARA 效用函数基础上最大化盈余和缴款--给付调整额的贴现值或当盈余和缴款--给付调整额为负时将其贴现值最小化. 接着通过求解扩展的 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程系统分别得到违约前和违约后情况下的混合型养老金的最优投资和缴款--给付调整策略的闭式表达式. 最后, 通过一些数值模拟分析了模型参数和金融市场参数对最优策略的影响.

本文的剩余部分结构如下: 第 2 节介绍了混合型养老金计划的模型和假设; 第 3 节给出鲁棒最优控制问题; 第 4 节是相关模型的求解; 第 5 节是数值分析; 第 6 节是结论与展望.

2 混合型养老金计划模型和假设

令 $(\Omega,\mathbb{F},P)$ 是一个完备的概率空间. $T$ 表示该养老金计划时长, $P$ 是实际概率测度, 并且 $\mathbb{F}:=\left\{\mathcal{F}_{t}\right\}_{0\leq t\leq T}$ 是由相互独立的标准布朗运动生成的完备且右连续的域流. 我们用 $\mathbb{Z}:=\left\{\mathcal{Z}_{t}\right\}_{0\leq t\leq T}$ 表示违约过程 $\{Z(t)\}$ 的域流. 令 $\mathbb{G}:=\left\{\mathcal{G}_{t}\right\}_{0\leq t\leq T}$ 为 $\mathbb{F}$ 和 $\mathbb{Z}$ 的拓展域流, 即 $\mathcal{G}_{t}:=\mathcal{F}_{t}\bigvee\mathcal{Z}_{t}$.

2.1 金融市场

假设金融市场由无风险资产, 价格服从 4/2 随机波动率模型的股票和违约债券三部分组成. 定义 $t$ 时刻的无风险资产的价格过程 $S_0(t)$, 满足下面的微分方程

$\begin{equation} {\rm d}S_0(t)=rS_0(t){\rm d}t, S_0(0)=s_0>0, \end{equation}$

其中 $r>0$ 为无风险利率.

定义 $t$ 时刻股票的价格过程 $S(t)$, 满足下面的微分方程

$\begin{equation} \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{rcl} &&{\rm d}S(t)=(r+\lambda(c_1V(t)+c_2))S(t){\rm d}t+(c_1\sqrt{V(t)}+\frac{c_2}{\sqrt{V(t)}})S(t){\rm d}W_1(t),\\ &&{\rm d}V(t)=k(\theta_v-V(t)){\rm d}t+\sigma_v\sqrt{V(t)}(\rho {\rm d}W_1(t)+\sqrt{1-\rho^{2}}{\rm d}W_2(t)), \end{array} \right. \end{aligned} \end{equation}$

其中 $S(0)=s_1>0$, $V(0)=v_0>0$. $W_1(t), W_2(t)$ 是相互独立的一维标准布朗运动. $\lambda>0$ 表示超额收益的控制器. $k>0$ 表示均值回复率, $\theta_v>0$ 代表长期均值, $\sigma_v>0$ 代表波动率. 股票收益的方差过程 $V(t)$ 遵循 CIR 模型, 满足 Feller 条件即 $2k\theta_v\geq\sigma_v^2$, 这保证了 $V(t)>0$. 这里我们假设 $c_1, c_2$ 为非负常数且 $\rho\in[-1,1]$.

注2.1 4/2 随机波动率模型结合了 Heston 模型和 3/2 模型.

当 $c_1=1, c_2=0$ 时, 这个模型退化为 Heston 模型, 即方程 (2.2) 可以写成

$\begin{equation*} {\rm d}S(t)=(r+\lambda V(t))S(t){\rm d}t+\sqrt{V(t)}S(t){\rm d}W_1(t). \end{equation*}$

当 $c_1=0, c_2=1$ 时, 这个模型退化为 3/2 模型, 即方程 (2.2) 可以写成

$\begin{equation*} {\rm d}S(t)=(r+\lambda)S(t){\rm d}t+\frac{1}{\sqrt{V(t)}}S(t){\rm d}W_1(t). \end{equation*}$

令 $(\Omega, \mathbb{F}, P)$ 为完备概率空间, $\tau$ 是 $P$ 测度下具有恒定强度 $h^P>0$ 的泊松过程的第一次跳时间. 在这里 $\tau$ 代表的是违约到达时刻, $h^P$ 代表违约到达率. 对于任意 $t\geq0$ 定义一个违约过程

$\begin{equation*} Z(t):=\mathbb{I}_{\{\tau< t\}}, \end{equation*}$

其中 $\mathbb{I}$ 为示性函数. 违约发生后 $Z(t)=1$, 违约发生前 $Z(t)=0$, 在 $\mathbb{G}:=\left\{\mathcal{G}_{t}\right\}_{0\leq t\leq T}$ 下随机时间 $\tau$ 是一个停时.

接下来定义鞅违约过程 $M^P(t)$

$\begin{equation*} M^P (t):=Z(t)-\int_{0}^{t}(1-Z(v))h^P{\rm d}v. \end{equation*}$

$M^P (t)$ 的随机微分方程为

$\begin{equation*} {\rm d}M^P (t):={\rm d}Z(t)-(1-Z(t))h^P{\rm d}t. \end{equation*}$

根据 Bielecki[1], 得到 $P$ 测度下违约债券的价格过程 $P(t,T_1)$, 满足下面的微分方程

$\begin{equation} {\rm d}P(t,T_1)=P(t-,T_1)[r{\rm d}t+(1-Z(t))\delta(1-\Delta){\rm d}t-(1-Z(t-))\zeta {\rm d}M^P (t)], \end{equation}$

其中 $T_1$ 代表违约债券的到期日, 且假定 $T<T_1$. $\zeta\in[0, 1]$ 为损失率, $\delta=h^{P^*}\zeta$ 为风险中性信用利差, $1/\Delta:=h^{P^*}/h^P$ 为违约风险溢价, 其中 $h^{P^*}$ 为风险中性概率测度 $P^*$ 下违约到达强度. 由于风险中性概率测度 $P^*$ 下的违约概率高于现实概率测度 $P$ 下的违约概率, 故我们这里假设 $1/\Delta\geq1$. 假设如果违约发生, 养老金计划投资者在违约前收回违约债券的部分市场价值, 另一方面, 违约发生后将不再投资该风险资产.

2.2 混合型养老金计划的基本假设与模型

此处考虑一定时期内非平稳的, 按照年龄结构划分的人口演化过程. 参考 Wang等[19]进行以下几个假设

假设2.1 混合型养老金计划成员在年龄 $a$ 进入劳动力市场, 年龄 $b$ 时退休, 最大生存年龄为 $\omega$. 年龄为 $x$ 的个体死亡力为 $s(x)$, 则生存概率可以表示为

$\begin{equation*} \bar s(x)={\rm e}^{-\int_{0}^{x-a}s(a+t){\rm d}t}, a\leq x\leq\omega. \end{equation*}$

假设2.2 $n(t)$ 为入职率, 即 $t$ 时刻加入养老金计划的人数, 那么 $t$ 时刻年龄为 $x$ 的计划参与者数量为 $n(t-(x-a))\bar s(x)$. 值得注意的是, $t-(x-a)$ 的值可以为负, 此处仅代表 $t(\geq0)$ 时刻年龄为 $x$ 的成员在 $x-a$ 年前加入了该养老金计划.

假设2.3 $w(x,t), a\leq x\leq b$ 表示 $t$ 时刻年龄为 $x$ 的在职成员的平均年薪.

此处假设到达退休年龄 $b$ 的群体的初始退休金收入为当期工资的一定比例 $\xi$, 即 $t$ 时刻退休的计划参与者退休后第一年收益为 $\xi w(b,t)$.

假设2.4 $h(x)$ 表示 $x-b$ 年前退休成员的年龄相关收益调整因子, 则对于 $t$ 时刻年龄为 $x$ 的退休成员年退休收益为 $\xi w(b,t-x+b)h(x)$.

假设2.5 假设 $\bar a_x^h$ 表示按照调整率 $h(y)$ 连续支付 \$1 给年龄为 $x$ 的养老金计划参与者的生命周期年金精算现值. 在已知年金年利率 $\varepsilon$ 后 $\bar a_x^h$ 可以表示为

$\begin{equation} \bar a_x^h=\int_{x}^{\omega}{\rm e}^{-\varepsilon(y-x)}h(y)\frac{\bar s(y)}{\bar s(x)}{\rm d}y, b\leq x\leq\omega. \end{equation}$

记 $^TP_t$ 为 $t$ 时刻年龄为 $b$ 的计划参与者未来退休总金额的精算现值, 结合以上假设 $^TP_t$ 可以表示为

$\begin{equation*} ^TP_t=\xi w(b,t)n(t-b+a)\bar s(b)\bar a_b^h. \end{equation*}$

接下来, 根据 Wang 等[19]定义应计函数 $M(x)$ 来表示对于 \$1 的未来退休收益, 到达年龄 $x$ 时计划参与者应累积的精算负债为 $M(x)$. 当 $a\leq x\leq b$ 时 $0\leq M(x)\leq 1$ 且为关于 $x$ 的右连续非减函数. 定义 $M(x)$ 的密度函数为 $m(x)$, 则有

$\begin{equation} M(x)=\int_{a}^{x}m(y){\rm d}y, a\leq x\leq b, \end{equation}$

其中当 $x>b$ 时, $m(x)=0$. 且以该密度 $m(x)$ 累积的缴款可以完全支付在年龄 $a$ 加入养老金计划并在 $b-a$ 年后退休成员的未来养老金收益, 从而 $M(b)=1$ 得以实现.

