本文在加权空间中考虑以下非自治离散修正 Swift-Hohenberg 方程

初始条件

其中 $f=(f_i(t))_{i\in\mathbb{Z}}\in C(\mathbb{R}, {\ell_\rho^2})$, $A$, $B$ 和 $D$ 是由如下定义的线性算子

方程 (1.1) 可以看作是非自治连续修正 Swift-Hohenberg 方程

在 $\mathbb{R}$ 上的离散模拟. 如果 $b=0$ 且 $f(x,t)=0$, 则 (1.3) 式可简化为通常的 Swift-Hohenberg 方程, 其长期动力学在文献 [3,5,12,13,17,26] 中有讨论. 其中 (1.3) 式中三次项 $u^3$ 为非局部积分项的近似值 ^[26,27], 修正项 $b|\nabla u|^2$ 来自涉及某种相湍流或相变的各种模式形成 ^[18]. Swift-Hohenberg 方程是以 Swift 和 Hohenberg 的名字命名的 (参见文献 [22]), 它应用于环形装置中的等离子体约束^[10], 粘性膜流, 激光器 ^[11]和模式形成^[2] 的研究中并广泛发挥了重要作用. 文献 [14,19-21] 分别研究了修正 Swift-Hohenberg 方程的全局吸引子, 拉回吸引子和随机吸引子的存在性. 最近, 文献[8,24,25] 研究了离散修正 Swift-Hohenberg 方程的渐近行为, 但据目前所知, 离散修正 Swift-Hohenberg 方程 (1.1) -(1.2) 在加权空间中少有研究.

本文主要研究了在加权空间中离散系统 (1.1) -(1.2) 的不变测度和统计解, 这两个概念对于理解流体力学理论中的湍流是非常有用的 (参见文献 [4]), 这是因为对湍流的许多重要方面的测量实际上是对几个时间平均量的测量. 最近, 不变测度和统计解被广泛用于描述流体的某些特性, 并被许多研究者广泛研究, 其中文献 [9,15,16,30]是对连续系统进行讨论; 此外, 也有许多论文讨论了格点动力系统的不变测度和统计解 [29,31,32], 其中文献 [32] 研究了非自治离散 Klein-Gordon-Schrödinger 方程的测度, 并在此基础上建立了与该格点系统相关的不变 Borel 概率测度的存在性, Wu 和 Huang 在文献[29] 中进一步构造了由系统 Klein-Gordon-Schrödinger-type 方程生成的格点系统的统计解, 这是非常重要的. 在本文中, 首先利用广义Banach极限以及 Łukaszewicz 和 Robinson 建立的理论 (参见文献 [16]) 证明了格点系统 (1.1) -(1.2) 的不变 Borel 概率测度族 $\{\mu_t\}_{t\in\mathbb{R}}$ 的存在性, 然后证明了不变 Borel 概率测度族是这个格点系统的统计解.

格点微分方程在物理学, 生物学和工程学中有许多应用, 如模式形成、神经脉冲的传播、电路等. 由于在标准 $\ell^2$ 空间中得到的吸引子不包括行波解, 所以不能包含一些重要的解. 因此, 可以考虑用加权空间的思想来研究格点动力系统, 通过权函数在无穷远处的衰减得到相应半群的性质, 感兴趣的读者可参考文献 [6,7,23,28], 其中有关于加权空间的更多细节.

本文的结构如下. 在下一节中, 首先引入一些空间和算子, 然后证明在加权空间中 (1.1) -(1.2) 解的全局适定性; 在第 3 节中, 验证了由 (1.1) -(1.2) 生成的过程的 $\mathcal{D}$-拉回吸引子的存在性; 在第 4 节中, 证明了解算子生成的过程存在一族不变 Borel 概率测度; 最后证明了不变 Borel 概率测度族是系统的统计解.

