体力作用下的一维等熵磁气动力学欧拉方程在欧拉坐标中可以写成

其中 $\rho, u, p, \mu > 0 $ 和 $B$ 分别表示密度、速度、压力、磁导率和横向磁场. 在本文中, 我们重点关注压力函数及横向磁场

其中 $\varepsilon_{1}$ 和 $\varepsilon_{2}$ 是两个正常数. 2010 年, Sekhar 和 Sharma^[1] 研究了黎曼问题解的存在性和唯一性, 并讨论了等熵磁气体动力学中基本波的相互作用. 各种气体模型的系统 (1.1) 的极限解的研究一直备受关注. Shen^[2]、Shao^[3]、Chen 和 Sheng^[4] 分别研究了多方气体等熵磁气体动力学的黎曼解、Chaplygin 气体的黎曼解和广义 Chaplygin 气体的黎曼解的极限行为. 在某些宇宙学理论中, 作为宇宙暗能量的可能模型, Chaplygin 气体可以描述当前宇宙的加速膨胀. 最新的工作^[5-8]引入了状态 $p=\epsilon_{1}\ln\rho$ 的对数方程, 系统地讨论了暗能量流体的最后宇宙的动力学演化. 我们可以看到, 当 $\rho>1$ 时, 压力 $p=\epsilon_{1}\ln\rho$ 为正, 当 $0<\rho<1$ 时为负. 因此, 它适合作为暗物质和暗能量的新统一简化的候选者.

Shen^[2] 考虑了具有库仑类摩擦项的无压欧拉系统, 并通过引入新的速度得到了非自相似黎曼解

且 Faccanoni 和 Mangeney^[9] 也引入了这个方法, 用于研究具有库仑类摩擦项的浅水方程的黎曼问题.

如果 $\beta=0$ 且 $B=0$, 则系统将转换为以下具有对数状态方程的等熵欧拉系统

Sun^[10] 研究了带对数状态方程的等熵欧拉系黎曼解在压力消失过程中的浓度和空化现象. 对于等熵欧拉系统, Brenier^[11] 首先研究了一维黎曼问题, 得到了当初始数据属于相平面中某个域时的集中解. 此外, Guo、Sheng 和 Zhang^[12] 放弃了这种约束, 构造性地获得了一维黎曼问题的全局解, 其中发现了 $\delta$-激波. 此外, 他们还系统地研究了等熵 Chaplygin 气体方程的二维黎曼问题. 对于二维情况, 我们也可以参考文献 [13], 其中 Serre 研究了二维等熵不旋转 Chaplygin 气体的压力波相互作用, 并构造性地证明了二维黎曼问题的鞍形和涡旋两种情况的跨音速解的存在. 最近, Sheng, Wang, Yin^[14] 和 Wang^[15] 研究了广义 Chaplygin 气体的黎曼问题, 得到了黎曼问题的解和基本波的相互作用. Sheng 和 Zhang 在文献 [16] 中提出了气体动力学中零压流输运方程的黎曼解, 其中出现了 $\delta$-激波和真空态.

在 $\delta$-激波的相关研究中, 一个非常重要和有趣的话题是研究黎曼解中集中和空化现象以及 $\delta$-激波和真空态的形成. 在早期的开创性论文中, Chen 和 Liu^[17] 首先通过在模型 $p(\rho)=\varepsilon\rho^{\gamma}/\gamma ( \gamma >1)$ 中取极限 $\varepsilon \rightarrow 0+$, 首次证明了多方气体欧拉方程组的 Riemann 解的 $\delta$-激波和真空状态的形成, 它严格地描述了数学中的集中和空化现象. 此外, 他们还在文献 [18] 中获得了非等熵流体欧拉方程组的相同结果. Li^[19] 研究了等温情况的等温欧拉方程的相同问题, 证明当温度降至零时, 包含两个激波的解收敛到输运方程的 $\delta$-激波解, 包含两个稀疏波的解收敛到涉及真空的输运方程的解. 最近, Ibrahim、Liu 和 Liu^[20] 表明, 在 $p(\rho) =\rho^{\gamma}$$(0 < \gamma < 1)$ 模型中也存在相同的浓度现象. 也就是说, 他们严格地展示了等熵欧拉方程组黎曼解的极限行为的形成. 对于其他物理模型, 也有很多结果, 比如文献 [21-26] 及其引用的参考文献.

