数学物理学报, 2025, 45(5): 1444-1462

半空间中满足 Cattaneo 定律的双曲系统的稳定性

邓钧元,1,*, 张峻皓,1,2

1武汉大学数学与统计学院 武汉 430072

2香港中文大学数学系 香港沙田

Stability to a Hyperbolic System with Cattaneo's Law in the Half Space

Deng Junyuan,1,*, Zhang Junhao,1,2

1School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072

2Department of Mathematics, the Chinese University of Hong Kong, Hong Kong Shatin

通讯作者: * 邓钧元,E-mail:jy_deng@whu.edu.cn

收稿日期: 2024-05-22   修回日期: 2025-06-10  

Received: 2024-05-22   Revised: 2025-06-10  

作者简介 About authors

张峻皓,E-mail:jhzhang@math.cuhk.edu.hk

摘要

该文研究一维半空间中满足 Cattaneo 定律双曲方程的初边值问题稳态解的渐近非线性稳定性. 构造了该初边值问题的稳态解并得到了其正则性. 此外, 通过引入一个修正函数, 利用半空间中的 $ L^2 $-能量方法和庞加莱型不等式, 证明了上述稳态解在小初值扰动下的渐近稳定性.

关键词： Cattaneo 定律; 初边值问题; 稳态解; 渐近稳定性; 庞加莱型不等式

Abstract

This paper is concerned with the time-asymptotically nonlinear stability of stationary solutions to the initial boundary value problem of hyperbolic equations with Cattaneo's law in one-dimensional half space. We construct the stationary solutions to such an initial boundary value problem and show their regularities. Moreover, by introducing a correction function, the asymptotic stability of the above stationary solutions under small initial perturbations is proved by using the $ L^2 $-energy method and Poincaré-type inequalities in half space.

Keywords： Cattaneo's Law; initial-boundary value problem; stationary solutions; asymptotic stability; Poincaré-type inequalities

PDF (656KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

邓钧元, 张峻皓. 半空间中满足 Cattaneo 定律的双曲系统的稳定性[J]. 数学物理学报, 2025, 45(5): 1444-1462

Deng Junyuan, Zhang Junhao. Stability to a Hyperbolic System with Cattaneo's Law in the Half Space[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(5): 1444-1462

1 引言与主要结果

考虑 $ N $ 维空间中带有人工热流 $ \mathbf{q}(t,\mathbf{x}) $ 的守恒律

$\begin{equation}\label{1.1} \frac{\partial u(t, \mathbf{x})}{\partial t}+\nabla_{\mathbf{x}} \cdot \mathbf{f}(u(t, \mathbf{x}))+\nabla_{\mathbf{x}} \cdot \mathbf{q}(t, \mathbf{x})=0,\end{equation}$

其中 $ u(t, \mathbf{x}) $ 是密度函数, $ \mathbf{f} (u(t, \mathbf{x})) = (f_1 (u(t, \mathbf{x})), f_2 (u(t, \mathbf{x})), \cdots, f_N (u(t, \mathbf{x}))) $ 是流函数, $ \mathbf{q} (u(t,$$ \mathbf{x})) = (q_1 (u(t, \mathbf{x})),q_2 (u(t, \mathbf{x})), \cdots, q_N (u(t, \mathbf{x}))) $ 是人工热流函数.

根据傅里叶热传导定律, 人工热流 $ \mathbf{q}(t,\mathbf{x}) $ 满足

$\begin{equation} \mathbf{q}(t, \mathbf{x})=-\mu \nabla_{\mathbf{x}} u(t, \mathbf{x}), \end{equation}$

这里 $ \mu > 0 $ 是粘性系数.

上述条件可以导出以下带粘性的双曲守恒律

$\begin{equation}\label{1.3} \frac{\partial u(t, \mathbf{x})}{\partial t}+\nabla_{\mathbf{x}} \cdot \mathbf{f}(u(t, \mathbf{x}))=\mu \triangle_{\mathbf{x}} u(t, \mathbf{x}).\end{equation}$

作为二阶抛物型方程, 方程 (1.3) 的解满足 "无限传播性". 例如, 在 (1.3) 式中令 $ \mathbf{f}(u) \equiv 0 $, 我们得到线性热传导方程

$\begin{equation}\label{1.4} \frac{\partial u(t, \mathbf{x})}{\partial t}=\mu \triangle_{\mathbf{x}} u(t, \mathbf{x}).\end{equation}$

如果给定初值条件

$\begin{equation}\label{1.5} u(0, \mathbf{x})=\delta (\mathbf{x}),\end{equation}$

其中是 $ \delta (\mathbf{x}) $ 狄拉克函数, 易得柯西问题 (1.4)-(1.5) 的唯一解是

$\begin{equation}u(t, \mathbf{x})=\frac{1}{(4 \pi \mu t)^{\frac{N}{2}}} {\rm e}^{-\frac{|\mathbf{x}|^{2}}{4 \mu t}}.\end{equation}$

可以发现, 一旦在初始时刻 $ t = 0 $ 在空间某点给一个扰动, 那么对于任意 $ t > 0 $, $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^N $, 都有 $ u (t, \mathbf{x}) > 0 $, 这就是热方程的 "无限传播的扰动".

然而, 在现实中, 这种 "无限传播" 的热传导现象并不能很好地描述一般的物理情况, 非常规热弹性过程可能表现出非瞬时热传导、热滞后、热波传播等现象. 在现今的工程实践中, 非常规热弹性效应对精密机械加工、地质监测仪器校准、航空航天材料研发等领域有重要影响. 根据非常规热弹性理论, 我们应该将热传播视为波动现象而非简单的扩散现象. 相应的, Cattaneo [1], Vernotte[2] 以及 Morse 和 Feshbach[3] 提出了 Cattaneo 定律, 即

$\begin{equation}\label{1.7} \mathbf{q}(t, \mathbf{x})+\epsilon \frac{\partial \mathbf{q}(t, \mathbf{x})}{\partial t}=-\mu \nabla_{\mathbf{x}} u(t, \mathbf{x}).\end{equation}$

这里 $ \epsilon > 0 $ 是弛豫时间, $ \mu > 0 $ 是粘性系数.

由 (1.1) 和 (1.7)式, 我们得到

$\begin{equation}\label{1.8} \frac{\partial u(t, \mathbf{x})}{\partial t}+\epsilon \frac{\partial^{2} u(t, \mathbf{x})}{\partial t^{2}}+\nabla_{\mathbf{x}} \cdot \mathbf{f}(u)+\epsilon \frac{\partial \nabla_{\mathbf{x}} \cdot \mathbf{f}(u)}{\partial t}=\mu \triangle_{\mathbf{x}} u(t, \mathbf{x}).\end{equation}$

如果 $ \epsilon > 0 $, 上述方程具有波动方程的形式, 因此它描述的现象具有 "有限传播性". 特别地, 如果 $ \epsilon = 0 $, 则上述方程 (1.8)退化为带粘性的双曲守恒律 (1.3).

本文主要研究上述模型的一个特例, 即一维半空间 $ \mathbb{R}^+ $ 中满足 Cattaneo 定律的一类双曲守恒律. 即

$\begin{equation}\label{1.9} \left\{\begin{array}{l}\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}+\frac{\partial f(u(t, x))}{\partial x}+\frac{\partial q(t, x)}{\partial x}=0, \\ \epsilon \frac{\partial q(t, x)}{\partial t}+\mu \frac{\partial u(t, x)}{\partial x}+q(t, x)=0,\end{array}\right. \end{equation}$

带有初值条件

$\begin{equation}\label{1.10} \begin{aligned} &(u(0, x), q(0, x))=\left(u_{0}(x), q_{0}(x)\right), \quad x \geq 0,\\ &\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(u_{0}(x), q_{0}(x)\right)=\left(u_{+}, q_{+}\right).\\ \end{aligned} \end{equation}$

此外, 还假设边界条件和远场条件满足

$\begin{equation}\label{1.11} \begin{aligned} &u(t,0)=u_b,\quad t\geq0,\\ &\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(u(t,x), q(t,x)\right)=\left(u_{+}, q_{+}\right),\quad t\geq0, \end{aligned} \end{equation}$

其中 $ u_+ $, $ q_+ $, $ u_b $ 是常数. 另外, 它们满足相容性条件

$\begin{equation}\label{1.12} \begin{aligned} &u_0(0)=u_b,\\ &f^{\prime}\left(u_{b}\right) \frac{{\rm d} u_{0}(0)}{{\rm d} x}+\frac{{\rm d} q_{0}(0)}{{\rm d} x}=0. \end{aligned} \end{equation}$

这里 $ x\in\mathbb{R^+} $ 是空间变量, $ t\in\mathbb{R^+} $ 是时间变量, $ u(t,x) $ 是实值函数, 通常代表流体的宏观速度, $ q(t,x) $ 是满足 Cattaneo 定律的人工热通量 (参见文献 [4-7] 等). $ f(u) $ 是流函数, 假设其充分光滑且严格凸, 即 $ f"(u)\geq\bar{c}>0, $ 其中 $ \bar{c} $ 是正常数. 其中常数系数 $ \epsilon>0 $ 是弛豫时间, $ \mu $ 是粘性系数. 为简单起见且不失一般性, 本文假设 $ \epsilon=\mu=1 $.

关于守恒律初边值问题全局解的存在性以及全局解大时间渐近行为的精细刻画, 已有许多重要工作. 在陈述我们的主要定理之前, 我们列出一些与本文密切相关的成果.

对于一维粘性守恒律方程的初边值问题, Liu 和 Nishihara[8] 在激波速度不为零时, 给出了粘性激波在一维半空间 $ \mathbb{R}^- $ 上的渐近稳定性. 此外, Liu 和 Yu [9] 在半空间 $ \mathbb{R}^+ $ 中证明了一维 Burgers 方程稳态激波的渐近稳定性. 此后, Liu, Matsumura 和 Nishihara[10] 研究了一维半空间 $ \mathbb{R}^+ $ 中稳态解、稀疏波及其叠加形成的复合波的渐近稳定性. 当激波速度为零时, Nishihara [11] 在一维半空间 $ \mathbb{R}^- $ 中得到了粘性激波的渐近稳定性. 对可压缩粘性流体 (等熵和非等熵情形) 初边值问题感兴趣的读者, 可以参阅文献 [12-23] 及其参考文献, 在此不作赘述.

对于带耗散的一般双曲守恒律, Qin[24] 在半空间 $ \mathbb{R}^+ $ 中证明了一维带人工粘性的双曲守恒律初边值问题的边界层解的渐近稳定性. 对于半空间 $ \mathbb{R}^+ $ 中的一维对称双曲-抛物耦合系统, Nakamura 和 Nishibata [25] 构造了稳态解并证明了其渐近稳定性. 对于高维情形, Kawashima, Nishibata 和 Nishikawa [26] 在一般 $ N $ 维全空间和半空间中证明了平面波解的渐近稳定性.

