设 $ (p,q)\,(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, p>1) $ 是一对共轭数, 1925 年, Hardy^[1] 给出了一个具有最佳常数因子的积分不等式

推广了 $ p=q=2 $ 时的经典 Hilbert 积分不等式. 鉴于 (1.1) 式的核 $ \frac{1}{x+y} $ 是 $ -1 $ 阶齐次函数, 文献 [2] 考虑了抽象的 $ -1 $ 阶齐次核 $ K(x,y) $, 得到: 若 $ K_{p}=\int_{0}^{+\infty}K(u,1)u^{-\frac{1}{p}}\mathrm{d}u<\infty $, 则有

这里的常数因子 $ K_{p} $ 是最佳值. 由于 (1.2) 式等价于积分算子

的不等式 $ \|T(f)\|_{p}\leq K_{p}\|f\|_{p} $, 故由 (1.2) 式可知, $ T $ 是 Lebesgue 空间 $ L_{p}((0,+\infty)) $ 中的有界积分算子, 因 $ K_{p} $ 是最佳常数因子, 从而 $ T $ 的算子范数 $ \|T\|=K_{p} $. 正是由于 Hilbert 型不等式与同核算子的联系, 使其具有广泛的应用, 受到各国学者的关注. 为了进一步的研究, $ L_{p}((0,+\infty)) $ 被推广为加权 Lebesgue 空间

$ \varphi(x)>0 $ 称为权函数. 之后, 人们探讨了关于齐次核 $ \frac{1}{(x+y)^{\lambda}} $, $ \frac{1}{\max\{x^{\lambda}+y^{\lambda}\}}\ln(1+\frac{x}{y}) $, $ \frac{1}{x^{\lambda}+y^{\lambda}} $, 拟齐次核 $ \frac{1}{(x^{\lambda_{1}}+y^{\lambda_{2}})^{\lambda}} $, $ \frac{\min\{x^{\lambda_{1}},y^{\lambda_{2}}\}}{\max\{x^{\lambda_{1}},y^{\lambda_{2}}\}} $ 及其非齐次核 $ \frac{1}{1+xy} $ 等的 Hilbert 型积分不等式, 得到许多较好的结果^[3-10]. 这些结果中的常数因子之所以是最佳值, 是因为作者对各参数进行了精心搭配, 为了找到参数的搭配规律, 2016 年, 文献 [11] 讨论了最佳搭配参数问题, 此后取得了一系列重要结果^[12-18]. 为了利用 Hilbert 型不等式讨论算子的有界性, 需要进一步讨论 Hilbert 型不等式的构建问题, 即各参数之间满足怎样的关系时, 才能够建出 Hilbert 型不等式, 可喜的是这方面的研究也取得突出成果^[19-20]. 目前, Hilbert 型不等式已形成了比较完整的理论体系[21]. 近年来, 研究涉及变上限积分函数及导数函数的 Hilbert 型不等式成为人们关注的热点问题之一, 它们从一种新的角度推广了 Hilbert 型不等式^[22-24], 例如文献 [23] 讨论了涉及多重变上限积分函数及高阶导数的 Hilbert 型积分不等式, 得到

其中 $ \tilde{\lambda}_{1}=\frac{\lambda-\lambda_{2}}{p}+\frac{\lambda_{1}}{q} $, $ \tilde{\lambda}_{2}=\frac{\lambda-\lambda_{1}}{q}+\frac{\lambda_{2}}{p} $, $ F_{k}(x)=\int_{0}^{x}F_{k-1}(t)\mathrm{d}t\,(k=1,2,\cdots,m) $, 并指出当且仅当 $ \lambda_{1}+\lambda_{2}\!=\!\lambda\,(0<\lambda_{1},\lambda_{2}<\lambda) $ 时, 其常数因子是最佳值. 这是一个很好的结果, 但存在几点不足: 1. 参数关系繁琐, 给应用带来不便; 2. 没有充分利用已有成果, 导致证明过程十分复杂; 3. 没有讨论在什么条件下, 能够构建这个 Hilbert 型不等式, 也就是没有讨论在什么条件下, 相应的积分算子是有界算子; 4. 假设条件中包含各阶导数 $ g^{(j-1)}(y)\geq 0\,(j=1,2,\cdots,n) $ 等较强的条件, 限制了不等式的广度. 基于这些问题, 本文利用已有的齐次核 Hilbert 型积分不等式的构造定理, 讨论以 $ \frac{1}{(\varphi(x)+y)^{\lambda}} $ 为积分核的涉及变上限积分函数和高阶导数的 Hilbert 型积分不等式的构建问题, 并利用所得结果讨论相应积分算子的有界性及算子范数.