如果压力 $p$ 和磁场 $B$ 都消失, 即 $\epsilon_{1},\epsilon_{2} \to 0,$ 则系统 (1.1) 的极限成为输运方程

它也可以通过恒定压力获得, 其中力被假定为重力, $\beta$ 是重力常数^[27]. 该系统 (1.4) 可以描述自由粒子在低温下碰撞粘附的运动学过程, 以及有关宇宙大尺度结构的信息^[28]. Shen^[2] 考虑了系统 (1.4) 的黎曼问题.

受文献 [17-20] 的启发, 本文重点研究了体力作用下等熵磁气体动力学方程组 (1.1)-(1.2) 的黎曼解当消失压力和磁场时的极限. 与齐次情况不同, 黎曼解不再是自相似的. $\epsilon_{1},\epsilon_{2}. \rightarrow0$ 的情况也存在空化.

本文的其余部分组织如下. 为了完整起见, 我们在第 2 节中简要回顾了(1.4) 的黎曼解. 在第 3 节中, 我们展示了 (1.1)-(1.2) 的黎曼解的一些结果. 最后, 在第 4 节中, 我们严格地展示了当压力和磁场消失时 (1.1)-(1.2) 的黎曼解中 $\delta$-激波和真空态的形成.

为了完整起见, 在本节中, 我们简要回顾一下系统 (1.4) 的黎曼解. 更多细节可以在文献 [2,29] 中找到. 系统 (1.4) 可以通过更改变量 (1.3) 的形式重写

在本节中, 我们对具有初始数据的 (2.1) 的黎曼问题感兴趣

其中 $\rho_{\pm}>0$ 和 $u_{\pm}$ 被赋予常数状态. 可以看出, 通过改变状态变量 $(\rho, u)(t, x)=(\rho, v+ \beta t)(t, x),$ 可以直接得到系统 (1.4) 黎曼问题的解.

根据前人的研究^[2,29], 我们可以分别通过接触间断、真空状态和 $\delta$-激波连接两个常数状态 $(\rho_{\pm},u_{\pm})$ 来构造 (1.4) 式的黎曼解, 如下所示.

(1) 对于 $u_{-} >u_{+}$, (1.4) 式的黎曼解具有以下形式

其中

(2) 对于 $u_{-}<u_{+}$, (1.4) 式的黎曼解可以表示为

其中两个接触不连续 $J_{1}$ 和 $J_{2}$ 的位置和传播速度与 (2.1) 和 (2.2) 式的黎曼解相同;

(3)对于 $u_{-}=u_{+}$, (1.4) 式的黎曼解可以表示为

其中, 接触不连续 $J$ 的位置和传播速度与 (2.1) 和 (2.2) 式的黎曼解相同.

在本节中, 我们构造了在体力作用下的带对数气体的等熵磁气动力学方程组黎曼解. 代入 (1.2)、(1.3) 式, 系统 (1.1) 可以重写为

我们关注的是 (3.1) 式的黎曼问题, 初始数据为

其中 $\rho_{\pm}>0$ 和 $u_{\pm}$ 被赋予常数状态.

系统 (3.1) 可以以拟线性形式重新表述

通过 (3.3) 式, 很容易看出系统 (3.1) 有两个特征值

具有相应的右特征向量

满足

因此, 当 $\rho>0$ 时, 系统 (3.1) 是严格双曲的, 两个特征场都是真正的非线性, 相关的波是激波或稀疏波.

黎曼不变量可以选择为

分别满足 $\bigtriangledown w^{i} \cdot \overrightarrow{r_i}=0$($i$=1,2).