对于带 Cattaneo 定律的模型系统 (1.9), 尽管文献 [5,6]分别研究了在小初值扰动下粘性激波和稀疏波的非线性稳定性, 但相应的初边值问题仅获得了部分结果. Nakamura, Nakamura 和 Kawashima[6]在半空间 $ \mathbb{R}^+ $ 中证明了稀疏波的渐近稳定性. 然后, Bai, He 和 Zhao [27] 在弱初值扰动的小要求下, 证明了柯西问题和半空间 $ \mathbb{R}^+ $ 初边值问题稀疏波的渐近稳定性. 此后, Bai, Fan 和 Zhao [28] 在半空间 $ \mathbb{R}^- $ 中获得了行波解在小初值扰动下的渐近稳定性.

在上述成果的基础上, 该初边值问题的稳态解的渐近稳定性至今尚未被考虑. 因此, 在本文的剩余部分, 我们将专注于这个问题. 由于边界条件和远场条件 (1.11), 我们主要将问题分为两种情况: $ u_b < u_+ $ 和 $ u_b>u_+ $. 这里 $ u_b $ 是边界速度, $ u_+ $ 是远场速度.

对于 $ u_b = u_+ $ 的情形, 由于稳态解是方程 (1.9)的常数解, 即 $ u = u_b = u_+,~q = 0 $. 使用后文中两种情形的证明方法, 我们易得类似的结论. 因此, 在本文中, 我们将只讨论边界速度不等于远场速度的情形.

现在, 我们介绍本文的主要结果. 为此, 我们首先定义满足 Cattaneo 定律的双曲平衡律方程 (1.9)的稳态解如下

${\bf定义1.1}$ 我们称 $ (\bar{u} (x), \bar{q}(x)) $ 为初边值问题 (1.9)-(1.11) 的稳态解, 如果它们在 $ x\in \mathbb{R}^+ $ 上满足以下常微分方程

$\begin{equation}\label{1.13} \left\{\begin{array}{l}\frac{{\rm d} f(\bar{u}(x))}{{\rm d} x}+\frac{{\rm d} \bar{q}(x)}{{\rm d} x}=0, \\ \frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}+\bar{q}(x)=0,\end{array}\right.\end{equation}$

并满足初值条件和远场条件

$\begin{equation}\label{1.14} \begin{aligned} &\bar{u}(0)=u_b,\\ &\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\bar{u}(x), \bar{q}(x)\right)=(u_+,0). \end{aligned} \end{equation} $

根据此定义, 稳态解的存在性和性质结论可总结为以下两个引理. 第一个结果是关于非线性两点边值问题 (1.13)-(1.14) 严格单调递增稳态解的存在性

${\bf引理1.1}$[10,引理 1.1] 假设 $ u_b<u_+ $, $ F(u):=f(u)-f(u_+) $, 如果对任意 $ u_b\leq u< u_+ $ 有 $ F(u)>0 $, 且 $ F'(u_+)=f'(u_+)<0 $, 则存在非线性两点边值问题 (1.13)-(1.14) 的唯一稳态解 $ (\bar{u} (x), \bar{q}(x))=(\bar{u} (x), -\frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}) $, 并且 $ \bar{u} $ 在 $ x \in [0,+\infty) $ 上严格单调递增; 此外, 有

$ \begin{equation*} \left|\frac{{\rm d}^{k}\left(u_{+}-\bar{u}(x)\right)}{{\rm d} x^{k}}\right| \leq C_{k}\left(u_{+}-u_{b}\right) \exp \left(\frac{F^{\prime}\left(u_{+}\right)}{2 \mu} x\right), \quad \forall x \in \mathbb{R}^{+}, \quad \forall k \in \mathbb{N}, \end{equation*}$

其中 $ C_k $ 是仅依赖于 $ k $ 的正常数.

另一个则是关于非线性两点边值问题 (1.13)-(1.14) 严格单调递减稳态解的存在性, 我们有如下结果

${\bf引理1.2}$[10,引理 1.1] 假设 $ u_b>u_+ $, $ F(u):=f(u)-f(u_+) $, 如果对任意 $ u_+ < u \leq u_b $ 有 $ F(u)<0 $, 且 $ F'(u_+)=f'(u_+)<0 $, 则存在非线性两点边值问题 (1.13)-(1.14) 的唯一稳态解 $ (\bar{u} (x), \bar{q}(x))=(\bar{u} (x), -\frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}) $, 并且 $ \bar{u} $ 在 $ x \in [0,+\infty) $ 上严格单调递减; 此外, 我们有

\begin{equation*} \left|\frac{{\rm d}^{k}\left(\bar{u}(x)-u_{+}\right)}{{\rm d} x^{k}}\right| \leq C_{k}\left(u_{b}-u_{+}\right) \exp \left(\frac{F^{\prime}\left(u_{+}\right)}{2 \mu} x\right), \quad \forall x \in \mathbb{R}^{+}, \quad \forall k \in \mathbb{N}, \end{equation*}

其中 $ C_k $ 是仅依赖于 $ k $ 的正常数.

注意到稳态解 $ \bar{q} (x): = - \frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x} $ 在 (1.14) 式中的远场条件与带 Cattaneo 定律的双曲方程组(1.9)中 $ q(t,x) $ 满足的 (1.11)式中的远场条件不匹配. 为了克服这个困难, 我们进一步引入如下 "修正函数"

${\bf定义1.2}$ 定义

$\begin{equation}\label{1.15} \tilde{q}(t, x)={\rm e}^{-t} q_{+} \cdot \int_{0}^{x} m(y){\rm d}y, \end{equation}$

其中 $ 0\leq m(y) \in C^{\infty}_{0}((0,+\infty)) $ 且对 $ k=0,1,2 $ 满足

$\begin{equation*} \int_{0}^{+\infty}m(y){\rm d}y=1, \quad\left|\int_{0}^{+\infty}y\frac{{\rm d}^k m(y)}{{\rm d}y^k}{\rm d}y\right|<+\infty, \quad \int_{0}^{+\infty}m(y)^2{\rm d}y<+\infty. \end{equation*}$

我们称 $ \tilde{q}(t, x) $ 为初边值问题 (1.9)-(1.11) 的解 $ (u(t, x), q (t, x)) $ 中分量 $ q(t, x) $ 的修正函数.

${\bf注 1.1}$ 例如, 可以取

$ m(y) = \begin{cases} 0, & \text{当 } y\in (0,1]\cup[2,+\infty); \\ K{\rm e}^{-\frac{1}{(x-1)(x-2)}}, & \text{当 } y\in(1,2). \end{cases} $

这里取 $ K $ 使得 $ \int_{0}^{+\infty}m(y){\rm d}y=1 $.

有了上述准备, 我们现在给出本文关于满足 Cattaneo 定律的双曲方程初边值问题 (1.9)-(1.11) 的稳态解 $ (\bar{u}(x), \bar{q}(x)) = (\bar{u} (x),-\frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}) $ 的大时间渐近稳定性的主要结果. 首先, 对于非线性两点边值问题 (1.13)-(1.14) 的单调递增稳态解 $ (\bar{u}(x), \bar{q}(x)) := (\bar{u} (x),-\frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}) $ 的非线性稳定性, 我们有如下定理

${\bf定理1.1}$ 假设 $ u_b<u_+ $, 令 $ (\bar{u}(x), \bar{q}(x)) := (\bar{u} (x),-\frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}) $ 为非线性两点边值问题 (1.13)-(1.14) 的唯一稳态解, 并假设

$\begin{equation} \begin{aligned} &(u_0(x)-\bar{u}(x), q_0(x)-\bar{q}(x)-\tilde{q}(0, x)) \\ :=&(u_0(x)-\bar{u}(x), q_0(x)+\frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}-\tilde{q}(0, x)) \in H^2(\mathbb{R}^+),\\ \end{aligned} \end{equation}$

且令 $ E_0:=\|(u_0(\cdot)-\bar{u}(\cdot), q_0(\cdot)-\bar{q}(\cdot)-\tilde{q}(0, \cdot))\|_{H^2(\mathbb{R^+})}. $ 如果存在一个充分小的正常数 $ 0<\epsilon\ll1 $, 使得 $ |q_+|+E_0^2\leq\epsilon $, 则具有相容性条件 (1.12) 的初边值问题 (1.9)-(1.11) 存在唯一全局解 $ (u(t,x),q(t,x)) $ 满足 $ (u(t,x)-\bar{u}(x),q(t,x)-\bar{q}(x)-\tilde{q}(0, x))\in \bigcap\limits_{j=0}^{1} C^j([t_0];H^{2-j}(\mathbb{R^+})). $ 此外, 当 $ t\rightarrow+\infty $ 时, 解在 $ x\in[0,+\infty) $ 上一致收敛到稳态解 $ (\bar{u}(x), \bar{q}(x)) := (\bar{u} (x),-\frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}) $, 即

$\begin{equation}\lim_{t \rightarrow +\infty}\sup_{x \in \mathbb{R}^+} \left| \frac{\partial^k(u(t,x)-\bar{u}(x),q(t,x)-\bar{q}(x))}{\partial x^k}\right|=0,\quad k=0,1. \end{equation} $

另一方面, 定义 $ (\bar{u}(x), \bar{q}(x)) := (\bar{u} (x),-\frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}) $ 为非线性两点边值问题 (1.13)-(1.14) 的单调递减稳态解, 我们有

${\bf定理1.2}$ 假设 $ u_b>u_+ $, 令 $ (\bar{u}(x), \bar{q}(x)) := (\bar{u} (x),-\frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}) $ 为非线性两点边值问题 (1.13)-(1.14) 的唯一稳态解, 并假设

$\begin{equation} (u_0(x)-u_+, q_0(x)-q_+) \in H^2(\mathbb{R}^+), \end{equation}$

且令 $ E_0:=\|(u_0-u_+, q_0-q_+)\|_{H^2(\mathbb{R^+})}. $ 如果存在一个充分小的正常数 $ 0<\epsilon\ll1 $, 使得 $ |u_b-u_+|+|q_+|+E_0^2\leq\epsilon $, 则具有相容性条件 (1.12)的初边值问题 (1.9)-(1.11) 存在唯一全局解 $ (u(t,x),q(t,x)) $ 满足 $ (u(t,x)-\bar{u}(x),q(t,x)-\bar{q}(x)-\tilde{q}(0, x))\in \bigcap\limits_{j=0}^{1} C^j([t_0];H^{2-j}(\mathbb{R^+})). $ 此外, 当 $ t\rightarrow+\infty $ 时, 解在 $ x\in[0,+\infty) $ 上一致收敛到稳态解 $ (\bar{u}(x), \bar{q}(x)) := (\bar{u} (x),-\frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}) $, 即

$\begin{equation} \lim_{t \rightarrow +\infty}\sup_{x \in \mathbb{R}^+} \left| \frac{\partial^k(u(t,x)-\bar{u}(x),q(t,x)-\bar{q}(x))}{\partial x^k}\right|=0,\quad k=0,1. \end{equation} $

${\bf注 1.2}$ 在我们上述两个稳定性结果中, 对于非线性两点边值问题 (1.13)-(1.14) 的单调递增稳态解 $ (\bar{u}(x), \bar{q}(x)) := (\bar{u} (x),-\frac{{\rm d} \bar{u}(x)}{{\rm d} x}) $, 我们不需要假设稳态解的强度 $ \delta :=|u_+ - u_b| $ 充分小; 但对于单调递减稳态解, 我们需要进一步假设其强度 $ \delta :=|u_b - u_+| $ 充分小.