${\bf引理2.1}$ (齐次核 Hilbert 型积分不等式的构造定理^[21]) 设 $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,(p>1) $, $ \sigma,\alpha,\beta,\in \mathbb{R} $, $ K(x,y)\geq 0 $ 是 $ \sigma $ 阶齐次可测函数, 且

(i) 当且仅当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=1+\sigma $ 时, 存在常数 $ M>0 $, 有Hilbert 型积分不等式

(ii) 当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=1+\sigma $ 时, (2.1) 式的最佳常数因子为 $ W(\alpha,p) $.

${\bf引理2.2}$ 设 $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,(p>1) $, $ \lambda,\alpha,\beta,\in \mathbb{R} $, $ \alpha<p-1 $, $ \lambda>\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p} $, 则

(i) 当且仅当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=1-\lambda $ 时, 存在常数 $ \bar{M}>0 $, 使

(ii) 当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=1-\lambda $ 时, (2.2) 式的最佳常数因子为 $ B(\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p},\frac{1}{p}-\frac{\beta}{q}) $.

记 $ K(u,v)=\frac{1}{(x+y)^{\lambda}}\,(x>0,y>0) $, 则 $ K(x,y)>0 $ 且是 $ -\lambda $ 阶齐次函数. 因为 $ \alpha<p-1 $, $ \lambda>\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p} $, 故 $ \frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p}>0 $, $ \lambda-(\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p})>0 $. 于是

且当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=1-\lambda $ 时, 有 $ \frac{1}{p}-\frac{\beta}{q}=\lambda-(\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p}) $, 于是

综上讨论, 根据引理 2.1, 知引理 2.2 成立.

${\bf引理2.3}$ 设 $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,(p>1) $, $ \alpha<p-1 $, $ f(x)\in L_{p}^{x^{\alpha}}((0,+\infty)) $, $ F(x)=\int_{0}^{x}f(u)\mathrm{d}u $, $ x^{\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p}}=o(e^{\varphi(x)t})\,(x\rightarrow+\infty, t>0) $, 那么

${\bf证}$ 因为 $ f(x)\in L_{p}^{x^{\alpha}}((0,+\infty)) $, 根据 Hölder 积分不等式, 有

因为 $ \alpha<p-1 $, 故 $ (1-q)\alpha+1>0 $, 于是

于是

由此可得 $ F(x)=o(e^{\varphi(x)t})\,(x\rightarrow+\infty, t>0) $.

${\bf引理2.4}$ 设 $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,(p>1) $, $ \beta<q-1 $, $ g^{(n)}(y)\in L_{p}^{y^{\beta}}((0,+\infty)) $, 那么

${\bf证}$ 首先, 根据 L'Hospital 法则, 有

于是

因为 $ \beta<q-1 $, 故 $ (1-p)\beta+1>0 $, 于是

由此可得 $ g^{(k-1)}(y)=o(e^{ty})\,(y\rightarrow+\infty, t>0)\ (k=1,2,\cdots,n) $.

${\bf定理3.1}$ 设 $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,(p>1) $, $ \lambda,\alpha,\beta\in \mathbb{R} $, $ \alpha<p-1 $, $ \beta<q-1 $, $ \lambda-n+1>\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p} $, $ \varphi(x)>0 $, $ \varphi'(x)>0 $, $ \varphi(0^{+})=0 $, $ \varphi(+\infty)=+\infty $, 且 $ x^{\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p}}=o(e^{\varphi(x)t})\,(x\rightarrow+\infty, t>0) $, 那么

(i) 当且仅当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=n-\lambda $ 时, 存在常数 $ M>0 $, 使

其中 $ F(x)=\int_{0}^{x}f(u)\mathrm{d}u $, $ f(x)\in L_{p}^{x^{\alpha}}((0,+\infty)) $, $ g^{(n)}(x)\in L_{q}^{y^{\beta}}((0,+\infty)) $, $ g^{(k-1)}(0^{+})=0\,(k=1,2,\cdots,n) $;

(ii) 当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=n-\lambda $ 时, (3.1) 式的最佳常数因子为

${\bf证}$ (i) 根据 Gamma 函数的定义, 可得

于是

因为 $ \alpha<p-1 $, $ x^{\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p}}=o(e^{\varphi(x)t})\,(x\rightarrow+\infty, t>0) $, $ f(x)\in L_{p}^{x^{\alpha}}(0,+\infty) $, 根据引理 2.3 和分部积分法, 有

根据引理 2.4 和分部积分法, 有

综上可得

根据引理 2.2(i), 当且仅当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=1-(\lambda-n+1)=n-\lambda $ 时, 存在常数 $ \bar{M} $, 使

令 $ M=\frac{\Gamma(\lambda-n+1)}{\Gamma(\lambda)}\bar{M} $, 则得到 (3.1) 式.