在相平面上, 给定一个状态 $(\rho_{-}, u_{-})$, 稀疏波曲线是通过 1-稀疏波或 2-稀疏波在右侧连接的状态集合, 如下所示

对方程 (3.6) 的第二个方程 $v$ 关于 $\rho$ 求导, 可得

这意味着 1-稀疏波曲线 $R_{1}(\rho_{-},u_{-})$ 在 $(\rho, v)$ 相平面上是单调递减和凸的. 类似地, 对 (3.7) 式的第二个方程 $v$ 关于 $\rho$ 求导也可以得到 $\frac{{\rm d}v}{{\rm d}\rho}>0$ 和 $\frac{{\rm d}^{2} v}{{\rm d}\rho^{2}}<0$, 这意味着 2-稀疏波曲线 $R_{2}(\rho_{-},u_{-})$ 在 $(\rho, v)(\rho>0)$ 相平面上是单调递增的凹函数. 此外, 在 (3.6) 式的第二个方程中, 我们有

取极限 $\rho \to 0^{+}$, 很容易证明 1-稀疏波的 $\textstyle \lim_{\rho \to 0^{+}} v=+\infty $, 这表明 $R_{1}(\rho_{-},u_{-})$ 以 $u$ 轴为渐近线. 也可以证明 $\textstyle \lim_{\rho \to +\infty} v=+\infty $ 对于 2-稀疏波.

设 $\sigma(t)=\frac{{\rm d}x(t)}{{\rm d}t}$ 是有界不连续 $x=x(t)$ 的速度, 则系统 (3.1) 的 Rankine-Hugoniot 条件为

其中 $[\rho]=\rho-\rho_{-}$ 以此类推. 由 (3.8) 式我们有

其中 $(\rho_{-},v_{-})$ 和 $(\rho_{},v_{})$ 分别是左状态和右状态.

Lax 熵条件说明 1-激波 $S_{1} $ 的传播速度 $\sigma_{1} (t)$ 必须满足

类似地, Lax 熵条件意味着 2-激波 $S_{2} $ 的传播速度 $\sigma_{2} (t)$ 必须满足

然后, 将 (3.8) 式代入 (3.10) 式的第一个不等式, 我们有

这表明 $v - v_{-}$ 和 $\rho- \rho_{-}$ 具有不同的符号. 因此, 从 (3.11) 式我们有

$v - v_{-}$ 和 $\rho- \rho_{-}$ 对 2-激波具有相同的符号.

对于给定的左状态 $(\rho_{-},u_{-})$, 1-激波和 2-激波由下式明确给出

对 (3.12) 式的第二个方程 $v$ 的两边关于 $\rho$ 求导, 则当 $\rho>\rho_{-}$ 时,

这意味着对于 1-激波曲线, $v_{\rho}<0$ 在区域 $\rho>\rho_{-}$ 中, 并且 $S_{1}(\rho_{-},u_{-})$ 在相平面 $(\rho, v) $ 中单调递减. 类似地, 我们也可以看到, 对于 2-激波曲线, $v_{\rho}>0$ 在区域 $\rho<\rho_{-}$ 中, 并且 $S_{2}(\rho_{-},u_{-})$ 在相平面 $(\rho, v) $ 上是单调递增的. 此外, 还可以从 (3.12) 和 (3.13) 式导出, $S_{1}(\rho_{-},u_{-})$ 的 $\lim_{\rho \to +\infty}v=-\infty $, $S_{2}(\rho_{-},u_{-})$ 的 $\lim_{\rho \to 0^{+}}v=-\infty $.

在相平面 $(\rho, v) $ 中, 通过给定的点 $(\rho_{-}, u_{-})$, 我们绘制基本波曲线 $R_{j} (\rho_{-}, u_{-})$ 和 $S_{j} (\rho_{-}, u_{-})$ ($j$=1, 2). 这些基本波曲线将相平面 $(\rho, v)$ 划分为四个区域 (见图 1). 根据不同区域的右状态 $(\rho_{+},u_{+})$, 我们可以构造 (3.1)-(3.2) 式的唯一全局黎曼解, 如下所示

(1) $(\rho_{+},u_{+})\in I (\rho_{-},u_{-}):$$(\rho_{-},u_{-})+R_{1} +(\rho_{\ast},v_{\ast})+R_{2} +(\rho_{+},u_{+});$

(2) $(\rho_{+},u_{+})\in II(\rho_{-},u_{-}):$$(\rho_{-},u_{-})+S_{1} +(\rho_{\ast},v_{\ast})+R_{2} +(\rho_{+},u_{+});$

(3) $(\rho_{+},u_{+})\in III(\rho_{-},u_{-}):$$(\rho_{-},u_{-})+R_{1} +(\rho_{\ast},v_{\ast})+S_{2} +(\rho_{+},u_{+});$

(4) $(\rho_{+},u_{+})\in IV (\rho_{-},u_{-}):$$(\rho_{-},u_{-})+S_{1} +(\rho_{\ast},v_{\ast})+S_{2} +(\rho_{+},u_{+}),$ 其中 $(\rho_{\ast},v_{\ast})$ 是中间状态.