本文大纲如下.

在第 2 节中, 我们给出所研究初边值问题的解的局部存在性. 我们将利用 Friedrichs[29,30] 等获得的关于正对称系统或具有合适边界条件的一阶双曲系统初边值问题适定性方面已完善的结果. 然后, 我们可以得到本文所需的局部存在性结果. 此外, 我们给出半空间中的庞加莱型不等式, 这些不等式将在第 3 节和第 4 节证明稳态解的渐近稳定性时使用.

在第 3 节中, 我们使用延拓性证明和 $ L^2 $-能量方法证明单调递增稳态解的渐近稳定性. 证明的关键点是构造人工热通量的适当修正函数, 使得重构的初边值问题的适定性可以在 Sobolev 空间的框架下研究.

在第 4 节中, 我们使用延拓性证明和 $ L^2 $-能量方法证明单调递减稳态解的渐近稳定性. 第 2 节中建立的半空间庞加莱型不等式起着关键作用.

$\textbf{符号说明}$ 本文中, $ C>0 $ 表示一个通用的正常数, 它独立于 $ t $, $ x $, 但可能逐行变化. 我们总是用 $ C $ 代替这样的常数而不引起歧义, 并用 $ C $ 表示它们中最大的那个. $ 0<\epsilon\ll1 $ 表示一个充分小的常数, 它独立于 $ t $, $ x $. 类似地, 在不同不等式的条件中可能需要不同的小常数, 尽管它们的值可能逐行变化, 我们总是用 $ \epsilon $ 代替这样的常数而不引起歧义, 并用 $ \epsilon $ 表示它们中最小的那个.

对于函数空间, $ L^q\left(\mathbb{R}^+\right) $ (或简写为 $ L^q $) $ \left(1\leq q\leq \infty\right) $ 表示 $ \mathbb{R}^+ $ 上通常的 Lebesgue 可积空间, 其范数为 $ \|\cdot\|_{L^q\left(\mathbb{R}^+\right)} $ (或 $ \|\cdot\|_{L^q} $), 而 $ H^k\left(\mathbb{R}^+\right) $ (或 $ H^k $) 表示通常的 Sobolev 空间, 其范数为 $ \|{\cdot}\|_{H^k\left(\mathbb{R}^+\right)} $ (或 $ \|{\cdot}\|_{H^k} $ ); $ \|\cdot\|_{L^q(wd\mathbf{x})} $ 表示在加权函数 $ w $ 下的 $ L^q $ 范数. 我们用 $ C^j(I; H^k\left(\mathbb{R}^+\right)) $ 表示在区间 $ I $ 上取值于 $ H^k\left(\mathbb{R}^+\right) $ 的 $ j $ 阶连续可微函数空间, $ L^{p}(I; H^k\left(\mathbb{R}^+\right)) $ 表示在区间 $ I $ 上取值于 $ H^k\left(\mathbb{R}^+\right) $ 的 $ p $ 次幂可积函数空间. 为简单起见, 我们用 $ \|\cdot\|_{\infty} $ 表示 $ L^{\infty}\left([T]\times\mathbb{R}^+\right) $ 中的范数, 其中 $ T>0 $ 是某个给定的正常数, $ \|\cdot\| $ 和 $ \|\cdot\|_k $ 分别用于表示范数 $ \|\cdot\|_{L^2\left(\mathbb{R}^+\right)} $ 和范数 $ \|{\cdot}\|_{H^k\left(\mathbb{R}^+\right)} $.

2 初边值问题 (1.9)-(1.11) 的局部可解性及半空间中的庞加莱型不等式

在本节中, 我们将给出满足 Cattaneo 定律的双曲方程初边值问题解的局部存在性定理.

首先, 我们定义稳态解 $ (\bar{u}(x),\bar{q}(x)) $ 的扰动函数 $ (v(t,x),p(t,x)) $ 如下

${\bf定义2.1}$ 令 $ (\bar{u}(x),\bar{q}(x)) $ 是满足非线性两点边值问题 (1.13)-(1.14) 的稳态解, $ \tilde{q}(t, x) $ 是由定义1.2定义的修正函数. 取

$\begin{equation} v(t,x)=u(t,x)-\bar{u}(x),\quad p(t,x)=q(t,x)-\bar{q}(x)-\tilde{q}(t,x)=q(t,x)+\bar{u}'(x)-\tilde{q}(t,x), \end{equation}$

我们称 $ (v(t,x),p(t,x)) $ 为稳态解的扰动.

满足 Cattaneo 定律的双曲方程初边值问题解的局部存在性定理叙述如下

${\bf引理2.1}$ 存在仅依赖于 $ \|(v_0,p_0)\|^2_{H^2(\mathbb{R}^+)} $ 的 $ t_0 > 0 $, 使得具有相容性条件 (1.12) 的初边值问题 (1.9)-(1.11) 在 $ [t_0] $ 上存在唯一解 $ (u(t,x),q(t,x)) $ 满足 $ (u(t,x)-\bar{u}(x),q(t,x)-\bar{q}(x)-\tilde{q}(0, x))\in \bigcap\limits_{j=0}^{1} C^j([t_0];H^{2-j}(\mathbb{R^+})) $ 且满足

$\begin{equation}\left\|\frac{\partial^{j}(v(t), p(t))}{\partial t^{j}}\right\|_{H^{2-j}\left(\mathbb{R}^{+}\right)}^{2} \leq 2\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{H^{2}\left(\mathbb{R}^{+}\right)}^{2}, \quad j=0,1.\end{equation}$

根据上述定义, 可以直接得到

$\begin{equation} u(t,x)=\bar{u}(x)+v(t,x),\quad q(t,x)=\bar{q}(x)+\tilde{q}(t,x)+p(t,x)=-\bar{u}'(x)+\tilde{q}(t,x)+p(t,x). \end{equation}$

利用 (1.9), (1.13) 式和 (1.15)式, $ (v(t,x),p(t,x)) $ 满足以下方程组

$\begin{equation}\label{2.4} \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial v}{\partial t}+f'(v+\bar{u})\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial p}{\partial x}=-(f'(v+\bar{u})-f'(\bar{u}))\frac{{\rm d} \bar{u}}{{\rm d} x}-\frac{\partial \tilde{q}}{\partial x}, \\ \frac{\partial p}{\partial t}+\frac{\partial v}{\partial x}+p=0,\end{array}\right. \end{equation}$

其初值条件为

$\begin{equation}\label{2.5} \begin{aligned} &(v(0,x),p(0,x))=(u_0(x)-\bar{u}(x),q_0(x)-\bar{q}(x)-\tilde{q}(0,x)):=(v_0(x),p_0(x)),\quad x\geq0,\\ &\lim_{x \rightarrow +\infty}(v_0(x),p_0(x))=(0,0). \end{aligned} \end{equation}$

边界条件和远场条件如下

$\begin{equation}\label{2.6} \begin{aligned} &v(t,0)=0, t \geq 0,\\ &\lim_{x \rightarrow +\infty}(v(t,x),p(t,x))=(0,0). \end{aligned} \end{equation}$

此外, 它们满足相容性条件

$\begin{aligned} &v_0(0)=0,\\ &f^{\prime}\left(u_{b}\right) \frac{{\rm d} v_{0}(0)}{{\rm d} x}+\frac{{\rm d} p_{0}(0)}{{\rm d} x}=0. \end{aligned}$

由此可得, 如果我们能够证明由非线性两点边值问题 (1.13)-(1.14) 确定的稳态解的存在性以及扰动方程组初边值问题 (2.4)-(2.6) 的局部可解性, 那么就证明了满足 Cattaneo 定律的双曲方程初边值问题(1.9)-(1.11) 解的局部存在性, 即引理 2.1.

接下来, 我们将给出满足初边值问题 (2.4)-(2.6) 的稳态解扰动的局部存在性, 即引理 2.2.

2.1 初边值问题 (2.4)-(2.6) 的局部可解性

注意到初边值问题 (2.4)-(2.6) 是对称双曲方程组的初边值问题, 该问题解的存在性可以通过标准理论获得, 详见文献 [29-33]及其参考文献. 因此, 我们将在本文中省略证明, 仅给出引理. 初边值问题(2.4)-(2.6) 解的局部存在性定理如下.

${\bf引理2.2}$ 存在仅依赖于 $ \|(v_0,p_0)\|^2_{H^2(\mathbb{R}^+)} $ 的 $ t_0 > 0 $, 使得具有相容性条件 (2.7) 的初边值问题 (2.4)-(2.6) 在 $ [t_0] $ 上存在唯一解 $ (v(t, x),p (t,x))\in \bigcap\limits_{j=0}^{1} C^j([t_0];H^{2-j}(\mathbb{R^+})) $ 且满足

$\begin{equation} \left\|\frac{\partial^{j}(v(t), p(t))}{\partial t^{j}}\right\|_{H^{2-j}\left(\mathbb{R}^{+}\right)}^{2} \leq 2\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{H^{2}\left(\mathbb{R}^{+}\right)}^{2}, \quad j=0,1. \end{equation} $

2.2 半空间中的庞加莱型不等式

这里我们给出半空间中的庞加莱型不等式, 它将在第 3 节和第 4 节的证明中起关键作用.

${\bf引理2.3}$ 假设 $ \Omega \subset \{\mathbf{x} = (x_1,x_2,\cdots,x_N)\in \mathbb{R}^N|0\leq x_N <+\infty \} $, 若满足 $ \int_0^{+\infty}w(\mathbf{x}){\rm d} x_N $ 有界的 $ w(\mathbf{x})>0 $ 有对任何满足 $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $ 的正实数 $ p $ 和 $ q $, $ \int_0^{+\infty}x_N^{\frac{q}{p}}w(\mathbf{x}){\rm d}x_N $ 有界, 那么对于任意 $ u \in W_0^{1,q}(\Omega) $,

$\begin{equation} \|u\|_{L^q(wd\mathbf{x})} \leq C\|\nabla u\|_{L^q}, \end{equation}$

其中 $ C $ 仅依赖于 $ \int_0^{+\infty}x_N^{\frac{q}{p}}w(\mathbf{x}){\rm d}x_N $.