根据应计负债函数, 用 $NC(t)$ 定义正常成本, 表示所有在职成员在 $t$ 时刻应计的未来养老金给付精算现值, 即 $t$ 时刻的总缴款率, 则 $NC(t)$ 可以表示为

$\begin{equation}\begin{aligned} NC(t)&=\int_{a}^{b}{\rm e}^{-\varepsilon(b-x)}\cdot ^TP_{t+b-x}m(x){\rm d}x\\ &=\xi\cdot\bar s(b)\bar a_b^h\int_{a}^{b}{\rm e}^{-\varepsilon(b-x)}w(b,t+b-x)n(t-x+a)m(x){\rm d}x, 0\leq t\leq T. \end{aligned} \end{equation}$

定义 $t$ 时刻该养老金计划的目标给付率为 $PB(t)$, 则 $PB(t)$ 可以表示为

$\begin{equation} PB(t)=\int_{b}^{\omega}{n(t-x+a)\bar s(x)\xi\cdot w(b,t-x+b)h(x){\rm d}x}, 0\leq t\leq T. \end{equation}$

受 Khorasanee[12]和 Wang等[19]改进的混合型养老金计划模型的启发, 定义两个控制变量 $\lambda_1(t)$ 和 $\lambda_2(t)$ 作为调整因子, 用以调整混合型养老金计划的缴款额和给付额, 在养老金计划所有参与者中摊销养老基金的盈余或赤字, 更好地实现代际风险转移与分担,

$\begin{equation} \underline B(t)=PB(t)+\lambda_1(t); \end{equation}$
$\begin{equation} \underline C(t)=NC(t)-\lambda_2(t), \end{equation}$

其中 $ \underline C(t)$ 为养老金计划的缴款率, $ \underline B(t)$ 为养老金计划的给付率. 记 $t$ 时刻养老基金总资产价值为 $F(t)$, 实际负债价值为 $L(t)$, 故 $t$ 时刻养老基金盈余为 $SP(t)=F(t)-L(t)$, 当 $SP(t)>0$ 时那么就可以对 $\lambda_1(t)$ 和 $\lambda_2(t)$ 进行正向调整, 也就是说在减少在职成员的缴款的同时增加退休人员的收益. 反之, 当 $SP(t)<0$ 时那么就可以对 $\lambda_1(t)$ 和 $\lambda_2(t)$ 进行负向调整, 也就是说在增加在职成员的缴款的同时减少退休人员的收益, 那么对养老金计划参与者而言希望调整都是正向调整. 接下来主要考虑混合型养老金计划的负债过程和资产过程.

(1) 负债过程

根据 Bowers 等[2]描述的终端融资方法, 集体混合型养老金计划的累计精算负债是所有计划参与者退休后应享给付总额的贴现, 即未来养老金应计给付总额的贴现值. 更确切地说, 这些负债包括在职成员的未来退休收益和承诺给当前退休人员的给付总额. 根据上面给出的符号, 可以将 $t$ 时刻的应计负债 $AL(t)$ 表示为

$\begin{equation} AL(t)=\int_{a}^{b}{\rm e}^{-\varepsilon(b-x)}\cdot^TP_{t+b-x}M(x){\rm d}x+\int_{b}^{\omega}\xi w(b,t-y+b)n(t-y+a)\bar s(y)\cdot\bar a_y^h{\rm d}y, \end{equation}$

则 $AL(t)$ 的随机微分方程可以写为

$\begin{equation} {\rm d}AL(t)=\varepsilon AL(t){\rm d}t+(NC(t)-PB(t)){\rm d}t, t\geq0, \end{equation}$

其中 (2.10) 式到 (2.11) 式的推导中用到了下面的式子

$\begin{equation*}\begin{aligned} &\frac{\partial}{\partial t}(^T P_{t+b-x})=-\frac{\partial}{\partial x}(^T P_{t+b-x}),\\ &\frac{\partial}{\partial t}[n(t-x+a)\omega(b,t-x+b)]=- \frac{\partial}{\partial x}[n(t-x+a)\omega(b,t-x+b)]. \end{aligned} \end{equation*}$

下面定义了混合型养老金计划的实际负债 $L(t)$, 由投资绩效和其他假设条件而计算, 类似于 (2.11) 式

$\begin{equation} {\rm d}L(t)=[\varepsilon L(t)+\kappa SP(t)]{\rm d}t+(NC(t)-PB(t)){\rm d}t, L(0)=l_0, \end{equation}$

该式可进一步转化为

$\begin{equation} {\rm d}L(t)=L(t)[\varepsilon+\kappa(\frac{F(t)}{L(t)}-1)]{\rm d}t+(NC(t)-PB(t)){\rm d}t, L(0)=l_0, \end{equation}$

其中 $0<\kappa<1$, $\varepsilon>0$. $\frac{F(t)}{L(t)}$ 是养老基金的资产负债比率或资金比率. 与 (2.11) 式的精算负债相比, 实际负债 $L(t)$ 在 $t$ 时刻的瞬时变化率中引入了反映投资优胜或损失的修正项 $\kappa SP(t)$. 从 (2.13) 式中可以看出, 当资金比率大于 1 时, 表明资产水平大于负债水平, 则有多余的收益, 此时负债增加一个额外的乘数率, 乘以资金比率与 1 之间的差额. 否则当资金比率小于 1 时, 表明资产水平小于负债水平, 没有多余的收益, 养老基金出现了赤字, 此时负债增加率以小于利息力 $\varepsilon$ 的比率增加, 这样资产收益和实际负债的变动将被计入未来负债, 从而更好的实现代际风险转移.

(2) 资产过程

假设 $t$ 时刻养老金计划管理者投资于股票的金额为 $\pi_1(t)$, 投资于违约债券的金额为 $\pi_2(t)$, 则投资于无风险资产的金额为 $F(t)-\pi_1(t)-\pi_2(t)$. 混合型养老金计划的资产过程为

$\begin{equation} {\rm d}F(t)=\pi_1(t)\frac{{\rm d}S(t)}{S(t)}+\pi_2(t)\frac{{\rm d}P(t,T_1)}{P(t-,T_1)}+(F(t)-\pi_1(t)-\pi_2(t))\frac{{\rm d}S_0(t)}{S_0(t)}+( \underline C(t)- \underline B(t)){\rm d}t. \end{equation}$

根据 (2.1)-(2.3) 式可以将方程 (2.14) 重写为

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{rcl} &&{\rm d}F(t)=[F(t)r+\pi_1(t)\lambda(c_1V(t)+c_2)+\pi_2(t)(1-Z(t))\delta+ \underline C(t)- \underline B(t)]{\rm d}t\\ && +\pi_1(t)(c_1\sqrt{V(t)}+\frac{c_2}{\sqrt{V(t)}}){\rm d}W_1(t)-\pi_2(t)(1-Z(t-))\zeta {\rm d}Z(t),\\ &&{\rm d}V(t)=k(\theta_v-V(t)){\rm d}t+\sigma_v\sqrt{V(t)}(\rho {\rm d}W_1(t)+\sqrt{1-\rho^2}{\rm d}W_2(t)),\\ &&F(0)=f_0. \end{array} \right. \end{equation}$

在时间间隔 $[T]$ 内, 本文考虑的混合型养老金计划由在职成员缴款, 退休人员领取收益构成. 受 Wang 等[18]的启发, 使用 CARA 效用给出目标函数

$\begin{equation} \begin{aligned} W(t,f,l,v,z)&=\sup\limits_{\pi\in\Pi}E^P\bigg[-\int_{0}^{T}(\frac{Q_1}{m}{\rm e}^{-m\lambda_1(s)}+\frac{Q_2}{m}{\rm e}^{-m\lambda_2(s)}){\rm e}^{-\beta s}{\rm d}s\\ & -\frac{Q_3}{m}{\rm e}^{-mSP(T)}{\rm e}^{-\beta T}|F(t)=f,L(t)=l,V(t)=v,Z(t)=z\bigg]. \end{aligned} \end{equation}$

其中 $Q_1, Q_2, Q_3$ 为权重参数, 代表的是给付调整额, 缴款调整额和终端盈余在目标函数中的重要性, $m$ 为风险厌恶系数, $\beta$ 为贴现因子. 混合型养老金计划需要关注以下三部分: 一是养老基金的终端盈余, 二是退休成员的给付, 三是在职成员的缴款. 对于此养老金计划目标, 一方面, 计划管理者旨在最大化终端正盈余的贴现值, 但同时当终端盈余为负时缩小缺口, 另一方面, 对于计划参与者而言, 在职成员想减少缴款, 退休成员想增加收益, 故此处考虑最大化缴款--给付的正向调整, 或最小化负向调整.