在本节中, 首先介绍一些空间和运算符号. 给定 $\rho \in [1,\infty)$ 和函数 $\rho :\mathbb{Z}\to(0,+\infty),i\mapsto\rho(i)=\rho_i$, 定义加权空间 $\ell_\rho^2$ 为

赋予范数为

取加权函数

其中参数 $\alpha>0$, $\begin{aligned}\sigma>\frac{1}{2}\end{aligned}$. 显然, $\begin{aligned}\frac{\rho(x\pm1)}{\rho(x)}\in C(\mathbb{R})\end{aligned}$ 且 $\begin{aligned}\lim_{x\longrightarrow\infty}\frac{\rho(x\pm1)}{\rho(x)} = \lim_{|i|\longrightarrow\infty}\frac{\rho(i\pm1)}{\rho(i)} = 1\end{aligned}$, 由此可知 $\begin{aligned}\sup_{x\in\mathbb{R}}\frac{\rho(x\pm1)}{\rho(x)} < +\infty.\end{aligned}$又由 $\begin{aligned}\frac{\rho(1-1)}{\rho(1)} = (1+\alpha^2)^\sigma =\frac{\rho(-1+1)}{\rho(1)}>1\end{aligned}$ 可知, $\displaystyle\sup_{i\in\mathbb{Z}}\frac{\rho(i\pm1)}{\rho(i)}>1$. 除此之外, 由微分中值定理可知, 存在一正数 $p$ 使得

固定 $\begin{aligned}\sigma>\frac{1}{2}\end{aligned}$ 并让 $\alpha$ 充分小, 则 $\begin{aligned}\sup_{i\in\mathbb{Z}}\frac{\rho(i\pm1)}{\rho(i)}\sigma\alpha\leq2\end{aligned}$. 因此我们可选取正常数 $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}$ 满足 $\lambda_1\geq1$, $\lambda_2\leq2$ 使得,

定义 $\ell_\rho^2$ 内积为

则 $(\ell_\rho^2,(\cdot,\cdot))$ 是一个 Hilbert 空间.

定义线性算子 $B^*$ 为

容易得到 $B^*$ 和 $B$ 互为共轭算子, 并且

由 (2.3) 式有

由上可知, $ B:\ell_\rho^2\to\ell_\rho^2$ 是有界算子并且满足

类似可得

基于以上, 我们可以得到 $A$, $B^*$ 和 $D$ 为 $\ell_\rho^2$ 上的有界线性算子.

为表达简单, 设

因此, 方程 (1.1) -(1.2) 可写成如下向量形式

在本文中, 我们假设 (2.9) 式中 $a$, $b$ 满足如下条件.

(A$_1)$ 假设 $b\in\ell^2$ 并且参数 $a$ 满足

下面证明方程 (2.9)-(2.10) 解的存在唯一性.

${\bf引理2.1}$ 对于每个 $u_{\tau}\in \ell_\rho^2$, 方程 (2.9)-(2.10) 存在唯一的解 $u(t)$, $t\geq\tau$ 且对 $T\geq\tau$ 有

并且, 如果 $T<+\infty $, 则 $ \underset{t\to T^-}{\operatorname*{lim}}\|u(t)\|_\rho=+\infty.$

${\bf证}$ 令 $E=D-2A+aI$ 且 $G(u,t)=-b|Bu|^2-u^3+f(t).$ 则方程 (2.9) 可转换成如下等价形式

显然, $E$ 是从 $\ell_\rho^2$ 到 $\ell_\rho^2$ 的线性有界算子. 令 $\mathcal B$ 为 $\ell_\rho^2$ 中的有界子集, 且 $u=(u_{i})_{i\in\mathbb{Z}},v=(v_{i})_{i\in\mathbb{Z}}\in\mathcal{B}.$ 设 $h_i(u_i)=u_i^3$, 则对每个 $i\in\mathbb{Z}$, 存在 $\vartheta_i\in(0,1)$ 使得

其中 $\xi_i=\vartheta_iu_i+(1-\vartheta_i)v_i.$

由 $\mathcal{B}$ 的定义可知, 存在连续函数 $\zeta:\mathbb{R^+}\to\mathbb{R^+}$ 使得

其中 $r_{\mathcal{B}}$ 为 $\mathcal{B}$ 的直径. 则

运用 (2.7) 和 (2.11) 式可知

则根据 (2.12)-(2.13) 式可得

由常微分方程的经典理论可知引理 2.1 成立.