${\bf证}$ 我们只需对 $ u \in C_0^{\infty}(\Omega) $ 证明结论成立. 将 $ u(\mathbf{x}) $ 从 $ \Omega $ 自然零延拓到 $ \{\mathbf{x} = (x_1,x_2,\cdots,$$x_N)\in \mathbb{R}^N|0\leq x_N <+\infty \} $. 注意到

$ |w(\mathbf{x})u(x_1,\cdots,x_N)|=\left|w(\mathbf{x})\int_0^{x_N}\frac{\partial u(x_1,\cdots,x_{N-1},\xi)}{\partial \xi}{\rm d}\xi\right|. $

因此

$ |w(\mathbf{x})u(\mathbf{x})| \leq w(\mathbf{x})\int_0^{\infty}|\nabla u(\mathbf{x})|{\rm d}x_N. $

将上述不等式关于 $ x_N $ 在 $ [0, +\infty) $ 上积分, 我们得到

$ \int_0^{+\infty}|u(\mathbf{x})|w(\mathbf{x}){\rm d}x_N \leq \int_0^{+\infty}|\nabla u(\mathbf{x})|{\rm d}x_N \int_0^{+\infty}w(\mathbf{x}){\rm d}x_N \leq C\int_0^{+\infty}|\nabla u(\mathbf{x})|{\rm d}x_N. $

再将上述不等式关于 $ x_1,\cdots, x_{N-1} $ 在 $ \mathbb{R}^{N-1} $ 上积分, 有

$ \int_{\Omega}|u(\mathbf{x})|w(\mathbf{x}){\rm d} \mathbf{x} \leq C\int_{\Omega}|\nabla u(\mathbf{x})|{\rm d} \mathbf{x}. $

这就证明了引理 2.3在 $ q = 1 $ 时成立.

对于 $ 1 < q < +\infty $ 的情形, 由 H$ \ddot{\rm o} $lder 不等式,

$ |w(\mathbf{x})u(\mathbf{x})^q| \leq w(\mathbf{x})\left(\int_0^{x_N} |\nabla u(\mathbf{x})|{\rm d}x_N \right)^q \leq w(\mathbf{x})x_N^{\frac{q}{p}}\int_0^{+\infty}|\nabla u(\mathbf{x})|^q{\rm d}x_N, $

其中 $ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 $. 将上述不等式关于 $ x_N $ 在 $ [0, +\infty) $ 上积分, 我们得到

$ \int_0^{+\infty}|u(\mathbf{x})|^q w(\mathbf{x}){\rm d}x_N \leq \int_0^{+\infty}|\nabla u(\mathbf{x})|^q{\rm d}x_N \int_0^{+\infty}w(\mathbf{x})x_N^{\frac{q}{p}}{\rm d} x_N \leq C\int_0^{+\infty}|\nabla u(\mathbf{x})|^q{\rm d}x_N. $

再将上述不等式关于 $ x_1,\cdots, x_{N-1} $ 在 $ \mathbb{R}^{N-1} $ 上积分, 有

$ \int_{\Omega}|u(\mathbf{x})|^q w(\mathbf{x}){\rm d} \mathbf{x} \leq C\int_{\Omega}|\nabla u(\mathbf{x})|^q {\rm d} \mathbf{x}. $

利用上面证明的庞加莱型不等式, 我们可以得到以下引理

${\bf引理2.4}$ 若 $ xw(x)\in L^1(0,+\infty) $, $ u \in H_0^1(0,+\infty) $, 那么

$ \int_0^{+\infty}|wu^2|{\rm d}x \leq C \int_0^{+\infty}u_x^2{\rm d}x, $

其中 $ C $ 仅依赖于 $ \|\cdot w(\cdot )\|_{L^1(0,+\infty)} $.

${\bf引理2.5}$ 若 $ w(x)\in L^1(0,+\infty) $, $ xw(x)\in L^1(0,+\infty) $, $ u \in H_0^1(0,+\infty) $, 有

$ \int_0^{+\infty}|wu|{\rm d}x \leq C+C \int_0^{+\infty}u_x^2{\rm d}x, $

这里用到了 $ u\leq \frac{1}{2}(1+u^2) $, 其中 $ C $ 仅依赖于 $ \|w\|_{L^1(0,+\infty)} $ 和 $ \|\cdot w(\cdot )\|_{L^1(0,+\infty)} $.

上面两个引理中的不等式将在第 3 节和第 4 节中反复应用.

3 单调递增稳态解的渐近稳定性: 定理1.1的证明

根据我们在第 2 节的讨论, 为了证明定理1.1, 我们只需要证明以下引理

${\bf引理3.1}$ 假设 $ u_b<u_+ $, 令 $ (\bar{u},\bar{q}) $ 为稳态波, 并假设

$\begin{equation} ((v_0(x),p_0(x))\in H^2(\mathbb{R^+}), \end{equation}$

且定义 $ E_0:=\|({v}_0,{p}_0)(x)\|_{H^2(\mathbb{R^+})} $. 如果存在一个充分小的正常数 $ 0<\epsilon\ll1 $, 使得 $ |q_+|+E_0^2\leq\epsilon $, 则具有相容性条件 (2.7)的初边值问题 (2.4)-(2.6) 存在唯一全局解

$ (v(t, x),p (t,x))\in \bigcap\limits_{j=0}^{1} C^j([t_0];H^{2-j}(\mathbb{R^+})). $

此外, 解 $ (v(t, x),p (t,x)) $ 在 $ t\rightarrow\infty $ 时于 $ x\in[0,\infty) $ 上一致衰减到 $ (0,0) $, 即

$\begin{equation} \lim_{t \rightarrow +\infty}\sup_{x \in \mathbb{R}^+} \left| \frac{\partial^k(v(t,x),p(t,x))}{\partial x^k}\right|=0, k=0,1. \end{equation} $

我们将使用延拓性证明来证明上述引理, 即我们通过方程解的局部存在性构造适当的先验假设, 结合先验估计, 从而将局部解逐步延拓到全局解. 满足 Cattaneo 定律的双曲方程初边值问题 (2.4)-(2.6) 解的局部存在性的引理参见第 2 节, 因此我们只需要证明先验估计并构造适当的先验假设.

为了得到先验估计, 我们引入能量范数 $ E(t) $ 如下

$\begin{equation}\label{energy norm and dissipation norm} \begin{aligned} E(t)^2:=&\sup_{0 \leq \tau \leq t}\sum_{0\leq i+j\leq2}\left(\left\|\partial_x^i\partial_t^j v(\tau)\right\|_{L^2(\mathbb{R^+})}^2+\left\|\partial_x^i\partial_t^j p(\tau)\right\|_{L^2(\mathbb{R^+})}^2\right)\\ &+\sum_{1\leq i+j\leq2}\int_{0}^{t}\left\|\partial_x^i\partial_t^j v_x(\tau)\right\|_{L^2(\mathbb{R^+})}^{2}{\rm d}\tau +\sum_{0\leq i+j\leq2}\int_{0}^{t}\|\partial_x^i\partial_t^j p(\tau)\|_{L^2(\mathbb{R^+})}^{2}{\rm d}\tau.\\ \end{aligned} \end{equation}$

关于先验估计的主要结果陈述如下.

${\bf引理3.2}$ 假设 $ u_b<u_+ $, 令 $ (v(t,x),p(t,x)) $ 是 $ [T] \times \mathbb{R}^+ $ 上具有相容性条件 (2.7)的初边值问题 (2.4)-(2.6) 的一个解, 其正则性与引理3.1中相同. 则存在正常数 $ C $ 和 $ \varepsilon\ll1 $, 使得如果 $ |q_+|+E(T)^2\leq\varepsilon $, 则以下不等式成立

$\begin{equation} E(t)^2 \leq C(E(0)^2+|q_+|), \quad t \in [T]. \end{equation} $

现在我们使用引理 3.2来证明引理 3.1, 并将引理 3.2的证明放在下一小节.

${\bf证}$ [引理 3.1的证明] 首先, 我们证明引理3.1中的存在性结果.

根据引理2.2, 对于满足引理 3.1条件的给定 $ (v_0(x), p_0 (x)) $, 存在仅依赖于 $ \|(v_0, p_0)\|_{H^2 (\mathbb{R}^+)} $ 的常数 $ T_1 $, 使得初边值问题 (2.4)-(2.6) 在 $ [T_1] \times \mathbb{R}^+ $ 上存在唯一解, 并且由引理 3.2, 我们可以得到$ \|(v(t), p(t))\|_{H^2 (\mathbb{R}^+)} \leq C(E(0)^2+|q_+|), t \in [T_1]. $

现在取 $ (v(T_1, x), p(T_1, x)) $ 作为初值, 然后利用引理2.2 可知存在仅依赖于 $ \|(v(T_1), $$ p(T_1))\|_{H^2 (\mathbb{R}^+)} $ 的常数 $ T_2 $, 再由引理 3.2, 即 $ T_2 $ 仅依赖于 $ \|(v_0, p_0)\|_{H^2 (\mathbb{R}^+)} $ 和 $ q_+ $, 因此初边值问题 (2.4)-(2.6) 在 $ [T_1,T_1 + T_2] \times \mathbb{R}^+ $ 上存在唯一解.

重复上述过程. 对于任意 $ k \in \mathbb{N} $, 我们可以利用引理2.2 逐步将初边值问题 (2.4)-(2.6) 的解延拓到时间区间 $ [T_1 + kT_2] $, 从而我们证明了初边值问题 (2.4)-(2.6) 解的全局存在性.

其次, 我们证明引理 3.1 中的渐近稳定性结果.

由于此全局解对所有 $ t\geq0 $ 满足引理 3.2 中的能量估计, 我们令 $ F(t):=\|{v}_x(t)\|^2 $, 容易看出 $ F(t) \in L^1([0,+\infty)) $, 且 $ |F'(t)|\leq2\|{v}_x(t)\|\|{v}_{tx}(t)\|, $ 因此 $ F'(t) \in L^1([0,+\infty)) $, 于是有 $ F(t) \in W^{1,1}([0,+\infty)) $, 这表明如下收敛性

$\begin{equation*} F(t)=\|{v}_x(t)\|^2\rightarrow0\quad\text{当}\quad t\rightarrow\infty, \end{equation*}$

结合 Sobolev 嵌入定理, 有

$\begin{equation*} \begin{aligned} \|{v}(t)\|_{L^\infty(\mathbb{R^+})}\leq C\|{v}(t)\|^{\frac{1}{2}}\|{v}_x(t)\|^\frac{1}{2},\quad \|{v}_x(t)\|_{L^\infty(\mathbb{R^+})}\leq C\|{v}_x(t)\|^{\frac{1}{2}}\|{v}_{xx}(t)\|^\frac{1}{2}, \end{aligned} \end{equation*}$

这里我们使用了引理 3.2. 当 $ t\rightarrow\infty $ 时, $ \|{v}(t)\|_{W^{1,\infty}(\mathbb{R^+})}\rightarrow0 $. $ \|{p}(t)\|_{W^{1,\infty}(\mathbb{R^+})} $ 的收敛性可以类似地证明. 至此, 我们完成了引理 3.1 的证明.