注2.2 在此目标函数中, 使用指数效用函数来衡量终端资产与实际负债之间的差 (即 $SP(t)$) 和实际给付与目标给付之间的差 (即 $\lambda_1(t)$) 以及正常成本与实际缴款之间的差 (即 $\lambda_2(t)$). 当 $SP(t)$, $\lambda_1(t)$, $\lambda_2(t)$ 大于 0 时, 终端盈余, 给付和缴款调整额均为正, 根据上述目标函数, 较大的终端盈余和缴款--给付调整额反映了养老金计划的更好情况, 故上述目标设置为最大化 $SP(t)$, $\lambda_1(t)$ 和 $\lambda_2(t)$. 然而当 $SP(t)$, $\lambda_1(t)$, $\lambda_2(t)$ 小于 0 时, 代表终端资产不足以支付实际负债以及计划参与者缴款的增加和收益的减少, 故上述目标设置为最小化 $SP(t)$, $\lambda_1(t)$ 和 $\lambda_2(t)$. 这保持了养老金计划的稳定性和可持续性.

3 最优控制问题

一般地, 我们假设养老金计划管理者和参与者都是模糊中性的, 即他们认为参考测度就是真实的概率测度. 然而金融市场中存在很多超出养老金计划管理者认知范围的因素, 导致养老金计划管理者对参考模型和参考测度持怀疑态度, 故我们这里引入了模糊性, 下面定义一组与 $P$ 测度等价的概率测度

$\begin{equation*} \mathcal{Q}:=\{Q^\phi|Q^\phi\sim P\}. \end{equation*}$

在可替代测度 $Q^\phi$ 与参考测度 $P$ 下的布朗运动和泊松过程存在差异. 对每个 $Q^\phi\in\mathcal{Q}$, 都存在一个概率扭曲过程 $\{\phi(t):=(\phi_1(t), \phi_2(t), \phi_3(t))|t\in[T]\}$, 使得

$\begin{equation} \frac{{\rm d}Q^\phi}{{\rm d}P}|_\mathcal{G}(t):=\Lambda^\phi(t), \end{equation}$

其中

$\begin{equation*} \begin{aligned} \Lambda^\phi(t)=&\exp\{-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}(\phi_1(s))^2{\rm d}s-\int_{0}^{t}\phi_1(s){\rm d}W_1(s)-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}(\phi_2(s))^2{\rm d}s\\ &-\int_{0}^{t}\phi_2(s){\rm d}W_2(s)+\int_{0}^{t}\ln\phi_3(s){\rm d}Z(s)+h^P\int_{0}^{t}(1-\phi_3(s))(1-Z(s)){\rm d}s\}. \end{aligned} \end{equation*}$

$\phi(t):=(\phi_1(t), \phi_2(t), \phi_3(t))$ 满足以下条件

(1) 对于 $\forall t\in[T]$, $\phi_1(t), \phi_2(t), \phi_3(t)$ 都是 $\mathcal{G}_t$ 可测的;

(2) $\int_{0}^{T}[(\phi_1(s))^2+(\phi_2(s))^2+(\phi_3(s))^2]{\rm d}s<\infty$;

(3) 对于 $\forall (t,\omega)\in[T]\times\Omega$ 都有 $\phi_3(t)=\phi_3(t,\omega)>0$.

$\phi(t):=(\phi_1(t), \phi_2(t), \phi_3(t))$ 满足 Novikov 条件, 且 $\Lambda^\phi(t)$ 为一个 $P$-鞅. 令 $\Theta$ 表示所有扭曲过程的集合.根据 Girsanov 定理, 在测度 $Q^\phi$ 下 $W_1^\phi(t)$ 和 $W_2^\phi(t)$ 是标准布朗运动, 且有

$\begin{equation} {\rm d}W_1^\phi(t)={\rm d}W_1(t)+\phi_1(t){\rm d}t; \end{equation}$
$\begin{equation} {\rm d}W_2^\phi(t)={\rm d}W_2(t)+\phi_2(t){\rm d}t. \end{equation}$

此外, 泊松过程 $Z(t)$ 在测度 $Q^\phi$ 下转换为强度为 $h^P\phi_3(t)$ 的泊松过程 $Z^\phi(t)$.综上所述, 我们得到了 $Q^\phi$ 测度下的动态资产过程

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{rcl} {\rm d}F(t)&=&[F(t)r+\pi_1(t)\lambda(c_1V(t)+c_2)+\pi_2(t)(1-Z(t))\delta-\pi_1(t)(c_1\sqrt{V(t)}\\&&+\frac{c_2}{\sqrt{V(t)}})\phi_1(t) +NC(t)-\lambda_2(t)-PB(t)-\lambda_1(t)]{\rm d}t+\pi_1(t)(c_1\sqrt{V(t)}\\ &&+\frac{c_2}{\sqrt{V(t)}}){\rm d}W_1^\phi(t)-\pi_2(t)(1-Z(t-))\zeta {\rm d}Z^\phi(t),\\ {\rm d}V(t)&=&[k(\theta_v-V(t))-\sigma_v\sqrt{V(t)}\rho\phi_1(t)-\sqrt{1-\rho^2}\sigma_v\sqrt{V(t)}\phi_2(t)]{\rm d}t\\ &&+\sigma_v\sqrt{V(t)}\rho {\rm d}W_1^\phi(t)+\sigma_v\sqrt{V(t)}\sqrt{1-\rho^2}{\rm d}W_2^\phi(t). \end{array} \right. \end{equation}$

定义3.1 (容许策略) 如果策略 $\pi=\{(\pi_{1}(t),\pi_{2}(t)),\lambda_1(t), \lambda_2(t))\}_{t\in[T]}$ 满足以下三个条件, 则 $\pi$ 为容许策略.

(1) $\pi$ 是 $\mathcal{G}_t$ 可测的;

(2) 对 $\forall t\in[T]$, $\lambda_1(t)<\infty,\lambda_2(t)<\infty$,

$E^{\underline{\phi}^{\pi}}\{\int_{0}^{T}[(\pi_1(t)(c_1\sqrt{V(t)}+\frac{c_2}{\sqrt{V(t)}}))^2+(\pi_2(t))^2]{\rm d}t\}<\infty,$
$E^{\bar{\phi}^{\pi}}\{\int_{0}^{T}[(\pi_1(t)(c_1\sqrt{V(t)}+\frac{c_2}{\sqrt{V(t)}}))^2+(\pi_2(t))^2]{\rm d}t\}<\infty ;$

(3) $(F^\pi, \pi)$ 是随机微分方程 (3.4) 的唯一解.

$\Pi$ 表示所有容许策略的集合.

养老金计划管理者尝试在最坏情况的模型中寻求最优策略, 受 Wang等[18]的启发, 构建鲁棒最优控制问题如下

$\begin{equation} \begin{aligned} &\sup\limits_{\pi\in\Pi}\inf\limits_{\phi\in\Theta}E^\phi\bigg[-\int_{0}^{T}(\frac{Q_1}{m}{\rm e}^{-m\lambda_1(s)}+\frac{Q_2}{m}{\rm e}^{-m\lambda_2(s)}){\rm e}^{-\beta s}{\rm d}s-\frac{Q_3}{m}{\rm e}^{-mSP(T)}{\rm e}^{-\beta T}\\ &+\int_{0}^{T}g_\beta(\phi(s)){\rm d}s|F(t)=f,L(t)=l,V(t)=v,Z(t)=z\bigg]. \end{aligned} \end{equation}$

在鲁棒控制中当可替代测度偏离参考测度时会受到惩罚, 参考Maenhout[13], 这里惩罚函数 $g_\beta(\phi)$ 可以表示为

$\begin{equation}\begin{aligned} g_\beta(\phi)=\frac{\phi^2_1(s)}{2\beta_1}+\frac{\phi^2_2(s)}{2\beta_2}+\frac{h^P(\phi_3(s)\ln\phi_3(s)-\phi_3(s)+1)(1-z)}{\beta_3}, \end{aligned} \end{equation}$

其中 $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$ 为严格正的确定函数, 表示模糊厌恶的偏好参数, 反应了决策者对参考测度的模糊性. $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$ 越大那么代表模糊程度越高, 即计划决策者不相信参考测度, 所以偏离参考测度受到惩罚就越小. 为了便于分析, 参考 Maenhout[13], 对 $\beta_i$ 选择状态相依的表达式

$\begin{equation*} \beta_1=-\frac{\rho_1}{mV(t,f,l,v,z)}, \beta_2=-\frac{\rho_2}{mV(t,f,l,v,z)}, \beta_3=-\frac{\rho_3}{mV(t,f,l,v,z)}, \end{equation*}$

其中 $\rho_1, \rho_2, \rho_3$ 分别代表养老金计划决策者对股票价格中 $W_1(t)$ 的模糊厌恶系数, 对股票波动率中 $W_2(t)$ 的模糊厌恶系数, 对违约债券中 $Z(t)$ 的跳风险的模糊厌恶系数.

4 最优策略

假设4.1 假设容许策略集 $\Pi$ 和扭曲过程集 $\Theta$ 为紧凸集.