${\bf引理2.2}$ 设 $u(t)$ 为方程 (2.9)-(2.10) 关于初值 $u_{\tau}\in \ell_\rho^2$ 的解, 那么

其中 $\delta=a-16\|b\|^2-8(1+\lambda_1+2\lambda_1\lambda_2).$

${\bf证}$ 在 $\ell_\rho^2$ 中将 $u(t)$ 与 (2.9) 式作内积得到

设 $w_i=\rho_iu_i$, 下面对上式左边的项进行估计. 运用 (2.3)-(2.4) 式有

类似地,

下面对 (2.16) 式右边的项进行估计. 由 (2.4) 和假设 (A$_1)$ 可知

并且

由 (2.16)-(2.20) 式可得

其中 $\delta=a-16\|b\|^2-8(1+\lambda_1+2\lambda_1\lambda_2).$ 当 $t\geq\tau$ 时, 在 $\left[\tau,t\right]$ 上运用 Gronwall 不等式可得结论成立.

为保证系统 (2.9)-(2.10) 具有有界拉回吸收集, 我们对函数 $f$ 作如下假设. (A$_2)$ 假设

其中 $K$ 为 $\mathbb{R}$ 上的连续函数, 对于每一固定的 $t$, 其在区间 $(-\infty,t)$ 上保持有界. 因此, 我们可由引理 2.2 得出, 系统 (2.9)-(2.10) 具有有界的拉回吸收集. 根据引理 2.1 和引理 2.2 可以推导出对于每个 $u_{\tau}\in \ell_\rho^2$, 方程 (2.9)-(2.10) 的对应解 $u(t)$ 在 $[\tau,+\infty)$ 上全局存在. 并由引理 2.1 可以得出

因此, 解算子在 $\ell_\rho^2$ 上生成过程族 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$:

下面证明过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 在 $\ell_\rho^2$ 上的连续性.

${\bf引理2.3}$

若假设 (A$_1)$-(A$_2)$ 成立, 则过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 是连续的, 即对于固定的 $t$ 和 $\tau$,

是一个连续映射.

${\bf证}$ 设 $\mathcal B_*$ 为 $\ell_\rho^2$ 中的有界子集. 对于给定初始时刻 $\tau\in\mathbb{R}$, 假设 ${u_{\tau}^{(m)}}\in \mathcal B_* (m=1,2)$ 为初始时刻对应的两个初始值, 并记 ${u^{(m)}(t)}=U(t,\tau){u_{\tau}^{(m)}}$ 为方程 (2.9)-(2.10) 关于初值 ${u_{\tau}^{(m)}}$ 的解. 设

由 (2.9) 式有

将 $u_d$ 和 (2.24) 式在 $\ell_\rho^2$ 中作内积可得

根据 (2.3), (2.6), (2.11) 式和引理 2.2 可知, 存在正常数 $L_1=L_1(t,\tau,\mathcal B_*)$ 使得

其中 $\begin{aligned}L_2=\|b\|\left(\frac12 +16L_1+16\lambda_1L_1\right)\end{aligned}$. 同样的, 我们有

则由 (2.17), (2.18) 式和 (2.25)-(2.27) 式可得

将 Gronwall 不等式应用于 (2.28) 式有

由上可知, 方程 (2.9)-(2.10) 的解算子在 $\ell_\rho^2$ 上生成一连续过程族 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$.

本节首先证明过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 在 $\ell_\rho^2$ 上有界拉回吸收集的存在性, 然后证明上述过程具有拉回吸引子. 现由

容易看出 $\mathcal{D}_{\delta}$ 包含 $\ell_\rho^2$ 中的所有有界子集. 下证过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 在 $\ell_\rho^2$ 上具有有界拉回吸收集.