使用 (1.3), 得到了 (1.1)-(1.2) 的黎曼解, 如下所示

(1) $(\rho_{+},u_{+})\in I(\rho_{-},u_{-}):$$(\rho_{-},u_{-}+\beta t)+R_{1} +(\rho_{\ast},v_{\ast}+\beta t)+R_{2} +(\rho_{+},u_{+}+\beta t);$

(2) $(\rho_{+},u_{+})\in II(\rho_{-},u_{-}):$$(\rho_{-},u_{-}+\beta t)+S_{1} +(\rho_{\ast},v_{\ast}+\beta t)+R_{2} +(\rho_{+},u_{+}+\beta t);$

(3) $(\rho_{+},u_{+})\in III (\rho_{-},u_{-}):$$(\rho_{-},u_{-}+\beta t)+R_{1} +(\rho_{\ast},v_{\ast}+\beta t)+S_{2} +(\rho_{+},u_{+}+\beta t);$

(4) $(\rho_{+},u_{+})\in IV (\rho_{-},u_{-}):$$(\rho_{-},u_{-}+\beta t)+S_{1} +(\rho_{\ast},v_{\ast}+\beta t)+S_{2} +(\rho_{+},u_{+}+\beta t).$

让我们回到黎曼问题 (1.1)-(1.2) 和 (3.2). 如果 $(\rho_{+},u_{+})\in I $, 则 (1.1)-(1.2) 和 (3.2) 的黎曼解 $R_{1}+R_{2}$ 可以表示为

其中 $x_{1}^{\pm}(t)$ 和 $x_{2}^{\pm}(t)$ 以及 $(\rho_{\ast},v_{\ast})$ 可以从 (3.6) 和 (3.7) 式确定. 让我们用图 2中的 (a) 来详细说明这种情况, 其中稀疏波扇 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 中的所有特征线都弯曲成抛物线形状.

如果 $(\rho_{+},u_{+})\in II$, 则问题 (1.1)-(1.2) 和 (3.2) 的黎曼解 $S_{1}+R_{2}$ 可以表示为

其中 $x_{1}^{\pm}(t)$, $x_{2}^{\pm}(t)$ 和 $(\rho_{\ast},v_{\ast})$ 可以用 (3.7) 和 (3.13) 式确定. 让我们用图 2中的 (b) 来详细说明这种情况, 其中激波曲线 $S_{1}$ 和稀疏波扇 $R_{2}$ 中的所有特征线都弯曲成抛物线形状.

如果 $(\rho_{+},u_{+})\in III$, 则问题 (1.1)-(1.2) 和 (3.2) 的黎曼解为 $R_{1}+S_{2}$, 这与 $(\rho_{+},u_{+})\in II$ 的情况非常相似, 因此我们省略它, 参见图 2中的 (c).

如果 $(\rho_{+},u_{+})\in IV$, 则问题 (1.1)-(1.2) 和 (3.2) 的黎曼解 $S_{1}+S_{2}$ 可以表示为

其中 $x_{1}(t)$, $x_{2}^{\pm}(t)$ 和 $(\rho_{\ast},v_{\ast})$ 可以由 (3.12) 和 (3.13) 式确定. 让我们使用图 2中的 (d) 来详细说明这种情况, 其中激波曲线 $S_{1}$ 和 $S_{2}$都弯曲成抛物线形状.

在本节中, 我们将研究压力场和磁场都消失的极限过程, 即 $\epsilon_{1},\epsilon_{2}\rightarrow 0$. 由于当 $\epsilon_{1},\epsilon_{2}\rightarrow 0$ 时, $(\rho,v)$ 平面中的两个区域 $II$ 和 $III$ 内部是空的, 因此分析两种情况 $(\rho_{+}, u_{+}) \in I$ 和 $(\rho_{+}, u_{+}) \in IV$ 的极限过程就足够了.