在这一部分中, 我们推导了基于模型不确定性有违约风险的混合型养老金计划的最优投资策略和最优缴款-给付调整策略的闭式解以及相应的值函数.根据 Yong[23], Fleming[7]以及 Wang 等[18], 最优值函数 $J(t,f,l,v,z)\in C^{1,2,2,2}([T]\times\mathcal{R}\times\mathcal{R}^{+}\times\mathcal{R}^{+}\times(0,1))$ 满足如下的 HJB 方程

$\begin{equation}\begin{aligned} &\sup\limits_{\pi\in\Pi}\{J_t+J_f[fr+\pi_1(t)\lambda(c_1v+c_2)+\pi_2(t)(1-z)\delta+NC(t)-\lambda_2(t)-PB(t)\\&-\lambda_1(t)] +J_l[\varepsilon l+\kappa (f- l)+NC(t)-PB(t)]+J_v(k\theta_v-kv)+\frac{1}{2}J_{vv}\sigma_v^2v\\&+\frac{1}{2}J_{ff}\pi_1^2(c_1\sqrt{v}+\frac{c_2}{\sqrt{v}})^2+J_{fv}\pi_1(t)(c_1v+c_2)\sigma_v\rho -\frac{Q_1}{m}{\rm e}^{-m\lambda_1(t)-\beta t}\\&-\frac{Q_2}{m}{\rm e}^{-m\lambda_2(t)-\beta t} +\inf\limits_{\phi\in\Theta}[-\pi_1(t)(c_1\sqrt{v}+\frac{c_2}{\sqrt{v}})\phi_1(t)J_f-\sigma_v\sqrt{v}\rho\phi_1(t)J_v\\& -\sqrt{1-\rho^2}\sigma_v\sqrt{v}\phi_2(t)J_v +[J(t,f-\pi_2\zeta,l,v,1)-J(t,f,l,v,0)]\phi_3h^P(1-z)\\&+g_\beta(\phi)]\}=0, \end{aligned} \end{equation}$

边界条件: $J(T,f,l,v,z)=-\frac{Q_3}{m}{\rm e}^{-mSP(T)}\cdot {\rm e}^{-\beta T}$. 这里 $J_t, J_f, J_l, J_v, J_{fv}, J_{ff}, J_{vv}$ 表示 $J(t,f,l,v,z)$ 关于 $t, f, l, v$ 的一阶和二阶偏导数, 为书写方便, 这里省略 $(t,f,l,v,z)$.

4.1 违约后情况

在本小节中, 将考虑违约债券违约后情况, 即 $z=1$, 则 (4.1) 式的 HJB 方程可以化简为

$\begin{equation} \begin{aligned} &\sup\limits_{\pi\in\Pi}\bigg\{J_t+J_f[fr+\pi_1(t)\lambda(c_1v+c_2)+NC(t)-\lambda_2(t)-PB(t)-\lambda_1(t)]\\ &+J_l[\varepsilon l+\kappa (f-l)+NC(t)-PB(t)]+J_v(k\theta_v-kv)+J_{fv}\pi_1(t)(c_1v+c_2)\sigma_v\rho\\ &+\frac{1}{2}\pi_1^2(t)\Big(c_1\sqrt{v}+\frac{c_2}{\sqrt{v}}\Big)^2J_{ff}+\frac{1}{2}J_{vv}\sigma^2_vv-\frac{Q_1}{m}{\rm e}^{-m\lambda_1(t)-\beta t}-\frac{Q_2}{m}{\rm e}^{-m\lambda_2(t)-\beta t}\\ &+\inf\limits_{\phi\in\Theta}\bigg(-\pi_1(t)(c_1\sqrt{v}+\frac{c_2}{\sqrt{v}})\phi_1(t)J_f-\sigma_v\sqrt{v}\rho\phi_1(t)J_v-\sqrt{1-\rho^2}\sigma_v\sqrt{v}\phi_2(t)J_v\\&-\frac{\phi_1^2mJ}{2\rho_1}-\frac{\phi_2^2mJ}{2\rho_2}\bigg)\bigg\}=0, \end{aligned} \end{equation}$

根据边界条件: $J(T,f,l,v,1)=-\frac{Q_3}{m}{\rm e}^{-mSP(T)}\cdot {\rm e}^{-\beta T}$, 我们猜测值函数可能有如下形式

$\begin{equation*}\begin{aligned} J(t,f,l,v,1)=-\frac{Q_3}{m}{\rm e}^{-[f+B_1(t)l]A_1(t)+C_1(t)v+D_1(t)-\beta t},\\ A_1(T)=m, B_1(T)=-1, C_1(T)=0, D_1(T)=0. \end{aligned} \end{equation*}$

因此 $J$ 的各阶偏导数可以表示为

$\begin{equation}\begin{aligned} &J_t=[-A_{1t}B_1(t)l-A_1(t)B_{1t}l-fA_{1t}+C_{1t}v+D_{1t}-\beta]J,\\ &J_f=-A_1(t)J, J_l=-B_1(t)A_1(t)J, J_v=C_1(t)J,\\ &J_{ff}=A_1^2(t)J, J{vv}=C_1^2(t)J, J_{fv}=-A_1(t)C_1(t)J. \end{aligned} \end{equation}$

根据 $\phi_1$, $\phi_2$ 的一阶最优条件, 分别得到

$\begin{equation}\begin{aligned} &\phi_1^*=-\frac{\pi_1(t)(c_1\sqrt{v}+\frac{c_2}{\sqrt{v}})\rho_1 J_f+\sigma_v\sqrt{v}\rho\rho_1J_v}{mJ};\\ &\phi_2^*=-\frac{\sqrt{1-\rho^2}\sigma_v\sqrt{v}\rho_2J_v}{mJ}. \end{aligned} \end{equation}$

将 (4.4) 式带回方程 (4.2) 整理得到

$\begin{equation}\begin{aligned} &\sup\limits_{\pi\in\Pi}\bigg\{J_t+J_f[fr+\pi_1(t)\lambda(c_1v+c_2)+NC(t)-\lambda_2(t)-PB(t)-\lambda_1(t)] +J_l[\varepsilon l +\kappa (f-l)\\ &+NC(t)-PB(t)]+J_v(k\theta_v-kv)+J_{fv}\pi_1(t)(c_1v+c_2)\sigma_v\rho+\frac{1}{2}\pi_1^2(t)\Big(c_1\sqrt{v}+\frac{c_2}{\sqrt{v}}\Big)^2J_{ff}\\& +\frac{1}{2}J_{vv}\sigma_v^2v-\frac{Q_1}{m}{\rm e}^{-m\lambda_1(t)-\beta t} -\frac{Q_2}{m}{\rm e}^{-m\lambda_2(t)-\beta t}+\frac{\pi_1(t)\sigma_v\rho\rho_1(c_1v+c_2)J_vJ_f}{mJ}\\&+\frac{\pi_1^2(t)(c_1\sqrt{v}+\frac{c_2}{\sqrt{v}})^2\rho_1J_f^2+\sigma_v^2v\rho^2\rho_1J_v^2+(1-\rho^2)\sigma_v^2v\rho_2J_v^2)}{2mJ} \bigg\}=0. \end{aligned} \end{equation}$

对方程 (4.5) 关于 $\pi_1, \lambda_1, \lambda_2$ 求一阶导有

$\begin{equation}\begin{aligned} &\pi_1^*(t)=-\frac{vm\lambda JJ_f+vm\sigma_v\rho JJ_{fv}+v\sigma_v\rho\rho_1J_fJ_v}{m(c_1v+c_2)JJ_{ff}+(c_1v+c_2)\rho_1J_f^2},\\ &\lambda_1^*(t)=-\frac{1}{m}\ln(\frac{J_f{\rm e}^{\beta t}}{Q_1}),\\ &\lambda_2^*(t)=-\frac{1}{m}\ln(\frac{J_f{\rm e}^{\beta t}}{Q_2}). \end{aligned} \end{equation}$

下面将 (4.3), (4.6) 式带回方程 (4.5) 后分离变量得到

$\begin{equation}\begin{aligned} &f\bigg\{-A_{1t}-A_1(t)r+\frac{A_1^2(t)}{m}+\frac{A_1^2(t)}{m}-B_1(t)A_1(t)\kappa\bigg\}+l\{-A_{1t}B_1(t)-A_1(t)B_{1t}\\&+\frac{A_1^2(t)B_1(t)}{m}+\frac{A_1^2(t)B_1(t)}{m}+A_1(t)B_1(t)(\kappa-\varepsilon)\} +v\{C_{1t}+C_1(t)\varphi_1\\ &+C^2_1(t)\varphi_2+\varphi_3\}+1\cdot\bigg\{D_{1t}-(\frac{A_1(t)}{m}+\frac{A_1(t)}{m})D_1(t)+g_1(t)\bigg\}=0. \end{aligned} \end{equation}$

其中

$\varphi_1=-\lambda\sigma_v\rho-k-\frac{A_1(t)}{m}-\frac{A_1(t)}{m},$
$\varphi_2=-\frac{1}{2}\sigma_v^2\rho^2+\frac{1}{2}\sigma_v^2+\frac{(1-\rho^2)\sigma_v^2\rho_2}{2m},$
$\varphi_3=\frac{-m\lambda^2}{2(m+\rho_1)},$
$\begin{equation}\begin{aligned} g_1(t)&=-\beta+C_1(t)k\theta_v-A_1(t)(1+B_1(t))(NC(t)-PB(t))\\ & -\frac{A_1(t)}{m}\bigg[\ln\bigg(\frac{A_1(t)Q_3}{Q_1m}\bigg)-1\bigg]-\frac{A_1(t)}{m}\bigg[\ln\bigg(\frac{A_1(t)Q_3}{Q_2m}\bigg)-1\bigg]. \end{aligned} \end{equation}$

根据分离变量结果, 令 $f, l, v, 1$ 的系数为 0, 可以得到 4 个方程

$\begin{equation} \begin{aligned} &A_{1t}+A_1(t)r-\frac{A^2_1(t)}{m}-\frac{A^2_1(t)}{m}+B_1(t)A_1(t)\kappa=0,\\ &A_{1t}B_1(t)+A_1(t)B_{1t}-\frac{A^2_1(t)B_1(t)}{m}-\frac{A^2_1(t)B_1(t)}{m}+A_1(t)B_1(t)(\varepsilon-\kappa)=0,\\ &C_{1t}+C_1(t)\varphi_1+C^2_1(t)\varphi_2+\varphi_3=0,\\ &D_{1t}-\bigg(\frac{A_1(t)}{m}+\frac{A_1(t)}{m}\bigg)D_1(t)+g_1(t)=0,\\ \end{aligned} \end{equation}$

方程组 (4.12) 的求解见附录. 最后将解得的 $A_1(t)$, $B_1(t)$, $C_1(t)$, $D_1(t)$ 带入 (4.6) 式后就可得到违约债券违约后的最优投资和最优缴款-给付调整策略.