在本节的剩余部分, 我们将证明引理 3.2. 为了使证明过程更清晰, 我们将证明分为以下三个部分. 首先, 我们将给出基本能量估计; 然后, 我们将给出高阶能量估计; 最后, 我们将证明引理 3.2 中的先验估计.

3.1 基本能量估计

首先, 我们给出基本能量估计.

${\bf引理3.3}$ 在引理 3.2 的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{equation}\label{3.5} \|({v}(t),{p}(t))\|^2+\int_{0}^{t}\Big(\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}(\tau)\|^2+\|{p}(\tau)\|^2\Big){\rm d}\tau\leq C\left(\|({v}_0,{p}_0)\|^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right). \end{equation}$

${\bf证}$ 将 (2.4) 式分别乘以 $ {v} $ 和 $ {p} $, 并将这两个方程相加. 直接计算表明

$\begin{equation*}\begin{split} & \left(\frac{1}{2}{v}^2+\frac{1}{2}{p}^2\right)_t+\left(\left(f\left({v}+\bar{u}\right)-f\left(\bar{u}\right)\right){v}-\int_{0}^{{v}}\left(f\left(y+\bar{u}\right)-f\left(\bar{u}\right)\right){\rm d}y+{v}{p}\right)_x\\ &\qquad\qquad\qquad~~+\left(f\left({v}+\bar{u}\right)-f\left(\bar{u}\right)-f'\left(\bar{u}\right){v}\right)\bar{u}_x+{p}^2=-{v}\overline{q}_x. \end{split}\end{equation*}$

将上述恒等式在 $ \mathbb{R}_+ \times (0,t) $ 上积分, 并结合以下不等式

$\begin{align*} & (f(v(t,0)+\bar{u}(0))-f(\bar{u}(0)))v(t,0)-\int_0^{v(t,0)}(f(y+\bar{u}(0))-f(\bar{u}(0))) {\rm d} y+v(t,0)p(t,0)=0, \\ & \left(f\left({v}+\bar{u}\right)-f\left(\bar{u}\right)-f'\left(\bar{u}\right){v}\right)\bar{u}_x \ge c\bar{u}_x{v}^2, \end{align*}$

以及

$\begin{equation*} \int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|{v}\tilde{q}_x\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\leq C|q_+|+C|q_+|\int_{0}^{t}\left\|{v}_{x}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau, \end{equation*}$

可得

$\begin{equation*} \|({v}(t),{p}(t))\|^2+\int_{0}^{t}\Big(\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}(\tau)\|^2+\|{p}(\tau)\|^2\Big){\rm d}\tau\leq C\left(\|({v}_0,{p}_0)\|^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right). \end{equation*}$

3.2 高阶能量估计

本部分推导高阶能量估计. 首先, 我们将关注 $ \|({v}_t(t),{p}_t(t))\| $. 在此之前, 我们引入一个待定的变量 $ \varepsilon_0 \in (0,1) $.

${\bf引理3.4}$ 在引理 3.2 的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{equation}\label{3.6} \begin{aligned} &\|({v}_t(t),{p}_t(t))\|^2+\int_{0}^{t}\Big(\left\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_t(\tau)\right\|^2+\|{p}_t(\tau)\|^2\Big){\rm d}\tau\\ \leq&C(\|({v}_{0t},{p}_{0t})\|^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2)+\varepsilon_0 E(t)^2+\frac{C}{\varepsilon_0}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{aligned} \end{equation}$

${\bf证}$ 将 (2.4)式对 $ t $ 求导, 然后分别乘以 $ {v}_{t} $ 和 $ {p}_{t} $, 并将这两个方程相加. 直接计算表明 \begin{equation*} \left(\frac{1}{2}{v}_t^2+\frac{1}{2}{p}_t^2\right)_t+\left(f'\left({v}+\bar{u}\right)\frac{1}{2}{v}_t^2+{v}_t{p}_t\right)_x+ \frac{1}{2}f"\left({v}+\bar{u}\right)\bar{u}_x{v}_t^2+{p}_t^2=- \frac{1}{2}f"\left({v}+\bar{u}\right){v}_t^2{v}_x-{v}_t\tilde{q}_{xt}. \end{equation*} 将上述恒等式在 $ \mathbb{R}_+ \times (0,t) $ 上积分, 并结合 $ f'(v(t,0)+\bar{u}(0))\frac{1}{2}v_t(t,0)^2+v_t(t,0)p_t(t,0)=0, $ 可得

$\begin{equation*}\begin{split} &~~~~\left\|{v}_t(t)\right\|^2+\|{p}_t(t)\|^2+\int_{0}^{t}\left\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_t(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+\int_{0}^{t}\|{p}_t(\tau)\|^2{\rm d}\tau \\ &\leq C\left(\left\|{v}_{0t}\right\|^2+\|{p}_{0t}\|^2+\int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|{v}_t^2{v}_x\right| {\rm d}x{\rm d}\tau+\int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|{v}_t\tilde{q}_{xt}\right| {\rm d}x{\rm d}\tau\right). \end{split}\end{equation*}$

注意到

$\begin{equation*} \begin{aligned} \int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|{v}_t^2{v}_x\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\leq&\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^\frac{1}{2}\left\|{v}_{x}(\tau)\right\|^\frac{1}{2}\left\|{v}_{t}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\\ \leq&\varepsilon_0\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+\frac{C}{\varepsilon_0}\sup_{0\leq\tau\leq t}\left(\left\|{v}_x(\tau)\right\|^\frac{2}{3}\left\|{v}_t(\tau)\right\|^\frac{2}{3}\right)\int_{0}^{t}\left\|{v}_t(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau, \end{aligned} \end{equation*}$

以及由引理2.5

$\begin{equation*} \int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|{v}_t\tilde{q}_{xt}\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\leq C|q_+|+C|q_+|\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xt}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau. \end{equation*}$

最后得到

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\|({v}_t(t),{p}_t(t))\|^2+\int_{0}^{t}\Big(\left\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_t(\tau)\right\|^2+\|{p}_t(\tau)\|^2\Big){\rm d}\tau\\ \leq&C(\|({v}_{0t},{p}_{0t})\|^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2)+\varepsilon_0 E(t)^2+\frac{C}{\varepsilon_0}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{aligned} \end{equation*}$

接下来, 考虑 $ \int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau $.

${\bf引理3.5}$ 在引理 3.2 的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{equation}\label{3.7} \int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\leq C\left(\|({v}_{0},{p}_{0})\|^2+\|({v}_{0t},{p}_{0t})\|^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right)+C\varepsilon_0 E(t)^2+\frac{C}{\varepsilon_0}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{equation}$

${\bf证}$ 注意到 $ {v}_x{p}_t+{v}_x^2+{v}_x{p}=0 $, 然后利用 (3.5) 和 (3.6) 式得到证明.

下面估计 $ \left\|({v}_x(t),{p}_x(t))\right\| $.

${\bf引理3.6}$ 在引理 3.2 的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{equation}\label{3.8} \begin{aligned} &\left\|({v}_x(t),{p}_x(t))\right\|^2+\int_{0}^{t}\Big(\left\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_x(\tau)\right\|^2+\left\|{p}_x(\tau)\right\|^2\Big){\rm d}\tau\\ \leq&\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}\left(\left\|({v}_{0},{p}_{0})\right\|_1^2+\|({v}_{0t},{p}_{0t})\|^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right)+C\sqrt{\varepsilon_0} E(t)^2+\frac{C}{\varepsilon_0^{3/2}}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{aligned} \end{equation}$

${\bf证}$ 将方程 (2.4)对 $ x $ 求导, 然后分别乘以 $ {v}_{x} $ 和 $ {p}_{x} $, 并将这两个方程相加. 直接计算得到

$\begin{equation*}\begin{split} &\left(\frac{1}{2}{v}_x^2+\frac{1}{2}{p}_x^2\right)_t+\left(\left(f'\left({v}+\bar{u}\right)-f'\left(\bar{u}\right)\right)\bar{u}_x{v}_x+\frac{1}{2}f'\left({v}+\bar{u}\right){v}_x^2+{p}_x{v}_x\right)_x\\ &-\left(f'\left({v}+\bar{u}\right)-f'\left(\bar{u}\right)\right)\bar{u}_x{v}_{xx}+\frac{1}{2}f"\left(\bar{u}+{v}\right)\left({v}_x+\bar{u}_x\right){v}_x^2+{p}_x^2=-{v}_x\tilde{q}_{xx}. \end{split}\end{equation*}$

然后, 将其在 $ \mathbb{R}_+ \times (0,t) $ 上积分得到

$\begin{equation*}\begin{split} &~~~~\left\|{v}_x(t)\right\|^2+\left\|{p}_x(t)\right\|^2+\int_{0}^{t}\left\|{p}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+\int_{0}^{t}\left\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau \\ &\leq C\left(\left\|{v}_{0x}\right\|^2+\left\|{p}_{0x}\right\|^2+\int_{0}^{t}\left|\frac{1}{2}f'\left(u_b\right){v}_x^2(\tau,0)+{p}_x(\tau,0){v}_x(\tau,0)\right|{\rm d}\tau\right)\\ &\quad+C\left(\int_{0}^{t}\int_{0}^{\infty}\left|\bar{u}_{x}{v}{v}_{xx}\right|{\rm d}x{\rm d}\tau+\int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|{v}_x^3\right|{\rm d}x{\rm d}\tau+\int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|{v}_x\tilde{q}_{xx}\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\right). \end{split}\end{equation*}$

注意到边界条件和相容性条件意味着 $ f'\left(u_b\right){v}_x(t,0)+{p}_x(t,0)=0. $ 事实上, 有如下估计

$\begin{equation*} \begin{aligned} \int_{0}^{t}\left|\frac{1}{2}f'\left(u_b\right){v}_x^2(\tau,0)+{p}_x(\tau,0){v}_x(\tau,0)\right|{\rm d}\tau\leq& C\int_{0}^{t}\left|{v}_x(\tau,0)\right|^2{\rm d}\tau\\ \leq&\sqrt{\varepsilon_0}\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}C\int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau, \end{aligned} \end{equation*}$
$\begin{align*} & \int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|\bar{u}_{x}{v}{v}_{xx}\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\leq\sqrt{\varepsilon_0}\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}\int_{0}^{t}\left\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau, \\[2mm] & \int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|{v}_x^3\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\leq\sqrt{\varepsilon_0}\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}\sup_{0\leq\tau\leq t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^\frac{4}{3}\int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau, \end{align*}$

再有引理2.5得

$\begin{equation*} \int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|{v}_x\tilde{q}_{xx}\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\leq C|q_+|+C|q_+|\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau. \end{equation*}$

最后, 我们结合上述不等式得到

$\begin{align*} &\left\|({v}_x(t),{p}_x(t))\right\|^2+\int_{0}^{t}\Big(\left\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_x(\tau)\right\|^2+\left\|{p}_x(\tau)\right\|^2\Big){\rm d}\tau \\ \leq& C\left(\left\|{v}_{0x}\right\|^2+\left\|{p}_{0x}\right\|^2\right)+3\sqrt{\varepsilon_0}\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}\int_{0}^{t}\left\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\\ &+\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}\int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+\frac{C}{\varepsilon_0}\sup_{0\leq\tau\leq t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^\frac{4}{3}\int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+C|q_+|+C|q_+|\int_{0}^{t}\left\|{v}_{x}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\\ \leq&\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}\left(\left\|({v}_{0},{p}_{0})\right\|_1^2+\|({v}_{0t},{p}_{0t})\|^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right)+C\sqrt{\varepsilon_0}E(t)^2+\frac{C}{\varepsilon_0^{3/2}}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{align*}$

然后我们估计 $ \|({v}_{tt}(t),{p}_{tt}(t)\| $.