在本小节中, 我们将讨论当 $u_{-}>u_{+}$, $\epsilon_{1},\epsilon_{2}\rightarrow 0$ 时 $\delta$-激波的形成. 如果 $(\rho_{+}, u_{+})\in IV(\rho_{-}, u_{-})$, 对于每对固定$\epsilon_{1},\epsilon_{2}>0$, 则 (1.1) 和 (1.2) 的黎曼解由两个激波 $S_1$, $S_2$ 和一个中间态 $(\rho_{\ast},u_{\ast})$ 以及两个常数态 $(\rho_{\pm},u_{\pm})$ 组成. 通过 (3.12) 和 (3.13) 式, 我们可以得到以下关系

通过 (4.1) 和 (4.2) 式的第二个方程, 我们有

对于任何给定的 $\rho_{\pm}>0,$ 在 (4.3) 式中取极限 $\epsilon_{1},\epsilon_{2}\to 0$, 我们有

其中

因此, 我们有

这意味着 $\lim_{\epsilon_{1},\epsilon_{2}\to 0}\rho_{\ast}=+\infty,$ 我们可以得到以下结果.

${\bf引理4.1}$

${\bf引理4.2}$ 令 $\sigma=\frac{\sqrt{\rho_{-}}u_{-}+\sqrt{\rho_{+}}u_{+}}{\sqrt{\rho_{-}}+\sqrt{\rho_{+}} }$, 那么我们有

${\bf证}$ 使用 (4.1) 式和引理 4.1, 可以计算出

从 (4.1) 和 (4.2) 式的第一个方程中, 我们有

可得 $\lim\limits_{\epsilon_{1},\epsilon_{2} \rightarrow 0} u_{\ast}=\lim\limits_{\epsilon_{1},\epsilon_{2} \rightarrow 0}\sigma _{1}^{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}=\lim\limits_{\epsilon_{1},\epsilon_{2} \rightarrow 0}\sigma_{2}^{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}=\sigma+\beta t.$

${\bf引理4.3}$

${\bf证}$ 通过将 Rankine-Hugoniot 条件 (3.8) 的第一个方程代入 $S_{1}^{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}$ 和 $S_{2}^{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}$, 我们有

这意味着

综上, 我们就能得到

类似的, 我们有

然后我们得到

因此

上述引理表明, 当 $ \epsilon_{1},\epsilon_{2}\rightarrow 0$ 时, 激波 $S_{1}^{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}$ 和 $S_{2}^{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}$ 将重合, 并形成 $\delta$-激波. 接下来, 我们将根据引理 4.3 给出 $\delta$-激波的确切位置、传播速度和强度. 从 (4.7) 和 (4.8) 式中

接着

这与 $\sigma(t)$ 相等. 此外, 通过让 $\frac{{\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\sigma(t) $, 我们有

从 (4.11)-(4.14) 式中, 我们可以看到上面定义的量与第 2 节给出的量完全一致. 因此, 它唯一地确定, 当 $ \epsilon_{1},\epsilon_{2} \rightarrow 0$, 在 $(\rho_{+},u_{+}) \in IV$ 且 $u_{-}>u_{+}$ 时, 系统 (1.1)-(1.2) 和 (3.2) 的黎曼解极限只是 (1.4) 和 (2.2) 的 $\delta$-激波解. 因此, 我们得到以下结果, 该结果表征了 $(\rho_{+},u_{+}) \in IV$ 且 $u_{-}>u_{+}$ 的情况下消失压力和磁场的极限.

${\bf定理4.1}$ 如果 $u_{-}>u_{+}$, 对于每个固定的 $\epsilon_{1},\epsilon_{2},(\rho_{+},u_{+}) \in IV$, 假设 $(\rho,u)$ 是系统 (1.1)-(1.2) 和 (3.2) 的在第 3 节中构造的两个激波解, 结果表明, 当 $ \epsilon_{1},\epsilon_{2}\rightarrow 0,(\rho,u)$ 收敛到具有相同源项和相同初始数据的输运方程 (1.4) 的 $\delta$-激波解.