4.2 违约前情况

在本小节中, 将考虑违约债券违约前情况, 即 $z=0$. 本小节的解法参考了 Wang等[16]和 Wang 等[18]中违约前情况下的相关解法. 则 (4.1) 式的 HJB 方程可以整理为

$\begin{equation}\begin{aligned} &\sup\limits_{\pi\in\Pi}\bigg\{J_t+J_f[fr+\pi_1(t)\lambda(c_1v+c_2)+\pi_2(t)\delta+NC(t)-\lambda_2(t)-PB(t)-\lambda_1(t)]\\ &+J_l[\varepsilon l+\kappa (f-l)+NC(t)-PB(t)]+J_v(k\theta_v-kv)+J_{fv}\pi_1(t)(c_1v+c_2)\sigma_v\rho\\ &+\frac{1}{2}J_{ff}\pi_1^2(t)\Big(c_1\sqrt{v}+\frac{c_2}{\sqrt{v}}\Big)^2+\frac{1}{2}J_{vv}\sigma_v^2v-\frac{Q_1}{m}{\rm e}^{-m\lambda_1(t)-\beta t}-\frac{Q_2}{m}{\rm e}^{-m\lambda_2(t)-\beta t}\\ &+\inf\limits_{\phi\in\Theta}\bigg(-\pi_1(t)\Big(c_1\sqrt{v}+\frac{c_2}{\sqrt{v}}\Big)\phi_1(t)J_f -\sigma_v\sqrt{v}\rho\phi_1(t)J_v-\sqrt{1-\rho^2}\sigma_v\sqrt{v}\phi_2(t)J_v\\&-\frac{\phi_1^2mJ}{2\rho_1}-\frac{\phi_2^2mJ}{2\rho_2} -\frac{h^P(\phi_3\ln\phi_3-\phi_3+1)mJ}{\rho_3}+[J(t,f-\pi_2(t)\zeta,l,v,1)\\ &-J(t,f,l,v,0)]\phi_3h^P\bigg) \bigg\}=0. \end{aligned} \end{equation}$

根据边界条件: $J(T,f,l,v,0)=-\frac{Q_3}{m}{\rm e}^{-mSP(T)}\cdot {\rm e}^{-\beta T}$, 我们猜测值函数可能有如下形式

$\begin{equation*}\begin{aligned} &J(t,f,l,v,0)=-\frac{Q_3}{m}{\rm e}^{-[f+B_2(t)l]A_2(t)+C_2(t)v+D_2(t)-\beta t},\\ &A_2(T)=m, B_2(T)=-1, C_2(T)=0, D_2(T)=0. \end{aligned} \end{equation*}$

因此 $J$ 的各阶偏导数可以表示为

$\begin{equation}\begin{aligned} &J_t=[-A_{2t}B_2(t)l-A_2(t)B_{2t}l-fA_{2t}+C_{2t}v+D_{2t}-\beta]J,\\ &J_f=-A_2(t)J, J_l=-B_2(t)A_2(t)J, J_v=C_2(t)J, \\ &J_{ff}=A^2_2(t)J, J{vv}=C^2_2(t)J, J_{fv}=-A_2(t)C_2(t)J,\\ &J(t,f-\pi_2(t)\zeta,l,v,1)-J(t,f,l,v,0)=[\exp\{-f(A_1(t)-A_2(t))+\zeta\pi_2(t)A_1(t)\\&-B_1(t)lA_1(t) )+B_2(t)lA_2(t)+(C_1(t)-C_2(t))v+(D_1(t)-D_2(t))\}-1]J(t,f,l,v,0). \end{aligned} \end{equation}$

将 (4.14) 式带回方程 (4.13) 整理后, 根据 $\pi_1$, $\pi_2$, $\lambda_1$, $\lambda_2$ 的一阶最优条件有

$\begin{equation}\begin{aligned} \pi_1^*(t)=-\frac{\sqrt{v}{\phi}_1(t)-\lambda v-\sigma_v\rho vC_2(t)}{(c_1v+c_2)A_2(t)}, \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation}\begin{aligned} \pi_2^*(t)&=\frac{1}{\zeta A_1(t)}[\ln(\frac{\delta A_2(t)}{\zeta A_1(t) h^P{\phi}_3})+fA_1(t)-fA_2(t)+B_1(t)lA_1(t)\\ & -B_2(t)lA_2(t)-C_1(t)v+C_2(t)v-D_1(t)+D_2(t)], \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation}\begin{aligned} &\lambda_1^*(t)=-\frac{1}{m}\ln(\frac{A_2(t)Q_3}{Q_1m})-\frac{1}{m}[-(f+B_2(t)l)A_2(t)+C_2(t)v+D_2(t)], \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation}\begin{aligned} &\lambda_2^*(t)=-\frac{1}{m}\ln(\frac{A_2(t)Q_3}{Q_2m})-\frac{1}{m}[-(f+B_2(t)l)A_2(t)+C_2(t)v+D_2(t)]. \end{aligned} \end{equation}$

将 (4.15)-(4.18) 式带回方程 (4.13), 并关于 $\phi$ 求一阶导, 得到

$\begin{equation}\begin{aligned} {\phi}_1^*=\frac{\lambda\rho_1\sqrt{v}}{\rho_1+m}, \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation}\begin{aligned} {\phi}_2^*=-\frac{\sqrt{1-\rho^2}\sigma_v\rho_2\sqrt{v}C_2(t)}{m}, \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} &{\phi}_3^*h^P+\frac{h^P{\phi}_3^*m}{\rho_3}\ln{\phi}_3^*-\frac{A_2(t)\delta}{\zeta A_1(t)}=0. \end{aligned} \end{equation}$

将 (4.19)-(4.21) 式带回方程 (4.13), 分离变量有

$\begin{equation}\begin{aligned} &f\bigg\{-A_{2t}-A_2(t)r+\frac{A_{2}^2(t)}{m}+\frac{A_{2}^2(t)}{m}-B_{2}(t)A_{2}(t)\kappa+\frac{\delta A_2^2(t)}{\zeta A_1(t)}-\frac{\delta A_2(t)}{\zeta}\bigg\}\\ &+l\bigg\{-A_{2t}B_1(t)-A_2(t)B_{2t}+\frac{A_2^2(t)B_2(t)}{m}+\frac{A_2^2(t)B_2(t)}{m}+A_2(t)B_2(t)(\kappa-\varepsilon)\\ &-\frac{\delta A_2(t)B_1(t)l}{\zeta}+\frac{\delta A_2^2(t)B_2(t)l}{\zeta A_1(t)}\bigg\} +v\{C_{2t}+C_2(t)\varphi_1+\frac{\delta A_2(t)C_1(t)}{\zeta A_1(t)}-\frac{\delta A_2(t)C_2(t)}{\zeta A_1(t)}\\&+C_2^2(t)\varphi_2+\varphi_3\} +1\cdot\bigg\{D_{2t}-\bigg(\frac{A_2(t)}{m}+\frac{A_2(t)}{m}+\frac{\delta A_2(t)}{\zeta A_1(t)}\bigg)D_2(t)+g_2(t)\bigg\}=0, \end{aligned} \end{equation}$

其中 $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$ 见(4.8)-(4.10) 式,

$\begin{equation}\begin{aligned} g_2(t)&=-\beta+C_2(t)k\theta_v-A_2(t)(1+B_2(t))(NC(t)-PB(t))-\frac{A_2(t)}{m}\bigg[\ln\bigg(\frac{A_2(t)Q_3}{Q_1m}\bigg)-1\bigg]\\ & -\frac{A_2(t)}{m}\bigg[\ln\bigg(\frac{A_2(t)Q_3}{Q_2m}\bigg)-1\bigg]-\frac{\delta A_2(t)}{\zeta A_1(t)}\bigg[\ln\bigg(\frac{\delta A_2(t)}{\zeta A_1(t) h^P{\phi}_3^*}\bigg)-D_1(t)-1\bigg]\\ & -h^P{\phi}_3^* -\frac{mh^P}{\rho_2}({\phi}_3^*\ln{\phi}_3^*-{\phi}_3^*+1). \end{aligned} \end{equation}$

接下来的解法类似违约后的情况, 这里不再赘述.

引理4.1 方程 ${\phi}_3^*h^P+\frac{h^P{\phi}_3^*m}{\rho_3}\ln{\phi}_3^*-\frac{\delta}{\zeta }=0$ 有唯一的正根.

证 此引理的证明类似于 Sun 等[14], 这里不再赘述.