${\bf引理3.7}$ 在引理 3.2 的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{equation}\label{3.9} \begin{aligned} &\|({v}_{tt}(t),{p}_{tt}(t)\|^2+\int_{0}^ {t}\Big(\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_{tt}(\tau)\|^2+\|{p}_{tt} (\tau)\|^2\Big){\rm d}\tau\\ \leq&C\left(\|({v}_{0tt},{p}_{0tt})\|^2+E(t)^3+E(t)^4+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right). \end{aligned} \end{equation}$

${\bf证}$ 将方程 (2.4) 对 $ t $ 求两次导数, 然后分别乘以 $ {v}_{tt} $ 和 $ {p}_{tt} $, 并将这两个方程相加. 直接计算有

$\begin{equation*}\begin{split} &\left(\frac{1}{2}{v}_{tt}^2+\frac{1}{2}{p}_{tt}^2\right)_t+ \left(f'\left({v}+\bar{u}\right)\frac{1}{2}{v}_{tt} ^2+{p}_{tt}{v}_{tt}\right)_x+ \frac{1}{2}f"\left({v}+ \bar{u}\right)\bar{u}_x{v}_{tt}^2+{p}_{tt}^2\\ =&-{v}_{tt}\left(f"'\left({v}+\bar{u}\right){v}_t^2{v}_x+ f"\left({v}+\bar{u}\right){v}_{tt}{v}_x+f"\left({v}+\bar {u}\right){v}_t{v}_{xt}\right)\\ &-f"\left({v}+\bar{u}\right){v}_t{v}_{xt}{v}_{tt}-f"\left({v}+ \bar{u}\right){v}_x\frac{1}{2}{v}_{tt}^2- f"'\left ({v}+\bar{u}\right)\bar{u}_x{v}_t^2{v}_ {tt}-{v}_{tt}\tilde{q}_{xtt}. \end{split}\end{equation*}$

注意到由边界条件有 $ f'(v(t,0)+\bar{u}(0))\frac{1}{2}v_{tt}(t,0)^2+p_{tt}(t,0)v_{tt}(t,0)=0, $ 我们将上述方程在 $ \mathbb{R}_+ \times (0,t) $ 上积分得到

$\begin{equation*}\begin{split} &\left\|{v}_{tt}(t)\right\|^2+\|{p}_{tt}(t)\|^2+\int_{0}^ {t}\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_{tt}(\tau)\|^2+\|{p}_{tt} (\tau)\|^2{\rm d}\tau \\ \leq& C\left(\left\|{v}_{0tt}\right\|^2+\|{p}_ {0tt}\|^2+\int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}|{v}_t^2{v}_x {v}_{tt}|{\rm d}x{\rm d}\tau+\int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}|{v}_{tt} ^2{v}_x|{\rm d}x{\rm d}\tau\right.\\ &+\int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}|{v}_t{v}_ {xt}{v}_{tt}|{\rm d}x{\rm d}\tau+\int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left| {v}_x{v}_{tt}^2\right|{\rm d}x{\rm d}\tau \\ &\left.+\int_{0}^{t}\int_{0}^ {+\infty}\left|\bar{u}_x{v}_t^2{v}_{tt}\right|{\rm d}x{\rm d}\tau+ \int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|{v}_{tt}\tilde{q}_ {xtt}\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\right). \end{split}\end{equation*}$

上述不等式右侧的各项可以类似于之前引理的方式进行估计. 最终, 有

$\begin{align*} &\|({v}_{tt}(t),{p}_{tt}(t)\|^2+\int_{0}^ {t}\Big(\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_{tt}(\tau)\|^2+\|{p}_{tt} (\tau)\|^2\Big){\rm d}\tau \\ \leq& C\left(\left\|{v}_{0tt}\right\|^2+\|{p}_ {0tt}\|^2+\int_{0}^{t}\left\|{v}_t(\tau)\right\|\left\|{v}_ {xt}(\tau)\right\|\left\|{v}_x(\tau)\right\|\left\|{v}_{tt} (\tau)\right\|{\rm d}\tau \right.\\ &+\int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|\left \|{v}_{xx}(\tau)\right\|\left\|{v}_{tt}(\tau)\right\|{\rm d}\tau+ \int_{0}^{t}\left\|{v}_t(\tau)\right\|^\frac{1}{2}\left\| {v}_{xt}(\tau)\right\|^\frac{1}{2}\left\|{v}_{xt} (\tau)\right\|\left\|{v}_{tt}(\tau)\right\|{\rm d}\tau \\ &\left.+\int_{0}^{t}\left\|{v}_t(\tau)\right\|\left\|{v}_{xt}(\tau)\right\| \left\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_t(\tau)\right\|\left\|\sqrt {\bar{u}_x}{v}_{tt}(\tau)\right\|{\rm d}\tau\right)+C|q_+|+C|q_+| \int_{0}^{t}\left\|{v}_{tt}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\\ \leq& C\left(\|({v}_{0tt},{p}_{0tt})\|^2+E(t)^3+E(t)^4+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right). \end{align*}$

由于估计的其余部分证明与前面的引理相似, 为简洁起见, 我们仅叙述下面的引理, 并省略其证明.

${\bf引理3.8}$ 在引理 3.2的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{aligned} \left\|v_{x t}(t)\right\|^{2} \leq & C\left(\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right. \\ & \left.+E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \varepsilon_{0} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{t}\left\|v_{x t}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \leq & C\left(\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right. \\ & \left.+E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \varepsilon_{0} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \left\|p_{x t}(t)\right\|^{2} \leq & C\left(\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}+E(t)^{3}+E(t)^{4}\right) \\ & +C \varepsilon_{0} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}} E(t)^{\frac{10}{3}}, \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{t}\left\|p_{x t}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \leq & C\left(\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}+E(t)^{3}+E(t)^{4}\right) \\ & +C \varepsilon_{0} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \left\|v_{x x}(t)\right\|^{2} \leq & \frac{C}{\sqrt{\varepsilon_{0}}}\left(\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{1}^{2}+\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right) \\ & +C\left(E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \sqrt{\varepsilon_{0}} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}^{3 / 2}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \left\|p_{x x}(t)\right\|^{2} \leq & \frac{C}{\sqrt{\varepsilon_{0}}}\left(\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{1}^{2}+\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right) \\ & +C\left(E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \sqrt{\varepsilon_{0}} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}^{3 / 2}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{t}\left\|v_{x x}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \leq & \frac{C}{\sqrt{\varepsilon_{0}}}\left(\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{1}^{2}+\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right) \\ & +C\left(E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \sqrt{\varepsilon_{0}} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}^{3 / 2}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{t}\left\|p_{x x}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \leq & \frac{C}{\sqrt{\varepsilon_{0}}}\left(\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{1}^{2}+\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right) \\ & +C\left(E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \sqrt{\varepsilon_{0}} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}^{3 / 2}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\int_{0}^{t}\left\|v_{t}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \leq \frac{C}{\sqrt{\varepsilon_{0}}}\left(\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{1}^{2}+\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right)+C \sqrt{\varepsilon_{0}} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}^{3 / 2}} E(t)^{\frac{10}{3}},$

以及

$\begin{aligned} \int_{0}^{t}\left\|v_{t t}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \leq & C\left(\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}+E(t)^{3}+E(t)^{4}\right) \\ & +C \varepsilon_{0} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$

3.3 引理 3.2 的证明

最后, 结合引理 3.3-3.8, 我们有

\begin{equation*} E(t)^2\leq \frac{C}{{\varepsilon_0}}\left(E(0)^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right)+C\sqrt{\varepsilon_0} E(t)^2+C\left(E(t)^3+E(t)^4\right)+\frac{C}{\varepsilon_0^{3/2}}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{equation*}

给定 $ \varepsilon_0 $ 使得 $ C\sqrt{\varepsilon_0}= \frac{1}{2}<1 $ 并令 $ \varepsilon $ 充分小, 满足 $ CE(0)^2\leq\varepsilon $, $ \left|q_+ \right|\leq\varepsilon $, 我们得到最终的结果

$\begin{equation*} E(t)^2\leq C(E(0)^2+\left|q_+\right|). \end{equation*}$

4 单调递减稳态解的渐近稳定性: 定理1.2的证明

根据我们在第 2 节的讨论, 为了证明定理1.2, 我们只需要证明以下引理

${\bf引理4.1}$ 假设 $ u_b>u_+ $, 令 $ (\bar{u},\bar{q}) $ 为稳态波, $ \delta := u_b - u_+ $, 并假设

$\begin{equation} (v_0(x),p_0(x))\in H^2(\mathbb{R^+}), \end{equation} $

且定义 $ E_0:=\|({v}_0,{p}_0)(x)\|_{H^2(\mathbb{R^+})} $. 如果存在一个充分小的正常数 $ 0<\epsilon\ll1 $, 使得 $ \delta+|q_+|+E_0^2\leq\epsilon $, 则具有相容性条件 (2.7)的初边值问题 (2.4)-(2.6) 存在唯一全局解

$ (v(t, x),p (t,x))\in \bigcap\limits_{j=0}^{1} C^j([t_0];H^{2-j}(\mathbb{R^+})). $

此外, 解 $ (v(t, x),p (t,x)) $ 在 $ t\rightarrow\infty $ 时于 $ x\in[0,\infty) $ 上一致衰减到 $ (0,0) $, 即

$\begin{equation} \lim_{t \rightarrow +\infty}\sup_{x \in \mathbb{R}^+} \left| \frac{\partial^k(v(t,x),p(t,x))}{\partial x^k}\right|=0, k=0,1. \end{equation} $

与上一节类似, 为了得到先验估计, 我们引入能量范数 $ E(t) $ 如下

$\begin{aligned} E(t)^2:=&\sup_{0 \leq \tau \leq t}\sum_{0\leq i+j\leq2}\left(\left\|\partial_x^i\partial_t^j v(\tau)\right\|_{L^2(\mathbb{R^+})}^2+\left\|\partial_x^i\partial_t^j p(\tau)\right\|_{L^2(\mathbb{R^+})}^2\right),\\ &+\sum_{1\leq i+j\leq2}\int_{0}^{t}\left\|\partial_x^i\partial_t^j v_x(\tau)\right\|_{L^2(\mathbb{R^+})}^{2}{\rm d}\tau +\sum_{0\leq i+j\leq2}\int_{0}^{t}\|\partial_x^i\partial_t^j p(\tau)\|_{L^2(\mathbb{R^+})}^{2}{\rm d}\tau.\\ \end{aligned}$

关于先验估计的主要结果陈述如下.