(ii) 当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=n-\lambda=1-(\lambda-n+1) $ 时, 根据引理 2.2(ii), (3.3) 式的最佳常数因子为 $ B(\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p},\frac{1}{p}-\frac{\beta}{q}) $, 故 (3.1) 式的最佳常数因子为 (3.2) 式.

设 $ p>1 $, $ \alpha\in \mathbb{R} $, $ \varphi(x)>0 $, $ \varphi'(x)>0 $, 定义函数集:

下面讨论定义在 $ IL_{p}^{\varphi^{\alpha}\varphi'}((0,+\infty)) $ 上积分算子.

${\bf定理4.1}$ 设 $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,(p>1) $, $ \lambda,\alpha,\beta\in \mathbb{R} $, $ \alpha<p-1 $, $ \beta<q-1 $, $ \lambda+1>\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p} $, $ \varphi(x)>0 $, $ \varphi'(x)>0 $, $ \varphi(0^{+})=0 $, $ \varphi(+\infty)=+\infty $, $ x^{\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p}}=o(e^{\varphi(x)t})\,(x\rightarrow+\infty,t>0) $, 算子 $ T $ 为:

(i) 当且仅当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=-\lambda $ 时, $ T $ 是 $ IL_{p}^{\varphi^{\alpha}\varphi'}((0,+\infty)) $ 到 $ L_{p}^{y^{\beta(1-p)}}((0,+\infty)) $ 的有界算子, 即存在常数 $ M>0 $, 使

(ii) 当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=-\lambda $ 时, 有

${\bf证}$ 我们首先证明, 当 $ f(x)\geq0 $ 时, (4.1) 式中算子 $ T $ 的不等式等式 (4.2) 等价于

若 (4.3) 式成立, 令 $ g(y)=y^{\beta(1-p)}|T(f)(y)|^{p-1} $, 于是

由此得到 $ \|T(f)\|_{p,y^{\beta(1-p)}}\leq M\|F\|_{p,\varphi^{\alpha}\varphi'} $, 即 (4.2) 式成立.

反之, 若 (4.2) 式成立, 则由 Hölder 不等式, 有

故 (4.3) 式成立.

综上所述, 知 (4.2) 式与 (4.3) 式等价.

在定理 3.1 中, 取 $ n=0 $, 则 (3.1) 式化为 (4.3) 式, 于是根据定理 3.1, 可知定理 4.1 成立.

若在定理 4.1 中取 $ \varphi(x)=x $, 由于此时必有 $ x^{\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p}}=o(e^{tx})\,(x\rightarrow+\infty,t>0) $, 于是可得

${\bf命题4.1}$ 设 $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,(p>1) $, $ \lambda,\alpha,\beta\in \mathbb{R} $, $ \alpha<p-1 $, $ \beta<q-1 $, $ \lambda+1>\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p} $, 算子 $ T $ 为

(i) 当且仅当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=-\lambda $ 时, $ T $ 是 $ IL_{p}^{x^{\alpha}}((0,+\infty)) $ 到 $ L_{p}^{y^{\beta(1-p)}}((0,+\infty)) $ 的有界算子;

(ii) 当 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=-\lambda $ 时, 有 $ \|T\|=\lambda B(\frac{1}{q}-\frac{\alpha}{p},\frac{1}{p}-\frac{\beta}{q}) $.

${\bf注 4.1}$ 若 $ \alpha=\beta=0 $, 因为 $ \frac{\alpha}{p}+\frac{\beta}{q}=-\lambda $ 在 $ \lambda\neq0 $ 时不可能成立, 故由定理 4.1 可知, (4.1) 式中的积分算子 $ T $ 不是 $ IL_{p}((0,+\infty)) $ 到 $ L_{p}((0,+\infty)) $ 的有界算子, 可见利用定理 4.1 可以方便地判别算子 $ T $ 是否有界.