定理4.1 对于混合型养老金计划的鲁棒最优控制问题 (3.5), HJB 方程的最优解为

$\begin{equation}\begin{aligned} V(t,f,l,v,z)=J(t,f,l,v,z)=(1-z)J(t,f,l,v,0)+zJ(t,f,l,v,1). \end{aligned} \end{equation}$

最优投资策略和最优缴费--给付调整策略分别为

$\begin{equation}\begin{aligned} \pi_1^*(t)=\frac{vm\lambda+vmC(t)\sigma_v\rho+C(t)v\sigma_v\rho\rho_1}{m(c_1v+c_2)A(t)+(c_1v+c_2)A(t)\rho_1}, \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \pi_2^{*}(t)= \begin{cases} \frac{1}{\zeta A(t)}[\ln(\frac{\delta}{\zeta h^P{\phi}_3^*})-D_1(t)+D_2(t)],&t\in[0,\tau\wedge T),\\ 0,&t\in[\tau\wedge T,T], \end{cases} \end{equation}$
$\begin{equation} \lambda_1^{*}(t)= \begin{cases} -\frac{1}{m}\ln(\frac{A(t)Q_3}{Q_1m})-\frac{1}{m}[-(f+B(t)l)A(t)+C(t)v+D_2(t)],&t\in[\\ -\frac{1}{m}\ln(\frac{A(t)Q_3}{Q_1m})-\frac{1}{m}[-(f+B(t)l)A(t)+C(t)v+D_1(t)],&t\in[\tau\wedge T,T], \end{cases} \end{equation}$
$\begin{equation} \lambda_2^{*}(t)= \begin{cases} -\frac{1}{m}\ln(\frac{A(t)Q_3}{Q_2m})-\frac{1}{m}[-(f+B(t)l)A(t)+C(t)v+D_2(t)],&t\in[\\ -\frac{1}{m}\ln(\frac{A(t)Q_3}{Q_2m})-\frac{1}{m}[-(f+B(t)l)A(t)+C(t)v+D_1(t)],&t\in[\tau\wedge T,T], \end{cases} \end{equation}$

值函数为

$\begin{equation*}\begin{aligned} &&J(t,f,l,v,0)=-\frac{Q_3}{m}{\rm e}^{-[(f+B(t)l)]A(t)+C(t)v+D_2(t)-\beta t}, \\ &&J(t,f,l,v,1)=-\frac{Q_3}{m}{\rm e}^{-[(f+B(t)l)]A(t)+C(t)v+D_1(t)-\beta t}, \end{aligned}\end{equation*}$

其中

$\begin{equation*} A(t)=A_1(t)=A_2(t)= \begin{cases} \frac{[\kappa(T-t)-1]{\rm e}^{r(T-t)}}{-\frac{2}{m}\frac{1}{r}[\frac{\varepsilon}{r}({\rm e}^{r(T-t)}-1)-\kappa(T-t){\rm e}^{r(T-t)}]-\frac{1}{m}},&\varepsilon=\kappa+r,\\ \frac{\kappa {\rm e}^{(\varepsilon-\kappa)(T-t)}-(\varepsilon-r){\rm e}^{r(T-t)}}{-\frac{2}{m}[\frac{\varepsilon-r}{r}({\rm e}^{r(T-t)}-1)+\frac{\kappa}{\kappa-\varepsilon}({\rm e}^{(\varepsilon-\kappa)(T-t)}-1)]-\frac{1}{m}(\varepsilon-r-\kappa)},&\varepsilon\neq\kappa+r. \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} B(t)=B_1(t)=B_2(t)= \begin{cases} \frac{1}{\kappa(T-t)-1},&\varepsilon=\kappa+r,\\ \frac{r+\kappa-\varepsilon}{(\varepsilon-r){\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-t)}-\kappa},&\varepsilon\neq\kappa+r. \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} C(t)=C_1(t)=C_2(t)= \begin{cases} \frac{u_1u_2-u_1u_2{\rm e}^{\varphi_2(u_1-u_2)(T-t)}}{u_2-u_1{\rm e}^{\varphi_2(u_1-u_2)(T-t)}},&m\neq(1-2\alpha)\rho_2,\\ {\rm e}^{\int_{t}^{T}\varphi_1(s){\rm d}s}[\int_{t}^{T}\varphi_3\cdot {\rm e}^{-\int_{u}^{T}\varphi_1(s){\rm d}s}{\rm d}u],&m=(1-2\alpha)\rho_2, \end{cases} \end{equation*}$

其中

$\begin{equation*}\begin{aligned} u_{1,2}=\frac{-\varphi_1\pm\sqrt{\varphi_1^2-4\varphi_2\varphi_3}}{2\varphi_2}, \end{aligned} \end{equation*}$

$\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ 见 (4.8)-(4.10) 式,

$\begin{equation*}\begin{aligned} D_1(t)={\rm e}^{-\int_{t}^{T}(\frac{A(s)}{m}+\frac{A(s)}{m}){\rm d}s}\bigg[\int_{t}^{T}g_1(u)\cdot {\rm e}^{\int_{u}^{T}((\frac{A(s)}{m}+\frac{A(s)}{m})){\rm d}s}{\rm d}u\bigg], \end{aligned} \end{equation*}$

$g_1(t)$ 见 (4.11) 式,

$\begin{equation*}\begin{aligned} D_2(t)={\rm e}^{-\int_{t}^{T}(\frac{A(s)}{m}+\frac{A(s)}{m}+\frac{\delta}{\zeta}){\rm d}s}\bigg[\int_{t}^{T}g_2(u)\cdot {\rm e}^{\int_{u}^{T}((\frac{A(s)}{m}+\frac{A(s)}{m}+\frac{\delta}{\zeta}){\rm d}s}{\rm d}u\bigg], \end{aligned} \end{equation*}$

$g_2(t)$ 见 (4.23) 式, ${\phi}_1^*$, ${\phi}_2^*$, ${\phi}_3^*$ 的相关表达式见 (4.19)-(4.21) 式.

推论4.1 若 $\rho_1=\rho_2=\rho_3=0$, 退化为没有模糊性的混合型养老金计划的最优投资和最优缴款-给付调整策略, 则 HJB 方程的最优解为

$\begin{equation*}\begin{aligned} \widetilde V(t,f,l,v,z)= \widetilde J(t,f,l,v,z)=(1-z) \widetilde J(t,f,l,v,0)+z \widetilde J(t,f,l,v,1). \end{aligned} \end{equation*}$

最优投资策略和最优缴费--给付调整策略分别为

$\begin{equation*}\begin{aligned} \widetilde \pi_1^*(t)=\frac{vm\lambda+vm \widetilde C(t)\sigma_v\rho}{m(c_1v+c_2) \widetilde A(t)}, \end{aligned} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \widetilde \pi_2^{*}(t)= \begin{cases} \frac{1}{\zeta \widetilde A(t)}[\ln\frac{\delta}{\zeta h^P}- \widetilde D_1(t)+ \widetilde D_2(t)],&t\in[0,\tau\wedge T),\\ 0,&t\in[\tau\wedge T,T], \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \lambda_1^{*}(t)= \begin{cases} -\frac{1}{m}\ln(\frac{ \widetilde A(t)Q_3}{Q_1m})-\frac{1}{m}[-(f+ \widetilde B(t)l) \widetilde A(t)+ \widetilde C(t)v+ \widetilde D_2(t)],&t\in[\\ -\frac{1}{m}\ln(\frac{ \widetilde A(t)Q_3}{Q_1m})-\frac{1}{m}[-(f+ \widetilde B(t)l) \widetilde A(t)+ \widetilde C(t)v+ \widetilde D_1(t)],&t\in[\tau\wedge T,T], \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \lambda_2^{*}(t)= \begin{cases} -\frac{1}{m}\ln(\frac{ \widetilde A(t)Q_3}{Q_2m})-\frac{1}{m}[-(f+ \widetilde B(t)l) \widetilde A(t)+ \widetilde C(t)v+ \widetilde D_2(t)],&t\in[\\ -\frac{1}{m}\ln(\frac{ \widetilde A(t)Q_3}{Q_2m})-\frac{1}{m}[-(f+ \widetilde B(t)l) \widetilde A(t)+ \widetilde C(t)v+ \widetilde D_1(t)],&t\in[\tau\wedge T,T], \end{cases} \end{equation*}$

值函数为

$\begin{equation*}\begin{aligned} && \widetilde J(t,f,l,v,0)=-\frac{Q_3}{m}{\rm e}^{-[(f+ \widetilde B(t)l)] \widetilde A(t)+ \widetilde C(t)v+ \widetilde D_2(t)-\beta t}, \\ && \widetilde J(t,f,l,v,1)=-\frac{Q_3}{m}{\rm e}^{-[(f+ \widetilde B(t)l)] \widetilde A(t)+ \widetilde C(t)v+ \widetilde D_1(t)-\beta t}, \end{aligned}\end{equation*}$
$\widetilde A(t)=A(t), \widetilde B(t)=B(t),$
$\begin{equation*} \widetilde C(t)= \begin{cases} \frac{\widetilde u_1\widetilde u_2-\widetilde u_1\widetilde u_2{\rm e}^{\widetilde \varphi_2(\widetilde u_1-\widetilde u_2)(T-t)}}{\widetilde u_2-\widetilde u_1{\rm e}^{\widetilde \varphi_2(\widetilde u_1-\widetilde u_2)(T-t)}}, \end{cases} \end{equation*}$