${\bf引理4.2}$ 假设 $ u_b>u_+ $, 令 $ (v(t,x),p(t,x)) $ 是 $ [T] \times \mathbb{R}^+ $ 上具有相容性条件 (2.7)的初边值问题 (2.4)-(2.6) 的一个解, 其正则性与引理 4.1中相同. 则存在正常数 $ C $ 和 $ \varepsilon\ll1 $, 使得若 $ \delta+|q_+|+E(T)^2\leq\varepsilon $, 则以下不等式成立

$\begin{equation} E(t)^2\leq C(E(0)^2+|q_+|+\delta), \quad t \in [T]. \end{equation} $

我们可以利用引理 4.2去证明引理 4.1, 由于证明和引理 3.1 类似, 我们在此省略其证明. 在本节的剩余部分, 我们将证明引理 4.2. 为了使证明过程更清晰, 我们将证明分为以下三个部分. 首先, 我们将给出基本能量估计; 然后, 我们将给出高阶能量估计; 最后, 我们将证明引理 4.2中的先验估计.

4.1 基本能量估计

首先, 我们给出基本能量估计.

${\bf引理4.3}$ 在引理 4.2 的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{equation}\label{4.5} \|({v}(t),{p}(t))\|^2+\int_{0}^{t}\|{p}(\tau)\|^2{\rm d}\tau\leq C\left(\|({v}_0,{p}_0)\|^2+\delta E(t)^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right). \end{equation}$

${\bf证}$ 证明中的主要内容可以参照引理3.3, 其中有一项不同, 通过利用引理 2.4, 可以估计如下

$\begin{equation*} \begin{aligned} \int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|\left(f\left({v}+\bar{u}\right)-f\left(\bar{u}\right)-f'\left(\bar{u}\right){v}\right)\bar{u}_x\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\leq\,&\int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|\bar{u}_x{v}(\tau)\right|^2{\rm d}x{\rm d}\tau\\ \leq\,& C\delta\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau. \end{aligned} \end{equation*}$

最终可以得到

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\|({v}(t),{p}(t))\|^2+\int_{0}^{t}\|{p}(\tau)\|^2{\rm d}\tau\\ \leq\,& C\left(\|{v}_0\|^2+\|{p}_0\|^2\right)+C\delta\int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+C|q_+|+C|q_+|\int_{0}^{t}\left\|{v}_{x}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\\ \leq\,&C\left(\|({v}_0,{p}_0)\|^2+\delta E(t)^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right). \end{aligned} \end{equation*}$

4.2 高阶能量估计

本部分推导高阶能量估计. 首先, 考虑 $ \|({v}_t(t),{p}_t(t))\| $. 与第 3 节类似, 我们引入待定变量 $ \varepsilon_0 \in (0,1) $.

${\bf引理4.4}$ 在引理 4.2 的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{equation}\label{4.6} \begin{aligned} &\|({v}_t(t),{p}_t(t))\|^2+\int_{0}^{t}\|{p}_t(\tau)\|^2{\rm d}\tau\\ \leq&C(\|({v}_{0t},{p}_{0t})\|^2+\delta E(t)^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2)+\varepsilon_0 E(t)^2+\frac{C}{\varepsilon_0}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{aligned} \end{equation}$

${\bf证}$ 证明中的主要内容可以参照引理 3.4, 其中有一项不同, 通过利用引理 2.4, 可以估计如下

$\begin{equation*} \begin{aligned} \int_{0}^{t}\int_{0}^{\infty}\left|\bar{u}_x{v}_t^2\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\leq&C\delta\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xt}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau. \end{aligned} \end{equation*}$

从而得到

$\begin{equation*} \begin{aligned} &\|({v}_t(t),{p}_t(t))\|^2+\int_{0}^{t}\|{p}_t(\tau)\|^2{\rm d}\tau \\ \leq& C\left(\left\|{v}_{0t}\right\|^2+\|{p}_{0t}\|^2\right)+\varepsilon_0\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+\frac{C}{\varepsilon_0}\sup_{0\leq\tau\leq t}\left(\left\|{v}_x(\tau)\right\|^\frac{2}{3}\left\|{v}_t(\tau)\right\|^\frac{2}{3}\right)\int_{0}^{t}\left\|{v}_t(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\\ &+C\delta\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xt}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+C|q_+|+C|q_+|\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xt}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\\ \leq& C(\|({v}_{0t},{p}_{0t})\|^2+\delta E(t)^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2)+\varepsilon_0 E(t)^2+\frac{C}{\varepsilon_0}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{aligned} \end{equation*}$

接下来, 考虑 $ \int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau $.

${\bf引理4.5}$ 在引理 4.2 的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{equation}\label{4.7} \int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\!\leq\! C\left(\|({v}_{0},{p}_{0})\|^2\!+\!\|({v}_{0t},{p}_{0t})\|^2\!+\!\delta E(t)^2\!+\!|q_+|\!+\!|q_+|E(t)^2\right)\!+\!C\varepsilon_0 E(t)^2\!+\!\frac{C}{\varepsilon_0}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{equation}$

${\bf证}$ 注意到 $ {v}_x{p}_t+{v}_x^2+{v}_x{p}=0 $, 然后利用 (4.5) 和 (4.6) 式得到证明.

下面估计 $ \left\|({v}_x(t),{p}_x(t))\right\|^2 $.

${\bf引理4.6}$ 在引理 4.2 的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{matrix}\label{4.8} \left\|({v}_x(t),{p}_x(t))\right\|^2\!+\!\int_{0}^{t}\left\|{p}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau \leq\,&\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}\left(\left\|({v}_{0},{p}_{0})\right\|_1^2\!+\!\|({v}_{0t},{p}_{0t})\|^2\!+\!\delta E(t)^2\!+\!|q_+|\!+\!|q_+|E(t)^2\right) \\ &+C\sqrt{\varepsilon_0} E(t)^2+\frac{C}{\varepsilon_0^{3/2}}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{matrix}$

${\bf证}$ 证明中的主要内容可以参照引理 3.6, 其中有一项不同, 通过利用引理 2.4, 估计如下

$\begin{equation*} \int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|\bar{u}_x{v}_x^2\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\leq C\delta\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau. \end{equation*}$

所以可以得到

$\begin{align*} &\left\|{v}_x(t)\right\|^2+\left\|{p}_x(t)\right\|^2+\int_{0}^{t}\left\|{p}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau \\ \leq &C\left(\left\|{v}_{0x}\right\|^2+\left\|{p}_{0x}\right\|^2\right)+C\sqrt{\varepsilon_0}\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}\delta \int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\\ &+\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}\int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\!+\!\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}\sup_{0\leq\tau\leq t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^\frac{4}{3}\int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\!+\!C|q_+|\!+\!C|q_+|\int_{0}^{t}\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\\ \leq &\frac{C}{\sqrt{\varepsilon_0}}\left(\left\|({v}_{0},{p}_{0})\right\|_1^2+\|({v}_{0t},{p}_{0t})\|^2+\delta E(t)^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right)+C\sqrt{\varepsilon_0} E(t)^2+\frac{C}{\varepsilon_0^{3/2}}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{align*}$

然后我们估计 $ \|({v}_{tt}(t),{p}_{tt}(t)\|^2 $.

${\bf引理4.7}$ 在引理 4.2 的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{equation}\label{4.9} \begin{aligned} &\|({v}_{tt}(t),{p}_{tt}(t)\|^2+\int_{0}^ {t}\|{p}_{tt}(\tau)\|^2{\rm d}\tau\\ \leq&C\left(\|({v}_{0tt},{p}_{0tt})\|^2+\delta E(t)^2+E(t)^3+E(t)^4+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right). \end{aligned} \end{equation}$

${\bf证}$ 证明中的主要内容可以参照引理3.7, 其中有一项不同, 通过利用引理 2.4, 估计如下

$\begin{equation*} \int_{0}^{t}\int_{0}^{+\infty}\left|\bar{u}_x{v}_{tt}^2\right|{\rm d}x{\rm d}\tau\leq C\delta\int_{0}^{t}\left\|{v}_{tt}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau. \end{equation*}$

最终可以得到

$\begin{align*} & \|({v}_{tt}(t),{p}_{tt}(t)\|^2+\int_{0}^ {t}\|{p}_{tt}(\tau)\|^2{\rm d}\tau\\ \leq& C\left(\left\|{v}_{0tt}\right\|^2+\|{p}_{0tt}\|^2+\delta\int_{0}^{t}\left\|{v}_{tt}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau+\int_{0}^{t}\left\|{v}_t(\tau)\right\|\left\|{v}_{xt}(\tau)\right\|\left\|{v}_x(\tau)\right\|\left\|{v}_{tt}(\tau)\right\|{\rm d}\tau\right. \\ &+\int_{0}^{t}\left\|{v}_x(\tau)\right\|\left\|{v}_{xx}(\tau)\right\|\left\|{v}_{tt}(\tau)\right\|{\rm d}\tau+\int_{0}^{t}\left\|{v}_t(\tau)\right\|^\frac{1}{2}\left\|{v}_{xt}(\tau)\right\|^\frac{1}{2}\left\|{v}_{xt}(\tau)\right\|\left\|{v}_{tt}(\tau)\right\|{\rm d}\tau \\ &+\left.\int_{0}^{t}\left\|{v}_t(\tau)\right\|\left\|{v}_{xt}(\tau)\right\|\left\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_t(\tau)\right\|\left\|\sqrt{\bar{u}_x}{v}_{tt}(\tau)\right\|{\rm d}\tau\right)+C|q_+|+C|q_+|\int_{0}^{t}\left\|{v}_{tt}(\tau)\right\|^2{\rm d}\tau\\ \leq&C\left(\|({v}_{0tt},{p}_{0tt})\|^2+\delta E(t)^2+E(t)^3+E(t)^4+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right). \end{align*}$

由于估计的剩余部分证明与前面的引理相似, 为简洁起见, 我们仅叙述下面的引理, 并省略其证明.