${\bf引理3.1}$ 若假设 (A$_1)$-(A$_2)$ 成立, 则由 (2.9)-(2.10) 式生成的过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 具有有界 $\mathcal{D}_{\delta}$-拉回吸收集 ${\mathcal{B}_0}=\{{B}_0(s)|s\in\mathbb{R}\}$, 其中 ${B}_0(s)=$${B}_0(0;r_\delta(s))$ 是在 $\ell_\rho^2$ 中以原点为中心, $r_\delta(s)$ 为半径的球.

${\bf证}$ 设 $r_{\delta}(t)>0$, 并且

则由引理 2.2 可知 ${\mathcal{B}_0}=\{{B}_0(s)|s\in\mathbb{R}\}$ 是 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 在 $\ell_\rho^2$ 上的有界拉回吸收集.

为得到拉回吸引子的存在性, 下证 (2.9)-(2.10) 式的解具有 $\mathcal{D}_{\delta}$-拉回渐进紧性.

${\bf引理3.2}$ 若假设 (A$_1)$-(A$_2)$ 成立, 则对于每个 $t\in\mathbb{R}$, $\varepsilon>0$ 和 $\mathcal{D}=\{D(s)|s\in\mathbb{R}\}\in\mathcal{D}_{\delta}$, 存在 $M_*=M_*(t,\varepsilon,\mathcal{D})\in\mathbb{N}$ 及 $\tau_*=\tau_*(t,\varepsilon,\mathcal{D}) \leq t$ 使得

${\bf证}$ 定义光滑函数 $\chi(x)\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,[0,1])$ 为

其中 $\chi_0$ 为正常数. 设 $\mathcal{D}=\{D(s)|s\in\mathbb{R}\}\in\mathcal{D}_{\delta}$ 且 $u(t)=U(t,\tau)u_\tau=(u_i(t))_{i\in\mathbb{Z}}\in \ell_\rho^2, t\geq\tau$ 是方程 (2.9)-(2.10) 关于初值 $u_\tau\in D(\tau)$ 的解. 记

其中 $I$ 为正整数, 该取值范围在后文中给出. 将 (2.9) 式与 $v$ 在 $\ell_\rho^2$ 中作内积得到

下面对 (3.5) 式中的项进行计算和估计.

注意

由 (3.4) 式有

并且可从 (2.3), (2.8) 式以及引理 3.1 推导出存在 $\tau_1(t,\mathcal{D})\leq t$ 使得

类似的,

将上式代入 (3.7) 式可得

由 (3.6) 式可知

进一步, 根据 (2.11) 式和引理 3.1 可推导出, 存在 $\tau(t,\mathcal{D})\leq t$ 且 $\tau(t,\mathcal{D})\leq\tau_1(t,\mathcal{D})$ 以及 $L_3(t,\tau,\mathcal B_0)>0$ 使得

容易得到

因此, 由 (3.5) 式和 (3.8)-(3.11) 式可知

现在对于每个 $\varepsilon>0$ 和 $t\in\mathbb{R}$, 由 $R_\delta(t)$ 的定义以及假设 (A$_1)$-(A$_2)$ 可知, 存在 $I_1=I_1(\varepsilon,t)>0$ 使得

注意 $\delta<a-2.$ 对 (3.12) 式应用 Gronwall 不等式, 当 $\tau\leq\tau(t,\mathcal{D})$, $I\geq I_1$ 时得到

对于给定的 $t\in\mathbb{R}$, 存在依赖于 $t$ 的正常数 $K(t)$ 使得

$\int_{-\infty}^{t} \mathrm{e}^{\delta s}\|f(s)\|_{\rho}^{2} \mathrm{~d} s＜K(t)$, $\left(\text { 见假设 }\left(\mathrm{A}_{2}\right)\right)$.

因此, 我们推断存在 $I_2=I_2(\varepsilon,t)>0$ 使得

选取 $M_*=\max\{I_1,I_2\}.$ 由 (3.13)-(3.14) 式可知, 当 $I\geq M_*$, $\tau\leq\tau(t,\mathcal{D})$ 时有

即

回顾 $u_\tau\in D(\tau)$, $\mathcal{D}=\{D(s):s\in\mathbb{R}\}\in\mathcal{D}_\delta$, 从 $D_\delta$ 的构造得出, 存在 $\tau_*=\tau(\varepsilon,t,\mathcal{D})$ 且 $\tau_*\leq$$\tau(t,\mathcal{D})$ 使得

因此, 当 $I\geq M_*$ 及 $\tau\leq\tau_*$ 时, 由 (3.15)-(3.16) 式可得

根据引理 3.1, 引理 3.2 和文献 [32,定理 2.1], 我们得到如下主要结论.