其中

$\begin{equation*}\begin{aligned} \widetilde u_{1,2}= \frac{-\widetilde \varphi_1\pm\sqrt{\widetilde \varphi_1^2-4\widetilde \varphi_2\widetilde \varphi_3}}{2\widetilde \varphi_2}, \end{aligned} \end{equation*}$
$\begin{align*} &\widetilde \varphi_1=-\lambda\sigma_v\rho-k-\frac{\widetilde A_1(t)}{m}-\frac{\widetilde A_1(t)}{m}, \\ &\widetilde \varphi_2=-\frac{1}{2}\sigma_v^2\rho^2+\frac{1}{2}\sigma_v^2, \\ &\widetilde \varphi_3=\frac{-\lambda^2}{2}, \end{align*}$
$\begin{equation*}\begin{aligned} \widetilde D_1(t)={\rm e}^{-\int_{t}^{T}(\frac{\widetilde A(s)}{m}+\frac{\widetilde A(s)}{m}){\rm d}s}\bigg[\int_{t}^{T}\widetilde g_1(u)\cdot {\rm e}^{\int_{u}^{T}((\frac{\widetilde A(s)}{m}+\frac{\widetilde A(s)}{m})){\rm d}s}{\rm d}u\bigg], \end{aligned} \end{equation*}$

其中

$\begin{equation*}\begin{aligned} \widetilde g_1(t)&=-\beta+\widetilde C(t)k\theta_v-\widetilde A(t)(1+\widetilde B(t))(NC(t)-PB(t))-\frac{\widetilde A(t)}{m}\bigg[\ln(\frac{\widetilde A(t)Q_3}{Q_1m})-1\bigg]\\ & -\frac{\widetilde A(t)}{m}\bigg[\ln(\frac{\widetilde A(t)Q_3}{Q_2m})-1\bigg], \end{aligned} \end{equation*}$
$\begin{equation*}\begin{aligned} \widetilde D_2(t)={\rm e}^{-\int_{t}^{T}(\frac{\widetilde A(s)}{m}+\frac{\widetilde A(s)}{m}+\frac{\delta}{\zeta}){\rm d}s}\bigg[\int_{t}^{T}\widetilde g_2(u)\cdot {\rm e}^{\int_{u}^{T}((\frac{\widetilde A(s)}{m}+\frac{\widetilde A(s)}{m}+\frac{\delta}{\zeta}){\rm d}s}{\rm d}u\bigg], \end{aligned} \end{equation*}$

其中

$\begin{equation*}\begin{aligned} \widetilde g_2(t)&=-\beta+\widetilde C(t)k\theta_v-\widetilde A(t)(1+\widetilde B(t))(NC(t)-PB(t))-\frac{\widetilde A(t)}{m}\bigg[\ln\bigg(\frac{\widetilde A(t)Q_3}{Q_1m}\bigg)-1\bigg]\\ & -\frac{\widetilde A(t)}{m}\bigg[\ln\bigg(\frac{\widetilde A(t)Q_3}{Q_2m}\bigg)-1\bigg]-\frac{\delta }{\zeta }\bigg[\ln\frac{\delta }{\zeta h^P}-\widetilde D(t)-1\bigg]-h^P. \end{aligned} \end{equation*}$

5 数据分析

在本节中, 我们将分别研究不同模型参数和金融市场参数对最优策略的影响. 在进行数值分析前, 先做几点假设

假设5.1 死亡力遵循 Makeham 定律, 即年龄为 $x$ 岁的个体死亡力可以表示为

$\begin{equation*} s(x)=\mathcal{A}+\mathcal{B}\theta^x, \end{equation*}$

则生存函数表示为

$\begin{equation*} \bar s(x)={\rm e}^{-\int_{0}^{x-a}s(a+s){\rm d}s}\\ ={\rm e}^{-\mathcal{A}(x-a)-\frac{\mathcal{B}}{\ln\theta}(\theta^x-\theta^a)}, a\leq x\leq\omega, \end{equation*}$

该式满足 $\bar s(a)=1$. 接下来数值分析中, 参考 Dickson等[6]设 $\mathcal{A}=2.2\times10^{-4}, \mathcal{B}=2.7\times10^{-6},$$\theta=1.124$.

假设5.2 根据 Bowers 等[2]第二十章的进入年龄精算成本法以及 Wang 等[19]假定养老金应计密度函数 $m(x)$ 为

$\begin{equation*} m(x)=\frac{\bar s(x){\rm e}^{-\varepsilon x}}{\int_{a}^{b}\bar s(y){\rm e}^{-\varepsilon y}{\rm d}y}, a<x<b. \end{equation*}$

假设5.3 预期工资呈指数增长

$\begin{equation*} w(x,t)=w_0{\rm e}^{\alpha_1t+\eta(x-a)}, \end{equation*}$

其中 $\alpha_1$ 表示因经济因素导致的工资预期增长率, $\eta$ 表示生产力的增长率. 参考 Wang 等[19]取 $\alpha_1=0.02, \eta=0.01$.

假设5.4 随着经济的发展与社会的进步, 本文假设退休员工的生活成本不断进行调整

$\begin{equation*} h(x)={\rm e}^{\varsigma(x-b)}, x\geq b, \end{equation*}$

$\varsigma$ 为生活成本调整率, 参考 Wang 等[19]取 $\varsigma=0.03$.

假设5.5 除非特别说明, 本文采用的其他相关数值可参考Zhang[24], Wang 等[19]和 Wang 等[18]:$T=15$, $a=30$, $b=65$, $\omega=100$, $n(t)=10$, $\varepsilon=0.015$, $r=0.05$, $\beta=0.01$, $\xi=0.5$, $w_0=1$, $l=6277$, $f=7000$, $\kappa=0.1$, $\delta=0.01$, $\zeta=0.4$, $h^{P^*}=0.025$, $h^P=0.00625$, $c_1=0.9051$, $c_2=0.0023$, $\sigma_v=0.6612$, $\lambda=2.9428$, $\theta_v=0.0328$, $\rho=-0.7689$, $k=7.3479$, $Q_1=6$, $Q_2=5$, $Q_3=1$, $\rho_1=1$, $\rho_2=1$, $\rho_3=2$, $m=1$, $v_0=0.02$.

为作图方便, 不失一般性, 我们取 $t=0$ 时刻进行分析. 图1 研究了 $\pi_1^*(0)$ 关于参数 $\kappa$ 和 $T$ 的敏感性, 显而易见, $\pi_1^*(0)$ 与参数 $\kappa$ 和 $T$ 均成正相关. 也就是说, 当养老金计划管理者考虑未来较长时间的投资策略或者将更多的盈余用于调整精算负债, 那么计划决策者就需要采取风险更高的投资策略实现预定的目标. 图2 研究的是 $\pi_1^*(0)$ 关于参数 $r$ 和 $\lambda$ 的敏感性, 随着无风险利率 $r$ 的增加 $\pi_1^*(0)$ 逐渐减少, 这与现实情况是相符的, 当无风险利率增大时养老金计划管理者更愿意将养老基金投资于无风险资产中, 以需求相对稳定的收益, 保证养老金计划的可持续性. 同时, 随着 $\lambda$ 的增加 $\pi_1^*(0)$ 也逐渐增加, $\lambda$ 的增加表明养老金计划投资可以获得更高的风险溢价, 因此加大了对风险资产的投资.

图1

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图1   $\pi_1^*(0)$ 与 $\kappa,T$ 的关系


图2

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图2   $\pi_1^*(0)$ 与 $r,\lambda$ 的关系


+图3-图4 研究的是最优调整策略关于权重参数的敏感性. 从图3 可以看出 $\lambda_1^*(0)$ 与 $Q_1$ 正相关, 与 $Q_3$ 负相关. 这是因为当 $Q_1$ 的值较大时, 养老金计划管理者更重视退休人员收益, 而当 $Q_3$ 增加时, 赋予终端时刻养老基金盈余权重增加, 计划管理者在给付调整上更加保守, 以便在终端时刻达到预定目标.从图4 可以看出 $\lambda_2^*(0)$ 关于 $Q_1$ 递减, $Q_2$ 递增. 这是因为当 $Q_1$ 的值较大时, 养老金计划管理者更重视退休人员收益, 因此会一定程度减少对在职成员缴款的调整. 而当 $Q_2$ 增加时, 养老金计划管理者更重视对在职成员的缴款调整.

图3

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图3   $\lambda_1^*(0)$ 与 $Q_1,Q_3$ 的关系


图4

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图4   $\lambda_2^*(0)$ 与 $Q_1,Q_2$ 的关系


图5 反映 $\zeta$ 和 $h^P$ 对 $\pi_2^*(0)$ 的影响. 显然 $\pi_2^*(0)$ 随着违约债券的损失率 $\zeta$ 和违约强度 $h^P$ 的增加而减少. 图6 刻画了违约前情况下参数 $r$ 和 $\lambda$ 对退休人员给付调整额的影响. 随着 $r$ 和 $\lambda$ 的增加, 养老金投资收益也逐渐增加, 故退休给付调整额也逐渐上升. 图7 研究的是违约前情况下最优给付调整策略 $\lambda_1^*(0)$ 关于参数 $\xi$ 和 $\omega$ 的敏感性. 固定 $\omega$ 值, $\lambda_1^*(0)$ 随 $\xi$ 的增加而增加. $\xi$ 的增加即工资增长率的增加, 则养老金计划缴款增加, 从而养老基金池中累积财富增加, 这时养老金计划管理者更愿意增加对退休人员给付的调整额. 当 $\xi$ 固定, $\lambda_1^*(0)$ 随 $\omega$ 的增加而增加, $\omega$ 的增加即预期最大寿命的增加, 则退休人员领取退休收益的年限增加, 故给付调整额也呈现一定程度的增加, 但由于缴款和投资收益不变, 为维持养老金计划的可持续性, 这种增加幅度不是很显著, 这可能导致员工退休后收益不足现象的发生.