${\bf引理4.8}$ 在引理 4.2 的假设下, 对任意 $ 0\leq t\leq T $, 有

$\begin{aligned} \left\|v_{x t}(t)\right\|^{2} \leq & C\left(\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\delta E(t)^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}+E(t)^{3}+E(t)^{4}\right) \\ & +C \varepsilon_{0} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}} E(t)^{\frac{10}{3}}, \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{t}\left\|v_{x t}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \leq & C\left(\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\delta E(t)^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}+E(t)^{3}+E(t)^{4}\right) \\ & +C \varepsilon_{0} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \left\|p_{x t}(t)\right\|^{2} \leq & C\left(\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\delta E(t)^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}+E(t)^{3}+E(t)^{4}\right) \\ & +C \varepsilon_{0} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{t}\left\|p_{x t}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \leq & C\left(\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\delta E(t)^{2}\right. \\ & \left.+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}+E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \varepsilon_{0} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$ \begin{aligned} \left\|v_{x x}(t)\right\|^{2} \leq & \frac{C}{\sqrt{\varepsilon_{0}}}\left(\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{1}^{2}+\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\delta E(t)^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right) \\ & +C\left(E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \sqrt{\varepsilon_{0}} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}^{3 / 2}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \left\|p_{x x}(t)\right\|^{2} \leq & \frac{C}{\sqrt{\varepsilon_{0}}}\left(\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{1}^{2}+\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\delta E(t)^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right) \\ & +C\left(E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \sqrt{\varepsilon_{0}} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}^{3 / 2}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{t}\left\|v_{x x}(t)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \leq & \frac{C}{\sqrt{\varepsilon_{0}}}\left(\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{1}^{2}+\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\delta E(t)^{2}+\left|q_{+}\right|\right. \\ & \left.+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right)+C\left(E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \sqrt{\varepsilon_{0}} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}^{3 / 2}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{t}\left\|p_{x x}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \leq & \frac{C}{\sqrt{\varepsilon_{0}}}\left(\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{1}^{2}+\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\delta E(t)^{2}+\left|q_{+}\right|\right. \\ & \left.+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right)+C\left(E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \sqrt{\varepsilon_{0}} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}^{3 / 2}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \int_{0}^{t}\left\|v_{t}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau & \leq \frac{C}{\sqrt{\varepsilon_{0}}}\left(\left\|\left(v_{0}, p_{0}\right)\right\|_{1}^{2}+\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\delta E(t)^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right) \\ & +C \sqrt{\varepsilon_{0}} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}^{3 / 2}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$

以及

$\begin{aligned} \int_{0}^{t}\left\|v_{t t}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \leq C & \left(\left\|\left(v_{0 t}, p_{0 t}\right)\right\|^{2}+\left\|\left(v_{0 t t}, p_{0 t t}\right)\right\|^{2}+\left\|p_{0 x t}\right\|^{2}+\delta E(t)^{2}+\left|q_{+}\right|+\left|q_{+}\right| E(t)^{2}\right. \\ & \left.+E(t)^{3}+E(t)^{4}\right)+C \varepsilon_{0} E(t)^{2}+\frac{C}{\varepsilon_{0}} E(t)^{\frac{10}{3}} \end{aligned}$

4.3 引理 4.2 的证明

最后, 结合引理 4.3-4.8, 我们有

$\begin{equation*} E(t)^2\leq \frac{C}{{\varepsilon_0}}\left(E(0)^2+\delta E(t)^2+|q_+|+|q_+|E(t)^2\right)+C\sqrt{\varepsilon_0} E(t)^2+C\left(E(t)^3+E(t)^4\right)+\frac{C}{\varepsilon_0^{3/2}}E(t)^{\frac{10}{3}}. \end{equation*}$

给定 $ \varepsilon_0 $ 使得 $ C\sqrt{\varepsilon_0}= \frac{1}{2}<1 $ 并令 $ \varepsilon $ 和 $ \delta $ 都充分小, 满足 $ CE(0)^2\leq\varepsilon $ 及$ \left|q_+\right|\leq\varepsilon $, 我们得到最终的结果

$\begin{equation*} E(t)^2\leq C(E(0)^2+\left|q_+\right|+\delta). \end{equation*}$

致谢

特别感谢赵会江教授给予本文作者的热忱支持与宝贵建议.

参考文献

Cattaneo C.

Sulla conduzione del calore

(Italian) Atti Sem Mat Fis Univ Modena, 1949, 3: 83—101

[本文引用: 1]

Vernotte P.

Les paradoxes de la theorie continue de l'equation de la chaleur

C R Acad Sci Paris, 1958, 246: 3154—3155

[本文引用: 1]

Morse P M, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics. New York: McGraw-Hill, 1953

[本文引用: 1]

H. Fernández Sare, Racke R,

On the stability of damped Timoshenko systems: Cattaneo versus Fourier law.

Arch Ration Mech Anal, 2009, 194(1): 221—251

[本文引用: 1]

Nakamura T, Kawashima S.

Viscous shock profile and singular limit for hyperbolic systems with Cattaneo's law

Kinet Relat Models, 2018, 11(4): 795—819

[本文引用: 1]

Nakamura K, Nakamura T, Kawashima S.

Asymptotic stability of rarefaction waves for a hyperbolic system of balance laws

Kinet Relat Models, 2019, 12(4): 923—944

[本文引用: 2]

Racke R.

Thermoelasticity with second sound-exponential stability in linear and nonlinear 1-d

Math Methods Appl Sci, 2002, 25(5): 409—441

[本文引用: 1]

Liu T P, Nishihara K.

Asymptotic behavior for scalar viscous conservation laws with boundary effect

J Differential Equations, 1997, 133: 296—320

[本文引用: 1]

Liu T P, Yu S H.

Propagation of a stationary shock layer in the presence of a boundary

Arch Ration Mech Anal, 1997, 139(1): 57—82

[本文引用: 1]

Liu T P, Matsumura A, Nishihara K.

Behaviors of solutions for the burgers equation with boundary corresponding to rarefaction waves

SIAM J Math Anal, 1998, 29: 293—308

[本文引用: 3]

Nishihara K.

Boundary effect on a stationary viscous shock wave for scalar viscous conservation laws

J Math Anal Appl, 2001, 255: 535—550

[本文引用: 1]

Fan L L, Liu H X, Wang T, Zhao H J.

Inflow problem for the one-dimensional compressible navier-stokes equations under large initial perturbation

J Differential Equations, 2014, 257(10): 3521—3553

[本文引用: 1]

Hong H, Wang T.

Large-time behavior of solutions to the inflow problem of full compressible navier-stokes equations with large perturbation

Nonlinearity, 2017, 30: 3010—3039

Huang F M, Matsumura A, Shi X D. Viscous shock wave and boundary layer solution to an inflow problem for compressible viscous gas. Comm Math Phys, 2003, 239: 261—285

Huang F M, Matsumura A.

Stability of a composite wave of two viscous shock waves for the full compressible Navier-Stokes equation

Comm Math Phys, 2009, 289: 841—861

Kawashima S, Nishibata S, Zhu P C.

Asymptotic stability of the stationary solution to the compressible Navier-Stokes equations in the half space

Comm Math Phys, 2003, 240(3): 483—500

Kawashima S, Zhu P C.

Asymptotic stability of rarefaction wave for the Navier-Stokes equations for a compressible fluid in the half space

Arch Ration Mech Anal, 2009, 194(1): 105—132

Matsumura A.

Inflow and outflow problems in the half space for a one-dimensional isentropic model system of compressible viscous gas

Methods Appl Anal, 2001, 8: 645—666

Matsumura A, Mei M.

Convergence to travelling fronts of solutions of the p-system with viscosity in the presence of a boundary

Arch Ration Mech Anal, 1999, 146: 1—22

Matsumura A, Nishihara K.

Large-time behaviors of solutions to an inflow problem in the half space for a one-dimensional system of compressible viscous gas

Comm Math Phys, 2001, 222: 449—474

Qin X H, Wang Y.

Stability of wave patterns to the inflow problem of full compressible Navier-Stokes equations

SIAM J Math Anal, 2009, 41: 2057—2087

Qin X H, Wang Y.

Large-time behavior of solutions to the inflow problem of full compressible Navier-Stokes equations

SIAM J Math Anal, 2011, 43: 341—366

Wan L, Wang T, Zou Q Y.

Stability of stationary solutions to the outflow problem for full compressible Navier-Stokes equations with large initial perturbation

Nonlinearity, 2016, 29(4): 1329—1354

[本文引用: 1]

Qin X H.

Boundary layer to a system of viscous hyperbolic conservation laws

Acta Math Appl Sin Engl Ser, 2008, 24(3): 523—528

[本文引用: 1]

Nakamura T, Nishibata S.

Existence and asymptotic stability of stationary waves for symmetric hyperbolic-parabolic systems in half-line

Math Models Methods Appl Sci, 2017, 27(11): 2071—2110

[本文引用: 1]

Kawashima S, Nishibata S, Nishikawa M.

$ L^p $ energy method for multi-dimensional viscous conservation laws and application to the stability of planar waves

J Hyperbolic Differ Equ, 2004, 1(3): 581—603

[本文引用: 1]

Bai Y S, He L, Zhao H J. Nonlinear stability of rarefaction waves for a hyperbolic system with Cattaneo's law. Commun Pure Appl Anal, 2021, 20(7/8): 2441—2474

[本文引用: 1]

Bai Y S, Fan L L, Zhao H J.

Nonlinear stability of viscous shock profiles for a hyperbolic system with Cattaneo's law in a one-dimensional half space

Math Meth Appl Sci, 2024, 47(6): 5207—5242

[本文引用: 1]

Friedrichs K.

Symmetric hyperbolic linear differential equations

Comm Pure Appl Math, 1954, 7: 345—392

[本文引用: 2]

Friedrichs K.

Symmetric positive linear differential equations

Comm Pure Appl Math, 1958, 11: 333—418

[本文引用: 1]

Gu C H.

Differentiable solutions of symmetric positive partial differential equations

Chinese Math, 1964, 5: 541—555

Lax P, Phillips R.

Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential operators

Comm Pure Appl Math, 1960, 13: 427—455

Kawashima S, Yanagisawa T, Shizuta Y.

Mixed problems for quasi-linear symmetric hyperbolic systems

Proc Japan Acad Ser A Math Sci, 1987, 63(7): 243–246

[本文引用: 1]

/

〈 〉

版权所有 © 《数学物理学报》杂志社
地址：武汉市71010号信箱(430071)　电话: 027-87199206(中文版)　027-87199087(英文版)
E-mail: actams@wipm.ac.cn
本系统由北京玛格泰克科技发展有限公司设计开发