${\bf定理3.1}$ 若假设 (A$_1)$-(A$_2)$ 成立, 则由 (2.9)-(2.10) 式生成的连续过程族 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 具有 $\mathcal{D}_\delta$-拉回吸引子 $\mathcal{A}_{\mathcal{D}_\delta}=\{ \mathcal{A} _{\mathcal{D} _\delta }( t) : t\in \mathbb{R} \}$ 满足

$(\mathrm i)$ 对于每个 $t\in \mathbb{R} $, $\mathcal{A} _{\mathcal{D} _\delta }( t)$ 是 $\ell_\rho^2$ 中的非空紧子集;

$(\mathrm {ii})$$\mathcal{A} _{\mathcal{D} _\delta }( t)$ 是不变的, 即 $U( t, \tau ) \mathcal{A} _{\mathcal{D} _\delta }( s) = \mathcal{A} _{\mathcal{D} _\delta }( t), \quad \forall t\geq s ;$

$(\mathrm {iii})$$\mathcal{A} _{\mathcal{D} _\delta }$ 是 $\mathcal{D}_\delta$-拉回吸引的, 即

本节证明了在加权空间 $\ell_\rho^2$ 中由 (2.9)-(2.10) 式生成的过程$\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 存在一族不变 Borel 概率测度. 首先给出一些基本定义.

${\bf定义4.1}$^[4] 广义 Banach 极限是定义在 $[0,+\infty)$ 上的有界实值函数全体上的线性泛函 (记作 $\underset{T\to+\infty}{\operatorname*{LIM}}$), 满足

$(\mathrm i)$ 对于非负函数 $\psi$ 满足$\underset{T\to+\infty}{\operatorname*{LIM}}\psi(T)\geq0$;

$(\mathrm {ii})$ 若通常极限$\underset{T\to+\infty}{\operatorname*{lim}}\psi(T)$ 存在, 则$\underset{T\to+\infty}{\operatorname*{LIM}}\psi(T)=\underset{T\to+\infty}{\operatorname*{lim}}\psi(T)$.

${\bf定义4.2}$^[16] 过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 在度量空间 $M$ 上被称为 $\tau$-连续, 如果对于每个 $m_0\in M$ 和每个 $t\in\mathbb{R}$, 有 $M$-值函数 $\tau\mapsto U(t,\tau)m_0$ 是连续的且在区间 $(-\infty,t]$ 上有界.

${\bf注 4.1}$ 考虑 (2.9)-(2.10) 式的拉回渐进行为, 需要 $\tau\rightarrow-\infty$ 时的广义极限. 因此, 对于定义在 $(-\infty,0]$ 上的实值函数 $\psi$ 和 Banach 极限, 定义

在接下来的内容中, 我们证明了过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 在 $\ell_\rho^2$ 中的不变 Borel 概率测度族的存在唯一性. 为了达到这个目的, 由文献 [16] 可知, 我们仅需验证 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 的 $\tau$ 连续性.

${\bf引理4.1}$ 若假设 (A$_1)$-(A$_2)$ 成立, 则对 $\ell_\rho^2$ 上的每个 $u_*$ 和 $t\in\mathbb{R}$, $\ell_\rho^2$-值函数 $\tau\mapsto U(t,\tau)u_*$ 是连续的且在 $(-\infty,t]$ 上是有界的.