在本小节中, 我们展示在 $(\rho_{+},u_{+})\in I$ 且 $u_{-}< u_{+}$ 和 $ \rho_{\pm} > 0 $ 的情况下随着压力和磁场的消失, 系统 (1.1)-(1.2) 的黎曼解中真空态的形成. 此时, 对于固定 $\epsilon_{1},\epsilon_{2}>0$, 设 $(\rho_{\ast},u_{\ast})=$$(\rho_{\ast},v_{\ast}+\beta t)$ 是中间状态, $(\rho_{-},u_{-}+\beta t)$ 和 $(\rho_{\ast},v_{\ast}+\beta t)$ 由 1-稀疏波 $R_{1}^{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}$ 连接, 速度为 $\lambda_{1}^{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}$, $(\rho_{\ast},u_{\ast}+\beta t)$ 和 $(\rho_{+},v_{+}+\beta t)$ 由 2-稀释波 $R_{2}^{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}$ 连接, 速度为 $\lambda_{2}^{\epsilon_{1}\epsilon_{2}}$. 有

${\bf定理4.2}$ 当 $u_{-}<u_{+}$ 和 $(\rho_{+},u_{+})\in I(\rho_{-},u_{-})$ 时, 出现真空态当 $\epsilon_{1},\epsilon_{2} \to 0.$ 准确地说

${\bf证}$ 从 (4.10) 和 (4.11) 式开始, 我们有

以及

假设 $\lim_{\epsilon_{1}\epsilon_{2} \to 0} \rho_{\ast} = M \in (0,\min(\rho_{-},\rho_{+})],$ 那么我们从 (4.17) 式得到 $u_{+}=u_{-}$, 这与 $u_{-}<u_{+}$ 的事实相矛盾. 因此, 我们可以得到 $\lim_{\epsilon_{1}\epsilon_{2} \to 0} \rho_{\ast}=0,$ 也就是说随着 $\epsilon_{1},\epsilon_{2}\to 0$, 真空态出现. 同时, 从 (4.18) 式推断出 $\lim\limits_{\epsilon_{1},\epsilon_{2} \rightarrow 0} v_{\ast}=\frac{u_{-}+u_{+}}{2}.$ 所以 $ \lim\limits_{\epsilon_{1},\epsilon_{2} \rightarrow 0} u_{\ast}=\frac{u_{-}+u_{+}}{2}+\beta t.$

系统 (1.1) 和 (1.2) 的黎曼解可以明确表示为

其中

在 (4.17) 式的第一行中取极限 $\epsilon_{2}\to 0$ 得到

令 $\epsilon_{1}\to 0,$ 我们很容易得到

此外, 还可以观察到

同样, 我们有

另一方面, $R_{1}$ 中取极限 $\epsilon_{2}\to 0$, 我们也有

我们可以从 (4.26) 式中得出

因此, 在 (4.27) 和 (4.28) 式中令 $\epsilon_{1}\to 0$, 我们可以发现

同样, 在 $R_{2}$ 中状态 $(\rho_{2}(t,x),u_{2}(t,x))$ 计算如下

因此, 在 (4.29) 式中让 $\epsilon_{1}\to 0$, 我们可以发现

那么, 上面的讨论表明, 在 $(\rho_{+},u_{+})\in I(\rho_{-},u_{-})$ 与 $u_{+}>u_{-}$ 的情况下, 黎曼问题解的极限 $\epsilon_{1},\epsilon_{2}\to 0$ 可以写成以下形式

这与输运方程的黎曼解不同. 因此, 从上面我们已证明了以下结果.

${\bf定理4.3}$ 当$u_{+}>u_{-}$ 和 $(\rho_{+},u_{+})\in I (\rho_{-},u_{-})$ 时, 对于任何固定的 $\epsilon_{1},\epsilon_{2}>0$, 假设 (1.1) 和 (1.2) 的黎曼解是第 3 节中构造的两个稀疏波解. 那么, 当 $\epsilon_{1},\epsilon_{2} \to 0$ 时, 黎曼解收敛到包含四个接触不连续和三个真空状态的解, 这与 (2.5) 式提供的无压流输运方程 (1.5) 的黎曼解不同.

${\bf定理4.4}$ 在这里, 若不考虑真空区域的虚拟速度, 我们可以发现, 在 $(\rho_{+},u_{+})\in I (\rho_{-},u_{-})$ 与 $u_{-}<u_{+}$ 的情况下, (1.1) 和 (1.2) 的黎曼解极限 $\epsilon_{1},\epsilon_{2}\to 0$ 仍然是连接真空状态的两个接触不连续, 这与 $u_{+}>u_{-}$ 时无压流输运方程 (1.5) 的黎曼解一致.