图5

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图5   $\pi_2^*(0)$ 与 $\zeta,h^P$ 的关系


图6

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图6   $\lambda_1^*(0)$ 与 $r,\lambda$ 的关系


图7

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图7   $\lambda_1^*(0)$ 与 $\xi,\omega$ 的关系


6 结论与展望

本文的主要研究内容是基于模型不确定性有违约风险的混合型养老金计划的最优投资策略和最优缴款--给付调整策略. 本文的目标是从养老金计划管理者和参与者两个角度出发, 寻找最优策略. 其次可以发现基金盈余 (赤字) 可通过收益和缴款调整策略实现代际之间的利益共享 (缓冲金融市场萧条时期的经济下滑). 最后对其进行数值模拟, 得到结论: (1) 金融市场参数和模型参数对最优投资和最优缴款-给付调整策略有影响. (3) 根据图7 可得将长寿风险纳入混合型养老金计划模型中是有必要的, 这也是我们接下来工作的重心.

A 附录

方程组 (4.12) 的求解

首先将下面两个方程结合消元

$\begin{equation}\begin{aligned} &A_{1t}+A_1(t)r-\frac{A^2_1(t)}{m}-\frac{A^2_1(t)}{m}+B_1(t)A_1(t)\kappa=0.\\ \end{aligned} \end{equation}$
$\begin{equation} \begin{aligned} &A_{1t}B_1(t)+A_1(t)B_{1t}-\frac{A^2_1(t)B_1(t)}{m}-\frac{A^2_1(t)B_1(t)}{m}+A_1(t)B_1(t)(\varepsilon-\kappa)=0.\\ \end{aligned} \end{equation}$

根据边界条件可得到一个关于 $B_1(t)$ 的伯努利方程

$\begin{equation*} \kappa B_1^2(t)-(\varepsilon-\kappa-r)B_1(t)-B_{1t}=0. \end{equation*}$

解此方程得到

$\begin{equation*} B_1(t)= \begin{cases} \frac{1}{\kappa(T-t)-1},&\varepsilon=\kappa+r,\\ \frac{r+\kappa-\varepsilon}{(\varepsilon-r){\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-t)}-\kappa},&\varepsilon\neq\kappa+r. \end{cases} \end{equation*}$

其次, 结合边界条件解方程 (A.1) 得到

$\begin{equation} A_1(t)=\frac{1}{(\frac{1}{m}+\int_{t}^{T}\frac{2}{m}{\rm e}^{\int_{u}^{T}(r+\kappa B_1(s)){\rm d}s}{\rm d}u)\cdot {\rm e}^{-\int_{t}^{T}(r+\kappa B_1(s)){\rm d}s}}. \end{equation}$

当 $\varepsilon\neq\kappa+r$ 时, 将 $B_1(t)$ 分情况带入, 为清楚展示计算过程, 先计算下列两个等式,

$\begin{align*} {\rm e}^{\int_{t}^{T}(r+\kappa B_1(s)){\rm d}s} &={\rm e}^{\int_{t}^{T}(r+\kappa \frac{r+\kappa-\varepsilon}{(\varepsilon-r){\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}-\kappa}){\rm d}s}\\ &={\rm e}^{r(T-t)}{\rm e}^{\int_{t}^{T}\frac{-\kappa}{(\varepsilon-r){\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}-\kappa}{\rm d}(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}\\ &={\rm e}^{r(T-t)}{\rm e}^{\int_{t}^{T}\frac{-\frac{\kappa}{\varepsilon-r}+{\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}-{\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}}{{\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}-\frac{\kappa}{\varepsilon-r}} {\rm d}(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}\\ &={\rm e}^{r(T-t)}{\rm e}^{\int_{t}^{T}(1-\frac{{\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}}{{\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}-\frac{\kappa}{\varepsilon-r}}) {\rm d}(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}\\ &={\rm e}^{(\varepsilon-\kappa)(T-t)}\cdot {\rm e}^{-\int_{t}^{T} \frac{{\rm d e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}}{{\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}-\frac{\kappa}{\varepsilon-r}}}\\ &={\rm e}^{(\varepsilon-\kappa)(T-t)}\cdot {\rm e}^{-\int_{t}^{T} \frac{{\rm d}({\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}-\frac{\kappa}{\varepsilon-r})}{{\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-s)}-\frac{\kappa}{\varepsilon-r}}}\\ &={\rm e}^{(\varepsilon-\kappa)(T-t)}{\rm e}^{\ln{\frac{{\rm e}^{(r+\kappa-\varepsilon)(T-t)}-\frac{\kappa}{\varepsilon-r}}{1-\frac{\kappa}{\varepsilon-r}}}}\\ &={\rm e}^{(\varepsilon-\kappa)(T-t)}(\frac{{\rm e}^{(r-\varepsilon+\kappa)(T-t)}-\frac{\kappa}{\varepsilon-r}}{1-\frac{\kappa}{\varepsilon-r}})\\ &=\frac{(\varepsilon-r){\rm e}^{r(T-t)}-\kappa {\rm e}^{-(\kappa-\varepsilon)(T-t)}}{\varepsilon-r-\kappa}. \end{align*}$
$\begin{equation} \begin{aligned} \int_{t}^{T}\frac{2}{m}&\frac{(\varepsilon-r){\rm e}^{r(T-u)}-\kappa {\rm e}^{-(\kappa-\varepsilon)(T-u)}}{\varepsilon-r-\kappa}{\rm d}u\\ &=-\frac{2}{m}\bigg(\int_{t}^{T}\frac{(\varepsilon-r){\rm e}^{r(T-u)}}{r(\varepsilon-r-\kappa)}{\rm d}[r(T-u)]\\ &+\int_{t}^{T}\frac{\kappa {\rm e}^{(\varepsilon-\kappa)(T-u)}}{(\varepsilon-r-\kappa)(\kappa-\varepsilon)}{\rm d}[-(\kappa-\varepsilon)(T-u)]\bigg)\\ &=-\frac{2}{m}\bigg(\frac{(\varepsilon-r)(1-{\rm e}^{r(T-t)}}{r(\varepsilon-r-\kappa)}+\frac{\kappa(1-{\rm e}^{-(\kappa-\varepsilon)(T-t)})}{(\varepsilon-r-\kappa)(\kappa-\varepsilon)}\bigg). \end{aligned} \end{equation}$

将 (A.4)-(A.5) 式带入 (A.3) 式, 经过简单化简即可得到

$\begin{equation*} A_1(t)=\frac{\kappa {\rm e}^{(\varepsilon-\kappa)(T-t)}-(\varepsilon-r){\rm e}^{r(T-t)}}{-\frac{2}{m}[\frac{\varepsilon-r}{r}({\rm e}^{r(T-t)}-1)+\frac{\kappa}{\kappa-\varepsilon}({\rm e}^{(\varepsilon-\kappa)(T-t)}-1)]-\frac{1}{m}(\varepsilon-r-\kappa)}. \end{equation*}$

当 $\varepsilon=\kappa+r$ 时, 经过与上述类似地简单计算便可得到

$\begin{equation*} A_1(t)= \frac{[\kappa(T-t)-1]{\rm e}^{r(T-t)}}{-\frac{2}{m}\frac{1}{r}[\frac{\varepsilon}{r}({\rm e}^{r(T-t)}-1)-\kappa(T-t){\rm e}^{r(T-t)}]-\frac{1}{m}}.\ \end{equation*}$

方程组 (4.12) 中第三个方程的求解参考了 Wang等[17]中附录 $A$ 的解法. 最后, 结合常微分方程的常规解法和边界条件即可求解出方程组 (4.12) 中第四个方程. 终上所述, 方程组 (4.12) 便可解得.

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This paper investigates a non-zero-sum stochastic differential game between two competitive CARA insurers, who are concerned about the potential model ambiguity and aim to seek the robust optimal reinsurance and investment strategies. The ambiguity-averse insurers are allowed to purchase reinsurance treaty to mitigate individual claim risks; and can invest in a financial market consisting of one risk-free asset, one risky asset and one defaultable corporate bond. The objective of each insurer is to maximize the expected exponential utility of his terminal surplus relative to that of his competitor under the worst-case scenario of the alternative measures. Applying the techniques of stochastic dynamic programming, we derive the robust Nash equilibrium reinsurance and investment policies explicitly and present the corresponding verification theorem. Finally, we perform some numerical examples to illustrate the influence of model parameters on the equilibrium reinsurance and investment strategies and draw some economic interpretations from these results. (C) 2018 Elsevier B.V.

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张欣茹, 马世霞, 张雨萌, 慕蕊.

带随机工资的目标收益养老金计划的鲁棒最优投资和收益支付调整策略

运筹学学报, 2022, 29(1): 127-141

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Zhang X R, Ma S X, Zhang Y M, Mu R.

Robust optimal investment and benefit payment adjustment strategy for target benefit pension plans with stochastic salary

Operations Research Transactions, 2022, 29(1): 127-141

[本文引用: 1]

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