${\bf证}$ 设 $u_*\in \ell_\rho^2$ 和 $t\in\mathbb{R}.$ 下面将证明对于每个 $\varepsilon>0$ 和 $s\leq t$, 存在 $\delta>0$ 使得当 $r\in(-\infty,t]$ 且 $|r-s|<\delta$ 时, 有

在不失一般性情况下, 可以假设 $r<s.$ 设

由引理 2.3 和过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 的性质有

当 $|r-s|$ 充分小时, (4.1) 式右边的项可以足够小. 因此, 当 $\tau\in(-\infty,t]$ 时, $\ell_\rho^2$-值函数 $\tau\to U(t,\tau)u_*$ 是连续的. 最后证明 $\ell_\rho^2$-值函数 $\tau\to U(t,\tau)u_*$ 在 $(-\infty,t]$ 上是有界的. $u_*$ 和 $t\in$$\mathbb{R}$ 由上述给定且 $u_\tau \in D(\tau)$, 由引理 2.2 和假设 (A$_2)$ 可以推导出

由于 $\ell_\rho^2$-值函数 $\tau\to U(t,\tau)u_*$ 在 $\ell_\rho^2$ 中$(-\infty,t]$上是连续的, 因此函数 $\tau\to U(t,\tau)u_*$ 在 $(-\infty,t]$ 上是有界的.

根据引理 4.1, 定理 3.1 和文献 [16,定理 3.1], 有如下结论.

${\bf定理4.1}$ 设假设 (A$_1)$-(A$_2)$ 成立, $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 是由方程 (2.9)-(2.10) 生成的过程且 $\mathcal A_{\mathcal D_\delta}=\{\mathcal{A}_{\mathcal{D}_\delta}(t):t\in\mathbb{R}\}$ 是定理3.3中给出的 $\mathcal{D}_\delta$-拉回吸引子. 则对于给定的广义 Banach 极限 $\underset{T\to+\infty}{\operatorname*{LIM}}$ 和连续映射 $\varphi(\cdot)\in\mathcal{D}_\delta$, $\ell_\rho^2$上存在唯一的 Borel 概率测度族 $\{\mu _t\} _{t\in \mathbb R} $ 使得测度 $\mu_t$ 的支集包含在 $\mathcal{A}_{\mathcal{D}_\delta}(t)$ 中, 并且对于每个泛函 $\phi\in C(\ell_\rho^2)$ 有

其中 $C(\ell_\rho^2)$ 为 $\ell_\rho^2$ 上的所有实值连续函数的集合. 且 $\mu_t$ 在以下意义上是不变的:

更进一步, 对于 $\ell_\rho^2$ 上的每个实值连续有界泛函 $\Phi$, 有

在本节中, 我们进一步证明由定理4.1 得到的不变测度 $\{\mu_t\}_{t\in\mathbb{R}}$ 是方程 (2.9)-(2.10) 的统计解. 用$\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示 $\ell_\rho^2$ 与其对偶之间的对偶积. 为了表述方便, 我们将方程 (2.9)-(2.10) 写成

其中 $F(u,t)=-Du+2Au-au-b|Bu|^2-u^3+f(t).$

为了明确统计解的定义, 下介绍一些相关概念. 用 $\mathcal{T}$ 表示 $\ell_\rho^2$ 上的实值泛函 $\Psi=\Psi(\cdot)$ 的集合, 上述泛函在 $\ell_\rho^2$ 的有界子集上有界且满足

$(\mathrm {i})$ 对于每个 $u\in \ell_\rho^2$, Fréchet 导数 $\Psi^{\prime}(u)$ 存在, 即对于任何 $u\in \ell_\rho^2$, 存在元素 $\Psi^{\prime}(u)\in {\ell_\rho^2}$ 使得

$(\mathrm {ii})$ 映射 $u\mapsto\Psi^\prime(u)$ 是从 $\ell_\rho^2$ 到 $\ell_\rho^2$ 上的连续有界映射.

若 $\Psi\in\mathcal{T}$ 并且 $u(t)$ 为方程 (5.1)-(5.2) 的解, 则

${\bf定义5.1}$ 设 $\mathcal{A}_{\mathcal{D}_\delta}=\{\mathcal{A}_{\mathcal{D}_\delta}(t):t\in\mathbb{R}\}$ 为定理 3.3 中给出的 $\mathcal{D}_\delta$-拉回吸引子. 称 Borel 概率测度族$\{\nu_t\}_{t\in\mathbb{R}}$ 是方程 (5.1)-(5.2) 的统计解, 如果满足

$(\mathrm i)$ 对于每个 $\Psi\in C(\ell_\rho^2)$, 方程

在 $[\tau,+\infty)$ 上是连续的;

$(\mathrm {ii})$ 对于几乎每个 $t\in[\tau,+\infty)$, 函数 $\varphi\mapsto\langle F(\varphi,t),\upsilon\rangle$ 对于每个 $\upsilon\in \ell_\rho^2$ 是 $\nu_t$-可积的, 并且对于每个 $\upsilon\in \ell_\rho^2$, 映射

属于 $L_\mathrm{loc}^1([\tau,+\infty))$;

$(\mathrm {iii})$ 对于每个测试函数 $\Psi\in\mathcal{T}$, 当 $t\geq\tau$ 时,

成立.

${\bf定理5.1}$ 若假设 (A$_1)$-(A$_2)$ 成立, 则由定理 4.4 给定的不变测度族 $\{ \mu _t\} _{t\in \mathbb{R} }$ 是方程 (5.1)-(5.2) 的统计解.

${\bf证}$ 仅需证明定理 4.1 中给出的不变测度族满足定义 5.1 中的条件. 首先, 证明对于每个 $\Psi\in\mathcal{T}$, $t\mapsto\int_{\mathcal{A}_{\mathcal{D}_{\delta}}(t)}\Psi(\varphi)\mathrm{d}\nu_t(\varphi)$ 在 $[\tau,+\infty)$ 上是连续的. 设 $\mathcal{A}_{\mathcal{D}_\delta}=\{\mathcal{A}_{\mathcal{D}_\delta}(t):t\in\mathbb{R}\}$ 是定理 3.1 中给出的 $\mathcal{D}_\delta$-拉回吸引子且 $\Psi\in\mathcal{T}$. 由 $\{\mu_t\}_{t\in\mathbb{R}}$ 的不变性有

则由过程 $\{U(t,\tau)\}_{t\geq\tau}$ 的连续性和 $\mathcal{T}$ 的定义可知

是连续的. 接下来, 对每个 $v\in \ell_\rho^2$, 定义

显然, $\Psi_1$ 从 $\ell_\rho^2$ 映射到 $\mathbb R $. 以下证明 $\Psi_1$ 是连续的. 设 $\mathcal B$ 是 $\ell_\rho^2$ 中的有界子集且 $u_1,u_2\in \mathcal B$. 可从 (2.24)- (2.25) 推导出, 存在 $L_4(t,\tau,\mathcal B)$ 和 $L_5(t,\tau,\mathcal B)$ 使得

由此可见, $\Psi_1$ 在 $\ell_\rho^2$ 上是连续的. 因此, 函数 $u\mapsto\langle F(u,t),v\rangle $ 对于每个 $v\in \ell_\rho^2$ 都是 $\{\mu_t\}$-可积的. 通过定义 5.1 中 $(\mathrm i)$ 和 (5.4) 式可知, 映射

对于每个 $v\in \ell_\rho^2$, 属于 $L_\mathrm{loc}^1([\tau,\infty))$.

最后, 我们证明 $\{\mu_t\}_{t\in\mathbb{R}}$ 满足定义 5.1 中的条件 $(\mathrm {iii})$. 设 $t\geq\tau $, 由 (5.3) 式可知

设 $s<\tau,u_0\in \ell_\rho^2$ 且当 $\theta\geq s$ 时 $u(\theta)=U(\theta,s)u_0\mathrm.$ 则由 (5.5) 式可知

由 (4.2), (5.6) 式和 Fubini's 定理, 我们有

从定理4.1 中给出的 $\{\mu_t\}_{t\in\mathbb{R}}$ 的性质可推导出

显然, (5.8) 式的右边与 s 无关. 因此, 我们可由 (5.7) 式得到

验证了 5.1 中条件 $(\mathrm {iii})$.